Prévia do material em texto

Frações 
 O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. 
 Chamamos: 
 de fração; 
 a de numerador; 
 b de denominador. 
 Se a é múltiplo de b, então é um número natural. 
 Veja um exemplo: 
 A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, 
obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. 
 Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois 
começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de 
número fracionário. 
O significado de uma fração 
 Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado 
de ? 
 Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou 
algumas, conforme nosso interesse. 
 Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, 
Roberval teria comido 3 partes: 
 
 Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou 
do chocolate. 
Como se lê uma fração 
 As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os 
denominadores são 10, 100, 1000, ... 
 
um meio 
 
dois quintos 
 
um terço 
 
quatro sétimos 
 
um quarto 
 
sete oitavos 
 
um quinto 
 
quinze nonos 
 
um sexto 
 
um décimo 
 
um sétimo 
 
um centésimo 
 
um oitavo 
 
um milésimo 
 
um nono 
 
oito milésimos 
 
 Classificação das frações 
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 
Frações equivalentes 
 Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. 
 Exemplo: são equivalentes 
 Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número 
natural, diferente de zero. 
 Exemplo: obter frações equivalentes à fração . 
 
 Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a . 
 
Simplificação de frações 
 Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos 
da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de . 
 A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser 
simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum 
Números fracionários 
 Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? 
5 . X = 1 
 Substituindo X, temos: 
 X por 0 temos: 5.0 = 0 
 X por 1 temos: 5.1 = 5. 
 Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse 
problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. 
 Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. 
 Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número 
fracionário . 
 Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois . 
Adição e subtração de números fracionários 
 Temos que analisar dois casos: 
 1º) denominadores iguais 
 Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. 
 Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
 Observe os exemplos: 
 
 
 2º) denominadores diferentes 
 Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de 
denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . 
 Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. 
 (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 
 
 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, 
que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. 
Multiplicação e divisão de números fracionários 
 Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por 
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos 
exemplos abaixo: 
 
 Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
Potenciação e radiciação de números fracionários 
 Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
 Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o 
exemplo abaixo: 
 
 
Critérios de divisibilidade 
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade 
sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. 
• Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
• Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é 
divisível por 3. 
• Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da 
direita for divisível por 4. 
Exemplo: 
1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 
• Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
• Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 
• Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da 
direita for divisível por 8. 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
• Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. 
Exemplo: 
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 
2871 é divisível por 9. 
• Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
• Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem 
ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. 
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem,o das centenas de 3ª ordem, e assim 
sucessivamente. 
Exemplos: 
1) 87549 
 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 
 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 
 Si-Sp = 22-11 = 11 
 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 
2) 439087 
 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 
 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 
 Si-Sp = 10-21 
 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) 
ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 
= 0. 
 Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
• Divisibilidade por 12 
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 
Exemplos: 
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). 
• Divisibilidade por 15 
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. 
Exemplos: 
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). 
• Divisibilidade por 25 
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. 
Exemplos: 
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. 
 
Números Primos 
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 
 Exemplos: 
 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 
 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 
 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. 
 Observações: 
 => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 
 => 2 é o único número primo que é par. 
 Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. 
 Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. 
• Reconhecimento de um número primo 
 Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que 
tenhamos: 
 => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, 
 => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é 
primo. 
Exemplos: 
1) O número 161: 
• não é par, portanto não é divisível por 2; 
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; 
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 
2) O número 113: 
• não é par, portanto não é divisível por 2; 
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; 
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). 
• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é 
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. 
Decomposição em fatores primos 
 Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
 Decomposição do número 24 num produto: 
 24 = 4 x 6 
 24 = 2 x 2 x 6 
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 
 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 
 Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 
é 23 x 3. 
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior 
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 
• Regra prática para a fatoração 
 Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse 
dispositivo: 
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo; 
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo 
menor divisor primo desse quociente e assim 
sucessivamente até obter o quociente 1. 
A figura ao lado mostra a fatoração do número 
630. 
 
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 
 
Determinação dos divisores de um número 
 Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1º) decompomos o número em fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no 
alto, porque ele é divisor de qualquer número; 
 
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator 
primo pelos divisores já obtidos e escrevemos 
esses produtos ao lado de cada fator primo; 
 
4º) os divisores já obtidos não precisam ser 
repetidos. 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
 
Máximo Divisor Comum 
 Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. 
Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 
6. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor 
comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. 
 Alguns exemplos: 
 mdc (6,12) = 6 
 mdc (12,20) = 4 
 mdc (20,24) = 4 
 mdc (12,20,24) = 4 
 mdc (6,12,15) = 3 
• CÁLCULO DO M.D.C. 
 Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em 
fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 
36 = 22 x 32 
90 = 2 x 32 x5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a 
eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 
• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
 Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). 
 Regra prática: 
 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 
 48 / 30 = 1 (com resto 18) 
 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim 
sucessivamente; 
 30 / 18 = 1 (com resto 12) 
 18 / 12 = 1 (com resto 6) 
 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 
 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. 
• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo 
divisor comum desses números é 1. 
 Exemplos: 
 Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. 
 Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. 
 
• PROPRIEDADE DO M.D.C. 
 Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). 
Observe: 
 6 = 2 x 3 
18 = 2 x 32 
30 = 2 x 3 x 5 
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então 
ele é o m.d.c. dos números dados. 
 
Mínimo Múltiplo Comum 
• MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL 
 Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 
 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. 
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então 
dizemos que ele é múltiplo desse outro. 
 Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. 
 Exemplo: os múltiplos de 7 são:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... 
 Observações importantes: 
 1) Um número tem infinitos múltiplos 
 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural 
 
• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 
 Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 
 Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 
 Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
 Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
 Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
 Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo 
comum de 4 e 6. 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo 
múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. 
 
• CÁLCULO DO M.M.C. 
 Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. 
de 12 e 30: 
 1º) decompomos os números em fatores primos 
 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
 12 = 2 x 2 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
 12 = 22 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores 
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
 Neste processo decompomos todos os números ao mesmo 
tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos 
fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses 
números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
 Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
 
• PROPRIEDADE DO M.M.C. 
 Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). 
Observe: 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
 
 Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 
por 15. Observe: 
 
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. 
 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com uma variável) 
 Introdução 
 
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o 
prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: 
ax+b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
 
 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que 
sucede, 2ºmembro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, 
sendo a e bnúmeros racionais, com a diferente de zero. 
 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação 
 Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. 
 Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é 
o conjunto verdade dessa mesma equação. 
 
 Observe este outro exemplo: 
• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 
 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. 
 Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = 
{-5, 5}. 
 Daí concluímos que: 
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se 
por U. 
 
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-
se por V. 
 
Observações: 
• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. 
 
• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto 
universo o conjunto dos números racionais. 
 
• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. 
Raízes de uma equação 
 Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. 
 Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência: 
• Substituir a incógnita por esse número. 
• Determinar o valor de cada membro da equação. 
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
 Exemplos: 
 Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em 
cada caso o conjunto verdade. 
 
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. 
 Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) 
 Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) 
 Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) 
 Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F) 
 Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. 
 
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. 
 
 Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) 
 Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) 
 Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) 
 Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F) 
 
 A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø. 
 
Resolução de uma equação 
 Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a 
equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos 
do conjunto verdade ou asraízes da equação. Resumindo: 
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do 
conjunto universo considerado. 
 Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das 
igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos: 
• Sendo , resolva a equação . 
 MMC (4, 6) = 12 
 
 -9x = 10 => Multiplicador por (-1) 
 9x = -10 
 
 Como , então . 
 
• Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4). 
 Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
 
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 
2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3 
3x = -1 
 
 Como , então 
 
Equações impossíveis e identidades 
• Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1). 
 Observe, agora, a sua resolução: 
 
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 
12x - 8 = 12x - 3 
12x - 12x = - 3 + 8 
0 . x = 5 
 
 Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, 
portanto, não tem solução. Logo, V =Ø. 
 Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e 
 
• Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x. 
 Observe a sua resolução: 
 
-3x + 3x = 2 - 10 + 8 
0 . x = 0 
 Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas 
soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação 
verdadeira, são denominadas identidades. 
 
 
Pares ordenados 
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. 
 Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos: 
 
 
 Assim: 
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, 
onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento. 
 
• Observações 
1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . 
Exemplos 
 
 2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s. 
 
 
Representação gráfica de um Par Ordenado 
 Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. 
 Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. 
 
 Coordenadas Cartesianas 
 Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos: 
 
 A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A. 
 Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. 
Assim: 
 
 
 
 Plano Cartesiano 
 
 Representamos um par ordenado em um 
plano cartesiano. 
 Esse plano é formado por duas 
retas, x e y,perpendiculares entre si. 
 A reta horizontal é o eixo das abscissas 
(eixox). 
 A reta vertical é o eixo das ordenadas 
(eixo y). 
 O ponto comum dessas duas retas é 
denominado 
 origem, que corresponde ao par ordenado (0, 
0). 
 
 
 Localização de um Ponto 
 
 Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática: 
• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. 
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. 
• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto 
procurado. Exemplo: 
• Localize o ponto (4, 3). 
 
 Produto Cartesiano 
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. 
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado 
formaremos o conjunto de todos os pares 
ordenados em que o 1º elemento pertença ao 
conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B. 
 
 Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} 
 Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: 
 
 Logo: 
 Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto 
de todos os pares ordenados (x, y) onde 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com duas variáveis) 
 
 
 
 Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y 
 
 Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação 
equivalente mais simples. Assim: 
 
 2x + 3y = 5 + 6 
 2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c . 
 
Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser 
reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, 
simultaneamente. 
 
 Na equação ax + by = c, denominamos: 
x + y - variáveis ou incógnita 
a - coeficiente de x 
b - coeficiente de y 
c - termo independente 
 
 Exemplos: 
x + y = 30 
2x + 3y = 15 
x - 4y = 10 
-3x - 7y = -48 
2x- 3y = 0 
x - y = 8 
 
 
 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 
 Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? 
 
 Observe os pares abaixo: 
 x = 6, y = 1 
x - 2y = 4 
6 - 2 . 1 = 4 
6 - 2 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = 8, y = 2 
x - 2y = 4 
8 - 2 . 2 = 4 
8 - 4 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = -2, y = -3 
x - 2y = 4 
-2 - 2 . (-3) = 4 
-2 + 6 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. 
 Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação. 
 Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, 
portanto, seu conjunto universo . 
 Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, 
calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: 
• Determine uma solução para a equação 3x - y = 8. 
 Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 
 
3x - y = 8 
3 . (1) - y = 8 
 
3 - y = 8 
-y = 5 ==> Multiplicamos por -1 
y = -5 
 
 O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. 
 V = {(1, -5)} 
 
 Resumindo: 
Um par ordenado (r, s) é solução de uma 
equação ax + by = c (a e bnão-nulos simultaneamente), se 
para x = r e y = s a sentença é verdadeira. 
 
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). 
 Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, 
determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo: 
• Construir um gráfico da equação x + y = 4. 
 Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 
 1º par: A (4, 0) 
 2º par: B (0, 4) 
 A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. 
x y 
4 0 
0 4 
 
 Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação. 
 
 A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. 
 
Sistemas de Equações 
 Considere o seguinte problema: 
 Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 
25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? 
 Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: 
 x + y = 25 (total de arremessos certo) 
 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
 Essas equações contém um sistema de equações. 
 Costuma-se indicar o sistema usando chave. 
 
 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do 
sistema.Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 
 
Resolução de Sistemas 
 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um 
par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 
Método de substituição 
 
 
 Solução 
• determinamos o valor de x na 1ª equação. 
 x = 4 - y 
• Substituímos esse valor na 2ª equação. 
 2 . (4 - y) -3y = 3 
• Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
8 - 2y -3y = 3 
 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
y = 1 
• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
Método da adição 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 Solução 
• Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 
• Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8y = 2 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 V = {(8, 2)} 
 
 
Inequações de primeiro grau 
Introdução 
 Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma 
desigualdade. 
 As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: 
, , , , como a e b reais . Exemplos: 
 
 
 
Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis 
Método prático 
• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
• Traçamos a reta no plano cartesiano. 
• Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
 Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o 
pontoauxiliar. 
 Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. Exemplos: 
• Representamos graficamente a inequação 
Tabela 
x y (x, y) 
0 4 (0, 4) 
2 0 (2, 0) 
 
 
 Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 
 Verificamos: 
 
 (Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação) 
 A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Inequações de primeiro grau 
 
Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau 
 Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos: 
• traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; 
• determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos: 
• Dê a resolução gráfica do sistema: 
 Solução 
 Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6. 
Tabela 
x y (x, y) 
0 4 (0, 4) 
-4 0 (-4, 0) 
 
Tabela 
x y (x, y) 
0 3 (0, 3) 
1 3/2 (1, 3/2) 
 
 
Gráfico 
 
 
Radiciação 
 Potenciação de Radicais 
 Observando as potencias, temos que: 
 
 
 De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele 
expoente. Exemplos: 
 
 Divisão de Radicais 
 Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
 
 
 De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os 
radicais: Exemplos: 
 : = 
 Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a 
operação. Exemplos: 
 
 
Racionalização de denominadores 
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional. 
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração 
equivalente: 
 
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. 
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com 
denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu 
denominador. 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por 
uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração 
equivalente com denominador sem radical. 
 
Principais casos de racionalização: 
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos: 
 
 é o fator racionalizante de , pois . = = a 
 
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos: 
 
 é o fator racionalizante de 
 
 é o fator racionalizante de 
 é o fator racionalizante de 
 é o fator racionalizante de 
Potência com expoente racional 
Observe as seguintes igualdades: 
 ou 
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical. 
 
De modo geral, definimos: 
 , com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0 
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário: 
 
Propriedade das potências com expoentes racionais 
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes 
inteiros. 
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Razões - Introdução 
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para 
compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: 
 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). 
 Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. 
 A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. 
 A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do 
carro de corrida. 
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) 
o quociente ou a:b. 
 A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações 
em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: 
• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. 
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
 (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 
• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. 
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: 
 (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). 
 
 Observações: 
 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: 
 Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
 2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos 
tenham sinais contrários. Exemplos: 
 A razão entre 1 e -8 é . 
 A razão entre é . 
 
Termos de uma razão 
Observe a razão: 
 (lê-se "a está para b" ou "a para b"). 
 Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. 
Veja o exemplo: 
 3:5 = 
 Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. 
 
Razões inversas 
Considere as razões . 
 Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, . 
 Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. 
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. 
 Exemplo: 
 são razões inversas, pois . 
 Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. 
 
 Observações: 
 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 
 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. 
 Exemplo: O inverso de . 
Razões equivalentes 
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira: 
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número 
racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente. 
 Exemplos: 
 são razões equivalentes. 
 são razões equivalentes. 
 
 
Razões entre grandezas da mesma espécie 
 
O conceito é o seguinte: 
 
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que 
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. 
 
 Exemplos: 
 
 1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o 
segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por: 
 
 
 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra 
de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2. 
 
 Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: . 
 
 
Razões entre grandezas de espécies diferentes 
O conceito é o seguinte: 
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente 
entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que 
relaciona as grandezas envolvidas. 
 Exemplos:1) Consumo médio: 
• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de 
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa 
razão? Solução: 
 Razão = 
 Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro"). 
 Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km. 
 
 2) Velocidade média: 
• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas 
grandezas? O que significa essa razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). 
 Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. 
 
 3) Densidade demográfica: 
• O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 
145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa 
razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado"). 
 Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes. 
 
 4) Densidade absoluta ou massa específica: 
• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume 
desse corpo. O que significa essa razão? 
Solução: 
 Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 
 Razão = 
 Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico"). 
 Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. 
 
Proporções - Introdução 
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua 
vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. 
 Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: 
 
 Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: 
 
 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é 
umaproporção. Assim 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
 
Elementos de uma proporção 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção 
quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: 
 ou a:b=c:d 
(lê-se "a está para b assim como c está para d") 
 Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
• b e c os meios da proporção. 
• a e d os extremos da proporção. 
 
 Exemplo: 
 Dada a proporção , temos: 
 Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 
 Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 
 
Propriedade fundamental das proporções 
Observe as seguintes proporções: 
 
Produto dos meios = 4.30 = 120 
Produto dos extremos = 3.40 = 120 
 
 
Produto dos meios = 9.20 = 180 
Produto dos extremos = 4.45 = 180 
 
 
Produto dos meios = 8.45 = 360 
Produto dos extremos = 5.72 = 360 
 De modo geral, temos que: 
 
 Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
Aplicações da propriedade fundamental 
Determinação do termo desconhecido de uma proporção 
 Exemplos: 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 
 5 . x = 120 
 
 x = 24 
 Logo, o valor de x é 24. 
 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 
 5x - 15 = 8x + 4 
 5x - 8x = 4 + 15 
 -3x = 19 
 3x = -19 
 x = 
 Logo, o valor de x é . 
 
• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. 
 Solução: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 5 . x = 8 . 35 
 5x = 280 
 
 x = 56 
 Logo, o valor de x é 56. 
 
 Resolução de problemas envolvendo proporções 
 Exemplo: 
• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 
m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? 
 Solução: 
 A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. 
 Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção: 
 
 Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 1 . 2 = 0,04 . x 
 0,04x = 2 
 
 x = 50 m3 
 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada. 
 
Quarta proporcional 
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um 
número x tal que: 
 
 Exemplo: 
• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. 
 Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 8 . x = 12 . 6 
 8 . x = 72 
 
 x = 9 
 Logo, a quarta proporcional é 9. 
 
Proporção contínua 
Considere a seguinte proporção: 
 Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim: 
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. 
 De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: 
 
 Terceira proporcional 
 Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o 
número x tal que: 
 
 Exemplo: 
 Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. 
 Solução 
 Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 20 . x = 10 . 10 
 20x = 100 
 
 x = 5 
 Logo, a terceira proporcional é 5. 
 
 Média geométrica ou média proporcional 
 Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média 
proporcionalentre a e c. Exemplo: 
• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. 
Solução: 
 
 5 . 20 = b . b 
 100 = b2 
 b2 = 100 
 b = 
 b = 10 
 Logo, a média geométrica positiva é 10. 
Propriedades das proporções 
1ª propriedade: 
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
Adicionando 1 a cada membro obtemos: 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. 
Solução: 
 
 Assim: 
 
 x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. 
 Logo, x=36 e y=48. 
 
 2ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
Subtraindo 1 a cada membro obtemos: 
 
 
 
 
 (Mult. os 2 membros 
por -1) 
 
Exemplo: 
• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção . 
Solução: 
 Pela 2ª propriedade temos que: 
 
 x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. 
 Logo, x=30 e y=12. 
 
 3ª propriedade: 
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 
 4ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 Exemplo: 
• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção . 
Solução: 
 Pela 4ª propriedade, temos que: 
 
 
 
 5ª propriedade: 
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, 
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Multiplicando os dois membros por , temos: 
 
 Assim: 
 
 Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: 
 
 
Proporção múltipla 
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim: 
 é uma proporção múltipla. 
 Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: 
 
 
Algarismos Romanos 
A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos 
valores. Os algarismos romanos são usados principalmente: 
• Nos números de capítulos uma obra. 
• Nas cenas de um teatro. 
• Nos nomes de papas e imperadores. 
• Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias... 
Regras 
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores: 
Letras Valores 
I 1 
V 5 
X 10 
L 50 
C 100 
D 500 
M 1000 
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66. 
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da 
anterior. 
Exemplos: 
VI = 6 
XXI = 21 
LXVII = 67 
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" 
ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades. 
Exemplos: 
IV = 4 
IX = 9 
XL = 40 
XC = 90 
CD = 400 
CM = 900 
Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via 
as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. 
Exemplos: 
XIII = 13 
XIV = 14 
XXXIII = 33 
XXXIV = 34 
A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu 
valor duplicado. 
Exemplos: 
X = 10 
C = 100 
M = 1.000 
Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. 
Exemplos: 
XIX = 19 
LIV = 54 
CXXIX = 129 
O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima 
dos mesmos. 
Exemplos: 
 
Tabela de números romanos 
Números de 1 até 1449 
Números de 1450 a 2100 
Números maiores que 2100 
 
 
Tabela de números romanos (de 1 até 1449) 
1 = I 
2 = II 
3 = III 
4 = IV 
5 = V 
6 = VI 
7 = VII 
8 = VIII 
9 = IX 
10 = X 
11 = XI 
12 = XII 
13 = XIII 
14 = XIV 
15 = XV 
16 = XVI 
17 = XVII 
18 = XVIII 
19 = XIX 
20 = XX 
21 = XXI 
22 = XXII 
23 = XXIII 
24 = XXIV 
25 = XXV 
26 = XXVI 
27 = XXVII 
28 = XXVIII 
29 = XXIX 
30 = XXX 
31 = XXXI 
32 = XXXII 
33 = XXXIII 
34 = XXXIV 
35 = XXXV 
36 = XXXVI 
37 = XXXVII 
38 = XXXVIII 
39 = XXXIX 
40 = XL 
41 = XLI 
42 = XLII 
43 = XLIII 
44 = XLIV 
45 = XLV 
46 = XLVI 
47 = XLVII 
48 = XLVIII 
49 = XLIX 
484 = CDLXXXIV 
485 = CDLXXXV 
486 = CDLXXXVI 
487 = CDLXXXVII 
488 = CDLXXXVIII 
489 = CDLXXXIX 
490 = CDXC 
491 = CDXCI 
492 = CDXCII 
493 = CDXCIII 
494 = CDXCIV 
495 = CDXCV 
496 = CDXCVI 
497 = CDXCVII 
498 = CDXCVIII 
499 = CDXCIX 
500 = D 
501 = DI 
502 = DII 
503 = DIII 
504 = DIV 
505 = DV 
506 = DVI 
507 = DVII 
508 = DVIII 
509 = DIX 
510 = DX 
511 = DXI 
512 = DXII 
513 = DXIII 
514 = DXIV 
515 = DXV 
516 = DXVI 
517 = DXVII 
518 = DXVIII 
519 = DXIX 
520 = DXX 
521 = DXXI 
522 = DXXII 
523 = DXXIII 
524 = DXXIV 
525 = DXXV 
526 = DXXVI 
527 = DXXVII 
528 = DXXVIII 
529 = DXXIX 
530 = DXXX 
531 = DXXXI 
532 = DXXXII 
967 = CMLXVII 
968 = CMLXVIII 
969 = CMLXIX 
970 = CMLXX 
971 = CMLXXI 
972 = CMLXXII 
973 = CMLXXIII 
974 = CMLXXIV 
975 = CMLXXV 
976 = CMLXXVI 
977 = CMLXXVII 
978 = CMLXXVIII 
979 = CMLXXIX 
980 = CMLXXX 
981 = CMLXXXI 
982 = CMLXXXII 
983 = CMLXXXIII 
984 = CMLXXXIV 
985 = CMLXXXV 
986 = CMLXXXVI 
987 = CMLXXXVII 
988 = CMLXXXVIII 
989 = CMLXXXIX 
990 = CMXC 
991 = CMXCI 
992 = CMXCII 
993 = CMXCIII 
994 = CMXCIV 
995 = CMXCV 
996 = CMXCVI 
997 = CMXCVII 
998 = CMXCVIII 
999 = CMXCIX 
1000 = M 
1001 = MI 
1002 = MII 
1003 = MIII 
1004 = MIV 
1005 = MV 
1006 = MVI 
1007 = MVII 
1008 = MVIII 
1009 = MIX 
1010 = MX 
1011 = MXI 
1012 = MXII 
1013 = MXIII 
1014 = MXIV 
1015 = MXV 
50 = L 
51 = LI 
52 = LII 
53 = LIII 
54 = LIV 
55 = LV 
56 = LVI 
57 = LVII 
58 = LVIII 
59 = LIX 
60 = LX 
61 = LXI 
62 = LXII 
63 = LXIII 
64 = LXIV 
65 = LXV 
66 = LXVI 
67 = LXVII 
68 = LXVIII 
69 = LXIX 
70 = LXX 
71 = LXXI 
72 = LXXII 
73 = LXXIII 
74 = LXXIV 
75 = LXXV 
76 = LXXVI 
77 = LXXVII 
78 = LXXVIII 
79 = LXXIX 
80 = LXXX 
81 = LXXXI 
82 = LXXXII 
83 = LXXXIII 
84 = LXXXIV 
85 = LXXXV 
86 = LXXXVI 
87 = LXXXVII 
88 = LXXXVIII 
89 = LXXXIX 
90 = XC 
91 = XCI 
92 = XCII 
93 = XCIII 
94 = XCIV 
95 = XCV 
96 = XCVI 
97 = XCVII 
98 = XCVIII 
99 = XCIX 
100 = C 
101 = CI 
102 = CII 
103 = CIII 
104 = CIV 
105 = CV 
533 = DXXXIII 
534 = DXXXIV 
535 = DXXXV 
536 = DXXXVI 
537 = DXXXVII 
538 = DXXXVIII 
539 = DXXXIX 
540 = DXL 
541 = DXLI 
542 = DXLII 
543 = DXLIII 
544 = DXLIV 
545 = DXLV 
546 = DXLVI 
547 = DXLVII 
548 = DXLVIII 
549 = DXLIX 
550 = DL 
551 = DLI 
552 = DLII 
553 = DLIII 
554 = DLIV 
555 = DLV 
556 = DLVI 
557 = DLVII 
558 = DLVIII 
559 = DLIX 
560 = DLX 
561 = DLXI 
562 = DLXII 
563 = DLXIII 
564 = DLXIV 
565 = DLXV 
566 = DLXVI 
567 = DLXVII 
568 = DLXVIII 
569 = DLXIX 
570 = DLXX 
571 = DLXXI 
572 = DLXXII 
573 = DLXXIII 
574 = DLXXIV 
575 = DLXXV 
576 = DLXXVI 
577 = DLXXVII 
578 = DLXXVIII 
579 = DLXXIX 
580 = DLXXX 
581 = DLXXXI 
582 = DLXXXII 
583 = DLXXXIII 
584 = DLXXXIV 
585 = DLXXXV 
586 = DLXXXVI 
587 = DLXXXVII 
588 = DLXXXVIII 
1016 = MXVI 
1017 = MXVII 
1018 = MXVIII 
1019 = MXIX 
1020 = MXX 
1021 = MXXI 
1022 = MXXII 
1023 = MXXIII 
1024 = MXXIV 
1025 = MXXV 
1026 = MXXVI 
1027 = MXXVII 
1028 = MXXVIII 
1029 = MXXIX 
1030 = MXXX 
1031 = MXXXI 
1032 = MXXXII 
1033 = MXXXIII 
1034 = MXXXIV 
1035 = MXXXV 
1036 = MXXXVI 
1037 = MXXXVII 
1038 = MXXXVIII 
1039 = MXXXIX 
1040 = MXL 
1041 = MXLI 
1042 = MXLII 
1043 = MXLIII 
1044 = MXLIV 
1045 = MXLV 
1046 = MXLVI 
1047 = MXLVII 
1048 = MXLVIII 
1049 = MXLIX 
1050 = ML 
1051 = MLI 
1052 = MLII 
1053 = MLIII 
1054 = MLIV 
1055 = MLV 
1056 = MLVI 
1057 = MLVII 
1058 = MLVIII 
1059 = MLIX 
1060 = MLX 
1061 = MLXI 
1062 = MLXII 
1063 = MLXIII 
1064 = MLXIV 
1065 = MLXV 
1066 = MLXVI 
1067 = MLXVII 
1068 = MLXVIII 
1069 = MLXIX 
1070 = MLXX 
1071 = MLXXI 
106 = CVI 
107 = CVII 
108 = CVIII 
109 = CIX 
110 = CX 
111 = CXI 
112 = CXII 
113 = CXIII 
114 = CXIV 
115 = CXV 
116 = CXVI 
117 = CXVII 
118 = CXVIII 
119 = CXIX 
120 = CXX 
121 = CXXI 
122 = CXXII 
123 = CXXIII 
124 = CXXIV 
125 = CXXV 
126 = CXXVI 
127 = CXXVII 
128 = CXXVIII 
129 = CXXIX 
130 = CXXX 
131 = CXXXI 
132 = CXXXII 
133 = CXXXIII 
134 = CXXXIV 
135 = CXXXV 
136 = CXXXVI 
137 = CXXXVII 
138 = CXXXVIII 
139 = CXXXIX 
140 = CXL 
141 = CXLI 
142 = CXLII 
143 = CXLIII 
144 = CXLIV 
145 = CXLV 
146 = CXLVI 
147 = CXLVII 
148 = CXLVIII 
149 = CXLIX 
150 = CL 
151 = CLI 
152 = CLII 
153 = CLIII 
154 = CLIV 
155 = CLV 
156 = CLVI 
157 = CLVII 
158 = CLVIII 
159 = CLIX 
160 = CLX 
161 = CLXI 
589 = DLXXXIX 
590 = DXC 
591 = DXCI 
592 = DXCII 
593 = DXCIII594 = DXCIV 
595 = DXCV 
596 = DXCVI 
597 = DXCVII 
598 = DXCVIII 
599 = DXCIX 
600 = DC 
601 = DCI 
602 = DCII 
603 = DCIII 
604 = DCIV 
605 = DCV 
606 = DCVI 
607 = DCVII 
608 = DCVIII 
609 = DCIX 
610 = DCX 
611 = DCXI 
612 = DCXII 
613 = DCXIII 
614 = DCXIV 
615 = DCXV 
616 = DCXVI 
617 = DCXVII 
618 = DCXVIII 
619 = DCXIX 
620 = DCXX 
621 = DCXXI 
622 = DCXXII 
623 = DCXXIII 
624 = DCXXIV 
625 = DCXXV 
626 = DCXXVI 
627 = DCXXVII 
628 = DCXXVIII 
629 = DCXXIX 
630 = DCXXX 
631 = DCXXXI 
632 = DCXXXII 
633 = DCXXXIII 
634 = DCXXXIV 
635 = DCXXXV 
636 = DCXXXVI 
637 = DCXXXVII 
638 = DCXXXVIII 
639 = DCXXXIX 
640 = DCXL 
641 = DCXLI 
642 = DCXLII 
643 = DCXLIII 
644 = DCXLIV 
1072 = MLXXII 
1073 = MLXXIII 
1074 = MLXXIV 
1075 = MLXXV 
1076 = MLXXVI 
1077 = MLXXVII 
1078 = MLXXVIII 
1079 = MLXXIX 
1080 = MLXXX 
1081 = MLXXXI 
1082 = MLXXXII 
1083 = MLXXXIII 
1084 = MLXXXIV 
1085 = MLXXXV 
1086 = MLXXXVI 
1087 = MLXXXVII 
1088 = MLXXXVIII 
1089 = MLXXXIX 
1090 = MXC 
1091 = MXCI 
1092 = MXCII 
1093 = MXCIII 
1094 = MXCIV 
1095 = MXCV 
1096 = MXCVI 
1097 = MXCVII 
1098 = MXCVIII 
1099 = MXCIX 
1100 = MC 
1101 = MCI 
1102 = MCII 
1103 = MCIII 
1104 = MCIV 
1105 = MCV 
1106 = MCVI 
1107 = MCVII 
1108 = MCVIII 
1109 = MCIX 
1110 = MCX 
1111 = MCXI 
1112 = MCXII 
1113 = MCXIII 
1114 = MCXIV 
1115 = MCXV 
1116 = MCXVI 
1117 = MCXVII 
1118 = MCXVIII 
1119 = MCXIX 
1120 = MCXX 
1121 = MCXXI 
1122 = MCXXII 
1123 = MCXXIII 
1124 = MCXXIV 
1125 = MCXXV 
1126 = MCXXVI 
1127 = MCXXVII 
162 = CLXII 
163 = CLXIII 
164 = CLXIV 
165 = CLXV 
166 = CLXVI 
167 = CLXVII 
168 = CLXVIII 
169 = CLXIX 
170 = CLXX 
171 = CLXXI 
172 = CLXXII 
173 = CLXXIII 
174 = CLXXIV 
175 = CLXXV 
176 = CLXXVI 
177 = CLXXVII 
178 = CLXXVIII 
179 = CLXXIX 
180 = CLXXX 
181 = CLXXXI 
182 = CLXXXII 
183 = CLXXXIII 
184 = CLXXXIV 
185 = CLXXXV 
186 = CLXXXVI 
187 = CLXXXVII 
188 = CLXXXVIII 
189 = CLXXXIX 
190 = CXC 
191 = CXCI 
192 = CXCII 
193 = CXCIII 
194 = CXCIV 
195 = CXCV 
196 = CXCVI 
197 = CXCVII 
198 = CXCVIII 
199 = CXCIX 
200 = CC 
201 = CCI 
202 = CCII 
203 = CCIII 
204 = CCIV 
205 = CCV 
206 = CCVI 
207 = CCVII 
208 = CCVIII 
209 = CCIX 
210 = CCX 
211 = CCXI 
212 = CCXII 
213 = CCXIII 
214 = CCXIV 
215 = CCXV 
216 = CCXVI 
217 = CCXVII 
645 = DCXLV 
646 = DCXLVI 
647 = DCXLVII 
648 = DCXLVIII 
649 = DCXLIX 
650 = DCL 
651 = DCLI 
652 = DCLII 
653 = DCLIII 
654 = DCLIV 
655 = DCLV 
656 = DCLVI 
657 = DCLVII 
658 = DCLVIII 
659 = DCLIX 
660 = DCLX 
661 = DCLXI 
662 = DCLXII 
663 = DCLXIII 
664 = DCLXIV 
665 = DCLXV 
666 = DCLXVI 
667 = DCLXVII 
668 = DCLXVIII 
669 = DCLXIX 
670 = DCLXX 
671 = DCLXXI 
672 = DCLXXII 
673 = DCLXXIII 
674 = DCLXXIV 
675 = DCLXXV 
676 = DCLXXVI 
677 = DCLXXVII 
678 = DCLXXVIII 
679 = DCLXXIX 
680 = DCLXXX 
681 = DCLXXXI 
682 = DCLXXXII 
683 = DCLXXXIII 
684 = DCLXXXIV 
685 = DCLXXXV 
686 = DCLXXXVI 
687 = DCLXXXVII 
688 = DCLXXXVIII 
689 = DCLXXXIX 
690 = DCXC 
691 = DCXCI 
692 = DCXCII 
693 = DCXCIII 
694 = DCXCIV 
695 = DCXCV 
696 = DCXCVI 
697 = DCXCVII 
698 = DCXCVIII 
699 = DCXCIX 
700 = DCC 
1128 = MCXXVIII 
1129 = MCXXIX 
1130 = MCXXX 
1131 = MCXXXI 
1132 = MCXXXII 
1133 = MCXXXIII 
1134 = MCXXXIV 
1135 = MCXXXV 
1136 = MCXXXVI 
1137 = MCXXXVII 
1138 = MCXXXVIII 
1139 = MCXXXIX 
1140 = MCXL 
1141 = MCXLI 
1142 = MCXLII 
1143 = MCXLIII 
1144 = MCXLIV 
1145 = MCXLV 
1146 = MCXLVI 
1147 = MCXLVII 
1148 = MCXLVIII 
1149 = MCXLIX 
1150 = MCL 
1151 = MCLI 
1152 = MCLII 
1153 = MCLIII 
1154 = MCLIV 
1155 = MCLV 
1156 = MCLVI 
1157 = MCLVII 
1158 = MCLVIII 
1159 = MCLIX 
1160 = MCLX 
1161 = MCLXI 
1162 = MCLXII 
1163 = MCLXIII 
1164 = MCLXIV 
1165 = MCLXV 
1166 = MCLXVI 
1167 = MCLXVII 
1168 = MCLXVIII 
1169 = MCLXIX 
1170 = MCLXX 
1171 = MCLXXI 
1172 = MCLXXII 
1173 = MCLXXIII 
1174 = MCLXXIV 
1175 = MCLXXV 
1176 = MCLXXVI 
1177 = MCLXXVII 
1178 = MCLXXVIII 
1179 = MCLXXIX 
1180 = MCLXXX 
1181 = MCLXXXI 
1182 = MCLXXXII 
1183 = MCLXXXIII 
218 = CCXVIII 
219 = CCXIX 
220 = CCXX 
221 = CCXXI 
222 = CCXXII 
223 = CCXXIII 
224 = CCXXIV 
225 = CCXXV 
226 = CCXXVI 
227 = CCXXVII 
228 = CCXXVIII 
229 = CCXXIX 
230 = CCXXX 
231 = CCXXXI 
232 = CCXXXII 
233 = CCXXXIII 
234 = CCXXXIV 
235 = CCXXXV 
236 = CCXXXVI 
237 = CCXXXVII 
238 = CCXXXVIII 
239 = CCXXXIX 
240 = CCXL 
241 = CCXLI 
242 = CCXLII 
243 = CCXLIII 
244 = CCXLIV 
245 = CCXLV 
246 = CCXLVI 
247 = CCXLVII 
248 = CCXLVIII 
249 = CCXLIX 
250 = CCL 
251 = CCLI 
252 = CCLII 
253 = CCLIII 
254 = CCLIV 
255 = CCLV 
256 = CCLVI 
257 = CCLVII 
258 = CCLVIII 
259 = CCLIX 
260 = CCLX 
261 = CCLXI 
262 = CCLXII 
263 = CCLXIII 
264 = CCLXIV 
265 = CCLXV 
266 = CCLXVI 
267 = CCLXVII 
268 = CCLXVIII 
269 = CCLXIX 
270 = CCLXX 
271 = CCLXXI 
272 = CCLXXII 
273 = CCLXXIII 
701 = DCCI 
702 = DCCII 
703 = DCCIII 
704 = DCCIV 
705 = DCCV 
706 = DCCVI 
707 = DCCVII 
708 = DCCVIII 
709 = DCCIX 
710 = DCCX 
711 = DCCXI 
712 = DCCXII 
713 = DCCXIII 
714 = DCCXIV 
715 = DCCXV 
716 = DCCXVI 
717 = DCCXVII 
718 = DCCXVIII 
719 = DCCXIX 
720 = DCCXX 
721 = DCCXXI 
722 = DCCXXII 
723 = DCCXXIII 
724 = DCCXXIV 
725 = DCCXXV 
726 = DCCXXVI 
727 = DCCXXVII 
728 = DCCXXVIII 
729 = DCCXXIX 
730 = DCCXXX 
731 = DCCXXXI 
732 = DCCXXXII 
733 = DCCXXXIII 
734 = DCCXXXIV 
735 = DCCXXXV 
736 = DCCXXXVI 
737 = DCCXXXVII 
738 = DCCXXXVIII 
739 = DCCXXXIX 
740 = DCCXL 
741 = DCCXLI 
742 = DCCXLII 
743 = DCCXLIII 
744 = DCCXLIV 
745 = DCCXLV 
746 = DCCXLVI 
747 = DCCXLVII 
748 = DCCXLVIII 
749 = DCCXLIX 
750 = DCCL 
751 = DCCLI 
752 = DCCLII 
753 = DCCLIII 
754 = DCCLIV 
755 = DCCLV 
756 = DCCLVI 
1184 = MCLXXXIV 
1185 = MCLXXXV 
1186 = MCLXXXVI 
1187 = MCLXXXVII 
1188 = MCLXXXVIII 
1189 = MCLXXXIX 
1190 = MCXC 
1191 = MCXCI 
1192 = MCXCII 
1193 = MCXCIII 
1194 = MCXCIV 
1195 = MCXCV 
1196 = MCXCVI 
1197 = MCXCVII 
1198 = MCXCVIII 
1199 = MCXCIX 
1200 = MCC 
1201 = MCCI 
1202 = MCCII 
1203 = MCCIII 
1204 = MCCIV 
1205 = MCCV 
1206 = MCCVI 
1207 = MCCVII 
1208 = MCCVIII 
1209 = MCCIX 
1210 = MCCX 
1211 = MCCXI 
1212 = MCCXII 
1213 = MCCXIII 
1214 = MCCXIV 
1215 = MCCXV 
1216 = MCCXVI 
1217 = MCCXVII 
1218 = MCCXVIII 
1219 = MCCXIX 
1220 = MCCXX 
1221 = MCCXXI 
1222 = MCCXXII 
1223 = MCCXXIII 
1224 = MCCXXIV 
1225 = MCCXXV 
1226 = MCCXXVI 
1227 = MCCXXVII 
1228 = MCCXXVIII 
1229 = MCCXXIX 
1230 = MCCXXX 
1231 = MCCXXXI 
1232 = MCCXXXII 
1233 = MCCXXXIII 
1234 = MCCXXXIV 
1235 = MCCXXXV 
1236 = MCCXXXVI 
1237 = MCCXXXVII 
1238 = MCCXXXVIII 
1239 = MCCXXXIX 
274 = CCLXXIV 
275 = CCLXXV 
276 = CCLXXVI 
277 = CCLXXVII 
278 = CCLXXVIII 
279 = CCLXXIX 
280 = CCLXXX 
281 = CCLXXXI 
282 = CCLXXXII 
283 = CCLXXXIII 
284 = CCLXXXIV 
285 = CCLXXXV 
286 = CCLXXXVI 
287 = CCLXXXVII 
288 = CCLXXXVIII 
289 = CCLXXXIX 
290 = CCXC 
291 = CCXCI 
292 = CCXCII 
293 = CCXCIII 
294 = CCXCIV 
295 = CCXCV 
296 = CCXCVI 
297 = CCXCVII 
298 = CCXCVIII 
299 = CCXCIX 
300 = CCC 
301 = CCCI 
302 = CCCII 
303 = CCCIII 
304 = CCCIV 
305 = CCCV 
306 = CCCVI 
307 = CCCVII 
308 = CCCVIII 
309 = CCCIX 
310 = CCCX 
311 = CCCXI 
312 = CCCXII 
313 = CCCXIII 
314 = CCCXIV 
315 = CCCXV 
316 = CCCXVI 
317 = CCCXVII 
318 = CCCXVIII 
319 = CCCXIX 
320 = CCCXX 
321 = CCCXXI 
322 = CCCXXII 
323 = CCCXXIII 
324 = CCCXXIV 
325 = CCCXXV 
326 = CCCXXVI 
327 = CCCXXVII 
328 = CCCXXVIII 
329 = CCCXXIX 
757 = DCCLVII 
758 = DCCLVIII 
759 = DCCLIX 
760 = DCCLX 
761 = DCCLXI 
762 = DCCLXII 
763 = DCCLXIII 
764 = DCCLXIV 
765 = DCCLXV 
766 = DCCLXVI 
767 = DCCLXVII 
768 = DCCLXVIII 
769 = DCCLXIX 
770 = DCCLXX 
771 = DCCLXXI 
772 = DCCLXXII 
773 = DCCLXXIII 
774 = DCCLXXIV 
775 = DCCLXXV 
776 = DCCLXXVI 
777 = DCCLXXVII 
778 = DCCLXXVIII 
779 = DCCLXXIX 
780 = DCCLXXX 
781 = DCCLXXXI 
782 = DCCLXXXII 
783 = DCCLXXXIII 
784 = DCCLXXXIV 
785 = DCCLXXXV 
786 = DCCLXXXVI 
787 = DCCLXXXVII 
788 = DCCLXXXVIII 
789 = DCCLXXXIX 
790 = DCCXC 
791 = DCCXCI 
792 = DCCXCII 
793 = DCCXCIII 
794 = DCCXCIV 
795 = DCCXCV 
796 = DCCXCVI 
797 = DCCXCVII 
798 = DCCXCVIII 
799 = DCCXCIX 
800 = DCCC 
801 = DCCCI 
802 = DCCCII 
803 = DCCCIII 
804 = DCCCIV 
805 = DCCCV 
806 = DCCCVI 
807 = DCCCVII 
808 = DCCCVIII 
809 = DCCCIX 
810 = DCCCX 
811 = DCCCXI812 = DCCCXII 
1240 = MCCXL 
1241 = MCCXLI 
1242 = MCCXLII 
1243 = MCCXLIII 
1244 = MCCXLIV 
1245 = MCCXLV 
1246 = MCCXLVI 
1247 = MCCXLVII 
1248 = MCCXLVIII 
1249 = MCCXLIX 
1250 = MCCL 
1251 = MCCLI 
1252 = MCCLII 
1253 = MCCLIII 
1254 = MCCLIV 
1255 = MCCLV 
1256 = MCCLVI 
1257 = MCCLVII 
1258 = MCCLVIII 
1259 = MCCLIX 
1260 = MCCLX 
1261 = MCCLXI 
1262 = MCCLXII 
1263 = MCCLXIII 
1264 = MCCLXIV 
1265 = MCCLXV 
1266 = MCCLXVI 
1267 = MCCLXVII 
1268 = MCCLXVIII 
1269 = MCCLXIX 
1270 = MCCLXX 
1271 = MCCLXXI 
1272 = MCCLXXII 
1273 = MCCLXXIII 
1274 = MCCLXXIV 
1275 = MCCLXXV 
1276 = MCCLXXVI 
1277 = MCCLXXVII 
1278 = MCCLXXVIII 
1279 = MCCLXXIX 
1280 = MCCLXXX 
1281 = MCCLXXXI 
1282 = MCCLXXXII 
1283 = MCCLXXXIII 
1284 = MCCLXXXIV 
1285 = MCCLXXXV 
1286 = MCCLXXXVI 
1287 = MCCLXXXVII 
1288 = MCCLXXXVIII 
1289 = MCCLXXXIX 
1290 = MCCXC 
1291 = MCCXCI 
1292 = MCCXCII 
1293 = MCCXCIII 
1294 = MCCXCIV 
1295 = MCCXCV 
330 = CCCXXX 
331 = CCCXXXI 
332 = CCCXXXII 
333 = CCCXXXIII 
334 = CCCXXXIV 
335 = CCCXXXV 
336 = CCCXXXVI 
337 = CCCXXXVII 
338 = CCCXXXVIII 
339 = CCCXXXIX 
340 = CCCXL 
341 = CCCXLI 
342 = CCCXLII 
343 = CCCXLIII 
344 = CCCXLIV 
345 = CCCXLV 
346 = CCCXLVI 
347 = CCCXLVII 
348 = CCCXLVIII 
349 = CCCXLIX 
350 = CCCL 
351 = CCCLI 
352 = CCCLII 
353 = CCCLIII 
354 = CCCLIV 
355 = CCCLV 
356 = CCCLVI 
357 = CCCLVII 
358 = CCCLVIII 
359 = CCCLIX 
360 = CCCLX 
361 = CCCLXI 
362 = CCCLXII 
363 = CCCLXIII 
364 = CCCLXIV 
365 = CCCLXV 
366 = CCCLXVI 
367 = CCCLXVII 
368 = CCCLXVIII 
369 = CCCLXIX 
370 = CCCLXX 
371 = CCCLXXI 
372 = CCCLXXII 
373 = CCCLXXIII 
374 = CCCLXXIV 
375 = CCCLXXV 
376 = CCCLXXVI 
377 = CCCLXXVII 
378 = CCCLXXVIII 
379 = CCCLXXIX 
380 = CCCLXXX 
381 = CCCLXXXI 
382 = CCCLXXXII 
383 = CCCLXXXIII 
384 = CCCLXXXIV 
385 = CCCLXXXV 
813 = DCCCXIII 
814 = DCCCXIV 
815 = DCCCXV 
816 = DCCCXVI 
817 = DCCCXVII 
818 = DCCCXVIII 
819 = DCCCXIX 
820 = DCCCXX 
821 = DCCCXXI 
822 = DCCCXXII 
823 = DCCCXXIII 
824 = DCCCXXIV 
825 = DCCCXXV 
826 = DCCCXXVI 
827 = DCCCXXVII 
828 = DCCCXXVIII 
829 = DCCCXXIX 
830 = DCCCXXX 
831 = DCCCXXXI 
832 = DCCCXXXII 
833 = DCCCXXXIII 
834 = DCCCXXXIV 
835 = DCCCXXXV 
836 = DCCCXXXVI 
837 = DCCCXXXVII 
838 = DCCCXXXVIII 
839 = DCCCXXXIX 
840 = DCCCXL 
841 = DCCCXLI 
842 = DCCCXLII 
843 = DCCCXLIII 
844 = DCCCXLIV 
845 = DCCCXLV 
846 = DCCCXLVI 
847 = DCCCXLVII 
848 = DCCCXLVIII 
849 = DCCCXLIX 
850 = DCCCL 
851 = DCCCLI 
852 = DCCCLII 
853 = DCCCLIII 
854 = DCCCLIV 
855 = DCCCLV 
856 = DCCCLVI 
857 = DCCCLVII 
858 = DCCCLVIII 
859 = DCCCLIX 
860 = DCCCLX 
861 = DCCCLXI 
862 = DCCCLXII 
863 = DCCCLXIII 
864 = DCCCLXIV 
865 = DCCCLXV 
866 = DCCCLXVI 
867 = DCCCLXVII 
868 = DCCCLXVIII 
1296 = MCCXCVI 
1297 = MCCXCVII 
1298 = MCCXCVIII 
1299 = MCCXCIX 
1300 = MCCC 
1301 = MCCCI 
1302 = MCCCII 
1303 = MCCCIII 
1304 = MCCCIV 
1305 = MCCCV 
1306 = MCCCVI 
1307 = MCCCVII 
1308 = MCCCVIII 
1309 = MCCCIX 
1310 = MCCCX 
1311 = MCCCXI 
1312 = MCCCXII 
1313 = MCCCXIII 
1314 = MCCCXIV 
1315 = MCCCXV 
1316 = MCCCXVI 
1317 = MCCCXVII 
1318 = MCCCXVIII 
1319 = MCCCXIX 
1320 = MCCCXX 
1321 = MCCCXXI 
1322 = MCCCXXII 
1323 = MCCCXXIII 
1324 = MCCCXXIV 
1325 = MCCCXXV 
1326 = MCCCXXVI 
1327 = MCCCXXVII 
1328 = MCCCXXVIII 
1329 = MCCCXXIX 
1330 = MCCCXXX 
1331 = MCCCXXXI 
1332 = MCCCXXXII 
1333 = MCCCXXXIII 
1334 = MCCCXXXIV 
1335 = MCCCXXXV 
1336 = MCCCXXXVI 
1337 = MCCCXXXVII 
1338 = MCCCXXXVIII 
1339 = MCCCXXXIX 
1340 = MCCCXL 
1341 = MCCCXLI 
1342 = MCCCXLII 
1343 = MCCCXLIII 
1344 = MCCCXLIV 
1345 = MCCCXLV 
1346 = MCCCXLVI 
1347 = MCCCXLVII 
1348 = MCCCXLVIII 
1349 = MCCCXLIX 
1350 = MCCCL 
1351 = MCCCLI 
386 = CCCLXXXVI 
387 = CCCLXXXVII 
388 = CCCLXXXVIII 
389 = CCCLXXXIX 
390 = CCCXC 
391 = CCCXCI 
392 = CCCXCII 
393 = CCCXCIII 
394 = CCCXCIV 
395 = CCCXCV 
396 = CCCXCVI 
397 = CCCXCVII 
398 = CCCXCVIII 
399 = CCCXCIX 
400 = CD 
401 = CDI 
402 = CDII 
403 = CDIII 
404 = CDIV 
405 = CDV 
406 = CDVI 
407 = CDVII 
408 = CDVIII 
409 = CDIX 
410 = CDX 
411 = CDXI 
412 = CDXII 
413 = CDXIII 
414 = CDXIV 
415 = CDXV 
416 = CDXVI 
417 = CDXVII 
418 = CDXVIII 
419 = CDXIX 
420 = CDXX 
421 = CDXXI 
422 = CDXXII 
423 = CDXXIII 
424 = CDXXIV 
425 = CDXXV 
426 = CDXXVI 
427 = CDXXVII 
428 = CDXXVIII 
429 = CDXXIX 
430 = CDXXX 
431 = CDXXXI 
432 = CDXXXII 
433 = CDXXXIII 
434 = CDXXXIV 
435 = CDXXXV 
436 = CDXXXVI 
437 = CDXXXVII 
438 = CDXXXVIII 
439 = CDXXXIX 
440 = CDXL 
441 = CDXLI 
869 = DCCCLXIX 
870 = DCCCLXX 
871 = DCCCLXXI 
872 = DCCCLXXII 
873 = DCCCLXXIII 
874 = DCCCLXXIV 
875 = DCCCLXXV 
876 = DCCCLXXVI 
877 = DCCCLXXVII 
878 = DCCCLXXVIII 
879 = DCCCLXXIX 
880 = DCCCLXXX 
881 = DCCCLXXXI 
882 = DCCCLXXXII 
883 = DCCCLXXXIII 
884 = DCCCLXXXIV 
885 = DCCCLXXXV 
886 = DCCCLXXXVI 
887 = DCCCLXXXVII 
888 = DCCCLXXXVIII 
889 = DCCCLXXXIX 
890 = DCCCXC 
891 = DCCCXCI 
892 = DCCCXCII 
893 = DCCCXCIII 
894 = DCCCXCIV 
895 = DCCCXCV 
896 = DCCCXCVI 
897 = DCCCXCVII 
898 = DCCCXCVIII 
899 = DCCCXCIX 
900 = CM 
901 = CMI 
902 = CMII 
903 = CMIII 
904 = CMIV 
905 = CMV 
906 = CMVI 
907 = CMVII 
908 = CMVIII 
909 = CMIX 
910 = CMX 
911 = CMXI 
912 = CMXII 
913 = CMXIII 
914 = CMXIV 
915 = CMXV 
916 = CMXVI 
917 = CMXVII 
918 = CMXVIII 
919 = CMXIX 
920 = CMXX 
921 = CMXXI 
922 = CMXXII 
923 = CMXXIII 
924 = CMXXIV 
1352 = MCCCLII 
1353 = MCCCLIII 
1354 = MCCCLIV 
1355 = MCCCLV 
1356 = MCCCLVI 
1357 = MCCCLVII 
1358 = MCCCLVIII 
1359 = MCCCLIX 
1360 = MCCCLX 
1361 = MCCCLXI 
1362 = MCCCLXII 
1363 = MCCCLXIII 
1364 = MCCCLXIV 
1365 = MCCCLXV 
1366 = MCCCLXVI 
1367 = MCCCLXVII 
1368 = MCCCLXVIII 
1369 = MCCCLXIX 
1370 = MCCCLXX 
1371 = MCCCLXXI 
1372 = MCCCLXXII 
1373 = MCCCLXXIII 
1374 = MCCCLXXIV 
1375 = MCCCLXXV 
1376 = MCCCLXXVI 
1377 = MCCCLXXVII 
1378 = MCCCLXXVIII 
1379 = MCCCLXXIX 
1380 = MCCCLXXX 
1381 = MCCCLXXXI 
1382 = MCCCLXXXII 
1383 = MCCCLXXXIII 
1384 = MCCCLXXXIV 
1385 = MCCCLXXXV 
1386 = MCCCLXXXVI 
1387 = MCCCLXXXVII 
1388 = MCCCLXXXVIII 
1389 = MCCCLXXXIX 
1390 = MCCCXC 
1391 = MCCCXCI 
1392 = MCCCXCII 
1393 = MCCCXCIII 
1394 = MCCCXCIV 
1395 = MCCCXCV 
1396 = MCCCXCVI 
1397 = MCCCXCVII 
1398 = MCCCXCVIII 
1399 = MCCCXCIX 
1400 = MCD 
1401 = MCDI 
1402 = MCDII 
1403 = MCDIII 
1404 = MCDIV 
1405 = MCDV 
1406 = MCDVI 
1407 = MCDVII 
442 = CDXLII 
443 = CDXLIII 
444 = CDXLIV 
445 = CDXLV 
446 = CDXLVI 
447 = CDXLVII 
448 = CDXLVIII 
449 = CDXLIX 
450 = CDL 
451 = CDLI 
452 = CDLII 
453 = CDLIII 
454 = CDLIV 
455 = CDLV 
456 = CDLVI 
457 = CDLVII 
458 = CDLVIII 
459 = CDLIX 
460 = CDLX 
461 = CDLXI 
462 = CDLXII 
463 = CDLXIII 
464 = CDLXIV 
465 = CDLXV 
466 = CDLXVI 
467 = CDLXVII 
468 = CDLXVIII 
469 = CDLXIX 
470 = CDLXX 
471 = CDLXXI 
472 = CDLXXII 
473 = CDLXXIII 
474 = CDLXXIV 
475 = CDLXXV 
476 = CDLXXVI 
477 = CDLXXVII 
478 = CDLXXVIII 
479 = CDLXXIX 
480 = CDLXXX 
481 = CDLXXXI 
482 = CDLXXXII 
483 = CDLXXXIII 
925 = CMXXV 
926 = CMXXVI 
927 = CMXXVII 
928 = CMXXVIII 
929 = CMXXIX 
930 = CMXXX 
931 = CMXXXI 
932 = CMXXXII 
933 = CMXXXIII 
934 = CMXXXIV 
935 = CMXXXV 
936 = CMXXXVI 
937 = CMXXXVII 
938 = CMXXXVIII 
939 = CMXXXIX 
940 = CMXL 
941 = CMXLI 
942 = CMXLII 
943 = CMXLIII 
944 = CMXLIV 
945 = CMXLV 
946 = CMXLVI 
947 = CMXLVII 
948 = CMXLVIII 
949 = CMXLIX 
950 = CML 
951 = CMLI 
952 = CMLII 
953 = CMLIII 
954 = CMLIV 
955 = CMLV 
956 = CMLVI 
957 = CMLVII 
958 = CMLVIII 
959 = CMLIX 
960 = CMLX 
961 = CMLXI 
962 = CMLXII 
963 = CMLXIII 
964 = CMLXIV 
965 = CMLXV 
966 = CMLXVI 
1408 = MCDVIII 
1409 = MCDIX 
1410 = MCDX 
1411 = MCDXI 
1412 = MCDXII 
1413 = MCDXIII 
1414 = MCDXIV 
1415 = MCDXV 
1416 = MCDXVI 
1417 = MCDXVII 
1418 = MCDXVIII 
1419 = MCDXIX 
1420 = MCDXX 
1421 = MCDXXI 
1422 = MCDXXII 
1423 = MCDXXIII 
1424 = MCDXXIV 
1425 = MCDXXV 
1426 = MCDXXVI 
1427 = MCDXXVII 
1428 = MCDXXVIII 
1429 = MCDXXIX 
1430 = MCDXXX 
1431 = MCDXXXI 
1432 = MCDXXXII 
1433 = MCDXXXIII 
1434 = MCDXXXIV 
1435 = MCDXXXV 
1436 = MCDXXXVI 
1437 = MCDXXXVII 
1438 = MCDXXXVIII 
1439 = MCDXXXIX 
1440 = MCDXL 
1441 = MCDXLI 
1442 = MCDXLII 
1443 = MCDXLIII 
1444 = MCDXLIV 
1445 = MCDXLV 
1446 = MCDXLVI 
1447 = MCDXLVII 
1448 = MCDXLVIII 
1449 =MCDXLIX 
 
 
Tabela de números romanos (de 1450 até 2100) 
1450 = MCDL 
1451 = MCDLI 
1452 = MCDLII 
1453 = MCDLIII 
1454 = MCDLIV 
1455 = MCDLV 
1456 = MCDLVI 
1457 = MCDLVII 
1458 = MCDLVIII 
1459 = MCDLIX 
1668 = MDCLXVIII 
1669 = MDCLXIX 
1670 = MDCLXX 
1671 = MDCLXXI 
1672 = MDCLXXII 
1673 = MDCLXXIII 
1674 = MDCLXXIV 
1675 = MDCLXXV 
1676 = MDCLXXVI 
1677 = MDCLXXVII 
1886 = MDCCCLXXXVI 
1887 = MDCCCLXXXVII 
1888 = MDCCCLXXXVIII 
1889 = MDCCCLXXXIX 
1890 = MDCCCXC 
1891 = MDCCCXCI 
1892 = MDCCCXCII 
1893 = MDCCCXCIII 
1894 = MDCCCXCIV 
1895 = MDCCCXCV 
1460 = MCDLX 
1461 = MCDLXI 
1462 = MCDLXII 
1463 = MCDLXIII 
1464 = MCDLXIV 
1465 = MCDLXV 
1466 = MCDLXVI 
1467 = MCDLXVII 
1468 = MCDLXVIII 
1469 = MCDLXIX 
1470 = MCDLXX 
1471 = MCDLXXI 
1472 = MCDLXXII 
1473 = MCDLXXIII 
1474 = MCDLXXIV 
1475 = MCDLXXV 
1476 = MCDLXXVI 
1477 = MCDLXXVII 
1478 = MCDLXXVIII 
1479 = MCDLXXIX 
1480 = MCDLXXX 
1481 = MCDLXXXI 
1482 = MCDLXXXII 
1483 = MCDLXXXIII 
1484 = MCDLXXXIV 
1485 = MCDLXXXV 
1486 = MCDLXXXVI 
1487 = MCDLXXXVII 
1488 = MCDLXXXVIII 
1489 = MCDLXXXIX 
1490 = MCDXC 
1491 = MCDXCI 
1492 = MCDXCII 
1493 = MCDXCIII 
1494 = MCDXCIV 
1495 = MCDXCV 
1496 = MCDXCVI 
1497 = MCDXCVII 
1498 = MCDXCVIII 
1499 = MCDXCIX 
1500 = MD 
1501 = MDI 
1502 = MDII 
1503 = MDIII 
1504 = MDIV 
1505 = MDV 
1506 = MDVI 
1507 = MDVII 
1508 = MDVIII 
1509 = MDIX 
1510 = MDX 
1511 = MDXI 
1512 = MDXII 
1513 = MDXIII 
1514 = MDXIV 
1515 = MDXV 
1678 = MDCLXXVIII 
1679 = MDCLXXIX 
1680 = MDCLXXX 
1681 = MDCLXXXI 
1682 = MDCLXXXII 
1683 = MDCLXXXIII 
1684 = MDCLXXXIV 
1685 = MDCLXXXV 
1686 = MDCLXXXVI 
1687 = MDCLXXXVII 
1688 = MDCLXXXVIII 
1689 = MDCLXXXIX 
1690 = MDCXC 
1691 = MDCXCI 
1692 = MDCXCII 
1693 = MDCXCIII 
1694 = MDCXCIV 
1695 = MDCXCV 
1696 = MDCXCVI 
1697 = MDCXCVII 
1698 = MDCXCVIII 
1699 = MDCXCIX 
1700 = MDCC 
1701 = MDCCI 
1702 = MDCCII 
1703 = MDCCIII 
1704 = MDCCIV 
1705 = MDCCV 
1706 = MDCCVI 
1707 = MDCCVII 
1708 = MDCCVIII 
1709 = MDCCIX 
1710 = MDCCX 
1711 = MDCCXI 
1712 = MDCCXII 
1713 = MDCCXIII 
1714 = MDCCXIV 
1715 = MDCCXV 
1716 = MDCCXVI 
1717 = MDCCXVII 
1718 = MDCCXVIII 
1719 = MDCCXIX 
1720 = MDCCXX 
1721 = MDCCXXI 
1722 = MDCCXXII 
1723 = MDCCXXIII 
1724 = MDCCXXIV 
1725 = MDCCXXV 
1726 = MDCCXXVI 
1727 = MDCCXXVII 
1728 = MDCCXXVIII 
1729 = MDCCXXIX 
1730 = MDCCXXX 
1731 = MDCCXXXI 
1732 = MDCCXXXII 
1733 = MDCCXXXIII 
1896 = MDCCCXCVI 
1897 = MDCCCXCVII 
1898 = MDCCCXCVIII 
1899 = MDCCCXCIX 
1900 = MCM 
1901 = MCMI 
1902 = MCMII 
1903 = MCMIII 
1904 = MCMIV 
1905 = MCMV 
1906 = MCMVI 
1907 = MCMVII 
1908 = MCMVIII 
1909 = MCMIX 
1910 = MCMX 
1911 = MCMXI 
1912 = MCMXII 
1913 = MCMXIII 
1914 = MCMXIV 
1915 = MCMXV 
1916 = MCMXVI 
1917 = MCMXVII 
1918 = MCMXVIII 
1919 = MCMXIX 
1920 = MCMXX 
1921 = MCMXXI 
1922 = MCMXXII 
1923 = MCMXXIII 
1924 = MCMXXIV 
1925 = MCMXXV 
1926 = MCMXXVI 
1927 = MCMXXVII 
1928 = MCMXXVIII 
1929 = MCMXXIX 
1930 = MCMXXX 
1931 = MCMXXXI 
1932 = MCMXXXII 
1933 = MCMXXXIII 
1934 = MCMXXXIV 
1935 = MCMXXXV 
1936 = MCMXXXVI 
1937 = MCMXXXVII 
1938 = MCMXXXVIII 
1939 = MCMXXXIX 
1940 = MCMXL 
1941 = MCMXLI 
1942 = MCMXLII 
1943 = MCMXLIII 
1944 = MCMXLIV 
1945 = MCMXLV 
1946 = MCMXLVI 
1947 = MCMXLVII 
1948 = MCMXLVIII 
1949 = MCMXLIX 
1950 = MCML 
1951 = MCMLI 
1516 = MDXVI 
1517 = MDXVII 
1518 = MDXVIII 
1519 = MDXIX 
1520 = MDXX 
1521 = MDXXI 
1522 = MDXXII 
1523 = MDXXIII 
1524 = MDXXIV 
1525 = MDXXV 
1526 = MDXXVI 
1527 = MDXXVII 
1528 = MDXXVIII 
1529 = MDXXIX 
1530 = MDXXX 
1531 = MDXXXI 
1532 = MDXXXII 
1533 = MDXXXIII 
1534 = MDXXXIV 
1535 = MDXXXV 
1536 = MDXXXVI 
1537 = MDXXXVII 
1538 = MDXXXVIII 
1539 = MDXXXIX 
1540 = MDXL 
1541 = MDXLI 
1542 = MDXLII 
1543 = MDXLIII 
1544 = MDXLIV 
1545 = MDXLV 
1546 = MDXLVI 
1547 = MDXLVII 
1548 = MDXLVIII 
1549 = MDXLIX 
1550 = MDL 
1551 = MDLI 
1552 = MDLII 
1553 = MDLIII 
1554 = MDLIV 
1555 = MDLV 
1556 = MDLVI 
1557 = MDLVII 
1558 = MDLVIII 
1559 = MDLIX 
1560 = MDLX 
1561 = MDLXI 
1562 = MDLXII 
1563 = MDLXIII 
1564 = MDLXIV 
1565 = MDLXV 
1566 = MDLXVI 
1567 = MDLXVII 
1568 = MDLXVIII 
1569 = MDLXIX 
1570 = MDLXX 
1571 = MDLXXI 
1734 = MDCCXXXIV 
1735 = MDCCXXXV 
1736 = MDCCXXXVI 
1737 = MDCCXXXVII 
1738 = MDCCXXXVIII 
1739 = MDCCXXXIX 
1740 = MDCCXL 
1741 = MDCCXLI 
1742 = MDCCXLII 
1743 = MDCCXLIII 
1744 = MDCCXLIV 
1745 = MDCCXLV 
1746 = MDCCXLVI 
1747 = MDCCXLVII 
1748 = MDCCXLVIII 
1749 = MDCCXLIX 
1750 = MDCCL 
1751 = MDCCLI 
1752 = MDCCLII 
1753 = MDCCLIII 
1754 = MDCCLIV 
1755 = MDCCLV 
1756 = MDCCLVI 
1757 = MDCCLVII 
1758 = MDCCLVIII 
1759 = MDCCLIX 
1760 = MDCCLX 
1761 = MDCCLXI 
1762 = MDCCLXII 
1763 = MDCCLXIII 
1764 = MDCCLXIV 
1765 = MDCCLXV 
1766 = MDCCLXVI 
1767 = MDCCLXVII 
1768 = MDCCLXVIII 
1769 = MDCCLXIX 
1770 = MDCCLXX 
1771 = MDCCLXXI 
1772 = MDCCLXXII 
1773 = MDCCLXXIII 
1774 = MDCCLXXIV 
1775 = MDCCLXXV 
1776 = MDCCLXXVI 
1777 = MDCCLXXVII 
1778 = MDCCLXXVIII 
1779 = MDCCLXXIX 
1780 = MDCCLXXX 
1781 = MDCCLXXXI 
1782 = MDCCLXXXII 
1783 = MDCCLXXXIII 
1784 = MDCCLXXXIV 
1785 = MDCCLXXXV 
1786 = MDCCLXXXVI 
1787 = MDCCLXXXVII 
1788 = MDCCLXXXVIII 
1789 = MDCCLXXXIX 
1952 = MCMLII 
1953 = MCMLIII 
1954 = MCMLIV 
1955 = MCMLV 
1956 = MCMLVI 
1957 = MCMLVII 
1958 = MCMLVIII 
1959 = MCMLIX 
1960 = MCMLX 
1961 = MCMLXI 
1962 = MCMLXII 
1963 = MCMLXIII 
1964 = MCMLXIV 
1965 = MCMLXV 
1966 = MCMLXVI 
1967 = MCMLXVII 
1968 = MCMLXVIII 
1969 = MCMLXIX 
1970 = MCMLXX 
1971 = MCMLXXI 
1972 = MCMLXXII 
1973 = MCMLXXIII 
1974 = MCMLXXIV 
1975 = MCMLXXV 
1976 = MCMLXXVI 
1977 = MCMLXXVII 
1978 = MCMLXXVIII 
1979 = MCMLXXIX 
1980 = MCMLXXX 
1981 = MCMLXXXI 
1982 = MCMLXXXII 
1983 = MCMLXXXIII 
1984 = MCMLXXXIV 
1985 = MCMLXXXV 
1986 = MCMLXXXVI 
1987 = MCMLXXXVII 
1988 = MCMLXXXVIII 
1989 = MCMLXXXIX 
1990 = MCMXC 
1991 = MCMXCI 
1992 = MCMXCII 
1993 = MCMXCIII 
1994 = MCMXCIV 
1995 = MCMXCV 
1996 = MCMXCVI 
1997 = MCMXCVII 
1998 = MCMXCVIII 
1999 = MCMXCIX 
2000 = MM 
2001 = MMI 
2002 = MMII 
2003 = MMIII 
2004 = MMIV 
2005 = MMV 
2006 = MMVI 
2007 = MMVII 
1572 = MDLXXII 
1573 = MDLXXIII 
1574 = MDLXXIV 
1575 = MDLXXV 
1576 = MDLXXVI 
1577 = MDLXXVII 
1578 = MDLXXVIII 
1579 = MDLXXIX 
1580 = MDLXXX 
1581 = MDLXXXI 
1582 = MDLXXXII 
1583 = MDLXXXIII 
1584 = MDLXXXIV 
1585 = MDLXXXV 
1586 = MDLXXXVI 
1587 = MDLXXXVII 
1588 = MDLXXXVIII 
1589 = MDLXXXIX 
1590 = MDXC 
1591 = MDXCI 
1592 = MDXCII 
1593 = MDXCIII 
1594 = MDXCIV 
1595 = MDXCV 
1596 = MDXCVI 
1597 = MDXCVII 
1598 = MDXCVIII 
1599 = MDXCIX 
1600 = MDC 
1601 = MDCI 
1602 = MDCII 
1603 = MDCIII 
1604 = MDCIV 
1605 = MDCV 
1606 = MDCVI 
1607 = MDCVII 
1608 = MDCVIII 
1609 = MDCIX 
1610 = MDCX 
1611 = MDCXI 
1612 = MDCXII 
1613 = MDCXIII 
1614 = MDCXIV 
1615 = MDCXV 
1616 = MDCXVI 
1617 = MDCXVII 
1618 = MDCXVIII 
1619 = MDCXIX 
1620 = MDCXX 
1621 = MDCXXI 
1622 = MDCXXII 
1623 = MDCXXIII 
1624 = MDCXXIV 
1625 = MDCXXV 
1626 = MDCXXVI 
1627 = MDCXXVII 
1790 = MDCCXC 
1791 = MDCCXCI 
1792 = MDCCXCII 
1793 = MDCCXCIII 
1794 = MDCCXCIV 
1795 = MDCCXCV 
1796 = MDCCXCVI 
1797 = MDCCXCVII 
1798 = MDCCXCVIII 
1799 = MDCCXCIX 
1800 = MDCCC 
1801 = MDCCCI 
1802 = MDCCCII 
1803 = MDCCCIII 
1804 = MDCCCIV 
1805 = MDCCCV 
1806 = MDCCCVI 
1807 = MDCCCVII 
1808 = MDCCCVIII 
1809 = MDCCCIX 
1810 = MDCCCX 
1811 = MDCCCXI 
1812 = MDCCCXII 
1813 = MDCCCXIII 
1814 = MDCCCXIV 
1815 = MDCCCXV 
1816 = MDCCCXVI 
1817 = MDCCCXVII 
1818 = MDCCCXVIII 
1819 = MDCCCXIX 
1820 = MDCCCXX 
1821 = MDCCCXXI 
1822 = MDCCCXXII 
1823 = MDCCCXXIII 
1824 = MDCCCXXIV 
1825 = MDCCCXXV 
1826 = MDCCCXXVI 
1827 = MDCCCXXVII 
1828 = MDCCCXXVIII 
1829 = MDCCCXXIX 
1830 = MDCCCXXX 
1831 = MDCCCXXXI 
1832 = MDCCCXXXII 
1833 = MDCCCXXXIII 
1834 = MDCCCXXXIV 
1835 = MDCCCXXXV 
1836 = MDCCCXXXVI 
1837 = MDCCCXXXVII 
1838 = MDCCCXXXVIII 
1839 = MDCCCXXXIX 
1840 = MDCCCXL 
1841 = MDCCCXLI 
1842 = MDCCCXLII 
1843 = MDCCCXLIII 
1844 = MDCCCXLIV 
1845 = MDCCCXLV 
2008 = MMVIII 
2009 = MMIX 
2010 = MMX 
2011 = MMXI 
2012 = MMXII 
2013 = MMXIII 
2014 = MMXIV 
2015 = MMXV 
2016 = MMXVI 
2017 = MMXVII 
2018 = MMXVIII 
2019 = MMXIX 
2020 = MMXX 
2021 = MMXXI 
2022 = MMXXII 
2023 =MMXXIII 
2024 = MMXXIV 
2025 = MMXXV 
2026 = MMXXVI 
2027 = MMXXVII 
2028 = MMXXVIII 
2029 = MMXXIX 
2030 = MMXXX 
2031 = MMXXXI 
2032 = MMXXXII 
2033 = MMXXXIII 
2034 = MMXXXIV 
2035 = MMXXXV 
2036 = MMXXXVI 
2037 = MMXXXVII 
2038 = MMXXXVIII 
2039 = MMXXXIX 
2040 = MMXL 
2041 = MMXLI 
2042 = MMXLII 
2043 = MMXLIII 
2044 = MMXLIV 
2045 = MMXLV 
2046 = MMXLVI 
2047 = MMXLVII 
2048 = MMXLVIII 
2049 = MMXLIX 
2050 = MML 
2051 = MMLI 
2052 = MMLII 
2053 = MMLIII 
2054 = MMLIV 
2055 = MMLV 
2056 = MMLVI 
2057 = MMLVII 
2058 = MMLVIII 
2059 = MMLIX 
2060 = MMLX 
2061 = MMLXI 
2062 = MMLXII 
2063 = MMLXIII 
1628 = MDCXXVIII 
1629 = MDCXXIX 
1630 = MDCXXX 
1631 = MDCXXXI 
1632 = MDCXXXII 
1633 = MDCXXXIII 
1634 = MDCXXXIV 
1635 = MDCXXXV 
1636 = MDCXXXVI 
1637 = MDCXXXVII 
1638 = MDCXXXVIII 
1639 = MDCXXXIX 
1640 = MDCXL 
1641 = MDCXLI 
1642 = MDCXLII 
1643 = MDCXLIII 
1644 = MDCXLIV 
1645 = MDCXLV 
1646 = MDCXLVI 
1647 = MDCXLVII 
1648 = MDCXLVIII 
1649 = MDCXLIX 
1650 = MDCL 
1651 = MDCLI 
1652 = MDCLII 
1653 = MDCLIII 
1654 = MDCLIV 
1655 = MDCLV 
1656 = MDCLVI 
1657 = MDCLVII 
1658 = MDCLVIII 
1659 = MDCLIX 
1660 = MDCLX 
1661 = MDCLXI 
1662 = MDCLXII 
1663 = MDCLXIII 
1664 = MDCLXIV 
1665 = MDCLXV 
1666 = MDCLXVI 
1667 = MDCLXVII 
1846 = MDCCCXLVI 
1847 = MDCCCXLVII 
1848 = MDCCCXLVIII 
1849 = MDCCCXLIX 
1850 = MDCCCL 
1851 = MDCCCLI 
1852 = MDCCCLII 
1853 = MDCCCLIII 
1854 = MDCCCLIV 
1855 = MDCCCLV 
1856 = MDCCCLVI 
1857 = MDCCCLVII 
1858 = MDCCCLVIII 
1859 = MDCCCLIX 
1860 = MDCCCLX 
1861 = MDCCCLXI 
1862 = MDCCCLXII 
1863 = MDCCCLXIII 
1864 = MDCCCLXIV 
1865 = MDCCCLXV 
1866 = MDCCCLXVI 
1867 = MDCCCLXVII 
1868 = MDCCCLXVIII 
1869 = MDCCCLXIX 
1870 = MDCCCLXX 
1871 = MDCCCLXXI 
1872 = MDCCCLXXII 
1873 = MDCCCLXXIII 
1874 = MDCCCLXXIV 
1875 = MDCCCLXXV 
1876 = MDCCCLXXVI 
1877 = MDCCCLXXVII 
1878 = MDCCCLXXVIII 
1879 = MDCCCLXXIX 
1880 = MDCCCLXXX 
1881 = MDCCCLXXXI 
1882 = MDCCCLXXXII 
1883 = MDCCCLXXXIII 
1884 = MDCCCLXXXIV 
1885 = MDCCCLXXXV 
2064 = MMLXIV 
2065 = MMLXV 
2066 = MMLXVI 
2067 = MMLXVII 
2068 = MMLXVIII 
2069 = MMLXIX 
2070 = MMLXX 
2071 = MMLXXI 
2072 = MMLXXII 
2073 = MMLXXIII 
2074 = MMLXXIV 
2075 = MMLXXV 
2076 = MMLXXVI 
2077 = MMLXXVII 
2078 = MMLXXVIII 
2079 = MMLXXIX 
2080 = MMLXXX 
2081 = MMLXXXI 
2082 = MMLXXXII 
2083 = MMLXXXIII 
2084 = MMLXXXIV 
2085 = MMLXXXV 
2086 = MMLXXXVI 
2087 = MMLXXXVII 
2088 = MMLXXXVIII 
2089 = MMLXXXIX 
2090 = MMXC 
2091 = MMXCI 
2092 = MMXCII 
2093 = MMXCIII 
2094 = MMXCIV 
2095 = MMXCV 
2096 = MMXCVI 
2097 = MMXCVII 
2098 = MMXCVIII 
2099 = MMXCIX 
2100 = MMC 
 
 
Tabela de números romanos 
3000 MMM 30000 ____ 
XXX 
300000 ____ 
CCC 
4000 
__ 
IV 40000 
__ 
XL 400000 
__ 
CD 
5000 
_ 
V 50000 
_ 
L 500000 
_ 
D 
6000 
__ 
VI 60000 
__ 
LX 600000 
__ 
DC 
7000 
___ 
VII 70000 
___ 
LXX 700000 
___ 
DCC 
8000 
___ 
VIII 80000 
____ 
LXXX 800000 
____ 
DCCC 
9000 
__ 
IX 90000 
__ 
XC 900000 
__ 
CM 
10000 
_ 
X 100000 
_ 
C 1000000 
__ 
M 
20000 
___ 
XX 200000 
__ 
CC 
 
 
Grandezas - Introdução 
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas 
aumentadas ou diminuídas. 
 Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o 
tempo, o custo e a produção. 
 É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: 
 Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto 
nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. 
 Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a 
produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. 
Grandezas diretamente proporcionais 
 Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: 
Tempo (minutos) Produção (Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
20 400 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe 
que: 
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 
5 min ----> 100Kg 
10 min ----> 200Kg 
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 
5 min ----> 100Kg 
15 min ----> 300Kg 
Assim: 
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os 
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza. 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma 
velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe 
que: 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 
5 m/s ----> 200s 
10 m/s ----> 100s 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 
5 m/s ----> 200s 
20 m/s ----> 50s 
Assim: 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando 
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os 
valores correspondentes da 2ª. 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza. 
 
 
Regra de três simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais 
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha 
as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia 
produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em 
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo 
tipoe preço? 
 Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número 
de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
5 x 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários 
para descarregar 125m3? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação 
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com 
o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados 
por 4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional(não precisamos inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se 
flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para 
as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 
 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 
piscinas? Resposta: 6 horas. 
 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 
 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo 
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 
km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 
km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. 
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 
2025 metros. 
 
Dízimas periódicas 
 Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo: 
 
 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se 
o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. 
 Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o 
período dessa dízima. 
 As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. 
Exemplos: 
 (período: 5) (período: 3) (período: 12) 
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. 
 
Período: 2 
Parte não periódica: 0 
 
Período: 4 
Período não periódica: 15 
 
Período: 23 
Parte não periódica: 1 
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não 
periódica. 
Observações: 
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. 
Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. 
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 
 
 
Geratriz de uma dízima periódica 
 É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. 
 Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: 
 Dízima simples 
 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para 
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 Dízima Composta: 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde 
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros 
quantos forem os algarismos da parte não periódica. 
Exemplos: 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
• A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns 
exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 Exemplos: 
• Calcular 10% de 300. 
 
 
• Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. 
Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro 
obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou 
em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor 
apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, 
multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
 
Classificação dos polígonos 
Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de 
ângulos ou onúmero de lados, teremos a seguinte nomenclatura: 
NOME DO POLÍGONO 
NÚMERO DE LADOS 
(OU ÂNGULOS) EM FUNÇÃO DO 
NÚMERO DE ÂNGULOS 
EM FUNÇÃO DO 
NÚMERO DE LADOS 
3 triângulo trilátero 
4 quadrângulo quadrilátero 
5 pentágono pentalátero 
6 hexágono hexalátero 
7 heptágono heptalátero 
8 octógono octolátero 
9 eneágono enealátero 
10 decágono decalátero 
11 undecágono undecalátero 
12 dodecágono dodecalátero 
15 pentadecágono pentadecalátero 
20 icoságono icosalátero 
 
Área das figuras planas 
Retângulo 
 
Quadrado 
 
Triângulo 
 
Paralelogramo 
 
 
Trapézio 
 
Losango 
 
Triângulo equilátero 
 
 
 
Medidas de superfície 
 Introdução 
 As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do 
cotidiano: 
• Qual a area desta sala? 
• Qual a area desse apartamento? 
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa 
piscina? 
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão? 
• Qual a area pintada dessa parede? 
 Superfície e área 
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. 
 Metro Quadrado 
 A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. 
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetros 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado metro quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2 
 
 O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados 
para pequenas superfícies. 
 Exemplos: 
 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 12, 56 
 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade 
de área. 
 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 1 78, 30 
 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 
 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 0, 91 70 
 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. 
 
 Medidas Agrárias 
 As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A 
principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
Unidade 
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca) 
 Equivalência 
de valor 100a 1a 0,01a 
Lembre-se: 
1 ha = 1hm2 
1a = 1 dam2 
1ca = 1m2 
Transformação de unidades 
 No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de 
superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior: 
 
 Observe as seguintes transformações: 
• transformar 2,36 m2 em mm2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 
(100x100x100). 
 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 
 
• transformar 580,2 dam2 em km2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 
(100x100). 
 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 
 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 
 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 
 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) 
 
Medidas de volume 
 Introdução 
 Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e 
altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. 
 Metro cúbico 
 A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao 
espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 
Múltiplos Unidade 
Fundamental
Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico metro cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro 
cúbico 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
1.000.000.000m3 1.000.000 
m3 
1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m30,000000001 
m3 
 
 Leitura das medidas de volume 
 A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos 
utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se 
com zero(s). Exemplos. 
• Leia a seguinte medida: 75,84m3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 75, 840 
 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". 
 
• Leia a medida: 0,0064dm3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 0, 006 400 
 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". 
 
Transformação de unidades 
 Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar 
que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
 
 Observe a seguinte transformação: 
• transformar 2,45 m3 para dm3. 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 
 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 
 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 
 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 
 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3) 
 
Medidas de capacidade 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o 
líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. 
 A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. 
 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
 1l = 1dm3 
 Múltiplos e submúltiplos do litro 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
kl hl dal l dl cl ml 
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
Relações 
1l = 1dm3 
1ml = 1cm3 
1kl = 1m3 
 Leitura das medidas de capacidade 
• Exemplo: leia a seguintemedida: 2,478 dal 
kl hl dal l dl cl ml 
 2, 4 7 8 
 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 
 
Transformação de unidades 
 Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar 
que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
 
 Observe a seguinte transformação: 
• transformar 3,19 l para ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
 Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10). 
 3,19 x 1.000 = 3.190 ml 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 
 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 
 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 
 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l) 
 
Equações de 2º grau 
Definições 
 Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: 
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e 
 Exemplo: 
• x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 
• 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 
• 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. 
• x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. 
 Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma 
equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. 
 a é sempre o coeficiente de x²; 
 b é sempre o coeficiente de x, 
 c é o coeficiente ou termo independente. 
 
Equação completas e Incompletas 
 Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: 
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. 
 Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos 
são iguais a zero. Exemplos: 
• x² - 36 = 0 
(b = 0) 
• x² - 10x = 0 
(c = 0) 
• 4x² = 0 
(b = c = 0) 
Raízes de uma equação do 2º grau 
 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, 
transforma-a numa sentença verdadeira. 
 O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto 
solução. Exemplos: 
• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação 
x² - x - 2 = 0 ? 
 Solução 
 Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e 
verificamos quais as sentenças verdadeiras. 
Para x = -1 
(-1)² - (-1) - 2 = 0 
1 + 1 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
Para x = 0 
0² - 0 - 2 = 0 
0 - 0 -2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 1 
1² - 1 - 2 = 0 
1 - 1 - 2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 2 
2² - 2 - 2 = 0 
4 - 2 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
 Logo, -1 e 2 são raízes da equação. 
• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0. 
 
Solução 
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p. 
 
• Logo, o valor de p é . 
 
 
Resolução de equações incompletas 
 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. 
 Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas 
importantes propriedades dos números reais: 
 1ª Propriedade: 
 2ª Propriedade: 
 
 1º Caso: Equação do tipo . 
 Exemplo: 
• Determine as raízes da equação , sendo . 
 
Solução 
Inicialmente, colocamos x em evidência: 
 
 Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: 
 
 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: 
 
 De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e . 
 2º Caso: Equação do tipo 
 Exemplos: 
• Determine as raízes da equação , sendo U = IR. 
 Solução 
 
 
 De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número 
positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo. 
 
Resolução de equações completas 
 Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. 
 A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a 
passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. 
 
2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 
 
3º passo: adicionar aos dois membros. 
 
4º passo: fatorar o 1º elemento. 
 
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 
 
6º passo: passar b para o 2º membro. 
 
7º passo: dividir os dois membros por . 
 
 Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: 
 
 Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: 
 
 
 Exemplos: 
• resolução a equação: 
Temos 
 
 
 
Discriminante 
 Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta). 
 
 Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: 
 
 De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 
1º Caso: O discriminante é positivo . 
 O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: 
 
 Exemplo: 
• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? 
 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
 
 
 Logo, os valores de k devem ser menores que 3. 
2º Caso: O discriminante é nulo 
 O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: 
 
 Exemplo: 
• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que . 
 
 Logo, o valor de p é 3. 
 
 
3º Caso: O discriminante é negativo . 
 O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação 
sãonúmero complexos. 
 
 Exemplo: 
• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? 
 
Solução 
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 
 
 Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. 
Resumindo 
 Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: 
 Para , a equação tem duas raízes reais diferentes. 
 Para , a equação tem duas raízes reais iguais. 
 Para , a equação não tem raízes reais. 
 
EQUAÇÕES LITERAIS 
As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos 
independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais. 
As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são 
denominadas parâmetros. 
Exemplos: 
 ax2+ bx + c = 0 incógnita: x 
 parâmetro: a, b, c 
 ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x 
 parâmetro: a 
 
 Equações literais incompletas 
 A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações 
numéricas. 
 Observe os exemplos: 
• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável. 
 Solução 
 3x2 - 12m2 = 0 
 3x2 = 12m2 
 x2 = 4m2 
 
 x= 
Logo, temos: 
• Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável. 
 Solução 
 my2 - 2aby = 0 
 y(my - 2ab)=0 
Temos, portanto, duas soluções:y=0 
 ou 
 my - 2ab = 0 my = 2ab y= 
Assim: 
 
 
 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: 
 my2 - 2aby= 0 
 my2 = 2aby 
 my = 2ab 
 
Desta maneira, obteríamos apenas a solução . 
O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y. 
Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira 
a divisão por zero, que é um absurdo. 
 
Equações literais completas 
As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara: 
Exemplo: 
 Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável. 
 Solução 
 Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2 
 
 
 
 
Portanto: 
 
Assim, temos: V= { - ab, 3ab}. 
 
 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES 
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação. 
 Logo: 
 
Observe as seguintes relações: 
• Soma das raízes (S) 
 
 
 
• Produto das raízes (P) 
 
 Como ,temos: 
 
 
 
 Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação 
dessas relações. 
• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0. 
Solução 
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2. 
A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a 
Assim: Assim: 
 
• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas 
raízes seja igual a 7. 
Solução 
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2. 
 S= x1 + x2 = 7 
 
Logo, o valor de k é -2. 
 
• Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja 
igual a -2. 
Solução 
Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m. 
 P= x1. x2= -2 
 
Logo, o valor de m é . 
• Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de 
suas raízes seja igual a 8. 
 
Solução 
Considere x1 e x2 as raízes da equação. 
A soma dos inversos das raízes corresponde a . 
Assim: 
 
 
Logo, o valor de k é -8. 
 
• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 
admita: 
a) raízes simétricas; 
b) raízes inversas. 
 
Solução 
Se as raízes são simétricas, então S=0. 
 
Se as raízes são inversas, então P=1. 
 
 
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES 
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. 
 Dividindo todos os termos por a , obtemos: 
 
 
Como , podemos escrever a equação desta maneira. 
x2 - Sx + P= 0 
 
Exemplos: 
• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. 
Solução 
A soma das raízes corresponde a: 
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5 
O produto das raízes corresponde a: 
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14. 
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. 
 
• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes 
é . 
Solução 
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz 
será . 
 
 Assim: 
 
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada. 
 
 FORMA FATORADA 
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0. 
 Colocando a em evidência, obtemos: 
 
Então, podemos escrever: 
 
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é: 
a.(x - x') . (x - x'') = 0 
 
Exemplos: 
• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0. 
Solução 
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3. 
Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x
2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: 
(x-2).(x-3) = 0 
• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0. 
 
Solução 
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. 
Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x
2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita: 
2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0 
 
• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0. 
Solução 
Como o , a equação não possui raízes reais. 
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR. 
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 Observe as equações: 
x4 - 13x2 + 36 = 0 
9x4 - 13x2 + 4 = 0 
x4 - 5x2 + 6 = 0 
 
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em 
x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. 
Denominamos essas equações de equações biquadradas. 
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: 
 
ax4 + bx2 + c = 0 
 
 
Exemplos: 
x4 - 5x2 + 4 = 0 
x4 - 8x2 = 0 
3x4 - 27 = 0 
 
Cuidado! 
 x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0 
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui 
expoentes pares. 
 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA 
 Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, 
transformando-a numa equação do 2º grau. 
 Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada. 
 
Seqüência prática 
• Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. 
• Resolva a equação ay2 + by + c = 0 
• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0. 
 
 Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá 
origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz 
real para a mesma. 
Exemplos: 
• Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0. 
Solução 
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: 
 
 y2 - 13y + 36 = 0 
Resolvendo essa equação, obtemos: 
 
 y'=4 e y''=9 
Como x2= y, temos: 
 
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. 
 
• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0. 
Solução 
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: 
 
 y2 + 4y - 60 = 0 
Resolvendo essa equação, obtemos: 
 
 y'=6 e y''= -10 
Como x2= y, temos: 
 
 
Logo, temos para o conjunto verdade: . 
 
• Determine a soma das raízes da equação . 
Solução 
Utilizamos o seguinte artifício: 
 
Assim: 
 y2 - 3y = -2 
 y2 - 3y + 2 = 0 
 y'=1 e y''=2 
Substituindo y, determinamos: 
 
Logo, a soma das raízes é dada por: 
 
 
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0 
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. 
Para isso, substituimos xn por y, obtendo: 
 ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau. 
 
Exemplo: 
• resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0. 
Solução 
Fazendo x3=y, temos: 
 y2 + 117y - 1.000 = 0 
Resolvendo a equação, obtemos: 
 y'= 8 e y''= - 125 
Então: 
 
Logo, V= {-5, 2 }. 
 
Composição da equação biquadrada 
 Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula: 
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0 
Exemplo: 
• Compor a equação biquadrada cujas raízes são: 
 
Solução 
a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0 
 x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0 
 x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0 
 
 
 PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA 
 Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4e a equação do 2º 
grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''. 
 De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. 
Assim: 
 
 
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades: 
 
 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula. 
 
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 
 
 
 2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a - . 
 
 
 
 3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a . 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Considere as seguintes equações: 
 
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações 
são irracionais. 
Ou seja: 
 
 Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. 
 
 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL 
 A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la 
inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma 
potência conveniente. 
 Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as 
raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional 
dada ( verificar a igualdade). 
 É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma 
potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. 
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. 
• 
Solução 
 
Logo, V= {58}. 
 
• 
Solução 
 
 
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 
 
• 
Solução 
 
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 
 
• 
Solução 
 
Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 Observe o seguinte problema: 
 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine 
as medidas x e y indicadas na figura. 
 
De acordo com os dados, podemos escrever: 
8x + 4y = 64 
2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192 
 
Simplificando, obtemos: 
2x + y = 16 1 
x2 +xy = 48 2 
 
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau. 
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: 
Assim: 2x + y = 16 1 
 y = 16 - 2x 
Substituindo y em 2 , temos: 
 x2 + x ( 16 - 2x) = 48 
 x 2 + 16x - 2x2 = 48 
 - x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 
 x2 - 16x + 48 = 0 
x'=4 e x''=12 
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: 
y'=16 - 2 . 4 = 8 
y''=16 - 2 . 12 = - 8 
 
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8). 
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra: 
 Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m 
 Largura =2x = 2. 4 = 8m 
Verifique agora a solução deste outro sistema: 
 
 
Isolando y em 1 
 y - 3x = -1 y = 3x - 1 
Substituindo em 2 
 x2 - 2x(3x - 1) = -3 
 x2 - 6x2 + 2x = -3 
 -5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 
 5x2 - 2x - 3 = 0 
x'=1 e x''=- 
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: 
 
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e . 
Logo, temos para conjunto verdade: 
PROBLEMAS DO 2º GRAU 
 Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas: 
Sequência prática 
• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a 
linguagem matemática. 
• Resolva a equação ou o sistema de equações. 
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do 
problema. 
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau: 
• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja . 
Solução 
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão 
representados por . 
Temos estão a equação: . 
Resolvendo-a: 
 
Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro. 
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7. 
• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, 
obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se 
que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. 
Solução 
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y 
+ x. 
Observe: 
Número: 10x + y 
Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x. 
Temos, então, o sistema de equações: 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
Isolando y em 1 : 
 -x + y = 3 y= x + 3 
Substituindo y em 2: 
xy = 18 
x ( x + 3) = 18 
x2 + 3x = 18 
x2 + 3x - 18 = 0 
x'= 3 e x''= -6 
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: 
 y'= 3 + 3 = 6 
 y''= -6 + 3 = -3 
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}. 
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o 
número 
36 ( x=3 e y=6). 
Resposta: O número procurado é 36. 
 
• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais 
que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque 
isoladamente. 
Solução 
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª 
torneira encher o tanque. 
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque: 
 
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação 
correspondente: 
 
Resolvendo-a, temos: 
 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 
 6x + 30 + 6x = x2 + 5x 
 x2 - 7x - 30 = 0 
 x'= - 3 e x''=10 
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10. 
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas. 
• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 
24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu 
um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse 
jantar? 
Solução 
Podemos representar por: 
 
Resolvendo-a: 
 
Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 
pessoas estavam presentes no jantar. 
 
Numeração decimal 
Introdução 
 A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros. 
 
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma 
outra forma de representação dos números racionais fracionários. 
A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a 
forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète. 
O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos 
computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. 
Frações Decimais 
Observe as frações: 
 
Os denominadores são potências de 10. 
Assim: 
 Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam 
potências de 10 no denominador. 
 
 
Numeração decimal 
Números Decimais 
 O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar 
de frações, Vièteescreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje. 
 Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais: 
Fração Decimal = Números Decimais 
 
= 0,1 
 
= 0,01 
 
= 0,001 
 
= 0,0001 
 
Fração Decimal = Números Decimais 
 
= 0,5 
 
= 0,05 
 
= 0,005 
 
= 0,0005 
 
Fração Decimal = Números Decimais 
 
= 11,7 
 
= 1,17 
 
= 0,117 
 
= 0,0117 
 
 Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. 
 Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. 
 
 
Numeração decimal 
 Leitura dos números decimais 
 No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma 
posição ou ordem com as seguintes denominações: 
Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos milésimos 
Centésimos 
milésimos Milionésimos 
Partes inteiras Partes decimais 
 
 
 Leitura 
 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: 
 décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; 
 centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; 
 milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; 
 décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; 
 centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim 
sucessivamente. 
 Exemplos: 
 1,2: um inteiro e dois décimos; 
 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos 
 Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. 
 Exemplos: 
 0,1 : um décimo; 
 0,79 : setenta e nove centésimos 
Observação: 
1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 
5,53: 
 Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos; 
 
 Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos; 
 cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos. 
 
2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o 
último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos: 
4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00 
 
Numeração decimal 
Transformação de números decimais em frações decimais 
 Observe os seguintes números decimais: 
• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, . 
• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, . 
• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, . 
• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 
 Verifique então que: 
 
 
 
 Assim: 
 Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o 
número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais. 
 
Transformação de fração decimal em número decimal 
 Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir: 
 
 
 Podemos concluir, então, que: 
 Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta 
dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do 
denominador. 
 
 
Numeração decimal 
Decimais equivalentes 
 As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de 
verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes. 
 Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade. 
Exemplos: 
0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000 
2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000 
 Dos exemplos acima, podemos concluir que: 
 Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um 
ou mais zeros à direita de sua parte decimal. 
 
Comparação de números decimais 
 Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de 
desigualdade entre eles. Consideremos dois casos: 
 1º Caso: As partes inteiras 
O maior é aquele que tem a maior parte inteira. 
 Exemplos: 
 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9. 
 
 2º Caso: As partes inteiras são iguais 
 O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário 
igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando 
zeros. 
 Exemplos: 
• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 
• 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3. 
 
Medidas de massa 
Introdução 
 Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: 
 Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer 
lugar da terra ou fora dela. 
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. 
Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: 
 A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes 
maior na terra do que na lua. 
 Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade 
lunar. 
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é 
um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". 
 
Quilograma 
 A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. 
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à 
temperatura de 4ºC. 
 Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática 
o grama como unidade principal de massa. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do grama 
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos 
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama 
kg hg dag g dg cg mg 
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g 
 Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
Exemplos: 
1 dag = 10 g 
1 g = 10 dg 
Medidas de massa 
Relações Importantes 
 Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. 
 Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência: 
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L 
 São válidas também as relações: 
1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm
3 <=> 1ml <=> 1g 
 
 Observação: 
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais: 
 1 arroba = 15 kg 
 1 tonelada (t) = 1.000 kg 
 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg 
 
Leitura das Medidas de Massa 
 A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. 
Exemplos: 
• Leia a seguinte medida: 83,732 hg 
kg hg dag g dg cg mg 
8 3, 7 3 1 
 Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas". 
• Leia a medida: 0,043g 
kg hg dag g dg cg mg 
 0, 0 4 3 
 Lê-se " 43 miligramas". 
 
Medidas de massa 
Transformação de Unidades 
 Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior. 
 
 
 
 Observe as Seguintes transformações: 
• Transforme 4,627 kg em dag. 
kg hg dag g dg cg mg 
 Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 
10). 
 4,627 x 100 = 462,7 
Ou seja: 
 4,627 kg = 462,7 dag 
 
Observação: 
Peso bruto: peso do produto com a embalagem. 
Peso líquido: peso somente do produto. 
 
Medidas de tempo 
Introdução 
 É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: 
 Qual a duração dessa partida de futebol? 
 Qual o tempo dessa viagem? 
 Qual a duração desse curso? 
 Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? 
 Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medidade 
tempo. 
 A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
Segundo 
 O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as 
sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. 
 O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. 
 As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo 
Quadro de unidades 
Múltiplos 
minutos hora dia 
min h d 
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s 
 São submúltiplos do segundo: 
• décimo de segundo 
• centésimo de segundo 
• milésimo de segundo 
 
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas 
de tempo não é decimal. 
 Observe: 
 
 
Medidas de tempo 
Outras importantes unidades de medida: 
mês (comercial) = 30 dias 
ano (comercial) = 360 dias 
ano (normal) = 365 dias e 6 horas 
ano (bissexto) = 366 dias 
 
semana = 7 dias 
quinzena = 15 dias 
bimestre = 2 meses 
trimestre = 3 meses 
quadrimestre = 4 meses 
 
semestre = 6 meses 
biênio = 2 anos 
lustro ou qüinqüênio = 5 anos 
década = 10 anos 
século = 100 anos 
milênio = 1.000 anos 
Medidas de Comprimento 
 Sistema Métrico Decimal 
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles 
possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez 
mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era 
necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários 
países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico 
decimal. 
 
 Metro 
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente 
que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, 
no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. 
 
 Múltiplos e Submúltiplos do Metro 
 Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e 
submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e 
mili. Observe o quadro: 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, 
para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: 
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m 
 Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): 
Ano-luz = 9,5 · 1012 km 
 O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, 
são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: 
Pé = 30,48 cm 
Polegada = 2,54 cm 
Jarda = 91,44 cm 
Milha terrestre = 1.609 m 
Milha marítima = 1.852 m 
Observe que: 
1 pé = 12 polegadas 
1 jarda = 3 pés 
 
Medidas de Comprimento 
 
 Leitura das Medidas de Comprimento 
 A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. 
Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. 
Seqüência prática 
 1º) Escrever o quadro de unidades: 
km hm dam m dm cm mm 
 
 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira 
sob a sua respectiva. 
km hm dam m dm cm mm 
 1 5, 0 4 8 
 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte 
decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 
15 metros e 48 milímetros 
 Outros exemplos: 
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 
82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros". 
0,003 m lê-se "três milímetros". 
 
Transformação de Unidades 
 
 Observe as seguintes transformações: 
• Transforme 16,584hm em m. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 
10). 
 16,584 x 100 = 1.658,4 
 Ou seja: 
 16,584hm = 1.658,4m 
Medidas de Comprimento 
• Transforme 1,463 dam em cm. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 
x 10 x 10). 
 1,463 x 1.000 = 1,463 
 Ou seja: 
 1,463dam = 1.463cm. 
 
• Transforme 176,9m em dam. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10. 
 176,9 : 10 = 17,69 
 Ou seja: 
 176,9m = 17,69dam 
 
• Transforme 978m em km. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000. 
 978 : 1.000 = 0,978 
 Ou seja: 
 978m = 0,978km. 
Observação: 
 Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos 
inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. 
Medidas de Comprimento 
Perímetro de um Polígono 
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. 
Perímetro do retângulo 
 
 b - base ou comprimento 
 h - altura ou largura 
 Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) 
Perímetro dos polígonos regulares 
 
Triângulo equilátero Quadrado 
P = l+ l + l 
P = 3 · l 
P = l + l + l+ l 
P = 4 · l 
 
 
Pentágono Hexágono 
P = l + l + l + l + l 
P = 5 · 
P = l + l + l + l + l + l 
P = 6 · l 
 l - medida do lado do polígono regular 
 P - perímetro do polígono regular 
 Para um polígono de n lados, temos: 
P = n · l 
 
Comprimento da Circunferência 
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: 
 Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros? 
 
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. 
 Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. 
 
 
 Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco 
superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo 
não experimental. 
 Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: 
 Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu 
diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. 
 Assim: 
 O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira 
lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14. 
 
Logo: 
 Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer 
circunferência. 
 Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda 
obtido experimentalmente. 
C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm 
 
3,141592... 
 
Média aritmética simples 
 A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição 
mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer 
pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores 
numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número 
de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média 
de n números é sua soma dividida por n. 
Média ponderada 
 Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a 
mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têmo mesmo peso relativo. No 
entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o 
cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média 
chama-se média aritméticaponderada. 
 Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do 
conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. 
DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: 
A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importância 
relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira: 
p = 
EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, 
Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo 
que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual 
foi a média que ele obteve? 
p = 
 Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45. 
 
Números racionais 
 
 Racionais Positivos e Racionais Negativos 
 O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto. 
 
 Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam 
quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. 
 Por exemplo: 
 (+17) : (-4) = 
 é um número racional negativo 
 
 Números Racionais Positivos 
 Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais. 
• (+8) : (+5) 
 
• (-3) : (-5) 
 
 Números Racionais Negativos 
 São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes. 
• (-8) : (+5) 
 
• (-3) : (+5) 
 
 Números Racionais: Escrita Fracionária 
 têm valor igual a e representam o número racional . 
 
 Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária: 
 
 Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor 
diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma 
fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros. 
Conjunto dos números racionais 
 O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. 
 O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e 
o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é 
representado por Q. 
 Exemplos: 
 
 
 Observe o desenho abaixo: 
 
 O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. 
 Outros subconjuntos de Q: 
• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; 
• Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; 
• Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; 
• Q+
* é o conjunto dos números racionais e positivos; 
• Q-
* é o conjunto dos números racionais negativos. 
 
 
Operações com números racionais 
 Adição e Subtração 
 Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. 
Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como 
fazemos com os números inteiros. 
 Exemplo 1: Qual é a soma: 
 
 
 Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 
 
 
 Multiplicação e divisão 
 Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e 
denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: 
 
 Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
 
 Potenciação e radiciação 
 Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos 
elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: 
 
 Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando 
essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: 
 
 
Tabuadas 
1 2 3 4 5 
1x1 = 1 
1x2 = 2 
1x3 = 3 
1x4 = 4 
1x5 = 5 
1x6 = 6 
1x7 = 7 
1x8 = 8 
1x9 = 9 
1x10 = 10 
2x1 = 2 
2x2 = 4 
2x3 = 6 
2x4 = 8 
2x5 = 10 
2x6 = 12 
2x7 = 14 
2x8 = 16 
2x9 = 18 
2x10 = 20 
3x1 = 3 
3x2 = 6 
3x3 = 9 
3x4 = 12 
3x5 = 15 
3x6 = 18 
3x7 = 21 
3x8 = 24 
3x9 = 27 
3x10 = 30 
4x1 = 4 
4x2 = 8 
4x3 = 12 
4x4 = 16 
4x5 = 20 
4x6 = 24 
4x7 = 28 
4x8 = 32 
4x9 = 36 
4x10 = 40 
5x1 = 5 
5x2 = 10 
5x3 = 15 
5x4 = 20 
5x5 = 25 
5x6 = 30 
5x7 = 35 
5x8 = 40 
5x9 = 45 
5x10 = 50 
6 7 8 9 10 
6x1 = 6 
6x2 = 12 
6x3 = 18 
6x4 = 24 
6x5 = 30 
6x6 = 36 
6x7 = 42 
6x8 = 48 
6x9 = 54 
6x10 = 60 
7x1 = 7 
7x2 = 14 
7x3 = 21 
7x4 = 28 
7x5 = 35 
7x6 = 42 
7x7 = 49 
7x8 = 56 
7x9 = 63 
7x10 = 70 
8x1 = 8 
8x2 = 16 
8x3 = 24 
8x4 = 32 
8x5 = 40 
8x6 = 48 
8x7 = 56 
8x8 = 64 
8x9 = 72 
8x10 = 80 
9x1 = 9 
9x2 = 18 
9x3 = 27 
9x4 = 36 
9x5 = 45 
9x6 = 54 
9x7 = 63 
9x8 = 72 
9x9 = 81 
9x10 = 90 
10x1 = 10 
10x2 = 20 
10x3 = 30 
10x4 = 40 
10x5 = 50 
10x6 = 60 
10x7 = 70 
10x8 = 80 
10x9 = 90 
10x10 = 100 
 
Árabes, Cardinais e Ordinais 
Números 
(árabes) Cardinais Ordinais 
1 um primeiro 
2 dois segundo 
3 três terceiro 
4 quatro quarto 
5 cinco quinto 
6 seis sexto 
7 sete sétimo 
8 oito oitavo 
9 nove nono 
10 dez décimo 
11 onze décimo primeiro 
12 doze décimo segundo 
13 treze décimo terceiro 
14 catorze décimo quarto 
15 quinze décimo quinto 
16 dezesseis décimo sexto 
17 dezessete décimo sétimo 
18 dezoito décimo oitavo 
19 dezenove décimo nono 
20 vinte vigésimo 
21 vinte e um vigésimo primeiro 
30 trinta trigésimo 
40 quarenta quadragésimo 
50 cinquenta quinquagésimo 
60 sessenta sexagésimo 
70 setenta septuagésimo 
80 oitenta octogésimo 
90 noventa nonagésimo 
100 cem centésimo 
200 duzentos ducentésimo 
300 trezentos tricentésimo 
400 quatrocentos quadrigentésimo 
500 quinhentos quingentésimo 
600 seiscentos seiscentésimo 
700 setecentos septigentésimo 
800 oitocentos octigentésimo 
900 novecentos nongentésimo 
1000 mil milésimo 
10 000 dez mil dez milésimos 
100 000 cem mil cem milésimos 
1 000 000 um milhão milionésimo 
 
 
Razões trigonométricas 
Catetos e Hipotenusa 
 Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes 
decatetos. 
 Observe a figura: 
 
Hipotenusa: 
Catetos: e 
 
Seno, Cosseno e Tangente 
 Considere um triângulo retângulo BAC: 
 
Hipotenusa: , m( ) = a. 
Catetos: , m( ) = b. 
 , m( ) = c. 
Ângulos: , e . 
 Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões 
trigonométricas: 
• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a 
medida da hipotenusa. 
 
 Assim: 
 
 
 
 
• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo 
e a medida da hipotenusa. 
 
 Assim: 
 
 
 
Razões trigonométricas 
Tangente 
• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do 
cateto adjacente a esse ângulo. 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 Observações: 
 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o 
seu cosseno. 
 Assim: 
 
 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 
 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 
1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. 
 
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º 
 Considere as figuras: 
 
 quadrado de lado l e diagonal 
 
Triângulo eqüilátero de lado I e 
altura 
 
Seno, cosseno e tangente de 30º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos: 
 
 
 
 Seno, cosseno e tangente de 45º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno etangente´para um ângulo de 45º, temos: 
 
 
 
Seno, cosseno e tangente de 60º 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos: 
 
 
 
 Resumindo 
x sen x cos x tg x 
30º 
 
45º 
 
 
60º 
 
 
 
Semelhança de Polígonos 
Introdução 
 Observe as figuras: 
 
Figura A 
 
Figura B 
 
Figura C 
 Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a 
mesma forma, mas de tamanhos diferentes. 
 Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes. 
 Nessas figuras podemos identificar: 
 AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo) 
 CD - distância entre C e D (largura do retângulo) 
 - ângulos agudos formados pelos segmentos 
 Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos 
organizar a seguinte tabela: 
 m ( ) m ( ) ângulo 
Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º 
Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º 
Fig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90º 
 Observe que: 
• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais; 
• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; 
 
 Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria 
quando: 
• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ; 
• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; 
• os elementos das figuras são comuns. 
 Outro exemplos de figuras semelhantes: 
 
 
 
 
 
têm formas iguais e tamanhos diferentes. 
 
 
Semelhança de Polígonos 
Polígonos Semelhantes 
 Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras: 
 
 Observe que: 
• os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais: 
 
 ou 
 
 Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos: 
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ") 
 Ou seja: 
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são 
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
 
 A razão de semelhança dos polígonos considerados é 
 Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são 
satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas 
uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. 
 
Semelhança de Polígonos 
Propriedades 
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual 
à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos. 
Demonstração: 
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que: 
 
 
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: 
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA 
 Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A' 
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que: 
 
 
 Exemplo: 
• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um 
outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo. 
 Solução 
 Razão de semelhança = 
 
 
 Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm. 
 
 
Operações com números racionais decimais 
 Adição 
 Considere a seguinte adição: 
 1,28 + 2,6 + 0,038 
 Transformando em frações decimais, temos: 
 
 Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. 
Exemplos: 
1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007 
 
 
Subtração 
 Considere a seguinte subtração: 
 3,97 - 2,013 
 Transformando em fração decimais, temos: 
 
 Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as 
demais. 
Exemplos: 
3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987 
 
 
 
Operações com números racionais decimais 
 Multiplicação 
 Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5 
 Transformando em fração decimais, temos: 
 Método prático 
 Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a 
vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à 
soma dos números de casas decimais do fatores. 
Exemplos: 
3,49 · 2,5 
 
 
1,842 · 0,013 
 
 Observação: 
 1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método 
prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de 
casas decimais do fator decimal. Exemplo: 
 5 · 0,423 = 2,115 
 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a 
direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos: 
 
 
 
 
 
3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos 
0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% 
 
Operações com números racionais decimais 
 Divisão 
 1º: Divisão exata 
 Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 
 Transformando em frações decimais, temos: 
Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 
2º) Suprimimos as vírgulas; 
3º) Efetuamos a divisão. 
Exemplos: 
• 1,4 : 0,05 
 Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 
 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 
 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28. 
 
Efetuado a divisão 
 
• 6 : 0,015 
 Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 
 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 
 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400. 
 
Efetuando a divisão 
 
• 4,096 : 1,6 
 Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 
 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600 
Efetuando a divisão 
 
Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. 
Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação 
dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 
896 unidades corresponde a 8.960 décimos. 
 
 
Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, 
uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. 
 O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. 
Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. 
 
Operações com números racionais decimais 
 
• 0,73 : 5 
 Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00 
 Suprimindo as vírgulas 73 : 500 
Efetuando a divisão 
 
 Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à 
direita do três. Assim: 
 
 Continuamos a divisão, obtemos: 
 
 
 Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146. 
 
 Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. 
Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. 
Exemplos: 
• 2,346 : 2,3 
 
Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor 
(2.300). Colocamos, então, um zero no 
quociente e acrescentamos mais um zero ao 
resto. 
 
 
 Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02. 
 
 Observação: 
 Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a 
esquerdauma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos: 
 
 
 
 
Operações com números racionais decimais 
2º : Divisão não-exata 
 No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por faltaou por 
excesso. 
 Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21: 
 
 Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma 
unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. 
 Logo: 
 
 Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que: 
 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 
 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade. 
 Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos: 
 
 Podemos afirmar que: 
 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 
 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo. 
 Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos: 
 
 Podemos afirmar que: 
 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 
 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo. 
Observação: 
1. As expressões têm o mesmo significado: 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, 
sucessivamente. 
 2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos 
significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, 
respectivamente. Exemplos: 
 13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 
 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 
 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo) 
Cuidado! 
 No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos 
completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal 
aproximação. Exemplo: 
 O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é 
 
Operações com números racionais decimais 
Representação Decimal de uma Fração Ordinária 
 Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o 
numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato. 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. 
Dízima Periódicas 
 Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: 
 = 0,333... = 0,8333... 
 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se 
o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o 
algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As 
dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. 
Exemplos: 
 = 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) 
 São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. 
 = 0,0222... 
Período: 2 
Parte não periódica: 0 
= 1,15444... 
Período: 4 
Parte não periódica: 15 
 = 0,1232323... 
Período: 23 
Parte não periódica: 1 
 São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não 
periódica. 
Observações 
1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o 
período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. 
2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 
0,555... ou ou 0,0222... ou ou 
2,333... ou ou 1,15444... ou ou 
0,121212... ou 0,1232323... ou 
Operações com números racionais decimais 
 
 Geratriz de uma Dízima Periódica 
 É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. 
 Procedimentos para determinação de uma dízima: 
 Dízima simples 
 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o 
período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
Dízima composto 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde: 
 
n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de 
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica. 
Exemplo: 
 
12,53262626... = 12 + 0,53262626... = 
 
Operações com números racionais decimais 
 
 Potenciação 
 As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem 
as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: 
(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64 
(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (0,18)0 = 1 
 Raiz Quadrada 
 A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o 
mesmo numa fração decimal. Assim: 
 
 
 
 Expressões Numéricas 
 No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras 
aplicadas às expressões com números fracionários. 
 Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos 
os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: 
 
 
= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25 
= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 
= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 
 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Quadrilátero 
 Definição: 
Quadrilátero é um polígono de quatro lados. 
 
 
Quadrilátero ABCD 
 Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-
consecutivos são chamados opostos. 
 
 
 
 Elementos 
 Na figura abaixo, temos: 
 
Quadrilátero ABCD 
Vértices: A, B, C, e D. 
Lados: 
Diagonais: 
Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: . 
 Observações 
1. Todo quadrilátero tem duas diagonais. 
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC 
+ CD + DA. 
 
 Côncavos e Convexos 
 Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. 
 Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado 
formado pelos dois outros vértices. 
 
Quadrilátero convexo 
 
Quadrilátero côncavo 
 
 
Quadrilátero 
 Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo 
A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. 
 Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD. 
 
 Do triângulo ABD, temos : 
 a + b1 + d1 = 180º. 1 
 Do triângulo BCD, temos: 
 c + b2 + d2 = 180º. 2 
 Adicionando 1 com 2 , obtemos: 
 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º 
 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º 
 a + b + c + d = 360º 
 
Observações 
 1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer 
polígono convexo: 
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono. 
 2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º. 
Se = 360º 
 
Quadriláteros Notáveis 
Paralelogramo 
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. 
Exemplo: 
 
 
h é a altura do paralelogramo. 
O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. 
 Destacamos alguns paralelogramos: 
 
Quadrilátero 
 Retângulo 
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos). 
Exemplo: 
 
 
 
 Losango 
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes. 
Exemplo: 
 
 
 
 Quadrado 
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro 
ângulos são congruentes. 
Exemplo: 
 
 É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente 
retângulo e losango. 
 
 
 Trapézio 
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases. 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Denominamos trapezóide o quadriláteroque não apresenta lados paralelos. 
Quadrilátero 
 Destacamos alguns trapézios: 
 Trapézio retângulo 
É aquele que apresenta dois ângulos retos. 
Exemplo: 
 
 
 
 Trapézio isósceles 
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes. 
Exemplo: 
 
 
 
 Trapézio escaleno 
 
É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes. 
Exemplo: 
 
 
 
Quadrilátero 
Propriedades dos Paralelogramos 
1ª Propriedade 
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 
 
H: ABCD é paralelogramo. 
T: 
Demonstração 
Afirmativa Justificativa 
1. Segmentos de paralelas entre paralelas. 
2. Segmentos de paralelas entre paralelas. 
 
2ª Propriedade 
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes. 
 
H: ABCD é paralelogramo. 
T: 
Demonstração 
Afirmativa Justificativa 
1. Hipótese. 
2. Hipótese. 
3. Lado comum. 
4. Caso L.L.L. 
 
3ª Propriedade 
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio. 
 
H: ABCD é paralelogramo 
T: 
Demonstração 
Afirmativa Justificativa 
1. 
 é diagonal (2ª propriedade) 
2. Ângulos correspondentes em triângulos 
congruentes. 
3. 
 
Ângulos correspondentes em triângulos 
congruentes. 
4. 
 
5. 
 
 
Quadrilátero 
 4ª Propriedade 
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio. 
 
H: ABCD é paralelogramo. 
T: 
 
Demonstração 
Afirmativa Justificativa 
1. Ângulos alternos internos. 
2. Lados opostos (1ª propriedade). 
3. Ângulos alternos internos. 
4. Caso A.L.A.. 
5. Lados correspondentes em triângulos 
congruentes. 
 
Resumindo: 
 Num paralelogramo: 
• os lados opostos são congruentes; 
• cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; 
• os ângulos opostos são congruentes; 
• as diagonais interceptam-se em seu ponto médio. 
 Propriedade característica do retângulo. 
As diagonais de um retângulo são congruentes. 
 
 
T: ABCD é retângulo. 
H: . 
 
Ângulos 
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS 
 Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, 
dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. 
 Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-
retas determinam dois ângulos: 
 
 
 
 Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O 
vértice é a origem comum dessas semi-retas. 
 O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô. 
 
 
 
Ângulos 
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. 
Nesses casos, formam-se também ângulos. 
• As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta. 
 
 
• As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-
volta. 
 
Podemos, então, estabelecer que: 
 
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem. 
 
MEDIDA DE UM ÂNGULO 
 A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida 
de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º. 
 Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, 
determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo 
de 1º grau (1º). 
 
 
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem 
graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 
360º. 
O grau compreende os submúltiplos: 
• O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'. 
 1º=60' 
• O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''. 
 1'=60'' 
Logo, podemos concluir que: 
1º = 60'.60 = 3.600'' 
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema 
sexagesimal. 
 
Ângulos 
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor 
Observe a seqüência 
• O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo. 
• A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do 
ângulo . 
• Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta . 
Leitura de um ângulo 
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras: 
 15º (lê-se "15 graus'') 
 45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'') 
 30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'') 
Observações 
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como 
exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação. 
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra 
minúscula ou deum número. 
 
 
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º. 
O ângulo de uma volta mede 360º. 
 
Questões envolvendo medidas de ângulos 
Observe a resolução das questões abaixo: 
• Determine a medida do ângulo AÔB na figura: 
 
Solução 
Medida de AÔB = x 
Medida de BÔC = 105º 
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos: 
 m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) 
 x + 105º = 180º 
 x = 180º - 105º 
 x = 75º 
Logo, a medida de AÔB é 75º. 
 
• Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura: 
 
Solução 
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um 
ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim: 
x + 50º = 360º 
x = 360º - 50º 
x = 310º 
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º. 
 
Ângulos 
Como construir um ângulo utilizando o transferidor 
Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º: 
• Traçamos uma semi-reta . 
 
• Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). 
• Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º. 
 
• Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º. 
Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais. 
Eles podem ser desenhados com esquadro. 
 
 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal. 
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema: 
• Transforme 30º em minutos. 
Solução 
Sendo 1º = 60', temos: 
 30º = 30 . 60'= 1.800 
'Logo, 30º = 1.800 
 
• Transforme 5º35' em minutos. 
Solução 
 5º = 5 . 60' = 300' 
 300' + 35'= 335' 
Logo, 5º35'= 335'. 
 
• transforme 8º em segundos. 
Solução 
Sendo 1º = 60', temos: 
 8º = 8 . 60'= 480 
'Sendo 1'= 60'', temos: 
 480'= 480 . 60'' = 28.800'' 
Logo, 8º = 28.800''. 
 
• Transforme 3º35' em segundos. 
Solução 
 3º = 3 . 60'= 180' 
 180' + 35' = 215' 
 215' . 60'' = 12.900'' 
Logo, 3º35'= 12.900'' 
• Transforme 2º20'40'' em segundos. 
Solução 
 2º = 2 . 60' = 120' 
 120' + 20' = 140' 
 140'. 60''= 8.400'' 
 8.400'' + 40'' = 8.440'' 
Logo, 2º20'40'' = 8.440'' 
 
Ângulos 
Transformando uma medida de ângulo em número misto 
• Transforme 130' em graus e minutos. 
Solução 
 
 
• Transforme 150'' em minutos e segundos. 
Solução 
 
 
• Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos. 
Solução 
 
 
Medidas fracionárias de um ângulo 
• Transforme 24,5º em graus e minutos. 
solução 
 0,5º = 0,5 . 60' = 30' 
 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30' 
Logo, 24,5º = 24º30'. 
 
• Transforme 45º36' em graus. 
solução 
 60' 1º 
 36' xx = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'') 
Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º. 
 
• Transforme 5'54'' em minutos. 
Solução 
 60'' 1' 
 54'' x 
 x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'') 
Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9' 
 
Ângulos 
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS 
Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos: 
Adição 
• 30º48' + 45º10' 
 
 
• 43º18'20'' + 25º20'30'' 
 
 
• 10º36'30'' + 23º45'50'' 
 
 Simplificando 33º81'80'', obtemos: 
 
 Logo, a soma é 34º22'20''. 
 
Subtração 
Observe os exemplos: 
• 70º25' - 30º15 
 
• 38º45'50'' - 27º32'35'' 
 
 
• 90º - 35º49'46'' 
 
 
 
• 80º48'30'' - 70º58'55'' 
 Observe que: 
 
 Logo, a diferença é 9º 49'35''. 
Ângulos 
Multiplicação por um número natural 
Observe os exemplos: 
• 2 . ( 36º 25') 
 
• 4 . ( 15º 12') 
 
 
• 5 . ( 12º36'40'') 
 
 Logo, o produto é 63º3'20''. 
 
 
Divisão por um número natural 
Observe os exemplos: 
• ( 40º 20') : 2 
 
• ( 45º20' ) : 4 
 
• ( 50º17'30'' ) : 6 
 
 
 
Ângulos 
ÂNGULOS CONGRUENTES 
Observe os ângulos abaixo: 
 
 
 
 
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer 
a seguinte indicação: 
 
Assim: 
 
 Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. 
 
 Propriedades da Congruência 
• Reflexiva: 
• Simétrica: 
• Transitiva: 
 
 
Ângulos 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
Observe a figura: 
 
 
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. 
Verifique em cada uma das figuras abaixo que: 
 
Os ângulos AÔC e CÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: 
 
 Os ângulos AÔC e AÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: 
 
Os ângulos CÔB e AÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: 
 
Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos 
consecutivos. 
Assim: 
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum. 
Ângulos 
ÂNGULOS ADJACENTES 
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que: 
 
 
 Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos 
comuns 
 
 Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos 
comuns 
 
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos 
comuns 
 
Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. 
Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. 
Assim: 
 Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos 
comuns. 
 
 Observação: 
 Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos: 
 
 
 
Ângulos 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
Observe a figura abaixo: 
 m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º 
 
Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes. 
Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB. 
Assim: 
 Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em 
dois outros ângulos congruentes. 
 
Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo 
 Determinação da bissetriz do ângulo AÔB. 
• Centramos o compasso em O e com 
uma abertura determinamos os pontos 
C e D sobre as semi-
retas , respectivamente. 
 
• Centramos o compasso em C e D e 
com uma abertura superior à metade 
da distância de C a D traçamos arcos 
que se cruzam em E. 
 
• Traçamos , determinando assim a 
bissetriz de AÔB. 
 
 
Ângulos 
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO 
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto. 
• Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo: 
 
 
• Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo: 
 
 
• Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo: 
 
 
RETAS PERPENDICULARES 
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos. 
 
Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos: 
 
Observação 
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. 
Exemplo: 
 
 
Ângulos 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: 
 
Verifique que: 
 m (AÔB) + m (BÔC) = 90º 
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. 
Assim: 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. 
 Exemplo: 
 Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º. 
 Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa. 
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º 
e a medida do ângulo agudo dado. 
 Medida do ângulo Complemento 
 x 90º - x 
Exemplo: 
• Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º? 
Solução 
Medida do complemento = 90º - medida do ângulo 
Medida do complemento = 90º - 75º 
Medida do complemento = 15º 
Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º. 
 
Observação: 
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. 
Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares. 
 
Ângulos 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: 
 
As semi-retas formam um ângulo raso. 
Verifique que: 
m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º 
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim: 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. 
 
Exemplo: 
 Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º. 
 Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa. 
 Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 
180º e a medida do ângulo agudo dado. 
 
 Medida do ângulo Suplemento 
 X 180º - X 
Exemplo: 
• Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º? 
Solução 
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo 
Medida do suplemento = 180º - 55º 
Medida do suplemento = 125º 
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º. 
 
Observação: 
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além 
de 
suplementares, são também adjacentes. 
Dizemos que esses ângulos são adjacentes 
suplementares. 
 
 
Ângulos 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo: 
 
Verifique que: 
 
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim: 
 Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas 
aos lados do outro. 
 
Na figura abaixo, vamos indicar: 
 
Sabemos que: 
 X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares) 
 X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares) 
Então: 
 
Logo: y = k 
Assim: 
 m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD 
 m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB 
Daí a propriedade: 
 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema: 
• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 
40º. Qual é o valor de x? 
Solução: 
x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v 
 x - 3x = - 40º - 60º 
 -2x = - 100º 
 x = 50º 
Logo, o valor de x é 50º.