5 - Problemas de máximos e mínimos em aplicações (1)

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Curso Superior em Engenharia Mecânica/Alimentos - Prof: Andre Luiz Bedendo - Cálculo II 
 
5. PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS EM APLICAÇÕES – Problemas de otimização 
 
 
Referência Bibliográfica: (Recurso online – A): ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. 
Cálculo. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v.1. 
 
Otimizar alguma grandeza significa maximizar ou minimizar alguns de seus aspectos. 
Problemas de maximização e minimização se encontram entre os mais comuns do Cálculo. Para 
os problemas que se reduzem a maximizar ou minimizar uma função contínua em um intervalo 
fechado, a solução pode ser obtida examinando os valores da função nos pontos críticos e nos 
extremos do intervalo. No entanto, para os problemas em que a função é contínua em um intervalo 
infinito ou finito, mas não fechado, se a função for contínua e tiver exatamente um extremo local no 
intervalo tem-se uma solução e um método para encontrá-la. 
 
Exemplo 1 – A. Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca. Qual a 
maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 metros lineares de cerca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para resolver problemas de máximos e mínimos em aplicações 
Passo 1: Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema. 
Passo 2: Obtenha uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada. 
Passo 3: Usando as condições dadas no problema para eliminar as variáveis, expresse a 
quantidade a ser maximizada ou minimizada como uma função de uma variável. 
Passo 4: Encontre o intervalo de valores possíveis para essa variável a partir das restrições físicas 
do problema. 
Passo 5: Se aplicável, use técnicas para obter o máximo ou mínimo. 
Exemplo 2 – A. Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de metal medindo 16 por 30 cm, 
destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos 
quadrados para obter uma caixa com o maior volume possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. A figura a seguir um poço de petróleo no mar em um ponto 𝑊 a 5 km do ponto 𝐴 mais 
próximo de uma praia reta. O petróleo é bombeado de 𝑊 até um ponto 𝐵 na praia 8 km de 𝐴 da 
seguinte forma: de 𝑊 até 𝑃 na praia entre 𝐴 e 𝐵 através de uma tubulação colocada sob a agua, e 
de 𝑃 até 𝐵 através de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo em dólares para 
colocar a tubulação for de R$ 1.000.000/km sob a água e de R$ 500.000/km por terra, onde deve 
estar localizado 𝑃 para minimizar o custo de colocar a tubulação? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 – A. Encontre um ponto na curva 𝑦 = 𝑥2 que esteja mais próximo possível do ponto 
(18,0). 
Exemplo 5 – A. Determine o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser 
inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 – A. Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro de líquido. Como poderíamos 
escolher a altura e o raio para minimizar a quantidade de material usado na confecção da lata? 
 Figura 3 
5.1 Aplicação a Economia 
 
Três funções de importância para um economista ou um industrial são: 
• 𝐶(𝑥) custo total de produção de 𝑥 unidades de um produto, durante um certo período de tempo; 
• 𝑅(𝑥) receita total da venda de 𝑥 unidades do produto, durante o período de tempo; 
• 𝐿(𝑥) lucro total obtido na venda de 𝑥 unidades do produto, durante o período de tempo; 
 
Elas são denominadas, respectivamente, função custo, função receita e função lucro. Se 
todas as unidades produzidas forem vendidas, elas estarão relacionadas por: 
 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
 
Apesar de 𝑥 ser geralmente um número inteiro em muitas aplicações, podemos aprender 
sobre o comportamento dessas funções definindo-as para todos os números reais diferentes de 
zero e supondo que sejam funções deriváveis. Os economistas usam os termos receita marginal, 
custo marginal e lucro marginal para denominar as derivadas de 𝑅’(𝑥), 𝐶’(𝑥) e 𝐿’(𝑥) das funções 
receita, custo e lucro. Consideremos a relação do lucro 𝐿(x) com essas derivadas. 
Se 𝑅(𝑥) e 𝐶(𝑥) são deriváveis em 𝑥 em algum intervalo de possibilidades de produção, e se 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) tem um valor máximo neste intervalo, ele ocorre em um ponto crítico de 𝐿(𝑥) ou 
em uma extremidade do intervalo. Se ocorrer em um ponto crítico, então 𝐿’(𝑥) = 𝑅’(𝑥) − 𝐶’(𝑥) = 0, 
e veremos que 𝑅’(𝑥) = 𝐶’(𝑥). Em termos econômicos, esta última equação significa que “Em um 
nível de produção que gera um lucro máximo, a receita marginal é igual ao custo marginal”. 
 
Exemplo 7 – A. Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a 
granel a um preço de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total da produção para 𝑥 unidades é dado 
por 𝐶(𝑥) = 0,003𝑥2 + 80𝑥 + 500000, e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo 
30000 unidades em um tempo específico, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e 
vendidas naquele tempo para maximizar o lucro? 
 
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Lista 5. Problemas de Otimização 
1. Um retângulo tem dois cantos inferiores no eixo do 𝑥 e dois cantos superiores na curva 
𝑦 = 16 − 𝑥2. Dentre todos estes retângulos, quais as dimensões daquele que tem a maior área? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por córrego reto no 
quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1000 
m de cerca? 
 
 
 
 
 
 
3. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma 
cerca reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca 
padrão de R$ 2,00 o metro linear. Quais as dimensões do terreno de maior área que pode ser 
cercado com R$ 6000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 
cm. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área, supondo que ele está posicionado 
conforme a Figura 1. 
 
 
 
 
 
5. A janela de um prédio consiste em um retângulo com semicírculo em cima e deve ter um 
perímetro 𝑝. Determine o raio do semicírculo para que a área da janela seja a máxima 
 
 
 
 
 
6. Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma que secção transversal é um trapézio com os 
lados igualmente inclinados (Figura 2). Se os lados e a base tiverem um comprimento de 5 m, qual 
deve ser o valor do ângulo 𝜃 (0 ≤ 𝜃 ≤ 
𝜋
) 
2 
, de forma que a área da secção transversal seja a máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Uma indústria de metal vende uma peça a R$ 100,00 a unidade. Se o custo de produção total 
diário para 𝑥 unidades for 𝐶(𝑥) = 100000 + 50𝑥 + 0,0025𝑥2, e se a capacidade de produção diária 
for de, no máximo 7000 unidades: 
a) quantas unidades da peça devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro; 
b) beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária? 
c) usando análise marginal, aproxime o efeito sobre o lucro causado por um aumento de 7000 para 
7001 unidades na produção diária; 
Figura 1 Figura 2 
8. Uma caixa de base quadrada é mais alta do que larga. Para poder manda-la pelo correio, sua 
altura e o perímetro da base devem somar não mais do que 108 polegadas. Qual é o volume máximo 
dessa caixa? 
 
 
 
 
 
9. Em um certo processo de fabricação química, o peso diário 𝑦 de produção defeituosa depende 
do peso 𝑥 de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica 𝑦 = 0,01𝑥 + 0,00003𝑥2, onde 𝑥 e 
𝑦 estão em quilos. Se o lucro for de R$ 100,00 por kg do produto químico sem defeito e a perda for 
de R$ 20,00 por kg de produto químico defeituoso produzido, quantos quilos do produto devem ser 
produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total? 
 
 
 
 
 
 
 
10.O rendimento total para um certo tipo de relógio suíço é dado pela equação 𝑅(𝑥) = 
2000𝑥√75 − 𝑥 , onde denota a demanda em milhares de relógios e o rendimento total é dado em 
R$. Determine o rendimento máximo. 
 
 
 
 
 
 
11. Uma lata cilíndrica aberta em cima deve conter 500 cm³ de líquido. Determine a altura e o raio 
que minimizem a quantidade de material necessário para confeccioná-la. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
12. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a R$ 100,00 por unidade. Se o custo de 
produção total diário em reais para 𝑥 unidade for 𝐶(𝑥) = 100000 + 50𝑥 + 0,0025𝑥2, e se a 
capacidade de produção diária dor de, no máximo, 7000 unidades, quantas unidades de ácido 
sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro? Beneficiaria ao 
industrial expandir a capacidade de produção diária? Usando análise marginal, aproxime o efeito 
sobre o lucro causado por um aumento de 7000 para 7001 unidades na produção diária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: Nº 1: (
 8 
, 
32
) Nº 2: 500 𝑥 250 𝑚 Nº 3: 500 𝑥 750 𝑚 Nº 4: 3 𝑥 4 𝑐𝑚 
 
√3 3 
Nº 5: 𝑟 = 
𝑝
 
(4+𝜋) 
Nº 6: 𝜃 = 
𝜋
 
3 
Nº 7: a) 7000 unidades; b) Sim, 𝑑𝑃 > 0, 𝑠𝑒 𝑥 = 7000 c) R$ 15,0 
𝑑𝑥 
Nº 8: 𝑉 = 11664 𝑝𝑜𝑙3 Nº 9: 13,722 kg Nº 10: 𝑅$ 500.000,00 Nº 11: ℎ = 𝑟 = 
 
 
3 500 
 
 
𝜋 
𝑐𝑚 
Nº 12: 7000 unidades ; sim ; R$ 15,00