PROVA PRESENCIAL - 1 CHAMADA - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

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PROVA PRESENCIAL - 1º CHAMADA - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 2022
Questão 1
Seja um grupo aditivo denotado por (G, +). Em relação a essa estrutura, analise as seguintes afirmações:
I. O elemento neutro relativo à adição em G é único.
II. Todo elemento de G admite um inverso relativo à adição, o qual não é único.
III. Para um elemento x pertencente a G é válido que -(-x) = x, em que -x é o oposto a x.
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
B) Apenas a afirmação I está correta.
C) As afirmações I, II e III estão corretas.
D) Apenas a afirmação II está correta.
E) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
Questão 2
Sejam G um conjunto não vazio e * uma operação definida a partir dos elementos de G. Analise as propriedades apresentadas a seguir:
I. Associatividade
II. Comutatividade
III. Existência de elemento simetrizável a todo elemento de G
IV. Existência de elemento neutro
V. Distributividade
Assinale a alternativa que apresenta todas as propriedades que devem ser satisfeitas pelos elementos de G, com a operação *, para que o mesmo seja caracterizado como um grupo:
A) Apenas II e V.
B) Apenas I, II e III.
C) Apenas II, III e V.
D) Apenas I e IV.
E) Apenas I, III e IV.
Questão 3
Suponha que A é um conjunto não vazio, a partir do qual são definidas operações de adição (+) e multiplicação (*) convenientes.
A respeito das propriedades que caracterizam os anéis, analise as afirmações apresentadas no que segue, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) Para que (A, +, *) seja classificado como um anel é necessário que (A, +) e (A, *) sejam grupos abelianos.
(  ) Para que (A, +, *) seja classificado como um domínio de integridade é necessário que (A, +, *) seja um anel com unidade.
(  ) Para que (A, +, *) seja classificado como um corpo é necessário que (A, +, *) seja um anel comutativo com unidade.
(  ) Para que (A, +, *) seja classificado como um domínio de integridade é necessário que (A, +, *) seja um corpo.
Assinale a alternativa que indica todas as classificações corretas, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
A) F – F – V – F.
B) V – F – V – F.
C) F – V – V – F.
D) V – V – V – F.
E) V – V – F – F.
Questão 4
Seja um anel (A, +, .) comutativo com unidade. 
Com base na estrutura de anel e na caracterização dos corpos, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Todo corpo pode ser classificado como um domínio de integridade, ainda que nem todo domínio de integridade corresponda a um corpo.
II. Os anéis (Z,+,.) dos inteiros e (Q,+,.) dos racionais são anéis comutativos com unidade que apresentam a propriedade da integridade, ou lei do anulamento do produto, apesar de (Q,+,.) corresponder a um contraexemplo de corpo.
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) As afirmações I e II estão incorretas.
B) As afirmações I e II estão corretas, mas a II não é um complemento para a I.
C) A afirmação I está incorreta, enquanto que a II está correta.
D) A afirmação I está correta, enquanto que a II está incorreta.
E) As afirmações I e II estão corretas, e a II é um complemento correto para a I.
Questão 5
Um grupo é uma estrutura algébrica construída a partir de um conjunto e de uma operação definida sobre o mesmo, satisfazendo a um conjunto específico de propriedades.
Analise as afirmações abaixo, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) O conjunto dos números naturais, com a operação usual de adição, é um grupo abeliano.
(  ) O conjunto dos números reais não nulos, com a operação usual de multiplicação, é um grupo.
(  ) O conjunto dos números reais negativos, com a operação usual de multiplicação, é um grupo.
Assinale a alternativa que corresponde às classificações corretas, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
A) F – F – V.
B) V – F – F.
C) V – V – F.
D) F – V – F.
E) F – V – V.
Questão 6
Com base no algoritmo euclidiano para a divisão de polinômios, analise as seguintes afirmações:
I. Ao dividirmos um polinômio de grau 3 por um polinômio de grau 2, o resto da divisão será um polinômio com grau menor ou igual a 1.
II. Ao dividirmos um polinômio de grau 4 por um polinômio de grau 2, o resto da divisão será um polinômio com grau menor ou igual a 3.
III. Ao dividirmos um polinômio de grau 5 por um polinômio de grau 4, o resto da divisão será um polinômio com grau menor ou igual a 2.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
B) Apenas a afirmação III está correta.
C) Apenas a afirmação I está correta.
D) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
E) As afirmações I, II e III estão corretas.
Questão 7
Polinômios podem ser classificados de acordo com os graus de alguns de seus termos ou dos valores assumidos por alguns coeficientes. 
Nesse sentido, sejam os seguintes polinômios:
I. a(x) = 2x2 – x – 2
II. b(x) = 5x3 – 3x2 + 3
III. c(x) = x3 – x2 + 2x – 1
IV. d(x) = 4x + 2
Associe os polinômios apresentados com suas respectivas classificações, conforme seguintes itens:
1. Polinômio incompleto
2. Polinômio de grau 2.
3. Polinômio mônico.
4. Polinômio de grau 1.
Assinale a alternativa que apresenta todas as associações corretas:
A) I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.
B) I – 2; II – 1; III – 3; IV – 4.
C) I – 3; II – 2; III – 4; IV – 1.
D) I – 4; II – 3; III – 1; IV – 2.
E) I – 1; II – 2; III – 3; IV – 4.
Questão 8
A partir do conjunto dos números inteiros, considerando as operações usuais de adição e multiplicação, existe um conjunto de propriedades que são satisfeitas, possibilitando a resolução de determinados problemas, por permitir a comparação entre diferentes números.
Sejam as seguintes propriedades: comutatividade da adição, comutatividade da multiplicação e distributividade.
Se x, y e z são números inteiros distintos, assinale a alternativa que indica uma expressão que será sempre válida, considerando as três propriedades citadas:
A) (x + y).z = x.z + y.x
B) x.z + z.y = x.y.z
C) z.y + x.z = (x + y).z
D) x + y.z = x.y + z
E) x.y + x.z = y.z
Questão 9
Ao aplicar o algoritmo euclidiano na divisão de polinômios podemos identificar situações em que a divisão é exata, o que permite decompor um polinômio como um produto envolvendo outros dois polinômios.
Com base nesse tema, seja o polinômio:
Sabendo que a divisão de f(x) por 
é exata, quais devem ser os valores assumidos pelas constantes reais a e b?
A) a = 2 e b = -5.
B) a = 7 e b = 8.
C) a = -4 e b = 3.
D) a = 10 e b = -3.
E) a = -10 e b = 12.
Questão 10
Com base nas principais características da estrutura algébrica denominada anel, e de suas principais subcategorias, complete as lacunas das afirmações apresentadas no que segue de modo a torna-las conclusões corretas em relação ao tema destacado:
I. O conjunto dos números racionais, com as operações usuais de adição e multiplicação, pode ser caracterizado como um ________ devido, dentre outras, a presença da propriedade da existência de elemento simetrizável, a todo racional, em relação à multiplicação.
II. O conjunto dos números ________, com as operações usuais de adição e multiplicação, pode ser caracterizado como um domínio de integridade devido, dentre outras, a presença da propriedade comutativa para ambas as operações.
III. O conjunto 2Z, sendo Z o conjunto de números inteiros, com as operações de adição e multiplicação correspondentes, pode ser caracterizado como um ______ devido, dentre outras, a presença da propriedade distributiva.
Assinale a alternativa que indica os termos que preenchem as lacunas de todas as afirmações corretamente, considerando-as na ordem em que foram apresentadas:
A) I – domínio de integridade; II – naturais; III – anel.
B) I – anel; II – inteiros; III – domínio de integridade.
C) I – corpo; II – complexos; III – anel comutativo com unidade.
D) I – corpo; II – inteiros; III – anel.
E) I – anel; II – racionais; III – corpo.
Questão 11
Considerando as propriedades presentes na estrutura composta pelo conjunto dos númerosinteiros munido da adição e da multiplicação usual, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Ao converter a expressão 3(2x) para 6x precisamos empregar a propriedade associativa referente à operação de adição usual definida sobre o conjunto de números inteiros.
II. Ao converter a expressão 2x + 2y para 2(x + y) precisamos empregar a propriedade distributiva referente às operações usuais de adição e multiplicação usuais definida sobre o conjunto de números inteiros.
III. Ao converter a expressão (5 + (-5))x para 0x precisamos empregar a propriedade da existência de elemento simétrico referente à operação de adição usual definida sobre o conjunto de números inteiros.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
B) Apenas a afirmação I está correta.
C) As afirmações I, II e III estão corretas.
D) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
E) Apenas a afirmação II está correta.
Questão 12
Os anéis são estruturas algébricas construídas a partir de um conjunto não vazio, dotado de duas operações, que devem satisfazer a um conjunto de propriedades. Também é possível classificar os anéis de acordo com algumas características adicionais.
Considere o anel (S, +, .). A partir desta estrutura, sejam as seguintes categorias:
I. Anel comutativo
II. Anel com unidade
III. Domínio de integridade
Associe as categorias apresentadas com as propriedades que as caracterizam:
1. Temos que 1.x = x.1 = x para todo x pertencente a S.
2. Temos que x.y = y.x para todos x e y pertencentes a S.
3. Para todos x e y pertencentes a S, se x.y = 0 então x = 0 ou y = 0.
Assinale a alternativa que apresenta todas as associações corretas:
A) I – 2; II – 3; III – 1.
B) I – 3; II – 2; III – 1.
C) I – 2; II – 1; III – 3.
D) I – 1; II – 2; III – 3.
E) I – 1; II – 3; III – 2.