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um detector co velocidad v ( e, portanto. com parâmetro de ve­locidade = v!c). a freqüênc a. medida pelo detector é dada por . -� J = .i, ·v i. (37-31) Se a fo te está se aproximando do d tector os sinais da Eq. 37-31 devem ser inv rtidos. No aso de o servações astronômicas o e eito Dopp er é me­dido m compr entos de onda. Para veloc dades muito menores que e a Eq. 37-31 se tona 
1.AI 
V =--e. À.o (37-36) onde iA ( = . - A0 ) é o deslocamento Doppler do comprimento de onda produzido pelo movimento. 
Efeito Doppler Transversal Se o movimento relativo da fonte luminosa é perpendicular à reta que liga a fonte ao d tec­tor. a reqüência .f medida pelo detector é dada por 
f = 1;, \i - 32. (37-37) Esse efeito Doppler transversal se deve à dilatação dos tempos. 
1 A Fig. 37-16 mostra dois relógios s tuados no re erencial estacionário S ( eles estão sincronizados nesse re erencial) e um relógio situado no referencial móvel S'. Os relógios C 1 e ; ind cam 1 = O no momento em que passam um pelo outro. Quando os relógios ; e C2 passam um pelo outro (a) qual dos re óg os indica o menor tempo? ( ) Qual dos relógios indica o tempo próprio? 
FIG. 37-16 P r unt 1. 
2 A Fig. 37-17 mostra dois relógios no referencial estacionário 
S' ( eles estão sincronizados nesse re erencial) e um relógio situ­ado no referencial móvel S. Os reló os C 1 e ; indicam t = O no momento m que passam um pelo outro. Quando os relógios C 1 e ; passam um pelo outro (a) qual dos relógios indica o menor tempo? (b) Qual dos relógios indica o tempo próprio? 
s ,-�-, (., C' . 1 2 
FIG. 37-17 Pergunta 2. 
Perguntas 
Momento e Energia As seguintes def nições de mom n­to linear p. energia cinética ( e energia total E de uma partícu­la de massa 111 são válidas para qualquer velocidade f s cam nt possível: 
p = ymv (mom to r ativíst o). 
E= mc 2 + K = y 2 ( n r a tota ),
K = mc 2 (y - 1) ( n r a inét a). 
(37�2) (37-47.37-- J (37-52) onde y é o fator de Lorentz e 2 é a energia de repouso da partí­u a. Essas quaçõ s eva às re açõ s 
e (pc)2 = K 2 + 2Kmc2• E2 = (p )2 + (mc1)2. (37-54) (37-55) Em uma reação química ou nuclear o Q da reação é o nega­tivo da variação da energ a de repouso do sistema: (37-50) onde M; é a massa total do sistema antes da reação e M1é a massa total depois da reação. 
3 O plano de réguas e relógios da Fig. 37-18 é semel ante ao da Fig. 37-3. A distância entre os centros dos relógios ao longo do ixo x é I segundo-luz, o mesmo a ontece ao longo do eixo y e to­dos os relógios foram sincronizados usando o método descr to na Seção 37-3. Quando o sinal de sincronismo de t = O proveniente da origem chega (a) ao relógio A, (b) ao relógio B e (c) ao reló­gio C, que tempo deve ser registrado nesses relógios? Um ev nto ocorre na posição do relógio A no instante em que o relógio in­dica 10 s. (d) Quanto tempo o sinal do evento leva para chegar a um observador que está parado na origem? (e) Que tempo o observador deve atribuir ao evento? 
FIG. 37-18 Pergunta 3. 
4 João part de Vênus em uma espaçonave com destino a Marte e passa por Maria, que se encontra na Terra, com uma velocidad re ativa d 0,5 . (a) João e Maria medem o tempo total da via em entre Vênus e Marte. Qual dos dois mede um tempo próprio? ( ) No caminho João envia um pulso de laser para Marte. João eMaria medem o tempo de viagem do pulso. Qual dos dois medeum tempo próprio?5 U a barra se move com velocidade constante v ao longo do eixo x do referencial S, com a maior dimensão da barra paralela ao eixo x. Um observador estacionário em relação ao re erencial 
S mede o comprimento L da barra. Qual das curvas da Fig. 37-
J C pítu 37 1 e atividade
19 pode representar o comprimento L (o e xo vertical do grá co) 
em função do parâmetro de velocidade 3? 
o 0,2 0,4 0,6 
3 
0,8 
F . 37-19 erguntas 5 e 7. 
6 A Fig. 37-20 mostra uma nave (cujo referencial é S') passando 
por um observador (cu o referencial é S). Um próton é emit do 
com uma velocidade próxima da velocidade da luz ao longo da 
maior dimensão da nave, da proa para a popa. (a) A distância 
espacial ix' entre o local em que o próton foi emitido e o local 
de impacto é uma grandeza positiva ou negativa? (b) A distância 
t mporal it' entre esses eventos é uma grandeza pos tiva ou ne­
gativa? 
y' YL' 1 S' Próton� ..... --�··--\. s :_J,_ t ... ' /�' X -l.---------.'----X' 
F . 37-20 Pergunta 6 e Problema 64. 
7 O referencial S' passa pelo referencial S a uma velocidade v 
ao longo da direção comum dos e xos x' ex, como na Fig. 37-9. 
Um observador estacionário no referencial S' mede um ntervalo 
de 25 s em seu relógio de pulso. m observador estacionário do 
referenc al S mede o intervalo de tempo correspondente, M. Qual 
das curvas da Fig. 37-19 pode representar (o eixo vertical do 
grá co) em unção do parâmetro de velocidade 3? 
8 Um astronauta está a bordo de uma espaçonave e detecta 
sinais transmitidos por quatro naves de salvamento que estão 
se aproximando ou se a astando em lin a reta. Os sinais têm a 
mesma freqüência própria /0. As velocidades e direções das na­
ves de salvamento em relação ao astronauta são (a) 0,3c se apro­
ximando; (b) 0,6c se aproximando; ( c) 0,3 se afastando; ( d) 0,6 
se a astando. Coloque as naves de salvamento na ordem das fre­
qüências rec idas pelo astronauta, começando pe maior. 
9 A Fig. 37-21 mostra um dos quatro cruzadores estelares que 
participam de uma competição. Quando cada cruzador chega à 
linha de partida ança uma pequena nave de salvamento em dire­
ção à lin a de chegada. O juiz da prova está parado em relação às 
linhas de part da e de chegada. As velocidades vc dos cruzadores 
em relação ao juiz e as v locidades v., das naves de salvam nto em 
relação aos cruzadores são as seguintes: (1) 0,70c, 0,40 ; (2) 0,40 , 
0,70 ; (3) 0,20c, 0,90 ; ( 4) 0,50c, 0,60c. (a) S m fazer nenhum cál­
culo no papel, coloque as naves d s lvamento na ordem das ve o­
cidades em relação ao juiz, começando pela mais veloz. (b) Ainda 
sem faz r nenhum cálculo no papel, coloque as naves de salva­
mento na ordem das distâncias entre a l n a de partida e a linha de 
c e ada medidas pe os pil tos, o ç; p m or. ( ) Ca a 
cruzador env a um sinal para sua nave de salvamento com uma 
certa eqüência fo no referencial do cruzador. ais uma vez sem 
fazer nen um cálculo no papel, coloque as naves de salvamento 
na ordem das freqüências detectadas, começando pela maior. 
1 1 1 1 Linha de partida1 
F . 37-21 
Linha de chegada 
Pergunta 9. 
10 A energia d r pouso e a energia total de três partículas, ex­
pressas em termos de uma certa unidade A, são, respectivamente, 
(1) A e 2A; (2) A e 3A; (3) 3A e 4A. Sem azer nenhum cálculo
no papel, coloque as partículas na ordem (a) da massa; (b) da
energia cinética; ( c) do fator de orentz; ( d) da velocidade, come­
çando pelo maior valor.
11 A g. 37-22 mostra o tr ângulo da F g. 37-15 para seis par­
tículas; os segm ntos de reta 2 e 4 têm o mesmo comprimento. 
Coloque as partículas na ordem (a) da massa; (b) do módulo do 
momento; (c) do fator de orentz, começando p lo maior valor. 
(d) Determine quais são as duas partículas que têm a mesma
ener a total. (e) Coloque as três partículas de menor massa na
ordem da energia cinética, começando pela ma or.
F . 37-22 Pergunta 1 . 
Problemas 
• - •• • O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema 
� Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física, de Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
se�ão 37-5 A Relatividade do Tempo 
•1 O tempo médio de vida de múons estacionários é 2,2000 µs. 
 tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos
por um certo raio cósmico é 16,000 no referencial da Terr .
Determine, com cinco algansmos s gni cativos, a velocidade em 
relação à erra dos múons produzidos pelo raio cósmico.
•2 Determine, com oito algarismos signiicativos, qual deve ser
o parâmetro de velocidade 3 para que o fator de orentz y seja
(a) 1,010 000 O; (b) 10,000 000; (c) 100,000 00; (d) 1000,000 O.
.. 3 Uma partícula instável de alta energiaentra em um detector 
e deixa um rastro com 1,05 mm de comprimento, viajando a uma 
velocidade de 0,992c, antes de decair. Qual é o tempo de vida pró­
prio da partícula? m outras palavras, qu nto tempo a partícula le­
varia para decair se estivesse em repouso m relação ao detector? 
.. 4 O ref rencial S' passa pelo referencial S a uma velocidade 
v ao longo da direção comum dos eixos x' ex, como na Fig. 37-
9. Um observador estacionário no re erencial S' mede um certo
intervalo de tempo em seu relógio de pulso. Um observador esta­
cionário do referencial S mede o intervalo de tempo correspon­
dente, lt. A Fig. 37-23 mostra a variação de M com o parâmetro
de velocidade 3 no intervalo O; 3 : 0,8. A escala do eixo vertical
é de nida por M" = 14,0 s. Qual é o valor de lt para v = 0,98c?
l 
FIG. 37-23 roblema 4. 
••5 o livro e no lme Planeta dos Macacos, astronautas em 
hibernação via am para o uturo distante, uma época em que a ci­
vi ização humana foi substituída por uma civilização de macacos.
Cons eran o apenas a r lat v dade restr ta, determ ne quantos
anos os astronautas viajariam, no referencial da erra, se dor­
missem durante 120 anos, de acordo com o re erencial da espa­
çonave, enquanto viajavam com uma velocidade de 0,9990 , pri­
meiro para longe da erra e depois de volta para nosso planeta .
.. 6 De volta para o futuro. Suponha que um astronauta é 20 ,00 
anos mais velho que a ilha. epois de passar 4.000 anos (no seu 
referencial) via ando pelo universo com velocidade constante, em 
uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 
20,00 anos mais moço que a ilha. Determine o parâmetro d ve­
locidade 3 da nave do astronauta em relação à erra. 
.. 7 Um astronauta az uma viagem de idade e volta em uma es­
paçonave, partindo da erra e viajando em linha reta e com velo­
cidade constante durante 6 meses e voltando ao ponto de partida 
da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao voltar à Terra o 
astronauta constata que 1000 anos se passaram. (a) termine, 
com oito a garismos signiicativos, o parâmetro d velocidad 3 
da espaçonave do astronauta. (b) az alguma diferença se viagem 
não for em linha reta? 
seção 37-6 A Relatividade das Distâncias 
•8 Uma régua no referenc al S' faz um ângu o de 30º com o
eixo x'. Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo x do
referencial S com uma velocidade de 0,90 em relação ao refe­
rencial S, qual é o comprimento da régua no referencial S? 
•9 Uma barra se move paralelamente ao eixo x do referencial
S a uma velocidade de 0,630 . com a maior dimensão ao longo
deste eixo. O comprimento de repouso da barra é 1.70 m. Qual é
o comprimento da barra no referencial S?
•10 Um elétron com 3 = 0,999 987 está se movendo ao longo
do eixo de um tubo evacuado com um comprimento de 3,00 m
do ponto de vista de um observador Sem repouso em relação ao
tubo. Para um observador S' em repouso em relação ao elétron,
é o tubo que está se movendo com velocidad v ( = 3c ). Qual é o
comprimento do tubo para o observador S'?
•11 Uma espaçonave cu o comprimento de repouso é 130 m
passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,740c. (a) Qual
é o comprimento da nav no re rencial da base? (b) Qual é o
intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a
passagem da proa e a passagem da popa da esp çonave?
.. 12 ma barra se move com velocidade constante v ao longo o 
eixo x do referencial S, com a maior d mensão a barra paralela ao 
eixo x. m observador estacionário no referencial S mede o com­
primento da barra. A íg. 37-24 mostra o valor de L em função do 
parâmetro de velocidade 3 para : 3 ; 0,8. A escala do eixo verti­
cal é deinida por Lª = l,00 m. Qual é o valor de L para v = 0,95c? 
n 
E 
-< 
o 0,4 0,8 
3
FIG. 37-24 Problema 12. 
••13 O centro da ia áctea ca a cerca de 23 000 anos-luz de
distância da erra. (a) Com oito algarismos signi cati ·os. qual é
o parâmetro de velocidade de uma espaçonave que v a a ss s
23 000 anos-luz (medidos no re erencial da galáx a) em 30 anos
(medidos no referencial da espaçonave)? (b) o referencial da
espaçonave, qual é distância percorrida em anos-luz?
..14 O comprimento de uma espaçonav em um certo ref ren­
cial é metade do comprimento de repouso. (a) Com três algaris­
mos signiicativos, qual é parâmetro de velocidade 3 a espaço­
nave no referencial do observador? (b) ual é a relação entr a 
ij:i p tulo 37 1 Relatividade
rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no refe­
rencial do observador
1 Um astronauta parte da erra e viaja com uma velocidade
de 0,99 em direção à estrela Vega, que está a 26,00 anos-luz de
distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios
da Terra, (a) quando o astronauta chegar a ega (b) quando os
observadores terrestres receberem a not cia de que o astronauta
chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem
ele acordo com os relógios ela Terra e o tempo le viagem de
acordo com o relógio de bordo?
seção 37-8 Algumas Conseqüências das 
Equações de Lorentz 
1 O referencial inercial S' está se movendo com uma veloci­
dade de 0,60 em relação ao referencial S(Fig. 37- ).Além disso,
x = x' = O no instante r = t' = O.Dois eventos são registrados.
No referencial S o evento 1 ocorre na origem no instante t =O e
o evento 2 ocorre no ponto x = ,0 km no instante t = 4,0 µs.De
acordo com o observador S', em que instante ocorre (a) o evento
l e (b) o evento 2? (c) Os dois observadores registram os eventos
namesma ordem?
1 m experimentador dispara simultaneamente duas lâm­
padas de flash, produzindo um grande clarão na origem cio seu
referencial e um pequeno clarão no ponto x = 30,0 km. m ob­
servador que está se movendo com uma v lociclacle de 0,250 no
sentido positivo io eixo x também observa os clarões. (a) Qual é
o intervalo de tempo entre os dois clarões, ele acordo com o ob­
servador? (b)De acordo com o observador, qual ios dois clarões
ocorreu primeiro?
1 Para um certo observador S um evento aconteceu no eixo x
io seu referencial nas coorclenaclas x = 3,00 x l 08 1, t 2, 0 s.
observador S ' está se movendo no sentido positivo io eixo x com
uma velocidade ele 0,400 . Além disso,x= x' = O no instante t 
t' O.Determine as coordenadas (a) espacial e (b) temporal cio
evento no referencial le S'. Quais seriam as coordenadas (e) es­
pacial e (d) temporal do evento no referencial ele S' se o observa­
dor S1 estivesse se movendo com a mesma velocidade no sentido
negativo do eixo x?
1 Na Fig. 37-9 as origens cios dois referenciais oincidem cm
t = t' = O e a velocidade relativa é 0, 0c.Dois m crometcoritos
colidem nas coordenadas x = 100 km e t = 200 µs de acordo com
um observador estacionário no referencial S. Determine as coor­
denadas (a) espacial e (b) temporal da colisão ele acordo comum
observador estacionário no referencial S'.
..2 O observador S1 passa pelo observador S movendo-se ao
longo la direção comum dos eixos x' ex, como na ig. 37-9, e le­
vando três réguas a régua , paralela ao eixo x', a régua 2, para­
lela ao eixo y', e a régua 3, paralela ao eixo z'. ede no relógio
de pulso um intervalo ele 15,0 s, que para o observador S corres­
ponde a um intervalo de 30,0 s.Dois eventos ocorrem durante a
passagem.De acordo com o observador S o evento 1 ocorre em
x1 = 33,0 m e 1 = 22,0 ns, e o evento 2 ocorre em x2 = 3,0 me
t2 = 62,0 ns. De acordo com o observador S, qual é o compri­
mento (a) ela régua 1, (b) ela régua 2 e (e) la régua 3?De acordo
com o observador S', (d) qual é a distância espacial e (e) qual é a
distância temporal entre os eventos e 2? (f) Qual dos dois even­
tos aconteceu primeiro, le acordo com o observador S'
..2 Um relógio está se movendo ao longo do eixo x com uma
velocidade de 0,600c e indica o instante t = ao passar pela ori­
gem. (a) alcule o fator le orentz cio relógio. (b) Qual é a lei­
tura cio relógio ao passar pelo ponto x 80 m
..22 omo na ig. 7- , o referencial S' passa pelo referencial
S com uma certa velocidade. A Fig. 37-25 mostra a distância tem­
poral entre dois eventos no referencial S, lt, em f unção dadistân­
cia espacial entre os mesmos eventos no referencial S', ix', para
O ; ix 1 400 m. escala do eixo vertical é definida por .t0 =
6,00 µs. Qual é o valor da distância temporal entre os dois even­
tos no referencial S', t'
o 200 
.x' (n) 
400 
FIG. 37-25 roblema 22.
. 2 Na Fig. 37-9 o observador S detecta dois clarões. m
grande clarão acontece em x 1 = 1200 m e, ,00 µs mais tarde, um
clarão acontece em x2 = 80 m.De acordo com o observador S' 
os dois clarões acontecem na mesma coordenada x '. (a) Qual é o
parâmetro le velocidade de S'? (b) S' está se movendo no sen­
tido positivo ou negativo cio eixo x?De acordo com S', (e) qual
ios dois clarões acontece primeiro? (d) Qual é o intervalo de
tempo entre os dois clarões
..2 Na Fig. 37-9 o observador S observa dois clarões. m
grande clarão acontece cmx = 200 m e, pouco depois, um clarão
contece em x2 = 4 0 m. intervalo le tempo entre os clarões é
11 = t2 - t 1 • Qual é o menor valor de 1t para o qual os dois clarões
podemocorrer namesmacoordenadax' parao observador S'?
lnversio relativstica da ordem de dois eventos. As Figs.
7-26 e 37-26 mostram a situação (usual) em que um referen­
cial S' passa por um referencial S, na direção positiva comum dos
eixos xe x', movendo-se com velocidade constante v em relação
a S. O observador 1 está cm repouso no referencial Se o observa­
dor 2 está em repouso no referencial S1 • As iguras também mos­
tram eventos e que ocorrem nas seguintes coordenadas do
espaço-tempo, expressas nos dois referenciais
vento
l
B 
eferencial S
(x , )
(xl , ti! ) 
eferencial S'
(x , t 1 ) 
(x;1 , t1)
o referencial S, o evento A ocorre antes do evento B, com uma
distância temporal .t = 18 - IA = ,00 µs e uma distância espacial
ix = x13 - x11 = 400 . eja .t' a distância temporal cios eventos
de acordo com o observador 2. (a) screva uma expressão para
�---------x 
-- -
X·' '.\ 
�------X' 
�-------1---X 
(a) hento A (b) vento B 
FIG. 37-26 Problemas 2 , 26, 62 e 6 .
t' em termos do parâmetro de velocidade 3 ( = vlc) e dos dados 
do problema. aça um grát co de ôt' em unção de 3 para os se­
guintes intervalos: 
(b) O s 3 s 0,01 
(c) 0,1 S 3 S 1
(baixas velocidades, O s v 5 O,O c) 
(altas velocidades, O, c 5 v 5 ) 
(d) Para que valor de 3 a distância temporal ôt' é nula? Para que
faixa de valores de 3 a seqüência dos eventos A e B para o ob­
servador 2 (e) é a mesma que para o observador e (f) não é a 
mesma que para o observador 1? (g) O evento A pode ser a causa 
do evento B ou vice-versa? usti ique sua resposta. 
.. 26 ara os s stemas d coordenadas da . 37-26, os eventos 
 e ocorrem nas seguintes coordenadas dos espaço-tempo: no 
refer ncial S, (xA , tA) e (x8, t8); no referencia S', (xA , Á) e (xn, t1).No referencial S, ót = t8 - tA = ,00 ,s e � = x8 - xA 400 m. (a) Escreva uma expressão para�· em termos do parâ­
metro de velocidade 3 e dos dados do problema. Faça um gráico 
de ôx' em função de 3 para duas faixas de valores: (b) O 5 3 s 
0,01 e (c) 0,1 S 3 S 1. (d) Para que valor de 3 a distância espacial 
ô.x' é mínima? (e) Qual é o valor dessa distância mínima? 
seção 37-9 A Relatividade das Velocidades 
•27 A galáxia A está se afastando da Terra com uma veloc dade 
de 0,35c. A galáxia B, situada na direção diametralmente oposta, 
está se afastando de nós com a mesma velocidade. Que múll plo 
de corresponde à velocidade de recessão medida por um obser­
vador da galáxia A ( a) para a nossa galáxia; (b) para a galáxia B? 
•28 O sistema estelar Q 1 está se afastando da Terra com umavelocidade de 0,800c. O sistema estelar 2, que está na mesma di­reção que o sistema 1 e se encontra mais próximo da Terra, está se afastando da Terra com uma velocidade de 0,400c. Que múlti­
plo de e corresponde à velocidade e 2 do ponto de vista de um observador estacionário em relação a Q 1? 
•29 Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x' o re­
erencial ' com uma velocidade ele 0,40c. O r ferencial S' está se 
movendo com uma velocidade de 0,60c em relação ao referencial 
S. Qual é a velocidade da partícula no referencial S?
•30 Na Fig. 37-11 o referencial ' está se movendo m relação ao 
referencial S com uma velocidade de 0,62cÍ, enquanto uma partí­
cula se move paralelamente aos eixos coincidentes x ex'. Para um 
observador estacionário em relação ao referencial S' a partícula 
está se movendo com uma veloc dade de 0,47cÍ. m ermos de e, 
qual é a velocidade da partícula para um observador estaciomír o 
em relação ao referencial S de acordo (a) com a trans ormação re­
lativística e (b) de acordo com a transformação clássica? uponha 
que, para um observador estacionário em relação ao referencial S'
a partícula está se movendo com uma velocidade de -0,47cÍ. Qual 
é, nesse caso, a velocidade da partícula para um observador esta­
cionário em relação ao referencial S de acordo (c) com a transfor­
mação relativística e (d) de acordo com a transformação clássica? 
.. 31 Uma esquadrilha de espaçonaves com 1,00 ano-luz de com­
primento (no seu referencial de repouso) está se movendo com 
uma velocidade de 0,800c em relação a uma base espacial. Uma 
nave mensageira via a da retaguarda à vanguarda da esquadrilha 
com uma velocidade de 0,950c em relação à base espacial. Quanto 
tempo leva a viagem (a) no referencial da nave mensageira, (b) no 
referencial da esquadrilha e ( e) no referencial da base espacial? 
.. 32 Na ig. 37-27 uma partícula P está se movendo parale­
lamente aos eixos x e x' dos referenciais S e S' com uma certa 
velocidade em relação do referencial S. O referencial S' está se 
movendo paralelamente ao eixo x do referencial S com uma ve-
Problemas m 
locidade v. A ig. 37-27 mostra a veloc dade u' da partícu a em 
relação ao referencial S' para O 5 v s 0,5c. A escala do ixo verti­
cal é de inida por u� = 0,800c. Determine o valor deu' (a) para 1· 
 0,90c e (b) para v - e.
Ís J['' 
LX [��, 
(a) 
o 0,2r 
(b) 
FIG. 37-27 Problema 32. 
0,4. 
\' 
.. 33 Uma espaçonav cujo comprimento próprio é 350 m está 
se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo re erencial. 
Um nicrometeorito, também com uma velocidade de 0,82 nesse 
referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. 
Quanto tempo o micrometeorito eva para passar pela espaçonave, 
do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonav ? 
seção 37-10 O Efeito Doppler para a Luz 
•34 Certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia da 
constelação da irgem são 0,4 % maiores que luz correspon­
dente produzida por fontes terrestres. (a) Qual é a velocidade ra­
dial dessa galáxia em relação à Terra? (b) A galáxia está se apro­
ximando ou se afastando da Terra? 
•35 upondo que a Eq. 37-36 possa ser aplicada, determine 
com que velocidade um motorista teria que passar por um sina
vermelho para que ele parecesse verde. Tome 620 nm como o 
comprimento de onda da luz vermel a e 540 nm cono o compri­
mento de onda da luz verde. 
•36 A Fig. 37-28 mostra um ráico da intensidade em função 
do comprimento d onda da luz emitida pela galáxia NGC 7319, 
que está a aproximadamente 3 X 108 anos-luz da erra. O pico 
mais intenso corresponde à radiação em tida por átomos de oxi­
gênio. No laboratório essa emissão tem um comprimento de onda 
À 513 nm; no esp ctro el : 7319, porém, o ompr ­
mento de onda foi deslocado para À = 525 nm por causa do efeito 
Doppler (na verdade, todas as emissões da galáxia N C 7319 
aparecem deslocadas). (a) Qual é a v locidade radial da galáxia 
NGC 7319 em relação à Terra? (b) A galáxia está se aproximando 
ou se afastando do nosso planeta 
800 
200 
.:1 À. + � nm 
ompr m nto--
de onda no 
laboratório 
NGC 7319 
O�������������������, 
400 450 500 550 600 650 700 
Comprimento de onda (nm) 
FIG. 37-28 Problema 36. 
7l0 
j1:I1j Capítulo 37 1 Re at v dade
•37 Uma espaçonave que está se afastando da Terra com uma ve­
locidade de 0,900c transmite mensagens com uma freqüência (no
referencial da nave) de 100 MHz Para que freqüência devem ser
sintonizados os receptores terrestres para captar as mensagens?
•38Uma âmpada le sódio está se movendo em círculos em
um plano horizontal com uma velocidade constante le 0,100c,
enquanto emite luz com um comprimento le onda próprio A0 =
589,00 nm. Um detector situado no centro de rotação da lâmpada
é usado para medir o comprimento de onda da luz emitida pela
lâmpada, e o resu tado é A. Qual é o valor a d erença A - A11?
 39 Uma espaçonave está se afastando la Terra a uma velo­
cidade de 0,20c. Uma onte luminosa na popa da nave emite luz 
com um comprimento de onda de 450 nm le acordo com os pas­
sageiros. Determ ne ( a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, 
verde, amarela ou vermelha) da luz emitida pela nave io ponto 
de vista e um observador terrestre 
seção 37-12 Uma Nova Interpretação da Energia 
•40 Determine a menor energia necessária para transformar
um núcleo de 12C ( cu a massa é 11,996 71 u) em três núcleos de 
4He (que possuem uma massa de 4 001 51 u cada um). 
•41 Determine o trabal o necessário para aumentar a veloci­
dade le um elétron (a) le 0,18c para 0 19c e (b) de 0 98c para
0 99c. Observe que o aumento de velocidade é o mesmo (O Olc)
nos dois casos.
•42 As massas das partículas envolvidas na reação p + 19F
a + 160 são as seguintes:
m(p) = 1 007825 U, 
m(F) = 18 998405 u 
Calcule o Q da reação. 
m(a) = 4 002603 u 
m(O) = 15 994915 u 
•43 A massa de um elétron é 9 109 381 88 X 10 31 kg. Determine,
com seis algarismos signi cativos (a) o valor de y e (b) o valor
de 3 para um elétron com uma energ a cinética K = 100 000
Me V.
•44 Qual é o trabal o necessário para que a velocidade le um
elétron aumente de zero para (a) 0 500c; (b) 0 990c e (c) 0 9990c?
 45 Qual deve ser o momento de uma partícula le massa m
para que a energia total da partícula seja 3,00 vezes maior que a 
energia de repouso? 
 46 A massa de um elétron é 9 109 381 88 x 10 31 kg. 
Determine os seguintes valores com oito algarismos signi cati­
vos para a energia cinética dada: (a) y e (b) 3 para K = 1 000 000 
O keV; (c) y e (d) 3 para K = 1,000 000 O Me V; (e) y e (f) 3 para 
K = 1,000 000 O Ge. 
 47 Enquanto você lê esta página um próton proveniente do 
espaço sideral atravessa a página da esquerda para a direita com 
uma veloc dade relativa v e uma energia total de 14 24 nJ. No seu 
referenc al, a largura da página é 21 0 cm. (a) Qual é 3 largura da 
página no referencial io próton? Determine o tempo que o pró­
ton leva para atravessar a página (b) no seu re erencial e (c) no 
referencial do próton. 
.. 43 (a) A energia liberada pela explosão le 1 00 mo! de TNT 
é 3,40 MJ. A massa molar do TNT é 0,227 g mo!. Que peso de 
TNT seria necessário para liberar uma energia de 1 80 X 10 14 J? 
(b) Esse peso poderia ser carregado em uma mochila ou seria ne­
cessário usar um caminhão? (c) Suponha que na explosão de uma
bomba de ssão 0 080'Yo a massa físsil se a convert da em ener­
gia. Que peso de material físsil seria necessário para liberar uma
ener a de 1,80 X 10 14 J? ( d) Esse peso poderia ser carregado em 
uma mochila ou seri3 necessário usar um caminhão? 
 49 Uma certa partícula le mass3 m tem um momento cu o 
módulo é me. Determine o valor (a) de 3; (b) de y; (e) da razão 
KIE0 . 
 50 Determine o valor de 3 para uma partícula (a) com K = 
2 00E0; (b) com E = 2 00E0. 
u51 Os astrônomos acreditam que os quasars são núcleos de 
aláxias ativas nos primeiros estágios de formação. Um quasar 
típ co rrad a ener a a uma taxa de 041 W. Com que rap dez a 
massa le um quasar típico está sendo consum da para produzir 
essa energia? Expresse a resposta em unidades de massa solar 
por ano onde uma unidade de massa solar (l ums = 2 0 x l03º 
kg) é a massa c o Sol 
. 52 (a) Sem é a massa de uma partícula pé o módulo io mo­
mento da partícula e K é a energia cinética la partícula mostre que 
(pc)2 - K" 
1 
= 2Kc2 
(b) Mostre que para baixas velocidades o lado direito dessa expres­
são se reduz a m. (e) Se a energia cinética de uma partícula é K =
55 0 Me V e o módulo io momento é p = 121 Me V /e, quanto vale a
razão mim,. entre a massa da partícula e a massa do elétron?
53 Um comprimido le aspirina tem uma massa le 320 mg. 
A energia correspondente a essa massa seria su ciente para fa­
zer um automóvel percorrer quantos quilômetros? Suponha que 
o automóvel faz 12,75 km/Le que o calor de combustão a gaso­
lina utilizada é 3,65 X 107 J/L
054 Determine os seguintes valores com quatro algarismos 
sign cativos para uma energia cinét ca de 10 00 Me V: (a) 'Y e (b) 
3 para um elétron (E0 = 0 510 998 Me V); (c) y e (d) 3 para um 
próton (E0 = 938 272 Me V); (e) 'Y e (f) 3 para uma partícula a
(E0 = 3727,40 Me V) 
. 55 Na Seção 28 6 mostramos que uma partícula de carga q
e massa 1 se move em uma circunferência de ra o r = mvllqlB
quando sua velocidad v é perpendicular a um campo magnético 
uni orme Ê. Vimos também que o período T io movimento é in­
dependente la velocila\e escalar v Os dois resultados são apro­
ximadamente corretos se v � e. No caso de velocidades relativís­
ticas devemos usar a equação correta para o raio: 
/J fr
rlV r=--=--
lqlB lqlR. 
(a) Usando essa equação e a de nição de período (T = 2w/v)
encontre a expressão correta para o período (b) O período T é
independente le v? Se um elétron e 0 0 Me V está s moven­
do em uma trajetória circular em um campo magnético uni orme
com um módulo d 2 20 T determine ( ) o raio da trajetória de
acordo com o modelo clássico do Capítulo 28 ( d) o raio correto,
(e) o período do movimento le acordo com o modelo clássico do
Capítulo 28 e ( ) o período correto.
56 A massa io múon é 207 vezes maior que a massa do elé­
tron e o tempo médio de viia le um múon em repouso é 2 20 ,s . 
Em um certo experimento múons que estão se movendo cm re­
lação a um laboratório têm um tempo le v da médio le 6 90 ,s.
Para esses múons determine o valor ( a) de 3; (b) de ( e ( ) de p
(em Me V/ ). 
 57 Um píon é criado em uma colisão de alta energia entre 
uma partícula dos raios cósmicos e uma partícula da parte supe
rior da atmosfera terrestre. 0 km acima do nível do mar. O píon possui u na energia total de 1 35 X 1 ; Me V e está e moven­do verticalmente para baixo. No referencial de repouso do píon o píon decai 35,0 ns após ser criado. m que altitude acima do nível do mar, do ponto de vista de um observador errestre, ocorre esse decaimento? A energia de repouso do píon é 9,6 Me V Aplique o teorema binomial (Apêndice ) ao lado es­querdo da q. 37-52, usada para calcular a energia cinética de uma partícula. (a) onserve os primeiros dois termos da expan­ão para mostrar que a energia cinética pode ser escrita na forma ap oximada K = (primeiro termo) + (segundo termo). O primeiro termo é a expressão clássica da energia cinética o se­gundo é a correção de primeira ordem da expressão clássica. Su­ponha que a partícula é um elétron. Se a velocidade do elét n é c 0, determine o valor (b) da expressão clássica e ( c) da correção de primeira ordem. Se a velocidade do elétron é 0, 0c, determi­ne o valor ( d) da expressão clássica e (e) da correção de primeira ordem. (f) Para que parâmetro de velocidade 3 a correção de pri­meira ordem é igual a 0º , do valor da expressão clássica . Uma partícula alfa com uma energia cinética de 7,70 Me V colide com um núcleo de 14N em repouso, e as duas partículas se transformam em um núcleo de 17 e um próton. O próton é emiti­do a 90° com a direção da partícula alfa incidente e tem uma ener­gia cinética le 4,4 Me V As massas das partículas envolvidas são as eguintes partícula alfa, 4,00260 u 14N, 1 ,00307 u próton, ,007 2 u 17 , 6,999 4 u. Determine, em megaelétrons-volts, (a) a energia cinética do núcleo de oxigênio e (b) o Q da reação. (Sugestüo: As velocidades das partículas são muito menores que e.) 
Problemas Adicionais 
60 Na ig. 3 -29a a partícula P se move pa alelamente aos ei­xos x e x' dos referenciais S e S' com uma certa velocidade em relação ao referencial S. O referencial S' se move paralelamente ao eixo x cio referencial S com velocidade v. A Fig. 37-29 mostra a velocidade' da partícula em relação ao referencial S' para O 
S v S 0, c.A escala do eixo vertical é definida por u;, = -0,800c. Determine o valor de ' (a) para v 0,80c e (b) para v - e. 
) ' Y['S'
•!' 
X x' 
(a) (b) 
FIG. 37-29 Problema 60. 
V 
 Jatos su.perluminais. A Fig. 37-30a mostra a trajetória de uma nuvem de gás ionizado expelida por uma galáxia. A nu­vem viaja com velocidade constante v cm uma direção que fazum ângulo e com a reta que liga a nuvem à Terra. A nuvem emite de tempos em tempos clarões luminosos, que são detectados na Ter a. A Fig. 37-30a mostra dois desses clarões, separados por um intervalo de tempo tem um referencial estacionário próximo dos clarões. Os clarões aparecem na Fig. 37-30b como imagens em um filme fotográfico. A distância aparente D,P percorrida pela nu-
Problema I 
vem entre os dois clarões é a projeção da traje ória da nuvem em uma perpendicular à reta que liga a nuvem à Ter a. O intervalo de tempo aparente TªP entre os dois eventos é a diferença entreos tempos de chegada dos raios luminosos associados aos dois clarões. A velocidade aparente da nuvem é, portanto, VªP = Da Tap· Quais são os valores de (a) 0P (b) Tap'I A resposta deve ser expressa em função de v, e e. (c) De ermine V,,r para v = 0,980ce = 30,0° . Quando os jatos superluminais (mais velozes q e a luz) foram descober os pareciam violar a teoria da relatividade restri a mas logo os as rônomos se deram conta de que podiam ser explicado pel geometria da ituação ( ig. 7- 0a) em ne­ces idade de supor que havia corpos se movendo mais depressa que a luz. 
,(
Trajetória da nm·en de gás ionizado r', y1arào 1
� '·"� - ·�
_ __ D,, .:::
�Raios� ',, 
luminosos na 
direção da Terra 
(a) 
t 
( 
Clarão 1 Clarão 2 
(b) 
FIG. 37,30 Problema 61. 
62 Distância temporal entre dois eventos. Os eventos A e Bocorrem nas seguintes coordenadas espaço-tempo ai; no refe­renciais da Fig. 7-26 no referencial S, (xA , IA) e (xB, 8) no re­ferencial S', (XÁ, ) e (xú, ). No referencial S, . = t1 - IA =1,00 µ,s e .x = xH - X, = 240 m (a) screva uma expressão para 
.t' em termos do parâmetro de velocidade 3 e dos dados io pro­blema. Faça um gráfico de . ' em função de 3 (b) para O 3 
0,01 e (c) para 0,1 S 3 1. (d) Para que valor de 3 o valor de M' é mínimo (e) Qual é esse valor mínimo (f) Um dos dois even os pode ser a causa do outro? J tifique sua respo ta. 
63 Distância espacial entre dois eventos. Os eventos A e B ocor­rem nas seguintes coordenadas espaço-temporais nos referenciais da Fig. 37-26 no referencial S, (x11 h) e (x8 , 1); no referencial S'.
(XÁ, ) e (x , r J). No referencial S, t = t8 - tA = ,00 µ s e .x =x11 - X;1 = 240 m. (a) screva uma expressão para�, cm termos do parâme ro de velocidade 3 e cios dado do problema. Faça um gráico de x' em função de 3 (b) para O 3 0,01 e ( c) para O, l 3 . ( d) Para que valor de 3 o valor de .x' é nulo 
64 A Fig. 37-20 mostra u na nave (cujo eferencial é S') pas­sando por um observador (c jo referencial é S) com velocidade 
Capítulo 37 1 e at v dade 
v = 0,950CÍ. Um próton é emitido com uma veloc dade de 0,980c 
ao longo da maior dimensão da nave, da proa para a popa. O com­
primento próprio da nave é 760 m. Determine a distância tempo­
ral entre o momento em que o próton f i emitido e o momento 
em que chegou à popa da nave (a) de acordo com um passageiro 
da nave e ( ) de acordo com um observador estacionário no re­
ferencial S. uponha que o percurso do próton, em vez de ser da 
proa para a popa, seja da popa para a proa. Nesse caso, qual é a 
distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido 
e o momento em que chegou à popa da nave (c) de acordo com 
um passa eiro da nave e (d) de acordo com um observador esta­
cionário no referencial S? 
65 O problema do carro na garagem. Mário acaba de comprar 
a maior imusine do mundo, com um comprimento próprio Lc = 
30,5 m. Na Fig. 37-31 o arro aparece parado em frente a uma 
garagem com um comprimento próprio L3 = 6,00 m. A garagem 
possui uma porta na rente (que aparece aberta na gura) e 
uma porta nos fundos (que aparece fechada). A limusine é ob­
v amente mais comprida que a garagem. Mesmo assim, Alfredo, 
que é o dono da garagem e con ece alguma coisa de mecânica 
relativística, aposta com Mário que é possível guardar a limu­
sine na garagem com as duas portas fechadas. Mário, que parou 
de estudar ísica na escola antes de chegar à teoria da relativi­
dade, a rma que isso é i possível, se am quais forem as circuns­
tâncias. 
Para analisar o plano de A fredo, suponha que um eixo le 
referência Xc seja instalado no carro, com x" = O no pára-choque 
traseiro, e que um eixo de referência x: seja instalado na garage , 
com Xg = O na porta dianteira. Em seguida, a l musine de Mário 
se aproxima da porta da frente la garagem a uma velocidade e 
0,9980c ( o que na prática, naturalmente, é impossível). Mário está 
em re ouso no referencial x,; Al redo está em repouso no refe­
rencial x:. 
Existem dois eventos a considerar. Evento 1: quando o pára­
choque traseiro passa pela porta da rente da garagem a porta é 
fechada. amos tomar o instante em que esse evento ocorre como 
sendo o instante inicial tanto para Mário como para Alfr do: 
t: 1 = t,, 1 = O.Esse evento ocorre no pon oxc = x.� = O.AFig.37-316 
mostra o evento 1 do ponto de vista de A fredo (referencial xg). 
Evento 2: quando o pára-choque dianteiro chega à porta dos un­
dos da garagem a porta é a erta. A ig. 37-31 e ostra o evento 2 
do ponto de vista de Al redo. 
De acordo com Alfredo, (a) qual é o comprimento da li r ­
s :? u s são s oo den d s ( ) x32 ( ) t:2 do eve t 2? ( ) 
(a) 
X t �21 +=��--x, o o 
1-
o o 
(0 (� 
FIG. 37-31 Problema 65. 
por quanto tempo a limusine permanece no interior da gar gem 
com as duas portas fechadas? 
Considere agora a situação do ponto de vista le Mário ( ef ­
rencial xc)· Nesse caso, é a garagem que passa pela limusine com 
uma veloc dade de -0,9980 . De acordo com Mário, (e) qua é o 
comprimento da limusine? Quais são as coordenadas (f) xa e (g) 
tc2 do evento 2? (h) A limusine chega a passar algum tempo no in­
terior da garagem com as duas portas fechadas? (i) Qual dos dois 
eventos acontece prime ro? ) Faça um esboço dos eventos 1 e 2 
do ponto le vista de Mário. ( ) Existe uma relação causal entre 
os dois eventos, ou se a, um dos eventos é a caus o outro? (1) 
Finalmente, quem ganhou a aposta? 
66 O referencial S' passa pelo referencial S com uma certa ve­
locidade, como na Fig. 37-9. Os eventos 1 e 2 estão separados por 
uma distância x', de acordo com um observador em repouso no 
referencial S'. A ig. 37-32 mostra a distância 6.x entre os dois 
eventos de acordo com um observador em repouso no referencial 
S em função de 1t', para O ; 1t' s 10. A escala do eixo vertica é 
de n da por x11 = 10,0 m. Qual é o valor e 1x'? 
,x" 
o 4 8 
,t' (ns) 
FIG. 37-32 Problema 66. 
67 Outra abordagem para as transformações de velocidades. 
Na Fig. 37-33 os referenciais B e C se movem em relação ao re­
ferencial A na direção comum dos e xos x. Podemos representar 
as componentes x das velocidades e um referencial em relação 
a outro através le um índic duplo. Assim, por exemplo, v AB é a 
componente x la velocidade de A em relação a B. Os parâmetros 
le velocidade podem ser re resentados la mesma forma: AB ( = 
v AB! ), por exe plo, é o parâmetro le velocidade correspondente 
a v AB· (a) Mostre ue 
3 31 + 3AC -. 1 + 3,1!3nc 
eja M\R a razão (1 - 3\B)!( + A8) e sejam MRc MAc razões 
análogas. (b) Mostre que a relação 
11c = M,1BMnc 
é verdadeira demonstrando a partir dessa relação a equação do 
item (a). 
- -
FIG. 37-33 Problemas 67, 68 e 69. 
68 Continuaçüo do Problema 67. Use o r sultado o item ( ) 
do Problema 67 para analisar o movimento ao longo de um único 
ixo na seguinte situação o referencial A da Fig. 37-33 é asso­
iado a uma partícula que se move com velocidade +0,500 em 
relação ao referencial , que se move em relação ao referen ial C 
om uma velocidade de +O. OO. Determine (a) o valor de MAc: 
(b) o valor de 31 (c) a velocidade da partícula em relação ao
referencial C.
69 Continuaçâu do Problema 67. Suponha que o referencial 
 da Fig. 37-33 está se movendo em relação a um observador D 
(que não aparece na figura). (a) Mostre que 
(b) Agora aplique esse resultado geral a um caso particular. Três
partículas se movem paralelamente a um único eixo no qual está
estacionado um observador. Os sinais positivo e negativo indicam
o sentido io movimento ao longo desse eixo. A partícula A se
move em relação à partícula B com um parâmetro le velocidade
31 8 +0,20.A partícula B se move em relação à partícula com
um parâm tro de velocidade 38c -0,40. A partícula C se move
em relação ao observador com um parâmetro de velocidade
3cn +0,60. Qual é a velocidade da partícula em relação ao
observador ? (Este método de resolv r o problema é muito
mais rápido que usar a Eq. 37-29.)
70 A energia total de um próton que está passando por um la­
oratório é 10,611 n . Qual é o valor do parâmetro de velocidade 
3' Use a massa do próton com nove algarismos significativos qu 
aparece no Apêndice . 
71 Se interceptamos um elétron com uma energia total de 
1533 Me V proveniente de ega. que ica a 26 anos-luz da Terra, 
qual foi a distância percorrida, m anos-luz, no referencial do 
elétron? 
72 m píon é criado na parte superior da atmosfera da Terra 
quando um raio cósmico colide com um núcleo atômico. O píon 
assim formado desce em direção à superfí ie da Terra com uma 
velocidade de 0,99 . m um referencial no qual estão cm repouso 
os píons decaem com uma vi a média de 26 ns. o referencial da 
Terra, que distância um píon percorre (em média) na atmosfera 
antes de decair 
73 Qual é o momento em Me V/ de um elétron com uma ener­
gia cinética de 2,00 Me V? 
74 etermine o parâmetro de velocidade le uma partícula que 
leva 2,0 anos a mais que a luz para percorrer uma distância de 6,0 
anos-luz. 
75 Qual é o trabalho necessário para acelerar um próton de 
uma velocidade d 0,9 50 para uma velocidade de 0, 60 ? 
76 m avião cujo comprimento em repouso é 40,0 m está se 
movendo com una velocidade de 630 m/s cm relação à Terra. 
(a) Qual é a razão entre o comprimento do avião do ponto de
vista de um observador terrestre e o comprimento próprio (b)
uanto tempo o relógio do avião leva para atrasar 1,00 ,s em
relação aos relógios terrestres? ( se nos cálculos a teoria da rela­
tividade restrita.)
77 ara girar cm volta da erra em uma órbita le baixa altitude 
um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 2,7 
104 km/h. Suponha que dois satélites nesse tipo le órbita girem 
em torno da Terra em sentidos opostos. (a) Qual é a velocidade 
relativa dos satélites ao se cruzarem, de acordo com a equação 
clássica le transformação de velo idades? (b) Qual é o erro rela­
tivo cometido no item (a) por não ser usada a equação relativís­
tica de transformação de velocidades? 
Problemas 
78 Um transmissor de radar está em repouso em um r feren­
cial S' que se move para a direita com velocidade vem relação o 
referencial (Fig. 37-34). m contador mecânico (que pode ser 
considerado um relógio) do referencial S', com um período •u (no 
referencial S'), faz com que o transmissor T emita pulsos de ra ar 
que se propagam com a velocidade ela luz e são recebidos por R. 
um receptor io referencial S. (a) Qual é o período T do contador 
do ponto de vista do observador A, que está em repouso no re­
ferencial S? (b) Mostre que no receptor R o intervalo de tempo 
entre os pulsos rece idos não é T nem o, mas 
ÊTN = To ---. C V 
(c) Explique por que o receptor R e o observador A, que estão
em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente
para o transmissor T. (Sugestão: m relógio e um pulso de radar
não são a mesma coisa.)
s 
(' 
\ 
\ 
S' 
T 
FIG. 37-34 roblema . 
V 
79 ma partícula de massa m tem uma velocidade /2 em rela­
ção ao referencial inercial S.A partícula colide com uma partícula 
igual em repouso no referencial S. Qual é a velocidade, em rela­
ção a , de um referencial S' no qual o momento total das duas 
partículas é zero? Este referencial é conhecido como referencial 
do centro de momento. 
80 ma partícula elementar produzida em um experimento de 
laboratório percorre 0,230 mm no interior io laboratório, com 
uma velocidade relativa le 0, 60 , antes de decair (transformar­
se em outra partícula). (a) Qual é o tempo le vida próprio da 
partícula? (b) Qual é a distância percorrida pela partícula no seu 
referencial le repouso? 
1 etermine o valor ( ) e , ( ) ele e (e) e p (em eV/ ) 
para um próton que está se movendo a uma velocidade de 0,990 . 
Determine (d) K, (e) E e (f) p (em Me V/e) para um elétron que 
está se movendo a uma velocidade de 0,990 . 
82 o desvio para o vermelho la luz le uma galáxia distante 
uma certa radiação, que tem um comprimento de onda de 434 nm 
quando é observada em laboratório, passa a ter um comprimento 
le onda de 462 nm. (a) Qual é a velocida e radial da galáxia em 
relação à Terra? (b) A galáxia está se aproximando ou se afas­
tando da Terra 
83 (a) Que diferença de potencial aceleraria um elétron até a 
velocidade e de acordo com a física clássica? (b) e um elétron 
for su metido a essa diferença de potencial, qual será sua veloci­
dade final? 
84 O raio da Tera é 6370 km e a velocidade orbital do planeta é 
30 km/s. Suponha que a Terra passe por um observador com essa 
velocidade. Qual é a redução io diâmetro da Terra na direção do 
movimento, do ponto de vista do observador? 
Capítulo 37 1 Relatividade
85 Uma cspaçonave em repouso em um certo referencial S
sofre um incremento de velocidade de 0,50c. Em seguida a nave 
sofre um incremento de 0,50c em relação ao novo referencial de 
repouso. O processo continua até que a velocidade da nave em 
relação ao referencial original S seja maior que 0,999c. Quantos 
incrementas são necessários para completar o processo? 
86 Um cruzador dos forons, que está em rota de colisão com 
um caça dos reptulianos, dispara um míssil na direção da outra 
nave. A velocidade do míssil é 0,980c em relação à nave dos rep­
tulianos, e a velocidade do cruzador dos forons é 0,900c. Qual é a 
velocidade do míssil em relac,;ãu au :ruzadur? 
87 Uma partícula proveniente do espaço sideral se aproxima 
da Terra ao longo do eixo de rotação do planeta com uma veloci­
dade de 0,80c, vinda do norte, e outra partícula se aproxima com 
uma velocidade de 0,60c, vinda do sul (Fig. 37-35). Qual é a velo­
cidade relativa de aproximação das partículas? 
88 (a) Qual é a energia liberada pela explosão de uma bomba 
de fissão contendo 3,0 kg de material [íssil? Suponha que 0,10% 
da massa do material físsil são convertidos em energia. (b) Que 
massa de TNT teria que ser usada para liberar a mesma quanti­
dade de energia? Suponha que um mo! de TNT libera 3,4 MI de 
energia ao explodir. A massa molecular do TNT é 0,227 kg/mol. 
(e) Para a mesma massa de explosivo, qual é a razão entre a ener­
gia liberada cm uma explosão nuclear e a energia liberada em
uma explosão de TNT?
J:º' Pólo norte . l_geográfico 
geogrMico 
Pólo sul i
0,60c 
FIG. 37-35 Problema 87. 
 
2. (a) We find β from γ β= −1 1 2/ : 
 
( )221 11 1 0.14037076.1.0100000β γ= − = − = 
 
(b) Similarly, ( ) 21 10.000000 0.99498744.β −= − = 
 
(c) In this case, ( ) 21 100.00000 0.99995000.β −= − = 
 
(d) The result is ( ) 21 1000.0000 0.99999950.β −= − = 
 
3. In the laboratory, it travels a distance d = 0.00105 m = vt, where v = 0.992c and t is the 
time measured on the laboratory clocks. We can use Eq. 37-7 to relate t to the proper 
lifetime of the particle t0: 
 
( )
2
20
02
 1 1 0.992
0.9921 /
t v d
t t t
c cv c
⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠− 
 
which yields t0 = 4.46 × 10–13 s = 0.446 ps. 
 
4. From the value of ∆t in the graph when β = 0, we infer than ∆to in Eq. 37-9 is 8.0 s. 
Thus, that equation (which describes the curve in Fig. 37-23) becomes 
 
0
2 2
8.0 s
1 ( / ) 1
t
t
v c β
∆∆ = =− − . 
 
If we set β =0.98 in this expression, we obtain approximately 40 s for ∆t. 
 
5. We solve the time dilation equation for the time elapsed (as measured by Earth 
observers): 
∆ ∆t t= −
0
21 0 9990( . )
 
 
where ∆t0 = 120 y. This yields ∆t = 2684 y 32.68 10 y.≈ × 
 
6. Due to the time-dilation effect, the time between initial and final ages for the daughter 
is longer than the four years experienced by her father: 
 
tf daughter – ti daughter = γ(4.000 y) 
 
where γ is Lorentz factor (Eq. 37-8). Letting T denote the age of the father, then the 
conditions of the problem require 
 
Ti = ti daughter + 20.00 y , Tf = tf daughter – 20.00 y . 
 
Since Tf − Ti = 4.000 y, then these three equations combine to give a single condition 
from which γ can be determined (and consequently v): 
 
44 = 4γ ⇒ γ = 11 ⇒ β = 2 3011 = 0.9959. 
 
should be admitted that this is a fairly subtle question which has occasionally precipitated 
debates among professional physicists. 
 
7. (a) The round-trip (discounting the time needed to “turn around”) should be one year 
according to the clock you are carrying (this is your proper time interval ∆t0) and 1000 
years according to the clocks on Earth which measure ∆t. We solve Eq. 37-7 for β : 
 
22
0 1y1 1 0.99999950.
1000y
t
t
β ⎛ ⎞∆⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
(b) The equations do not show a dependence on acceleration (or on the direction of the 
velocity vector), which suggests that a circular journey (with its constant magnitude 
centripetal acceleration) would give the same result (if the speed is the same) as the one 
described in the problem. A more careful argument can be given to support this, but it 
 
8. Only the “component” of the length in the x direction contracts, so its y component 
stays 
sin30 (1.0 m)(0.50) 0.50my y′ = = ° = = 
 
while its x component becomes 
 
2 21 (1.0 m)(cos30 ) 1 (0.90) 0.38m.x x β′ = − = ° − = 
 
Therefore, using the Pythagorean theorem, the length measured from S' is 
 
( ) ( )22 2 2(0.38 m) (0.50 m) 0.63m.x y′ ′ ′= + = + = 
 
9. The length L of the rod, as measured in a frame in which it is moving with speed v 
parallel to its length, is related to its rest length L0 by L = L0/γ, where γ β= −1 1 2/ and 
β = v/c. Since γ must be greater than 1, L is less than L0. For this problem, L0 = 1.70 m 
and β = 0.630, so 
( ) ( )220 1 1.70m 1 0.630 1.32m.L L β= − = − = 
 
10. The contracted length of the tube would be 
 ( )2 20 1 3.00m 1 (0.999987) 0.0153m.L L β= − = − = 
 
11. (a) The rest length L0 = 130 m of the spaceship and its length L as measured by the 
timing station are related by Eq. 37-13. Therefore, 
 
( ) ( )220 1 ( / ) 130m 1 0.740 87.4m.L L v c= − = − = 
 
(b) The time interval for the passage of the spaceship is 
 
∆t L
v
= = × = ×
−87 4
300 10
394 10
8
7.
.
.
m
0.740 m / s
s.b gc h
 
If we set β = 0.95 in this expression, we obtain approximately 0.25 m for L. 
 
12. From the value of L in the graph when β = 0, we infer that Lo in Eq. 37-13 is 0.80 m. 
Thus, that equation (which describes the curve in Fig. 37-24) with SI units understood 
becomes 
 ( )2 20 1 ( / ) 0.80m 1L L v c β= − = − . 
 
 
13. (a) Let d = 23000 ly = 23000 c y, which would give the distance in meters if we 
included a conversion factor for years → seconds. With ∆t0 = 30 y and ∆t = d/v (see Eq. 
37-10), we wish to solve for v from Eq. 37-7. Our first step is as follows: 
 
0
2 2
23000 y 30 y
 ,
1 1
td
t
v ββ β
∆∆ = = ⇒ =− − 
 
at which point we can cancel the unit year and manipulate the equation to solve for the 
speed parameter β. This yields 
 
( )2
1
0.99999915.
1 30 / 23000
β = =+ 
 
(b) The Lorentz factor is 21/ 1 766.6680752γ β= − = . Thus, the length of the galaxy 
measured in the traveler’s frame is 
 
0 23000 ly 29.99999 ly 30 ly.
766.6680752
L
L γ= = = ≈ 
 
14. (a) We solve Eq. 37-13 for v and then plug in: 
 
2 2
0
1
1 1 0.866.
2
L
L
β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
 (b) The Lorentz factor in this case is ( )2
1
2.00
1 /v c
γ = =− . 
 
2 2
1 1
7.09.
1 1 (0.99)
γ β= = =− − 
 
Thus, ∆t0 = (26.26 y)/(7.09) = 3.705 y. 
 
15. (a) The speed of the traveler is v = 0.99c, which may be equivalently expressed as 
0.99 ly/y. Let d be the distance traveled. Then, the time for the trip as measured in the 
frame of Earth is ∆t = d/v = (26 ly)/(0.99 ly/y) = 26.26 y. 
 
(b) The signal, presumed to be a radio wave, travels with speed c and so takes 26.0 y to 
reach Earth. The total time elapsed, in the frame of Earth, is 
 
26.26 y + 26.0 y = 52.26 y . 
 
(c) The proper time interval is measured by a clock in the spaceship, so ∆t0 = ∆t/γ. Now 
 
 
16. The “coincidence” of x = x' = 0 at t = t' = 0 is important for Eq. 37-21 to apply 
without additional terms. We label the event coordinates with subscripts: (x1, t1) = (0, 0) 
and (x2, t2) = (3000 m, 4.0 × 10–6 s). 
 
(a) We expect (x'1, t'1) = (0, 0), and this may be verified using Eq. 37-21. 
 
(b) We now compute (x'2, t'2), assuming v = +0.60c = +1.799 × 108 m/s (the sign of v is 
not made clear in the problem statement, but the Figure referred to, Fig. 37-9, shows the 
motion in the positive x direction). 
 
8 6
3
2 2 2
6 8
6
2 2 2
3000 m (1.799 10 m/s)(4.0 10 s)
2.85 10 m
1 1 (0.60)
4.0 10 s (0.60)(3000 m) /(2.998 10 m/s)
2.5 10 s
1 1 (0.60)
x vt
x
t x c
t
β
β
β
−
− −
− − × ×′ = = = ×− −
− × − ×′ = = = − ×− −
 
 
(c) The two events in frame S occur in the order: first 1, then 2. However, in frame S' 
where 2 0t′ < , they occur in the reverse order: first 2, then 1. So the two observers see the 
two events in the reverse sequence. 
 
We note that the distances x2 – x1 and 2 1x x′ ′− are larger than how far light can travel 
during the respective times 2 1 2 1( ( ) 1.2 km and | | 750m)c t t c t t′ ′− = − ≈ , so that no 
inconsistencies arise as a result of the order reversal (that is, no signal from event 1 could 
arrive at event 2 or vice versa). 
Similarly, let tb be the time and xb be the coordinate of the big flash, as measured in frame 
S. Then, the time of the big flash, as measured in frame S', is 
 
.bb b
x
t t
c
β⎛ ⎞′ = γ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Subtracting the second Lorentz transformation equation from the first and recognizing 
that ts = tb (since the flashes are simultaneous in S), we find 
 
3
5
8
( ) (1.0328)(0.250)(30 10 m)
' 2.58 10 s
3.00 10 m/s
s bx xt
c
γβ −− ×∆ = = = ×× 
where ' ' 'b st t t∆ = − . 
 
(b) Since ∆t' is negative, tb' is greater than ts' . The small flash occurs first in S'. 
 
17. (a) We take the flashbulbs to be at rest in frame S, and let frame S' be the rest frame of 
the second observer. Clocks in neither frame measure the proper time interval between 
the flashes, so the full Lorentz transformation (Eq. 37-21) must be used. Let ts be the time 
and xs be the coordinate of the small flash, as measured in frame S. Then, the time of the 
small flash, as measured in frame S', is 
 
s
s s
x
t t
c
β⎛ ⎞′ = γ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
where β = v/c = 0.250 and 
 
γ = − = − =1 1 1 1 0 250 103282 2/ / ( . ) .β . 
 
 
 
(d) Similarly, 
 ( )( )
( )
8 8
2 2
2.50s 0.400 3.00 10 m / 2.998 10 m/s
3.16s.
1 0.400
vx
t t
c
γ + × ×⎛ ⎞′ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − 
 
18. The “coincidence” of x = x' = 0 at t = t' = 0 is important for Eq. 37-21 to apply 
without additional terms. In part (a), we apply these equations directly with 
 
v = +0.400c = 1.199 × 108 m/s, 
 
and in part (c) we simply change v v→ − and recalculate the primed values. 
 
(a) The position coordinate measured in the S' frame is 
 
( ) ( )( )( )
8 8
5
2 2
3.00 10 m 1.199 10 m/s 2.50s
2.7 10 m 0,
1 1 0.400
x vt
x x vtγ β
× − ×−′ = − = = = × ≈− − 
 
where we conclude that the numerical result (2.7 × 105 m or 2.3 × 105 m depending on 
how precise a value of v is used) is not meaningful (in the significant figures sense) and 
should be set equal to zero (that is, it is “consistent with zero” in view of the statistical 
uncertainties involved). 
 
(b) The timecoordinate measured in the S' frame is 
 ( )( )
( )
8 8
2 2 2
2.50s 0.400 3.00 10 m / 2.998 10 m/s/
2.29s.
1 1 0.400
vx t x c
t t
c
βγ β
− × ×−⎛ ⎞′ = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − − 
 
(c) Now, we obtain 
 ( )( )
( )
8 8
8
2 2
3.00 10 m 1.199 10 m/s 2.50 s
6.54 10 m.
1 1 0.400
x vt
x β
× + ×+′ = = = ×− − 
 
19. The proper time is not measured by clocks in either frame S or frame S' since a single 
clock at rest in either frame cannot be present at the origin and at the event. The full 
Lorentz transformation must be used: 
 
' ( ) and ' ( / )x x vt t t x cγ γ β= − = − 
 
where β = v/c = 0.950 and 
 
γ β= − = − =1 1 1 1 0 950 3202562 2/ ( . ) . . 
Thus, 
 ( )3 8 6
5
' ( ) (3.20256) 100 10 m (0.950)(2.998 10 m/s)(200 10 s)
1.38 10 m 138km.
x x vtγ −= − = × − × ×
= × = 
 
(b) The temporal coordinate in S’ is 
 
3
6
8
4
(0.950)(100 10 m)
' ( / ) (3.20256) 200 10 s
2.998 10 m/s
3.74 10 s 374 s .
t t x cγ β
µ
−
−
⎡ ⎤×= − = × −⎢ ⎥×⎣ ⎦
= − × = −
 
 
(e) Eq. 2′ in Table 37-2 gives 
 ( ) ( )22 1
9 8
/ /
(2.00) 40.0 10 s (0.866)(20.0 m) /(2.998 10 m/s)
35.5 ns .
t t t t v x c t x cγ γ β
−
′ ′ ′∆ = − = ∆ − ∆ = ∆ − ∆
⎡ ⎤= × − ×⎣ ⎦
= −
 
 
In absolute value, the two events are separated by 35.5 ns. 
 
(f) The negative sign obtained in part (e) implies event 2 occurred before event 1. 
 
20. The time-dilation information in the problem (particularly, the 15 s on “his 
wristwatch… which takes 30.0 s according to you”) reveals Lorentz factor is γ = 2.00 
(see Eq. 37-9), which implies his speed is v = 0.866c. 
 
(a) With γ = 2.00, Eq. 37-13 implies the contracted length is 0.500 m. 
 
(b) There is no contraction along direction perpendicular to the direction of motion (or 
“boost” direction), so meter stick 2 still measures 1.00 m long. 
 
(c) As in part (b), the answer is 1.00 m. 
 
(d) Eq. 1′ in Table 37-2 gives 
 ( ) 8 92 1 (2.00) 20.0 m (0.866)(2.998 10 m/s)(40.0 10 s)
19.2 m
x x x x v tγ −′ ′ ′ ⎡ ⎤∆ = − = ∆ − ∆ = − × ×⎣ ⎦
= 
 
21. (a) The Lorentz factor is 
 
γ = − = − =
1
1
1
1 0 600
125
2 2β ( . ) . . 
 
(b) In the unprimed frame, the time for the clock to travel from the origin to x = 180 m is 
 
t
x
v
= = × = × −
180
100 106
m
(0.600)(3.00 10 m / s)
s .8 . 
 
The proper time interval between the two events (at the origin and at x = 180 m) is 
measured by the clock itself. The reading on the clock at the beginning of the interval is 
zero, so the reading at the end is 
 
t
t
'
.
.
.= = × = ×− −γ
100 10
125
8 00 10
6
7s s . 
 
22. From Eq. 2 in Table 37-2, we have 
 
∆t = v γ ∆x′/c² + γ ∆t′. 
 
The coefficient of ∆x′ is the slope (4.0 µs/400 m) of the graph, and the last term 
involving ∆t′ is the “y-intercept” of the graph. From the first observation, we can solve 
for β = v/c = 0.949 and consequently γ = 3.16. Then, from the second observation, we 
find 
6
72.00 10 s' 6.3 10 s .
3.16
t
t γ
− −∆ ×∆ = = = × 
 
∆x = x2 – x1 = –720 m. 
 
If we set ∆x' = 0 in Eq. 37-25, we find 
 
0 720 500 106= − = − − × −γ γ( ) ( .∆ ∆x v t vm s)c h 
 
which yields v = –1.44 × 108 m/s, or / 0.480v cβ = = . 
 
(b) The negative sign in part (a) implies that frame S' must be moving in the –x direction. 
 
(c) Eq. 37-28 leads to 
 
∆ ∆ ∆t t v x
c
' .
( .
( .
= −FHG IKJ = × −
− × −
×
F
HG
I
KJ
−γ γ2 6
8
8500 10
144 10
2 998 10
s
m / s)( 720m)
m / s)2
 
 
which turns out to be positive (regardless of the specific value of γ). Thus, the order of 
the flashes is the same in the S' frame as it is in the S frame (where ∆t is also positive). 
Thus, the big flash occurs first, and the small flash occurs later. 
 
(d) Finishing the computation begun in part (c), we obtain 
 
6 8 8 2
6
2
5.00 10 s ( 1.44 10 m/s)( 720m)/(2.998 10 m/s)
' 4.39 10 s .
1 0.480
t
− −× − − × − ×∆ = = ×− 
 
23. (a) In frame S, our coordinates are such that x1 = +1200 m for the big flash, and x2 = 
1200 – 720 = 480 m for the small flash (which occurred later). Thus, 
 
 
24. We wish to adjust ∆t so that 
 ( )0 ' ( 720m )x x v t v tγ γ= ∆ = ∆ − ∆ = − − ∆ 
 
in the limiting case of | |v c→ . Thus, 
 
6
8
720m
2.40 10 s .
2.998 10 m/s
x x
t
v c
−∆ ∆∆ = = = = ×× 
 
 
 
Note the limits of the vertical axis are +2 µs and –2 µs. We note how “flat” the curve is 
in this graph; the reason is that for low values of β, Bullwinkle’s measure of the temporal 
separation between the two events is approximately our measure, namely +1.0 µs. There 
are no non-intuitive relativistic effects in this case. 
 
(c) A plot of ∆t′ as a function of β in the range 0.1 1β< < is shown below: 
 
 
 
25. (a) Using Eq. 2′ of Table 37-2, we have 
 
6
2 8
(400m)
' 1.00 10 s
2.998 10 m/s
v x x
t t t
c c
β β−⎛ ⎞∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = γ ∆ − = γ ∆ − = γ × −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
where the Lorentz factor is itself a function of β (see Eq. 37-8). 
 
(b) A plot of ∆t′ as a function of β in the range 0 0.01β< < is shown below: 
 
(as the speed approaches that of light) becomes progressively more negative. For the 
lower speeds with ∆t′ > 0 ⇒ tA′ < tB′ ⇒ 0 0.750β< < , 
 
according to Bullwinkle event A occurs before event B just as we observe. 
 
(f) For the higher speeds with 
 ∆t′ < 0 ⇒ tA′ > tB′ ⇒ 0.750 1β< < , 
 
according to Bullwinkle event B occurs before event A (the opposite of what we observe). 
 
(g) No, event A cannot cause event B or vice versa. We note that 
 ∆x/∆t = (400 m)/(1.00 µs) = 4.00 ×108 m/s > c. 
 
A signal cannot travel from event A to event B without exceeding c, so causal influences 
cannot originate at A and thus affect what happens at B, or vice versa. 
 
(d) Setting 
6
8
(400m)
' 1.00 10 s 0
2.998 10 m/s
x
t t
c
β β−⎛ ⎞∆⎛ ⎞∆ = γ ∆ − = γ × − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 
 
leads to 
8 6(2.998 10 m/s)(1.00 10 s)
0.7495 0.750
400m
c t
x
β −∆ × ×= = = ≈∆ . 
 
(e) For the graph shown in part (c), that as we increase the speed, the temporal separation 
according to Bullwinkle is positive for the lower values and then goes to zero and finally 
 
26. (a) From Table 37-2, we find 
 ( ) ( )
2
[400 m (1.00 s)]
400 m (299.8 m)
1
x x v t x c t cγ γ β γ β µ
β
β
′∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ = −
−= −
 
 
(b) A plot of 'x∆ as a function of β with 0 0.01β< < is shown below: 
 
 
 
(c) A plot of 'x∆ as a function of β with 0.1 1β< < is shown below: 
 
 
 
(d) To find the minimum, we can take a derivative of ∆x′ with respect to β, simplify, and 
then set equal to zero: 
 
2 3/ 22
0
(1 )1
d x d x c t x c t
d d
β β
β β ββ
⎛ ⎞′∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ −−⎝ ⎠
 
8 6(2.998 10 m/s)(1.00 10 s)
0.7495 0.750
400 m
c t
x
β −∆ × ×= = = ≈∆ 
 
(e) Substituting this value of β into the part (a) expression yields ∆x′ = 264.8 m 
265 m≈ for its minimum value. 
This yields 
 
27. (a) One thing Einstein’s relativity has in common with the more familiar (Galilean) 
relativity is the reciprocity of relative velocity. If Joe sees Fred moving at 20 m/s 
eastward away from him (Joe), then Fred should see Joe moving at 20 m/s westward 
away from him (Fred). Similarly, if we see Galaxy A moving away from us at 0.35c then 
an observer in Galaxy A should see our galaxy move away from him at 0.35c, or 0.35 in 
multiple of c. 
 
(b) We take the positive axis to be in the direction of motion of Galaxy A, as seen by us. 
Using the notation of Eq. 37-29, the problem indicates v = +0.35c (velocity of Galaxy A 
relative to Earth) and u = –0.35c (velocity of Galaxy B relative to Earth). We solve for 
the velocity of B relative to A: 
 
2
' / / ( 0.35) 0.35
0.62
1 / 1 ( 0.35)(0.35)
u u c v c
c uv c
− − −= = = −− − − , 
or | '/ | 0.62.u c = 
 
2
' / / 0.8 0.4
0.588
1 / 1 (0.8)(0.4)
u u c v c
c uv c
− −= = =− − 
 
in a direction away from Earth. 
 
28. Using the notation of Eq. 37-29 and taking “away” (from us) as the positive direction, 
the problem indicates v = +0.4c and u = +0.8c (with 3 significant figures understood). We 
solve for the velocity of Q2 relative to Q1 (in multiple of c): 
 
 
29. We assume S' is movingin the +x direction. With u' = +0.40c and v = +0.60c, Eq. 37-
29 yields 
u
u v
u v c
c c
c c c
c= ++ =
+
+ + =
'
' /
. .
( . )( . ) /
. .
1
0 40 0 60
1 0 40 0 60
0812 2 
 
30. (a) We use Eq. 37-29: 
 
v
v u
uv c
c c
c= ++ =
+
+ =
'
'/
. .
( . )( . )
. ,
1
0 47 0 62
1 0 47 0 62
0842 
 
in the direction of increasing x (since v > 0). In unit-vector notation, we have 
ˆ(0.84 )iv c= . 
 
(b) The classical theory predicts that v = 0.47c + 0.62c = 1.1c, or ˆ(1.1 )iv c= 
 
(c) Now v' = –0.47c î so 
 
v
v u
uv c
c c
c= ++ =
− +
+ − =
'
'/
. .
( . )( . )
. ,
1
0 47 0 62
1 047 062
0 212 
or ˆ(0.21 )iv c= 
 
(d) By contrast, the classical prediction is v = 0.62c – 0.47c = 0.15c, or ˆ(0.15 )iv c= 
 
(b) In the armada’s rest frame (called Sa), the velocity of the messenger is 
 
v
v v
vv c
c c
c c c
ca
a
'
/
. .
( . )( . ) /
. .= −− =
−
− =1
0 95 080
1 0 95 080
0 6252 2 
 
Now, the length of the trip is 
 
0 1.0 ly' 1.60 y .
' 0.625
L
t
v c
= = = 
 
(c) Measured in system S, the length of the armada is 
 
L
L= = − =0 210 1 080 0 60γ . ( . ) . ,ly ly 
 
so the length of the trip is 
 
0.60 ly
4.00 y .
0.95 0.80m a
L
t
v v c c
= = =− − 
 
31. (a) In the messenger’s rest system (called Sm), the velocity of the armada is 
 
v
v v
vv c
c c
c c c
cm
m
'
/
. .
( . )( . ) /
. .= −− =
−
− = −1
080 0 95
1 080 0 95
0 6252 2 
 
The length of the armada as measured in Sm is 
 
20
1 (1.0 ly) 1 ( 0.625) 0.781 ly .
L
L
vγ= = − − =′ 
 
Thus, the length of the trip is 
 
t
L
v
'
'
| '|
.
.= = =0 781 125ly
0.625c
y . 
 
32. The Figure shows that u′ = 0.80c when v = 0. We therefore infer (using the notation 
of Eq. 37-29) that u = 0.80c. Now, u is a fixed value and v is variable, so u′ as a function 
of v is given by 
2
0.80
'
1 / 1 (0.80) /
u v c v
u
uv c v c
− −= =− − 
 
which is Eq. 37-29 rearranged so that u′ is isolated on the left-hand side. We use this 
expression to answer parts (a) and (b). 
 
(a) Substituting v = 0.90c in the expression above leads to u′ = − 0.357c ≈ − 0.36c. 
 
(b) Substituting v = c in the expression above leads to u′ = −c (regardless of the value of 
u). 
 
 
∆t d
u
= = × = × −' . .
350
2 94 10
12 108
6m
m / s
s . 
 
33. Using the notation of Eq. 37-29 and taking the micrometeorite motion as the positive 
direction, the problem indicates v = –0.82c (spaceship velocity) and u = +0.82c 
(micrometeorite velocity). We solve for the velocity of the micrometeorite relative to the 
spaceship: 
u
u v
uv c
c c
c'
/
. ( . )
( . )( . )
.= −− =
− −
− − =1
082 082
1 082 082
0 982 
 
or 2.94 × 108 m/s. Using Eq. 37-10, we conclude that observers on the ship measure a 
transit time for the micrometeorite (as it passes along the length of the ship) equal to 
 
34. (a) Eq. 37-36 leads to a speed of 
 
8 6 6(0.004)(3.0 10 m/s) 1.2 10 m/s 1 10 m/s.v c
∆λ= = × = × ≈ ×λ 
 
(b) The galaxy is receding. 
 
35. We obtain 
620 nm 540 nm
0.13 .
620 nm
v c c c
∆λ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟λ ⎝ ⎠ 
 
36. (a) Eq. 37-36 leads to 
 
8 612.00nm(2.998 10 m/s) 7.000 10 m/s.
513.0nm
v c
∆λ= = × = ×λ 
 
(b) The line is shifted to a larger wavelength, which means shorter frequency. Recalling 
Eq. 37-31 and the discussion that follows it, this means galaxy NGC is moving away 
from Earth. 
 
37. The spaceship is moving away from Earth, so the frequency received is given directly 
by Eq. 37-31. Thus, 
 
f f= −+ =
−
+ =0
1
1
100
0 9000
1 0 9000
22 9
β
β (
.
.
.MHz)
1
MHz . 
 
38. We use the transverse Doppler shift formula, Eq. 37-37: f f= −0 21 β , or 
 
1 1
1 2λ λ0= − β . 
We solve forλ − λ0 : 
 
λ − λ λ0 0 2 211 1 589 00
1
1 0100
1 297= − −
F
HG
I
KJ
= − −
L
N
M
M
O
Q
P
P
= +β ( . ( . ) . .mm) nm 
0
1 1 0.20
 
1 1 0.20
c c
f f
β
β 0
− −= ⇒ =+ λ λ + 
which implies 
λ = (450 nm) 1+ 0.20
1
nm .− =0 20 550. 
 
(b) This is in the yellow portion of the visible spectrum. 
 
39. (a) The frequency received is given by 
 
 
40. From Eq. 28-37, we have 
 [ ]2 23(4.00151u) 11.99671u (0.00782u)(931.5MeV/u)
7.28Mev.
Q Mc c= −∆ = − − = −
= − 
 
Thus, it takes a minimum of 7.28 MeV supplied to the system to cause this reaction. We 
note that the masses given in this problem are strictly for the nuclei involved; they are not 
the “atomic” masses that are quoted in several of the other problems in this chapter. 
 
41. (a) The work-kinetic energy theorem applies as well to relativistic physics as to 
Newtonian; the only difference is the specific formula for kinetic energy. Thus, we use W 
= ∆K where K = mec2(γ – 1) (Eq. 37-52), and mec2 = 511 keV = 0.511 MeV (Table 37-3). 
Noting that ∆K = mec2(γf – γi), 
we obtain 
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1 1
511keV
1 1 1 0.19 1 0.18
0.996 keV 1.0 keV.
e
f i
W K mc β β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∆ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ≈
 
 
(b) Similarly, 
 
( ) ( ) ( )2 2
1 1
511keV 1055keV 1.1 MeV.
1 0.99 1 0.98
W
⎛ ⎞= − = ≈⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
 
 
We see the dramatic increase in difficulty in trying to accelerate a particle when its initial 
speed is very close to the speed of light. 
 
Q M c= − = − − =∆ 2 0 008712 9315 812. . .u MeV / u MeV.b gb g 
 
42. The mass change is 
 
∆M = − = −4 002603 1007825 0 008712. . .u +15.994915u u +18.998405u u.b g b g 
 
Using Eq. 37-50 and Eq. 37-46, this leads to 
 
 
43. (a) From Eq. 37-52, γ = (K/mc2) + 1, and from Eq. 37-8, the speed parameter is 
β γ= −1 1 2/ .b g Table 37-3 gives mec2 = 511 keV = 0.511 MeV, so the Lorentz factor is 
 
100MeV
1 196.695.
0.511MeV
γ = + = 
(b) The speed parameter is 
 
( )211 0.999987.196.695β = − = 
 
Thus, the speed of the electron is 0.999987c, or 99.9987% of the speed of light. 
 
44. (a) The work-kinetic energy theorem applies as well to Einsteinian physics as to 
Newtonian; the only difference is the specific formula for kinetic energy. Thus, we use 
Eq. 37-52 
W = ∆K = mec2(γ – 1) 
 
and mec
2 = 511 keV = 0.511 MeV (Table 37-3), and obtain 
 
2
2 2
1 1
1 (511keV) 1 79.1 keV .
1 1 (0.500)
eW m c β
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎣ ⎦
 
 
(b) W = − −
F
HG
I
KJ
=0511 1
1 0 990
1 311
2
.
.
.MeV MeV.b g
b g
 
 
(c) W = − −
F
HG
I
KJ
=0511 1
1 0 990
1 10 9
2
.
.
.MeV MeV.b g
b g
 
 
45. We set Eq. 37-55 equal to (3.00mc2)2, as required by the problem, and solve for the 
speed. Thus, 
( ) ( ) ( )2 22 2 29.00pc mc mc+ = 
 
leads to 8 2.83 .p mc mc= ≈ 
 
we obtain 
 
2
1.0000000keV
1 1 1.00195695 1.0019570.
510.9989keVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(b) Therefore, the speed parameter is 
 
2 2
1 1
1 1 0.062469542.
(1.0019570)
β γ= − = − = 
 
(c) For 1.0000000 MeVK = , we have 
 
2
1.0000000MeV
1 1 2.956951375 2.9569514.
0.5109989MeVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(d) The corresponding speed parameter is 
 
21 0.941079236 0.94107924.β γ −= − = ≈ 
 
(e) For K = 1.0000000 GeV, we have 
 
2
1000.0000MeV
1 1 1957.951375 1957.9514.
0.5109989MeVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(f) The corresponding speed parameter is 
 
21 0.99999987β γ −= − = 
 γ
 
46. (a) Using K = mec
2 (γ – 1) (Eq. 37-52) and 
 
mec
2 = 510.9989 keV = 0.5109989 MeV, 
 
v c c= − FHG
I
KJ =1
1
0 99994
2
γ . . 
 
Therefore, in our reference frame the time elapsed is 
 
 100
8
0.21 m
7.01 10 s
(0.99994)(2.998 10 m/s)
L
t
v
−∆ = = = ×× . 
 
(c) The time dilation formula (Eq. 37-7) leads to 
 
10
0 7.01 10 st tγ −∆ = ∆ = × 
 
Therefore, according to the proton, the trip took 
 ∆t0 = 2.22 × 10–3/0.99994c = 7.40 × 10–12 s. 
 
47. (a) The strategy is to find the γ factor from E = 14.24 × 10–9 J and mpc2 = 1.5033 × 
10–10 J and from that find the contracted length. From the energy relation (Eq. 37-48), we 
obtain 
9
2 10
14.24 10 J
94.73.
1.5033 10 Jp
E
m c
γ −−×= = =× 
 
Consequently, Eq. 37-13 yields 
 
30 21 cm 0.222 cm 2.22 10 m.
94.73
L
L γ −= = = = × 
 
(b) From the γ factor, we find the speed: 
 
 
48. (a) From the information in the problem,we see that each kilogram of TNT releases 
(3.40 × 106 J/mol)/(0.227 kg/mol) = 1.50 × 107 J. Thus, 
 
(1.80 × 1014 J)/(1.50 × 107 J/kg) = 1.20 × 107 kg 
 
of TNT are needed. This is equivalent to a weight of ≈ 1.2 × 108 N. 
 
(b) This is certainly more than can be carried in a backpack. Presumably, a train would 
be required. 
 
(c) We have 0.00080mc2 = 1.80 × 1014 J, and find m = 2.50 kg of fissionable material is 
needed. This is equivalent to a weight of about 25 N, or 5.5 pounds. 
 
(d) This can be carried in a backpack. 
(c) The kinetic energy is 
 ( ) ( )2 2 2 01 2 1 0.414 0.414 .K mc mc mc E= γ − = − = = 
 
which implies 0/ 0.414K E = . 
 
49. (a) We set Eq. 37-41 equal to mc, as required by the problem, and solve for the speed. 
Thus, 
mv
v c
mc
1 2 2− =/ 
 
leads to 1/ 2 0.707.β = = 
 
(b) Substituting 1/ 2β = into the definition of γ, we obtain 
 
γ = − = − = ≈
1
1
1
1 1 2
2 141
2 2v c/ /
. .
b g
 
 
 
50. (a) We set Eq. 37-52 equal to 2mc2, as required by the problem, and solve for the 
speed. Thus, 
2 2
2
1
1 2
1
mc mcβ
⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
leads to 2 2 / 3 0.943.β = ≈ 
 
(b) We now set Eq. 37-48 equal to 2mc2 and solve for the speed. In this case, 
 
2
2
2
2
1
mc
mcβ =− 
leads to 3 / 2 0.866.β = ≈ 
 
51. Since the rest energy E0 and the mass m of the quasar are related by E0 = mc
2, the rate 
P of energy radiation and the rate of mass loss are related by 
 
P = dE0/dt = (dm/dt)c
2. 
Thus, 
dm
dt
P
c
= = ×× = ×2
41
8 2
241 10
2 998 10
111 10
W
m / s
kg / s.
.
.
c h
 
 
Since a solar mass is 2.0 × 1030 kg and a year is 3.156 × 107 s, 
 
dm
dt
= × ××
F
HG
I
KJ ≈111 10
3156 10
2 0 10
1824
7
30
.
.
.
kg / s
s / y
kg / smu
smu / y.c h 
 
 
(b) At low speeds, the pre-Einsteinian expressions p = mv and K mv= 12 2 apply. We note 
that pc K>> at low speeds since c v>> in this regime. Thus, 
 
m
mvc mv
mv c
mvc
mv c
m→ − ≈ =b g c h
c h
b g
c h
2 1
2
2 2
1
2
2 2
2
1
2
2 22 2
. 
 
(c) Here, pc = 121 MeV, so 
 
m
c
= − =121 55
2 55
1056
2 2
2b g . .MeV / c
2 
 
Now, the mass of the electron (see Table 37-3) is me = 0.511 MeV/c
2, so our result is 
roughly 207 times bigger than an electron mass, i.e., / 207em m ≈ . The particle is a muon. 
 
52. (a) Squaring Eq. 37-47 gives 
 
E mc mc K K2 2
2 2 22= + +c h 
 
which we set equal to Eq. 37-55. Thus, 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 222 2 2 2 22 .2pc Kmc mc K K pc mc m Kc−+ + = + ⇒ = 
 
53. The energy equivalent of one tablet is 
 
mc2 = (320 × 10–6 kg) (3.00 × 108 m/s)2 = 2.88 × 1013 J. 
 
This provides the same energy as 
 
(2.88 × 1013 J)/(3.65 × 107 J/L) = 7.89 × 105 L 
 
of gasoline. The distance the car can go is 
 
d = (7.89 × 105 L) (12.75 km/L) = 1.01 × 107 km. 
 
This is roughly 250 times larger than the circumference of Earth (see Appendix C). 
 
(c) Using mpc
2 = 938.272 MeV, the Lorentz factor is γ = 1 + 10.00 MeV/938.272 MeV = 1.01065 1.011≈ . 
 
(d) The speed parameter is 
 
21 0.144844 0.1448.β γ −= − = ≈ 
 
(e) With mαc2 = 3727.40 MeV, we obtain γ = 10.00/3727.4 + 1 = 1.002681.003≈ . 
 
(f) The speed parameter is 
 
21 0.0731037 0.07310β γ −= − = ≈ . 
 
54. From Eq. 37-52, γ = (K/mc2) + 1, and from Eq. 37-8, the speed parameter is 
β γ= −1 1 2/ .b g 
 
(a) Table 37-3 gives mec
2 = 511 keV = 0.511 MeV, so the Lorentz factor is 
 
10.00MeV
1 20.57,
0.5110MeV
γ = + = 
 
(b) and the speed parameter is 
 
( ) ( )2 211 1/ 1 0.9988.20.57β γ= − = − = 
 
55. Using the classical orbital radius formula 0 / | |r mv q B= , the period is 
 
0 02 / 2 / | | .T r v m q Bπ π= = 
 
In the relativistic limit, we must use 
 
0| | | |
p mv
r r
q B q B
γ γ= = = 
which yields 
0
2 2
| |
r m
T T
v q B
π πγ γ= = = 
 
(b) The period T is not independent of v. 
 
(c) We interpret the given 10.0 MeV to be the kinetic energy of the electron. In order to 
make use of the mc2 value for the electron given in Table 37-3 
(511 keV = 0.511 MeV) we write the classical kinetic energy formula as 
 
K mv mc
v
c
mcclassical = = FHG
I
KJ =
1
2
1
2
1
2
2 2
2
2
2 2c h c hβ . 
 
If Kclassical = 10.0 MeV, then 
 
β = = =2 2 10 0
0511
6 256
2
K
mc
classical
MeV
MeV
.
.
. ,
b g
 
 
which, of course, is impossible (see the Ultimate Speed subsection of §37-2). If we use 
this value anyway, then the classical orbital radius formula yields 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )
31 8
3
19
9.11 10 kg 6.256 2.998 10 m/s
4.85 10 m.
| | 1.6 10 C 2.20T
mv m c
r
q B eB
β − −
−
× ×= = = = ×× 
 
(d) Before using the relativistically correct orbital radius formula, we must compute β in 
a relativistically correct way: 
 
2 10.0 MeV( 1) 1 20.57
0.511 MeV
K mc γ γ= − ⇒ = + = 
 
 
which implies (from Eq. 37-8) 
 
2 2
1 1
1 1 0.99882.
(20.57)
β γ= − = − = 
Therefore, 
 
31 8
19
2
(20.57) (9.11 10 kg)(0.99882)(2.998 10 m/s)
| | (1.6 10 C)(2.20T)
1.59 10 m.
mv m c
r
q B eB
γ γ β −
−
−
× ×= = = ×
= ×
 
 
(e) The classical period is 
 
3
11
8
2 2 (4.85 10 m)
1.63 10 s.
(6.256) (2.998 10 m/s)
r
T
c
π π
β
− −×= = = ×× 
 
(f) The period obtained with relativistic correction is 
 
T
r
c
= = × = × −
2 2 0 0159
0 99882 2 998 10
334 10
8
10π πβ
( .
( . ) ( .
.
m)
m / s)
s. 
 
mµc2 = 207mec2 = 105.8 MeV, 
Eq. 37-52 yields 
 ( )2 1 (105.8MeV)(3.136 1) 226MeV.K m cµ γ= − = − = 
 
(c) We write mµc = 105.8 MeV/c and apply Eq. 37-41: 
 
p m v m c c c= = = =γ γ βµ µ 3136 1058 0 9478 314. . .b gb gb gMeV / MeV / 
 
which can also be expressed in SI units (p = 1.7 × 10–19 kg·m/s). 
 
56. (a) The proper lifetime ∆t0 is 2.20 µs, and the lifetime measured by clocks in the 
laboratory (through which the muon is moving at high speed) is ∆t = 6.90 µs. We use Eq. 
37-7 to solve for the speed parameter: 
 
22
0 2.20 s1 1 0.948
6.90 s
t
t
µβ µ
⎛ ⎞∆⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
 
 
(b) From the answer to part (a), we find γ = 3.136. Thus, with (see Table 37-3) 
 
57. The distance traveled by the pion in the frame of Earth is (using Eq. 37-12) d = v∆t. 
The proper lifetime ∆t0 is related to ∆t by the time-dilation formula: ∆t = γ∆t0. To use this 
equation, we must first find the Lorentz factor γ (using Eq. 37-48). Since the total energy 
of the pion is given by E = 1.35 × 105 MeV and its mc2 value is 139.6 MeV, then 
 
γ = = × =E
mc2
5135 10
139 6
967 05
.
.
. .
MeV
MeV
 
 
Therefore, the lifetime of the moving pion as measured by Earth observers is 
 
∆ ∆t t= = × = ×− −γ 0 9 59671 350 10 3385 10. . .b gc hs s, 
 
and the distance it travels is 
 
d c t≈ = × × = ×−∆ 2 998 10 3385 10 1015 108 5 4. . .m / s s m = 10.15kmc hc h 
 
where we have approximated its speed as c (note: its speed can be found by solving Eq. 
37-8, which gives v = 0.9999995c; this more precise value for v would not significantly 
alter our final result). Thus, the altitude at which the pion decays is 120 km – 10.15 km = 
110 km. 
 
58. (a) The binomial theorem tells us that, for x small, 
 
(1 + x)ν ≈ 1 + ν x + ½ ν(ν − 1) x² 
 
if we ignore terms involving x3 and higher powers (this is reasonable since if x is small, 
say x = 0.1, then x3 is much smaller: x3 = 0.001). The relativistic kinetic energy formula, 
when the speed v is much smaller than c, has a term that we can apply the binomial 
theorem to; identifying –β² as x and –1/2 as ν, we have 
 
γ = ( )1 − β2 −1/2 ≈ 1 + (–½)(–β²) + ½ (–½)((–½) − 1)(–β²)2. 
 
Substituting this into Eq. 37-52 leads to 
 
K = mc²(γ – 1) ≈ mc²((–½)(–β²) + ½ (–½)((–½) − 1)(–β²)2) 
 
which simplifies to 
 K ≈ 12 mc² β2 + 38 mc² β4 = 12 mv² + 38 mv4/c² . 
 
(b) If we use the mc² value for the electron found in Table 37-3, then for β = 1/20, the 
classical expression for kinetic energy gives 
 
 Kclassical = 
1
2 mv² = 
1
2 mc² β2 = 12 (8.19 × 10−14 J) (1/20)2 = 1.0 × 10−16 J . 
 
(c) The first-order correction becomes 
 
 Kfirst-order = 
3
8 mv
4/c² = 38 mc² β4 = 38 (8.19 × 10−14 J) (1/20)4 = 1.9 × 10−19 J 
 
which we note is much smallerthan the classical result. 
 
(d) In this case, β = 0.80 = 4/5, and the classical expression yields 
 
 Kclassical = 
1
2 mv² = 
1
2 mc² β2 = 12 (8.19 × 10−14 J) (4/5)2 = 2.6 × 10−14 J . 
 
(e) And the first-order correction is 
 
 Kfirst-order = 
3
8 mv
4/c² = 38 mc² β4 = 38 (8.19 × 10−14 J) (4/5)4 = 1.3 × 10−14 J 
 
which is comparable to the classical result. This is a signal that ignoring the higher order 
terms in the binomial expansion becomes less reliable the closer the speed gets to c. 
 
(f) We set the first-order term equal to one-tenth of the classical term and solve for β: 
 
 
3
8 mc² β4 = 110 ( 12 mc² β2 ) 
 
and obtain 2 /15 0.37β = ≈ . 
 
 
59. (a) Before looking at our solution to part (a) (which uses momentum conservation), it 
might be advisable to look at our solution (and accompanying remarks) for part (b) 
(where a very different approach is used). Since momentum is a vector, its conservation 
involves two equations (along the original direction of alpha particle motion, the x 
direction, as well as along the final proton direction of motion, the y direction). The 
problem states that all speeds are much less than the speed of light, which allows us to 
use the classical formulas for kinetic energy and momentum (K mv= 12 2 and p mv= , 
respectively). Along the x and y axes, momentum conservation gives (for the components 
of voxy ): 
oxy oxy, oxy,
oxy
oxy oxy, oxy,
oxy
4
17
1
0 .
17
x x
p
y p p y p p
m
m v m v v v v
m
m
m v m v v v v
m
αα α α α= ⇒ = ≈
= + ⇒ = − ≈ −
 
 
To complete these determinations, we need values (inferred from the kinetic energies 
given in the problem) for the initial speed of the alpha particle (vα) and the final speed of 
the proton (vp). One way to do this is to rewrite the classical kinetic energy expression as 
K mc= 12 2 2( )β and solve for β (using Table 37-3 and/or Eq. 37-46). Thus, for the proton, 
we obtain 
β p p
p
K
m c
= = =2 2 4 44
938
0 0973
2
( .
. .
MeV)
MeV
 
 
This is almost 10% the speed of light, so one might worry that the relativistic expression 
(Eq. 37-52) should be used. If one does so, one finds βp = 0.969, which is reasonably 
close to our previous result based on the classical formula. For the alpha particle, we 
write 
mαc2 = (4.0026 u)(931.5 MeV/u) = 3728 MeV 
 
(which is actually an overestimate due to the use of the “atomic mass” value in our 
calculation, but this does not cause significant error in our result), and obtain 
 
βα α
α
= = =2 2 7 70
3728
0 064
2
K
m c
( .
. .
MeV)
MeV
 
 
Returning to our oxygen nucleus velocity components, we are now able to conclude: 
 
v v
v v
x x
y p y p
oxy, oxy,
oxy, oxy,
≈ ⇒ ≈ = =
≈ ⇒ ≈ = =
4
17
4
17
4
17
0 064 0 015
1
17
1
17
1
17
0 097 0 0057
α αβ β
β β
( . ) .
| | ( . ) .
 
 
Consequently, with moxyc
2 ≈ (17 u)(931.5 MeV/u) = 1.58 × 104 MeV, we obtain 
 
2 2 2 4 2 2
oxy oxy oxy, oxy,
1 1
( ) ( ) (1.58 10 MeV)(0.015 0.0057 ) 2.08 MeV.
2 2x y
K m c β β= + = × + ≈ 
 
(b) Using Eq. 37-50 and Eq. 37-46, 
 
2(1.007825u 16.99914u 4.00260u 14.00307u)
(0.001295u)(931.5MeV/u)
Q c= − + − −
= − 
 
which yields Q = –1.206 MeV 1.21 MeV≈ − . Incidentally, this provides an alternate way 
to obtain the answer (and a more accurate one at that!) to part (a). Eq. 37-49 leads to 
 
oxy 7.70MeV 1206MeV 4.44MeV
2.05MeV.
pK K Q Kα= + − = − −
= 
 
This approach to finding Koxy avoids the many computational steps and approximations 
made in part (a). 
 
60. By examining the value of u′ when v = 0 on the graph, we infer u = −0.20c. Solving 
Eq. 37-29 for u′ and inserting this value for u, we obtain 
 
u′ = u − v
 1 − uv/c² = −0.20c − v 1 + 0.20v/c 
 
for the equation of the curve shown in the figure. 
 
(a) With v = 0.80c, the above expression yields u′ = −0.86c. 
 
(b) As expected, setting v = c in this expression leads to u′ = −c. 
 
61. (a) The spatial separation between the two bursts is vt. We project this length onto the 
direction perpendicular to the light rays headed to Earth and obtain Dapp = vt sin θ. 
 
(b) Burst 1 is emitted a time t ahead of burst 2. Also, burst 1 has to travel an extra 
distance L more than burst 2 before reaching the Earth, where L = vt cos θ (see Fig. 37-
30); this requires an additional time t' = L/c. Thus, the apparent time is given by 
 
T t t t
vt
c
t
v
capp
cos
cos= − ′ = − = − FHG IKJ
L
NM
O
QP
θ θ1 . 
(c) We obtain 
 
V
D
T
v c
v c
c c capp
app
app
sin
cos
sin30.0
cos30.0
= = −
L
NM
O
QP
= °− °
L
NM
O
QP
=( / )
( / )
( . )
( . )
. .
θ
θ1
0 980
1 0 980
324 
 
62. (a) Eq. 2′ of Table 37-2, becomes 
 ∆t′ = γ(∆t − β∆x/c) = γ[1.00 µs − β(240 m)/(2.998 × 102 m/µs )] 
(1.00 0.800 ) sγ β µ= − 
 
where the Lorentz factor is itself a function of β (see Eq. 37-8). 
 
(b) A plot of ∆t′ is shown for the range 0 0.01β< < : 
 
 
 
(c) A plot of ∆t′ is shown for the range 0.1 1β< < : 
 
 
 
(d) The minimum for the ∆t′ curve can be found from by taking the derivative and 
simplifying and then setting equal to zero: 
 
d ∆t′
d β = γ3(β∆t – ∆x/c) = 0 . 
 
Thus, the value of β for which the curve is minimum is β = ∆x/c∆t = 240/299.8, or 
0.801β = . 
 
(e) Substituting the value of β from part (d) into the part (a) expression yields the 
minimum value ∆t′ = 0.599 µs. 
 
(f) Yes. We note that ∆x/∆t = 2.4 ×108 m/s < c. A signal can indeed travel from event A 
to event B without exceeding c, so causal influences can originate at A and thus affect 
what happens at B. Such events are often described as being “time-like separated” – and 
we see in this problem that it is (always) possible in such a situation for us to find a frame 
of reference (here with β ≈ 0.801) where the two events will seem to be at the same 
location (though at different times). 
 
63. (a) Eq. 1′ of Table 37-2 becomes 
 ∆x′ = γ(∆x − β c∆t) = γ[(240 m) − β(299.8 m)] . 
(b) A plot of ∆x′ for 0 0.01β< < is shown below: 
 
 
 
(c) A plot of ∆x′ for 0.1 1β< < is shown below: 
 
 
 
We see that ∆x′ decreases from its β = 0 value (where it is equal to ∆x = 240 m) to its 
zero value (at β ≈ 0.8), and continues (without bound) downward in the graph (where it is 
negative – implying event B has a smaller value of x′ than event A!). 
 
(d) The zero value for ∆x′ is easily seen (from the expression in part (b)) to come from 
the condition ∆x − β c∆t = 0. Thus β = 0.801 provides the zero value of ∆x′. 
 
64. (a) According to ship observers, the duration of proton flight is ∆t' = (760 m)/0.980c 
= 2.59 µs (assuming it travels the entire length of the ship). 
 
(b) To transform to our point of view, we use Eq. 2 in Table 37-2. Thus, with ∆x' = 
–750 m, we have ( )2(0.950 ) 0.572 s.t t c x c µ′ ′∆ = γ ∆ + ∆ = 
 
(c) For the ship observers, firing the proton from back to front makes no difference, and ∆t' = 2.59 µs as before. 
 
(d) For us, the fact that now ∆x' = +750 m is a significant change. 
 ( )2(0.950 ) 16.0 s.t t c x c µ′ ′∆ = γ ∆ + ∆ = 
 
65. (a) From the length contraction equation, the length ′Lc of the car according to 
Garageman is 
′ = = − = − =L L Lc c cγ β1 305 0 9980 1932 2( . ( . ) .m) 1 m. 
 
(b) Since the xg axis is fixed to the garage xg2 = Lg = 6.00 m. 
 
(c) As for tg2, note from Fig. 37-31 (b) that, at tg = tg1 = 0 the coordinate of the front 
bumper of the limo in the xg frame is ′Lc , meaning that the front of the limo is still a 
distance L Lg c− ′ from the back door of the garage. Since the limo travels at a speed v, the 
time it takes for the front of the limo to reach the back door of the garage is given by 
 
∆t t t L L
vg g g
g c= − = − ′ = −× = × −2 1 8 8
6 00 193
0 9980 2 998 10
136 10
. .
. ( .
.
m m
m / s)
s. 
 
Thus tg2 = tg1 + ∆tg = 0 + 1.36 × 10–8 s = 1.36 × 10–8 s. 
 
(d) The limo is inside the garage between times tg1 and tg2, so the time duration is tg2 – tg1 
= 1.36 × 10–8 s. 
 
(e) Again from Eq. 37-13, the length ′Lg of the garage according to Carman is 
 
′ = = − = − =L L Lgg gγ β1 6 00 0 9980 0 3792 2( . ( . ) .m) 1 m. 
 
(f) Again, since the xc axis is fixed to the limo xc2 = Lc = 30.5 m. 
 
(g) Now, from the two diagrams described in part (h) below, we know that at tc = tc2 
(when event 2 takes place), the distance between the rear bumper of the limo and the back 
door of the garage is given by L Lc g− ′ . Since the garage travels at a speed v, the front 
door of the garage will reach the rear bumper of the limo a time ∆tc later, where ∆tc 
satisfies 
∆t t t L L
vc c c
c g= − = − ′ = − × = × −1 2 8 7
305 0 379
0 9980 2 998 10
101 10
. .
. ( .
.
m m
m / s)
s. 
 
Thus tc2 = tc1 – ∆tc = 0 – 1.01 × 10–7 s = –1.01 × 10–7 s. 
 
(h) From Carman’s point of view, the answer is clearly no. 
 
(i) Event 2 occurs first according to Carman, since tc2 < tc1. 
(j) We describe the essential features of the two pictures. For event 2, the front of the 
limo coincides with the back door, and the garage itself seems very short (perhaps failing 
to reach as far as the front window of the limo). For event 1, the rear of the car coincides 
with the front door and the front of the limo has traveled a significant distance beyond the 
 
back door. In this picture, as in the other, the garage seems very short compared to the 
limo. 
 
(k) No, the limo cannot be in the garage with both doors shut. 
 
(l) Both Carman and Garageman are correct in their respective reference frames. But, in a 
sense, Carman should lose the bet since he dropped his physics course before reaching 
the Theory of Special Relativity! 
 
66. The line in the graph is described by Eq. 1 in Table 37-2: 
 ∆x = vγ∆t′ + γ∆x′ = (“slope”)∆t′ + “y-intercept” 
 
where the “slope” is 7.0 × 108 m/s. Setting this value equal to vγ leads to v = 2.8 ×108 m/s 
and γ = 2.54. Since the “y-intercept” is 2.0 m, we see that dividing this by γ leads to ∆x′ 
= 0.79 m. 
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )AC AB BC AB BC ACβ β β β β β− + + = − − + 
and expand: 
 
1 – βAC + βAB + βBC – βAC βAB – βAC βBC + βAB βBC – βAB βBC βAC = 
 1 + βAC – βAB – βBC – βAC βAB – βAC βBC + βAB βBC + βAB βBC βAC 
 
We note that several terms are identical on both sides of the equals sign, and thus cancel, 
which leaves us with 
 
–βAC + βAB + βBC – βAB βBC βAC = βAC – βAB – βBC + βAB βBC βAC 
 
which can be rearranged to produce 
 
2 2 2 2AB BC AC AB BC ACβ β β β β β+ = + . 
 
The left-hand side can be written as 2βAC (1 + βAB βBC ) in which case it becomes clear 
how to obtain the result from part (a) [just divide both sides by 2(1 + βAB βBC )]. 
 
67. Interpreting vAB as the x-component of the velocity of A relative to B, and defining the 
corresponding speed parameter βAB = vAB /c, then the result of part (a) is a straightforward 
rewriting of Eq. 37-29 (after dividing both sides by c). To make the correspondence with 
Fig. 37-11 clear, the particle in that picture can be labeled A, frame S′ (or an observer at 
rest in that frame) can be labeled B, and frame S (or an observer at rest in it) can be 
labeled C. The result of part (b) is less obvious, and we show here some of the algebra 
steps: 
 
1 11
1 1 1
AC BCAB
AC AB BC
AC AB BC
M M M
β ββ
β β β
− −−= ⋅ ⇒ = ⋅+ + + 
 
We multiply both sides by factors to get rid of the denominators 
 
 
68. We note, because it is a pretty symmetry and because it makes the part (b) 
computation move along more quickly, that 
 
 
1 1
1 1
M
M
M
β ββ
− −= ⇒ =+ + . 
 
Here, with βAB given as 1/2 (see problem statement), then MAB is seen to be 1/3 (which is 
(1 – 1/2) divided by (1 + 1/2) ). Similarly for βBC . 
 
(a) Thus, 
1 1 1
3 3 9AC AB BC
M M M= ⋅ = ⋅ = . 
(b) Consequently, 
 
βAC = 1 − MAC1 + MAC = 1 1/ 91 1/ 9
−
+ = 
8
10 = 
4
5 = 0.80. 
 
(c) By the definition of the speed parameter, we finally obtain vAC = 0.80c. 
 
Now, with βAB given as 1/5 (see problem statement), then MAB is seen to be 2/3 (which is 
(1 – 1/5) divided by (1 + 1/5) ). With βBC = − 2/5, we similarly find MBC = 7/3, and for βCD = 3/5 we get MCD = 1/4 . Thus, 
 
MAD = MAB MBC MCD = 
2
3 · 
7
3 · 
1
4 = 
7
18 . 
Consequently, 
 
 βAD = 1 − MAD1 + MAD = 1 7 /181 7 /18
−
+ = 
11
25 = 0.44. 
 
By the definition of the speed parameter, we obtain vAD = 0.44c. 
 
69. We note, for use later in the problem, that 
 
1 1
1 1
M
M
M
β ββ
− −= ⇒ =+ + 
 
 
70. We are asked to solve Eq. 37-48 for the speed v. Algebraically, we find 
 
22
1
mc
E
β ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
Using E = 10.611×10−9 J and the very accurate values for c and m (in SI units) found in 
Appendix B, we obtain β = 0.99990. 
 
71. The strategy is to find the speed from E = 1533 MeV and mc2 = 0.511 MeV (see 
Table 37-3) and from that find the time. From the energy relation (Eq. 37-48), we obtain 
 
2 22 0.511 MeV
1 1 0.99999994
1533 MeV
mc
v c c c c
E
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
so that we conclude it took the electron 26 y to reach us. In order to transform to its own 
“clock” it’s useful to compute γ directly from Eq. 37-48: 
 
2
1533 MeV
3000
0.511 MeV
E
mc
γ = = = 
 
though if one is careful one can also get this result from γ = −1 1 2/ ( / )v c . Then, Eq. 
37-7 leads to 
0
26 y
0.0087 y
3000
t
t γ
∆∆ = = = 
 
so that the electron “concludes” the distance he traveled is 0.0087 light-years (stated 
differently, the Earth, which is rushing towards him at very nearly the speed of light, 
seemed to start its journey from a distance of 0.0087 light-years away). 
 
72. The mean lifetime of a pion measured by observers on the Earth is ∆ ∆t t= γ 0 , so the 
distance it can travel (using Eq. 37-12) is 
 
d v t v t= = = × ×− =
−∆ ∆γ 0
8
2
0 99 2 998 10
1 0 99
55
( . )( .
( . )
m / s)(26 10 s)
m .
9
 
 
73. We use Eq. 37-54 with mc2 = 0.511 MeV (see Table 37-3): 
 
2 2 22 (2.00 MeV) 2(2.00 MeV)(0.511 MeV)pc K Kmc= + = + 
 
This readily yields p = 2.46 MeV/c. 
 
74. Using Eq. 37-10, 
/ 6.0 y
0.75.
2.0 y 6.0 y
v d c
c t
β = = = =+ 
 
75. When β = 0.9860, we have γ = 5.9972, and when β = 0.9850, we have γ = 5.7953. 
Thus, ∆γ = 0.202 and the change in kinetic energy (equal to the work) becomes (using Eq. 
37-52) 
2( ) (938 MeV)(5.9972 5.7953) 189 MeVW K mc γ= ∆ = ∆ = − = 
 
where mc2 = 938 MeV has been used (see Table 37-3). 
 
76. (a) The relative contraction is 
 
21
2 2 20
8
0 0
12
(1 )| | 1 1 1 630m/s
1 1 1 1
2 2 2 3.00 10 m/s
2.21 10 .
LL
L L
γ β β β−
−
⎛ ⎞−∆ ⎛ ⎞= = − − ≈ − − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ×
 
 
(b) Letting | | ( ) .∆ ∆ ∆t t t− = − = =0 0 1 100γ τ µs , we solve for ∆t0 : 
 
∆t0 2 1 2 1
2
2 2
6
1 1 1 1 1
2
2 100 10
630
525
= − = − − ≈ + − =
= × ×
=
−
−
τ
γ
τ
β
τ
β
τ
β( )
( .
[(
.
/
s)(1d / 86400s)
m / s) / (2.998 10 m / s)]
d .
8 2 
 
 
( ) ( ) 1022 2 91 11 1 6.3 10 .1 1 27000 km h 1.08 10 km hv c −− = − = ×+ ⎡ ⎤+ ×⎣ ⎦ 
 
77. (a) vr = 2v = 2(27000 km/h) = 5.4 × 104 km/h. 
 
(b) We can express c in these units by multiplying by 3.6: c = 1.08 × 109 km/h. The 
correct formula for vr is vr = 2v/(1 + v
2/c2), so the fractional error is 
 
78. (a) Using Eq. 37-7, we expect the dilated time intervals to be 
 
τ γτ τ= = −0
0
21 ( / )
.
v c
 
 
(b) We rewrite Eq. 37-31 using the fact that period is the reciprocal of frequency 
( f R R= −τ 1 and f0 01= −τ ): 
 
τ ββ τ
β
β τR Rf f
c v
c v
= = −+
F
HG
I
KJ =
+
− =
+
−
−
1 1
1
1
10
1
0 0 . 
 
(c) The Doppler shift combines two physical effects: the time dilation of the moving 
source and the travel-time differences involved in periodic emission (like a sine wave or 
a series of pulses) from a traveling source to a “stationary” receiver). To isolate the 
purely time-dilation effect, it’s useful to consider “local” measurements (say, comparing 
the readings on a moving clock to those of two of your clocks, spaced some distance 
apart, such that the moving clock and each of your clocks can make a close-comparison 
of readings at the moment of passage). 
 
79. We refer to the particle in the first sentenceof the problem statement as particle 2. 
Since the total momentum of the two particles is zero in S', it must be that the velocities 
of these two particles are equal in magnitude and opposite in direction in S'. Letting the 
velocity of the S' frame be v relative to S, then the particle which is at rest in S must have 
a velocity of u v'1 = − as measured in S', while the velocity of the other particle is given 
by solving Eq. 37-29 for u': 
 
2
2 2 2
2
( / 2)
.
1 / 1 ( / 2)( / )
u v c v
u
u v c c v c
− −′ = =− − 
 
Letting 2 1u u v′ ′= − = , we obtain 
 
2
( / 2)
 (2 3) 0.27
1 ( / 2)( / )
c v
v v c c
c v c
− = ⇒ = ± ≈− 
 
where the quadratic formula has been used (with the smaller of the two roots chosen so 
that v ≤ c). 
 
t = L/v = 7.99 × 10–13 s. 
 
Use of the time-dilation relation (Eq. 37-7) leads to 
 
∆t0 13 2 137 99 10 1 0 960 2 24 10= × − = ×− −( . ) ( . ) . s s. 
 
(b) The length contraction formula can be used, or we can use the simple speed-distance 
relation (from the point of view of the particle, who watches the lab and all its meter 
sticks rushing past him at 0.960c until he expires): L = v∆t0 = 6.44 × 10–5 m. 
 
80. (a) Our lab-based measurement of its lifetime is figured simply from 
 
81. (a) For a proton (using Table 37-3), we have 
 
2
2
938MeV
6.65GeV
1 (0.990)
pE m cγ= = =− 
which gives 
2 6.65GeV 938MeV 5.71GeVpK E m c= − = − = . 
 
(b) From part (a), 6.65GeVE = . 
 
(c) Similarly, we have 
 
2
2
(938MeV)(0.990)/
( ) / 6.58GeV/
1 (0.990)
p p
c
p m v m c c cγ γ β= = = =− . 
 
(d) For an electron, we have 
 
2
2
0.511MeV
3.62MeV
1 (0.990)
eE m cγ= = =− 
which yields 
 
2 3.625MeV 0.511MeV 3.11MeVeK E m c= − = − = . 
 
(e) From part (d), 3.62MeVE = . 
 
(f) 2
2
(0.511MeV)(0.990)/
( ) / 3.59MeV/
1 (0.990)
e e
c
p m v m c c cγ γ β= = = =− . 
 
 
2
0 0
2
0
1 ( / )1
 
1 1 ( / )
λ λ λβ βλ β λ λ
−−= ⇒ =+ + . 
 
With 0 / 434 / 462λ λ = , we obtain 0.062439β = , or v = 1.87 × 107 m/s. 
 
(b) Since it is shifted “towards the red” (towards longer wavelengths) then the galaxy is 
moving away from us (receding). 
82. (a) Eq. 37-37 yields 
 
 
83. (a) We assume the electron starts from rest. The classical formula for kinetic energy is 
Eq. 37-51, so if v = c then this (for an electron) would be 21 12 2 (511 ke V)mc = = 
255.5 ke V (using Table 37-3). Setting this equal to the potential energy loss (which is 
responsible for its acceleration), we find (using Eq. 25-7) 
 
255.5 keV 255 keV
255.5 kV 256 kV.
| |
V
q e
= = = ≈ 
 
(b) Setting this amount of potential energy loss (|∆U| = 255.5 keV) equal to the correct 
relativistic kinetic energy, we obtain (using Eq. 37-52) 
 
( )
2
2
22
1 1
1 | | 1
11
mc U v c
U mcv c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ∆ ⇒ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ∆⎝ ⎠−⎝ ⎠
 
 
which yields v = 0.745c = 2.23 × 108 m/s. 
 
84. Using Appendix C, we find that the contraction is 
 
| |
( . )
.
.
.
∆L L L L L= − = −FHG
I
KJ = − −
= × − − ××
F
HG
I
KJ
F
H
GG
I
K
JJ
=
0 0 0
2
6
4
8
2
1
1
1 1
2 6 370 10 1 1
30 10
2 998 10
0 064
γ βe j
 m
m s
m s
 m.
 
v
v v
v v c
c c
c c c
c3
2
2
2 21
050 050
1 050 080
0 929= ++ =
+
+ =
'
'
. .
( . ) ( . )
. . 
 
Continuing with this process, we get v4 = 0.976c, v5 = 0.992c, v6 = 0.997c and v7 = 0.999c. 
Thus, seven increments are needed. 
 
 
85. The speed of the spaceship after the first increment is v1 = 0.5c. After the second one, 
it becomes 
1
2 2 2 2
1
0.50 0.50
0.80 ,
1 ' 1 (0.50 )
v v c c
v c
v v c c c
′ + += = =+ + 
 
and after the third one, the speed is 
 
86. We use the relative velocity formula (Eq. 37-29) with the primed measurements being 
those of the scout ship. We note that v = –0.900c since the velocity of the scout ship 
relative to the cruiser is opposite to that of the cruiser relative to the scout ship. 
 
u
u v
u v c
c c
c= ++ =
−
− =
'
' /
. .
( . )( . )
. .
1
0 980 0 900
1 0 980 0 900
0 6782 
 
87. Let the reference frame be S in which the particle (approaching the South Pole) is at 
rest, and let the frame that is fixed on Earth be S'. Then v = 0.60c and u' = 0.80c (calling 
“downwards” [in the sense of Fig. 37-35] positive). The relative speed is now the speed 
of the other particle as measured in S: 
 
2 2
0.80 0.60
0.95 .
1 / 1 (0.80 )(0.60 ) /
u v c c
u c
u v c c c c
′ + += = =′+ + 
 
88. (a) ∆E = ∆mc2 = (3.0 kg)(0.0010)(2.998 × 108 m/s)2 = 2.7 × 1014 J. 
 
(b) The mass of TNT is 
 
mTNT
 J kg mol
J
 kg.= × × = ×
2 7 10 0 227
3 10
18 10
14
6
7
. .
.4
.
c ha f
 
 
(c) The fraction of mass converted in the TNT case is 
 ∆m
m
TNT
TNT
kg)(0.0010)
 kg
= × = × −
( .
.
. ,
3 0
18 10
16 107
9 
 
Therefore, the fraction is 0.0010/1.6 × 10–9 = 6.0 × 106. 
 
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