Nota de aula EDO 2ordem

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Nota de Aula: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
Uma equação diferencial de Segunda ordem é linear se pode ser escrita sob a forma: 
 
 )x(ry)x(g'y)x(f"y  
 
Vê-se o aspecto característico de linearidade em y e suas derivadas. 
Onde f(x) e g(x) são chamadas de coeficientes e r(x) de termo independente. Todas funções 
contínuas no intervalo considerado. 
 
Equações diferenciais de segunda ordem linear homogênea 
 
 0y)x(g'y)x(f"y  { r(x) = 0 } 
 
Teorema fundamental: 
Se a solução da equação diferencial linear homogênea, em um dado intervalo, é multiplicada por 
uma constante qualquer, a função resultante será também solução no mesmo intervalo. 
Se duas soluções são adicionadas, a soma resultante também será solução no mesmo intervalo. 
 
Aqui, portanto, existe um espaço de soluções cuja dimensão é igual a ordem da EDO. 
A base desse espaço é formado por funções linearmente independentes ( LI ). 
A solução geral da EDO é construida por combinação linear das funções da base. 
Isso se tornará mais claro no desenvolvimento do conteúdo. 
Obs: Ver condição de subespaço em Álgebra Linear. 
 
Vamos analisar a situação mais simples, quando f(x) e g(x) são funções constantes. Assim: 
 
 0by'ay"y  (1) 
 
 
Sabemos que a equação homogênea de primeira ordem 0ky'y  , tem uma de suas soluções a 
função: 
 
kxy e 
 
Supondo que uma escolha adequada de k nos fornece uma solução da equação (1). Substituindo 
então -k por , nossa solução teria o seguinte aspecto: 
 
 xey  (2) 
 
Substituindo (2) e suas derivadas em (1), pela suposição anterior, teremos obrigatoriamente uma 
identidade. 
 
 x2x e"yee'y   
 
Assim: 0)e(b)e(ae xxx2   
 
 0e).ba( x2   (3) 
Como 0 para qualquer valor de xxe  e λ 
 
A solução da equação (3), necessariamente, nos obriga a afirmar que: 
 
 0ba2  ( equação característica ) 
 
Cujas raízes 1 e 2 , são determinados por Bhaskara. 
 
Assim as funções : x2
x
1
21 eyeey   
 
São soluções para a equação (1). 
 
Pelo teorema fundamental, ainda podemos compor um campo de soluções mais amplo, fazendo a 
combinação linear das soluções anteriores: 
 
 x2
x
1
21 e.ce.cy   
 
Obs: Sendo a e b reais, a equação característica pode nos levar a três tipos de soluções para λ: 
 
 Duas raízes reais distintas; 
 Raiz real dupla; 
 Duas raízes complexas conjugadas. 
 
 
Exemplo: 
 
 Ache as soluções das equações a seguir: 
 
1. 0y2'y"y  
 
sua equação característica será: 
 
022  com raízes : 2e1 21  
 
Portanto podemos obter as soluções: x22
x
1 eyeey
 
 
Ou de forma mais geral: x22
x
1 e.ce.cy
 , c1 e c2 constantes. 
 
Plotando a função para c1= -1 e c2 = 1, 2 e 3, temos: 
 plot({-1*exp(-x)+3*exp(-2*x),-1*exp(-x)+2*exp(-2*x),-1*exp(-x)+1*exp(-2*x)},x=-1..1, 
color=[blue,black,red]); 
 
 
 
 
2. 0y'y2"y  
sua equação característica será: 
 
0122  com raiz : )duplaraiz(1 
 
Portanto podemos obter a solução: xey  
 
Na realidade, temos duas soluções iguais, ou seja, são linearmente dependentes. Assim, não 
formam uma base do espaço de soluções para uma EDO de 2° ordem. Logo veremos como lidar 
com essa situação. 
 
 
 
3. 0y4"y  
sua equação característica será: 
 
042  com raízes : i2ei2 21  
Portanto podemos obter as soluções: ix22
ix2
1 eyeey
 
 
Solução geral ainda no espaço complexo: 2 21 2
ix ixy C e C e  
Sua solução no espaço real, será vista mais adiante. 
 
 
 
 Solução e Base 
 
Vimos que se )x(ye)x(y 21 são soluções da equação linear homogênea num dado intervalo, 
então pelo teorema fundamental: 
 
 )x(yc)x(yc)yx 2211  
 
Será também solução no mesmo intervalo. 
 
A função y(x) será uma solução geral se y1(x) e y2(x) constituírem uma base de soluções. 
 
Obs: y1(x) e y2(x) constituirão uma base se, e somente se, forem linearmente independentes, isto 
é, a razão 
2
1
y
y
 não for constante, mas sim depender de x. 
 
Ex: As funções : x22
x
1 eyeey
 , constituem uma base { são LI }. 
 
22 xx e32yee1y  , não constituem uma base { não são LI }. 
 
 
Problema de valor inicial e problemas de valor de contorno 
 
Quando trabalhamos com equação de primeira ordem, a sua solução geral continha uma 
constante arbitrária e dessa forma precisávamos de uma condição para a obtenção da solução 
particular. 
 
Agora vemos que a solução apresenta duas constantes arbitrárias e necessitaremos de duas 
condições para particularizar a solução. 
 
Estas condições podem ser do tipo: 
 
 L)x('yeK)x(y 00  , onde K, L são valores dados. 
 
Neste caso , chamamos de condições iniciais e assim estamos diante de um problema de valor 
inicial . 
 
Ex: Resolver 0y2'y"y  , sabendo que .1)0('ye4)0(y  
 
Sabemos que sua solução geral é x22
x
1 e.ce.c)x(y
 
 
Da primeira condição temos que : c1 + c2 = 4 
 
Derivando a solução, fica: x22
x
1 e.c.2e.c)x('y
 
 
 
Assim, aplicando a segunda condição temos que: c1 – 2c2 = 1 
 
As duas condições aplicadas geram o sistema: 





1c2c
4cc
21
21 , 
cuja solução é : 
 c1 = 3 e c2 = 1. 
 
Portanto a solução particular será: x2x ee.3)x(y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ter também condições do tipo: 
 
 21 K)b(yeK)a(y  
 
onde K1 , K2 são valores conhecidos e a , b são pontos de fronteira do intervalo. 
 
Neste caso , chamamos de condições de contorno ( ou fronteira) e assim estamos diante de um 
problema de valor de contorno . 
 
 
Ex.: Resolver 0y"y  no intervalo  ,0 
 
 Sabendo que : 2)0('ye3)(y  
 
Sabendo-se que uma solução é do tipo xsen.cxcos.cy 21  
 
Aplicando a primeira condição vemos que em função de 0)sen(e1)cos(  , c1 = 3. 
 
 
Derivando a solução para a aplicação da segunda condição, vem: 
 
xcos.cxsen.3'y 2 
 
Como y’ (0) = -2, determinamos c2 = -2. 
 
Ficando a solução particular: 
 
 xsen.2xcos.3y  
 
Seu gráfico será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ANÁLISE DAS POSSÍVEIS SOLUÇÕES 
 
Seja a equação diferencial 
 
 0by'ay"y  (1) 
 
Sabemos que sua equação característica associada é 0ba2  
 
Com as possíveis soluções: 
 
Raízes reais distintas: 
Sendo 21 e  suas raízes, gerando as soluções : 
 
 x2
x
1
21 eyeey   
 
formando uma base, pois são linearmente independentes e geram um espaço de soluções para a 
equação (1): 
 
 y = x2
x
1
21 e.Ce.C   
 
 
Raiz real dupla: 
Sendo  a raiz dupla, então podemos compor a única solução conhecida até este momento: 
 
 xeCy  
 
Uma só função é incompatível com o tamanho do espaço que necessitamos de duas dimensões. 
 
A busca de uma solução mais ampliada, pode ser criada pelo método de variação de parâmetros. 
Podemos assim, aumentar o grau de liberdade da solução anterior fazendo C = u(x). 
 
Agora temos: xexuy ).( 
 
A nossa tarefa agora, é a busca da função u(x). 
 
Para simplificar o desenvolvimento, chamaremos xexv )( { note que )(xv é solução da EDO } 
 
 Ficando:)().( xvxuy  
 
Assim, se y é solução deve atender a equação (1): 
 
 0)..()'..()".(  vubvuavu 
 
 
Onde: 
vuvuvuvuvuvuvuvu
vuvuvu
".''.2".".''.''.".)".(
'.'.)'.(


 
 
Substituindo na EDO (1): 
 
 
  0..'."')..'.2(".
0..'..'..".''.2".
0).()'.'.(".''.2".



uvbvavuvavuv
vubvuavuavuvuvu
vubvuvuavuvuvu
 
 
No terceiro termo, temos a expressão relativa à equação (1) multiplicada por u. 
Pela proposição inicial, temos que v(x) é solução da EDO (1). 
Dessa forma este termo é nulo, pois 
 
0.'."  vbvav 
 
Quanto ao segundo termo: vav .'.2  
 
Neste momento, precisamos ser mais específicos em relação a natureza da equação característa em 
estudo. Neste caso, estamos diante de raiz dupla onde 0 
 
Assim: 
22
0 aa 


 e portanto 
x
a
ev 2

 e 
x
a
e
a
v 2
2

 
 
 Agora podemos substituir no segundo termo: 
 
 0...)
2
(.2.'.2 2222 
 x
a
x
a
x
a
x
a
eaeaeae
a
vav 
 
Portanto, o segundo termo é também nulo. 
 
Assim, nossa única alternativa é garantir o primeiro termo igual a zero, isto é: 
 
00". 2 
 x
a
evseuv 
 
211 .0" CxCuCuu  
 
 
Enfim agora teremos uma solução adequada para a EDO(1) 
 
xeCxCy ).( 21  ou 
xx eCexCy  21.  com base  xx eex  , 
 
 
 
Ex.: y” + 8y’+16y = 0 
 
Com característica: 01682  e sua raiz dupla 4 . 
 
Saindo daí as soluções x4x4 e.x2yee1y   
 
Assim a solução geral correspondente será: 
 
 x421 e)xCC(y
 
 
 
Seu gráfico apresentará o seguinte aspecto: 
 
plot({(1+1*x)*exp(-4*x),(1+2*x)*exp(-4*x),(1+4*x)*exp(-4*x)}, x=-0.6..0.6, 
 color= [red,green,blue]); 
 
 
 
 
}4,2,1{1 21  CeC
 
Raízes complexas conjugadas 
 
Por serem conjugadas, as raízes da equação característica tem a forma: 
 
 iqpeiqp 21  , 
 
onde p e q são números reais e q  0. 
 
Com estas raízes podemos compor uma base de funções complexas: 
 
 xiqpxiqp esees )(2
)(
1
  
 
Por serem funções complexas, elas teriam pouco valor prático enquanto neste formato. 
 
O grande matemático Euler trabalhou em cima desta questão desenvolvendo a correspondência: 
 
   sen.icoseesen.icose ii 
 
Considerando  = qx , podemos com as fórmulas de Euler, representar s1 e s2 como: 
 
 ))()cos((.)(1 qxseniqxeeees
xpqxipxxiqp   
 
 ))()cos((.)(2 qxseniqxeeees
xpqxixpxiqp   
 
Percebeu que o resultado da equação era real , palpavel, porém se apresentava numa base não 
adequada. Usando o conhecimento de álgebra linear, fez uma mudança de base: 
 
 },{},{ 2121 yyss  onde 
i
ss
ye
ss
y
22
21
1
21
1



 
 
 
Primeiro caso: 
 
 
 
 
 
 
Usando a mesma lógica, teremos: )(2 qxseney
xp 
 
Agora temos uma base para esta condição: })(,)cos({ qxseneqxe xpxp 
 
 
)cos(
2
)0)cos(.2(
2
))()cos(())()cos((
1
1
1
qxey
qxe
y
qxseniqxeqxseniqxe
y
xp
xp
xpxp





 
Assim, pelo teorema fundamental, podemos compor a solução geral pela combinação linear 
usando os elementos da base: 
 
 ))()cos(()( 21 xqsenCxqCexy
xp  
 
 
Ex.: 0y10'y2"y  
 
Sua equação característica é 01022  com raízes : 
 
 i31ei31 21  
 
Como p = 1 e q = 3 , obtemos as soluções : 
 
 
Assim a solução geral será: )33cos( 21 xsenCxCey
x  
 
 
 
 
 
 
 
E seu gráfico : 
plot({exp(x)*(1*cos(3*x)+1*sin(3*x)),exp(x)*(1*cos(3*x)+3*sin(3*x)),exp(x)*(1*cos(3*x)+5*sin(3
*x))},x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue]); 
 
 
 
 
 
}5,3,1{1 21  CeC
 
Resumindo o que foi abordado , podemos compor uma tabela que pode nos fornecer uma 
visualização rápida para as possíveis soluções. 
 
Raízes (Eq. Característica) Bases Solução geral 
Reais distintas: 
 1 , 2 
x2x1 e,e  
xx
eCeCy 21 21

 
Real dupla : 
  = 
2
a
 
xx e.x,e  
xexCCy )( 21  
Complexas conjugadas: 
1 = p + iq , 2 = p - iq 
qxcosepx , qxsenepx )cos( 21 qxsenCqxCey
px  
 
 
 
Importante saber que esta analogia serve para EDO de maior ordem, desde que sejam lineares de 
coeficientes constantes. 
 
Vamos ver alguns exemplos: 
 
Ex.: 0'12''16'''7''''  yyyy Que apresenta a seguinte equação característica: 
 
 012167 234   de raizes { 0, 3 , 2, 2 } Veja que raiz dupla ( 2 ) 
 
Solução: xxx eCexCeCCxy 24
2
3
3
21)(  
 
 
Ex.: 029'83''76'''20'''''''''  yyyyy Que apresenta a seguinte equação 
característica: 
 
 029837620 2345   de raizes { -1, -1 , -1 , 2+5i , 2- 5i } 
 
Solução: ))5()5(cos()( 54
2
32
2
1 xsenCxCeeCexCexCxy
xxxx   
 
Observe: O tratamento dado as 3 raízes idênticas ( -1 ). 
 
IST - Instituto Superior de Tecnologia 
 out/99 Rebello 
 
IST - Instituto Superior Tupy 
 { Rev. 2015 } Rebello