Matematica_Ensino_Fundamental

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Frações 
 O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. 
 Chamamos: 
 de fração; 
 a de numerador; 
 b de denominador. 
 Se a é múltiplo de b, então é um número natural. 
 Veja um exemplo: 
 A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, 
obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. 
 Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois 
começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de 
número fracionário. 
O significado de uma fração 
 Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado 
de ? 
 Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou 
algumas, conforme nosso interesse. 
 Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, 
Roberval teria comido 3 partes: 
 
 Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou 
do chocolate. 
Como se lê uma fração 
 As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os 
denominadores são 10, 100, 1000, ... 
 
um meio 
 
dois quintos 
 
um terço 
 
quatro sétimos 
 
um quarto 
 
sete oitavos 
 
um quinto 
 
quinze nonos 
 
um sexto 
 
um décimo 
 
um sétimo 
 
um centésimo 
 
um oitavo 
 
um milésimo 
 
um nono 
 
oito milésimos 
 
 Classificação das frações 
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 
Frações equivalentes 
 Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. 
 Exemplo: são equivalentes 
 Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número 
natural, diferente de zero. 
 Exemplo: obter frações equivalentes à fração . 
 
 Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a . 
 
Simplificação de frações 
 Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos 
da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de . 
 A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser 
simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum 
Números fracionários 
 Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? 
5 . X = 1 
 Substituindo X, temos: 
 X por 0 temos: 5.0 = 0 
 X por 1 temos: 5.1 = 5. 
 Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse 
problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. 
 Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. 
 Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número 
fracionário . 
 Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois . 
Adição e subtração de números fracionários 
 Temos que analisar dois casos: 
 1º) denominadores iguais 
 Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. 
 Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
 Observe os exemplos: 
 
 
 2º) denominadores diferentes 
 Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de 
denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . 
 Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. 
 (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 
 
 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, 
que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. 
Multiplicação e divisão de números fracionários 
 Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por 
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos 
exemplos abaixo: 
 
 Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
Potenciação e radiciação de números fracionários 
 Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
 Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o 
exemplo abaixo: 
 
 
Critérios de divisibilidade 
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade 
sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. 
• Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
• Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é 
divisível por 3. 
• Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da 
direita for divisível por 4. 
Exemplo: 
1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 
• Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
• Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 
• Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da 
direita for divisível por 8. 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
• Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. 
Exemplo: 
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 
2871 é divisível por 9. 
• Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
• Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem 
ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. 
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem,o das centenas de 3ª ordem, e assim 
sucessivamente. 
Exemplos: 
1) 87549 
 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 
 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 
 Si-Sp = 22-11 = 11 
 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 
2) 439087 
 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 
 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 
 Si-Sp = 10-21 
 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) 
ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 
= 0. 
 Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
• Divisibilidade por 12 
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 
Exemplos: 
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). 
• Divisibilidade por 15 
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. 
Exemplos: 
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). 
• Divisibilidade por 25 
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. 
Exemplos: 
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. 
 
Números Primos 
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 
 Exemplos: 
 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 
 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 
 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. 
 Observações: 
 => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 
 => 2 é o único número primo que é par. 
 Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. 
 Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. 
• Reconhecimento de um número primo 
 Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que 
tenhamos: 
 => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, 
 => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é 
primo. 
Exemplos: 
1) O número 161: 
• não é par, portanto não é divisível por 2; 
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; 
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 
2) O número 113: 
• não é par, portanto não é divisível por 2; 
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; 
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). 
• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é 
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. 
Decomposição em fatores primos 
 Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
 Decomposição do número 24 num produto: 
 24 = 4 x 6 
 24 = 2 x 2 x 6 
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 
 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 
 Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 
é 23 x 3. 
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior 
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 
• Regra prática para a fatoração 
 Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse 
dispositivo: 
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo; 
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo 
menor divisor primo desse quociente e assim 
sucessivamente até obter o quociente 1. 
A figura ao lado mostra a fatoração do número 
630. 
 
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 
 
Determinação dos divisores de um número 
 Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1º) decompomos o número em fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no 
alto, porque ele é divisor de qualquer número; 
 
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator 
primo pelos divisores já obtidos e escrevemos 
esses produtos ao lado de cada fator primo; 
 
4º) os divisores já obtidos não precisam ser 
repetidos. 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
 
Máximo Divisor Comum 
 Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. 
Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 
6. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor 
comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. 
 Alguns exemplos: 
 mdc (6,12) = 6 
 mdc (12,20) = 4 
 mdc (20,24) = 4 
 mdc (12,20,24) = 4 
 mdc (6,12,15) = 3 
• CÁLCULO DO M.D.C. 
 Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em 
fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 
36 = 22 x 32 
90 = 2 x 32 x5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a 
eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 
• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
 Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). 
 Regra prática: 
 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 
 48 / 30 = 1 (com resto 18) 
 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim 
sucessivamente; 
 30 / 18 = 1 (com resto 12) 
 18 / 12 = 1 (com resto 6) 
 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 
 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. 
• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo 
divisor comum desses números é 1. 
 Exemplos: 
 Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. 
 Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. 
 
• PROPRIEDADE DO M.D.C. 
 Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). 
Observe: 
 6 = 2 x 3 
18 = 2 x 32 
30 = 2 x 3 x 5 
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então 
ele é o m.d.c. dos números dados. 
 
Mínimo Múltiplo Comum 
• MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL 
 Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 
 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. 
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então 
dizemos que ele é múltiplo desse outro. 
 Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. 
 Exemplo: os múltiplos de 7 são:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... 
 Observações importantes: 
 1) Um número tem infinitos múltiplos 
 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural 
 
• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 
 Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 
 Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 
 Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
 Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
 Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
 Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo 
comum de 4 e 6. 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo 
múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. 
 
• CÁLCULO DO M.M.C. 
 Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. 
de 12 e 30: 
 1º) decompomos os números em fatores primos 
 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
 12 = 2 x 2 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
 12 = 22 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores 
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
 Neste processo decompomos todos os números ao mesmo 
tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos 
fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses 
números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
 Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
 
• PROPRIEDADE DO M.M.C. 
 Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). 
Observe: 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
 
 Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 
por 15. Observe: 
 
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. 
 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com uma variável) 
 Introdução 
 
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o 
prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: 
ax+b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
 
 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que 
sucede, 2ºmembro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, 
sendo a e bnúmeros racionais, com a diferente de zero. 
 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação 
 Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. 
 Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é 
o conjunto verdade dessa mesma equação. 
 
 Observe este outro exemplo: 
• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 
 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. 
 Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = 
{-5, 5}. 
 Daí concluímos que: 
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se 
por U. 
 
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-
se por V. 
 
Observações: 
• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. 
 
• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto 
universo o conjunto dos números racionais. 
 
• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. 
Raízes de uma equação 
 Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. 
 Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência: 
• Substituir a incógnita por esse número. 
• Determinar o valor de cada membro da equação. 
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
 Exemplos: 
 Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em 
cada caso o conjunto verdade. 
 
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. 
 Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) 
 Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) 
 Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) 
 Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F) 
 Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. 
 
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. 
 
 Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) 
 Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) 
 Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) 
 Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F) 
 
 A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø. 
 
Resolução de uma equação 
 Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a 
equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos 
do conjunto verdade ou asraízes da equação. Resumindo: 
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do 
conjunto universo considerado. 
 Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das 
igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos: 
• Sendo , resolva a equação . 
 MMC (4, 6) = 12 
 
 -9x = 10 => Multiplicador por (-1) 
 9x = -10 
 
 Como , então . 
 
• Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4). 
 Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
 
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 
2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3 
3x = -1 
 
 Como , então 
 
Equações impossíveis e identidades 
• Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1). 
 Observe, agora, a sua resolução: 
 
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 
12x - 8 = 12x - 3 
12x - 12x = - 3 + 8 
0 . x = 5 
 
 Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, 
portanto, não tem solução. Logo, V =Ø. 
 Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e 
 
• Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x. 
 Observe a sua resolução: 
 
-3x + 3x = 2 - 10 + 8 
0 . x = 0 
 Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas 
soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação 
verdadeira, são denominadas identidades. 
 
 
Pares ordenados 
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. 
 Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos: 
 
 
 Assim: 
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, 
onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento. 
 
• Observações 
1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . 
Exemplos 
 
 2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s. 
 
 
Representação gráfica de um Par Ordenado 
 Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. 
 Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. 
 
 Coordenadas Cartesianas 
 Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos: 
 
 A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A. 
 Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. 
Assim: 
 
 
 
 Plano Cartesiano 
 
 Representamos um par ordenado em um 
plano cartesiano. 
 Esse plano é formado por duas 
retas, x e y,perpendiculares entre si. 
 A reta horizontal é o eixo das abscissas 
(eixox). 
 A reta vertical é o eixo das ordenadas 
(eixo y). 
 O ponto comum dessas duas retas é 
denominado 
 origem, que corresponde ao par ordenado (0, 
0). 
 
 
 Localização de um Ponto 
 
 Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática: 
• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. 
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. 
• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto 
procurado. Exemplo: 
• Localize o ponto (4, 3). 
 
 Produto Cartesiano 
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. 
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado 
formaremos o conjunto de todos os pares 
ordenados em que o 1º elemento pertença ao 
conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B. 
 
 Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} 
 Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: 
 
 Logo: 
 Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto 
de todos os pares ordenados (x, y) onde 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com duas variáveis) 
 
 
 
 Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y 
 
 Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação 
equivalente mais simples. Assim: 
 
 2x + 3y = 5 + 6 
 2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c . 
 
Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser 
reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, 
simultaneamente. 
 
 Na equação ax + by = c, denominamos: 
x + y - variáveis ou incógnita 
a - coeficiente de x 
b - coeficiente de y 
c - termo independente 
 
 Exemplos: 
x + y = 30 
2x + 3y = 15 
x - 4y = 10 
-3x - 7y = -48 
2x- 3y = 0 
x - y = 8 
 
 
 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 
 Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? 
 
 Observe os pares abaixo: 
 x = 6, y = 1 
x - 2y = 4 
6 - 2 . 1 = 4 
6 - 2 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = 8, y = 2 
x - 2y = 4 
8 - 2 . 2 = 4 
8 - 4 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = -2, y = -3 
x - 2y = 4 
-2 - 2 . (-3) = 4 
-2 + 6 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. 
 Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação. 
 Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, 
portanto, seu conjunto universo . 
 Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, 
calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: 
• Determine uma solução para a equação 3x - y = 8. 
 Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 
 
3x - y = 8 
3 . (1) - y = 8 
 
3 - y = 8 
-y = 5 ==> Multiplicamos por -1 
y = -5 
 
 O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. 
 V = {(1, -5)} 
 
 Resumindo: 
Um par ordenado (r, s) é solução de uma 
equação ax + by = c (a e bnão-nulos simultaneamente), se 
para x = r e y = s a sentença é verdadeira. 
 
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). 
 Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, 
determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo: 
• Construir um gráfico da equação x + y = 4. 
 Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 
 1º par: A (4, 0) 
 2º par: B (0, 4) 
 A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. 
x y 
4 0 
0 4 
 
 Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação. 
 
 A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. 
 
Sistemas de Equações 
 Considere o seguinte problema: 
 Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 
25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? 
 Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: 
 x + y = 25 (total de arremessos certo) 
 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
 Essas equações contém um sistema de equações. 
 Costuma-se indicar o sistema usando chave. 
 
 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do 
sistema.Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 
 
Resolução de Sistemas 
 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um 
par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 
Método de substituição 
 
 
 Solução 
• determinamos o valor de x na 1ª equação. 
 x = 4 - y 
• Substituímos esse valor na 2ª equação. 
 2 . (4 - y) -3y = 3 
• Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
8 - 2y -3y = 3 
 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
y = 1 
• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
Método da adição 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 Solução 
• Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 
• Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8y = 2 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 V = {(8, 2)} 
 
 
Inequações de primeiro grau 
Introdução 
 Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma 
desigualdade. 
 As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: 
, , , , como a e b reais . Exemplos: 
 
 
 
Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis 
Método prático 
• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
• Traçamos a reta no plano cartesiano. 
• Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
 Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o 
pontoauxiliar. 
 Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. Exemplos: 
• Representamos graficamente a inequação 
Tabela 
x y (x, y) 
0 4 (0, 4) 
2 0 (2, 0) 
 
 
 Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 
 Verificamos: 
 
 (Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação) 
 A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Inequações de primeiro grau 
 
Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau 
 Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos: 
• traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; 
• determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos: 
• Dê a resolução gráfica do sistema: 
 Solução 
 Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6. 
Tabela 
x y (x, y) 
0 4 (0, 4) 
-4 0 (-4, 0) 
 
Tabela 
x y (x, y) 
0 3 (0, 3) 
1 3/2 (1, 3/2) 
 
 
Gráfico 
 
 
Radiciação 
 Potenciação de Radicais 
 Observando as potencias, temos que: 
 
 
 De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele 
expoente. Exemplos: 
 
 Divisão de Radicais 
 Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
 
 
 De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os 
radicais: Exemplos: 
 : = 
 Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a 
operação. Exemplos: 
 
 
Racionalização de denominadores 
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional. 
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração 
equivalente: 
 
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. 
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com 
denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu 
denominador. 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por 
uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração 
equivalente com denominador sem radical. 
 
Principais casos de racionalização: 
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos: 
 
 é o fator racionalizante de , pois . = = a 
 
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos: 
 
 é o fator racionalizante de 
 
 é o fator racionalizante de 
 é o fator racionalizante de 
 é o fator racionalizante de 
Potência com expoente racional 
Observe as seguintes igualdades: 
 ou 
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical. 
 
De modo geral, definimos: 
 , com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0 
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário: 
 
Propriedade das potências com expoentes racionais 
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes 
inteiros. 
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Razões - Introdução 
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para 
compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: 
 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). 
 Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. 
 A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. 
 A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do 
carro de corrida. 
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) 
o quociente ou a:b. 
 A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações 
em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: 
• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. 
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
 (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 
• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. 
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: 
 (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). 
 
 Observações: 
 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: 
 Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
 2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos 
tenham sinais contrários. Exemplos: 
 A razão entre 1 e -8 é . 
 A razão entre é . 
 
Termos de uma razão 
Observe a razão: 
 (lê-se "a está para b" ou "a para b"). 
 Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. 
Veja o exemplo: 
 3:5 = 
 Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. 
 
Razões inversas 
Considere as razões . 
 Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, . 
 Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. 
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. 
 Exemplo: 
 são razões inversas, pois . 
 Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. 
 
 Observações: 
 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 
 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. 
 Exemplo: O inverso de . 
Razões equivalentes 
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira: 
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número 
racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente. 
 Exemplos: 
 são razões equivalentes. 
 são razões equivalentes. 
 
 
Razões entre grandezas da mesma espécie 
 
O conceito é o seguinte: 
 
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que 
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. 
 
 Exemplos: 
 
 1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o 
segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por: 
 
 
 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra 
de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2. 
 
 Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: . 
 
 
Razões entre grandezas de espécies diferentes 
O conceito é o seguinte: 
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente 
entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que 
relaciona as grandezas envolvidas. 
 Exemplos:1) Consumo médio: 
• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de 
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa 
razão? Solução: 
 Razão = 
 Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro"). 
 Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km. 
 
 2) Velocidade média: 
• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas 
grandezas? O que significa essa razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). 
 Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. 
 
 3) Densidade demográfica: 
• O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 
145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa 
razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado"). 
 Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes. 
 
 4) Densidade absoluta ou massa específica: 
• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume 
desse corpo. O que significa essa razão? 
Solução: 
 Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 
 Razão = 
 Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico"). 
 Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. 
 
Proporções - Introdução 
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua 
vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. 
 Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: 
 
 Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: 
 
 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é 
umaproporção. Assim 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
 
Elementos de uma proporção 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção 
quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: 
 ou a:b=c:d 
(lê-se "a está para b assim como c está para d") 
 Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
• b e c os meios da proporção. 
• a e d os extremos da proporção. 
 
 Exemplo: 
 Dada a proporção , temos: 
 Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 
 Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 
 
Propriedade fundamental das proporções 
Observe as seguintes proporções: 
 
Produto dos meios = 4.30 = 120 
Produto dos extremos = 3.40 = 120 
 
 
Produto dos meios = 9.20 = 180 
Produto dos extremos = 4.45 = 180 
 
 
Produto dos meios = 8.45 = 360 
Produto dos extremos = 5.72 = 360 
 De modo geral, temos que: 
 
 Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
Aplicações da propriedade fundamental 
Determinação do termo desconhecido de uma proporção 
 Exemplos: 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 
 5 . x = 120 
 
 x = 24 
 Logo, o valor de x é 24. 
 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 
 5x - 15 = 8x + 4 
 5x - 8x = 4 + 15 
 -3x = 19 
 3x = -19 
 x = 
 Logo, o valor de x é . 
 
• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. 
 Solução: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 5 . x = 8 . 35 
 5x = 280 
 
 x = 56 
 Logo, o valor de x é 56. 
 
 Resolução de problemas envolvendo proporções 
 Exemplo: 
• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 
m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? 
 Solução: 
 A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. 
 Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção: 
 
 Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 1 . 2 = 0,04 . x 
 0,04x = 2 
 
 x = 50 m3 
 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada. 
 
Quarta proporcional 
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um 
número x tal que: 
 
 Exemplo: 
• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. 
 Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 8 . x = 12 . 6 
 8 . x = 72 
 
 x = 9 
 Logo, a quarta proporcional é 9. 
 
Proporção contínua 
Considere a seguinte proporção: 
 Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim: 
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. 
 De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: 
 
 Terceira proporcional 
 Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o 
número x tal que: 
 
 Exemplo: 
 Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. 
 Solução 
 Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 20 . x = 10 . 10 
 20x = 100 
 
 x = 5 
 Logo, a terceira proporcional é 5. 
 
 Média geométrica ou média proporcional 
 Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média 
proporcionalentre a e c. Exemplo: 
• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. 
Solução: 
 
 5 . 20 = b . b 
 100 = b2 
 b2 = 100 
 b = 
 b = 10 
 Logo, a média geométrica positiva é 10. 
Propriedades das proporções 
1ª propriedade: 
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
Adicionando 1 a cada membro obtemos: 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. 
Solução: 
 
 Assim: 
 
 x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. 
 Logo, x=36 e y=48. 
 
 2ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
Subtraindo 1 a cada membro obtemos: 
 
 
 
 
 (Mult. os 2 membros 
por -1) 
 
Exemplo: 
• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção . 
Solução: 
 Pela 2ª propriedade temos que: 
 
 x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. 
 Logo, x=30 e y=12. 
 
 3ª propriedade: 
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 
 4ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 Exemplo: 
• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção . 
Solução: 
 Pela 4ª propriedade, temos que: 
 
 
 
 5ª propriedade: 
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, 
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Multiplicando os dois membros por , temos: 
 
 Assim: 
 
 Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: 
 
 
Proporção múltipla 
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim: 
 é uma proporção múltipla. 
 Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: 
 
 
Algarismos Romanos 
A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos 
valores. Os algarismos romanos são usados principalmente: 
• Nos números de capítulos uma obra. 
• Nas cenas de um teatro. 
• Nos nomes de papas e imperadores. 
• Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias... 
Regras 
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores: 
Letras Valores 
I 1 
V 5 
X 10 
L 50 
C 100 
D 500 
M 1000 
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66. 
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da 
anterior. 
Exemplos: 
VI = 6 
XXI = 21 
LXVII = 67 
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" 
ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades. 
Exemplos: 
IV = 4 
IX = 9 
XL = 40 
XC = 90 
CD = 400 
CM = 900 
Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via 
as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. 
Exemplos: 
XIII = 13 
XIV = 14 
XXXIII = 33 
XXXIV = 34 
A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu 
valor duplicado. 
Exemplos: 
X = 10 
C = 100 
M = 1.000 
Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. 
Exemplos: 
XIX = 19 
LIV = 54 
CXXIX = 129 
O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima 
dos mesmos. 
Exemplos: 
 
Tabela de números romanos 
Números de 1 até 1449 
Números de 1450 a 2100 
Números maiores que 2100 
 
 
Tabela de números romanos (de 1 até 1449) 
1 = I 
2 = II 
3 = III 
4 = IV 
5 = V 
6 = VI 
7 = VII 
8 = VIII 
9 = IX 
10 = X 
11 = XI 
12 = XII 
13 = XIII 
14 = XIV 
15 = XV 
16 = XVI 
17 = XVII 
18 = XVIII 
19 = XIX 
20 = XX 
21 = XXI 
22 = XXII 
23 = XXIII 
24 = XXIV 
25 = XXV 
26 = XXVI 
27 = XXVII 
28 = XXVIII 
29 = XXIX 
30 = XXX 
31 = XXXI 
32 = XXXII 
33 = XXXIII 
34 = XXXIV 
35 = XXXV 
36 = XXXVI 
37 = XXXVII 
38 = XXXVIII 
39 = XXXIX 
40 = XL 
41 = XLI 
42 = XLII 
43 = XLIII 
44 = XLIV 
45 = XLV 
46 = XLVI 
47 = XLVII 
48 = XLVIII 
49 = XLIX 
484 = CDLXXXIV 
485 = CDLXXXV 
486 = CDLXXXVI 
487 = CDLXXXVII 
488 = CDLXXXVIII 
489 = CDLXXXIX 
490 = CDXC 
491 = CDXCI 
492 = CDXCII 
493 = CDXCIII 
494 = CDXCIV 
495 = CDXCV 
496 = CDXCVI 
497 = CDXCVII 
498 = CDXCVIII 
499 = CDXCIX 
500 = D 
501 = DI 
502 = DII 
503 = DIII 
504 = DIV 
505 = DV 
506 = DVI 
507 = DVII 
508 = DVIII 
509 = DIX 
510 = DX 
511 = DXI 
512 = DXII 
513 = DXIII 
514 = DXIV 
515 = DXV 
516 = DXVI 
517 = DXVII 
518 = DXVIII 
519 = DXIX 
520 = DXX 
521 = DXXI 
522 = DXXII 
523 = DXXIII 
524 = DXXIV 
525 = DXXV 
526 = DXXVI 
527 = DXXVII 
528 = DXXVIII 
529 = DXXIX 
530 = DXXX 
531 = DXXXI 
532 = DXXXII 
967 = CMLXVII 
968 = CMLXVIII 
969 = CMLXIX 
970 = CMLXX 
971 = CMLXXI 
972 = CMLXXII 
973 = CMLXXIII 
974 = CMLXXIV 
975 = CMLXXV 
976 = CMLXXVI 
977 = CMLXXVII 
978 = CMLXXVIII 
979 = CMLXXIX 
980 = CMLXXX 
981 = CMLXXXI 
982 = CMLXXXII 
983 = CMLXXXIII 
984 = CMLXXXIV 
985 = CMLXXXV 
986 = CMLXXXVI 
987 = CMLXXXVII 
988 = CMLXXXVIII 
989 = CMLXXXIX 
990 = CMXC 
991 = CMXCI 
992 = CMXCII 
993 = CMXCIII 
994 = CMXCIV 
995 = CMXCV 
996 = CMXCVI 
997 = CMXCVII 
998 = CMXCVIII 
999 = CMXCIX 
1000 = M 
1001 = MI 
1002 = MII 
1003 = MIII 
1004 = MIV 
1005 = MV 
1006 = MVI 
1007 = MVII 
1008 = MVIII 
1009 = MIX 
1010 = MX 
1011 = MXI 
1012 = MXII 
1013 = MXIII 
1014 = MXIV 
1015 = MXV 
50 = L 
51 = LI 
52 = LII 
53 = LIII 
54 = LIV 
55 = LV 
56 = LVI 
57 = LVII 
58 = LVIII 
59 = LIX 
60 = LX 
61 = LXI 
62 = LXII 
63 = LXIII 
64 = LXIV 
65 = LXV 
66 = LXVI 
67 = LXVII 
68 = LXVIII 
69 = LXIX 
70 = LXX 
71 = LXXI 
72 = LXXII 
73 = LXXIII 
74 = LXXIV 
75 = LXXV 
76 = LXXVI 
77 = LXXVII 
78 = LXXVIII 
79 = LXXIX 
80 = LXXX 
81 = LXXXI 
82 = LXXXII 
83 = LXXXIII 
84 = LXXXIV 
85 = LXXXV 
86 = LXXXVI 
87 = LXXXVII 
88 = LXXXVIII 
89 = LXXXIX 
90 = XC 
91 = XCI 
92 = XCII 
93 = XCIII 
94 = XCIV 
95 = XCV 
96 = XCVI 
97 = XCVII 
98 = XCVIII 
99 = XCIX 
100 = C 
101 = CI 
102 = CII 
103 = CIII 
104 = CIV 
105 = CV 
533 = DXXXIII 
534 = DXXXIV 
535 = DXXXV 
536 = DXXXVI 
537 = DXXXVII 
538 = DXXXVIII 
539 = DXXXIX 
540 = DXL 
541 = DXLI 
542 = DXLII 
543 = DXLIII 
544 = DXLIV 
545 = DXLV 
546 = DXLVI 
547 = DXLVII 
548 = DXLVIII 
549 = DXLIX 
550 = DL 
551 = DLI 
552 = DLII 
553 = DLIII 
554 = DLIV 
555 = DLV 
556 = DLVI 
557 = DLVII 
558 = DLVIII 
559 = DLIX 
560 = DLX 
561 = DLXI 
562 = DLXII 
563 = DLXIII 
564 = DLXIV 
565 = DLXV 
566 = DLXVI 
567 = DLXVII 
568 = DLXVIII 
569 = DLXIX 
570 = DLXX 
571 = DLXXI 
572 = DLXXII 
573 = DLXXIII 
574 = DLXXIV 
575 = DLXXV 
576 = DLXXVI 
577 = DLXXVII 
578 = DLXXVIII 
579 = DLXXIX 
580 = DLXXX 
581 = DLXXXI 
582 = DLXXXII 
583 = DLXXXIII 
584 = DLXXXIV 
585 = DLXXXV 
586 = DLXXXVI 
587 = DLXXXVII 
588 = DLXXXVIII 
1016 = MXVI 
1017 = MXVII 
1018 = MXVIII 
1019 = MXIX 
1020 = MXX 
1021 = MXXI 
1022 = MXXII 
1023 = MXXIII 
1024 = MXXIV 
1025 = MXXV 
1026 = MXXVI 
1027 = MXXVII 
1028 = MXXVIII 
1029 = MXXIX 
1030 = MXXX 
1031 = MXXXI 
1032 = MXXXII 
1033 = MXXXIII 
1034 = MXXXIV 
1035 = MXXXV 
1036 = MXXXVI 
1037 = MXXXVII 
1038 = MXXXVIII 
1039 = MXXXIX 
1040 = MXL 
1041 = MXLI 
1042 = MXLII 
1043 = MXLIII 
1044 = MXLIV 
1045 = MXLV 
1046 = MXLVI 
1047 = MXLVII 
1048 = MXLVIII 
1049 = MXLIX 
1050 = ML 
1051 = MLI 
1052 = MLII 
1053 = MLIII 
1054 = MLIV 
1055 = MLV 
1056 = MLVI 
1057 = MLVII 
1058 = MLVIII 
1059 = MLIX 
1060 = MLX 
1061 = MLXI 
1062 = MLXII 
1063 = MLXIII 
1064 = MLXIV 
1065 = MLXV 
1066 = MLXVI 
1067 = MLXVII 
1068 = MLXVIII 
1069 = MLXIX 
1070 = MLXX 
1071 = MLXXI 
106 = CVI 
107 = CVII 
108 = CVIII 
109 = CIX 
110 = CX 
111 = CXI 
112 = CXII 
113 = CXIII 
114 = CXIV 
115 = CXV 
116 = CXVI 
117 = CXVII 
118 = CXVIII 
119 = CXIX 
120 = CXX 
121 = CXXI 
122 = CXXII 
123 = CXXIII 
124 = CXXIV 
125 = CXXV 
126 = CXXVI 
127 = CXXVII 
128 = CXXVIII 
129 = CXXIX 
130 = CXXX 
131 = CXXXI 
132 = CXXXII 
133 = CXXXIII 
134 = CXXXIV 
135 = CXXXV 
136 = CXXXVI 
137 = CXXXVII 
138 = CXXXVIII 
139 = CXXXIX 
140 = CXL 
141 = CXLI 
142 = CXLII 
143 = CXLIII 
144 = CXLIV 
145 = CXLV 
146 = CXLVI 
147 = CXLVII 
148 = CXLVIII 
149 = CXLIX 
150 = CL 
151 = CLI 
152 = CLII 
153 = CLIII 
154 = CLIV 
155 = CLV 
156 = CLVI 
157 = CLVII 
158 = CLVIII 
159 = CLIX 
160 = CLX 
161 = CLXI 
589 = DLXXXIX 
590 = DXC 
591 = DXCI 
592 = DXCII 
593 = DXCIII594 = DXCIV 
595 = DXCV 
596 = DXCVI 
597 = DXCVII 
598 = DXCVIII 
599 = DXCIX 
600 = DC 
601 = DCI 
602 = DCII 
603 = DCIII 
604 = DCIV 
605 = DCV 
606 = DCVI 
607 = DCVII 
608 = DCVIII 
609 = DCIX 
610 = DCX 
611 = DCXI 
612 = DCXII 
613 = DCXIII 
614 = DCXIV 
615 = DCXV 
616 = DCXVI 
617 = DCXVII 
618 = DCXVIII 
619 = DCXIX 
620 = DCXX 
621 = DCXXI 
622 = DCXXII 
623 = DCXXIII 
624 = DCXXIV 
625 = DCXXV 
626 = DCXXVI 
627 = DCXXVII 
628 = DCXXVIII 
629 = DCXXIX 
630 = DCXXX 
631 = DCXXXI 
632 = DCXXXII 
633 = DCXXXIII 
634 = DCXXXIV 
635 = DCXXXV 
636 = DCXXXVI 
637 = DCXXXVII 
638 = DCXXXVIII 
639 = DCXXXIX 
640 = DCXL 
641 = DCXLI 
642 = DCXLII 
643 = DCXLIII 
644 = DCXLIV 
1072 = MLXXII 
1073 = MLXXIII 
1074 = MLXXIV 
1075 = MLXXV 
1076 = MLXXVI 
1077 = MLXXVII 
1078 = MLXXVIII 
1079 = MLXXIX 
1080 = MLXXX 
1081 = MLXXXI 
1082 = MLXXXII 
1083 = MLXXXIII 
1084 = MLXXXIV 
1085 = MLXXXV 
1086 = MLXXXVI 
1087 = MLXXXVII 
1088 = MLXXXVIII 
1089 = MLXXXIX 
1090 = MXC 
1091 = MXCI 
1092 = MXCII 
1093 = MXCIII 
1094 = MXCIV 
1095 = MXCV 
1096 = MXCVI 
1097 = MXCVII 
1098 = MXCVIII 
1099 = MXCIX 
1100 = MC 
1101 = MCI 
1102 = MCII 
1103 = MCIII 
1104 = MCIV 
1105 = MCV 
1106 = MCVI 
1107 = MCVII 
1108 = MCVIII 
1109 = MCIX 
1110 = MCX 
1111 = MCXI 
1112 = MCXII 
1113 = MCXIII 
1114 = MCXIV 
1115 = MCXV 
1116 = MCXVI 
1117 = MCXVII 
1118 = MCXVIII 
1119 = MCXIX 
1120 = MCXX 
1121 = MCXXI 
1122 = MCXXII 
1123 = MCXXIII 
1124 = MCXXIV 
1125 = MCXXV 
1126 = MCXXVI 
1127 = MCXXVII 
162 = CLXII 
163 = CLXIII 
164 = CLXIV 
165 = CLXV 
166 = CLXVI 
167 = CLXVII 
168 = CLXVIII 
169 = CLXIX 
170 = CLXX 
171 = CLXXI 
172 = CLXXII 
173 = CLXXIII 
174 = CLXXIV 
175 = CLXXV 
176 = CLXXVI 
177 = CLXXVII 
178 = CLXXVIII 
179 = CLXXIX 
180 = CLXXX 
181 = CLXXXI 
182 = CLXXXII 
183 = CLXXXIII 
184 = CLXXXIV 
185 = CLXXXV 
186 = CLXXXVI 
187 = CLXXXVII 
188 = CLXXXVIII 
189 = CLXXXIX 
190 = CXC 
191 = CXCI 
192 = CXCII 
193 = CXCIII 
194 = CXCIV 
195 = CXCV 
196 = CXCVI 
197 = CXCVII 
198 = CXCVIII 
199 = CXCIX 
200 = CC 
201 = CCI 
202 = CCII 
203 = CCIII 
204 = CCIV 
205 = CCV 
206 = CCVI 
207 = CCVII 
208 = CCVIII 
209 = CCIX 
210 = CCX 
211 = CCXI 
212 = CCXII 
213 = CCXIII 
214 = CCXIV 
215 = CCXV 
216 = CCXVI 
217 = CCXVII 
645 = DCXLV 
646 = DCXLVI 
647 = DCXLVII 
648 = DCXLVIII 
649 = DCXLIX 
650 = DCL 
651 = DCLI 
652 = DCLII 
653 = DCLIII 
654 = DCLIV 
655 = DCLV 
656 = DCLVI 
657 = DCLVII 
658 = DCLVIII 
659 = DCLIX 
660 = DCLX 
661 = DCLXI 
662 = DCLXII 
663 = DCLXIII 
664 = DCLXIV 
665 = DCLXV 
666 = DCLXVI 
667 = DCLXVII 
668 = DCLXVIII 
669 = DCLXIX 
670 = DCLXX 
671 = DCLXXI 
672 = DCLXXII 
673 = DCLXXIII 
674 = DCLXXIV 
675 = DCLXXV 
676 = DCLXXVI 
677 = DCLXXVII 
678 = DCLXXVIII 
679 = DCLXXIX 
680 = DCLXXX 
681 = DCLXXXI 
682 = DCLXXXII 
683 = DCLXXXIII 
684 = DCLXXXIV 
685 = DCLXXXV 
686 = DCLXXXVI 
687 = DCLXXXVII 
688 = DCLXXXVIII 
689 = DCLXXXIX 
690 = DCXC 
691 = DCXCI 
692 = DCXCII 
693 = DCXCIII 
694 = DCXCIV 
695 = DCXCV 
696 = DCXCVI 
697 = DCXCVII 
698 = DCXCVIII 
699 = DCXCIX 
700 = DCC 
1128 = MCXXVIII 
1129 = MCXXIX 
1130 = MCXXX 
1131 = MCXXXI 
1132 = MCXXXII 
1133 = MCXXXIII 
1134 = MCXXXIV 
1135 = MCXXXV 
1136 = MCXXXVI 
1137 = MCXXXVII 
1138 = MCXXXVIII 
1139 = MCXXXIX 
1140 = MCXL 
1141 = MCXLI 
1142 = MCXLII 
1143 = MCXLIII 
1144 = MCXLIV 
1145 = MCXLV 
1146 = MCXLVI 
1147 = MCXLVII 
1148 = MCXLVIII 
1149 = MCXLIX 
1150 = MCL 
1151 = MCLI 
1152 = MCLII 
1153 = MCLIII 
1154 = MCLIV 
1155 = MCLV 
1156 = MCLVI 
1157 = MCLVII 
1158 = MCLVIII 
1159 = MCLIX 
1160 = MCLX 
1161 = MCLXI 
1162 = MCLXII 
1163 = MCLXIII 
1164 = MCLXIV 
1165 = MCLXV 
1166 = MCLXVI 
1167 = MCLXVII 
1168 = MCLXVIII 
1169 = MCLXIX 
1170 = MCLXX 
1171 = MCLXXI 
1172 = MCLXXII 
1173 = MCLXXIII 
1174 = MCLXXIV 
1175 = MCLXXV 
1176 = MCLXXVI 
1177 = MCLXXVII 
1178 = MCLXXVIII 
1179 = MCLXXIX 
1180 = MCLXXX 
1181 = MCLXXXI 
1182 = MCLXXXII 
1183 = MCLXXXIII 
218 = CCXVIII 
219 = CCXIX 
220 = CCXX 
221 = CCXXI 
222 = CCXXII 
223 = CCXXIII 
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235 = CCXXXV 
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239 = CCXXXIX 
240 = CCXL 
241 = CCXLI 
242 = CCXLII 
243 = CCXLIII 
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246 = CCXLVI 
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251 = CCLI 
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944 = CMXLIV 
945 = CMXLV 
946 = CMXLVI 
947 = CMXLVII 
948 = CMXLVIII 
949 = CMXLIX 
950 = CML 
951 = CMLI 
952 = CMLII 
953 = CMLIII 
954 = CMLIV 
955 = CMLV 
956 = CMLVI 
957 = CMLVII 
958 = CMLVIII 
959 = CMLIX 
960 = CMLX 
961 = CMLXI 
962 = CMLXII 
963 = CMLXIII 
964 = CMLXIV 
965 = CMLXV 
966 = CMLXVI 
1408 = MCDVIII 
1409 = MCDIX 
1410 = MCDX 
1411 = MCDXI 
1412 = MCDXII 
1413 = MCDXIII 
1414 = MCDXIV 
1415 = MCDXV 
1416 = MCDXVI 
1417 = MCDXVII 
1418 = MCDXVIII 
1419 = MCDXIX 
1420 = MCDXX 
1421 = MCDXXI 
1422 = MCDXXII 
1423 = MCDXXIII 
1424 = MCDXXIV 
1425 = MCDXXV 
1426 = MCDXXVI 
1427 = MCDXXVII 
1428 = MCDXXVIII 
1429 = MCDXXIX 
1430 = MCDXXX 
1431 = MCDXXXI 
1432 = MCDXXXII 
1433 = MCDXXXIII 
1434 = MCDXXXIV 
1435 = MCDXXXV 
1436 = MCDXXXVI 
1437 = MCDXXXVII 
1438 = MCDXXXVIII 
1439 = MCDXXXIX 
1440 = MCDXL 
1441 = MCDXLI 
1442 = MCDXLII 
1443 = MCDXLIII 
1444 = MCDXLIV 
1445 = MCDXLV 
1446 = MCDXLVI 
1447 = MCDXLVII 
1448 = MCDXLVIII 
1449 =MCDXLIX 
 
 
Tabela de números romanos (de 1450 até 2100) 
1450 = MCDL 
1451 = MCDLI 
1452 = MCDLII 
1453 = MCDLIII 
1454 = MCDLIV 
1455 = MCDLV 
1456 = MCDLVI 
1457 = MCDLVII 
1458 = MCDLVIII 
1459 = MCDLIX 
1668 = MDCLXVIII 
1669 = MDCLXIX 
1670 = MDCLXX 
1671 = MDCLXXI 
1672 = MDCLXXII 
1673 = MDCLXXIII 
1674 = MDCLXXIV 
1675 = MDCLXXV 
1676 = MDCLXXVI 
1677 = MDCLXXVII 
1886 = MDCCCLXXXVI 
1887 = MDCCCLXXXVII 
1888 = MDCCCLXXXVIII 
1889 = MDCCCLXXXIX 
1890 = MDCCCXC 
1891 = MDCCCXCI 
1892 = MDCCCXCII 
1893 = MDCCCXCIII 
1894 = MDCCCXCIV 
1895 = MDCCCXCV 
1460 = MCDLX 
1461 = MCDLXI 
1462 = MCDLXII 
1463 = MCDLXIII 
1464 = MCDLXIV 
1465 = MCDLXV 
1466 = MCDLXVI 
1467 = MCDLXVII 
1468 = MCDLXVIII 
1469 = MCDLXIX 
1470 = MCDLXX 
1471 = MCDLXXI 
1472 = MCDLXXII 
1473 = MCDLXXIII 
1474 = MCDLXXIV 
1475 = MCDLXXV 
1476 = MCDLXXVI 
1477 = MCDLXXVII 
1478 = MCDLXXVIII 
1479 = MCDLXXIX 
1480 = MCDLXXX 
1481 = MCDLXXXI 
1482 = MCDLXXXII 
1483 = MCDLXXXIII 
1484 = MCDLXXXIV 
1485 = MCDLXXXV 
1486 = MCDLXXXVI 
1487 = MCDLXXXVII 
1488 = MCDLXXXVIII 
1489 = MCDLXXXIX 
1490 = MCDXC 
1491 = MCDXCI 
1492 = MCDXCII 
1493 = MCDXCIII 
1494 = MCDXCIV 
1495 = MCDXCV 
1496 = MCDXCVI 
1497 = MCDXCVII 
1498 = MCDXCVIII 
1499 = MCDXCIX 
1500 = MD 
1501 = MDI 
1502 = MDII 
1503 = MDIII 
1504 = MDIV 
1505 = MDV 
1506 = MDVI 
1507 = MDVII 
1508 = MDVIII 
1509 = MDIX 
1510 = MDX 
1511 = MDXI 
1512 = MDXII 
1513 = MDXIII 
1514 = MDXIV 
1515 = MDXV 
1678 = MDCLXXVIII 
1679 = MDCLXXIX 
1680 = MDCLXXX 
1681 = MDCLXXXI 
1682 = MDCLXXXII 
1683 = MDCLXXXIII 
1684 = MDCLXXXIV 
1685 = MDCLXXXV 
1686 = MDCLXXXVI 
1687 = MDCLXXXVII 
1688 = MDCLXXXVIII 
1689 = MDCLXXXIX 
1690 = MDCXC 
1691 = MDCXCI 
1692 = MDCXCII 
1693 = MDCXCIII 
1694 = MDCXCIV 
1695 = MDCXCV 
1696 = MDCXCVI 
1697 = MDCXCVII 
1698 = MDCXCVIII 
1699 = MDCXCIX 
1700 = MDCC 
1701 = MDCCI 
1702 = MDCCII 
1703 = MDCCIII 
1704 = MDCCIV 
1705 = MDCCV 
1706 = MDCCVI 
1707 = MDCCVII 
1708 = MDCCVIII 
1709 = MDCCIX 
1710 = MDCCX 
1711 = MDCCXI 
1712 = MDCCXII 
1713 = MDCCXIII 
1714 = MDCCXIV 
1715 = MDCCXV 
1716 = MDCCXVI 
1717 = MDCCXVII 
1718 = MDCCXVIII 
1719 = MDCCXIX 
1720 = MDCCXX 
1721 = MDCCXXI 
1722 = MDCCXXII 
1723 = MDCCXXIII 
1724 = MDCCXXIV 
1725 = MDCCXXV 
1726 = MDCCXXVI 
1727 = MDCCXXVII 
1728 = MDCCXXVIII 
1729 = MDCCXXIX 
1730 = MDCCXXX 
1731 = MDCCXXXI 
1732 = MDCCXXXII 
1733 = MDCCXXXIII 
1896 = MDCCCXCVI 
1897 = MDCCCXCVII 
1898 = MDCCCXCVIII 
1899 = MDCCCXCIX 
1900 = MCM 
1901 = MCMI 
1902 = MCMII 
1903 = MCMIII 
1904 = MCMIV 
1905 = MCMV 
1906 = MCMVI 
1907 = MCMVII 
1908 = MCMVIII 
1909 = MCMIX 
1910 = MCMX 
1911 = MCMXI 
1912 = MCMXII 
1913 = MCMXIII 
1914 = MCMXIV 
1915 = MCMXV 
1916 = MCMXVI 
1917 = MCMXVII 
1918 = MCMXVIII 
1919 = MCMXIX 
1920 = MCMXX 
1921 = MCMXXI 
1922 = MCMXXII 
1923 = MCMXXIII 
1924 = MCMXXIV 
1925 = MCMXXV 
1926 = MCMXXVI 
1927 = MCMXXVII 
1928 = MCMXXVIII 
1929 = MCMXXIX 
1930 = MCMXXX 
1931 = MCMXXXI 
1932 = MCMXXXII 
1933 = MCMXXXIII 
1934 = MCMXXXIV 
1935 = MCMXXXV 
1936 = MCMXXXVI 
1937 = MCMXXXVII 
1938 = MCMXXXVIII 
1939 = MCMXXXIX 
1940 = MCMXL 
1941 = MCMXLI 
1942 = MCMXLII 
1943 = MCMXLIII 
1944 = MCMXLIV 
1945 = MCMXLV 
1946 = MCMXLVI 
1947 = MCMXLVII 
1948 = MCMXLVIII 
1949 = MCMXLIX 
1950 = MCML 
1951 = MCMLI 
1516 = MDXVI 
1517 = MDXVII 
1518 = MDXVIII 
1519 = MDXIX 
1520 = MDXX 
1521 = MDXXI 
1522 = MDXXII 
1523 = MDXXIII 
1524 = MDXXIV 
1525 = MDXXV 
1526 = MDXXVI 
1527 = MDXXVII 
1528 = MDXXVIII 
1529 = MDXXIX 
1530 = MDXXX 
1531 = MDXXXI 
1532 = MDXXXII 
1533 = MDXXXIII 
1534 = MDXXXIV 
1535 = MDXXXV 
1536 = MDXXXVI 
1537 = MDXXXVII 
1538 = MDXXXVIII 
1539 = MDXXXIX 
1540 = MDXL 
1541 = MDXLI 
1542 = MDXLII 
1543 = MDXLIII 
1544 = MDXLIV 
1545 = MDXLV 
1546 = MDXLVI 
1547 = MDXLVII 
1548 = MDXLVIII 
1549 = MDXLIX 
1550 = MDL 
1551 = MDLI 
1552 = MDLII 
1553 = MDLIII 
1554 = MDLIV 
1555 = MDLV 
1556 = MDLVI 
1557 = MDLVII 
1558 = MDLVIII 
1559 = MDLIX 
1560 = MDLX 
1561 = MDLXI 
1562 = MDLXII 
1563 = MDLXIII 
1564 = MDLXIV 
1565 = MDLXV 
1566 = MDLXVI 
1567 = MDLXVII 
1568 = MDLXVIII 
1569 = MDLXIX 
1570 = MDLXX 
1571 = MDLXXI 
1734 = MDCCXXXIV 
1735 = MDCCXXXV 
1736 = MDCCXXXVI 
1737 = MDCCXXXVII 
1738 = MDCCXXXVIII 
1739 = MDCCXXXIX 
1740 = MDCCXL 
1741 = MDCCXLI 
1742 = MDCCXLII 
1743 = MDCCXLIII 
1744 = MDCCXLIV 
1745 = MDCCXLV 
1746 = MDCCXLVI 
1747 = MDCCXLVII 
1748 = MDCCXLVIII 
1749 = MDCCXLIX 
1750 = MDCCL 
1751 = MDCCLI 
1752 = MDCCLII 
1753 = MDCCLIII 
1754 = MDCCLIV 
1755 = MDCCLV 
1756 = MDCCLVI 
1757 = MDCCLVII 
1758 = MDCCLVIII 
1759 = MDCCLIX 
1760 = MDCCLX 
1761 = MDCCLXI 
1762 = MDCCLXII 
1763 = MDCCLXIII 
1764 = MDCCLXIV 
1765 = MDCCLXV 
1766 = MDCCLXVI 
1767 = MDCCLXVII 
1768 = MDCCLXVIII 
1769 = MDCCLXIX 
1770 = MDCCLXX 
1771 = MDCCLXXI 
1772 = MDCCLXXII 
1773 = MDCCLXXIII 
1774 = MDCCLXXIV 
1775 = MDCCLXXV 
1776 = MDCCLXXVI 
1777 = MDCCLXXVII 
1778 = MDCCLXXVIII 
1779 = MDCCLXXIX 
1780 = MDCCLXXX 
1781 = MDCCLXXXI 
1782 = MDCCLXXXII 
1783 = MDCCLXXXIII 
1784 = MDCCLXXXIV 
1785 = MDCCLXXXV 
1786 = MDCCLXXXVI 
1787 = MDCCLXXXVII 
1788 = MDCCLXXXVIII 
1789 = MDCCLXXXIX 
1952 = MCMLII 
1953 = MCMLIII 
1954 = MCMLIV 
1955 = MCMLV 
1956 = MCMLVI 
1957 = MCMLVII 
1958 = MCMLVIII 
1959 = MCMLIX 
1960 = MCMLX 
1961 = MCMLXI 
1962 = MCMLXII 
1963 = MCMLXIII 
1964 = MCMLXIV 
1965 = MCMLXV 
1966 = MCMLXVI 
1967 = MCMLXVII 
1968 = MCMLXVIII 
1969 = MCMLXIX 
1970 = MCMLXX 
1971 = MCMLXXI 
1972 = MCMLXXII 
1973 = MCMLXXIII 
1974 = MCMLXXIV 
1975 = MCMLXXV 
1976 = MCMLXXVI 
1977 = MCMLXXVII 
1978 = MCMLXXVIII 
1979 = MCMLXXIX 
1980 = MCMLXXX 
1981 = MCMLXXXI 
1982 = MCMLXXXII 
1983 = MCMLXXXIII 
1984 = MCMLXXXIV 
1985 = MCMLXXXV 
1986 = MCMLXXXVI 
1987 = MCMLXXXVII 
1988 = MCMLXXXVIII 
1989 = MCMLXXXIX 
1990 = MCMXC 
1991 = MCMXCI 
1992 = MCMXCII 
1993 = MCMXCIII 
1994 = MCMXCIV 
1995 = MCMXCV 
1996 = MCMXCVI 
1997 = MCMXCVII 
1998 = MCMXCVIII 
1999 = MCMXCIX 
2000 = MM 
2001 = MMI 
2002 = MMII 
2003 = MMIII 
2004 = MMIV 
2005 = MMV 
2006 = MMVI 
2007 = MMVII 
1572 = MDLXXII 
1573 = MDLXXIII 
1574 = MDLXXIV 
1575 = MDLXXV 
1576 = MDLXXVI 
1577 = MDLXXVII 
1578 = MDLXXVIII 
1579 = MDLXXIX 
1580 = MDLXXX 
1581 = MDLXXXI 
1582 = MDLXXXII 
1583 = MDLXXXIII 
1584 = MDLXXXIV 
1585 = MDLXXXV 
1586 = MDLXXXVI 
1587 = MDLXXXVII 
1588 = MDLXXXVIII 
1589 = MDLXXXIX 
1590 = MDXC 
1591 = MDXCI 
1592 = MDXCII 
1593 = MDXCIII 
1594 = MDXCIV 
1595 = MDXCV 
1596 = MDXCVI 
1597 = MDXCVII 
1598 = MDXCVIII 
1599 = MDXCIX 
1600 = MDC 
1601 = MDCI 
1602 = MDCII 
1603 = MDCIII 
1604 = MDCIV 
1605 = MDCV 
1606 = MDCVI 
1607 = MDCVII 
1608 = MDCVIII 
1609 = MDCIX 
1610 = MDCX 
1611 = MDCXI 
1612 = MDCXII 
1613 = MDCXIII 
1614 = MDCXIV 
1615 = MDCXV 
1616 = MDCXVI 
1617 = MDCXVII 
1618 = MDCXVIII 
1619 = MDCXIX 
1620 = MDCXX 
1621 = MDCXXI 
1622 = MDCXXII 
1623 = MDCXXIII 
1624 = MDCXXIV 
1625 = MDCXXV 
1626 = MDCXXVI 
1627 = MDCXXVII 
1790 = MDCCXC 
1791 = MDCCXCI 
1792 = MDCCXCII 
1793 = MDCCXCIII 
1794 = MDCCXCIV 
1795 = MDCCXCV 
1796 = MDCCXCVI 
1797 = MDCCXCVII 
1798 = MDCCXCVIII 
1799 = MDCCXCIX 
1800 = MDCCC 
1801 = MDCCCI 
1802 = MDCCCII 
1803 = MDCCCIII 
1804 = MDCCCIV 
1805 = MDCCCV 
1806 = MDCCCVI 
1807 = MDCCCVII 
1808 = MDCCCVIII 
1809 = MDCCCIX 
1810 = MDCCCX 
1811 = MDCCCXI 
1812 = MDCCCXII 
1813 = MDCCCXIII 
1814 = MDCCCXIV 
1815 = MDCCCXV 
1816 = MDCCCXVI 
1817 = MDCCCXVII 
1818 = MDCCCXVIII 
1819 = MDCCCXIX 
1820 = MDCCCXX 
1821 = MDCCCXXI 
1822 = MDCCCXXII 
1823 = MDCCCXXIII 
1824 = MDCCCXXIV 
1825 = MDCCCXXV 
1826 = MDCCCXXVI 
1827 = MDCCCXXVII 
1828 = MDCCCXXVIII 
1829 = MDCCCXXIX 
1830 = MDCCCXXX 
1831 = MDCCCXXXI 
1832 = MDCCCXXXII 
1833 = MDCCCXXXIII 
1834 = MDCCCXXXIV 
1835 = MDCCCXXXV 
1836 = MDCCCXXXVI 
1837 = MDCCCXXXVII 
1838 = MDCCCXXXVIII 
1839 = MDCCCXXXIX 
1840 = MDCCCXL 
1841 = MDCCCXLI 
1842 = MDCCCXLII 
1843 = MDCCCXLIII 
1844 = MDCCCXLIV 
1845 = MDCCCXLV 
2008 = MMVIII 
2009 = MMIX 
2010 = MMX 
2011 = MMXI 
2012 = MMXII 
2013 = MMXIII 
2014 = MMXIV 
2015 = MMXV 
2016 = MMXVI 
2017 = MMXVII 
2018 = MMXVIII 
2019 = MMXIX 
2020 = MMXX 
2021 = MMXXI 
2022 = MMXXII 
2023 =