Resistencia dos Materiais II - Aula4

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Resistência	dos	Materiais	II
Profa. Flavia Maria
Campo Grande – MS
Maio de 2022
Aula	4
Flexão	Pura
Introdução
ØA	flexão	ocorre	em	vigas	e	eixos
§ São	observadas	em	formas		trincas	e	fissuras
§ Muito	comum	em	estruturas	de	concreto	armado
Vigas
Definição
Ø Elementos	delgados	que	
suportam	carregamentos	
aplicados	
perpendicularmente	a	
seu	eixo	horizontal
Ø São	barras	longas	e	retas	
com	área	de	seção	
transversal	constante
Ø Vigas	simplesmente	
apoiada
§ Suportada	por	um	apoio	fixo	
e	um	apoio	móvel
Ø Vigas	em	balanço
§ Engastada	em	uma	
extremidade	e	livre	na	outra
Ø Vigas	apoiadas	com	
extremidade	em	balanço
§ Uma	ou	ambas	extremidades	
ultrapassam	livremente	os	
apoios
Efeitos	da	Flexão
Ø As	fissuras
§ apresentam	aberturas	bastante	
reduzidas	e	se	desenvolvem	
geralmente	no	meio	da	viga
§ Nos	apoios,	as	fissuras	formam	
um	ângulo	de	45º	com	a	
horizontal	devido	ao	esforço	
cortante.	Em	vigas	mais	altas,	
essa	inclinação	com	a	
horizontal	tende	a	ser	de	60º.
Ø As	trincas	
§ são	verticais	no	meio	do	vão	e	
apresentam	aberturas	maiores	
em	direção	à	face	inferior	da	
viga	onde	estão	as	fibras	mais	
tracionadas.	
Trincas
Ø As	trincas	de	flexão	– o	tamanho	de	sua	abertura	e	sua	
extensão,	dependem	de	vários	fatores,	como:	
§ características	geométricas	da	peça,	
§ propriedades	físicas	e	mecânicas	dos	materiais	
§ tipo	de	carga	que	essa	estrutura	está	sendo	submetida.	
§ Quando	a	viga	é	subdimensionada	ao	cisalhamento,	surgem	
inicialmente	apenas	as	trincas	inclinadas	que	ficam	próximas	aos	
apoios.
§ Para	vigas	altas,	geralmente	as	fissuras	tendem	à	ir	em	direção	as	
fibras	mais	tracionadas,	ocorrendo	em	grande	número	e	com	
pequenas	aberturas.
§ Quando	as	vigas	são	superdimensionadas	ou	produzidas	com	
concreto	de	baixa	resistência,	há	a	formação	de	trincas	na	zona	de	
compressão,	caracterizando	o	esmagamento	do	concreto.
Trincas
Ø Alguns	fatores	que	levam	à	ocorrência	de		trincas	
§ mal	dimensionamento	da	viga	(erro	na	bitola	ou	no	número	
de	barras	de	aço),	
§ aplicação	de	sobrecarga	no	decorrer	da	obra	que	não	foi	
prevista	em	projeto,	
§ carregamento	precoce	da	estrutura	
§ erros	de	concepção	estrutural.
Ø A	recuperação	de	elementos	estruturais	não	é	
trivial.	
1. verificação	das	trincas	e	fissuras	na	viga,	
2. realização	de	cálculo	estrutural	para	avaliar	o	tipo	de	
reforço	
3. tratamento	que	o	elemento	deverá	ser	submetido.
Introdução
Analisando	os	esforços	
internos	:
Momento	Fletor (MFL)
Cortante	(V)
Introdução
A
B
C
O	momento	fletor vai	causar	tensões	normais	nos	pontos
A	B	C
Introdução
Ponto	A	a peça	está	sendo	comprimida	(σ -)
Ponto	B	a	peça	não	sofre	nada	– LINHA	NEUTRA
Ponto	C	a	peça	está	sendo	tracionada	(σ	+)
A
B
C
Fórmula	da	Flexão
ØComo	calcular	a	tensão	
NORMAL	nos	pontos	A	
B	C	causada	por	um	
Momento	Fletor?
ØComo	relacionar	o	
momento	fletor	com	a	
distribuição	da	tensão	
longitudinal	(“tensão	
normal”)?	 Fórmula da Flexão
Fórmula	da	Flexão
𝝈 = −
𝑴𝑭𝑳. 𝒚
𝑰𝒙
§ σ=tensão	normal
§ M=momento	fletor que	está	agindo	na	peça
§ y=distância	entre	a	linha	neutra	(onde	passa	o	
centróide em	y	(!𝑦))	e	o	ponto	que	quero	calcular	a	
tensão
§ I=momento	de	inércia	em	X
Fórmula	da	Flexão
ØPremissas:
§ Eixo	longitudinal	não	sofre	variação	de	
comprimento
§ Todas	as	seções	transversais	da	viga	permanecem	
planas	e	perpendiculares	durante	a	deformação
§ Qualquer	deformação	da	seção	transversal	dentro	
do	seu	próprio	plano	será	desprezado
Momento	Fletor
ØFaço	corte	na	peça	e	vejo	o	momento	que	
está	agindo	no	ponto	de	interesse
ØPosso	achar	fazendo	o	DCL	e	equilíbrio	de	
forças
ØGráfico	de	momento
Cálculo	do	Centóide
Peças	Simétricas	em	Y Peças	assimétricas
!𝑦 =
ℎ
2
Figura !𝑦 (da figura) Área !𝑦 .A 
1 y1=(h1/2)+h2 A1 y1. A1
2 y2=(h2/2) A2 y2. A2
𝐴1+ 𝐴2 (𝑦1. 𝐴1) + (𝑦2. 𝐴2)
y1
y2
!𝑦 !"#$%=
('!.)!)+('".)")
)!+)"
Momento	de	Inércia	(em	x)
ØPara	um	retângulo
§ 𝐼# =
$.&(
'(
ØPara	um	círculo
§ 𝐼! =
".$!
%
Momento	de	Inércia	(em	x)
ØPasso	a	passo:
§ Centróides das	figuras
§ Áreas	das	Figuras
§ Centroide	da	peça
§ Momentos	de	Inércia	das	
figuras
𝐼# ='(𝐼) + 𝐴) . !𝑦 − !𝑦) ()
Momento	Fletor
𝝈 =
−𝑴𝑭𝑳. 𝒚
𝑰𝒙
§ Para	valores	positivo	de	y	(ou	seja,	pontos	acima	do	
centróide)	a	σ será	– (negativo):	COMPRESSÃO
§ Para	valores	negativos	de	y	(ou	seja,	pontos	abaixo	do	
centróide)	a	σ será	+	(positiva):	TRAÇÃO
ØPara	calcular	as	tensões	máximas	positivas	
(tração)	e	negativa	(compressão)	utiliza-se	os	
valores	máximos	positivo	e	negativo	da	posição	
y	em	relação	ao	centróide
Momento	Fletor
ØCentróide em	y=50mm
𝒚𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝟖𝟎 − 𝟓𝟎 = 𝟑𝟎𝒎𝒎
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟎 − 𝟓𝟎 = −𝟓𝟎𝒎𝒎
Passo	a	Passo
1. Calculo	do	centroide	em	y
2. Cálculo	do	Momento	de	Inércia	em	x
3. Cálculo	de	ytração (ybase=0-ycentroide)	e	ycompressão
(ytopo=h-ycentroide)	ou	do	ponto	que	quero	
calcular	yponto (yponto=hponto-ycentroide)
4. Cálculo	da	tensão	causada	pelo	Momento	
Fletor
Exercícios
Exercício	1
Uma	barra	de	aço	tem	seção	
retangular	de	20	x	60	mm	e	
fica	submetida	à	ação	de	
dois	conjugados	iguais	e	de	
sentido	contrário	que	agem	
em	um	plano	vertical	de	
simetria	da	barra.	
Determinar		valor	do	
momento	M	quando	a	
tensão	de	tração	é	de	250	
MPa.
Resposta: 𝑀 = 3kN.m
Exercício	1
1. Calculo	do	centroide	
em	y
*𝒚 =
𝒉
𝟐
*𝒚 =
𝟔𝟎. 𝟏𝟎-𝟑
𝟐
= 𝟑𝟎. 𝟏𝟎-𝟑𝒎
Exercício	1
2.	Cálculo	do	Momento	de	
Inércia	em	x
𝑰𝒙 =
𝒃. 𝒉𝟑
𝟏𝟐
𝑰𝒙 =
𝟐𝟎. 𝟏𝟎-𝟑. (𝟔𝟎. 𝟏𝟎-𝟑)𝟑
𝟏𝟐
𝑰𝒙 = 𝟑, 𝟔. 𝟏𝟎-𝟕𝒎𝟒
Exercício	1
3.	Cálculo	de	ytração (ybase=0-
ycentroide)	e	ycompressão
(ytopo=h-ycentroide)
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟎 − %𝒚
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟎 − 𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = −𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑𝒎
𝒚𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝒉 − %𝒚
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟔𝟎. 𝟏𝟎%𝟑 − 𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑𝒎
Exercício	1
4.	Cálculo	da	tensão	
causada	pelo	Momento	
Fletor
𝑰𝒙 = 𝟑, 𝟔. 𝟏𝟎%𝟕𝒎𝟒
𝒚𝒃𝒂𝒔𝒆 = −𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑𝒎
𝝈 =
−𝑴𝑭𝑳. 𝒚
𝑰𝒙
𝟐𝟓𝟎. 𝟏𝟎𝟔 =
−𝑴. (−𝟑𝟎. 𝟏𝟎%𝟑)
𝟑, 𝟔. 𝟏𝟎%𝟕
𝑴 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝐍.𝐦 = 𝟑𝐤𝐍.𝐦
𝝈 tração=250	MPa	=250.106Pa.
Exercício	2	
A	viga	representada	na	
imagem	está	sofrendo	um	
momento	M=100KN.m.	
Calcule	as	tensões	máximas	
de	tração	e	compressão	na	
viga
Resposta: 𝜎, = −1,73. 10-𝑃𝑎;
𝜎! = 1,55. 10-𝑃𝑎;
Exercício	3
A	viga	é	composta	por	três	
tábuas	de	madeira	
pregadas	como	mostra	a	
figura.	Se	o	momento	que	
age	na	seção	transversal	for	
M=1,5KN.m,	determine	a	
tensão	de	flexão	máxima	na	
viga.
Resposta: 𝜎, = −5,1. 10.𝑃𝑎;
𝜎, = 6,9. 10.𝑃𝑎;
Exercício	4
Se	o	momento	mostrado	atua	no	plano	vertical,	
determinar	as	tensões	no	ponto	A	e	no	ponto	B.
Resposta: 𝜎) = −61,2. 10/𝑃𝑎;
𝜎0 = 91,8. 10/𝑃𝑎;
Exercício	5
A	viga	mostrada	é	feita	de	
aço	com	tensão	de	
escoamento	igual	a	250	
MPa.	Determinar	o	maior	
momento	que	pode	ser	
aplicado	à	viga	quando	ela	
encurva	em	torno	do	eixo	z,	
considerando	a	tensão	
máxima	de	100MPa
Resposta: 𝑀 − 81𝑘𝑁𝑚
Exercício	6
Uma	viga	de	seção	transversal	
no	formato	T invertido	está	
sujeita	a	momentos	fletores
positivos	iguais	a	M=5kN.m.	As	
dimensões	da	seção	transversal	
da	viga	são	mostradas	na	figura	
1.	Determine:
a. O	local	do	centroide	em	y
b. Os	momentos	de	inércia	Ix
c. A	tensão	de	flexão	nos	
pontos	H	e	K.	
d. A	tensão	de	flexão	máxima	
produzida	na	seção	
transversal.	Indique	se	a	
tensão	é	de	tração	ou	de	
compressão.	
Resistência	dos	Materiais	II
Profa. Flavia Maria
Campo Grande – MS
Maio de 2022
Até	a	Próxima	Aula