Slide 23 aula de calculo 2 Da UERJ 2021

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Integrais Triplas
Prof.: Cristiane Faria
Curso de Cálculo II e CDI II - UERJ
2021.1
Integrais Triplas em
Coordenadas Cilíndricas
Relação entre Coordenadas Cartesianas e
Coordenadas Cilíndricas no ponto P
Figura: Stewart, Multivariable
Calculus, 9th Edition.
x = r cos θ r2 = x2 + y2
y = r sin θ tan θ =
y
x
z = z z = z
Coordenadas Cilíndricas
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
Coordenadas Cilíndricas
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
x2 + y2 = c2 ⇔ (r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r2 = c2 ⇔
r2 = c2 ⇔ |r | = |c | ⇔ r = c
Coordenadas Cilíndricas
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
x = cy ⇔ r sin θ = r cos θ ⇔ tan θ = c ⇔ θ = arctan(c)
Coordenadas Cilíndricas
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
z = c
Coordenadas Cilíndricas
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
z2 = x2 + y2 ⇔ z2 = r2 ⇔ |z | = |r | ⇔ ±z = r
E = {(x , y , z)/(x , y) ∈ D, u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}
D = {(r , ρ)/α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
Então,
Integrais Triplas em Coord. Cilíndricas:
∫∫∫
E
f (x, y , z) dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x, y , z)dz
]
dA
=
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sin θ)
u1(r cos θ,r sin θ)
f (r , θ, z)r dz dr dθ
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
Exemplo 1:
Calcule
∫∫∫
E
x2 dV , onde E é o sólido que está abaixo do parabolóide
z = 4 − x2 − y2 e acima do plano-xy .
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
Exemplo 1:
Calcule
∫∫∫
E
x2 dV , onde E é o sólido que está abaixo do parabolóide
z = 4 − x2 − y2 e acima do plano-xy .
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
{(r , θ, z)|0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − r2}
Exemplo 1:
∫∫∫
E
x2 dV =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 4−r2
0
(r cos θ)2r dz dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
(r3 cos2 θ)(4 − r2)dr dθ
=
∫ 2π
0
cos2 θ dθ
∫ 2
0
(4r3 − r5) dr
=
1
2
[
θ +
1
2
sin(2θ)
]2π
0
[
r4 − 1
6
r6
]2
0
=
1
2
(2π)
(
16 − 32
3
)
=
16
3
π
Exemplo 2:
Um sólido E inserido dentro do cilindro x2 + y2 = 1, à direita do
plano−xz , abaixo do plano z = 4, e acima do parabolóide
z = 1 − x2 − y2. A densidade em qualquer ponto é proporcional a sua
distância do eixo ao cilindro. Encontre a massa de E.
Em coordenadas cilíndricas o cilindro é r = 1 e o parabolóide é
z = 1 − r2, então
E = {(r , θ, z)|0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1, 1 − r2 ≤ z ≤ 4}
Como a densidade em (x , yz) é proporcional à distância do eixo-z, a
função densidade é
ρ(x , y , z) = K
√
x2 + y2 = Kr
onde K é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 2:
m =
∫∫∫
E
K
√
x2 + y2 dV =
∫ π
0
∫ 1
0
∫ 4
1−r2
(Kr) r dz dr dθ
=
∫ π
0
∫ 1
0
Kr2
[
4 − (1 − r2)
]
dr dθ
= K
∫ π
0
dθ
∫ 1
0
(3r2 − r4) dr
= πK
[
r3 +
r5
5
]1
0
=
6πK
5
Exemplo 3:
Calcule a integral do sólido E inserido dentro do cilindro x2 + y2 = 1, à
direita do plano−xz , acima do plano−xy , e abaixo do parabolóide
z = 2 − x2 − y2 quando f (x , y , z) = x2 + y2.
Figura: Stewart, Multivariable
Calculus, 9th Edition.
Em coord. cilíndricas
Cilindro:
 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ r ≤ 10 ≤ z ≤ 1
Parabolóide:
 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ r ≤ 11 ≤ z ≤ 2 − r2
f (x , y , z) = x2 + y2 = r2
IE = Icilindro + Iparabolóide
Exemplo 3:
IE = Icilindro + Iparabolóide
Icilindro =
∫∫∫
cilindro
(x2 + y2) dV =
∫ π
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(r2) r dz dr dθ
=
∫ π
0
∫ 1
0
r3 [z ]10 dr dθ =
∫ π
0
∫ 1
0
r3 dr dθ
=
∫ π
0
r4
4
∣∣∣1
0
dθ =
1
4
∫ π
0
dθ =
π
4
Exemplo 3:
IE = Icilindro + Iparabolóide
Iparabolóide =
∫∫∫
parabolóide
(x2 + y2) dV =
∫ π
0
∫ 1
0
∫ 2−r2
1
(r2) r dz dr dθ
=
∫ π
0
∫ 1
0
r3(−r2 + 1) dr dθ =
∫ π
0
(
− r
6
6
+
r4
4
) ∣∣∣1
0
dθ
=
1
12
∫ π
0
dθ =
π
12
Exemplo 4:
Calcule a integral do sólido E acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo do
parabolóide z = 6 − x2 − y2 quando f (x , y , z) = xy .
Figura: Stewart, Multivariable
Calculus, 9th Edition.
Em coord. cilíndricas:
f (x , y , z) = xy = r2 sin θ cos θ,
z = 6 − x2 − y2 = 6 − r2,
z =
√
x2 + y2 = r
Intersecção entre as superfícies
6 − r2 = r ⇒ r = 2 ou r = −3 ⇒ r = 2 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ r ≤ 2
r ≤ z ≤ 6 − r2
Exemplo 4:
∫∫∫
E
xy dV =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 6−r2
r
(r2 cos(θ) sin(θ)) r dz dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
(
r3 cos(θ) sin(θ)z
∣∣∣6−r2
r
)
dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
(
r3 cos(θ) sin(θ)(−r2 − r + 6)
)
dr dθ
=
∫ 2π
0
(
cos(θ) sin(θ)
(
− r
6
6
− r
5
5
+
3r4
2
) ∣∣∣2
0
)
dθ
=
104
15
∫ 2π
0
cos(θ) sin(θ) dθ =
52
15
sin2(θ)
∣∣∣2π
0
= 0
Exemplo 4 (Bônus):
Calcule o VOLUME do sólido E acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo
do parabolóide z = 6 − x2 − y2.
Figura: Stewart, Multivariable
Calculus, 9th Edition.
Em coord. cilíndricas:
z = 6 − x2 − y2 = 6 − r2,
z =
√
x2 + y2 = r
Intersecção entre as superfícies
6 − r2 = r ⇒ r = 2 ou r = −3 ⇒ r = 2 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ r ≤ 2
r ≤ z ≤ 6 − r2
Exemplo 4 (Bônus):
∫∫∫
E
dV =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 6−r2
r
r dz dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
(
r z
∣∣∣6−r2
r
)
dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
r
(
−r2 − r + 6
)
dr dθ
=
∫ 2π
0
(
− r
4
4
− r
3
3
+ 3r2
) ∣∣∣2
0
dθ
=
16
3
∫ 2π
0
dθ =
16
3
θ
∣∣∣2π
0
=
32π
3
Exemplo 5: (1a opção)
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B dado por
x2 + y2 − 2x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ x + y , x ≥ 0 e y ≥ 0.
Seja x2 + y2 − 2x ≤ 0 ⇔ (x − 1)2 + y2 ≤ 1. Tome x − 1 = r cos θy = r sin θ
z = z
onde, 0 ≤ r ≤ 1,
0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ z ≤ 1 + r cos θ + r sin θ.
Exemplo 5: (1a opção)
∫∫∫
B
r dr dθ dz =
∫ π
0
∫ 1
0
∫ 1+r cos θ+r sin θ
0
r dz dr dθ
=
∫ π
0
∫ 1
0
(
rz
∣∣∣1+r cos θ+r sin θ
0
)
dr dθ
=
∫ π
0
∫ 1
0
(
r + r2 cos(θ) + r2 sin(θ)
)
dr dθ
=
∫ π
0
[
1
2
+
1
3
cos(θ) +
1
3
sin(θ)
)
dθ
=
π
2
+
2
3
Exemplo 5: (2a opção)
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B dado por
x2 + y2 − 2x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ x + y , x ≥ 0 e y ≥ 0.
Seja x2 + y2 − 2x ≤ 0 ⇔ (x − 1)2 + y2 ≤ 1. Tome x = r cos θy = r sin θ
z = z
onde, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ,
0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ z ≤ r cos θ + r sin θ.
Exemplo 5: (2a opção)
∫∫∫
B
r dr dθ dz =
∫ π/2
0
∫ 2 cos θ
0
∫ r cos θ+r sin θ
0
r dz dr dθ
=
∫ π/2
0
∫ 2 cos θ
0
(
rz
∣∣∣r cos θ+r sin θ
0
)
dr dθ
=
∫ π/2
0
∫ 2 cos θ
0
r (r cos θ + r sin θ) dr dθ
=
∫ π/2
0
(cos θ + sin θ)
r3
3
∣∣∣2 cos θ
0
dθ
=
8
3
∫ π/2
0
(cos θ + sin θ) cos3 θdθ
=
8
3
∫ π/2
0
(
cos4 θ + sin θ cos3 θ
)
dθ
=
π
2
+
2
3
Exemplo 6:
Calcule
∫∫∫
B
√
x2 + y2 − z dx dy dz onde B é dado por 0 ≤ y ≤ x ,
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
Utilizando coordenadas cilíndricas:
onde, 0 ≤ r ≤ 1
cos θ
, 0 ≤ θ ≤ π4 , 0 ≤ z ≤ r
2.
Exemplo 6:
∫∫∫
B
√
x2 + y2 − z dx dy dz =
∫∫∫
B
√
r2 − z r dr dθ dz
=
∫ π/4
0
∫ 1
cos θ
0
∫ r2
0
√
r2 − z r dz dr dθ
como ∫ r2
0
r
√
r2 − zdz =
[
−2
3
r(r2 − z) 32
]r2
0
=
2
3
r4.
∫∫∫
B
√
r2 − z r dr dθ dz =
∫ π/4
0
[∫ sec θ
0
2
3
r4 dr
]
dθ
=
2
15
∫ π/4
0
sec5 θ dθ
Exemplo 6:
Utilizando a fórmula de recorrência:∫
secn θ dθ =
1
n − 1
secn−2 θ tan θ +
n − 2
n − 1
∫
secn−2 θ dθ
resulta que para n = 5∫
sec5 θ dθ =
1
4
sec3 θ tan θ +
3
4
∫
sec3 θ dθ∫
sec3 θ dθ =
1
2
sec θ tan θ +
1
2
∫
sec θ dθ
∫ π/4
0
sec5 θ dθ =
[
1
4
sec3 θ tan θ +
3
8
sec θ tan θ +
3
8
ln(
√
2 + 1)
] ∣∣∣π4
0
Chegamos que∫∫∫
B
√
x2 + y2 − z dx dy dz = 2
15
(√
2
2
+
3
√
2
8
+
3
8
ln(
√
2 + 1)
)
Integrais Triplas em
Coordenadas Esféricas
Relação entre Coordenadas Cartesianas e
Coordenadas ESféricas no ponto P
Figura: Stewart, Multivariable
Calculus, 9th Edition.
x = ρ sinϕ cos θ,
y = ρ sinϕ sin θ,
z = ρ cosϕ.
- ϕ ângulo com o eixo z ,
- θ ângulo entre x e a projeção
do vetor 0P sobre o plano XY .
- x2 + y2 + z2 = ρ2
Nesse sistema, teremos a cunha esférica que é a correspondente à caixa
retangular.
E = {(ρ, θ, ϕ)/a ≤ ρ ≤, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d}, onde a ≥ 0,
β − α ≤ 2π, d − c ≤ π. Então,
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
Nesse sistema, teremos a cunha esférica que é a correspondente à caixa
retangular.
E = {(ρ, θ, ϕ)/a ≤ ρ ≤, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d}, onde a ≥ 0,
β − α ≤ 2π, d − c ≤ π. Então,
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas:∫∫∫
E
f (x, y , z)dV =
∫ d
c
∫ β
α
∫ b
a
= f (ρ, θ, ϕ) ρ2 sinϕdρ dθ dϕ,
onde E = {(ρ, θ, ϕ)|a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d}
Figura: Stewart, Multivariable Calculus, 9th Edition.
Exemplo 1:
Calcule a massa da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que a densidade no
ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
A massa M da esfera é
M =
∫∫∫
B
√
x2 + y2 + z2 dx dy dz .
Em coordenadas esféricas temos que:
x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2
+ (ρ cosϕ)2
= ρ2 sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + ρ2 cos2 ϕ
= ρ2(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = ρ2,
M =
∫∫∫
B
√
ρ2 ρ2 sinϕ dρ dθ dϕ =
∫ 2π
0
dθ
∫ 1
0
ρ3 dρ
∫ π
0
sinϕ dϕ = π
onde B = {(ρ, θ, ϕ)/0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π}
Exemplo 2:
Calcule
∫∫∫
B
e(x
2+y2+z2)3/2 dV , onde B é a bola unitária
B = {(x , y , z)/x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Em coordenadas esféricas:
x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2
+ (ρ cosϕ)2
= ρ2 sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + ρ2 cos2 ϕ
= ρ2(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = ρ2
e
B = {(ρ, θ, ϕ)/0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π}
Exemplo 2:
Calcule
∫∫∫
B
e(x
2+y2+z2)3/2 dV , onde B é a bola unitária
B = {(x , y , z)/x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
∫∫∫
e(x
2+y2+z2)
3/2
dV =
∫ π
0
∫ 2π
0
∫ 1
0
e(ρ
2)
3/2
ρ2 sinϕ dρ dθ dϕ
=
∫ π
0
sinϕ dϕ
∫ 2π
0
dθ
∫ 1
0
ρ2eρ
3
dρ
= (− cos θ)
∣∣∣π
0
(θ)
∣∣∣2π
0
(
1
3
eρ
3
) ∣∣∣1
0
=
4π
3
(e − 1)
lembrando que...
Tomando u = ρ3, du = 3ρ2dρ∫
ρ
2eρ
3
dρ =
∫
eu
du
3
=
1
3
eρ
3
+ C
Mudanças de Coordenadas
Considere a transformação T : R ⊂ R2 7→ R2, onde T é dada por
T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)).
Mudanças de Coordenadas
Transformação linear
Uma transformação é uma função cujo domínio e imagem são am-
bos subconjuntos de R2. Se T (u1, v1) = (x1, y1), então o ponto
é denominado imagem do ponto (u1, v1). Se não existem dois
pontos com a mesma imagem, T é injetora. Se T também for so-
brejetora, então existe uma transformação inversa T−1 do plano
xy para o plano uv e é possível resolver as equações para u e v em
termos de x e y .
Mudanças de Coordenadas - Matriz
Jacobiana
A matriz jacobiana de T , T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) é definida como:
J(T ) = JT =
[
xu xv
yu yv
]
=
[
−∇x−
−∇y−
]
Na primeira linha, as componentes do gradiente de x , na segunda linha,
as componentes do gradiente de y .
O determinante jacobiano de T é definida como:
det(J) = xuyv − xvyu
Notação: det(J) = ∂(x,y)∂(u,v)
Mudanças de Coordenadas - Matriz
Jacobiana
Consideremos uma região retangular em UV que foi particionada, e T
uma aplicação injetora. Queremos encontrar a relação que existe entre a
área de cada elemento da partição e a área da sua imagem Rij
Se
a⃗ = T (uo , vo +∆v)− T (uo , vo) e
b⃗ = T (uo +∆u, vo)− T (uo , vo) então: A(Rij) ≈
∣∣∣a⃗× b⃗∣∣∣
Mudanças de Coordenadas - Matriz
Jacobiana
A(Rij) ≈ ∥(T (uo , vo +∆v)− T (uo , vo))× (T (uo +∆u, vo)− T (uo , vo))∥
≈ ∆u∆v∥ (T (uo , vo +∆v)− T (uo , vo))
∆v
× (T (uo +∆u, vo)− T (uo , vo)
∆u
∥
= ∆u∆v∥∂T
∂u
× ∂T
∂v
∥ =
∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆u∆v
= ∆u∆v ||∂T
∂u
× ∂T
∂v
|| = | det(JT )|∆u∆v
Mudanças de Coordenadas - Matriz
Jacobiana
Justificativa:
T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)),
Tu(u, v) = (xu, yu)
Tv (u, v) = (xv , yv )
Logo:
∂T
∂u
× ∂T
∂v
= det
 î ĵ k̂xu yu 0
xv yv 0
 = k̂(xuyv − xvyu)
||∂T∂u ×
∂T
∂v || = ||k̂(xuyv − xvyu)|| = |det(JT )|
Teorema
Mudanças de Coordenadas em uma Integral Dupla
Suponha que T é uma transformação cujo determinante da matriz Ja-
cobiana é não zero e que aplica uma região R∗ no plano UV em uma
região R no plano XY . Suponha que f é contínua em R e que R e R∗
são regiões do tipo I, e II. Suponha que T é ’um-a-um’ (injetora) (exceto
talvez nos bordos), então:
I =
∫
R
∫
f (x , y)dA =
∫
R∗
∫
f (x(u, v), y(u, v)) |det(J)| dudv
Exemplo 1: Coordenadas Polares
T (r , θ) = (x(r , θ), y(r , θ)) = (r cos θ, r sin θ),
det(J) = det
[
cos θ −r sin θ
r sin θ r cos θ
]
= r cos2 θ + r sin2 θ = r(sin2 θ + cos2 θ) = r
Com as condições do teorema:
I =
∫∫
R
f (x , y)dA =
∫∫
R∗
f (x(r cos θ, r sin θ), y(r cos θ, r sin θ)) r dA
onde R∗ é a região R descrita em coordenadas polares.
Exemplo 2:
Encontre o jacobiano das trasformações:
(a) x = u + 4v , y = 3u − 2v ,
J = det
[
1 4
3 −2
]
⇒ det J = −14
(b) x =
u
u + v
, y =
v
u − v
J = det

v
(u + v)2
− u
(u + v)2
− v
(u − v)2
u
(u − v)2
 ⇒ det J = 0
Exemplo 3:
Calcule
∫∫
R
x2 dA, onde R é a região limitada pela elipse:
9x2 + 4y2 = 36 usando a transformação x = 2u, y = 3v .
T (u, v) = (2u, 3v):
J =
[
2 0
0 3
]
, det J = 6
f (x , y) = x2 ⇒ f (x(u, v), y(u, v)) = (2u)2 = 4u2
Substituindo na elipse x = 2u, y = 3v temos u2 + v2 = 1. No plano UV
teremos um disco de raio 1. Com esta mudança:
I =
∫∫
R
x2dAxy︸ ︷︷ ︸
Região limitada pela elipse
=
∫∫
D
4u2(6)dAuv︸ ︷︷ ︸
Disco
= 24
∫∫
D
u2dAuv
Exemplo 3:
Calcule
∫∫
R
x2 dA, onde R é a região limitada pela elipse:
9x2 + 4y2 = 36 usando a transformação x = 2u, y = 3v .
Substituindo na elipse x = 2u, y = 3v temos u2 + v2 = 1. No plano UV
teremos um disco de raio 1. Com esta mudança:
I =
∫∫
R
x2dAxy︸ ︷︷ ︸
Região limitada pela elipse
=
∫∫
D
4u2(6)dAuv︸ ︷︷ ︸
Disco
= 24
∫∫
D
u2dAuv
Em coordenadas polares:
I = 24
∫ 2π
0
∫ 1
0
(r2 cos2 θ)rdrdθ = 24
∫ 2π
0
cos2 θdθ
∫ 1
0
r3dr
= 6
(∫ 2π
0
1 + cos 2θ
2
dθ
)
= 3
(
θ +
sin 2θ
2
) ∣∣∣2π
0
= 6π.
Exemplo 4:
Utilize a mudança de variáveis x = u2 − v2, y = 2uv , para calcular a
integral
∫∫
R
ydA, onde R é a região limitada pelo eixo x e pelas
parábolas y2 = 4 − 4x , y2 = 4 + 4x
A região
R é dada pela transformação T (S) = R, onde
S = [0, 1]x [0, 1]. Vamos calcular o jacobiano:
∂(x , y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2u −2v2v 2u
∣∣∣∣
= 4u2 − (−2v)2 = 4u2 + 4v2 > 0∫∫
R
ydA =
∫∫
S
2uv
∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv = ∫ 1
0
∫ 1
0
2uv(4u2 + 4v2)dudv
= 8
∫ 1
0
u4
4
v +
u2
2
v3
∣∣∣1
0
dv == 8
∫ 1
0
1
4
v +
1
2
v3 = 8
(
v2
8
+
v4
8
) ∣∣∣1
0
= 2
Exemplo 5:
Calcule a integral
∫∫
R
e(x+y)/(x−y)dA onde R é a região trapezoidal com
vértices (1, 0), (2, 0), (0,−2) e (0,−1).
Usando a mudança de variável:
T−1 : u = x + y v = x − y
T : x =
1
2
(u + v) y =
1
2
(u − v),
Exemplo 5:
Calcule a integral
∫∫
R
e(x+y)/(x−y)dA onde R é a região trapezoidal com
vértices (1, 0), (2, 0), (0,−2) e (0,−1).
Região S :
para (1, 0) :
{
u = 1 + 0
v = 1 − 0 ⇒ (1, 1)
para (2, 0) : u = 2 + 0; v = 2 − 0 ⇒ (u, v) = (2, 2)
para (0,−1) : u = 0 − 1 = −1; v = 0 − (−1) = 1; (u, v) = (−1, 1)
para (0,−2) : u = 0 − 2 = −2; v = 0 − (−2) = 2; (u, v) = (−2, 2)
Exemplo 5:
Jacobiano:∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1/2 1/21/2 −1/2
∣∣∣∣ = −14 − 14 = −12
O teorema nos leva a
∫∫
R
e(x+y)/(x−y)dA =
∫∫
S
eu/v
∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv = ∫ 2
1
∫ v
−v
eu/v
∣∣∣∣−12
∣∣∣∣ dudv
=
1
2
∫ 2
1
∫ v
−v
eu/vdudv =
1
2
∫ 2
1
eu/v
1/v
∣∣∣u=v
u=−v
dv
=
1
2
∫ 2
1
vev/v − ve−v/vdv = 1
2
∫ 2
1
ve − ve−1dv
=
1
2
e
v2
2
∣∣∣2
1
− 1
2
e−1
v2
2
∣∣∣2
1
=
e
4
(22 − 12)− e
−1
4
(22 − 1)
=
3
4
e − 3
4
e−1 =
3
4
(e − e−1).
Mudanças de Coordenadas - no R3
Seja x = g(u, v ,w) y = h(u, v ,w) z = h(u, v ,w)
O jacobiano de T é o determinante 3 × 3.
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
então
Mudanças de Coordenadas em uma Integral Tripla
∫∫∫
R
f ((x , y , z)dV =
∫∫∫
S
f (u, v ,w)
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ du dv dw .
Exemplo 6: Coordenadas Esféricas
Obtenha a fórmula de integração em coordenadas esféricas
Lembrando que as mudanças de coordenadas são:
x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
O jacobiano é:
δ(x, y , z)
δ(ρ, θ, ϕ)
=
∣∣∣∣∣∣
sinϕ cos θ −ρ sinϕ sin θ ρ cosϕ cos θ
sinϕ sin θ ρ sinϕ cos θ ρ cosϕ sin θ
cos θ 0 −ρ sinϕ
∣∣∣∣∣∣
= −ρ2 sin3 ϕ cos2 θ − ρ2 sinϕ cos2 ϕ sin2 θ − ρ2 cos2 ϕ sinϕ cos2 θ − ρ2 sin3 ϕ sin2 θ
= −ρ2(sinϕ cos2 θ sin2 ϕ + sinϕ cos2 ϕ sin2 θ + cos2 ϕ sinϕ cos2 θ + sin2 ϕ sinϕ sin2 θ)
= −ρ2(sinϕ cos2 θ(sin2 ϕ + cos2 ϕ) + sinϕ sin2 θ(cos2 ϕ + sin2 ϕ))
= −ρ2(sinϕ cos2 θ + sinϕ sin2 θ)
= −ρ2 sinϕ
Exemplo 6: CoordenadasEsféricas
Obtenha a fórmula de integração em coordenadas esféricas
Lembrando que as mudanças de coordenadas são:
x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
O jacobiano é:
∣∣∣∣δ(x , y , z)δ(ρ, θ, ϕ)
∣∣∣∣ = ∣∣−ρ2 sinϕ∣∣ = ρ2 sinϕ.
Integral Tripla em Coordenadas Esféricas
∫∫∫
R
f ((x, y , z)dV =
∫∫∫
S
f (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ)ρ2 sinϕdρdθdϕ