UNITAU-CÁLCULO1-2S2022-L04-DERIVADAS-PROBLEMAS-20220929

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UNITAU – CÁLCULO I – PROF. MAURÍCIO BRITO PEREIRA – SETEMBRO/2022 
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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ – UNITAU 
IBE – 2º SEM. ENG. – DISCIPLINA: CÁLCULO I – LISTA 04 
PROF. MAURÍCIO PEREIRA 
 
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 
PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 
(Problemas de Otimização) 
 
 Os conceitos de máximos e mínimos locais podem ser utilizados em aplicações 
práticas, será proposto o seguinte procedimento de cinco passos que pode ser usado 
para resolver muitos desses problemas. 
 
 Procedimentos (sugestões) para resolver problemas de Máximos e Mínimos em 
aplicações: 
 
 PASSO 01: Ler cuidadosamente o problema várias vezes 
(tantas vezes quanto necessário), meditando sobre os fatos apresentados e 
as quantidades desconhecidas a serem determinadas. 
 
 PASSO 02: Fazer uma figura (esboço) apropriada da situação 
descrita pelo enunciado, e identificar as variáveis relevantes ao problema, 
registrando os fatos conhecidos, juntamente com quaisquer relações 
envolvendo as variáveis; expressões tais como: “o que”, “ache”, “quanto”, “a 
que distância”, “quando”, devem alertar para as quantidades desconhecidas ; 
 
 PASSO 03: Determinar qual variável deve ser analisada e obter 
uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada, usando as 
condições apresentadas no enunciado do problema, elimine variáveis, 
expressando a situação a ser maximizada ou minimizada como função de 
uma só variável; 
 
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 PASSO 04: Encontre o intervalo de valores possíveis para essa 
variável a partir das restrições físicas do problema; 
 
 PASSO 05: Use as técnicas, aplicáveis (números críticos, teste 
da derivada primeira e segunda), para obter o máximo ou mínimo, 
determinando os valores críticos da função obtida, determinando os extremos 
(verificar os pontos extremos sempre que necessário). 
 
 
 
 01 ) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina 
de 40 𝑐𝑚 de largura e 52 𝑐𝑚 de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto 
da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o 
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo 
(desprezar a espessura da cartolina). 
 
 
 02 ) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 
375 𝜋 𝑐𝑚3. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por 
𝑐𝑚2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por 𝑐𝑚2. Se não há 
perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
 
 
 03 ) Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de 12𝑚 de altura e 9𝑚 de 
base. A iluminação na parede dos fundos é feita por meio de uma única janela retangular 
que vai até o chão. Achar as dimensões da janela para que a área dela seja maior 
possível. 
 
 
 04 ) Com 1.000𝑚 de arame deseja-se cercar um terreno retangular de modo 
que: 
• A parte do fundo não seja cercada, pois ele faz divisa com um rio; 
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• Na parte da frente seja deixado um vão de 4𝑚, onde será instalada 
uma porteira; 
• A cerca tenha 4 fios de arame. 
 Deve-se achar as dimensões do terreno de modo que a área dele seja a maior 
possível, e, em seguida, determinar essa área máxima. 
 
 
 05 ) Em Economia, a taxa de variação instantânea do custo total de produção 
em relação ao número de unidades produzidas é chamada de custo marginal por 
unidade. Suponha que para serem fabricadas 𝑥 unidades de certo produto, o custo total 
seja dado, em reais, por 𝐶(𝑥) = 4𝑥2 + 3𝑥 + 15. Determine: 
 A ) A função que fornece o custo marginal. 
 B ) Qual o custo marginal para 20 unidades produzidas? 
 C ) Qual o custo real de produção da 21ª unidade? 
 
 
 06 ) Numa pizzaria, o preço de custo de uma pizza especial é de 8 reais. O 
gerente estima que, se vender cada uma por 𝑥 reais, serão vendidas numa noite 
(60 − 2𝑥) unidades. Pede-se determinar: 
 A ) O preço unitário de venda dessas pizzas para que o lucro seja 
máximo. 
 B ) Quantas dessas pizzas serão vendidas segundo a estimativa do 
gerente? 
 C ) Calcular o lucro máximo. 
 
 
 07 ) De 0 a 5 horas da manhã, um policial rodoviário monitorou a velocidade do 
tráfego no trecho de uma rodovia que atravessa uma cidade. Estimou-se que essa 
velocidade é dada segundo a função 𝑣(𝑡) = 2𝑡3 − 15𝑡2 + 24𝑡 + 60 , em que 𝑡 representa 
o tempo, em horas. Pede-se determinar: 
 A ) A que horas o tráfego fluía mais rapidamente? 
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 B ) Qual era a velocidade dos veículos nessa hora? 
 C ) A que horas o tráfego era mais lento? 
 D ) Qual era a velocidade nessa hora? 
 
 
 08 ) Determine as dimensões de um retângulo de área de 100𝑚2 de modo que 
seu perímetro seja mínimo. 
 
 
 09 ) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade de 
40𝑚/𝑠, num local em que 𝑔 = 10𝑚/𝑠2, tem posição 𝑠 em função do tempo 𝑡 dada pela 
função horária 𝑠(𝑡) = 40𝑡 − 5𝑡2 (SI) com 0 ≤ 𝑡 ≤ 8. 
 A ) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima em relação ao solo? 
 B ) Qual a altura máxima atingida? 
 
 
 10 ) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de 
máximo volume possível, cortando um quadrado de lado 𝑥 em cada canto. As dimensões 
da folha são 60𝑐𝑚 e 40𝑐𝑚 . 
 
 
 11 ) Um fabricante quer projetar uma caixa aberta que possui uma base 
quadrada e uma área de superfície de 108 unidades quadradas. Quais dimensões 
produzem a caixa com volume máximo? 
 
 
 
 
 Bons Estudos! 
 Prof. Maurício Pereira.