Lista de Relatividade Restrita para Vestibulares Militares

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Física Moderna para vestibulares Militares 
Tópico 1 – Relatividade especial (restrita) 
 
Parte 1 - Resumão: 
A relatividade especial é uma teoria física criada por Einstein e publicada pela primeira 
vez em 1905. Descreve a física do movimento na ausência de campo gravitacional, ou 
seja, sem acelerações. 
A teoria da relatividade especial é baseada em dois simples postulados: 
• As leis físicas são idênticas para todos os sistemas de referenciais inerciais. 
• A velocidade da luz é uma constante física e não depende do referencial inercial 
no qual a medição esteja sendo feita. 
Dilatação do tempo: por mais estranho que possa parecer à primeira vista, o tempo é 
algo relativo. A equação fundamental é: 
Δt =
Δt′
√1 −
v2
c2
= Δt′γ 
onde v é a velocidade relativa entre dois referenciais. O tempo Δt′ é denominado de 
tempo próprio. Notemos que Δt > Δt′ o que mostra que o tempo se dilata. Por exemplo, 
suponha que uma pessoa está numa nave espacial viajando a uma velocidade v = 0,8c. O 
tempo de viagem, em relação a Terra, é de 5 anos. A pergunta é: quanto tempo a viagem 
irá durar para a pessoa no interior da nave? Note que queremos descobrir qual o tempo 
Δt′ próprio, já que o evento (para a pessoa no interior da nave) ocorre exatamente nos 
mesmos pontos (para ele é o espaço que está viajando com velocidade −0,8c). Portanto, 
Δt′ = Δt ⋅ √1 −
v2
c2
= (5 anos)√1 −
(0,8c)2
c2
= (5 anos) ⋅ 0,6 = 3 anos 
A viagem dura, para a pessoa no interior da nave, apenas 3 anos. 
 Em resumo: 
• Tempo próprio: é o intervalo de tempo medido por relógios que se encontram 
parados em relação ao local do evento. 
• O tempo medido é sempre maior do que o tempo próprio. 
Contração do comprimento: o comprimento, assim como o tempo, é relativo. A equação 
fundamental é: 
L = L′√1 −
v2
c2
=
L′
γ
 
onde L’ é o comprimento próprio medido por um referencial S’ no qual o evento ocorre 
no mesmo lugar do espaço, L o comprimento medido por um referencial no qual o evento 
ocorre em diferentes pontos do espaço, e v é a velocidade relativa entre os referenciais S 
e S’. Note que L < L′, ou seja, o comprimento sofre uma contração. 
Composição de velocidades: Considere que uma nave está viajando a uma velocidade 
de v = 0,8c em relação a uma pessoa parada no solo. A nave solta um projétil que se move 
a v’ = 0,6c em relação a própria nave. Qual será a velocidade, u, do projétil em relação a 
pessoa? A relatividade de Galilei nos dá a resposta incorreta de que a velocidade do 
projétil é de 0,8 c + 0,6 c = 1,4c. A maneira correta de se calcular é utilizando a expressão: 
u =
v + v′
1 +
vv′
c2
 
Massa relativística: Suponha que uma partícula possua massa m0 em relação a um 
referencial S no qual ela se encontra em repouso. A massa m0 é denominada de massa 
de repouso. Quando a partícula se move com velocidade v em relação a S, a massa da 
partícula, medida por S, é dada por 
m =
m0
√1 −
v2
c2
= γm0 
Note que m > m0. 
Quantidade de movimento relativística: A quantidade de movimento relativística é 
dada por 
p =
m0v
√1 −
v2
c2
= γm0v 
Note que há um fator de correção γ em relação a mecânica clássica (p = m0v). 
Dinâmica relativística: A 2° lei de Newton continua valendo para a relatividade. Assim, 
temos se F⃗ e v⃗ possuem a mesma direção: 
F⃗ =
dp⃗ 
d𝑡
=
d
dt
{
 
 
m0v
√1 −
v2
c2}
 
 
∴ |F⃗ | =
m0
(1 −
v2
c2
)
3
2
a = γ3m0a 
onde a é a aceleração. Podemos escrever: 
a =
F
m0
(1 −
v2
c2
)
3
2
 
Quando v → c, a → 0. Assim, uma força F constante não consegue acelerar uma partícula 
de massa m para velocidade v > c. Conforme a partícula ganha velocidade, sua massa 
aumenta. No limite de v → ∞ a massa da partícula torna infinitamente grande de modo 
que seria uma força infinita para que a partícula continuasse acelerando. 
Se F⃗ e v⃗ são perpendiculares, então v⃗ é constante. Nesse caso, temos que 
|F⃗ | = γm0a 
Quando F⃗ não é nem perpendicular e nem paralelo a v⃗ , podemos escrever as componentes 
de v⃗ paralela e perpendiculares a F⃗ . Por causa da diferença entre os fatores γ e γ3 obtidos 
anteriormente, temos que a aceleração não terá mesma direção da força resultante. Esse 
fato contraria a mecânica clássica, na qual a força resultante e a aceleração são sempre 
paralelas (F⃗ = ma⃗ ; m > 0). 
Energia relativística: A energia cinética relativística é dada por 
Ec = (γ − 1)m0c
2 
Podemos mostrar que o resultando clássico Ec =
1
2
m0v
2 está contido na expressão acima 
para v ≪ c. Utilizando (1 + x)n ≅ 1 + nx para x ≪ 1: 
γ =
1
√1 −
v2
c2
≅ 1 +
1
2
v2
c2
∴ γ − 1 ≅
1
2
v2
c2
⟹ Ec =
1
2
v2
c2
⋅ m0c
2 =
1
2
m0v
2 
O gráfico abaixo mostra as previsões para os valores da energia cinética tanto para a 
mecânica clássica quanto para a relatividade. Para a mecânica clássica relativística a 
energia se torna infinita quando v → c. Como nenhuma partícula pode ter energia infinita, 
segue que uma partícula não pode estar com velocidade v = c. 
 
Para v ≪ c há uma ótima concordância das duas teorias. 
Energia de repouso: toda partícula, que possui massa, possui energia. Tal energia é 
denominada de energia de repouso 
E0 = m0c
2 
A energia total, E, do sistema é a soma da energia de repouso mais a energia cinética 
E = E0 + Ec = m0c
2 + (γ − 1)m0c
2 = γm0c
2 ∴ E = γm0c
2 
Relação entre energia total, energia de repouso e momento linear 
Como 
E = γm0c
2 ∴
E
m0c2
= γ ⟹ (
E
m0c2
)
2
=
1
1 − v2/c2
 
p = m0γv ∴
p
m0c
=
γv
c
∴ (
p
m0c
)
2
=
v2/c2
1 − v2/c2
 
Subtraindo as expressões, temos 
(
E
m0c2
)
2
− (
p
m0c
)
2
= 1 ∴ E2 = (pc)2 + (m0c
2)2 
Efeito Doppler relativístico: uma importante aplicação da relatividade é o cálculo da 
frequência aparente em que se observa uma onda eletromagnética cuja fonte emissora 
está se deslocando com uma velocidade v em relação ao observador. A equação é: 
f = f0√
c ± v
c ∓ v
 
onde f0 é a frequência observada por um observador em repouso em relação à fonte 
emissora. 
 O sinal positivo no numerador ocorre quando a fonte está se aproximando. Note 
que f > f0 nesse caso. 
 O sinal negativo no numerador ocorre quando a fonte está se afastando. Note que 
f < f0 nesse caso. 
O que ocorre caso v ≪ c? Nesse caso, podemos escrever (considere o caso em que f >
f0) onde β = v/c: 
f = f0√
c + v
c − v
= f0√
1 + β
1 − β
= f0
(1 + β)
1
2
(1 − β)
1
2
≅ f0 (1 +
1
2
β) (1 +
1
2
β) 
f = f0 (1 +
1
2
β)
2
≅ f0(1 + β) ∴ f − f0 = f0β ⟹
Δf
f0
= β =
v
c
 
Assim, temos a relação aproximada para v ≪ c: 
Δf
f0
=
v
c
 
A equação também é válida caso o observador esteja se aproximando da fonte. Portanto, 
podemos dizer que v é a velocidade relativa entre o observador e a fonte. 
As transformadas de Lorentz: São transformações que visam a mudança de um 
referencial S para um outro referencial S’ que está se movimentando em relação à S. 
Considere a figura a seguir: 
 
Suponha que em t = t′ = 0 as origens coincidam. Para um instante t qualquer (no 
referencial de S), S’ terá movimentando uma distância ut. No referencial de S a 
coordenada x’ de S’ irá sofrer uma contração x′√1 − u2/c2. Portanto, 
x = ut + x′√1 −
u2
c2
⟹ x′√1 −
u2
c2
= x − ut 
x′ =
x − ut
√1 − u2/c2
= γ(x − ut) (1) 
Um dos postulados da relatividade nos diz que as leis físicas devem ser exatamente iguais 
em dois sistemas de referenciais inerciais. Assim, a seguinte relação também deve ser 
válida: 
x = γ(x′ + ut′) ⟹ x√1 −
u2
c2
− ut′ = x′ (2) 
onde substituímos u por −u (para S’ é S que se afasta com velocidade −u). Eliminando 
x’ de (1) e (2), chegamos ao resultado: 
t′ = γ (t −
ux
c2
) 
Portanto, as transformações de Lorentz para o caso mostrado na figura acima são: 
x′ = γ(x − ut)
y′ = y
z′ = z
} ⟹ transformações do espaço 
t′ = γ (t −
ux
c2
) ⟹ transformação para o tempo 
Parte 2 – Exercícios Propostos 
E1) Mostre que uma partícula que se move com velocidade da luz, c, deve ter massa de 
repouso,m0, nula. 
E2) [ITA] Considere um capacitor de placas paralelas ao plano yz tendo um campo 
elétrico de intensidade E entre elas, medido por um referencial S em repouso em relação 
ao capacitor. Dois outros referenciais, S’ e S’’, que se movem com velocidade v constante 
em relação a S nas direções x e y, nesta ordem, medem as respectivas intensidades E’ e 
E’’ dos campos elétricos entre as placas do capacitor. Sendo γ = 1/√1 − v2/c2, pode-
se dizer que E’/E e E’’/E são, respectivamente, iguais a 
a) 1 e 1. 
b) 𝛾 e 1. 
c) 1 e 𝛾 
d) 𝛾 e 1/𝛾 
e) 1 e 1/𝛾 
E3) Prove a relação f = f0√(c ± v)/(𝑐 ∓ v) para o efeito doppler relativístico. 
E4) Uma amostra I de átomos de 57Fe, cujos núcleos excitados emitem fótons devido a 
uma transição nuclear, está situado a uma altura d verticalmente acima de uma amostra II 
de 57Fe que recebe a radiação emitida pela amostra I. Ao chegar a II, os fótons da amostra 
I sofrem um aumento da frequência devido á redução de sua energia potencial 
gravitacional, sendo, portanto, incapazes de excitar os núcleos de 57Fe dessa amostra. No 
entanto, essa incapacidade pode ser anulada se a amostra I se afastar verticalmente da 
amostra II com velocidade v adequada. Considerando v ≪ c e que a energia potencial 
gravitacional do fóton de energia 𝜀 pode ser obtida mediante sua “massa efetiva” 𝜀/c2, 
assinale a opção que explicita v. Se necessário, utilize (1 + x)𝑛 ≅ 1 + nx para x ≪ 1. 
a) √gd 
b) gd/c 
c) 2√gd 
d) 2dg/c 
e) gd√gd/c2 
E5) [ITA] Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas 
m e M, cujos centros distam d entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em 
torno do centro de massa desse sistema. Com a estrela de massa m na posição mostrada 
na figura, devido ao efeito Doppler, um observador T da Terra detecta uma raia de 
espectro de hidrogênio, emitida por essa estrela, com uma frequência f ligeiramente 
diferente da sua frequência natural f0. Considere a Terra em repouso em relação ao centro 
de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre no mesmo plano de 
observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que c, assinale a alternativa 
que explicita o valor absoluto de (f − f0)/f0. Se necessário, utilize (1 + x)
n ≅ 1 + nx 
para x ≪ 1. 
a) √GM2/[d(M +m)c2] 
b) √Gm2 sen2 α /[d(M +m)c2] 
c) √Gm2 cos2 α /[d(M +m)c2] 
d) √GM2 sen2 α /[d(M +m)c2] 
e) √GM2 cos2 α /[d(M +m)c2] 
E6) [ITA] Um muon de meia vida 1,5 μs é criado de uma altura de 1 km da superfície da 
Terra devido à colisão de um raio cósmico com um núcleo e se desloca diretamente para 
o chão. Qual deve ser a magnitude mínima da velocidade do muon para que ele tenha 
50% de probabilidade de chegar ao chão? 
E7) [ITA] Luz de uma fonte de frequência f gerada no ponto P é conduzida através do 
sistema mostrado na figura. Se o tubo superior transporta um líquido com índice de 
refração n movendo-se com velocidade u, e o tubo inferior contém o mesmo líquido em 
repouso, qual o valor mínimo de u para causar uma interferência destrutiva no ponto P’? 
 
E8) Considere um quadrado se deslocando com velocidade v = 270 × 103 km/s na 
direção ao longo de um de seus lados como mostra a figura a seguir. Calcule o valor do 
ângulo α entre suas diagonais. 
 
E9) Duas hastes, que possuem comprimento L se movimentam uma ao encontra da outra 
com velocidades v ao longo do eixo x’ no referencial da Terra. Determinar o comprimento 
L’ de uma das hastes no sistema de cálculos que está relacionado à outra. 
 
E10) Qual velocidade terá uma partícula de massa m durante o tempo t sob influência da 
força F que permanece constante durante todo o movimento? 
 
E11) Determinar a massa de uma partícula que se formou a partir da colisão de dois fótons 
com energias E1 e E2, cujas velocidades faziam ângulo α entre si. 
Parte 3 – Gabarito 
E1) Demonstração 
E2) c 
E3) Demonstração 
E4) b 
E5) e 
E6) ≅ 2,7 × 108 m/s 
E7) u =
c2
2Lf(n2−1)−cn
 
E8) 2 arctg(2,3) 
E9) L(c2 − v2)/(c2 + v2) 
E10) c/√1 + (
cm
Ft
)
2
 
E11) 
2
c
√E1E2 sen
α
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 4 – Resoluções 
E1) Para a partícula que se move a velocidade da luz, temos que 
p = mc 
onde m é sua massa relativística. Sua energia total é 
E = mc2 = mc ⋅ c = pc ∴ p =
E
c
 
Como 
E2 = (m0c
2)2 + (pc)2 = (m0c
2)2 + (
E
c
⋅ c)
2
 
E2 = (m0c
2)2 + E2 ∴ (m0c
2)2 = 0 ∴ m0 = 0 
E2) Lembrando que o campo elétrico entre duas placas paralelas (desprezando os efeitos 
de borda) é dado por E =
Q
ε0A
. Seja A = y ⋅ z a área do capacitor. 
 Ao mover na direção x, nada o campo elétrico medido não mudará em relação ao 
referencial em repouso, pois x é perpendicular as medidas y e z: E’/E = 1. 
 Ao mover na direção y, temos que y′ = y/γ, de modo que A′ = y′ ⋅ z =
yz
γ
=
A
γ
. 
Portanto, segue que E′′ = γ
Q
ε𝐴
. Segue que E’’/E = γ. 
E3) Vamos analisar o caso em que a fonte está se aproximando do observador. Suponha 
que, no referencial da fonte, ondas eletromagnéticas são emitas em um período de tempo 
T0. Assim, sua frequência é f0 = 1/T0. 
Agora, considere um intervalo de tempo T medido por um referencial S. A fonte se 
aproxima de S com velocidade constante de módulo v. O intervalo de tempo T é a medida 
de tempo entre a emissão de duas ondas sucessivas. Note que T ≠ 1/f, pois a fonte, para 
S, não emite duas ondas no mesmo ponto. Quando a fonte emite a primeira onda, a onda 
se desloca uma distância cT e a fonte uma distância vT. Portanto, o comprimento de onda 
será λ = (c − v)T. Como f = c/λ, segue que 
f =
c
(c − v)T
∴
c
T
= f(c − v) (1) 
Agora, T0 ≠ T pois são tempos medidos em referenciais distintos. Como T0 é medido no 
mesmo ponto, segue que T0 é um tempo próprio e vale a relação 
T =
T0
√1 − v2/c2
=
T0c
√c2 − v2
⟹
1
T0
=
1
√c2 − v2
⋅
c
T
 
Como 1/T0 = f0 e c/T é dado por (1), temos 
f0 =
f(c − v)
√c2 − v2
∴ f0 =
f(c − v)
√c − v√c + v
=
f√c − v
√c + v
⟹ f = √
c + v
c − v
 f0 
que é o que queríamos provar. O caso da fonte se afastando é análogo. 
E4) Seja 𝜀 = hf0 a energia de um fóton. Pela conservação da energia, temos que 
hf0 +
ε
c2
gd = hf ⟹ hf0 +
hf0gd
c2
= hf ⟹ f0 +
f0gd
c2
= f 
f − f0 =
f0gd
c2
∴
Δf
f0
=
gd
c2
 
Lembrando que 
Δf
f0
≅
v
c
, segue que 
gd
c2
=
v
c
∴ v =
gd
c
 
E5) Considere a figura a seguir 
 
Cálculo de d1 e d2 
i) d1 + d2 = d 
ii) d1M = d2m 
Segue que, 
d1 =
md
m+M
∧ d2 =
Md
m+M
 
Devemos calcular a velocidade v de m. Para isso, temos 
Fg = Fcp ⟹
GmM
d2
=
mv2
d2
∴ Gmd2 = v
2d2 ∴ GM(
Md
m +M
) = v2d2 
GM2
m+M
= v2d2 ⟹ v = √
GM2
d2(m +M)
 
A velocidade relativa de afastamento entre m e a Terra é v cos α. Assim, da equação do 
efeito Doppler relativístico para v ≪ c: 
|f − f0|
f0
=
|Δf|
f0
=
vrel
c
=
v cos α
c
=
√
GM2
d2(m +M)
cos α
c
= √
GM2 cos2 α
d2(m +M)c2
 
E6) Para que haja 50% de probabilidade do muon chegar ao chão o tempo de colisão (no 
referencial do muon) deve ser igual a meia vida, ou seja, 1,5 μs. 
No referencial do muon, temos que a altura percorrida é menor do que a altura real: 
L = L0√1 −
v2
c2
 
Portanto, temos que 
L = vΔt ∴ L0√1 −
v2
c2
= vΔt ⟹ L0
2 (1 −
v2
c2
) = v2Δt2 
L0
2 = v2 (Δt2 +
L0
2
c2
) ⟹ v2 =
L0
2
Δt2 −
L0
2
c2
∴ v =
L0
√Δt2 +
L0
2
c2
≅ 2,7 × 108 m/s 
E7) Para o tubo superior, a velocidade da luz, em um referencial externo, será: 
v =
u +
c
n
1 +
uc
nc2
=
c(nu + c)
nc + u
⟹
{
 
 Δtsup =
L
v
=
L(nc + u)
c(nu + c)
Δtinf =
nL
c
 
Para que a interferência seja destrutiva, Δtinf − Δtsup = T/2, onde T é o período da onda. 
Segue que 
nL
c
−
L(nc + u)
c(nu + c)
=
T
2
⟹
L
c
(n −
nc + u
nu + c
) =
1
2f
 
L
c
(
n2u + nc − nc − u
nu + c
) =
1
2f
∴ L(n2u − u)2f = c(nu + c) 
2Lf(n2 − 1)u = cnu + c2 ∴ u(2Lf(n2 − 1) − cn) = c2 ∴ u =
c2
2Lf(n2 − 1) − cn
 
 
E8) Veja a figura a seguir (no momento em que o quadrado ainda está em repouso) 
 
Ao movimentar o quadrado, o comprimentox sofrerá uma contração. Assim, temos 
x′ = x√1 −
v2
c2
 
O comprimento y ficará inalterado. Lembrando que, no repouso, α′ = 90°, segue 
tg
α
2
=
y
x
=
y
x√1 −
v2
c2
=
y
x
⋅
1
√1 −
v2
c2
= tg 45° ⋅
1
√1 −
v2
c2
=
1
√1 −
v2
c2
 
tg
α
2
=
1
√1 − (
27
30)
2
≅ 2,30 ⟹ α = 2arctg(2,3) 
E9) Veja a figura 
 
Seja u a velocidade da barra da direita em relação à barra esquerda. No referencial da 
Terra, temos que v é a velocidade da primeira barra e −v da segunda barra. Podemos 
escrever que 
−v =
v + u
1 +
vu
c2
⟺−v−
v2u
c2
= v + u ∴ −2v = u(1 +
v2
c2
) ⟺ u = −
2vc2
c2 + v2
 
O comprimento da barra da direita, no referencial da barra da esquerda, será: 
L′ = L√1 −
u2
c2
= L√1 −
4v2c2
(c2 + v2)2
= L√
(c2 + v2)2 − 4v2c2
(c2 + v2)2
= L√
(c2 − v2)2
(c2 + v2)2
 
∴ L′ =
c2 − v2
c2 + v2
L 
E10) Temos que Ft = Δp = p − 0 ∴ Ft = p. Como p = mv/√1 − v2/c2, segue que 
Ft =
mv
√1 − v2/c2
⟺ F2t2 (1 −
v2
c2
) = m2v2 ⟺ F2t2(c2 − v2) = c2m2v2 ⟺ 
F2t2c2 = v2(c2m2 + F2t2) ⟺ v =
Ftc
√c2m2 + F2t2
=
c
√1 + (
cm
Ft )
2
 
Se Ft ≪ cm, então temos que v ≅ (
F
m
) t. Se Ft ≫ cm, então v ≅ c mas v nunca será 
exatamente igual, ou maior, que c. 
E11) Tanto a energia como o momento linear devem ser conservados. Assim, temos que 
E = E1 + E2, onde E é a energia da partícula que se formou. 
p⃗ = p⃗ 1 + p⃗ 2, onde |p⃗ | é o momento linear da partícula que se formou. 
Observe a figura a seguir: 
 
Da figura, temos que 
p2 = p1
2 + p2
2 − 2p1p2 cos(π − α) ⟺ p
2 = p1
2 + p2
2 + 2p1p2 cos α 
Lembrando que 
E2 = (mc2)2 + (pc)2 ⟺m2c4 = E2 − p2c2 
m2c4 = E1
2 + E2
2 + 2E1E2 − p1
2c2 − p2
2c2 + 2p1p2c
2 cos α 
Lembrando que, para um fóton E = pc, então 
E1
2 = p1
2c2 e E2
2 = p2
2c2. Segue que, 
m2c4 = 2E1E2 + 2(
E1
c
) (
E2
c
) c2 cos α = 2(1 + cos α)E1E2 = 4E1E2 sen
2
α
2
 
⟺m =
2
c
√E1E2 sen
α
2
 
 
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Contatos: 
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Referências: 
 Young & Freedman, Física IV 12° Ed. 
 Saraeva, Problemas selecionados de Física elementar 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:lucas.dcarvalho@hotmail.com.br