FIANI, Ronaldo Teoria dos Jogos - exercícios resolvidos - Cap 2

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CAPÍTULO 2 
Modelos de Jogos: Representando uma Situação de Interação 
Estratégica 
 
2.1. Seja um jogo qualquer, ao qual foram aplicadas as seguintes transformações às 
recompensas dos jogadores, onde r representa a recompensa do jogo original. 
Identifique, entre essas transformações, aquelas que não alteram o jogo original. 
 Para que as transformações não alterem o jogo, é necessário que se mantenha a 
ordem das preferências. Ou seja, para qualquer r1 > r2, f ( r1 ) > f ( r2 ). 
a. f(r) = 3r- 17 
 Multiplicação por um número maior que zero, adição ou subtração não provocam 
qualquer modificação no ordenamento das preferências. 
 
b. f(r) = r³ 
 A elevação a um expoente maior que um e ímpar não provoca qualquer 
modificação. Se y > x, f(y) > f(x), para todo x e y. 
 
c. f(r) = r² 
 Há alteração. A elevação a um expoente maior que um e par faz com que os 
valores negativos de r provoquem valores de f positivos. 
 
d. f(r) = -2-r 
𝒇(𝒓) = −𝟐−𝒓 = (−𝟏).
𝟏
𝟐𝒓
 
 
 Não há alteração no ordenamento, embora a função sempre assuma valores 
negativos. O gráfico desta função, posicionada no terceiro e quarto quadrante, é uma 
assíntota crescente que se aproxima de zero. 
 
e. f(r) = - (1 /r²) 
− (
1
𝑟2
) = (−1).
1
𝑟2
 
 Há alteração se r puder assumir valores negativos. A elevação a um expoente 
maior que um e par implica igualdade da função para valores de r iguais em módulo. 
 
f. f(r) = log(r) 
 Há alteração. O fato de se tratar de um logaritmo impõe a restrição de que r não 
pode assumir valores negativos. 
 
2.2 Considere uma transformação que, dadas duas recompensas r, e r2 do jogador, 
obedece à seguinte condição: 
𝒇(𝒓𝟐) − 𝒇(𝒓𝟏)
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
> 𝟎 
Tal transformação é dita monotônica e possui a propriedade de não alterar as 
preferências do jogador. Verifique, para as transformações do Exercício 2.1, qual 
delas é monotônica. 
 Basta aplicar exemplos às funções do exercício anterior. 
 
2.3 Suponha uma situação de interação estratégica entre duas empresas, a empresa 
Vermelha e a empresa Azul. A empresa Azul está considerando a possibilidade de 
adquirir a empresa Vermelha, que vem apresentando baixa lucratividade, fazendo 
uma oferta aos acionistas da empresa Vermelha: R$ 1,00 por cada ação (a empresa 
Vermelha possui 1 milhão de ações no mercado), que valem hoje R$ 0,90 cada. 
Considere os seguintes fatos na sua modelagem: 
 
• A empresa Azul acredita que, substituindo a administração da empresa 
Vermelha, conseguirá aumentar a lucratividade e revender as ações que 
adquiriu da empresa Vermelha por R$ 1,20, obtendo assim uma taxa de 
retorno de 20% sobre seu investimento (R$ 200.000,00). 
• Os executivos da empresa Vermelha podem decidir tomar a "pílula 
envenenada" (do inglês, poison pil1). No jargão de administração de 
empresas, tomar uma pílula envenenada significa adotar medidas 
administrativas que prejudicam a própria empresa (por exemplo, 
aumentando exageradamente os benefícios aos empregados), reduzindo seu 
valor no mercado. 
• Se os executivos da empresa Vermelha não tomam a pílula envenenada e a 
empresa Azul compra a empresa Vermelha, a empresa Azul tem garantido 
seu lucro no valor de R$ 200.000,00 e os executivos da empresa Vermelha 
sofrem um prejuízo líquido em termos de perda de salários e benefícios no 
valor de R$ 50.000,00. 
• Se os executivos da empresa Vermelha decidem tomar a pílula envenenada e 
a empresa Azul não tenta adquirir a empresa Vermelha, eles se desgastam 
com os acionistas e são demitidos, sofrendo a mesma perda de R$ 50.000,00, 
enquanto a empresa Azul não tem nenhum lucro. 
• Se a empresa Azul compra a empresa Vermelha e os executivos desta última 
tomam a pílula envenenada, as mudanças realizadas pela empresa Azul 
apenas compensam os prejuízos da pílula envenenada e seus lucros são nulos, 
enquanto os executivos da empresa Vermelha são demitidos, sofrendo a 
mesma perda de R$ 50.000,00. 
• Finalmente, se nem a empresa Azul tenta adquirir a empresa Vermelha nem 
os executivos desta última tomam a pílula envenenada, a empresa Azul não 
realiza nenhum lucro e os executivos da empresa Vermelha mantêm seus 
benefícios no valor de R$50.000,00. 
 
Trata-se, então, de uma interação estratégica entre a empresa Azul e os executivos 
da empresa Vermelha. Pede-se: 
a. Descrever as ações disponíveis para cada jogador (empresa Azul e executivos da 
empresa Vermelha). 
Azul: {Comprar, Não Comprar} 
Vermelha: {Tomar a Pílula, Não Tomar a Pílula} 
 
b. Descrever os conjuntos que formam o espaço de estratégias da empresa Azul e 
dos executivos da empresa Vermelha, supondo que cada um dos dois jogadores 
escolhe suas ações sem conhecer as ações do outro. 
 Não havendo conhecimento por parte de nenhum dos jogadores, caracteriza-se um 
jogo simultâneo e as ações confundem-se com as estratégias. 
Azul: {Comprar, Não Comprar} 
Vermelha: {Tomar a Pílula, Não Tomar a Pílula} 
 
c. Descrever os conjuntos que formam o espaço de estratégias da empresa Azul e dos 
executivos da empresa Vermelha, supondo que os executivos da empresa Vermelha 
escolhem suas ações conhecendo as ações da empresa Azul. 
 Se somente a vermelha conhece as ações da Azul, as estratégias da Azul 
permanecem iguais a suas ações. 
Azul: {Comprar, Não Comprar} 
Vermelha: {Tomar sabendo que Comprou, Tomar sabendo que Não Comprou; Tomar 
sabendo que Comprou, Não Tomar sabendo que Não Comprou; Não Tomar sabendo que 
Comprou, Tomar sabendo que Não Comprou; Não Tomar sabendo que Comprou, Não 
Tomar sabendo que Não Comprou} 
 
d. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma 
estratégica, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do 
outro. 
Azul 
Vermelha 
Tomar a pílula Não tomar 
Compra (0, -50) (200, -50) 
Não compra (0, -50) (0, 50) 
 
e. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma 
estratégica, supondo que os executivos da empresa Vermelha tomam suas decisões 
conhecendo as ações da empresa Azul. 
 
Azul 
Vermelha 
Tomar Tomar Não tomar Não tomar 
Tomar Não tomar Tomar Não tomar 
Compra (0, -50) (0, -50) (200, -50) (200, -50) 
Não compra (0, -50) (0, 50) (0, -50) (0, 50) 
 
f. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma 
estendida, supondo que os executivos da empresa Vermelha tomam suas decisões 
conhecendo as ações da empresa Azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma 
estendida, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do 
outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 James D. Morrow, em seu livro Game Theory for Political Scientists, analisa a 
decisão do presidente norte-americano Richard M. Nixon de bombardear, no Natal 
de 1972, o então Vietnã do Norte. Vamos analisar aqui uma adaptação desse jogo. 
Após um acordo inicial acerca da retirada das tropas norte-americanas da guerra, 
houve uma discordância sobre a natureza do acordo. Considere as seguintes 
informações no momento de modelar a situação que se seguiu: 
 
Azul 
V1 
V2 
(200, -50) 
(0, -50) 
(0, 50) 
(0, -50) 
Azul 
V1 
V2 
(0, -50) 
(200, -50) 
(0, -50) 
 
(0, 50) 
Conjunto de 
Informação 
• Do ponto de vista dos Estados Unidos, o governo vietnamita estaria tentando 
obter concessões adicionais protelando a assinatura do acordo. Contudo, 
havia uma chance de que estivesse havendo realmente um mal-entendido. Os 
vietnamitas poderiam, ou não, estar blefando. Os norte-americanos, por sua 
vez, poderiam bombardear o Vietnã do Norte para forçar um acordo, ou não 
bombardear. 
• Se os norte-vietnamitas estivessem blefando, o bombardeio os faria voltar à 
mesa de negociação, pois o custo do blefe se tornaria maior do que as 
vantagens que poderiam obter. Suponha que nesse caso a função de 
recompensa representando a preferênciados norte-americanos resulte em 
um valor de 1 (forçariam um acordo rápido) e para os norte-vietnamitas em 
um valor de -2 (sofreriam o ônus do bombardeio desnecessariamente). 
• Se não estivessem blefando, o bombardeio seria interpretado como uma 
provocação e quebra de acordo, as negociações seriam abandonadas e a 
guerra recomeçaria. Com isso, os norte-americanos teriam uma perda de -3 
(seriam obrigados a sustentar uma guerra impopular desnecessariamente) e 
os norte-vietnamitas receberiam uma recompensa de 0 (provariam que os 
norte-americanos não eram sinceros em sua busca pela paz, o que lhes 
renderia alguma propaganda mas prolongaria a guerra). 
• Se os norte-americanos não bombardeassem e os norte-vietnamitas 
estivessem realmente blefando, os Estados Unidos seriam forçados a 
concessões desnecessárias (perda de -1) e os norte-vietnamitas estariam em 
melhor situação (ganho de 2). 
• Se os norte-americanos não bombardeassem, mas não se tratasse de um blefe, 
haveria novas concessões por parte dos norte-americanos, mas não seriam 
significativas e a guerra terminaria mais rapidamente (o que lhes daria uma 
recompensa de 0), e os vietnamitas do norte sairiam um pouco melhor 
(recompensa de 1). Monte esse jogo: 
a. Na forma estratégica. 
EUA 
Vietnã do Norte 
Blefa Não blefa 
Bombardeia (1, -2) (-3, 0) 
Não Bombardeia (-1, 2) (0, 1) 
 
b. Na forma estendida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 Suponha dois vendedores que vêem, simultaneamente, entrar um cliente em uma 
loja. Ambos estão perto do cliente. Se um deles aborda o cliente, ele marca um ponto 
na sua avaliação com o gerente da loja, o que pode lhe render uma promoção ao fim 
do mês, enquanto o outro que não abordou perde um ponto, pois não mostrou 
iniciativa, e muito provavelmente perde a promoção. Se nenhum dos dois aborda o 
cliente, nenhum deles marca pontos com o gerente. Mas se os dois abordam o cliente, 
ele fica irritado e vai embora, e cada um dos dois perde um ponto com o gerente. 
Modele esse jogo, supondo que nenhum dos dois tem tempo de perceber o que o 
outro irá fazer. 
 
a. Descreva as ações disponíveis para cada jogador. 
Vendedor 1: {Aborda, Não aborda} 
Vendedor 2: {Aborda, Não aborda} 
 
b. Represente a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma 
estratégica, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do 
outro. 
A 
B 
Aborda Não aborda 
Aborda (-1,-1) (1,-1) 
Não aborda (-1,1) (0,0) 
 
Vietnã 
do Norte 
EUA1 
EUA2 
Conjunto de 
Informação 
 
2.6 Assinale, dentre as árvores de jogos a seguir, construídas para um jogo entre os 
jogadores 1, 2 e 3, quais violam alguma das condições de representação de um jogo 
na forma estendida, explicando qual condição foi violada em cada caso (as 
recompensas foram omitidas para simplificar): 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
2 
3 
2 
1 
1 
2 
2 
2 
1 
3 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Regras da modelagem na forma estendida por meio de árvore de jogos: 
1. Todo nó deve ser precedido por, no máximo, um outro nó. 
2. Nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo. 
3. Todo nó, na árvore de jogos, deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial. 
 
a) Não viola. 
b) Viola a 1ª regra. 
c) Viola a 2ª regra. 
 
2.7 Indique, dentre os conjuntos de informação não-unitários a seguir, quais estão 
impropriamente construídos e novamente explique qual condição foi violada. Nesse 
caso, pode haver três jogadores - 1, 2 e 3 (as recompensas foram mais uma vez 
omitidas para simplificar). 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
2 
1 
3 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
2a 
2 
1 2b 
2a 
2b 
1a 
1b 
1b 
1a 
1 
2 
2a 
2 
3 2b 
2b 
3a 
3b 
1b 
1a 
2a 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Regras dos conjuntos de informação para a modelagem na forma estendida por 
meio de árvore de jogos: 
1. Conjuntos de Informação não podem conter nós que pertençam a jogadores 
diferentes. A razão é trivial: o jogador B sabe que não pode jogar no nó que não 
lhe pertence. Ele sabe que as ações do nó que não lhe pertence não são possíveis 
de serem tomadas por ele. 
2. Conjuntos de Informação não podem conter nós em sequência. O jogador A sabe 
que só pode jogar em A2 se tiver executado a ação I no momento anterior A1. 
3. Cada Conjunto de Informação não pode conter nós com possibilidades de ação 
diferentes. Caso o Conjunto, por exemplo, contenha 2 nós, com 2 possibilidades 
de ação em cada, o jogador saberá em qual nó encontra-se pelas ações possíveis. 
a) A primeira condição foi violada. O conjunto contém nó dos jogadores 1 e 2. 
b) O conjunto está propriamente construído. 
c) O conjunto viola a 3ªcondição: engloba 2 nós com possibilidades de ação 
diferentes. Assim, sabendo quais são as ações possíveis, o jogador sabe em qual 
nó está. 
 
2.8 Considere o seguinte jogo representado em forma estendida. 
 
1 
2 
2a 
2 
1 2c 
2b 
1a 
1b 
1b 
1a 
2a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nele, há dois jogadores, denominados I e II, com suas ações sendo descritas nos 
ramos e as recompensas entre parênteses no diagrama. Pede-se: 
a. Descrever os conjuntos de ações de cada jogador. 
I: {L(1), R(1), L(2), R(2)} 
II: {A, B} 
b. Identificar quantas e quais são as estratégias dos jogadores I e II. 
I: {L(1), L(2); L(1), R(2); R(1), L(2); R(1), R(2)} 
II: {A; B} 
c. Descrever algumas combinações de estratégias possíveis no jogo. 
S = {L(1), L(2), A} 
d. Apresentar o jogo em forma estratégica. 
II 
I 
L(1) L(1) R(1) R(1) 
L(2) R(2) L(2) R(2) 
A (-1, 6) (4, 3) (0, 9) (0, 9) 
B (0, 7) (0, 7) (0, 9) (0, 9) 
 
 
2.9 Suponha dois jogadores, o Banco e a empresa Ponzy. A Ponzy é uma empresa 
especuladora e irresponsável, que somente consegue pagar suas dívidas contraindo 
novas dívidas. No início do jogo, o Banco possui duas escolhas: emprestar 10 milhões 
para a Ponzy ou não emprestar. Considere os possíveis desdobramentos da situação 
a seguir: 
a. Se o Banco não empresta dinheiro para a Ponzy, o Banco fica com seus 10 milhões, 
a Ponzy nada ganha ou perde, e o jogo termina. 
 
(6, -1) 
(3, 4) 
(7, 0) 
(9, 0) 
R(2) 
L(2) 
B 
A 
R(1) 
L(1) 
I 
II 
I 
b. Se o Banco decide emprestar, é a vez da Ponzy decidir: seus proprietários podem 
enviar o dinheiro para um paraíso fiscal, obtendo um ganho financeiro e fechar a 
empresa, deixando o Banco com o prejuízo, ou pedir uma renovação do empréstimo. 
Assim, se eles decidirem encerrar a empresa, o Banco perde os 10 milhões, enquanto 
os donos da Ponzy lucram 1,5 milhão além dos l0 milhões do banco, e o jogo acaba. 
 
c. Caso a Ponzy decida pedir a renovação de seu empréstimo, é a vez do Banco 
decidir, exatamente como na primeira etapa, se renova ou não o empréstimo inicial. 
Se o Banco decidir não renovar a Ponzy é obrigada a vender seus ativos e pagar o 
empréstimo inicial (10 milhões) mais 1 milhão de juros. O Banco termina o jogo com 
11 milhões e os donos da empresa Ponzy com um prejuízo de 1 milhão. 
 
d. Se o Banco decidir renovar, Ponzy decide fechar e aplicar os 10 milhões do 
empréstimo em um paraíso fiscal (ganhando 2,0 milhões além dos 10 milhões do 
Banco), e o Banco perde os 10 milhões originalmente aplicados. 
 
e. Modele este jogo na forma estendida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10 Considere os jogos na forma extensiva, apresentados a seguir. Descreva o Jogo 
1 e o Jogo 2 em forma estratégica, e aponte as diferenças na sequência em que os 
jogadores fazem seus movimentos em cada um dos jogos. 
 
 
B 
P 
B 
(10, 0) 
(-10, 15) 
(11, -1) 
(-10, 12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOGO 1 (Laura sabe o que Helena Jogou) 
Helena 
Laura 
W W Z Z 
Z W W Z 
I (2, 0) (2, 0) (1, 1) (1, 1) 
II (0, 0) (1, 1) (1, 1) (0, 0) 
 
JOGO1 (Laura não sabe o que Helena Jogou) 
Helena 
Laura 
W Z 
I (2, 0) (1, 1) 
II (1, 1) (0, 0) 
 
 
JOGO 2 (Helena sabe o que Laura Jogou) 
Laura 
Helena 
I I II II 
I II I II 
W (2, 0) (2, 0) (1, 1) (1, 1) 
Z (1, 1) (0, 0) (1, 1) (0, 0) 
 
JOGO 2 (Helena não sabe o que Laura Jogou) 
Laura 
Helena 
I II 
W (2, 0) (1, 1) 
Z (1, 1) (0, 0) 
 
 
I II II I 
Z W 
Z W Z W 
II I 
(1, 1) (1, 1) (2, 0) (0, 0) (1, 1) (2, 0) 
Helena Helena 
Laura 
Laura Laura 
Helena 
(1, 1) (0, 0)