Medidas de Tendência Central e Estimativas Estatísticas

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Probabilidade e 
Estatística para 
análise e dados
Estimativas estatísticas na 
distribuição de dados 
Profª. Drª. Hallynnee Rossetto
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Conhecer e ser capaz de aplicar as medidas-
resumo: medidas de localização (ou tendência central), medidas de 
variabilidade e medidas de posição relativa.
• Resumo: Nesta aula abordaremos um conjunto de mecanismos que nos 
permitirão obter algumas informações relevantes, denominadas medidas-
resumo: medidas de localização (ou tendência central), medidas de 
variabilidade medidas de posição relativa.
• Palavras-chave: Medidas de localização, medidas de 
variabilidade medidas de posição relativa.
• Título da Teleaula: Estimativas estatísticas na distribuição
de dados 
• Teleaula nº: 2
Contextualização
Medidas 
resumo
Medidas de 
dispersão
Medidas de tendência 
central 
Medidas de tendência central 
Informam o comportamento de posição central do nosso 
conjunto de dados. Por esta razão, são compostas por 
três ferramentas que remetem ao conceito da palavra 
‘meio’: 
▪ Média
▪ Mediana
▪ Moda
Medidas de tendência central 
A média aritmética (ഥ𝒙) é a medida de
localização mais conhecida e utilizada.
É o resultado da divisão da soma de todos os
valores da amostra pela quantidade total de
valores.
ҧ𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
Fonte: Piana, Machado E Selau (2009) 
Medidas de tendência central 
A mediana (Md), é o valor que ocupa a posição
central do conjunto dos dados ordenados.
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores
em ordem crescente → ROL
Em seguida conta-se até a metade deles: 
▪ Para número ímpar de valores → mediana é o valor 
do
meio. 
▪ Para amostras com número par de unidades a 
mediana é a média dos dois valores centrais.
Medidas de tendência central 
A moda (Mo) é o é o valor de maior ocorrência
num conjunto de dados.
É a única medida que pode não existir e,
existindo, pode não ser única.
Um conjunto de dados pode:
▪ não apresentar moda;
▪ apresentar uma moda;
▪ apresentar duas modas (bimodal);
▪ apresentar três modas (trimodal).
A moda, diferentemente da média e da mediana, pode 
ser aplicada tanto para dados quantitativos, quanto 
qualitativos. Isto porque a medida trabalha com o 
conceito de frequência, ou seja, não há a necessidade de 
se trabalhar diretamente com operações numéricas. 
Resolução de 
medidas de tendência 
central 
Uma empresa do setor de vestuário e tecidos está 
avaliando o desempenho de vendas de três produtos 
distintos: Malha de algodão, Malha Poliéster Comum, 
Malha Poliéster Proteção UV. Para tanto, foram tabuladas 
as quantidades de vendas de cada produto considerando 
suas oito lojas, conforme apresentado na tabela.
Loja
Malha 
Algodão
Malha 
Poliéster 
Comum
Malha 
Poliéster 
Proteção 
UV
Total
Loja A 130 125 75 330
Loja B 145 112 85 342
Loja C 122 84 85 291
Loja D 130 126 85 341
Loja E 175 144 72 391
Loja F 137 108 86 331
Loja G 214 119 91 424
Loja H 133 139 72 344
Total 1.186 957 651 2.794
Qual a média 
aritmética, a moda e a 
mediana do conjunto 
de dados? 
Loja
Malha 
Algodão
Malha 
Poliéster 
Comum
Malha 
Poliéster 
Proteção UV
Total
Loja A 130 125 75 330
Loja B 145 112 85 342
Loja C 122 84 85 291
Loja D 130 126 85 341
Loja E 175 144 72 391
Loja F 137 108 86 331
Loja G 214 119 91 424
Loja H 133 139 72 344
Total 1.186 957 651 2.794
Média
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
=
1.186
8
= 148,25
Mediana
Dados ordenados: 122, 130, 130, 133, 137, 145, 175, 214
𝑀𝑑 =
133 + 137
2
=
270
2
= 135
Moda
𝑀𝑜 = 130
Loja
Malha 
Algodão
Loja A 130
Loja B 145
Loja C 122
Loja D 130
Loja E 175
Loja F 137
Loja G 214
Loja H 133
Total 1.186
Média
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
=
957
8
≅ 119,63
Mediana
Dados ordenados: 84, 108, 112, 119, 125, 126, 139, 144
𝑀𝑑 =
119 + 125
2
=
244
2
= 122
Moda
Conjunto amodal
Loja
Malha 
Poliéster 
Comum
Loja A 125
Loja B 112
Loja C 84
Loja D 126
Loja E 144
Loja F 108
Loja G 119
Loja H 139
Total 957
Média
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
=
651
8
≅ 81,38
Mediana
Dados ordenados: 72, 72, 75, 85, 85, 85, 86, 91
𝑀𝑑 =
85 + 85
2
=
170
2
= 85
Moda
𝑀𝑜 = 85
Loja
Malha 
Poliéster 
Proteção 
UV
Loja A 75
Loja B 85
Loja C 85
Loja D 85
Loja E 72
Loja F 86
Loja G 91
Loja H 72
Total 651
Medida
Malha 
Algodão
Malha 
Poliéster 
Comum
Malha 
Poliéster 
Proteção 
UV
Média 
Aritmética 
Simples
148,25 119,63 81,38
Mediana 135 122 85
Moda 130 - 85
Faturamento médio 
de uma empresa
Você é analista de dados de uma empresa multinacional 
e ficou responsável por elaborar uma análise que ofereça 
insumos para a decisão de fechar duas, ou manter todas 
as lojas de uma rede de vestuário. 
A decisão de encerrar as atividades das duas lojas de 
menores vendas será tomada caso o faturamento médio 
das dez unidades ficar abaixo de R$ 450 mil. Destaca-se, 
no entanto, que duas lojas se mantiveram fechadas em 
razão de reformas no último semestre.
, 
As outras oito, faturaram R$ 420 mil, R$ 475 mil, R$ 485 
mil, R$ 500 mil, R$ 515 mil, R$ 515 mil, R$ 565 mil e R$ 
630 mil.
Qual é o 
faturamento 
médio? Qual 
decisão tomar?
Fonte: https://www.shutterstock.com/pt/image-vector/little-caucasian-boy-jumping-out-large-700495033
Faturamento médio da empresa
R$ 0, R$ 0, R$ 420 mil, R$ 475 mil, R$ 485 mil, R$ 500 mil, R$ 515 mil, R$ 515 
mil, R$ 565 mil e R$ 630 mil
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
ҧ𝑥 =
0 + 0 + 420 + 475 + 485 + 500 + 515 + 515 + 565 + 630
10
ҧ𝑥 =
4105000
10
= 410.500,00
Este valor, diante da meta de R$ 450 mil estabelecida,
implicará o fechamento das duas unidades sem faturamento.
Medidas de
dispersão 
Medidas de dispersão 
As medidas de dispersão são utilizadas para caracterizar a
variabilidade de nossos dados, algo que as medidas de
localização não nos apresentam.
▪ a amplitude total; 
▪ a variância;
▪ o desvio padrão.
(PIANA, MACHADO e SELAU, 2009, p. 45)
Medidas de dispersão 
▪ Indicam se os valores estão relativamente próximos ou
não uns dos outros → DISPERSÃO.
▪ Na análise de um conjunto de dados é necessário que
sejam observados tanto as informações relativas às
medidas de tendência central quanto as informações de
dispersão.
Amplitude
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor 
valor analisado em uma variável em ordem crescente ou 
decrescente.
A 80 80 80 80 80 80
B 76 77 78 79 80 81
𝐴𝑇 𝐴 = 80 − 80 = 0
𝐴𝑇 𝐵 = 81 − 76 = 5
𝐴𝑇 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Variância
A variância é uma medida de dispersão que verifica a
distância entre os valores da média aritmética.
𝑺𝟐 =
σ 𝒙 − ഥ𝒙 𝟐
𝒏 − 𝟏
𝝈𝟐 =
σ 𝒙 − 𝝁 𝟐
𝑵
Variância Amostral
Variância 
Populacional
Exemplo
Idade
𝒙𝒊
𝒇𝒊 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐. 𝒇𝒊
8 2 -3,7 13,69 27,38
12 3 0,3 0,09 0,27
13 5 1,3 1,69 8,45
෍𝑓𝑖 = 10 ෍ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐. 𝒇𝒊 ≅ 36,1
ഥ𝒙 =
2.8 + 3.12 + 5.13
10
= 11,7
𝑆2 =
σ 𝑥 − ҧ𝑥 2
𝑛 − 1
=
36,1
10 − 1
= 4,01
Desvio Padrão
É a medida mais usada na comparação de diferenças entre conjuntos
de dados, por ter grande precisão. É responsável por determinar a
dispersão dos valores em relação à média e é calculado por meio da
raiz quadrada da variância.
𝑺 = 𝑺𝟐 =
σ 𝒙 − ഥ𝒙 𝟐
𝒏 − 𝟏
𝝈 = 𝝈𝟐 =
σ 𝒙 − 𝝁 𝟐
𝑵
Desvio padrão 
Amostral
Desvio padrão 
Populacional
Exemplo
Idade
𝒙𝒊
𝒇𝒊 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐. 𝒇𝒊
8 2 -3,7 13,69 27,38
12 3 0,3 0,09 0,27
13 5 1,3 1,69 8,45
෍𝑓𝑖 = 10 ෍ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐. 𝒇𝒊 ≅ 36,1
ഥ𝒙 =
2.8 + 3.12 + 5.13
10
= 11,7
𝑆2 =
σ 𝑥 − ҧ𝑥 2
𝑛 − 1
=
36,1
10 − 1
= 4,01
𝑆 = 𝑆2 = 4,01 ≅ 2
Medidas de dispersão 
no RStudio
Uma empresa está avaliando as notas atribuídas pelos 
clientes para cada um dos cinco componentes 
destacados: preço, prazo, atendimento, entrega e pós-
venda.
É preciso determinar:
▪ as variáveis apresentadas;
▪ as amplitudes das variáveis;
▪ a média, a mediana;
▪ o desvio médio absoluto. 
Unidade PreçoPrazo Atendimento Entrega Pós-Venda
A 5,1 8,0 8,1 5,1 8,0
B 7,8 8,0 8,1 8,0 6,1
C 8,1 7,1 5,0 5,0 6,1
D 6,0 9,0 7,1 5,1 6,1
E 8,1 6,0 6,1 7,0 6,1
F 8,0 6,0 9,1 7,1 6,0
G 8,0 9,0 7,1 8,1 8,0
H 9,0 6,0 8,0 8,0 7,0
I 7,1 6,0 9,0 8,0 5,0
J 9,0 8,1 7,0 7,0 5,1
Total 76,2 73,2 74,6 68,4 63,5
Vamos utilizar o 
RStudio para 
determinar essas 
medidas.
Fonte: https://www.shutterstock.com/pt/image-vector/little-caucasian-boy-jumping-out-large-700495033
Quantil
A algumas medidas que permitem obter alguns padrões 
de comportamento em termos de distribuição de dados.
• Ao trabalhar, por exemplo, com as médias, obtém-se 
informações a respeito do comportamento central 
de um conjunto.
• Ao trabalhar com uma medida de dispersão, obtém-
se insights a respeito da variação de um conjunto de 
dados. 
E os padrões de distribuição destes conjuntos? 
O principal conceito envolvido com as medidas 
de distribuição é o quantil - 𝑞(𝑝). 
A letra 𝑝 representa uma proporção de 
determinado conjunto de dados, de modo que 
0 < 𝑝 < 1. 
Por exemplo, quando 𝑝 = 0,5, por exemplo, 
estamos dividindo um conjunto de dados em 2 
partes iguais, considerando o total de 
observações.
Quantil
O termo quantil é expresso genericamente. Ao dividirmos 
um conjunto de dados em intervalos regulares, temos:
▪ a mediana divide em 2 partes iguais;
▪ os quartis dividem em 4 partes iguais;
▪ os decis em 10 partes iguais;
▪ e os centis em 100 partes iguais.
Quartis 
Ao dividirmos um conjunto de dados em quatro
intervalos regulares, configura-se o termo quartil, que 
representa, portanto, a quarta parte de uma distribuição.
Decis 
Se dividirmos uma distribuição em dez intervalos 
regulares, obtermos decis, ou seja, grupos que 
concentram 10% das observações cada um.
Trabalhando com o 
RStudio
Vamos utilizar o 
RStudio para 
determinar 
alguns quantis.
Fonte: https://www.shutterstock.com/pt/image-vector/little-caucasian-boy-jumping-out-large-700495033
Boxplot
No contexto das medidas baseadas na distribuição, uma 
importante ferramenta é o boxplot, utilizado em diversos 
contextos de análise. 
O boxplot, ou diagrama de caixas, é um gráfico que nos 
permite obter informações a respeito dos quartis de um 
conjunto de dados e de pontos possíveis pontos 
discrepantes, também denominados 𝑜𝑢𝑡𝑙𝑖𝑒𝑟𝑠. 
É um gráfico muito útil na 
comparação de distribuições, o qual 
que ilustra os principais aspectos 
dela, tomando por base essas 
medidas robustas. 
Coloca-se os boxplots lado a lado e 
avalia fatores como quartis, tamanho 
das caixas, medianas, possíveis 
pontos discrepantes
Fonte: Silva (2021)
Faturamentos nos 
estados de São Paulo, 
Minas Gerais e Rio de 
Janeiro
Você é gerente de uma empresa e ficou responsável por 
realizar uma análise das medidas-resumo dos 
faturamentos das lojas nos estados de São Paulo, Minas 
Gerais e Rio de Janeiro. O diretor da empresa deseja 
obter todas estas informações em um mesmo gráfico. 
Diante desta situação, uma importante ferramenta que 
atende a necessidade colocada pelo diretor é o boxplot. 
Nesse sentido, com o auxílio da linguagem R, elabore 
três boxplots, um para cada estado de análise.
Lojas São Paulo Rio de Janeiro Minas Gerais
1 R$ 49.899 R$ 34.444 R$ 16.357
2 R$ 47.101 R$ 26.223 R$ 13.303
3 R$ 44.777 R$ 41.194 R$ 15.715
4 R$ 25.721 R$ 41.846 R$ 16.569
5 R$ 42.555 R$ 22.262 R$ 20.199
6 R$ 29.781 R$ 14.354 R$ 18.904
7 R$ 42.641 R$ 30.757 R$ 16.428
8 R$ 35.982 R$ 39.891 R$ 20.444
9 R$ 34.953 R$ 33.098 R$ 27.301
10 R$ 26.302 NA R$ 24.687
11 R$ 46.122 NA R$ 27.493
12 R$ 48.999 NA NA
Placas fora de 
especificação
Uma indústria produz uma placa metálica cujo valor de 
referência é 75cm. Após verificar lotes com placas fora de 
especificação, enviaram duas equipes de trabalhadores 
(A e B) para um treinamento. Para verificar a eficiência 
do treinamento, foram selecionadas 10 placas produzidas 
pelas equipes A e B e 10 placas produzidas pelas
equipes C e D que não participaram do
treinamento.
48
Adaptada (Portalaction, 2018)
49
Disponível em: https://bit.ly/33xbJwj
Acesso em: 15 mar. 2020.
https://bit.ly/33xbJwj
50
Com base no que foi 
apresentado e na 
análise do gráfico o 
que é possível inferir?
Fonte: https://www.shutterstock.com/pt/image-vector/little-caucasian-boy-jumping-out-large-
700495033
https://www.shutterstock.com/pt/image-vector/little-caucasian-boy-jumping-out-large-700495033
Recapitulando
Recapitulando... 
Nesta aula aprendemos sobre:
• Medidas de tendência central
• Aplicações de medidas de tendência central
• Medidas de dispersão
• Medidas de dispersão no RStudio
• Quantil
• Boxplot