Modelos Matemáticos de Equações Diferenciais

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56721
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6347-5
9 7 8 8 5 3 8 7 6 3 4 7 5
EQ
U
A
Ç
Õ
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C
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 P
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erez B
ravo
IESDE BRASIL S/A
2017
Equações Diferenciais
Guilherme Augusto Pianezzer
Dayane Perez Bravo
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
Capa: IESDE BRASIL S/A.
Imagem da capa: marigold_88/iStockphoto.
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
P643e Pianezzer, Guilherme Augusto
Equações diferenciais / Guilherme Augusto Pianezzer, Daya-
ne Perez Bravo. - [2. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE Brasil, 2017.
136 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6347-5
1. Matemática - Estudo e ensino (Superior). 2. Equações 
diferenciais. I. Bravo, Dayane Perez. II. Título.
17-44754 CDD: 515.35CDU: 517.9
© 2017 – IESDE BRASIL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos 
autores e do detentor dos direitos autorais.
Apresentação
Esta obra tem como objetivo aprofundar seus conhecimentos sobre 
as formas de se obter as soluções geral e particular de alguns tipos de 
equações diferenciais.
Discutiremos métodos para resolução de equações diferenciais se-
paráveis, equações diferenciais lineares de diversas ordens, equações di-
ferenciais lineares não homogêneas e as principais aplicações e soluções a 
partir de série de Fourier e transformadas de Laplace.
O livro está dividido em 8 capítulos com os seguintes temas: 
Equações diferenciais de primeira ordem: apresenta a classificação e a 
formulação de equações diferenciais e os métodos para equações dife-
renciais separáveis e homogêneas. Métodos para equações de primeira 
ordem: discute as equações resolvidas por fator integrante e as equações 
exatas, além do teorema de existência e unicidade de soluções. Equações 
lineares de segunda ordem: conceitua tais equações e apresenta os méto-
dos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes cons-
tantes e as equações de Euler-Cauchy homogênea. Equações não homo-
gêneas: discute o método dos coeficientes indeterminados, o método da 
variação dos parâmetros e aplicações em oscilações. Equações lineares de 
ordem superior: apresenta métodos de redução de ordem e generalização 
dos principais métodos para resolução de equações de segunda ordem. 
Soluções em série para equações diferenciais de segunda ordem: funda-
menta as séries de potência, as soluções perto de um ponto ordinário e 
de um ponto singular regular. Aplicações: apresenta problemas de Lei 
de Variação de Temperatura de Newton, aplicação em juros compostos 
e aplicações em engenharia elétrica. Série de Fourier e transformada de 
Laplace: apresenta métodos avançados para resolução de equações dife-
renciais parciais, como as séries de Fourier e as transformadas de Laplace. 
Bons estudos!
Sobre os autores
Guilherme Augusto Pianezzer
Doutorando no Programa de Métodos Numéricos em Engenharia 
pela UFPR. Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR. 
Especialista em Formação Pedagógica do Professor Universitário: 
Didática do Ensino Superior pela PUCPR. Graduado em Licenciatura 
em Matemática pela PUCPR. Atualmente é professor dos cursos de 
Licenciatura em Física e Matemática no ensino superior, professor subs-
tituto na Universidade Tecnológica Federal do Paraná e presidente da co-
missão permanente do EREMATSUL.
Dayane Perez Bravo
Doutoranda em Métodos Numéricos em Engenharia pela 
Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre em Métodos Numéricos 
em Engenharia pela UFPR. Graduada em Licenciatura em Matemática 
pela UFPR. Professora no ensino superior nos cursos de Engenharia.
6 Equações Diferenciais
SumárioSumário
1 Equações diferenciais de primeira ordem 9
1.1 Exemplos e formulação de equações diferenciais 10
1.2 Equações diferenciais separáveis 14
1.3 Equações homogêneas 17
2 Métodos para equações de primeira ordem 27
2.1 Fator integrante 28
2.2 Equações exatas 31
2.3 Teorema de existência e unicidade de soluções 35
3 Equações lineares de segunda ordem 43
3.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de segunda ordem 44
3.2 Métodos de resolução para equações diferenciais de 
segunda ordem com coeficientes constantes 47
3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea 51
4 Equações não homogêneas 61
4.1 Método dos coeficientes indeterminados 62
4.2 Método da variação dos parâmetros 66
4.3 Aplicações em oscilações 69
Equações Diferenciais 7
Sumário
5 Equações lineares de ordem superior 77
5.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de ordem superior 78
5.2 Redução de ordem 79
5.3 Generalização dos métodos de segunda ordem 82
6 Soluções em série para equações diferenciais de 
segunda ordem 91
6.1 Séries de potência 92
6.2 Soluções perto de um ponto ordinário 96
6.3 Soluções perto de um ponto singular regular 99
7 Aplicações 107
7.1 Lei de Variação de Temperatura de Newton 108
7.2 Aplicação em juros compostos 110
7.3 Circuito RLC 113
8 Série de Fourier e transformada de Laplace 121
8.1 Equações diferenciais parciais 122
8.2 Equações de Euler e de Bessel 126
8.3 Transformada de Laplace 129
Equações Diferenciais 9
1
Equações diferenciais 
de primeira ordem
As equações diferenciais são utilizadas em inúmeras áreas de conhecimento, pois 
referem-se às equações que descrevem taxas de variações. Assim sendo, sua resolução 
permite representar diversos fenômenos, desde simulações econômicas para o desen-
volvimento de um comércio local, até simulações físicas sobre o desenvolvimento 
do universo. Este primeiro capítulo está dividido em três partes. A primeira busca 
apresentar dois exemplos simples de equações diferenciais e como utilizar o cálculo 
diferencial e integral para resolvê-los. Também tem como objetivo apresentar algu-
mas classificações e nomenclaturas próprias que permitem diferenciar as equações. A 
segunda apresenta um método composto de três etapas para resolver equações dife-
renciais separáveis, enfocando a diferença entre a solução geral e a solução particu-
lar. A terceira parte apresenta o que são as equações diferenciais homogêneas e um 
método que pode ser utilizado para transformar essas equações em equações diferen-
ciais separáveis.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais10
1.1 Exemplos e formulação de equações 
diferenciais
As equações diferenciais, que são escritas em função de taxas de varia-
ção, aparecem frequentemente nas mais diversas áreas, como na Economia 
para cálculo de taxas de juros; na Engenharia Elétrica nos circuitos elétricos; na 
Psicologia em modelos de aprendizagem; na Física em diversas simulações, como a de queda 
livre; na Química para simulações de decaimento radioativo; entre inúmeras outras aplicações.
A quantidade de modelos que podem ser descritos a partir do uso das equações dife-
renciais são tantos que poderíamos escrever diversas páginas apenas sobre isso. Entretanto, 
a continuidade do estudo de equações diferenciais para alguma área específica é realizada 
dentro das disciplinas de interesse daquela área. Vale a pena introduzir ao leitor dois casos 
de simulação simples para observar como é conduzida a geração de modelos dentro de 
equações diferenciais.
O primeiro caso se trata do uso das Leis de Newton para simular a queda livre de um 
objeto qualquer. Existem diversas notações para descrever a Segunda Lei de Newton. Entre 
as escolhas possíveis, definimos m como sendo a massa do objeto, 
a seu vetor aceleração, 

F 
o somatório das forças aplicadas nesse objeto. Nesse caso,

F m a= . (1)
representa a Segunda Lei de Newton. Essa lei é considerada uma equação diferencial, pois 
apresenta alguma relação entre variáveis que, por sua vez, representam taxas de variação. 
Para cada simulação teremos diversos comportamentos para o fenômeno.Por exemplo, 
pode ser que:
m f t� � � (2)
caso em que o objeto está perdendo ou ganhando massa ao longo do tempo. Ou pode 
ser que:
a g t� � � (3)
caso em que o objeto está ganhando ou perdendo velocidade ao longo do tempo. Essas dife-
renças entre cada problema específico fazem com que cada equação diferencial seja solucio-
nada de forma única, adequada à modelagem que está sendo realizada.
No caso mais simples, a queda livre sem resistência do ar, a única força que atua no 
objeto em queda é a força da gravidade, que tem valor conhecido dado por:

F mg� � (4)
em que g representa a aceleração da gravidade. Aquele que busca conhecer o comporta-
mento do objeto em queda livre está determinado em descobrir em que posição o objeto 
estará ao longo do tempo. Ou seja, busca-se determinar uma função posição como:
x h t� � � (5)
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
11
A relação entre a e x é definida, pela Física, como sendo:


a
d x
dt
=
2
2
(6)
o que indica que a aceleração é a taxa de variação segunda da posição em função do tempo. 
Com todas essas informações em mãos, podemos reescrever a equação 1 (Segunda Lei de 
Newton) como:
� �m g m
d x
dt
. .
2
2
(7)
resolvendo a equação pelos métodos conhecidos do cálculo diferencial e integral:



g
d x
dt
=
2
2
 gdt d x2 2=
 

gdt d x2 2� ��


gtdt C
dx
dt
� �1
dx
dt
gt C

� � 1
dx gt C dt � �� �� � 1


x t
gt
C t C� � � � �
2
1 22
As constantes de integração que surgem durante a resolução do problema, C1 e C2, re-
presentam particularidades do problema de queda livre que não foram descritos. De acordo 
com esse modelo, a posição inicial do objeto pode ser qualquer, visto que não definimos a 
informação de que x x0 0� � � ou a velocidade inicial da simulação poderia não ser nula, ou 
seja, v v0 0� � � . A inclusão dessas características surge nas equações diferenciais por meio 
das constantes de integração e são próprias de cada uma das simulações. Como afirmam 
Boyce e DiPrima:
Para solucionar uma equação diferencial utilizamos o processo de integração. 
Ao aplicar o método de integração, obtemos uma constante arbitrária que gera 
uma infinidade de soluções para o problema. Geralmente essa constante será se-
lecionada por meio de uma condição inicial. Essa condição inicial ocorre quando 
o problema estudado possui um valor inicial. Dessa forma, o valor inicial é utili-
zado para que a constante arbitrária seja encontrada. (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais12
Ainda sobre a aplicação e a simulação de fenômenos a partir de equações diferenciais, 
o segundo caso é o decaimento radioativo. Na Química, no estudo do desenvolvimento das 
substâncias radioativas, sabe-se que certos elementos químicos deixam de existir aos poucos, 
passando a se tornar outros, processo que chamamos de decaimento radioativo. Determinou-
se que o decaimento dessa substância é proporcional à quantidade de substância em deter-
minado momento. Em outras palavras,
dQ
dt
kQ� � (8)
em que Q é a quantidade de substância em certo instante de tempo t, e k é uma constan-
te de proporcionalidade arbitrária que define quão rápido essa substância está diminuin-
do. Alguém interessado em conhecer a quantidade de substância radioativa em função do 
tempo, pode utilizar as operações conhecidas do cálculo diferencial e integral e resolver 
essa equação:
dQ
dt
kQ� �
dQ
Q
kdt� �
dQ
Q
kdt� �� �
lnQ kt C� � � 1
Q e kt C� � � 1
Q C e kt� �2
na qual C eC2 1= . Tal exemplo também fica dependente de uma constante de integração que 
precisa ser determinada. Em equações diferenciais, para a determinação exata da solução 
geral é necessário que o problema informe um valor inicial. Por exemplo, se sabemos que 
no instante t t= =0 0, Q t0 100 1� � � �% , podemos substituir na expressão Q t C e kt� � � �2 para 
obter a constante C2:
Q t Q C e Ck0 2
0
20 1� � � � � � � �� .
Nesse caso, a solução geral se tornaria Q t e kt� � � � .
Nesses dois exemplos, o método que foi utilizado representa uma possibilidade para 
a resolução de algumas equações diferenciais. Sabendo a importância delas nas diferentes 
áreas e suas potenciais aplicações, a continuidade do estudo desse tema se dá pela classifica-
ção dos diferentes tipos de equação. Existem várias maneiras para solucionar uma equação 
diferencial, dessa forma, identificar qual método de solução é mais adequado ao problema 
estudado se torna uma tarefa difícil. Para auxiliar nessa escolha, podemos classificar o tipo 
de equação diferencial que estamos estudando.
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
13
Inicialmente podemos analisar se a função desconhecida da equação diferencial em 
estudo depende de uma ou de várias variáveis independentes. Teremos uma equação di-
ferencial ordinária se a função depender de uma única variável independente. Teremos 
uma equação diferencial parcial se a função depender de várias variáveis independentes 
(BOYCE; DIPRIMA, 2010).
O oscilador harmônico, simulado em Física, representa uma equação diferencial 
ordinária:
m
d
dt
x t kx t
2
2 � � � � � � (9)
enquanto a equação do calor representa uma equação diferencial parcial:
�
�
�
�
�
T
t
a
T
x
2
2
(10)
A quantidade de funções desconhecidas também fornece uma classificação para as 
equações diferenciais. Quando houver duas ou mais funções desconhecidas, utilizamos 
um sistema de equações diferenciais para determiná-las. Outra classificação importante se 
dá pela derivada de maior ordem da equação diferencial em estudo, de forma que a or-
dem dessa derivada classifica a ordem da equação diferencial (BOYCE; DIPRIMA, 2010). 
Por exemplo,
d y
dt
y e t
2
2
2� �
é uma equação diferencial de segunda ordem, enquanto:
d y
dt
d y
dt
t
3
3
2
2 2� � � �cos
é uma equação diferencial de terceira ordem.
Uma equação diferencial ordinária é classificada como linear se suas funções forem 
lineares, ou seja, suas funções não são resultado de produtos de outras funções. Quando 
houver uma função desconhecida que seja o resultado do produto de duas funções, então 
teremos uma equação diferencial ordinária não linear. A mesma ideia vale para as equações 
diferenciais parciais (BOYCE; DIPRIMA, 2010), como no exemplo:
�
�
�
�
�
�
u
y
u
u
x
. 0
 
uma equação diferencial nem sempre possui solução.
Portanto, antes de iniciar a resolução de um problema, é importante verificar a existência de 
solução. Essa verificação se dá por meio de teoremas que garantem a solução da equação sob 
determinadas condições. Entretanto, tal solução nem sempre pode ser expressa por meio de 
funções elementares. Por esse motivo, devemos estudar tanto os métodos para problemas 
simples, quanto os métodos para problemas mais complexos (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais14
1.2 Equações diferenciais separáveis
Seja uma equação diferencial da forma:
p y
dy
dx
q x� � � � � (11)
Nesse caso, dizemos que essa equação diferencial é separável ou de va-
riáveis separáveis. Para esse tipo de resolução, podemos seguir três passos. O primeiro pas-
so é separar as variáveis, agrupando-as em cada membro da equação. No caso da equação 
11, podemos reescrevê-la separando as variáveis, obtendo:
p y dy q x dx� � � � �. . (12)
Como as variáveis estão separadas, o passo 2 é integrar ambos os lados da equação, 
buscando encontrar a solução geral do problema. Em notação integral,
p y dy q x dx� � � � � �� .
que integrando obtém-se:
P y C Q x C� � � � � � �1 2
na qual C1 e C2 são as constantes de integração.
No estudo de equações diferenciais costuma-se, nesse passo, simplificar as constantes 
de integração, agrupando-as em uma só, quando possível. Nesse caso, pode-se escrever a 
solução geral do problema, P (y).
Após obter a solução geral, para o passo 3 aplica-se a condição inicial, quando houver, 
para obter a solução particular do problema.Exemplo 1: seja y xy y’ .,� � � � �4 0 12 Vamos determinar y x� � que é a solução da equação 
diferencial. O primeiro passo é separar as variáveis. Nesse caso, reescrevemos a equação como:
y xy’ � �4 2
dy
dx
xy� �4 2
(13)
repare que as variáveis x e y podem ser separadas numa expressão na forma da equação 12. 
Nesse caso,
dy
y
xdx2 4� � (14)
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
15
o segundo passo consiste em integrar a expressão para obter a solução geral do problema. 
Ou seja,
dy
y
xdx2 4� �� � (15)
por meio das regras de integração e do uso de uma tabela de integração, sabe-se que 
x
x
n
Cn
n
�
�
�
�
�
1
1
 e podemos solucionar a equação 15 para obtermos:
� � � � �
1 21
2
2y
C x C
1 2 2
y
x C� �
Repare que as constantes C1 e C2 foram adequadas para escrever uma constante C, vis-
to que todas são consideradas, dentro da solução geral, como constantes arbitrárias. Antes 
de prosseguirmos para o terceiro passo, vale buscar interpretar graficamente a função en-
contrada. Pelo aplicativo gratuito disponível on-line WolframAlpha foram traçados gráficos 
para a função 1 2 2
y
x C� � para diferentes valores de C.
Figura 1 – Gráficos para diferentes valores de C.
15
10
5
–5
–1.0 1.0
y
x
(x de – 1 a 1)
–0.5 0.5
–10
–15
40
60
–1.0 1.0–0.5 0.5
80
20
–20
20
40
60
–1.0 –0.5 0.5 1.0
Fonte: WolframAlpha.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais16
O primeiro gráfico da Figura 1 representa a equação y
x
C� �
1
2 2, para C2 1= . O segun-
do para C2 10= e o terceiro para C2 20� � .. Repare que todos os gráficos possuem a mesma 
forma, mas diferem de uma translação vertical de uma para a outra. Isso acontece porque 
o processo de encontrar a família de antiderivadas, a integração, encontra todas as funções 
que possuem uma taxa de variação conhecida. Entretanto, são infinitas funções que pos-
suem essa propriedade.
Para notar essa característica, imagine que estivéssemos buscando simular a po-
sição final de um carro sabendo sua velocidade em cada instante de tempo. Poderíamos 
traçar o movimento exato que o carro fez, entretanto, sem saber sua posição inicial, não 
teríamos como diferenciar carros que possuíam a mesma velocidade, mas partiram de 
pontos distintos.
O segundo passo da integração nos traz esse tipo de resultado, conhecido como solução 
geral, pois representa, no caso do exemplo, todas as funções que possuem a taxa de variação 
com a característica dada pela equação 13. Isso pode ser verificado nos gráficos traçados 
para alguns valores de C. Essas funções são consideradas famílias de funções por compar-
tilharem uma mesma propriedade. Entretanto, em alguns problemas, como esse exemplo, 
é solicitado que encontremos a solução particular do problema e isso é possível a partir do 
passo 3.
A informação particular que será aplicada ao problema é fornecida no enunciado, de 
que y 0 1� � � . Aplicando essa informação na solução geral,
1 2 2
y
x C� �
1
1
2 02� �. C
C =1
Portanto, a solução particular do exemplo é:
1 2 12
y
x� �
Exemplo 2: seja y x y’ = 3 2 e y 0 3� � � . Vamos encontrar a solução geral 
y = f (x) e em seguida a solução particular. O primeiro passo solicita que separemos as va-
riáveis, ou seja:
y x y’ = 3 2
dy
dx
x y= 3 2
dy
y
x dx= 3 2
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
17
O segundo passo é integrar ambos os lados da equação para encontrarmos a solução 
geral. Consultando uma tabela de integração, verificamos que dx
x
x C� � � �� ln e continuan-
do o desenvolvimento obtemos:
dy
y
x dx= 3 2
ln y C x C� � �1
3
2
ln y x C� �3
y e x C� �
3
y k e x= .
3
(16)
Em equações diferenciais a simplificação da constante de integração facilita a visua-
lização e a utilização das funções encontradas. Repare que, nesse caso, e kC = , visto que 
a constante arbitrária ainda não foi definida. A equação 16 representa a solução geral do 
problema. O terceiro passo é determinar a solução particular a partir da aplicação do valor 
inicial. Como y 0 3� � � , temos que:
y k e x= .
3
3 0
3
= k e.
3 = k
Portanto, a solução particular é definida como:
y e x= 3
3
.
1.3 Equações homogêneas
As equações diferenciais do tipo y f x y’ ,� � � são de-
finidas como homogêneas se a função f x y,� � é uma fun-
ção homogênea de grau n em relação às variáveis x e y. Em 
outras palavras,
f x y f x yn� � �, ,� � � � � (17)
no qual n é o grau da equação homogênea.
O método para solucionar equações diferenciais homogêneas sugere que a utilização 
da substituição y = zx faz com que a equação diferencial se torne separável em relação às 
variáveis x e z.
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais18
Assim, o método para obter essa solução se resume em duas fases. Na primeira fase, 
testa-se se a função é, de fato, homogênea utilizando a equação 17. Na segunda fase, utili-
za-se o método descrito na segunda parte deste capítulo para resolver a equação diferencial 
ordinária separável.
Exemplo 1: seja a equação diferencial:
dy
dx
x y
xy
�
�2 2
(18)
Determine a solução geral do problema.
Como desconfia-se que a equação dada é homogênea, testa-se, a partir da equação 17, 
a veracidade dessa informação. O método proposto aqui só pode ser utilizado nesse tipo 
de equação. Por mais que a mudança de variável proposta possa ser utilizada em qualquer 
equação de variáveis x e y, nem toda equação consegue ser simplificada na forma separável.
Nesse caso, f x y
x y
xy
,� � � �
2 2
. Aplicando a equação 17, obtemos:
f x y
x y
x y
x y
xy
x y
xy
� �
� �
� �
�
�
,� � � � �
� � �
� �� �
�
�� �
�
�
2 2 2 2 2
2
2 2
Repare, então, que a função dada respeita a identidade apresentada na equação 17 para 
n = 2. Nesse caso, a equação dada é homogênea. Assim, pode-se aplicar a transformação 
proposta da segunda fase: 
y zx= (19)
Reescrevendo a equação 18, a partir da transformação da equação 19, obtemos:
d zx
dx
x zx
x zx
� �
�
� � �
� �
2 2
(20)
Para simplificar essa equação, vale a pena lembrar da regra do produto para de-
rivadas aprendida no cálculo diferencial e integral. Dada uma função na forma 
u x y g x y h x y, , . ,� � � � � � �, então: 
u x y g x y h x y g x y h x y’ , ’ , . , , . ’ ,� � � � � � � � � � � � (21)
Dessa forma, aplicando a regra do produto na derivada de zx :
d zx
dx
dz
dx
x z
� �
� �.
pois z é uma função de x na equação 20, obtemos:
dz
dx
x z
x z x
zx
. � � �
2 2 2
2
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
19
dz
dx
x z
z
z
� �
�1 2
dz
dx
x
z
z
z�
�
�
1 2
dz
dx
x
z
z
z
z
�
�
�
1 2 2
dz
dx
x
z
=
1
(22)
Repare que a equação 22 é classificada como uma equação diferencial separável. 
Portanto, aplicam-se os passos do método descrito na segunda parte deste capítulo para 
solucioná-la. Reescrevendo a equação 22:
zdz
dx
x
=
Integrando:
zdz
dx
x
�� �
z
C x
2
2
� � ln
Reescrevendo a solução geral:
e x
z C
2
2
�
�
k e x
z
.
2
2 =
Por fim, vale notar que a solução geral deve ser escrita em relação às variáveis originais 
do problema. Ou seja, refaz-se a substituição y zx= na solução geral. Assim, obtém-se:
x k e
z
= .
2
2
x k e
y
x= .
2
22
Exemplo 2: seja a equação diferencial:
dy
dx
x y
x y
�
�
�
3
3 (23)
Determine a solução geral do problema.
Nesse caso, inicia-se testando se a equação diferencial 23 é homogênea. Observando o 
formato dessa expressão, conclui-se que:
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais20
f x y
x y
x y
,� � � �
�
3
3 (24)
Aplicando o teste proposto pela equação 17 na função 24, obtemos:
f x y
x y
x y
x
y
f x y� �
� �
� �
�
�
, ,� � � � �
� � �
� � � � �
�
�
�
� � �
3
3
3
3
Portanto, a equação 24 é homogênea para n =1. Aplica-se, portanto, a transformação 
y zx= para reescrever a equação 24:
dy
dx
x y
x y
�
�
�
3
3
d zx
dx
x zx
x zx
� �
�
� � �
� � �
3
3
dz
dx
x z
x z
x z
� �
�� �
�� �
1 3
3
dz
dx
x z
z
z
� �
�
�
1 3
3
dzdx
x
z
z
z�
�
�
�
1 3
3
dz
dx
x
z
z
z z
z
�
�
�
�
�� �
�
1 3
3
3
3
.
dz
dx
x
z
z
�
�
�
1
3
2
3
1 2
�� �
�
�
z dz
z
dx
x
A equação resultante está na forma separável. Aplicando a integração:
3
1 2
�� �
�
�� �
z dz
z
dx
x
(25)
Para a solução dessa integral, utiliza-se decomposição por frações parciais, aprendida 
no cálculo diferencial e integral. Vejamos que se pode reescrever a expressão 3
1 2
�
�
z
z
 na forma:
3
1 1 12
�
�
�
�� �
�
�� �
z
z
A
z
B
z
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
21
Ou seja, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações:
3
1
1
1 1
1
1 12
�
�
�
�� �
�� � �� �
�
�� �
�� � �� �
z
z
A z
z z
B z
z z
3
1 12 2
�
�
�
� � �
�
z
z
A Az B Bz
z
A B
A B
� �
� �
�
�
�
3
1
E assim, A B= =2 1, . Portanto,
3
1
2
1
1
12
�
�
�
�
�
�
z
z z z
(26)
Assim, reescrevendo a integral da equação 25, a partir da transformação indicada pela 
equação 26, obtemos:
2
1
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �z z dz
dx
x
2
1
1
1�
� �
�
�� �z dz z dz
dx
x
2 1 1ln ln ln ln�� � � �� � � �z z x C
ln ln ln1 12�� � � �� � � �z z lnx C
e e e ez z lnx Cln ln ln1 1
2�� � �� �� � �
1 12�� � � �� � � �z z x C
Por fim, reescrevendo a equação em função das variáveis x e y a partir da transformação 
y zx= , obtemos:
1 1
2
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
y
x
y
x
x C
Que representa a solução geral da equação.
Exemplo 3: seja a equação diferencial:
2 3 1 22 2x
dy
dx
xy y y� � � � � �, (27)
determine sua solução geral e particular.
Como nos outros exemplos, inicialmente verificamos se a função:
dy
dx
f x y� � �,
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais22
é homogênea. Nesse caso,
f x y
xy y
x
,� � � �3
2
2
2
Aplicando o teste da identidade da equação 17, obtemos:
f x y
x y y
x
xy y
x
f x y� �
� � �
�
�
�
, ,� � � � �� �
� � �
� �
�
�� �
� �
� � �
3
2
3
2
2
2
2 2
2 2
Sendo homogênea de grau 2 (n=2), aplicamos a transformação y = zx na equação 27. 
Obtemos:
2 32 2x
d zx
dx
x zx zx
� �
� � � � � �
2 32 2 2 2x dz
dx
x z x z x z��
�
�
�
�
� � �
dz
dx
x z z
z
� � �
3
2 2
2
dz
dx
x z
z
� �
1
2 2
2
dz
dx
x
z z
�
� 2
2
dz
z z
dx
x�
�2 2
Que está na forma separável. Integrando ambos os lados da equação:
dz
z z
dx
x�
�� �2
1
2
dz
z z
dx
x1
1
2�� �
�� � (28)
Essa integral também precisa ser solucionada pela decomposição em frações parciais. 
Veja que:
1
1 1z z
A
z
B
z�� �
� �
�� �
Para algum A e algum B. Nesse caso, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações,
1
1
1
1 1z z
A z
z z
Bz
z z�� �
�
�� �
�� �
�
�� �
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
23
1
1 1z z
A Az Bz
z z�� �
�
� �
�� �
A
A B
�
� �
�
�
�
1
0
Portanto, A =1 e B � �1. Reescrevendo a equação 28 e integrando:
1 1
1
1
2z z
dz
dx
x
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
dz
z
dz
z
dx
x
� �
�
�� �1
1
2
ln ln ln lnz z x C� �� � � �1 1
2
ln lnz
z
x C
1
1
2
�
�
�
�
�
�
� �
z
z
C x
1�
� .
Retornando a transformação y zx= , ou seja, z
y
x
= .
y
x
y
x
C x
1�
� . (29)
que representa a solução geral do problema. Para obtermos a solução particular, usamos a 
informação dada no enunciado de que y 1 2� � � � . Nesse caso, substituindo x = 1 e y = –2 na 
equação 29, podemos obter C.
�� �
� �� �
�
2
1
1 2 1
1C .
C = 2
Portanto, a solução particular desse problema é dada por:
y
x
y
x
x
1
2
�
�
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais24
 Ampliando seus conhecimentos
Equações diferenciais
(ÇENGEL; PALM III, 2014, p. 10-11)
O estudo de equações diferenciais requer um bom conhecimento dos con-
ceitos fundamentais do cálculo. Veremos alguns desses conceitos:
1. Variáveis dependentes e independentes.
Uma equação geralmente envolve uma ou mais variáveis. Como o pró-
prio nome sugere, variável é uma grandeza que pode assumir vários valo-
res durante um estudo. Uma variável com valor fixo durante o estudo é 
denominada constante. Constantes são geralmente denotadas pelas pri-
meiras letras do alfabeto: a, b, c e d; e as variáveis, pelas últimas: t, x, y e z. 
Uma variável cujo valor pode mudar de maneira arbitrária é denominada 
variável independente ou argumento. Uma variável cujo valor depende 
dos valores de outras variáveis é denominada variável dependente 
ou função.
Uma variável dependente y que tem uma relação de dependência com a 
variável x geralmente é expressa por y(x). Porém, essa notação é inconve-
niente quando y é usada muitas vezes na mesma equação. Nesses casos, é 
mais adequado usar y no lugar de y(x) quando fica claro que y é função de 
x. Essa simplificação melhor a aparência e a leitura das equações. O valor 
de y em relação a um valor fixo de a é expresso por y(a).
Durante o estudo, é comum a restrição de uma variável em um certo inter-
valo. Um intervalo tem seus extremos limitados por dois números dos 
quais um é o limite superior e o outro é o limite inferior. Esse intervalo é 
denominado fechado se inclui os valores-limite, do contrário é denomi-
nado intervalo aberto. Por exemplo, se o limite do raio de uma equação P 
= 2πr é estabelecido para valores entre r1 = 3 e r2 = 7,5, incluindo os valo-
res-limite, pode-se dizer que o intervalo de r é de 3 a 7,5, expresso por 3 
r 7,5. Como temos a inclusão dos valores-limite, dizemos que o intervalo 
é fechado.
2. Funções contínuas e descontínuas
No estudo e na caracterização de funções, um conceito de máxima impor-
tância é o da continuidade. Uma função y é chamada de contínua em um 
número se (1) a função é definida nesse número (isto é, y(a) é um número 
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
25
finito), (2) existe o limite lim
x a
y x
�
� �e (3) esse é igual ao valor da função no ponto a. 
Ou seja, a função y é contínua em a , se
lim
x a
y x y a
�
� � � � �
Quando uma função não é contínua em a, dizemos que ela é descontínua 
ou possui uma descontinuidade em a. A função é denominada contínua 
em um intervalo se ela é contínua para cada número desse intervalo. A 
função é denominada descontínua em um intervalo mesmo que ela pos-
sua descontinuidade em apenas um valor desse intervalo.
3. Derivadas e diferenciais
As derivadas e diferenciais são os tijolos usados para construir as equa-
ções diferenciais. A derivada de uma função y(x) em um ponto é equiva-
lente à inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto e é 
definida como:
dy
dx
y x x y x
xx
�
� �� � � � �
�� �
lim
0
Uma função é denominada diferenciável em x se existe limite da fun-
ção no ponto x. Uma função é denominada diferenciável em um inter-
valo fechado se é diferenciável em cada número desse intervalo. Uma 
função não é diferenciável em um ponto que apresenta uma mudança 
abrupta de inclinação.
[...]
 Atividades
1. Em cada um dos itens, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela 
é linear ou não linear.
a. xx x y’’ ’� �2
b. ydx xdy� � 0
c. d x
dy
x
3
3
2 0� �
2. Verifique que a função x ye y= é uma solução para a equação linear x x x’’ ’� � �2 0 
no intervalo ( , )�� � .
3. Encontre uma solução para a equação separável yx x’ � �1.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais26
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ÇENGEL, Y; PALM III. Equações diferenciais. Trad. M. E. Marques. Porto Alegre: AMGH, 2014.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
 Resolução
1. 
a. Essa equação diferencial é de segunda ordem, pois temos o termo de segunda ordem 
x”; é não linear, pois temos a multiplicação xx”.
b. Essa equação diferencial é de primeira ordem, pois as derivadas da expressão são todas 
de primeira ordem. Além disso, ela é linear, pois não há multiplicação de variáveis.
c. Essa equação diferencial é de terceira ordem,pois temos o termo de terceira ordem 
d x
dy
3
3
; e é não linear pois temos a potência x2.
2. Analisando a função x ye y= , podemos calcular x ye ey y’ � � e x ye ey y’’ � � 2
. Fazendo uma simples substituição desses resultados em �� �� � �x x x2 0, temos 
( ) ( )ye e ye e yey y y y y� � � � �2 2 0 para todo número real.
 Portanto, x ye y= é uma solução para x x x’’ ’� � �2 0 no intervalo ( , )�� � .
3. Podemos reescrever a equação yx x’ � �1 da forma x
x y
’
�
�
1
1 . Assim, ela pode 
ser separada:
dx
x
dy
y�
�
1
 e podemos integrar em ambos os lados da equação, obtendo:
dx
x
dy
y�
�� �1
ln lnx y C�� � � �1
 E essa é a solução geral para a equação yx x’ � �1. Podemos fazer uma escolha con-
veniente fazendo C A= log ; assim,
log( ) log logx y A� � �1
log( ) logx yA� �1
 De forma que a solução geral também poderá ser escrita como: x Ay� �1 .
Equações Diferenciais 27
2
Métodos para equações de 
primeira ordem
A importância das equações diferenciais foi amplamente discutida no primeiro 
capítulo. Entretanto, com os métodos discutidos, nem toda equação diferencial con-
segue ser resolvida. O objetivo deste capítulo é apresentar alguns novos métodos, em 
especial o método do fator integrante na primeira parte e o da resolução para equações 
exatas na segunda. Vale ressaltar que, nos problemas reais, discute-se a possibilidade 
de a equação diferencial não ter solução alguma. Nesse caso, a terceira parte do capí-
tulo irá apresentar um teorema central na disciplina, chamado teorema de existência e 
unicidade de soluções.
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais28
2.1 Fator integrante
A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é dada por:
dy
dt
p t y g t� � � � � � (1)
onde p e g são funções arbitrárias da variável independente t. Veja que a 
equação 1 é de primeira ordem, visto o maior grau das derivadas da equação. Nesse caso 
não podemos utilizar os métodos de resolução discutidos no Capítulo 1. Portanto, iremos 
utilizar o método de Leibniz, que consiste em multiplicar a equação 1 por uma função µ(t) 
conveniente. Essa função µ(t) é conhecida como fator integrante e sua escolha é feita quando 
tal multiplicação torna a equação integrável mais facilmente (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Para entender esse método, vamos resolver a seguinte equação diferencial:
dy
dt
y e
t
� �
1
2
1
2
3 (2)
Iremos aplicar o método do fator integrante, explicando as dificuldades e os artifícios 
do cálculo diferencial e integral que precisam ser utilizados para encontrar a solução. O mé-
todo por fator integrante solicita que multipliquemos a equação diferencial por uma função 
µ(t) em ambos os lados. Fazendo isso, reescrevemos a equação 2:
� � �t
dy
dt
t y t e
t
� � � � � � � �1
2
1
2
3 (3)
aplicando a propriedade distributiva. Para prosseguir no método, utilizamos a regra da de-
rivada de um produto de duas funções dependentes de t. Sabemos, do cálculo diferencial e 
integral, que:
d
dt
t y t
dy
dt
d t
dt
y� �
�� ��� �� � � � �
� �
(4)
representa a regra proposta. O objetivo do método por fator integrante é utilizar uma função 
conveniente µ(t) para reescrever a equação 3 de forma simplificada. Podemos definir µ(t) 
verificando que:
d t
dt
t
�
�
� �
� � �1
2
(5)
A equação 5, portanto, indica como obter a função µ(t). Podemos fazer:
d t
t
dt
�
�
� �
� �
�
1
2
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
29
d t
t
dt
�
�
� �
� �
�� �
1
2
ln � t t C� �� � � �1
2
� t ke
t
� � � 2
utilizando os artifícios para a constante aprendidos no capítulo anterior. Repare que a fun-
ção u(t), que representa um fator integrante possível para a simplificação da equação 3, na 
verdade, é uma família de funções, diferenciadas pelo constante k. Qualquer k 0 escolhido 
gera uma função µ(t), que pode ser utilizada para solução do método. Nesse caso, escolhe-
mos k =1, obtendo como fator integrante:
� t e
t
� � � 2 (6)
Podemos partir para a simplificação da equação diferencial 3, multiplicando ambos os 
lados por u(t). Nesse caso, obtemos:
e
dy
dt
e y e e
t t t t
2 2 2 31
2
1
2
� � (7)
Repare que a parte esquerda da equação 7 é a mesma da equação 4, escrita para o fator 
integrante representado na equação 6. Assim, podemos utilizar a regra do produto para 
reescrever a equação 7:
d
dt
e y e e
t t t
2 2 31
2
�
�
�
�
�
�
�
�
� (8)
pois
d
dt
e y e
dy
dt
e y
t t t
2 2 21
2
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
Utilizando o método de integração e simplificações na equação 8:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d
dt
e y dt e e dt
t t t
2 2 31
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d
dt
e y dt e dt
t t
2
5
61
2
e y e C
t t
2
5
61
2
6
5
� �.
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais30
e y e C
t t
2
5
63
5
� �
y e C e
t t
� �
�3
5
3 2.
Obtemos a solução geral da equação 2.
Além de fazer por comparação com a regra do produto, o fator integrante pode ser 
obtido a partir da expressão:
� x e p x dx� � � � � � (9)
quando a equação diferencial está na forma:
dy
dx
p x y g x� � � � � � (10)
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 11:
x
dy
dx
y x sen x. � �2 3 (11)
Simplificando ambos os lados por x, para obtermos a expressão no formato da 
equação 10:
dy
dx
y
x
x sen x� �
2 2 (12)
Obtém-se o fator integrante pela equação 9. Nesse caso,
� x e ep x dx x
dx
� � � �� � �
� �
2
� x e lnx� � � �2
� x x� � � �2 (13)
Multiplica-se pelo fator integrante u x� � e reescreve-se a equação 12. Obtemos, assim,
x
dy
dx
x y
x
x x sen x�
�
�� � �2
2
2 22 (14)
1 2
2 3x
dy
dx
y
x
sen x� � (15)
Simplificando pela regra do produto:
d
dx x
y sen x
1
2
�
��
�
��
�
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
31
Integrando:
d
dx x
y dx sen x dx
1
2
�
��
�
��
�� �
1
2x
y x C� � �cos
y x C x� �� �2 cos
Obtemos a solução geral da equação 11.
2.2 Equações exatas
O último método para equações diferenciais lineares deste curso é para 
as equações exatas. Dada uma equação diferencial da forma:
dy
dx
f x y� � �,
reescrevemos a equação na forma:
M x y dx N x y dy, ,� � � � � � 0 (16)
no qual M e N são funções quaisquer. Chamamos de equação exata a equação diferencial 
na forma da equação 16, quando satisfaz a equação 17:
�
�
�
�
�
M
y
N
x
(17)
O método para resolução de equações exatas afirma que existe uma função F x y,� �, 
tal que:
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
F
x
M x y
F
y
N x y
,
,
(18)
Aplicaremos o método para resolução da equação diferencial dada pela equação 19:
dy
dx
x
y
� �
�
�
2 1
3 7 (19)
Buscando reescrever no formato da equação 16:
3 7 2 1y dy x dx�� � � � �� �
2 1 3 7 0x dx y dy�� � � �� � �
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais32
Repare que, nesse caso,
M x y x
N x y y
,
,
� � � �� �
� � � �� �
�
�
�
��
2 1
3 7
Verificamos, em seguida, se a equação 19 é exata. Nesse caso, aplicando o teste proposto 
na equação 17:
�
�
� �
�
�
M
y
N
x
0
Como a equação 19 é exata, podemos buscar a função F x y,� � que satisfaz a condição 
dada pela equação 18:
�
�
� �
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
F
x
x
F
y
y
2 1
3 7
(20)
Esse sistema de equações diferenciais parciais pode ser resolvido por integração como 
apreendida no cálculo diferencial e integral, mas com alguns cuidados. Integrando uma das 
equações do sistema de equações:
�
�
� �
F
x
x2 1
�
�
�
� � �� �F
x
dx x dx2 1
F x y x x C,� � � � �2
Entretanto, é importantíssimo notar que a constante C obtida é uma constante em rela-
ção à variável x, podendo ser variável em relação à variável y. Nesse caso, escrevemos F(x,y) 
como sendo:
F x y x x C y,� � � � � � �2 (21)
A segunda equação do sistema de equações 20 pode ser combinada junto com a expres-
são obtida para F x y,� � na equação 21, para encontrar o valor de C y� � :
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
33
�
�
� �
F
y
y3 7
� � � � �� �
�
� �
x x C y
y
y
2
3 7
� � �
�
� �
C y
y
y3 7
�
� � �
�
� ��� �
C y
y
dy y dy3 7
C y
y
y K� � � � �3
2
7
2
(22)
Assim, podemos escrever a F x y,� � combinando a expressão obtida na equação 21, com 
a expressão para C y� � obtido na equação 22:
F x y x x
y
y K,� � � � � � �2
23
2
7
Repare que outras formas de obter F x y,� � podem ser realizadas dependendo da álge-
bra que for escolhida. Para exemplificar isso, buscaremos a solução particular da equação 
diferencial separando em um passo a passo do que deve ser feito para sua resolução:
x y dx xy x dy y�� � � � �� � � � � �2 22 1 0 1 1; (23)
Passo 1: verificar se a equação diferencial é exata.
Para isso, comparamos com a equação 16, identificando que:
M x y x y
N x y xy x
,
,
� � � �� �
� � � � �
�
�
�
��
2
22 1
e testamos a identidade fornecida na equação 17:
� � �
�
� �� � �
� � �
�
M x y
y
x y
N x y
x
, ,
2
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais34
Passo 2: buscamos uma função F x y,� � que satisfaça a condição dada pela equação 18. 
Nesse caso,
�
�
� �� �
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
F
x
x y
F
y
xy x
2
22 1
(24)
Aplicando os métodos de integração, obtemos:
�
�
� � �
F
y
xy x2 12
�
�
�
� � � �� �F
y
dy xy x dy2 12
F x y xy x y y C x,� � � � � � � �2 2
Reparemos que a constante C x� � é constante apenas em função de x. Substituindo no 
sistema de equações diferenciais 24:
�
�
� �� �F
x
x y 2
� � � � � �� �
�
� � �
xy x y y C x
x
x xy y
2 2
2 22
y xy
C x
x
x xy y2 2 22 2� �
� � �
�
� � �
� � �
�
�
C x
x
x2
C x
x
K� � � �
3
3
(25)
E, portanto,
F x y xy x y y
x
K,� � � � � � �2 2
3
3
A equação 25 foi resolvida aplicando substituição da prévia da solução encontrada an-
teriormente. Entretanto, poderia ser aplicada uma nova integração e a solução poderia ser 
obtida por comparação. Ambas as abordagens possuem o mesmo grau de dificuldade.
A solução geral da equação diferencial dada é:
F x y xy x y y
x
K,� � � � � � �2 2
3
3
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
35
Veja que podemos encontrar a solução particular, visto que é fornecido que y 1 1� � � . 
Logo, K � �4 3/ .
2.3 Teorema de existência e unicidade 
de soluções
Vamos enunciar o teorema fundamental da existência e unicidade para 
problemas de valor inicial de primeira ordem.
Teorema 1: suponha que as funções f e ∂ ∂f y/ são contínuas em um 
retângulo limitado por � � � �� � � �t y; contendo o ponto ( , )t y0 0 . Então, 
em algum intervalo t h t t h0 0� � � � contido em � �� �t existe uma única 
solução para o problema de valor inicial: 
y f t y’ ( , )= (26)
y t y( )0 0= (27)
onde y0 é um valor inicial arbitrário dado.
O fato de não haver um método de resolução que se aplique a todos os casos faz com 
que a demonstração da existência de uma solução para as equações 26 e 27 seja feita indi-
retamente. É necessário obter uma sequência de funções que converge para uma função 
limite. Tal sequência deve satisfazer o PVI (problema de valor inicial), mas individualmente 
seus elementos não satisfazem essas condições. As características principais desse teorema 
podem ser encontradas em Boyce e DiPrima (2010).
Vamos utilizar um exemplo de PVI para discutir o teorema 1.
y t y’ ( )� �2 1 (28)
y( )0 0= (29)
É preciso resolver o PVI pelo método de aproximações sucessivas.
Inicialmente, se y t��( ), então podemos escrever que:
� �( ) [ ( )]t s s ds
t
� ��2 1
0
(30)
Fazendo a aproximação inicial �0 0( )t � , temos:
� �1 0
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (31)
�1
2( )t t� (32)
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais36
Da mesma forma, temos:
� �2 1
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (33)
�2
2
4
2
( )t t t� � (34)
� �3 2
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (35)
�3
2
4 6
2 2 3
( )
.
t t
t t
� � � (36)
Intuitivamente, as equações indicam para n ≥1 a sequência:
�n
n
t t
t t t
n
( )
! !
...
!
� � � � �2
4 6 2
2 3
(37)
que pode ser deduzida por indução matemática. Essa prova pode ser encontrada em Boyce 
e DiPrima (2010, p. 87).
Observando a equação 37, podemos dizer que φn t( ) é a n-ésima soma parcial da série:
t
k
k
k
2
1 !�
�
� (38)
Assim, o limite de φn t( ) com n tendendo ao infinito existe se, e somente se, a série da 
equação 38 converge. Para verificar a convergência dessa série, aplicamos o teste da razão 
que afirma que uma série é convergente quando:
lim
n
n
n
a
a��
� �1 1
para uma série infinita:
n
n k k k na a a a a a a a
�
�
� �� � � � ��� � � ��
1
0 1 2 1 1
e verificamos que para cada t:
t
k
k
t
t
k
k
k
2 2
2
2
1 1
0
�
�
�
�
�
( )!
! (39)
quando k�� .
Dica: Lembre-se: k k k k! . . . . .� �� � �� ��1 2 3 2 1
Portanto a série converge e sua soma é o limite da sequência φn t( ) .
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
37
A série da equação 39 pode ser integrada ou diferenciada se t permanecer no intervalo 
de convergência, pois ela é uma série de Taylor. Assim, temos que a:
�n
k
k
t
t
k
( )
!
�
�
�
�
2
1
(40)
é solução para a equação 28.
Para analisarmos a unicidade, faremos a prova por redução ao absurdo, conforme os 
passos seguidos por Boyce e DiPrima (2010, p. 89). Supondo inicialmente que o PVI tem 
duas soluções φ e ψ , ambas satisfazem a equação 28. Fazendo a seguinte subtração:
� � � �( ) ( ) [ ( ) ( )]t t s s s ds
t
� � ��2
0
(41)
e tomando valores absolutos se t >0:
� � � � � �( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )t t s s s ds s s s ds
t t
� � � � �� �2 2
0 0
(42)
Se restringirmos t ao intervalo 0 ≤ t ≤ A/2, sendo A um valor arbitrário, teremos 2t ≤ A:
� � � �( ) ( ) ( ) ( )t t A s s ds
t
� � ��
0
(43)
Fazendo uso de uma definição para uma função U, convenientemente,
U t s s ds
t
( ) ( ) ( )� �� � �
0
(44)
onde:
U ( )0 0= (45)
U t( ) ≥ 0 (46)
para t >0. Também U é diferenciável com U t t t’( ) ( ) ( )� �� � . Assim, por meio da equação 
46, podemos fazer:
U t AU t’( ) ( )� � 0 (47)
Multiplicar esse resultado por um valor positivo conveniente e escrevê-lo na forma de 
derivada não irá alterar a desigualdade:
e U tAt� �( ) ’ 0 (48)
integrando esse resultado de zero a t, temos para t >0:
e U tAt� �( ) 0 (49)
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais38
Ou seja, se U(t) 0 para t >0, e também como obtemos na equação 49 U(t) ≥ 0 para t >0, 
então U(t) = 0 para t >0. Dessa forma, U’(t) = 0 e, portanto, temos como conclusão � �( ) ( )t t� , 
que é um absurdo segundo a hipótese inicial. Dessa forma, podemos afirmar que a solução 
é única para t > 0 e para t < 0 é análogo.
 Ampliando seus conhecimentos
Caos, de Jhon H. Hubbard.
(ZILL; CULLEN, 2001, p. 221)
Uma história famosa de ficção científica conta que um político, após ter 
ganho uma eleição, realizou uma viagem em uma máquina do tempo de 
volta à era dos dinossauros. Enquanto estava lá, tomou todo o cuidado 
para não perturbar nada. Mesmo assim, ele pisou sem querer em uma 
folha de grama e a entortou. Quando voltou ao seu tempo, descobriu que 
neste mundo modificado ele tinha perdido a eleição.
Isto é o que os matemáticos têm em mente quando dizem que um sis-
tema apresenta caos: mínimas variações na condição inicial de um sistema 
podem decisivamente afetar o resultado. Estamos falando do efeito bor-
boleta. [...]
Uma justificativa para o efeito borboleta não é de maneira alguma óbvia. 
Não temos uma máquina do tempo disponível; não podemos voltar no 
tempo seis semanas, pegar uma borboleta (sem perturbar nada, qualquer 
que seja o significado disto) e então retornar e observar as consequências. 
Precisamos tomar outro caminho. [...]
A próxima questão com que devemos nos deparar é: o que corresponde 
ao número um bilionésimo acima? Qual proporção do sistema (a atmos-
fera) representa nosso distúrbio (uma borboleta)? Uma maneira (talvez 
contestável) de estimar isso é simplesmente medir a razão das massas. O 
peso de uma borboleta grande é cerca de 1 grama, e a massa da atmosfera 
pesa 5 x 1021 gramas.
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
39
A pressãoatmosférica é de aproximadamente 1 kg/cm², ou seja, há 1 kg 
de ar acima de todo centímetro quadrado da Terra. A área de uma esfera 
de raio r é 4πr2, e o raio da Terra é de cerca de 6000 km. Então, o peso 
da massa atmosférica é 1000 x 4 π x (6 x 108)2 gramas. Logo, uma bor-
boleta não é um bilionésimo do tamanho do sistema; ela é precisamente 
mil-bilhão-bilionésimo.
Como 5 x 1021 é aproximadamente 272, deve levar cerca de 72 períodos de 
duplicação para os efeitos de uma única borboleta induzirem perturba-
ções em uma escala global.
Uma consequência dessa análise é que precisões do tempo para períodos 
longos são completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa 
saber o estado da atmosfera como consequência do efeito de uma borbo-
leta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior. Perturbações 
dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês.
Físicos, químicos, astrônomos e matemáticos estão mostrando agora que 
uma enorme quantidade de sistemas apresentam “caos”, no sentido de 
que estão se expandindo e têm um tempo de duplicação para erros. [...]
A presença de caos tem um efeito devastador sobre as previsões, mas 
algumas vezes é útil; às vezes, o caos pode ser controlado.
A Nasa não é capaz de construir foguetes com combustível suficiente 
para alcançar grandes distâncias. Então, eles fizeram com que o foguete 
tocasse delicadamente em Vênus, roubando dele um pouco da energia 
potencial necessária para alcançar a fantástica velocidade requerida. 
Apenas uma pequena variação na trajetória pode provocar uma grande 
variação na velocidade do foguete, e trajetória é um projeto factível. Mas 
imagine como isso dificulta precisões para longas trajetórias como órbitas 
de cometas, por exemplo.
A presença de caos também tem consequências filosóficas, como, por 
exemplo, o conflito entre determinismo e contingência. Como o ser 
humano pode ser livre se o universo é completamente governado por 
leis determinísticas?
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais40
 Atividades
1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial:
y y y’ ;� � � � �2 0 0 1
2. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial:
� � �3 4 0
dy
dt
y
3. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial:
dy
dt
ty� �4 0
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 Resolução
1. A equação diferencial dada é:
dy
dx
y� �2 0
 Veja que podemos escrever:
dy
dx
y= 2
 Ou seja,
dy
y
dx
2
=
 E integrar ambos os lados, obtendo:
� � �
dy
y
dx
2
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
41
1
2
� � �
dy
y
dx
1
2
ln y x C� � � �
ln y x C� � � �2 2
y e x C� �2 2
y x C e x� � � 1 2
 que é a solução geral procurada.
 Como a condição de contorno é de que y 0 1� � � , temos C1 1= . Logo,
y x e x� � � 2
2. Para a equação diferencial dada:
� � �3 4 0
dy
dt
y
 podemos escrever:
� � �3 4
dy
dt
y
dy
dt
y=
4
3
dy
y
dt=
4
3
 Integrando ambos os lados:
� � �
dy
y
dt
4
3
ln y t C� � � �4
3
y t e
t C
� � �
�
4
3
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais42
3. A equação diferencial dada é:
dy
dt
ty� �4 0
dy
dt
ty� �4
dy
y
tdt� �4
 Integrando ambos os lados:
� � � �
dy
y
tdt4
ln y t C� � � � �4
2
2
ln y t C� � � � �2 2
y t e t C� � � � �2
2
y t C e t� � � �1 2
2
Equações Diferenciais 43
3
Equações lineares de 
segunda ordem
Quando formulamos um modelo matemático para simular um fenômeno físico, 
muitas vezes a equação diferencial estipulada envolve derivadas de ordem maior 
que 1. Quando a equação diferencial descreve a relação da taxa de variação segunda 
com outras variáveis, dizemos que ela é uma equação diferencial de segunda ordem e 
alguns métodos facilitam sua resolução. O objetivo deste capítulo é classificar e 
resolver algumas dessas equações diferenciais. Na primeira parte, buscamos des-
crever os fundamentos e conceitos dessas equações, apresentando alguns auto-
res que facilitam a descrição do assunto. Na segunda, buscamos descrever como 
resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, os 
quais são um tipo simplificado entre as possíveis equações de segunda ordem. 
Por fim, apresentamos, na terceira parte, um método para resolver a equação de 
Euler-Cauchy homogênea.
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais44
3.1 Fundamentos e conceitos das equações 
diferenciais de segunda ordem
As equações diferenciais de segunda ordem são muito utilizadas em 
problemas de Física e Matemática. Geralmente os problemas têm como va-
riável independente o tempo. Sendo f uma função dada e t a variável que 
denota o tempo, temos uma equação diferencial de segunda ordem na forma:
d y
dt
f t y
dy
dt
2
2 = ( , , ) (1)
e ela será linear se
f t y
dy
dt
g t p t
dy
dt
q t y( , , ) ( ) ( ) ( )� � � (2)
A equação 1 também pode ser escrita de duas outras formas:
y p t y q t y g t’’ ( ) ’ ( ) ( )� � � (3)
P t y Q t y R t y G t( ) ’’ ( ) ’ ( ) ( )� � � (4)
de maneira que, se P(t) 0, podemos obter a equação 3 se dividirmos a equação 4 por P t( )
. Então, se a equação 1 não puder ser escrita como a equação 3 ou a 4, então ela será uma 
equação não linear, por exemplo:
d x
dt
x
x
2
2 21
0�
�
�
Se ocorrer g t( ) = 0 ou G t( ) = 0, então a equação é homogênea, ou seja, dado 
f x y f x y� �, ,� � � � �, como foi apresentado nos capítulos anteriores.
Caso contrário, teremos uma equação não homogênea. Geralmente, podemos resolver 
uma equação não homogênea quando temos a correspondente equação homogênea resolvi-
da (BOYCE; DIPRIMA, 2010), o que será visto ao longo deste capítulo.
Um problema de valor inicial (PVI) para a equação 1 deverá conter duas condições ini-
ciais, visto que a solução geral possuirá duas constantes arbitrárias a serem definidas. Por 
exemplo, pode ser dado:
y t y( )0 0= (5)
y t y’( ) ’0 0= (6)
onde y0 e y ’0 são valores conhecidos. Ou seja, além do ponto inicial ( , )t y0 0 que deve per-
tencer ao gráfico da solução, as condições iniciais fornecem o coeficiente angular y ’0 da reta 
tangente ao gráfico no ponto inicial (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Quando as funções da equação 4 forem constantes e o termo independente G t� � for 
nulo, temos:
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
45
ay by cy’’ ’� � � 0 (7)
onde a, b e c são constantes. Um exemplo de resolução para esse tipo de equação foi reali-
zado por Boyce e DiPrima (2010, p. 106). Outros exemplos de mesmo grau de dificuldade 
podem ser consultados em Farlow (2012). Vamos observar a equação 8, dada por:
y y’’� � 0 (8)
Podemos concluir que estamos procurando uma função cuja derivada de segunda or-
dem seja igual à própria função, basta colocar o y do outro lado da igualdade. Utilizando 
nossos conhecimentos de cálculo, podemos pensar que a função procurada pode ser y t et1( ) = 
ou y t e t2( ) �
� . Além disso, múltiplos constantes dessas funções também são solução para a 
equação 8, bem como a soma de suas soluções também pode ser uma solução. Ou seja, a 
combinação linear das funções y t et1( ) = e y t e
t
2( ) �
� representada por:
y c y t c y t� �1 1 2 2( ) ( ) (9)
y c e c et t� � �1 2 (10)
também é uma solução para a equação 8, para quaisquer valores de c1 e c2.
Como temos uma família de soluções possíveis, como na solução geral das equa-
ções diferenciais de primeira ordem, podemos determinar qual solução satisfaz as 
condições iniciais:
y( )0 2= (11)
y ’( )0 1� � (12)
Ou seja, procuramos uma função que contenha o ponto (0,2) cuja reta tangente possui coe-
ficiente angular –1. Para encontrar a solução para essas condições, substituímos a condição 
da equação 11 na equação 10:
2 1
0
2
0
1 2� � � �c ec e c c (13)
Em seguida, derivamos a equação 10, obtendo:
y c e c et t’ � � �1 2
e substituímos nesse resultado a condição da equação 13, tendo assim:
� � �1 1 2c c (14)
Podemos agora resolver um sistema de equações composto pelas equações 
13 e 14:
2
1
1 2
1 2
� �
� � �
�
�
�
c c
c c
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais46
Obtemos o resultado c1
1
2
= e c2 3 2= / . Esse resultado agora é inserido na equação 10, 
para termos então a solução para o PVI:
y e et t� � �
1
2
3
2
(15)
Voltando agora para o caso geral, dado pela equação 7, e supondo uma solução expo-
nencial para esse caso como y ert= , y r e y r ert rt’ . , ’’= = 2 , onde r pode assumir qualquer valor. 
Assim, a equação 7 terá a seguinte forma:
a by cy ar e bre cert rt rt’’ ’� � � � �0 2
ar br c ert2 0� �� � � (16)
e quando ert 0, temos:
ar br c2 0� � � (17)
que é conhecida como equação característica da equação 7, onde r são as raízes dessa equação 
(ZILL, 2001).
Supondo que as raízes da equação 16 sejam reais e distintas, podemos dizer que:
y t er t1 1� � �
y t er t2 2� � �
são soluções da equação 7 e, portanto, a combinação linear dessas soluções também será. 
Assim, temos uma infinidade de soluções dada por:
y c e c er t r t� �1 21 2 (18)
Impondo as condições iniciais:
y t y( )0 0= (19)
y t y’( ) ’0 0= (20)
Tais condições, quando inserimos na equação 17, obtemos:
y c e c er t r t0 1 21 0 2 0� � (21)
Derivando a equação 17 e substituindo a condição da equação 19, obtemos:
y c r e c r er t r t’0 1 1 2 21 0 2 0� � (22)
Agora, resolvendo o sistema de equações composto pela equação 20 e pela equação 21, 
temos como solução:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
47
c
y y r
r r
e r t1
0 0 2
1 2
1 0�
�
�
�’
(23)
c
y r y
r y r
e r t2
0 1 0
1 0 2
2 0�
�
�
�
’
Dessa forma, temos que a equação 17 é solução geral para o PVI dado pela equação 7, 
com restrições dadas pelas equações 18 e 19 (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Notemos, portanto, 
que a solução geral de uma equação diferencial do segundo grau terá dois coeficientes a 
determinar. Nas próximas seções iremos definir alguns métodos para resolução de algumas 
equações diferenciais do segundo grau.
3.2 Métodos de resolução para equações 
diferenciais de segunda ordem com 
coeficientes constantes
A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem é aquela 
apresentada na primeira seção:
d y
dt
f t y
dy
dt
2
2 �
�
�
�
�
�
�, ,
Ou seja, define-se a taxa de variação segunda da função y em função de diversos fato-
res. Entretanto, algumas dessas equações se apresentam em formatos mais simplificados, 
assumindo a forma apresentada na equação 24:
d y
dt
a
dy
dt
a y
2
2 1 0 0� � � (24)
Nesse caso, dizemos que a1 e a0 são coeficientes constantes pertencentes ao conjunto 
dos números reais e a equação 24 é considerada como uma equação diferencial de segunda 
ordem com coeficientes constantes.
Como visto na primeira seção, considera-se que y t ert� � � é uma das solu-
ções dessa equação, com r a determinar. Nesse caso, �� � �y t rert e ��� � �y t r ert2 . 
Substituindo essa solução na equação 24, obtemos:
r e a re a ert rt rt2 1 0 0� � �
e r a r art 2 1 0 0� �� � �
r a r a2 1 0 0� � � (25)
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais48
Como visto, a equação 25 é considerada como a equação característica que possui di-
ferentes soluções para r em função dos diversos valores de a1 e a0 conhecidos. Vejamos os 
três casos.
 2 Caso 1: se as soluções da equação característica são reais e distintas. Suponha a 
seguinte equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 2 8 0� � �
Sua equação característica é dada por:
r r2 2 8 0� � �
Resolvendo essa equação, obtemos duas soluções para r1 2= e r2 4� � , visto que:
r r r r2 2 8 2 4� � � �� � �� �
No caso 1 a solução geral é dada por:
y t k e k er t r t� � � �1 21 2
Ou seja, a solução geral para o exemplo dado é:
y t k e k et t� � � � �1 2 2 4
 2 Caso 2: se as soluções da equação característica são reais mas possuem mul-
tiplicidade 2, como é o caso da seguinte equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 4 4 0� � � (26)
Nesse caso, sabemos que y t k er t1 1 1� � � é solução para algum r1. Entretanto, existe uma 
segunda solução para essa equação. Como a nova solução deve apresentar uma família de 
soluções, ela não pode ser do mesmo formato que y t1 � �. Uma das suposições é que seu for-
mato seja dado por:
y t c t y t2 1� � � � � � �
y t c t k er t2 1 1� � � � �
Nesse caso, reparemos que para ser solução da equação diferencial, ��� � �c t 0. Ou seja,
y t k ter t2 2 1� � �
A solução geral para o caso 2 se torna:
y t k e k tert rt� � � �1 2 (27)
no qual r r r= =1 2, visto que as raízes da equação característica são iguais. No exemplo dado 
pela equação 26, sua equação característica é:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
49
r r2 4 4 0� � �
r �� � �2 02
Ou seja, r = – 2 é uma raiz com multiplicidade 2 da equação dada. A solução geral é dada 
pela equação 27, que nesse caso se torna:
y t k e k tet t� � � �� �1 2 2 2
y t k tk e t� � � �� � �1 2 2
 2 Caso 3: se as raízes da equação característica não são reais, ou seja, possuem duas 
raízes complexas. Podemos escrever essas raízes no formato r a bi1 � � e r a bi2 � �
, onde i é a unidade imaginária, visto que as raízes são conjugadas. Portanto, a 
solução apresentada na parte anterior poderia ser reescrita como:
y t k e k ea bi a bi� � � �� �1 2
Essa solução pode ser escrita na forma simplificada ao ser conhecida a relação de Euler 
e combinações lineares específicas. Essa demonstração pode ser encontrada em Boyce e 
DiPrima (2010). Nesse caso, a solução y(t) é dada por:
y t k e bt k e sen btat at� � � � � � � �1 2cos (28)
Suponhamos a seguinte equação diferencial:
d y
dt
y
2
2 0� �
Nesse caso, sua equação característica é dada por:
r 2 1 0� �
r 2 1� �
E as duas soluções complexas são r i1 � � e r i2 = . Substituídas na solução geral dada pela 
equação 28, obtemos:
y t k t k sent� � � �1 2cos
Seguem alguns exemplos. Seja a equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 2 0� � �
Encontramos inicialmente a equação característica. Nesse caso, seu formato será:
r r2 2 0� � �
r r�� � �� � �2 1 0
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais50
Indicando que essa equação diferencial possui duas raízes reais distintas, r1 2= e r2 1� � . 
Repare que ela se enquadra no primeiro caso. Sendo assim, sua solução geral é dada por:
y t k e k et t� � � � �1 2 2
O processo de resolução dessas equações diferenciais pode, portanto, ser separado em 
três passos:
Passo 1: determinar a equação característica da equação diferencial dada.
Passo 2: encontrar as soluções da equação característica e classificar, em relação às suas 
raízes, em qual dos três casos ela se apresenta.
Passo 3: utilizar o modelo de solução fornecido para cada caso.
Se são dadas condições de contorno para as soluções iniciais, então continuamos com 
um 4º passo, procurando suas constantes.
Por exemplo, seja a equação diferencial dada por:
4 12 9 0
2
2
d y
dt
dy
dt
y� � �
com condições de contorno y 0 2� � � � e �� � � �y 0 1. Utilizaremos o passo a passo para de-
terminar a solução geral dessa equação. O primeiro passo pede que determinemos a sua 
equação característica. Nesse caso,
4 12 9 02r r� � �
Na sequência, o segundo passo pede que encontremos as soluções dessa equação para 
classificarmos de acordo com um dos três casos. Nesse caso, verificamos que a equação pos-
sui uma raiz única real com multiplicidade 2, r � �
3
2
. Isso enquadra nossa solução no caso 2. 
Assim sendo, utilizamos o passo 3 para definir a solução:
y t k e k te
t t
� � � �
� �
1
3
2
2
3
2 (29)
Como estamos tratando de um problema de valor inicial, podemos determinar o valor de 
k1 e k2 a partir dos valores dados. Sabemos que y 0 2� � � � . Nesse caso, substituindo essa infor-
mação na solução geral dada pela equação 29:
y k e k e0 0 22
02
0� � � � � �. .
k2 2� �
Reescrevendo a equação 29:
y t k e te
t t
� � � �
� �
1
3
2
3
22
Para determinar a constante k1, utilizamos a informação de que y ’ 0 1� � � � . Derivando 
a equação 29 pela derivada da função exponencial e pela regra de derivada do produto e 
substituindo a informação dada:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
51
y t k e e t e
t t t
’ .� � � ��
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
� � �
1
3
2
3
2
3
23
2
2 2 3
2
y
k
e e’ 0
3
2
2 0 11 0 0� � � � � � � �
� �
3
2
11
k
k1
2
3
� �
Ou seja, a solução particular para o exemplo dado é:
y t e te
t t
� � � � �
� �
�
�
�
�
�
�2
3
2
3
2
3
2
3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea
Vimos que uma forma simplificada da equação diferencial de segunda 
ordem é aquela apresentada na equação 24, na qual os coeficientes a0 e a1 são 
constantes.
d y
dt
a
dy
dt
a y
2
2 1 0 0� � � (24)
Uma equação um pouco mais complexa pode ser apresentada no formato da equação 30:
f t
d y
dt
f t
dy
dt
f t y1
2
2 2 3 0� � � � � � � � � (30)
Nesse caso, f1(t), f2(t) e f3(t) apresentam funções no lugar dos coeficientes constantes. Se 
f t at1
2� � � , f t bt2 � � � e f t c3 � � � , temos um caso particular dessa equação diferencial, que é 
conhecida como equação de Euler-Cauchy de segunda ordem. Esse caso particular é dado 
pela equação 31:
at
d y
dt
bt
dy
dt
cy2
2
2 0� � � (31)
Para encontrar a solução geral de uma equação diferencial como a equação 31, defini-
mos uma possível função y = f (t) que seja solução dessa equação. No caso da equação com 
coeficientes constantes, definimos y = e t como uma possível solução. A escolha dessa função 
acontece, muitas vezes, por tentativa e erro, o que evidencia por que o processo de resolução 
de equação diferencial é tão custoso e separa cada uma das equações por tipo.
Uma possível solução para a equação 31 é dada por:
y f t tm� � � �
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais52
com m a determinar. Se for solução, deve-se substituir essa função na equação 31 e verificar 
a veracidade. Como:
y tm=
dy
dt
m tm� �. 1
d y
dt
m m tm
2
2
21� �� � �. ,
substituindo na equação 31, obtemos:
at m m t b t m t c tm m m2 2 11 0. . . . . .�� � � � �� �
am m t b m t c tm m m�� � � � �1 0. . . .
am m b m c�� � � � �1 0.
que é classificada como equação auxiliar. Repare que y f t tm� � � � é solução para qualquer 
m que satisfaça a equação auxiliar. Assim, iremos classificar as soluções em relação a cada 
tipo de raízes encontradas, como foi feito na seção 3.2. Após a classificação, veremos um 
exemplo de cada caso.
 2 Caso 1: Se as raízes da equação auxiliar forem reais e distintas, então tanto m1 e m2 
geram uma solução para o problema. Portanto, temos duas famílias de soluções:
f t tm1 1� � �
f t tm2 2� � �
A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções. Ou seja,
f t k t k tm m� � � �1 21 2
 2 Caso 2: Se as raízes da equação auxiliar forem reais mas possuírem multipli-
cidade 2, então m gera uma família de soluções para o problema. Uma das 
soluções é dada por:
f t tm1 1� � �
A outra solução não pode ser uma combinação linear de f1, pois já estará contida na 
solução geral. Nesse caso, podemos supor que a outra família de soluções será dada por:
f t g t f t2 1� � � � � � �.
Se f t2 � � é solução, então satisfaz a equação 31. Derivando f t2 � �:
f t g t f t g t f t2 1 2
’ ’ . . ’� � � � � � � � � � � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
53
Derivando f t2
’ � �:
f t g t f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 1 1
’’ ’’ . ’ . ’ ’ . ’ . ’’� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 12
’’ ’’ . ’ . ’ ’’� � � � � � � � � � � � � � � � �
Substituindo na equação 31:
at g t f t g t f t g t f t b t g t f t2 1 1 1 12’’ . ’ .
’ ’’ . . ’ .� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � � �g t f t c g t f t. ’ . .1 1 0
Agrupando os termos, colocando g t g t e g t� � � � � �, ’ ’’ em evidência:
g t at f t g t at f t btf t g t at f t’’ ’ . ’ . ’’� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �2 1 2 1 1 2 12 �� � � � � � �� � �btf t cf t1 1 0’
Repare que at f t btf t cf t2 1 1 1
’’ ’� � � � � � � � é a equação 31, de Euler-Cauchy. Como ela vale 
0, podemos continuar a substituição:
g t at f t g t at f t btf t’’ ’ . ’� � � �� � � � � � � � � �� � �2 1 2 1 12 0
Substituindo f t tm1 � � � , obtemos:
g t at t g t at m t bttm m m’’ ’ . .� �� � � � � �� � �2 22 0
at g t amt bt g tm m m� � �� � � �� � � � �2 2 12 0’’ ’
Dividindo por t m:
at g t amt bt g t2 2 0’’ ’� � � �� � � � �
Repare que 2 1am b� � e, portanto:
at g t t g t2 0�� �� � � � � �.
atg t g t�� �� � � � � � 0
Considerando z g t� � �’ :
atz t z�� � � � 0
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Como a solução vista no Capítulo 1:
z
t
g t� � � �1 ’
Portanto,
�� � �g t
t
1
g t t� � � ln
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais54
O que nos mostra que a segunda família de soluções procurada é do tipo:
f t t tm2 � � � ln
E a solução geral para o segundo caso é:
f t k t k t tm m� � � �1 2 ln
 2 Caso 3: Se as duas raízes da equação auxiliar forem complexas. Nesse caso, as raí-
zes complexas podem ser escritas como:
m a bi1 � �
m a bi2 � �
A demonstração da solução geral pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010) e foge 
do escopo deste livro. Nesse caso, sua solução é dada por:
f t t k b t k sen blnta� � � � � � � �� �1 2cos ln
Exemplo 1: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
t
d y
dt
t
dy
dt
y2
2
2 3 3 0� � �
Reparemos que essa equação é do tipo Euler-Cauchy homogênea. Os três passos da-
dos para resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes 
podem ser utilizados aqui, observando o fato de que a análise das raízes é feita em relação 
à equação auxiliar, e não à equação característica.
O primeiro passo é determinar a equação auxiliar da equação dada. Nesse caso,
am m bm c�� � � � �1 0
é a equação auxiliar ao substituir a b e c= = =1 3 3, . Obtemos:
m m m�� � � � �1 3 3 0
O segundo passo é definir as raízes da equação auxiliar para classificar em qual dos três 
casos essa equação se enquadra. Veja que:
m m m�� � � � �1 3 3 0
m m m2 3 3 0� � � �
m m2 2 3 0� � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
55
Utilizando algum método para encontrar raízes, verificamos que essa equação possui 
duas raízes complexas:
m i1 1 2� � � .
m i2 1 2� � � .
Assim, ela se enquadra no terceiro caso. O terceiro passo é encontrar a solução geral. 
A solução geral desse modelo é dada por:
f t t k b t k sen b ta� � � � � � � �� �1 2cos ln ln
Ou seja,
f t t k t k sen t� � � �� ��1 1 22 2cos( .ln ) ( ln )
Perceba que, com todo o desenvolvimento para encontrar as soluções, o método de re-
solução se resume apenas em analisar raízes de uma equação do segundo grau e substituir 
na solução adequada.
Exemplo 2: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
t
d y
dt
t
dy
dt
y2
2
2 3 3 0� � �
O primeiro passo é encontrar a equação auxiliar. Veja que a =1, b � �3 e c = 3. Portanto, 
a equação auxiliar é:
am m bm c�� � � � �1 0
m m m�� � � � �1 3 3 0
m m m2 3 3 0� � � �
m m2 4 3 0� � �
m m�� � �� � �3 1 0
O segundo passo é determinar as raízes e classificar a equação. As raízes são m1 3= e 
m2 1= . Assim, trata-se de uma equação do primeiro caso, cuja solução é:
y t k t k tm m� � � �1 21 2
O terceiro passo é definir a solução com base no caso. Assim, sua solução geral é:
y t k t k t� � � �1 3 2
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais56
 Ampliando seus conhecimentos
Para determinar as raízes de uma equação característica, a maneira mais 
conveniente é pela fórmula de Euler e algumas regras algébricas, dadas na 
seção 3.3, de Boyce e DiPrima. Transcrevemos o trecho a seguir.
Equações diferenciais elementares e 
problemas de valores de contorno
(BOYCE; DIPRIMA, 2010, p. 121-125)
Para atribuir significado às expressões y t i t1( ) exp��� ��� ��� � e 
y t i t2( ) exp� �� ��� ��� � , precisamos definir a função exponencial complexa. 
É claro que queremos que a definição se reduza à função exponencial real 
habitual quando o expoente for real. Existem várias maneiras de descobrir 
como essa extensão da função exponencial deveria ser definida. Vamos 
usar aqui um método baseado em séries infinitas [...]. Lembre-se do 
Cálculo que a série de Taylor para et em torno de t = 0 é
e
t
n
tt
n
n
� �� � � �
�
�
� ! ;0 (1)
Se supusermos que podemos substituir t por it na equação (1), teremos
e
it
n
t
n
i
t
n
it
n
n
n n
n
n n
n
� �
�
�
�
��
�
�
� � �
�
� �( )!
( )
( )!
( )
( )!0
2
0
1 2 11
2
1
2 111
�
� (2)
onde separamos a soma em suas partes real e imaginária, usando o fato de que 
i i i i i2 3 41� � � � �; ; , e assim por diante. A primeira série na equação (2) é 
precisamente a série de Taylor para cos t em torno de t = 0 e a segunda é a série de 
Taylor para sen t em torno de t = 0. Temos, então,
e t i tit � �cos sen (3)
A equação (3) é conhecida como a fórmula de Euler, e é uma relação mate-
mática extremamente importante. Embora nossa dedução da Equação (3) 
esteja baseada na hipótese não verificada de que a série (1) pode ser usada 
para números complexos da mesma forma que para números reais da 
variável independente, nossa intenção é usar essa dedução apenas para 
tornar a equação (3) mais plausível. Vamos colocar as coisas em uma fun-
dação sólida agora, adotando a Equação (3) como definição de eit. Em 
outras palavras, sempre que escrevermos eit, queremos dizer a expressão 
à direita de Euler que vale a pena notar. Substituindo t por –t na equação 
(3) e lembrando que cos( ) cos� �t t e sen( ) sen� � �t t, temos 
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
57
e t i tit� � �cos sen (4)
Além disso, se t for substituído por µt na equação (3), então obtemos uma 
versão generalizada da fórmula de Euler, a saber,
e t i ti t� � �� �cos sen (5)
A seguir, queremos estender a definição de exponencial complexa para 
expoentes complexos arbitrários da forma ( )� �� i t . Como queremos que 
as propriedades usuais da função exponencial continuem válidas para 
expoentes complexos, queremos, certamente, que exp ( )� ��� �i t satisfaça
e e ei t t i t( )� � � �� � (6)
Usando, então, a equação (5), obtemos
e e t i t e t ie ti t t t t( ) (cos sen ) cos sen� � � � �� � � �� � � � � (7)
Tomamos agora a equação (7) como a definição de exp ( )� ��� �i t . O valor 
da função exponencial com coeficiente complexo é um número complexo 
cujas partes real e imaginária são dadas pelas expressões à direita do 
sinal de igualdade na equação (7). Note que as partes real e imaginária de 
exp ( )� ��� �i t estão expressas inteiramente em termos de funções elemen-
tares reais.
 Atividades
1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial:
y y y y y’’ ’ ; ( ) ; ’( )� � � � �2 0 0 1 0 1
2. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução 
geral para:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
3. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução parti-
cular para:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
y 0 1� � �
y ’ 0 2� � �
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais58
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
FARLOW, S. J. An introdution to differential equations and their applications. Mineola, NY: Dover 
Books on Mathematics, 2012.
 Resolução
1. Seja a equação diferencial:
d y
dx
dy
dx
y
2
2 0� � �
 sua equação característica é dada por:
r r2 2 0� � �
 cujas raízes são x1 1= e x2 2� � . Portanto, a solução geral é dada por:
y t C e C et t� � � � �1 2 2
 As condições iniciais do problema são y 0 1� � � e �� � �y 0 1. Nesse caso,
y C e C e
y C e C e
0 1
0 2 1
1
0
2
2 0
1
0
2
2 0
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�� �
�
�
.
.
 ou seja,
C C
C C
1 2
1 2
1
2 1
� �
� �
�
�
�
 Portanto, C C1 21 1� � �, e a solução particular é dada por:
y t e ep
t t� � � � �2
2. A equação diferencial desse problema é:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
59
 Sua equação característica é:
r r2 3 4 0� � �
 que possui duas raízes complexas:
3
2
7
2
± i
 Portanto, sua solução geral é dada por:
y t k e
t
k e
tt t� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�1
3
2
2
3
27
2
7
2
sin cos
3. Nesse caso,
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
 É a mesma equação do problema 2. As condições de contorno são:
y 0 1� � �
�� � �y 0 2
 Resolvendo o sistema de equações associado, obtemos os valores para C1 e C2:
y t e
t
e
tt t� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
7
7
7
2
7
2
3
2
3
2sin cos
Equações Diferenciais 61
4
Equações 
não homogêneas 
No capítulo anterior, vimos que existem equações diferenciais de segunda ordem 
homogêneas e não homogêneas e métodos que visam encontrar uma solução geral 
para uma equação homogênea. Neste capítulo, o enfoque está nas equações não homo-
gêneas. A primeira parte busca tratar do método dos coeficientes indeterminados para 
resolver equações não homogêneas. A segunda apresenta o método de variação de 
parâmetros, que permitirá resolver mais alguns casos de equações não homogêneas. 
Já a terceira parte apresenta uma discussão de como a simulação de oscilações pode 
ser realizada a partir de equações diferenciais, tendo por base conhecimentos sobre as 
leis da Física.
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais62
4.1 Método dos coeficientes indeterminados
Para encontrarmos uma solução particular Y de uma equação linear não 
homogênea de ordem n com coeficientes constantes, podemos utilizar o mé-
todo dos coeficientes indeterminados (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Dada a equação não linear:
L y a y a y a y a y g tn n n n[ ] ... ’ ( )
( ) ( )� � � � � �� �0 1
1
1
se g(t) tiver uma forma apropriada, que pode ser uma soma de polinômios exponenciais, 
senos e cossenos etc., podemos encontrar Y(t) convenientemente utilizando constantes inde-
terminadas (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
O método consiste em supor uma forma inicial para Y(t), porém sem coeficientes deter-
minados. Substituindo essa hipótese, devemos tentar determinar os coeficientes, da mesma 
forma que estudamos para as equações de segundo grau. No caso das equações de grau 
superior, pode ocorrer de as raízes terem maior grau de multiplicidade. Para essas situações, 
é necessário multiplicar as parcelas por potências mais altas de t, como veremos em breve. 
Vamos aplicar esse método no exemplo extraído de Boyce e DiPrima (p. 183, 2010), si-
milar aos encontrados em Zill (2011), a seguir.
Vamos encontrar a solução particular Y da equação:
y y y y et’’’ ’’ ’� � � �3 3 4
cujo polinômio característico associado é dado por:
r r r r3 2 33 3 1 1� � � � �( )
Assim, a solução geral da equação homogênea, visto que r =1 possui multiplicidade 
tripla, é dada por:
y t c e c te c t ec
t t t( ) � � �1 2 3
2
Iniciamos supondo que Y (t) é um múltiplo de et . Assim, teríamos:
Y t Aet( ) =
porém, e te t et t t; ; 2 são soluções, então faremos uma multiplicação por t³, visando obter uma 
nova solução linearmente independente. Agora precisamos encontrar o valor de A para 
a hipótese:
Y t At et( ) = 3
Para isso, calculamos sua primeira, segunda e terceira derivadas:
Y t At e At et t’� � � �3 2 3
Y t Ate At e At e At et t t t’’� � � � � �6 3 32 2 3
Y t Ate At e At et t t’’� � � � �6 6 2 3
Vídeo
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
63
Y t Ae Ate Ate At e At e At et t t t t t’’’� � � � � � � �6 6 612 32 2 3
Y t Ae Ate At e At et t t t’’’� � � � � �6 18 9 2 3
e substituímos esses resultados na equação geral: 
Y t Y t Y t Y et’’’ ’’ ’� � � � � � � � � �3 3 4
resultando em:6 18 9 3 6 6 3 32 3 2 3 2 3Ae Ate At e At e Ate At e At e At e Att t t t t t t t� � � � � �� � � � ee At e et t t� � � �3 4
que se simplifica como:
6 4Ae et t=
Portanto, obtemos que A = 2 3/ . Finalmente, escrevemos uma solução particular como:
Y t t et( ) = 2
3
3
e sua solução geral é dada por:
y t c e c te c t e t et t t t( ) � � � �1 2 3
2 32
3
Vejamos que o método para resolver equações diferenciais de segunda ordem não ho-
mogêneas também pode ser separado em algumas partes. Inicialmente, encontra-se a so-
lução geral da equação diferencial homogênea correspondente. Chamaremos essa solução 
de yh. Na sequência, determinamos uma solução particular da equação não homogênea. 
Chamaremos essa solução de y p. Por fim, a solução geral da equação não homogênea será 
chamada de y e dada por y y yh p� � .
Exemplo 1: seja a equação diferencial dada por:
d y
dt
dy
dt
y e t
2
2
22 3� � � (1)
Vamos encontrar sua solução geral. O primeiro passo é determinar a solução geral da 
equação diferencial equivalente homogênea. Nesse caso, é dado pela equação 2:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 2 0� � � (2)
Sabemos que a equação 2 é um dos tipos de equação discutidos no Capítulo 3. Nesse 
caso, é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Sendo as-
sim, existe uma equação característica equivalente à equação 2 que permite encontrar o for-
mato de sua solução geral em relação às suas raízes. A equação característica equivalente é:
r r2 2 0� � �
( )( )r r� � �2 1 0
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais64
cujas raízes são r1 1= e r2 2� � . Portanto, como são duas raízes reais e distintas, podemos 
classificar a solução geral da equação homogênea equivalente. Nesse caso,
y C e C eh
t t� ��1
2
2
Sendo uma equação não homogênea, o próximo passo é determinar uma solução parti-
cular da forma não homogênea. Por exemplo, supondo que 
y Aep
t= 2
com base no formato do lado direito da equação 1. Sendo solução, podemos substituí-la na 
equação 1 para encontrar a solução geral. Nesse caso,
d y
dt
Ae
p t� � � 2 2
d y
dt
Ae
p t
2
2
24
� �
�
e substituindo na equação 1, obtemos:
4 2 2 32 2 2 2Ae Ae Ae et t t t� � �
4 32 2Ae et t=
A = 4/3
Portanto,
y ep
t=
4
3
2
A solução geral é a soma de y p com yh. Portanto,
y t C e C e et t t� � � � ��1 2 2 2
4
3
Exemplo 2: Sendo a equação diferencial:
d y
dt
y t
2
2
24 8� � (3)
Vamos encontrar sua solução geral. Repare que o formato da equação é de uma equação 
não homogênea. Para isso, devemos encontrar a solução da equação homogênea equivalente 
e uma solução particular. A equação homogênea equivalente é dada por:
d y
dt
dy
dx
2
2 4 0� �
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
65
cuja equação característica é:
r r2 4 0� �
(r + 4 ) · r = 0
que possui como raízes:
r1 4� �
r2 = 0
Portanto, duas raízes reais e distintas, o que configura a solução geral da equação ho-
mogênea, yh, como visto na anterior, dada por:
y C e Ch
t� ��1
4
2
Na sequência, devemos determinar o formato da solução particular y p. Para o método 
estudado neste capítulo, devemos determinar uma função particular com a forma não ho-
mogênea da função. Nesse exemplo, temos um polinômio do segundo grau, 8t2, como termo 
não homogêneo. Assim, a possível solução y p é dada por:
y At Bt Cp � � �
2
com constantes a determinar. Para determinar se y p é solução, substituímos na equação 
dada, ou seja, na equação 3. Veja que:
dy
dt
At Bp � �2
d Y
dt
Ap
2
2 2=
Substituindo na equação 3:
2 4 82 2A At Bt C t� � �� � �
4 8
4 0
2 4 0
2
0
1
A
B
A C
A
B
C
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Com essa resolução, substituímos em y p, determinando que
y tp � �2 1
2
E assim,
y C e C tt� � � ��1
4
2
22 1
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais66
4.2 Método da variação dos parâmetros
Para encontrar uma solução particular de uma equação linear não ho-
mogênea de ordem n, podemos utilizar o método de variação dos parâme-
tros. Dada a equação: 
L y y p t y p t y p t y g tn n n n[ ] ( ) ... ( ) ’ ( ) ( )
( ) ( )� � � � � �� �1
1
1 (4)
da mesma forma que fizemos para as equações de segunda ordem, iniciamos a resolução do 
problema da equação homogênea associada. Nesse método, não é necessário que g(t) tenha 
uma forma apropriada, pois é valido para qualquer função contínua g.
Após encontrarmos as soluções y y yn1 2, ,..., da equação homogênea associada, pode-
mos escrever a solução particular:
y t c y t c y t c y tc n n( ) ( ) ( ) ... ( )� � � �1 1 2 2
Em seguida, é necessário determinar n funções u u un1 2, ,..., , de forma que:
Y t u t y t u t y t u t y tn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )� � � �1 1 2 2 (5)
que podem ser encontradas por meio de resultados de n condições. Uma das condições 
é a de que Y satisfaça a equação 4. As demais podem ser as derivadas da equação 5. 
Assim, obtemos:
y u y u y u
y u y u y u
y u
n
n
n
n n
1 2
1
1
1 2
1 1 2 2
0
0
’ ’ ’
’ ’ ’ ’ ’ ’
...
...
( )
� � � �
� � � �
�

11 22
1 1’ ’ ’...( ) ( )� � � �� �y u y u gn n
n
n
(6)
Ao resolver o sistema, obtemos os coeficientes u u un1 2, ,..., . Por meio da Regra de 
Cramer, o sistema também pode ser resolvido com:
u t
g t W t
W tm
m’ ( )
( ) ( )
( )
=
com m n=1 2, ,..., , W t W y y y tn( ) ( , ,..., )( )= 1 2 , e W tm( ) é o determinante de W quando a m-é-
sima coluna é substituída pela coluna ( , ,..., , )0 0 0 1 . Assim, uma solução particular para a 
equação 4 é dada por:
Y t y t
g s W s
W s
dsm
m
n
m
t
t
( ) ( )
( ) ( )
( )
�
�
� �
1
0
com t0 arbitrário.
 A fórmula de Abel:
W t W y y y t c p t dtn( ) ( , ,..., )( ) exp ( )� � ���
�
��1 2 1
também pode ser usada para obter uma solução de modo que a constante c possa ser obtida 
pelo cálculo de W em algum ponto conveniente.
Vídeo
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
67
Por mais que o método pareça avançado, sua aplicação em exemplos selecionados mos-
tra que a solução geral pode ser encontrada a partir de um conjunto de passo a passo, como 
nos outros métodos.
Exemplo1: seja a equação diferencial não homogênea dada por:
d y
dt
dy
dt
y
e
t
t2
2
4
28 16� � � (7)
Vamos encontrar sua solução geral por meio do método da variação dos parâmetros. 
Como no método dos coeficientes indeterminados, busca-se, inicialmente, a solução da 
equação diferencial homogênea equivalente. Nesse caso, essa equação é dada por:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 8 16 0� � �
Veja que é uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes e pode ser 
aplicada pelo método discutido no capítulo anterior. Para isso, a equação característica equi-
valente é:
r r2 8 16 0� � �
(r – 4)2 = 0
que possui uma raiz real única com multiplicidade dupla, r = 4. Nesse caso, a solução geral 
é dada por:
y t C e C teh
t t� � � �1 4 2 4
No caso do método por variação dos parâmetros,
y t v t y t v t y tp � � � � � � � � � � � �1 1 2 2.
é a forma de y tp � �, como indicado na equação 5. O próximo passo é escrever o sistema de 
equações associado ao método, como aquele apresentado na equação 6. Nesse caso, 
v y v y
v y v y
e
t
t
1 1 2 2
1 1 2 2
4
2
0’ ’
’ ’ ’ ’
� �
� �
�
�
�
�
�
(8)
Veja que nesse sistema de equações temos:
y e t1
4=
y2 = te4t
cujas derivadas são:
y e t1
44’ =
y’ 2 = e4t+4te4t = e4t (1 + 4t)
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais68
Substituindo no sistema de equações 8:
v e v te
v e v e t
e
t
t t
t t
t
1
4
2
4
1
4
2
4
4
2
0
4 1 4
’ ’
’ ’
� �
� �� � �
�
�
�
�
�
Dividindo ambas as equações por e t4 :
v v t
v t v
t
’ ’
’ ( ) ’
1 2
1 2 2
0
4 1 4 1
� �
� � �
�
�
�
��
Nem sempre podemos utilizar a regra de Cramer para resolver o sistema. Existem di-
versas formas diferentes de resolvê-lo. Por exemplo, podemos re-escrever v v t1 2 0
’ ’� � como 
v tv1 2
’ ’� � . Substituindo em 4 1 4 11 2
2v t v t’ ’ /� �� � � , obtemos:
4 1 4 12 2 2�� � � �� � �tv t v t’ ’
v
t
’2 2
1
=
Como v tv1 2
’ ’� �
v
t
’1
1
� �
Integrando v2 ’ e v1 ’ para encontrar v2 e v1, respectivamente,obtemos:
v
t
dt2 2
1
� �
v
t2
1
� �
v
t
dt1
1
� �
v t1 = ln
Assim, podemos reescrever a solução particular:
y t v y v yp � � � �1 1 2 2
y t e t te
tp
t t( ) ln� � ��
�
�
�
�
�
4 4 1
y t e t ep
t t( ) ln� �4 4
yp(t) = e4t (ln t – 1)
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
69
Por fim, a solução procurada y t� � é dada por:
y t y t y th p� � � � � � � �
y t C e C te e tt t t� � � � � �1 4 2 4 4 1(ln )
4.3 Aplicações em oscilações
As equações diferenciais possuem diversas aplicações em vários cam-
pos de estudo, como indicado nos capítulos anteriores. Uma das aplicações 
que será discutida nesta seção será a aplicação em modelos simples de oscila-
ções, conhecidos na área da Física. Portanto, suponha que uma mola possua 
constante de mola k , uma massa m e que essa massa esteja deslocada de sua 
posição de repouso na quantidade x.
Esse deslocamento, de acordo com as leis da Física, acontece devido à ação de alguma 
força que estende ou contrai a mola. Sabe-se, da Física de oscilação, que a força aplicada está 
relacionada ao deslocamento da massa em relação à posição de repouso pela Lei de Hooke, 
definida como:
F kxm � �
Essa força que age no sistema é a força exercida pela própria mola, a qual faz com que o 
corpo retorne para a posição de repouso. Imaginemos também que exista uma força externa 
F t� � que impede a mola de atingir sua posição de repouso. Conhecendo as forças que agem 
no sistema, a Segunda Lei de Newton pode ser usada para determinar como ocorre a varia-
ção da posição da massa ao longo do tempo. Nesse caso,
m
d x
dt
F
2
2 ��
e para as forças conhecidas:
m
d x
dt
F F tm
2
2 � � � �
m
d x
dt
kx F t
2
2 � � � ( )
m
d x
dt
kx F T
2
2 � � � ( ) (9)
Observamos que a equação 9, associada ao problema de oscilação, é uma equação diferen-
cial de segunda ordem. Se não houver força externa aplicada ao sistema, ou seja, se F t� � � 0, 
então é uma equação homogênea, e se m e k forem constantes, então é uma equação homogê-
nea de segunda ordem com coeficientes constantes, cujos métodos de resolução foram vistos 
no Capítulo 3. Por outro lado, a equação 9, quando possui força externa aplicada, passa a se 
tornar uma equação não homogênea, cujos métodos de resolução foram vistos neste capítulo.
Vídeo
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais70
Como os métodos de resolução das equações não homogêneas vistos exigem que co-
nhecemos a solução geral da equação homogênea associada, vale a pena discutir o caso em 
que a equação 9 é dada por:
m
d x
dt
kx
2
2 0� �
d x
dt
k
m
x
2
2 0� �
Sua equação característica e suas raízes são dadas por:
r
k
m
2 0� �
r
k
m
2 � �
r
k
m
� � �
r i
k
m
� � .
Como as raízes são complexas e distintas, enquadram-se no terceiro caso do Capítulo 3, 
em que a solução é dada por:
x t C e C eh
i k
m
i k
m� � � �
�
1 2
Lembre-se de que a solução pode ser reescrita com o uso da equação de Euler, 
e ii� � �� �cos sin , obtendo:
x t C
k
m
t C
k
m
th � � � �1 2cos sin
Em Física, discute-se que k m/ ��, que representa a frequência de oscilação. Ou seja,
x t C t C th � � � � � �1 2cos sin( )� �
Caso a força externa seja conhecida, a equação diferencial do problema não será homo-
gênea. A título de exemplo, suponhamos que F t wt� � � cos e, portanto, a equação diferencial 
associada seja:
d x
dt
w x wt
2
2 0� � cos (10)
tal que w
k
m0
= .
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
71
A solução geral será dada por:
x t x t x th p� � � � � � � �
Pelo método dos coeficientes indeterminados, suponhamos que:
x t A wt B sen wtp � � � � � � � �cos
seja a solução particular. Portanto, substituímos as derivadas na equação 10. Vejamos que 
para x tp � � dado:
dx t
dt
Aw wt Bw wtp
� �
� � � � � � �sin cos
d x t
dt
Aw wt Bw sen wtp
2
2
2 2( ) cos( ) ( )� � �
Substituindo na equação 10:
� �� � � �� � �Aw wt Bw senwt w A wt B senwt wt2 2 0cos . .cos cos
E comparando os coeficientes de coswt senwte :
� �
� �
�
�
�
��
�
�
Aw w
Bw w
A
B
2
0
2
0
1
0
Resolvendo o sistema de equações:
A w w
B w w
( )
( )
0
2 2
0
2 2
1
0
� �
� �
�
�
�
��
A
w w
B
�
�
�
�
�
�
��
1
0
0
2 2 )
Isso significa que:
x t
w w
wtp � � � �
1
0
2 2 cos
Por fim, obtemos a solução geral somando x tp � � com x th � �:
x t C wt C wt
w w
wtt ( ) cos sin cos� � � �1 2 0
2 2
1
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais72
 Ampliando seus conhecimentos
Nesta seção foram extraídos trechos de Couto (2016), exemplificando os 
principais testes de convergência que existem para as séries de potência.
Revisão de séries de potências
1. Critério da Integral. Considere uma série:
k
ka
�
�
�
0
com 
ak > 0
 para k maior ou igual a algum natural l. Se existe uma função f contínua, 
positiva, decrescente satisfazendo 
f a ak k� � �
para 
k l≥
então aquela série será convergente ou divergente conforme a integral

�
� � �f x dx
seja convergente ou divergente, respectivamente.
2. Critério da Comparação. Se 
0 ak bk
para k maior ou igual a algum natural l, então:
a)
k
kb
�
�
�
1
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
73
converge então
k
ka
�
�
�
0
converge
b)
k
kb
�
�
�
1
diverge então 
k
ka
�
�
�
0
diverge
3. Critério da razão: Considere uma série: 
k
ka
�
�
�
1
com 
ak ≠ 0
, tal que 
lim
k
k
k
a
a��
�1
exista ou seja infinito. Podemos afirmar que:
a) Se L < 1, a série dada converge absolutamente.
b) Se L > 1 ou L��, a série diverge.
c) Se L = 1, o critério nada revela.
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais74
 Atividades
1. Seja a equação diferencial dada por:
y t y t e t’’� � � � � �4 2
 Determine a solução geral pelo método dos coeficientes indeterminados.
2. Seja a equação diferencial dada por:
d y
dt
y sent
2
2 2� �
 Determine a solução geral pelo método dos coeficientes indeterminados.
3. Seja a equação diferencial dada por:
��� � � � � � � �y t y t t4 4 2cos
 Determine a solução geral pelo método dos coeficientes indeterminados.
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
COUTO, R. T. Resolução de equações diferenciais ordinárias por série de potência e transformada 
de Laplace. 2016. Disponível em <http://www.professores.uff.br/calsamiglia/EqDif_arquivos/edos.
pdf>. Acesso em: 12 jul. 2017.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 Resolução
1. Dada a equação diferencial: 
��� � � � � �y t y t e t4 2
 Primeiro encontraremos a solução geral da equação homogênea equivalente:
��� � � � � �y t y t4 0
 Sua equação característica é dada por:
r 2 4 0� �
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
75
 cujas raízes são:
r1 2=
r2 2� �
 Portanto, a solução geral da equação homogênea é dada por: 
y t C e C et t� � � � �1 2 2 2
 A solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados é da forma:
y t t a ep
t� � � � �1 2
 Substituindo na equação diferencial dada para obtenção de a1, obtemos:
y t e tp
t� � � 1
4
2
 Portanto, podemos escrever a solução geral como sendo:
y t C e C e e tt t t� � � � ��1 2 2 2 2
1
4
 A solução é dada por:
y t C e C e sentt t� � � � ��1 2 2
3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, podemos achar a solução da equação 
diferencial dada por:
��� � � � � � � �y t y t t4 4 2cos
 Veja que a equação homogênea 
��� � � � � �y t y t4 0
 é equivalente à do problema 1 e sua solução é dada por:
y t C e C et t� � � � �1 2 2 2
 A equação diferencial dada possui a seguinte solução particular:
y t a t a sen tp ( ) ( ) ( )� �1 22 2cos
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais76
 Substituindo a solução particular na equação diferencial, obtemos:
y t tp ( ) ( )� �
1
2
2cos
 E a solução geral:
y t C e C e tt t( ) ( )� � ��1
2
2
2 1
2
2cos
Equações Diferenciais 77
5
Equações lineares 
deordem superior
Neste capítulo veremos alguns casos de equações diferenciais de ordem superior. 
Essas equações possuem termos de derivadas de ordem superior:
d y
dt
n
n
que aumentam o grau de dificuldade de sua resolução. A primeira parte do capí-
tulo apresenta os conceitos e fundamentos dessas equações e também os nomes 
para alguns casos particulares de equações diferenciais. As outras duas partes 
apresentam métodos de resolução para equações de ordens superiores que podem 
ser obtidas a partir da generalização de métodos de segunda ordem. Iremos perce-
ber que os métodos são muito parecidos com os métodos de segunda ordem, com 
algumas características adicionais.
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais78
5.1 Fundamentos e conceitos das 
equações diferenciais de ordem superior
Sejam as funções P P P Gn0 1, ,..., , reais e contínuas, definidas em um inter-
valo I t:� �� � , temos que uma equação diferencial linear de ordem n tem 
a forma:
P t
d y
dt
P t
d y
dt
P t
dy
dt
P t y G t
n
n
n
n n n0 1
1
1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )� � � � �
�
� � (1)
Se P0 não se anula nesse intervalo, então podemos dividir a equação 1 por P t0( ) 
e obtemos:
L y
d y
dt
p t
d y
dt
p t
dy
dt
p t y g t
n
n
n
n n n[ ] ( ) ... ( ) ( ) ( )� � � � � �
�
� �1
1
1 1
(2)
Podemos esperar que um problema de valor inicial (PVI) para a equação 2 contenha n 
condições iniciais, a saber:
y t y0 0� � �
y t y’ ’0 0� � �
y t yn n� �� � �1 0 0 1
(3)
onde y y y n0 0
1
0, ’ ,...,
( )− são valores conhecidos e t0 pertence ao intervalo I t:� �� �
Quando na equação homogênea
L y y p t y p t y p t yn n n n[ ] ( ) ... ( ) ’ ( )
( ) ( )� � � � � �� �1
1
1 0 (4)
ocorrer de as funções y y yn1 2, ,..., serem soluções da equação 4, então a combinação linear:
y c y t c y t c y tn n� � � �1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) (5)
onde c c cn1 2, ,..., são constantes, também será solução da equação 4.
Veja que essa análise para a solução geral da equação homogênea é equivalente àquela 
da segunda ordem. Portanto, os métodos e as análises feitas para equações diferenciais de 
ordem superior podem ser divididos em dois tipos: redução de ordem e generalização dos 
métodos de segunda ordem.
Vamos observar a equação linear não homogênea.
L y y p t y p t y g tn n n[ ] ( ) ... ( ) ( )
( ) ( )� � � � ��1
1 (6)
Vídeo
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
79
em que p p p gn1 2, ,..., , são funções contínuas em um intervalo aberto I. Se Y1 e Y2 são solu-
ções para a equação 6 não homogênea, então sua diferença é uma solução para a equação 4 
homogênea associada, pois:
L Y Y t L Y t L Y t g t g t[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )1 2 1 2 0� � � � � � (7)
A solução geral da equação 6 não homogênea pode ser escrita como
y c y t c y t c y t Y tn n� � � � �1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ) (8)
onde Y é alguma solução específica da equação 6 não homogênea. Portanto, é necessá-
rio obter um conjunto fundamental de soluções da equação 4 homogênea e, em seguida, 
obter a solução particular Y; a soma dessas soluções será uma solução para a equação 6 
não homogênea.
5.2 Redução de ordem
Vejamos o método de resolução de equações diferenciais por redução 
de ordem a partir de um exemplo. Para isso, consideraremos uma equação 
diferencial de segunda ordem, para que possamos generalizar seu resultado 
posteriormente.
Sendo a equação diferencial dada por:
d y
dt
t
t
dy
dt t
y
2
2 1
1
1
0�
�
�
�
� (9)
desejamos determinar, como nos outros casos, sua solução geral. Essa equação diferen-
cial pode ser classificada como uma equação diferencial de segunda ordem homogênea. 
Podemos reparar que os coeficientes multiplicadores da função y t� � e de suas derivadas
dy
dt
e
d y
dt
2
2
não são constantes. Com isso, a equação diferencial dada não se enquadra em um caso de 
equação diferencial com coeficientes constantes.
Repare que uma das soluções particulares da equação diferencial dada é:
y t et� � �
Para confirmar isso, tome suas derivadas de ordem superior:
dy
dt
et=
d y
dt
et
2
2 =
Vídeo
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais80
e substitua na equação diferencial dada, no caso a equação 9:
e
t
t
e
t
et t t�
�
�
�
�
1
1
1
t
t
e
t
t
e
t
et t t
�
�
�
�
�
�
�
1
1 1
1
1
0
O método de redução de ordem permite que encontremos outra solução particular. 
Como visto na seção anterior e ao longo dos outros capítulos, a solução geral pode ser escrita 
como uma combinação linear das diferentes soluções particulares.
A segunda solução particular, linearmente independente da primeira, poderá ser 
da forma:
y v t y2 1� � �.
Ou, de forma simplificada:
y v y v et2 1= =. .
Como y2 é uma segunda solução particular da equação diferencial 9, podemos encon-
trar suas derivadas e substituir na equação dada:
dy
dt
v
de
dt
e
dv
dt
t
t2 � �.
dy
dt
v e e
dv
dt
t t2 � �. (10)
Pois, pela derivada de um produto de funções,
d
dx
uv
du
dx
v
dv
dx
u� � � �. .
Esse mesmo resultado permite que encontremos a derivada segunda da função:
d y
dt
dv
dt
e v e e
dv
dt
e
d v
dt
t t t t
2
2
2
2
2� � � �. .
Substituindo na equação 9, obtemos:
dv
dt
e ve e
dv
dt
e
d v
dt
t
t
v e e
dv
dt t
v et t t t t t t� � � �
�
��
�
�
�
�
� � �
�
2
2 1
1
1
. . 00
Colocando et em evidência:
e
d v
dt
dv
dt
v
t
t
e
dv
dt
v
t
vet t t
2
2 2 1
1
1
0� �
�
�
�
�
�
� � �
��
�
�
�
�
� � �
�
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
81
Dividindo ambos os lados por et ::
d v
dt
dv
dt
v
t
t
dv
dt
v
t
v
2
2 2 1
1
1
0� � �
�
��
�
�
�
�
� � �
�
Colocando v dv dt, / e d v dt2 2/ em evidência:
d v
dt
dv
dt
t
t
v
t
t t
2
2 2 1
1
1
1
1
0� �
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
d v
dt
dv
dt
t
t
t
t
v
t
t
t
t t
2
2
2 1
1 1
1
1 1
1
1
0�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d v
dt
dv
dt
t
t
2
2
2
1
0� �
�
�
�
�
�
�
� � (11)
Podemos observar que essa equação encontrada pode ser reduzida a uma equação de 
primeira ordem, com a mudança de variável adequada. Portanto, chamando:
z
dv
dt
=
temos que
dz
dt
d v
dt
=
2
2
E a equação 11 pode ser reescrita como:
dz
dt
z
t
t
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
1
0 (12)
Observamos que a equação 12 é a equação diferencial 11, reescrita com novas variáveis. 
Em relação à variável z, essa nova equação é uma equação diferencial de primeira ordem de 
variáveis separáveis, vista nos primeiros capítulos. Podemos separar as variáveis, obtendo:
dz
dt
z
t
t
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
dz
z
t
t
dt� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
Integrando ambos os lados:
dz
z
t
t
dt� �� �
�
�
2
1
dz
z
t
t t
dt� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais82
ln z
t
dt� � �
�
�
�
�
�
�
�� 1
1
1
ln lnz t t� � � �� �1
z e t t� � �� �( ln ) 1
z t e t� �� � �1
Para encontrarmos v, vejamos que:
z
dv
dt
=
t e
dv
dt
t�� � ��1
v t e dtt� �� � �� 1
v te dt e dtt t� ��� �
Uma das integrais precisa ser resolvida pelo método de integração por partes. Chamando 
r t= , s e dtt’ � � , então r dt’ = e s e t� � � . O método de integração por partes, visto no cálculo 
diferencial e integral, afirma que:
rs r s sr’ . ’� �� �
Aplicando o método para continuar o cálculo de v, obtemos:
v te e dt e dtt t t� � � � �� � �� �
v te e dt e dtt t t� � � �� � �� �
v te t� � �
Portanto, a segunda solução particular da equação diferencial 9 é dada por:
y t v et2 � � � .
y t te et t2 � � � � �
y t t2 � � � �
E a solução geral é dada por:
y t C y C y� � � �1 1 2 2
y t C e C tt� � � �1 2
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
83
5.3 Generalização dos métodos de segunda ordem
Vamos considerar a equação linear homogênea:
L y a y a y a y a yn n n n[ ] ... ’
( ) ( )� � � � � �� �0 1
1
1 0 (13)
em que a a a an0 1 2, , ,..., são constantes reais. Como vimos nas equações dife-
rencias de segunda ordem homogênea, esperamos que y ert= seja solução da 
equação 13 para valoresconvenientes de r. E isso é verdade, pois:
L e e a r a r a r a e Z rrt rt n n n n
rt[ ] ... ( )� � � � �� � �� �0 1 1 1
para todo r, onde:
Z r a r a r a r an n n n( ) ...� � � � �
�
�0 1
1
1
(14)
é o polinômio característico. Como no caso de segunda ordem, a análise da forma da solução 
geral também é feita com base no tipo de raízes do polinômio característico. Lembre-se de 
que um polinômio de grau n possui n raízes r r rn1 2, ,..., , em que algumas podem ser iguais. 
Então podemos escrever a equação característica na forma:
Z r a r r r r r rn( ) ( )( )...( )� � � �0 1 2 (15)
Se essas raízes forem reais e distintas, então iremos obter n soluções distintas para a 
equação 13, a saber e e er t r t r tn1 2, ,..., . Caso elas sejam linearmente independentes, então pode-
mos escrever a solução geral da equação 13 na forma:
y c e c e c er t r t n
r tn� � � �1 21 2 ... (16)
Quando as raízes forem complexas, elas aparecerão em pares conjugados da forma 
� �� i , pois os coeficientes a a a an0 1 2, , ,..., são reais. Se todas as raízes forem distintas, então 
a solução geral terá a forma da equação 16.
Podemos substituir as soluções complexas e i t( )� �� e e i t( )� �� por soluções reais dadas por 
e tt� �cos e e tt� �sen , assim como foi feito no caso de segunda ordem. Portanto, mesmo que 
as raízes sejam complexas, podemos escrever a solução geral da equação 13 como uma com-
binação linear de soluções reais.
Nos casos em que as raízes da equação característica forem repetidas, então a solução 
geral dada pela equação 16 não poderá ser utilizada. Por exemplo, se uma raiz r r= 1 de 
Z r( ) = 0 tem multiplicidade s, onde s n, então as soluções para a equação 13 são dadas por:
e te t e t er t r t r t s r t1 1 1 12 1, , , ..., − (17)
Quando uma raiz complexa se repete s vezes, então a raiz complexa conjugada também 
irá se repetir s vezes. Portanto, temos 2s soluções complexas que podem ser utilizadas para 
obter 2s soluções reais. As partes reais e imaginárias também são linearmente independen-
tes, a saber:
Vídeo
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais84
e t e t te t te t t e t t et t t t t t� � � � � �� � � � � �cos , , cos , , cos ,sen sen sen2 2 tt
t e t t e ts t s t
,
..., cos , sen� �1 1� �� �
(18)
Assim, podemos escrever a solução geral da equação 13 como combinação linear de n 
soluções reais.
Exemplo 1: seja a equação diferencial dada por:
d y
dt
d y
dt
dy
dt
3
3
2
2 2 0� � �
Vamos encontrar sua solução geral. Vejamos que esse caso se caracteriza por uma equa-
ção diferencial de terceira ordem homogênea. Sua equação característica é dada por:
r r r3 2 2 0� � �
r r r2 2 0� �� � �
r r r�� � �� � �1 2 0
Indicando que suas raízes são r r r1 2 30 1 2� � � �, e . Com isso, podemos escrever a solu-
ção geral em um formato muito similar àquele apresentado para o caso de segunda ordem:
y t C e C e C et t t� � � � ��1 0 2 3 2
y t C C e C et t� � � � ��1 2 3 2
Para encontrarmos uma solução particular Y de uma equação linear não homogênea de 
ordem n com coeficientes constantes, podemos utilizar o método dos coeficientes indeter-
minados, assim como no método aplicado para as equações diferenciais de segunda ordem. 
As diferentes soluções geradas pelos diferentes comportamentos das raízes serão discutidas 
ao longo dos próximos exemplos.
Dada a equação não linear:
L y a y a y a y a y g tn n n n[ ] ... ’ ( )
( ) ( )� � � � � �� �0 1
1
1 (19)
o método consiste em supor uma forma inicial para Y(t), porém sem coeficientes determina-
dos. Substituindo essa hipótese na equação 19, devemos tentar determinar os coeficientes, 
da mesma forma que vimos para as equações de segundo grau.
Exemplo: seja a equação diferencial:
d y
dt
d y
dt
dy
dt
y t
3
3
2
23 3 16� � � � � � (20)
Vamos encontrar a solução geral. Vejamos que essa equação é uma equação diferencial 
de terceira ordem não homogênea. A solução geral será dada por:
y t y t y th p� � � � � � � �
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
85
Portanto, buscaremos inicialmente a solução da equação diferencial homogênea 
equivalente:
d y
dt
d y
dt
dy
dt
y
3
3
2
23 3 0� � � �
Sua equação característica é dada por:
r r r3 23 3 1 0� � � �
r �� � �1 03
visto que é um produto notável. Nesse caso as raízes são r =1 com multiplicidade 3. Como 
as raízes são iguais, a solução geral é definida como:
y t C e C te C t eh
t t t� � � � �1 2 3 2
Pelo método dos coeficientes indeterminados, supomos uma solução particular com a 
forma do termo não homogêneo (polinômio do primeiro grau). Nesse caso, supomos:
y t At Bp � � � �
y t Ap
’ � � �
y tp
’’ � � � 0
y tp
’’’ � � � 0
Substituindo na equação diferencial dada:
3 16A At B t� � � � �
que nos leva a:
3 16
1
A B
A
� �
� � �
�
�
�
B
A
� �
�
�
�
�
13
1
Portanto,
y t tp � � � �13
E como solução geral:
y t C e C te C t e tt t t� � � � � � �1 2 3 2 13
Para finalizar, os casos em que o termo não homogêneo da função é diferente serão 
exemplificados nos próximos capítulos.
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais86
 Ampliando seus conhecimentos
Como converter sistemas de ordem superior 
em sistemas de primeira ordem
(ÇENGEL; PALM III, 2014, p. 306-307)
Converta o sistema de equações com as condições iniciais especificadas 
apresentado a seguir em um sistema ordem equivalente.
x’’ = 2x – 3y + x’ + f(t), x(0) = 0, x’ (0) = 1
y’’ = –x + y + 2x’ + g(t), y(0) = 0, y’ (0) = 2
Solução: Esse é um sistema de equações de segunda ordem com duas 
variáveis desconhecidas. A expectativa é de que o sistema de primeira 
ordem equivalente seja composto por quatro equações com quatro variá-
veis desconhecidas, uma vez que cada equação de segunda ordem se 
reduz a um sistema de duas equações de primeira ordem. Primeiramente, 
definiremos as quatro novas variáveis dependentes como
x1 = x
x2 = x’ = x’1
x3 = y
x4 = y’ = x’3
Quando se substituem essas definições na equação diferencial dada, 
obtêm-se
x’1 = x2 , x1 (0) = 0
x’2 = 2x1 – 3x3 + x2 + f(t), x2 (0) = 1
x’3 = x4 , x3 (0) = 0
x’4 = – x1 + x3 + 2x2 + g(t), x4 (0) = 2
Esse é o sistema de quatro equações diferenciais de primeira ordem com 
quatro variáveis desconhecidas e é equivalente ao sistema original dado. 
Observe que a soma das ordens das equações em ambos os sistemas é 
igual a quatro. Observe, também, que as equações originais e as transfor-
madas são do mesmo tipo. Uma vez que as equações do sistema original 
são lineares com coeficientes constantes, as equações do sistema transfor-
mado também terão o mesmo formato.
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
87
 Atividades
1. Encontre uma solução para a equação diferencial homogênea y y y y’’’ ’’ ’� � � �6 11 6 0.
2. Determine uma solução geral para a equação diferencial y y y’’’ ’’ ’� � �4 4 0 com raí-
zes repetidas.
3. Resolva a equação diferencial y y y y t’’’ ’’ ’� � � �2 2 4 2 utilizando o método dos coe-
ficientes indeterminados.
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 Resolução
1. Dada a equação diferencial:
y y y y’’’ ’’ ’� � � �6 11 6 0 (1)
 sua equação característica é dada por:
r r r3 26 11 6 0� � � � (2)
 As raízes dessa equação são r1 1= , r2 2= e r3 3= . Portanto, a solução geral será 
da forma:
y c e c e c er t r t r t� � �1 2 31 2 3 (3)
 A solução geral para esse problema é:
y c e c e c et t t� � �1 2
2
3
3 (4)
2. Dada a equação diferencial:
y y y’’’ ’’ ’� � �4 4 0 (5)
 sua equação característica é dada por:
r r r3 24 4 0� � � (6)
Equações lineares de ordem superior5
Equações Diferenciais88
 As raízes dessa equação são r1 0= e r2 2� � , sendo que a segunda é uma raiz repeti-
da. Portanto, a solução geral é dada por:
y c e c e c ter tr t r t� � �1 2 31 2 2 (7)
 pois r2 2� � tem multiplicidade s = 2 .
 Então, por meio do método das raízes repetidas, temos que e et t0 2, − e te t−2 são solu-
ções para a equação. Portanto a solução geral é dada por:
y c e c e c tet t t� � �� �1
0
2
2
3
2 (8)
3. Dada a equação diferencial:
y y y y t’’’ ’’ ’� � � �2 2 4 2 (9)
 sua equação característica é dada por:
r r r3 22 2 0� � � � (10)
 As raízes dessa equação são r1 1� � , r2 1= e r3 2= . Portanto a solução geral para essa 
equação é dada por:
y c e c e c et t t� � ��1 2 3
2 (11)
 Sua solução particular é dada por:
y t at bt cp � � � � �2
 Veja que:
y t at bp’ � � � �2
y t ap’’ � � � 2
y tp’’’ � � � 0
Equações lineares de ordem superior
Equações Diferenciais
5
89
 Substituindo essas informações na equação diferencial 9:
0 2 2 2 2 0� � �� � � �. a at b
� � � � �4 2 2 0a at b
 Resolvendo a equação, obtemos:
a = 2
b = 2
c = 5
 E, portanto, a solução particular é:
y t t tp � � � � �2 2 52
 A combinação da solução particular e da solução geral nos dá:
y t c e c e c e t tt t t� � � � � � � ��1 2 3 2 22 2 5
Equações Diferenciais 91
6
Soluções em série para 
equações diferenciais de 
segunda ordem
Existem técnicas diferentes para encontrar as soluções de equações diferenciais 
que não preveem um formato original para a solução. Essas técnicas utilizam os con-
ceitos de séries de potência que serão discutidos na primeira parte deste capítulo. A 
segunda e a terceira parte apresentam como utilizar as séries de potência nos casos 
mais comuns que ocorrem: em torno de um ponto ordinário e em torno de um ponto 
singular. Espera-se que ao final do capítulo você consiga aplicar a técnica para resolver 
os mais diversos casos de equações diferenciais.
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais92
6.1 Séries de potência
Para entendermos o conceito de séries de potência, é necessário investigar 
o conceito de sequência infinita. Uma sequência numérica infinita é uma função 
de valores discretos, cujo domínio são os números inteiros diferentes de zero.
Geralmente, utilizamos a notação { }an para indicar o termo geral da se-
quência. Por exemplo,
{ } ( )a n
nn
n� �
�
�1
3 1
1
2
representa uma sequência, cujo termo geral é an. Nota-se que podemos escrever o n-ésimo 
elemento simplesmente substituindo no valor de n o termo desejado. Vejamos alguns ele-
mentos que podem ser calculados:
a
a
a
1
1 1
2
2
2 1
2
3
3 1
2
1 1
3 1 1
1
2
1 2
3 2 1
4
5
1 3
3 3 1
� �
�
�
� �
�
� �
� �
�
�
�
�
( )
.
( )
.
( )
.
��
� �
�
� �
� �
�
� �
�
�
9
8
1 4
4 3 1
16
11
1 5
5 3 1
25
14
4
4 1
2
5
5 1
2
a
a
( )
.
( )
.
e assim sucessivamente. A série numérica infinita, por sua vez, é definida como sendo a 
soma dos termos de uma sequência numérica infinita. Nesse caso escrevemos:
a a a a a an
n
n
�
�
� � � � � � � �
1
1 2 3 4 ... ...
Nem todas as séries que podem ser escritas são interessantes para o estudo de equações 
diferenciais, visto que algumas séries divergem. A convergência e a divergência da série 
indicam se ela se aproxima ou não, respectivamente, de um certo valor dado. Em outras 
palavras, dizemos que a série é convergente se
lim ... ...
k n
n
k
na a a a a a S��
�
� � � � � � � � �
1
1 2 3 4
no qual S representa um número real finito.
O teste de convergência de uma série nem sempre é fácil de ser aplicado e foge do esco-
po destes capítulos, mas um exemplo será visto para compreensão do conceito.
Exemplo: sendo a seguinte série numérica infinita
Vídeo
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
93
1
1
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 51 n nn ( ) . . . .
...
�
� � � � �
�
�
�
Vamos verificar se essa série converge. Para isso, verificamos seu termo geral:
a
n nn
�
�
1
1( )
O teste de convergência envolve uma soma infinita, o que evidencia a complexidade 
de sua validade. Mas nesse caso específico, podemos reescrever o termo geral da seguinte 
forma:
a
n n n nn
�
�
� �
�
1
1
1 1
1( )
Verifique, ao fazer operações simples, como as duas expressões são equivalentes. Nesse 
caso, podemos reescrever a série dada como:
1
1
1 1
1
1 1
2
1
2
1
3
1
3
1 1n n n nn n( )�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
� �
11
4
1 1
1
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�... n n
Repare que n termos simplificam, restando:
1 1
1
1 1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
1 n nn
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
� ... nn n� �
�
�
�
�
�
�
1
1
� �
�
1
1
n
n
Para testarmos a convergência, aplicamos o seguinte limite:
lim
n
n
n��
�
�
�
�
�
�
�
� �1 1
1
Como esse limite converge para S = 1, temos validada a convergência da série dada 
no exemplo.
As séries de potência, que serão soluções de equações diferenciais nas partes seguintes, 
são séries que possuem o formato:
c x c c x c x c xn
n
n
� � � � �
�
�
� 0 1 2 2 3 3
0
...
Os coeficientes c sn ’ são os coeficientes da série, enquanto x é a variável. Pode-se mostrar 
que a série
x x x xn
n
� � � � �
�
�
� 1 2 3
0
...
converge quando � � �1 1x e diverge caso contrário.
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais94
Uma série interessante que surge frequentemente é a série de Taylor, a qual é 
definida como:
a x a no qual a
f a
nn
n
n
n
n
( ) ,
( )
!
� �
�
�
�
0
Ou seja,
a x a f a x a
f a x a f a x a
f
n
n
n
( ) ( )( )
"( )( )
!
"’( )( )
!
’’’(
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
2 3
0 2 3
aa x a f a x a)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
�
�
�
�
4 5
4 5
Se tomarmos a = 0, obtemos um caso particular da série de Taylor conhecida como série 
de Maclaurin:
a x f f x
f x f x f x
n
n
n
�
�
� � � � � � �
0
2 3 4
0 0
0
2
0
3
0
4
( ) ’( )
’’( )
!
’’’( )
!
’’’’( )
!
ff x’’’’’( )
!
...
0
5
5
�
Exemplo 1: vamos encontrar a série de Taylor para a função
f x e x( ) =
em torno do ponto x = 0. Como f x en x( ) = e f n( )0 1= podemos escrever:
f x f a f a x a
f a x a f a x a f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�
2 3
2 3
aa x a
f a x a
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
�
�
�
�
4
5
4
5
f x f f x
f x f x f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�0 0 0
0 0
2
0 0
3
2 3 00 0
4
0 0
5
4
5
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
x
f x
�
�
�
�
Nota-se que as derivadas da função dada são:
f x e
f e
n x
n
( )
( )
=
= =0 10
Resumindo:
f x x
x x x
n
n
( )
! !
...
!
� � � � � �1
2 3
2 3
Exemplo 2: vamos encontrar a série de Taylor para a função
f x x( ) sin=
em torno do ponto x = 0. Para isso precisamos encontrar as derivadas de ordem n da função 
dada. Vejamos que:
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
95
f x x f
f x x f
f x x
( ) sin ( ) sin
’( ) cos ’( ) cos
’’( ) sin
� � �
� � �
� �
e 
e 
0 0 0
0 0 1
ee 
e 
f
f x x f
f x x
’’( ) sin
’’’( ) cos ’’’( ) cos
( ) sin
0 0 0
0 0 1
4
� � �
� � � � � �
� ee f 4 0 0( ) �
Observa-se que a partir da derivada de quarta ordem, todas as derivadas seguem um 
padrão que se repete a cada quatro ordens das derivadas. Nesse caso, veja que toda deri-
vada de ordem par, aplicada no ponto dado, é zero. Assim, podemos escrever a série de 
Taylor associada:
f x f a f a x a
f a x a f a x a f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�
2 3
2 3
aa x a
f a x a
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
�
�
�
�
4
5
4
5
f x f f x
f x f x f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�0 0 0
0 0
2
0 0
3
2 3 00 0
4
0 0
5
4
5
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
x
f x
�
�
�
�
f x f x
f x f x
f x x
x x
( ) ’( )
’’’( )
!
’’’’’( )
!
...
( )
! !
� � � �
� � � �
0
0
3
0
5
3 5
3 5
3 5 xx
f x
x
n
n
n
n
7
2 1
0
7
1
2 1
!
...
( ) ( )
( )!
�
� �
�
�
�
�
�
Exemplo 4: vamos encontrar a série de Taylor para a função
fx x= cos
em torno do ponto x = 0. Para isso, precisamosencontrar as derivadas de ordem n da função 
dada. Vejamos que:
f x x f
f x x f
f x x
( ) cos ( ) cos
’( ) sin ’( ) cos
’’( ) cos
� � �
� � � � �
� �
e
e
0 0 1
0 0 0
ee
e
f
f x x f
’’( ) cos
’’’( ) sin ( )( )
0 0 1
0 03
� � � �
� �
Nota-se que a partir da derivada de quarta ordem, assim como na função y = sen x, todas 
as derivadas seguem um padrão que se repete a cada quatro ordens das derivadas. Nesse 
caso, toda derivada de ordem ímpar aplicada no ponto dado é zero. Assim, podemos escre-
ver a série de Taylor associada:
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais96
f x f a f a x a
f a x a f a x a f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�
2 3
2 3
aa x a
f a x a
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
�
�
�
�
4
5
4
5
f x f f x
f x f x f
( ) ( ) ’( )( )
’’( )( )
!
’’’( )( )
!
’’’’(
� � � �
�
�
�
�0 0 0
0 0
2
0 0
3
2 3 00 0
4
0 0
5
4
5
)( )
!
’’’’’( )( )
!
...
x
f x
�
�
�
�
f x f
f x f x
f x x
x x x
( ) ( )
’’( )
!
( )
!
...
( )
! ! !
( )
� � � �
� � � � �
0
0
2
0
4
3 5 7
2 4 4
3 5 7
....
6.2 Soluções perto de um ponto ordinário
Consideremos a equação homogênea:
P x
d y
dx
Q x
dy
dx
R x y( ) ( ) ( )
2
2 0� � � (1)
onde x será a variável independente utilizada neste capítulo. Analisaremos 
inicialmente os casos em que P, Q e R são polinômios sem fatores comuns.
Dizemos que um ponto x0 é ordinário quando P(x0 ) 0. Existe uma vizinhança de x0 onde 
P(x) 0, pois é contínuo. Portanto, nesse intervalo podemos reescrever a equação 1 como:
y p x y q x y’’ ( ) ’ ( )� � � 0 (2)
onde p x Q x P x( ) ( ) / ( )= e q x R x P x( ) ( ) / ( )= são funções contínuas.
Para resolver a equação 1 numa vizinhança do ponto x0 ordinário, procuraremos por 
soluções do tipo:
y a a x x a x x a x xn
n
n
n
n o
� � � � � � � � �
�
�
�0 1 0 0 0( ) ... ( ) ... ( ) (3)
onde essa série converge no intervalo | |x x p� �0 para um raio de convergência p > 0. Para 
determinar os coeficientes an, desde que estejamos dentro do intervalo, devemos substituir 
na equação 1 a série da equação 3 e suas derivadas. Vejamos a seguinte equação diferencial:
d y
dx
y
2
2 0� � (4)
Vídeo
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
97
Podemos determinar uma série de potência em torno de x0 = 0. Nesse caso, a série será 
dada por:
y a a x a x a x a xn
n
n
n
n
� � � � � � �
�
�
�0 1 2 2
0
... ... (5)
Para continuar com o procedimento, devemos calcular a primeira e a segunda derivada 
da equação 5. Assim, utilizamos o resultado de:
y a a x na x na xn
n
n
n
n
’ ... ...� � � � � �� �
�
�
�1 2 1 1
1
2 (6)
y a n n a x n n a xn
n
n
n
n
’’ ... ( ) ... ( )� � � � � � �� �
�
�
�2 1 12 2 2
2
(7)
para substituir os valores de y e y’ na equação. Então obtemos:
n n a x a xn
n
n
n
n
n
( )�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �1 02
2 0
(8)
Observamos que os termos gerais dos somatórios são diferentes, portanto é necessário 
deslocar1 seus índices para que possamos agrupar o resultado da equação 8. Para isso, basta 
substituirmos n por (n + 2) na série proveniente da equação 7 e fazer a soma começar em 0 
em vez de 2. Dessa forma, a equação 8 ficará:
n n n a x a xn
n
n
n
n
n
( )( )� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �2 1 02
0 0
(9)
assim podemos agrupar os somatórios para obter:
[( )( ) ]n n a a xn
n
n
n� � � ��
�
�
� 2 1 02
0
(10)
Se fizermos com que os coeficientes de x sejam nulos, temos que a equação 10 vale para 
todo x. Assim, temos a relação de recorrência 
( )( ) ; , , ,...n n a a nn n� � � � ��2 1 0 0 1 22 (11)
Cujos coeficientes são determinados por meio do cálculo individual para n = 0 1 2, , ,... .
Por exemplo, para os três primeiros índices pares, temos:
a
a a
n2
0 0
2 1 2
0� � � � �
. !
; (12)
1 Em Boyce e DiPrima (2010, p. 194) encontra-se uma explicação de como deslocar o índice de soma-
tórios.
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais98
a
a a
n4
2 0
4 3 4
2� � � � �
. !
; (13)
a
a a
n6
4 0
6 5 6
4� � � � �
. !
; (14)
e assim por diante. Podemos escrever tais resultados para n = 2k como:
a a
k
a kn k
k
� �
�
�2 0
1
2
1 2 3( )
( )!
; , , ,... (15)
podemos prová-la por indução matemática, sabendo que ela é válida para k = 1, supondo 
válida para um valor qualquer de k e para k = 1, temos:
a
a
k k k k k
a
kk
k
k k
2 2
2
0
1
2 2 2 1
1
2 2 2 1 2
1
2�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�( )( )
( )
( )( )( )!
( )
( 22 0)!
a (16)
ou seja, a equação 15 vale para k + 1, portanto vale para todos os inteiros positivos k. O leitor 
que se interessar pela demonstração por indução matemática pode consultar mais referên-
cias nos livros de álgebra.
Utilizaremos o mesmo raciocínio para os índices ímpares. Para os três primeiros índices 
ímpares, temos:
a
a a
a
a a
a
a a
3
1 1
5
3 1
7
5 1
2 3 3 5 4 5 7 6 7
� � � � � � � � � � � �
. !
;
. !
;
. !
(17)
e assim por diante. Podemos escrever tais resultados para n = 2k +1 como
a a
k
a kn k
k
� �
�
�
��2 1 1
1
2 1
1 2 3( )
( )!
; , , ,... (18)
Agora, podemos utilizar os coeficientes que encontramos e substituí-los na equação 5 
para obter:
y a a x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
n
x
n
n� � � � � � � �
� �
0 1
0 2 1 3 0 4 1 5 0 2 1
2 3 4 5
1
2! ! ! !
...
( )
( )!
�� ... (19)
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �a a
x x x
n
a x
x xn n
0
2 4 2 3 5
2 4
1
2
1
3 5! !
... ( )
( )!
...
! !
.... ( )
( )!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�a x
n
n n2 1
2 1
(20)
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �a xn a
x
n
n n
n
n n
n
0
2
0
1
2 1
0
1
2
1
2 1
( )
( )!
( )
( )!
(21)
Portanto, a equação 21 representa a solução em série da equação 5, convergente para 
todo x. Adicionalmente, a primeira e a segunda série da equação 21 são as séries de Taylor 
em torno de x = 0 para f x x g x sen x( ) cos ( )= =e , respectivamente. Assim, a equação 21 é 
equivalente a:
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
99
y a x a sen x� �0 1cos
Os valores de a0, a1 são arbitrários e seus valores são definidos quando as condições 
iniciais são impostas, pois o cálculo de y e y’ para x = 0 irá resultar nos valores de a0 e a1, 
respectivamente. Devemos nos atentar ao fato de que uma série de potências fornece apenas 
uma aproximação local numa vizinhança de um ponto inicial para a solução procurada.
Por exemplo, a série de potência da função y = e x é dada por:
y x
x
n
n
n
( )
!
�
�
�
�
0
Nota-se que o valor y(0) = 1 , enquanto y(0) na série de potência retorna um valor que 
converge a 1, dependendo do número de termos utilizados.
6.3 Soluções perto de um ponto singular regular
Consideremos a equação:
P x y Q x y R x y( ) ’’ ( ) " ( )� � � 0 (22)
Dizemos que um ponto x0 é singular quando P(x0) = 0 e, neste caso, ou 
Q(x0) ou R(x0) é diferente de zero. Iremos nos voltar para os casos de singu-
laridades fracas, em que temos um ponto x0 singular regular. Essas singularidades se distin-
guem de acordo com as condições:
lim ( ) ( )
( )x x
x x
Q x
P x�
�
0
0 é finito (23)
lim ( ) ( )
( )x x
x x
R x
P x�
�
0
0
2 é finito (24)
De forma generalizada, para que x0 seja um ponto singular regular, é necessário que 
as funções: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
x x
Q x
P x
x x
R x
P x
−
−
0
0
2
(25)
tenham séries de Taylor convergentes na vizinhança de x0.
Para solucionar a equação 22 em torno de x0 singular regular, costumamos utilizar x0 = 
0. Caso contrário, a simples mudança x – x0 = t faz com que o ponto singular regular esteja na 
origem. Dessa forma, quando x 0, então xQ x P x xp x( ) / ( ) ( )= e x R x P x x q x2 2( ) / ( ) ( )= pos-
suem limites finitos e são analíticas em x = 0. Portanto, suas expansões em séries de potência 
convergentes em uma vizinhança |x| < p em torno da origem, com p > 0 são dadas por:
Vídeo
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6Equações Diferenciais100
xp x p x
x q x q x
n
n
n
n
n
n
( ) ;
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2
0
(26)
Essas funções podem ser obtidas da equação (22) após multiplicá-la por x 2 / P(x), ob-
tendo assim:
P x y Q x y R x y( ) ’’ ( ) ’ ( )� � � 0
x y x p p x p x y q q x q x yn
n
n
n2
0 1 0 1 0’’ ( ... ...) ’ ( ... ...)� � � � � � � � � � � (27)
Exemplo: seja a seguinte equação diferencial:
2 1 02
2
2t
d y
dt
x
dy
dt
x y� � � �( ) (28)
Supondo que a solução é dada por uma série de potência, dizemos que:
y t a tn
n r
t
( ) � �
�
�
�
0
Se for solução, podemos substituí-la na equação 28 para verificar a solução. Observa-se 
que suas derivadas são dadas por:
dy
dt
a n r tn
n r
t o
� � � �
�
�
� ( ) 1
d y
dt
a n r n r tn
n r
t o
2
2
21� � � � � �
�
�
� ( )( )
Substituindo na equação 28 e fazendo as substituições e simplificações adequadas, 
obtemos:
2 02
2
2t
d y
dt
x
dy
dt
a x y� � � �( )
2 12 2 1t a n r n r t x a n r t a x an
n r
t o
n
n r
t o
n. ( )( ) ( ) ( ).� � � � � � �
� �
�
�
� �
�
�
� � tt n r
t o
�
�
�
�
Simplificando os somatórios, podemos escrever:
r r a p r qo( )� � � �0 0
( )( )r r� � �1 2 1 0
com raízes dadas por r r1 21 12= =e . A equação de recorrência é dada por:
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
101
a
a
r n r nn
n� �
� � � �
�1
1 2 1[( ) ][ ( ) ]
Substituindo r1, encontramos a primeira solução particular:
y t t
n
t
n
n
n
1
2
1
1 1 2
2 1
( ) ( )
( )!
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
E, substituindo r2, encontramos a segunda solução particular:
y t t
n
t
n n
n
n2
1
2 1 0 1 2
2
( ) ( )
( )!
� � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
 
Portanto, a solução geral é a combinação linear de ambas as soluções particulares. 
Nesse caso,
y t C t
n
t C t
n
n
n
n
( ) ( )
( )!
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�1
2
1
2
1
21 1 2
2 1
1 1 22
2
2
1 ( )!n
t n
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
Vejamos mais um exemplo de resolução de equações diferenciais desse tipo: Dada a 
equação diferencial x
d y
dx
dy
dx
y
2
2 3 0� � � com x = 0 ponto singular regular, equação indicial 
r r( )� �2 0, calcule uma solução para o expoente r = 0, utilizando a
a
n nn
n
� � � �1 1 3( )( ) para 
calcular os índices.
Podemos utilizar a equação indicial para calcular cada um dos índices. Observa-se que, 
nesse caso, teremos:
a
a
a
a
a
a
a
a
n nn1
0
2
0
3
0 0
1 3
2
2 4
2
3 5
2
2
� � � �
�.
;
! !
;
! !
; ...;
!( )!
;
E como solução, substituindo na equação que representa a solução geral, encontramos:
y a
x
n n
x
n
n
1 0
0
2
2
�
�
� �
�
�
� !( )! ; | |
 Ampliando seus conhecimentos
Necessidade dos métodos numéricos
(UNICAMP, 2006)
Um modelo matemático ideal deveria representar com exatidão o pro-
blema real e ter garantida sua resolução analítica. Na prática, quanto 
mais exato o modelo, mais complicada é a sua resolução e, na maioria dos 
casos, não é possível uma solução analítica.
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais102
Quando as equações diferenciais ordinárias não podem ser resolvi-
das analiticamente, é necessária a utilização de um método numérico. 
Chaga a ser frustrante saber que a simples equação diferencial ordiná-
ria abaixo não pode ser resolvida analiticamente:
dy
dx
x y� �2 2
Métodos numéricos para resolver equações deste tipo podem ser métodos 
implícitos ou explícitos. Os métodos explícitos são os mais comumente 
utilizados devido a sua fácil implementação e ter garantida a unicidade 
em sua resposta. Alguns métodos explícitos conhecidos são:
1. Método de Euler (ou método da linha tangente)
2. Método de Runge Kutta segunda ordem.
3. Método de Runge Kutta terceira ordem.
4. Método de Runge Kutta quarta ordem.
5. Método de Runge Kutta Gill
6. Método de Runge Kutta Fehlberg
Esses métodos numéricos consistem de cálculos simples e repetiti-
vos, de forma que são especialmente apropriados para serem feitos 
no computador.
Os métodos de Runge-Kutta são algoritmos explícitos para calcular y(x) 
ou
dy
dx
Em pontos entre xi e xi+1. Eles são utilizados tanto para problemas de valo-
res iniciais, como para problemas de valores de contorno. Uma abordagem 
mais ampla sobre problemas com valores iniciais e valores de contorno 
é considerada. Assim como no método de Euler, os métodos de Runge-
Kutta também são provenientes de uma aproximação da série de Taylor. 
Quanto maior a ordem do método de Runge-Kutta, maior é o número de 
termos utilizados na aproximação.
[...]
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
103
 Atividades
1. Encontre uma solução para a equação diferencial 4 0y y’’� � , sabendo que 
4 4 2 1 02
0
y y n n a a xn n
n
n’’ ( )( )� � � � �� � ��
�
�
� .
2. Dada a equação diferencial xy y y’’ ’� � �3 0, com x = 0 ponto singular regular, 
equação indicial r r( )� �2 0, calcule uma solução para o expoente r = 0. Utilize 
a
a
n nn
n
� � � �1 1 3( )( )
 para calcular os índices.
3. Indique qual a solução geral em (0, ) da equação diferencial x y xy x y2 2 1
4
0’’ ’� � ��
�
�
�
�
� � .
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Química. Métodos nu-
méricos para resolução de equações diferenciais ordinárias. 1 sem. 2016. Disponível em: <http://
www.feq.unicamp.br/~nunhez/eq502/modulo09.pdf>. Acesso em: 14 jul. 2017.
 Resolução
1. Dada a equação diferencial 4 0y y’’� � e sabendo que 
4 4 2 1 02
0
y y n n a a xn n
n
n’’ ( )( )� � � � �� � ��
�
�
� , devemos anular os coeficientes de cada 
potência de x. Assim,
4 2 1 02( )( )n n a an n� � � ��
a
a
n n
nn
n
� � � � �
�2 4 2 1
0 1 2
( )( )
, , ,...
(1)
 de forma que a0 e a1 são valores arbitrários. Agora vamos determinar os an com n = 
2, 3, ... . Inicialmente, observaremos os índices pares:
a
a
a
a
a
a
2
0
2 4
0
4 6
0
62 2 2 4 2 6
� � � � �
. !
;
. !
;
. !
; (2)
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem6
Equações Diferenciais104
2. Portanto podemos escrever para os índices pares a recorrência:
a a
a
k
kn k
k
k
k
� �
�
�
�
�
�2 02
0
1
2 2
1 2
( )
( )!
, , ... (3)
 Observando os índices ímpares, temos:
a
a
a
a
a
a
3
1
2 5
1
4 7
1
62 3 2 5 2 7
�� �� ��
. !
;
. !
;
. !
(4)
 Portanto podemos escrever para os índices ímpares a recorrência:
a a
a
k
kn k
k
k
k
� �
�
�
��
�
�
�2 1 12
0
1
2 2 1
1 2
( )
( )!
, , ... (5)
 Assim, substituindo os coeficientes encontrados em y a xn
n
n
�
�
�
�
0
, temos:
y a
x x x
a x
x x
� � � � �
�
�
�
�
�
� � � �0 2
4
4
6
6 1
3
2
5
41 2 2 2 4 2 6 2 3 2 5
2
. ! . ! . !
...
. ! . !! . !
...
( )
( )!
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
x
y a
k
x
a
ak
k
k
7
6
0
2
0
1
2 7
1
2 2
2
1 11
2 1
0 2 1 2( )!k
x k
k �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(6)
 que é a solução geral para esse problema.
2. e 3. Dada a equação diferencial xy y y’’ ’� � �3 0 com x = 0 ponto singular regular, equa-
ção indicial r r( )� �2 0. As raízes dessa equação são r1 0= e r2 2� � , porém a segunda 
delas fornece uma solução que não é linearmente independente da outra, portanto 
iremos calcular apenas a solução para a raiz r1 0= . Utilizando a
a
n nn
n
� � � �1 1 3( )( )
, 
vamos calcular os coeficientes para n = 1, 2, ...
a
a
a
a
a
a
a
a
n nn1
0
2
0
3
0 0
1 3
2
2 4
2
3 5
2
2
� � � � �
�.
;
! !
;
! !
; ...;
!( )!
(7)
 Portanto, a solução que procuramos é:
y a
x
n n
x
n
n
1 0
0
2
2
�
�
� �
�
�
� !( )! ; | |
 Ou seja,
y a
x x x
1 0
2 32
2
2
3
2
2 4
2
3 5
� � � � �
�
�
�
�
�
�!! ! ! ! !
...
(8)
Soluções em série para equações diferenciais 
de segunda ordem
Equações Diferenciais
6
105
 x y xy x y2 2
1
4
0’’ ’� � ��
�
�
�
�
� � . Substitua
 y x x v x
a( ) ( )=
 Assim, podemos calcular as derivadas antes de substituir na equação diferencial 
dada:
dy
dx
x av x
dv
dx
a� ��
�
�
�
�
�
�1.
 
d y
dx
x a a v ax
dv
dx
x
d v
dx
a
2
2
2 2 2
2
22� � � �
�
�
�
�
�
�
� . )
 Substituindo na equação diferencial dada:
 
x
d v
dx
a x
dv
dx
x x a va a a� �� � � � ��
�
�
�
�
� �
2
2
2
1 2 22 1 1
4
0( )
 Escolhendo a � � 1
2
 chegamos à seguinte equação:
 
x
d v
dx
x v
3
2
2
2
3
2 0� �
 
d v
dx
v x
2
2 0� �( )
 Resolvendo a equação pelo método dos outros capítulos, encontramos e xλ como so-
lução e, utilizando as relações de Euler, podemos reescrever:
 
y x
c x C sen x
x
( )
cos( ) ( )
�
�1 2
Equações Diferenciais 107
7
Aplicações
As aplicações de equações diferenciais são vastas: podem ir da área de Física à 
Biologia, da Matemática à Engenharia. O objetivo deste capítulo é apresentar algumas 
das diversas aplicações existentes e como os métodos tratados nos capítulos anteriores 
podem ser utilizados para obter a solução geral de cada uma das aplicações dadas. 
A primeira parte do capítulo apresenta uma aplicação em Física e Engenharia que 
mostra como é o processo de resfriamento de um objeto com base na Lei de Variação 
de Temperatura de Newton. A segunda parte apresenta um modelo utilizado na área 
de Economia sobre a aplicação infinitesimal da taxa de juros compostos. A terceira 
parte apresenta uma aplicação de equação diferencial de segunda ordem na área de 
Engenharia Elétrica, para circuitos elétricos fechados.
Aplicações7
Equações Diferenciais108
7.1 Lei de Variação de Temperatura de Newton
Entre as aplicações de equações diferenciais, podemos citar a Lei de 
Variação de Temperatura de Newton, utilizada na área de Física e em aplica-
ções de Engenharia. Como aponta Alitolef (2011), os exemplos de aplicação 
da Lei de Variação de Temperatura estão presentes
na variação de temperatura de uma simples xícara de café durante o seu resfria-
mento ou no derretimento de uma bola de sorvete, ou ainda no processo de res-
friamento de um bolo, entre outras aplicabilidades deste modelo. (ALITOLEF, 
2011, p. 17)
O modelo de equação diferencial é apresentado pela equação: 
dT
dt
kT kTm� � (1)
Antes de classificar a equação e procurar seus métodos de resolução, vejamos o 
significado de cada variável. Na Lei de Variação de Temperatura, estamos interessados 
em determinar uma função que defina a temperatura em função do tempo. Essa função, 
que é a solução geral do problema, permite que o interessado saiba sobre o que é funda-
mental no modelo.
Entretanto, a informação presente na expressão da equação 1 explica como ocorre a taxa 
de variação da temperatura em função do tempo, expresso por sua derivada:
dT
dt
Veja que a equação 1 pode ser reescrita como:
dT
dt
k T Tm� �� �
Isso permite ver que essa variação da temperatura é proporcional a uma diferença entre 
duas temperaturas: Tm , que representa a temperatura ambiente, e T , que representa a tem-
peratura atual do objeto.
Podemos interpretar que quanto maior a diferença entre a temperatura ambiente e a 
temperatura real do objeto, mais rápida é a taxa de variação entre a temperatura real e o 
tempo. Repare também que se a temperatura do objeto for maior que a temperatura do am-
biente T Tm � � 0 >, isso implica em dT
dt
< 0. Ou seja, o objeto perde temperatura ao longo do 
tempo, passando essa temperatura ao ambiente.
Se a temperatura do objeto for menor que a temperatura do ambiente, T Tm � � 0, o que 
implica em dT
dt
> 0. Ou seja, o objeto aquece ao longo do tempo.
Repare que a equação diferencial 1 do problema dado pode ser reescrita para facilitar 
sua classificação. Nesse caso, obtemos a equação 2, dada por:
Vídeo
Aplicações
Equações Diferenciais
7
109
dT
dt
kT kTm� � (2)
Veja que essa equação diferencial é uma equação diferencial de primeira ordem com 
coeficientes constantes não homogênea. Entretanto, veja que podemos utilizar o método das 
equações separáveis para encontrar a solução geral. Nesse caso,
dT
dt
kT kTm� � (3)
Colocando a constante de proporcionalidade k em evidência:
dT
dt
k T Tm� �� �
Separando as variáveis:
dT
T T
kdt
m �
�
Integrando ambos os lados da equação:
�
�
� �
dT
T T
kdt
m
cujo resultado se torna, como visto nos capítulos anteriores:
ln T T kt Cm �� � � �
Isolando T t� �, obtemos:
T T em
kt C� � �
T T e Cm
kt� � . 1
T t T C em
kt� � � � 1 (4)
que é a solução geral da equação diferencial procurada. Os exemplos que veremos de apli-
cações buscam encontrar a solução particular de um desses problemas dados.
Exemplo 1: seja uma substância em uma corrente de ar sendo resfriada de acordo com a 
Lei de Resfriamento de Newton. Se a temperatura do ar é 30 °C e uma substância de 12 °C se 
resfria a 80 °C em 20 minutos, vamos determinar o momento em que essa substância chegará 
a 50 °C.
Como obedece à Lei de Resfriamento de Newton, sua solução geral será dada pela 
equação 4. Veja que a temperatura do ambiente Tm = 30 °C. Nesse caso, 
T t C ekt� � � �30 1 (5)
Aplicações7
Equações Diferenciais110
Veja também que possuímos duas informações que podem ser utilizadas para determi-
nar as condições particulares da solução geral dada. Veja que, para t = 0, T 0 120� � � �C e, 
para t = 20min, T 20 80� � � . Isso permite que geremos o seguinte sistema de equações:
T
T
0 120
20 80
� � � �
� � � �
�
�
�
��
C
C
Aplicando na equação 5, podemos reescrever esse sistema como:
30 120
30 80
1
0
1
20
� �
� �
�
�
�
��
C e
C e
k
k
.
.
Ou seja,
30 120
30 80
1
1
20
� �
� �
�
�
�
��
C
C e k
Da primeira equação, obtemos que C1 90� � ; substituindo na segunda equação, obtemos:
30 90 8020� �e k
90 5020e k =
e k20
5
9
=
20 5
9
k = ln
20 0 58779k � � ,
k � �0 0294,
Assim, a solução particular do problema é dada pela equação:
T t e t� � � � �30 90 0 0294,
Isso permite determinar em que momento a substância chegará a 50 ºC. Isso é expresso 
por T 50� �.
T e50 30 90 50 70 0294 50� � � � �� , . , min
7.2 Aplicação em juros compostos
A taxa de juros compostos é conhecida como a taxa de juros sobre juros, 
visto que novos juros são aplicados ao montante em cada período. A equação 
diferencial que define o problema é dada por:
dS
dt
rS= (6)
Vídeo
Aplicações
Equações Diferenciais
7
111
Definimos como s o montante atual e r a taxa de juros contínua. Essa equação diferen-
cial apresenta, portanto, a relação de como o montante atual varia ao longo do tempo (t). 
Podemos observar que essa variação é proporcional ao montante atual. Em outras palavras, 
quanto maior o montante, mais rápido em valor absoluto cresce ao longo do tempo. O nosso 
interesse é em obter a solução geral dessa equação diferencial, que nesse caso será dada por 
S t� �.
A equação diferencial pode ser reescrita como:
dS
dt
rS� � 0
que é uma equação diferencial de primeira ordem homogênea. Veja que ela também pode 
ser resolvida por separação de variáveis. Nesse caso,
dS
dt
rS=
dS
S
rdt=
Integrando ambos os lados:
� � �
dS
S
rdt
lnS rt C� �
S ert C� �
S t kert� � �
Vejamos que a solução poderia ser encontrada também pelo método das equações ca-
racterísticas. Nesse caso, a equação característica seria dada por:
u r� � 0
cuja solução é u = r. Como é uma única raiz real, a solução é dada pela combinação linear 
dessa única solução, ou seja:
S t kert� � �
Vejamos o significado da constante de integração no seguinte exemplo.
Exemplo 2: uma pessoa deposita R$ 2.000,00 em uma conta poupança e, após 3 anos, 
seu saldo é de R$ 2.699,72. Vamos determinar a solução particular da equação dada e quanto 
tempo levará para que o montante atual seja o dobro do montante final.
Como o exemplo dado segue o modelo de taxas de juros, sua solução geral será 
dada por:
S t kert� � � (7)
Aplicações7
Equações Diferenciais112Vamos usar os dados fornecidos pelo enunciado para escrever um sistema de equações 
associado ao problema:
S
S
0 2 000
3 2 699 72
� � �
� � �
�
�
�
��
.
. ,
Substituindo na solução geral dada:
ke
k e
r
r
.
.
.
. . ,
0
3
2 000
2 699 72
�
�
�
�
�
��
Veja que a primeira equação nos fornece:
k = 2.000
e traz um indicativo do que é a constante de integração nesse caso. No modelo de juros com-
postos, a constante de integração se refere ao montante inicial, ou seja S0.
Substituindo na segunda equação do sistema, temos:
ke r3 2 699 72= . ,
2 000 2 699 723. . ,e r =
e r3
2 699 72
2 000
=
. ,
.
e r3 1 34986= ,
ln( ) ,e r3 1 34986� � �ln
3 0 30000r = ,
r = 0 001,
que representa uma taxa de juros de 10% ao ano. Vejamos, portanto, que a solução particular 
do problema dado é:
S t e t� � � 2 000 0 0999. ,
Desejamos, por fim, determinar quando o montante atual é o dobro do montante final, 
em outras palavras, desejamos determinar:
S t� � � 4 000.
Nesse caso,
4 000 2 000 0 0999. . ,= e t
2 0 0999= e t,
Aplicações
Equações Diferenciais
7
113
0 0999 0 69315, ,t =
t = 6 93, anos
7.3 Circuito RLC
Nesta última parte, iremos apresentar a resolução de uma equação di-
ferencial que surge na modelagem de circuitos elétricos. Nesse caso, temos 
um resistor indicado pela sua resistência R, um indutor indicado por sua 
indutância L e um capacitor indicado por sua capacitância C, além de uma 
fonte de tensão V t� �.
Cada um dos elementos incluídos no circuito elétrico tem sua queda de tensão determi-
nada por uma lei própria da Física. No caso do resistor,
V RIr =
no qual é I a corrente no circuito. No caso do capacitor,
V
Q
Cc
=
no qual é Q a carga no capacitor. No caso do indutor,
V L
dI
dtl
= .
Como a Segunda Lei de Kirchhoff nos diz que a tensão aplicada é igual à soma das 
quedas tensão no circuito, em um circuito fechado, podemos escrever a seguinte equação 
diferencial associada ao problema:
L
dI
dt
RI
C
Q V t� � � � �1 (8)
Ainda sabemos do eletromagnetismo que:
I
dQ
dt
=
que nos permite reescrever a equação 8:
L
d Q
dt
R
dQ
dt C
Q V t
2 1
� � � � � (9)
Para obtermos a resolução da equação diferencial dada, inicialmente a classificamos 
para encontrar o melhor método de obtenção da solução. A solução geral procurada, nesse 
caso, é Q(t).
Veja que a equação diferencial 9 é uma equação diferencial de segunda ordem com 
coeficientes constantes não homogênea. Para encontrarmos a solução geral, primeiro 
Vídeo
Aplicações7
Equações Diferenciais114
encontramos a solução geral da equação homogênea equivalente, ou seja, buscamos a solu-
ção de:
L
d Q
dt
R
dQ
dt C
Q
2 1 0� � �
Para isso, como visto nos capítulos anteriores, buscamos a equação característica asso-
ciada ao problema:
Lr Rr
C
2 1 0� � �
que possui duas raízes, podendo ser reais distintas, reais com multiplicidade dupla ou ima-
ginárias. Como visto nos capítulos anteriores, poderemos ter três tipos de solução em função 
dessas possibilidades de raízes. Se as raízes forem distintas, r1 e r2, obtemos:
Q t C e C eh
r t r t� � � �1 21 2
Se as raízes forem reais com multiplicidade dupla, nossa solução geral será dada por:
Q t C e C teh
rt rt� � � �1 2
Por fim, se as raízes forem imaginárias, r a b i1 1 1� � e r a b i2 2 2� � , a solução geral é 
dada por:
Q t C e C eh
a b t a b t� � � �� �1 21 1 2 2
que pode ser reescrita pela Relação de Euler, e cos iseni� � �� � , discutida em capítulos ante-
riores, para obter uma função trigonométrica periódica.
Após encontrarmos a solução homogênea Q th � �, buscamos a solução particular que 
depende de V t� �. Para essa solução particular Q tp � �, a solução geral será dada por:
Q t Q t Q th p� � � � � � � �
Vejamos como essa resolução funciona em um exemplo.
Exemplo 3: seja um circuito elétrico formado por um resistor de resistência R = 4 ohm, 
um capacitor de C = 0,25 e um indutor de indutância L = 1. Se a fonte fornece uma tensão 
definida por V (t) = k, vamos determinar a solução geral dessa equação diferencial.
Nesse caso, a equação 9, associada ao problema de um circuito elétrico, pode ser rees-
crita como:
1 4 1
0 25
2
2
d Q
dt
dQ
dt
Q k� � �
.
Ou seja,
d Q
dt
dQ
dt
Q k
2
2 4 4� � �
Aplicações
Equações Diferenciais
7
115
Vamos encontrar a solução da equação não homogênea associada. Para isso, obtemos a 
equação característica associada:
r r2 4 4 0� � �
r �� � �2 02
cujas raízes são:
r r1 2 2� � �
Como as raízes são reais, mas aparecem mais de uma vez, a solução da equação homo-
gênea é dada por:
Q t C e C teh
t t� � � �� �1 2 2 2
A sua solução particular, pelo método dos coeficientes a determinar, é dada por:
Q t a t a t ap � � � � �0 2 1 2
Derivando Q tp � �:
dQ
dt
a t ap � �2 0 1
d Q
dt
ap
2
2 02=
Substituindo na equação diferencial dada:
d Q
dt
dQ
dt
Q k
2
2 4 4� � �
2 4 2 40 0 1 0
2
1 2a a t a a t a t a k� �� � � � �� � �
2 4 4
8 4 0
4 0
0 1 2
0 1
0
a a a k
a a
a
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
Portanto, a0 0= , a1 0= e a
k
2 4
=
E a solução particular é dada por:
Q t kp � � � / 4
Por fim, podemos combinar a solução particular com a solução geral da equação homo-
gênea, para obtermos a solução geral da equação não homogênea, ou seja:
Q t Q t Q th p� � � � � � � �
Q t C e C te
kt t� � � � �� �1 2 2 2 4
Aplicações7
Equações Diferenciais116
 Ampliando seus conhecimentos
Algumas aplicações das 
equações diferenciais
(ALITOLEF, 2011)
O inglês Thomas Robert Malthus em uma publicação chamada “Na Essay 
on the Principle of Population” enfatizava dois pontos:
a)	A população, se não ocorrem guerras, epidemias, desastres naturais, 
etc., tenderia a duplicar a cada 25 anos. Ela cresceria, portanto, em 
progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32...) e constituiria um fator variá-
vel, ou seja, cresceria sem parar.
b)	O crescimento da produção de alimentos ocorreria apenas em pro-
gressão aritmética (2, 4, 6, 8, 10...) e possuiria um limite de produ-
ção, por depender de um fator fixo: o próprio limite territorial dos 
continentes.
Malthus fez a proposição de que as pessoas deveriam ter filhos apenas 
quando estas tivessem terras cultiváveis para poder sustentá-los. Porém, 
no mundo de hoje suas teorias não se concretizaram, a população não 
dobra a cada 50 anos, e a produção de alimentos é mais que suficiente 
para alimentar essa população. O que leva as pessoas a passarem fome 
não é o número de pessoas no planeta, mas devido a outros fatores alheios 
a esta pesquisa. Porém, com base nessas teorias definiu-se o modelo de 
crescimento e decrescimento populacional ou Modelo de Malthus.
Seja P uma população qualquer, t o tempo onde a razão entre a variação 
da população e a variação do tempo é proporcional à população atual. 
Pode-se expressar esta proposição pela seguinte equação:
dP
dt
kP=
onde k é uma constante. Dessa forma, pode ser observado que se k é posi-
tiva a população crescerá e se k for negativa a população diminuirá (ela 
pode diminuir por um tempo sem ir para zero). “Algumas vezes também é 
chamada de lei do crescimento natural (se ) ou lei do decaimento natural 
se ( )” (STEWART, 2007). Assim, este modelo matemático pode ser utili-
zado em vários fenômenos diferentes. Manipulando o modelo de Malthus 
apresentado na equação tem-se:
Aplicações
Equações Diferenciais
7
117
dP kPdt=
Dividindo os dois lados da equação por P e integrando, tem-se:
� � �
dP
P
kdt
Resolvendo a Equação Diferencial:
ln P kt C� � � �
eln P kt Ce� � ��
P Cekt=
 Atividades
1. Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150 °C, passado quatro minutos 
essa temperatura cai para 90 °C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a 
temperatura de 30 °C, sabendo que a temperatura ambiente é de 25 °C?
2. Uma pessoa deposita R$ 4.000,00 nem uma conta poupança a uma taxa de juros com-
posto de 10% ao ano. Considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum 
saque nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de 
3 anos?
3. Um circuito elétricoé formado por um resistor de resistência R = 6 ohm, um capaci-
tor de C =
1
9
 e um indutor de indutância L = 1. Se a fonte fornece uma tensão definida 
por V(t) = sen kt, determine a solução geral Q(t).
 Referências
ALITOLEF, S. S. Algumas aplicações das equações diferenciais. Universidade Federal de Rondônia, 
2011.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
Aplicações7
Equações Diferenciais118
 Resolução
1. Como diz a Lei de Resfriamento de Newton, sua solução geral será dada pela equa-
ção 1. Veja que a temperatura do ambiente Tm = 25 °C. Nesse caso, 
T t C ekt� � � �25 1 (1)
 Veja também que possuímos duas informações que podem ser utilizadas para de-
terminar as condições particulares da solução geral dada. Para t = 0, T 0 =150� �   °C e 
para t = 4 min, T 4 90� � � . Isso permite que geremos o seguinte sistema de equações:
T
T
0 150
4 90
� � �
� � �
�
�
�
��
�
�
C
C
 Aplicando na equação 1, podemos reescrever esse sistema como:
25 150
25 90
1
0
1
4
� �
� �
�
�
�
��
C e
C e
k
k
 Ou seja,
25 150
25 90
1
1
4
� �
� �
�
�
�
��
C
C e k
 Da primeira equação obtemos que C1 125� � ; substituindo na segunda equação, ob-
temos:
25 125 904� �e k
125 654e k =
e k4
65
125
=
e k4
13
25
=
4 13
25
k = ln
4 0 6539k � � ,
k � �0 1635,
Aplicações
Equações Diferenciais
7
119
 Assim, a solução particular do problema é dada pela equação:
T t e t� � � � �25 125 0 1635,
 Isso permite determinar em que momento a substância chegará a 30 ºC. Isso é ex-
presso por T 30� �.
T e x30 25 125 19 680 1635 30� � � � �� , , min
2. Como o exemplo dado segue o modelo de taxas de juros, sua solução geral será 
dada por:
S t kert� � � (2)
 Vamos usar os dados fornecidos pelo enunciado para escrever um sistema de equa-
ções associado ao problema:
S
S
0 4 000
1 4 400
� � �
� � �
�
�
�
��
.
.
 Substituindo na solução geral dada:
ke
k e
r
r
.
.
.
. .
0
1
4 000
4 400
�
�
�
�
�
��
 Veja que a primeira equação nos fornece
 k = 4 000.
 e traz um indicativo do que é a constante de integração nesse caso. No modelo de 
juros compostos, a constante de integração se refere ao montante inicial, ou seja, S0.
 Substituindo na segunda equação do sistema, temos:
ker = 4 400.
4 000 4 400. .er =
er = =
4 400
4 000
1 1.
.
,
r = ln ,1 1
r = 0 01000,
Aplicações7
Equações Diferenciais120
 Veja, portanto, que a solução particular do problema dado é:
S t e t� � � 4 000 0 09531. ,
 Desejamos, por fim, determinar qual o montante após 3 anos, em outras palavras, 
desejamos determinar:
S 3� �
 Nesse caso,
S e3 4 000 11 3� � � . , .
S 3 5 399 44� � � . , reais
3. A equação 9, associada ao problema de um circuito elétrico, pode ser reescrita como:
d Q
dt
dQ
dt
Q senkt
2
2 6 9� � �
 Vamos encontrar a solução da equação não homogênea associada. Para isso, obte-
mos a equação característica associada:
r r2 6 9 0� � �
r �� � �3 02
 cujas raízes são:
r r1 2 3� � �
 Como as raízes são reais, mas aparecem mais de uma vez, a solução da equação ho-
mogênea é dada por:
Q t C e C teh
t t� � � �� �1 3 2 3
 A sua solução particular, pelo método dos coeficientes a determinar, é dada por:
 Por fim, podemos combinar a solução particular com a solução geral da equação 
homogênea para obtermos a solução geral da equação não homogênea, ou seja:
Q t Q t Q th p� � � � � � � �
Q t C e C te senktt t� � � � �� �1 3 2 3
Q t senktp � � �
Equações Diferenciais 121
8
Série de Fourier e 
transformada de Laplace
Neste último capítulo buscaremos fornecer uma noção de técnicas avançadas de 
resolução de equações diferenciais. Inicialmente, iremos discutir as equações diferen-
ciais parciais e seus principais métodos de resolução. Na segunda parte, apresentare-
mos a série de Fourier para tratar de equações diferenciais, cuja solução aparenta pos-
suir um comportamento periódico com período P. Na terceira parte, iremos apresentar 
a transformada de Laplace como uma técnica para resolver equações diferenciais.
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais122
8.1 Equações diferenciais parciais
Como visto nos capítulos anteriores, uma equação diferencial é uma 
igualdade que relaciona uma função e suas derivadas. Se as derivadas de 
uma função possuem apenas uma única variável independente, dizemos 
que é uma equação diferencial ordinária.
Por sua vez, uma equação diferencial parcial é uma igualdade envolvendo 
as derivadas de uma função de duas ou mais variáveis independentes. Alguns exemplos podem 
ser mostrados:
u x t u x tt xx, ,� � � � �2
� � �
�
�
� � �
�
�
2
2
2
2 2
u x y
x
u x y
y
xy
, ,
u x t u x t u x t xyt x, , ,� � � � � � � � 2
Podemos observar que a ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de 
maior ordem que ocorre na equação, como foi visto nos capítulos anteriores. No primeiro 
e no segundo exemplo, as equações são de segunda ordem, enquanto no terceiro exemplo 
as equações são de terceira ordem. Assim como nas equações ordinárias, uma equação dife-
rencial parcial é dita linear quando depende linearmente da função envolvida e seus coefi-
cientes independem da função. As equações apresentadas nos exemplos vistos são lineares.
Vejamos dois exemplos de equações diferenciais parciais que recorrentemente apare-
cem em problemas de Física.
Exemplo 1: a equação diferencial parcial
u x t ku x tt xx, ,� � � � �
representa a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem. A 
solução u x t,� � pode ser separada em relação as duas variáveis x e t, obtendo (NÓS, 2014)):
u x t X x T t,� � � � � � �
Substituindo essa solução na equação do calor, temos:
�
�
� � � � � �
t
XT k
dx
XT
2
2
Como as variáveis foram separadas, podemos escrever as derivadas parciais da equa-
ção do calor como:
X
dT
dt
kT
d X
dx
=
2
2
Vídeo
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
123
1
3
1 2
2
2
T
dT
dt X
d X
dx
� � ��
A determinação de λ pode ser definida a partir das condições de contorno do problema.
Como são iguais, escrevemos dois sistemas de equações:
1
3
1
2
2
2
2
T
dT
dt
X
d X
dx
� �
� �
�
�
��
�
�
�
�
�
Resolvendo ambas as equações diferenciais:
dT
dt
T
d X
dx
X
� �
� �
�
�
��
�
�
�
3 2
2
2
2
�
�
Ou seja,
dT
dt
T
d X
dx
X
� �
� �
�
�
��
�
�
�
3 0
0
2
2
2
2
�
�
Vejamos que a primeira equação do sistema de equações refere-se a uma equação dife-
rencial de primeira ordem homogênea, enquanto a segunda equação é uma equação diferen-
cial de segunda ordem homogênea. Ambas as soluções podem ser encontradas pelo método 
das equações com coeficientes constantes. Nesse caso, a equação característica de cada uma 
é dada por:
r
r
� �
� �
�
�
�
��
3 0
0
2
2 2
�
�
Veja que a equação característica para a primeira equação possui uma raiz real dada por 
�3 2� . Nesse caso, a solução de T t� � é dada pela seguinte combinação linear, como foi visto 
nos primeiros capítulos:
T t ke t� � � �3
2�
A segunda equação diferencial nos permite encontrar as seguintes raízes:
r 2 2� ��
r i� � �
Portanto, a solução geral de X x� � é dada por:
X x C e C ei x i x� � � � �1 2� �
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais124
Usando a identidade de Euler, como visto nos capítulos anteriores, podemos reescrever 
a solução dada como:
X x A x B sen x� � � � � � � �1 1cos � �
Vejamos, portanto, que a solução u x t,� � procurada é dada por:
u x t A x B sen x ke t,� � � � � � � �� � �1 1 3
2
cos � � �
Combinando as constantes de forma apropriada, obtemos a seguinte solução:
u x t x sen xt,� � � � � � � �� ��e Acos B3 2�
O leitor interessado em continuar os estudos em equações diferenciais pode buscar o 
material adicionalde Rudimar Nós (2014).
Exemplo 2: outra equação diferencial parcial que modela um problema físico é 
dada por:
u x t c u x ttt xx, ,� � � � �2
Nesse caso, também podemos supor que a solução u x t,� � é separável na forma:
u x t X x T t,� � � � � � �
Isso significa que, ao substituir na equação diferencial o exemplo 2, obtemos:
�
�
� � � �
�
� �
2
2
2
2
2t
XT c
x
XT
Separando as derivadas parciais:
X
T
dt
c T
d X
dx
�
�
2
2
2
2
2
1 1
2
2
2
2
2
2
c T
T
dt X
d X
dx
�
� � ��
De forma semelhante, podemos escrever o seguinte sistema de equações associado 
ao problema:
1
1
2
2
2
2
2
2
2
c T
T
dt
X
d X
dx
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
�
�
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
125
Que pode ser escrito como:
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
2
2
2 2
2
2
2
T
dt
c T
d X
dx
X
�
�
Ou seja,
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
2
2
2 2
2
2
2
0
0
T
dt
c T
d X
dx
X
�
�
que possui como equações características:
r c
r
2 2 2
2 2
0
0
� �
� �
�
�
�
��
�
�
Podemos observar que, nesse caso, ambas as equações possuem raízes complexas. No 
primeiro caso, as raízes são r ic� � � ..
Assim, a solução geral T t� � é dada por:
T t C e C eic t ic t� � � � �1 2� �
que pode ser reescrita pela identidade de Euler como:
T t A ct A sen ct� � � � � � � �1 2cos
Na segunda equação, as raízes são r i� � �. Portanto, a solução geral da equação dife-
rencial associada a X x� � é:
X x C e C ei x i x� � � � �3 4� �
que pode ser reescrita pela identidade de Euler como:
X x B cx B sen cx� � � � � � � �1 2cos
Combinando as duas soluções, visto que u x t T t X x, .� � � � � � �, obtemos a solução geral 
para a equação do calor:
u x t A ct A sen ct B cx B sen cx,� � � � � � � ��� �� � � � � ��� ��1 2 1 2cos cos
Indicando que algumas equações diferenciais parciais possuem soluções que podem 
ser encontradas analiticamente.
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais126
8.2 Equações de Euler e de Bessel
8.2.1 Equações de Euler
Uma equação de Euler tem a forma:
L y x y xp y q y[ ] ’’ ’� � � �2 0 0 0 (1)
com p0 e q0 constantes reais e x = 0 como ponto singular regular. O raciocínio para encontrar 
essa solução é semelhante ao apresentado previamente neste capítulo e pode ser verificado 
com mais detalhes em Boyce e DiPrima (2010, seção 5.5). O teorema a seguir resume os 
três casos.
8.2.1.1 Teorema 2.1
A solução geral da equação de Euler x y axy by2 0’’� � � em qualquer interva-
lo que não contenha a origem é determinada pelas raízes r1 e r2 da equação indicial 
F r r r r( ) ( ) .� � � � �1 0� �
Se r1 r2 reais, então sua solução tem a forma: 
y C x C xr r� �1 21 2 (2)
Se r r1 2= , então a solução terá a forma:
y C C x xr� �1 2 ln (3)
Se r1 e r2 são raízes complexas conjugadas, então a solução terá a forma: 
y x c x c x� � � � � ��� ��
� � �1 2cos senln ln (4)
onde r r i1 2� � �� �.
Por exemplo, dada a equação:
x y xy y2 3 4 0’’� � �
Sua equação indicial é:
r r r�� � � � �1 3 4 0
Equivalente a:
r r2 3 4 0� � �
cujas raízes são:
r1 1 5� � �
r2 1 5� � �
Vídeo
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
127
Portanto se refere ao primeiro caso, cuja solução tem a forma:
y C x C x� �� � � �1
1 5
2
1 5
8.2.2 Equações de Bessel
Uma equação de Bessel tem a forma:
x y xy x y2 2 2 0’’ ’ ( )� � � �� (5)
com ν constante e x = 0 como ponto singular regular. O raciocínio para encontrar essa solu-
ção é semelhante ao apresentado previamente neste capítulo e pode ser verificado com mais 
detalhes em Boyce e DiPrima (2010, seção 5.8). Considerando as soluções para x > 0, iremos 
apresentar três casos da equação de Bessel (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
8.2.2.1 Equações de Bessel de ordem zero
Neste caso, � � 0 e as raízes são iguais. Assim, obtemos uma solução para a equação 5 
como:
y x a
x
m
x
m m
m
m
1 0
2
2 2
1
1 1
2
0( ) ( )
( !)
,� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
� (6)
e a parcela entre colchetes dessa equação é conhecida como função de Bessel de primeira 
espécie, denotada por J x0( ). A segunda solução pode ter a forma (BOYCE; DIPRIMA, 2010):
y x J x x
H
m
x x
m
m
m
m
m
2 0
1
2 2
2
1
1
2
0( ) ( )ln
( )
( !)
,� �
�
�
�
�
�
� (7)
onde H
mm
� � � � �1 1
2
1
3
1... (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
Outra maneira de expressar a segunda solução ocorre por meio da função de Bessel de 
segunda espécie, denotada por Y x0( )
Y x y x J x0 2 0
2 2( ) ( ) ( ln ) ( )� � �� �
�
� (8)
onde � � � �
��
lim( ln ) ,
n m
H n 0 5772. Portanto, a segunda solução expressa por Y x0( ) é dada por:
Y x
x
J x
H
m
x x
m
m
m
m
m
0 0
1
2 2
2
1
2
2
1
2
( ) ln ( )
( )
( !)
� ��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�� 
 �� 0 (9)
Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem zero é dada por: 
y c J x c Y x� �1 0 2 0( ) ( ) (10)
para x > 0. (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais128
8.2.3 Equações de Bessel de ordem meio
Nesse caso, v =1 2/ e r r N1 2� � com N inteiro positivo, porém não há um termo loga-
rítmico na solução. Assim, obtemos uma solução para a equação 6 como:
y x x
x
m
x
m m
m
1
1 2
2 1
0
1
2 1
0( ) ( )
( )!
,/� �
�
��
�
�
�
�
E possui como solução a função de Bessel de primeira espécie de ordem meio, denotada 
por J x1 2/ ( ):
J x
x
x x1 2
1 22 0/
/
( ) sen ,� �
�
�
�
�
� ��
A segunda solução tem a forma:
J x
x
x x� �
�
�
�
�
�
� �1 2
1 22 0/
/
( ) cos ,
�
Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem meio é dada por:
y c J x c J x� � �1 1 2 2 1 2/ /( ) ( )
para x > 0. (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
8.2.4 Equações de Bessel de ordem um
Nesse caso, v =1, r r N1 2� � com N inteiro positivo e existe um termo logarítmico na 
solução. Assim, obtemos uma solução para a equação 6 por meio da função de Bessel de 
primeira espécie de ordem um, denotada por J x1( ):
J x
x x
m m
x
m m
m
m
1
2
2
02
1
2 1
0( ) ( )
( )! !
,� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A segunda solução tem a forma:
Y x y x J x x1 2 1
2 2 0( ) ( ) ( ln ) ( ) ,� �
�
�
�
�
� � � �� � �� �
Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem um é dada por:
y c J x c Y x� �1 1 2 1( ) ( )
para x > 0 (BOYCE; DIPRIMA, 2010). 
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
129
Algumas das funções de Bessel existentes são:
J
x
sen x1
2
2
� � �
�
J
x
x
�
� � �1
2
2
�
cos
8.3 Transformada de Laplace
8.3.1 Definição e exemplos da transformada de 
Laplace
Apresentaremos uma ferramenta importante para a resolução de equa-
ções diferenciais. Essa ferramenta é chamada de integral transformada, que tem a seguinte 
forma:
F s K s t f t dt( ) ( , ) ( )� ��
�
(11)
onde são fornecidos os limites de integração α, β e a função K (s,t). Dizemos que a função K 
(s,t) é o núcleo da transformação e F é a transformada de f. Nosso interesse neste capítulo é 
quando os limites de integração α, β são 0 e ∞, respectivamente, e quando o núcleo da trans-
formação K (s, t) = e–st. Ou seja, quando a equação 11 é dada como:
F s e f t dtst( ) ( )� �
�
�0
Para definirmos a transformada de Laplace, é necessário que a aplicação f, descrita na 
equação 11, satisfaça determinadas condições que garantem a existência da aplicação F. 
Essas condições são apresentadas no teorema a seguir:
8.3.1.1 Teorema 3.1
Se f é seccionalmente contínua no intervalo 0 ≤ t ≤ A, para todo A 0 e | f(t)| ke at quan-
do t M, onde k, a, M são constantes reais com k, M 0. Então a aplicação F(s) definida na 
equação 2 existe para s α.
A demonstração desse teorema pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010, p. 241-
242), além de comentários extras em Zill e Cullen (2001).
Se f satisfaz as condições do Teorema 3.1, então a transformada de Laplace de f é defi-
nida por:
Vídeo
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais130
L f t F s e f t dtst� �� � � � �
�
�: ( ) ( )0 (12)
Os exemplos a seguir foram extraídos de Boyce e DiPrima (2010, p. 242).
Exemplo 3.1: seja f(t) = 1,t 0. Então, para s 0,
L 1 1
0
0
� � � � � ��
�
��
�
� e dt
e
s s
st
A
st A
lim
por conta da transformada de Laplace.
Exemplo 3.2: seja f(t) = e at, t 0. Então, para s a:
L e e e edt dt
s a
at st at s a t� � � � �
�
�� � ��� �0 0
1( )
Esse resultado pode ser verificado na tabela ao final do capítulo.
Exemplo 3.3: seja f(t) = sen(at), t 0. Então, para s 0,
L sen at dtF s e sen atst( ) ( ) ( )� � � � �
�
�0
Como:
F s e sen at dt
A
stA( ) lim ( )�
��
��0
integrando por partes, obtemos:
F s
e at
a
s
a
e at dt
a
s
A
st A
stA( ) lim
( )
( )� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
��
cos
cos
0
0
1
aa
e at dtst
A ��0 cos( )
Uma segunda integração por partes fornece:
F s
a
s
a
e sen at
a
s
a
F sdtst( ) ( ) ( )� � ���
�
�
1 12
2 0
2
2
Portanto, para s > 0, temos:
F s
a
s a
( ) �
�2 2
A ideia geral para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace 
é a seguinte:
1. Use a equação 12 para transformar um problema de valor inicial para uma 
função desconhecida f com valores em t em um problema mais simples (de 
fato, um problema algébrico) para F com valores em s.
2. Resolva esse problema algébrico para encontrar F.
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
131
3. Recupere a função desejada f de sua transformada F. Essa última etapa é co-
nhecida como inverter a transformada, que será discutida em exemplos ao final 
do capítulo.
8.3.2 Solução de problemas de valores iniciais
O teorema a seguir nos mostra que a transformada de f’ está relacionada à transforma-
da de f, a menos de uma constante. Dessa maneira, é possível utilizar a transformada de 
Laplace para resolver problemas de valor inicial para equações diferenciais lineares com 
coeficientes constantes.
8.3.2.1 Teorema 3.2
Seja f contínua e f’ seccionalmente contínua em todo intervalo 0 t A. 
Se existem constantes k, a, M tais que |f(t)| keat para t M, então a transformada de Laplace 
de f’ existe para s a. Além disso,
L Lf t f t fs’ ( ).� �� � � � �� �� 0
8.3.2.2 Corolário 3.2.1
Sejam f, f’, ··· f (n–1) funções contínuas e f n seccionalmente contínua em todo intervalo 0 t 
 A. Se existem constantes k, a, M tais que |f(t)| ke at, |f’(t)| ke at, ···, |f (n–1) (t)| ke at, para t 
 M, então a transformada de Laplace de f n existe para s a e é dada por:
L Lf t f t f f fs s sn n n n n� �� � � � �� �� � � �� � �1 2 10 0 0( ) ( ) ( )
Considere a equação diferencial:
y y y’’ ’� � �2 0 (13)
com condições iniciais y(0) = 1, y’(0) = 0.
Resolveremos esse problema usando a transformada de Laplace. Precisamos supor que 
o problema tem solução y = φ (t) tal que as duas primeiras derivadas satisfazem o Corolário 
3.2.1. Calculando a transformada de Laplace da equação diferencial 12, obtemos:
L L Ly y y’’ ’ .� �� � �� � � �2 0
Pelo Corolário 3.2.1, podemos expressar L y ’’� � e L y ’� � em função de L y� �; assim, a 
equação 13 se escreve como:
s y sy y s y y y2 0 0 0 2 0L L L� �� � � � �� � � � �( ) ’( ) [ ( )] (14)
ou:
( ) ( ) ( ) ( ) ’( ) ,s s Y s s y y2 2 1 0 0 0� � � � � � (15)
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais132
onde Y(s) = L y� �. Substituindo os valores dados pelas condições iniciais na equação 15 e 
resolvendo para Y(s) a partir da técnica de decomposição em frações parciais, encontramos:
Y s
s
s s
s
s s
( )
( )( )
�
�
� �
�
�
� �
1
2
1
2 12
(16)
Obtivemos uma expressão para a transformada de Laplace Y(s) da solução y = φ (t) do 
problema inicial dado. Precisamos encontrar a função cuja transformada de Laplace é Y(s) 
dada pela equação 16, assim determinaremos a função φ .
Podemos escrever a equação 16 com a técnica de decomposição em frações parciais, 
como:
Y s
s
s s
a
s
b
s
a s b s
s s
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
� �
1
2 2 1
1 2
2 12
(17)
onde a, b são coeficientes que determinaremos a seguir. Igualando os numerados da segun-
da e quarta expressão na equação 17, temos:
( ) ( ) ( )s a s b s� � � � �1 1 2 (18)
uma equação que precisa ser satisfeita para todos os valores de s. Em particular, quando s = 
2, temos a =
1
3
, e, para s = –1, temos b =
2
3
. Substituindo esses valores na equação 17, temos:
Y s
s s
( ) /
( )
/
( )
�
�
�
�
1 3
2
2 3
1
(19)
Utilizando o exemplo 3.2, temos que 1
3
2e t tem transformada 
1
3
2 1( )s − − . Analogamente, 
2
3
e t− tem transformada 2
3
1 1( )s � � . Portanto,
y t e et t� � ���( ) 2
3
1
3
2 (20)
tem transformada a equação 19 e é solução do problema de valor inicial dado (BOYCE; 
DIPRIMA, 2010).
Considere a seguinte equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
ay by cy f t’’ ’ ( )� � � (21)
Suponha que a solução y = φ (t) satisfaz as condições do Corolário 3.2.1 para n = 2. 
Calculando a transformada da equação 20 obtemos:
a s Y s sy b sY s y cY s F s[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )2 0 0� � � � �
Y s as bs c asy by F s( )[ ] ( ) ( ) ( )2 0 0� � � � �
(22)
onde F(s) é a transformada de f(t). Resolvendo a equação 21, encontramos:
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
133
Y s
as b y ay
as bs c
F s
as bs c
( )
( ) ( ) ’( )
( )
( )
( )
�
� �
� �
�
� �
0 0
2 2 (23)
O problema está resolvido desde que possamos encontrar a função y = φ (t) 
cuja transformada é Y(s). Esse problema é conhecido como o problema de inversão da trans-
formada de Laplace e chamamos função φ (t) de transformada inversa correspondente à 
função Y(s), denotada por L� � �1 Y s( ) . O processo de encontrar função φ (t) pela função Y(s) é 
conhecido como inverter a transformada (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Apresentaremos uma tabela extraída de Boyce e DiPrima (2010, p. 248) e Zill e Cullen 
(2001), em que a segunda coluna fornece as transformadas das funções da primeira coluna.
Tabela 1 – Transformadas de Laplace elementares.
f t F s( ) ( )� � ��L 1 F s f t( ) ( )� � �L
1
1 0
s
s, >
e st
1
s a
s a
�
�,
t nn , ��
n
s
sn
! ,� �1 0
sen at( ) a
s a
s2 2 0�
�,
cos( )at s
s a
s2 2 0�
�,
senh at( ) a
s a
s a2 2�
�, | |
cosh( )at s
s a
s a2 2�
�, | |
e sen btat ( )
b
s a b
s a
( )
,
� �
�2 2
e btat cos( )
s a
s a b
s a
�
� �
�
( )
,2 2
t e nn at , ��
n
s a
s an
!
( )
,
�
��1
u tc ( )
e
s
s
ct�
�, 0
u t f t cc ( ) ( )− e F sct− ( )
e f tct− ( ) F s c( )−
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais134
f ct( ) 1 0
c
F
s
c
c( ), >
f tn( ) s F s s f fn n n( ) ( ) ( )− − −− −1 10 0
( ) ( )−t f tn F sn( )
Fonte: Elaborada pelo autor, com base em BOYCE; DIPRIMA, 2010, ZILL; CULLEN, 2001.
 Ampliando seus conhecimentos
Equações diferenciais ordinárias 
e algumas aplicações
(NÓBREGA, 2016)
A teoria das equações diferenciais foi aplicada primeiramente às ciências 
físicas, posteriormente a outras atividades humanas. Envolvendo desde a 
engenharia e a biologia até a medicina, os negócios, a história, os esportes 
e as artes. Elas associam uma função incógnita a uma ou mais de suas 
derivadas, resolvê-las significa encontrar todas as suas soluções, isto é, 
todas as funções que satisfazem a equação.
Boyce relata uma visão histórica das equações diferenciais, onde a mesma 
iniciou-se com o estudo de cálculo durante o século XVII, pelos matemá-
ticos Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, nessa concepção mostra 
que a evolução das equações está coesa ao avanço geral da matemática. 
Nesse período de desenvolvimento inicial, alguns matemáticos tiveram 
um maior ressalto, dentre eles podemos citar Newton, Leibniz, Jakob 
Bernoulli, entre outros.
Newton forneceu a base para a aplicação das equações diferenciais no 
século XVIII, através do desenvolvimento do cálculo e explicações dos 
princípios básicos da mecânica. Ele classificou as equações diferenciais de 
primeira ordem de acordo com suas formas e expandiu um método para 
resolver a equação a partir de polinômios usando séries infinitas.
Leibniz, basicamente autodidata em matemática, chegou aos resultados 
fundamentais do cálculo independentemente,pouco depois de Newton, 
no entanto, foi ele o primeiro a publicar seus estudos, no ano de 1684. 
Diferente de Newton que considerava variáveis mudando com o tempo, 
Leibniz estudava as variáveis x e y variando sobre sequência de valo-
res infinitamente próximos, ele introduziu a notação dx e dy como as 
Série de Fourier e transformada de Laplace
Equações Diferenciais
8
135
diferenças entre os valores sucessivos dessas sequências, ele tinha cons-
ciência da importância de uma boa notação e por isso estabeleceu a nota-
ção de derivada, assim como o sinal de integral. Em 1691 descobriu o 
método de separação de variáveis e desenvolveu o método de redução de 
equações homogêneas em equações separáveis, no ano de 1694, o procedi-
mento para resoluções de equações lineares de primeira ordem.
Leibniz mantinha contato com cartas com outros matemáticos, e foi 
por esse meio de comunicação que foram resolvidos muitos problemas 
em equações diferenciais, em especial com os irmãos Jakob Bernoulli e 
Johann Bernoulli os quais contribuíram significativamente como desen-
volvimento de métodos para resolução de equações diferenciais e expan-
são no campo de suas aplicações.
[...]
 Atividades
1. Considere a função f dada por f t( ) = 0 se 0 t 3 e f t( ) =1 se t ≥ 3. 
Calcule a transformada de Laplace L f t� �� �.
2. Seja f(t) uma função definida como ( ) ( )t u t− −2 22 2 , onde u t2 2( )− é a função degrau:
u x
x
x
x
( )
,
,
,
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
0 0
1
2
0
1 0
 Calcule a transformada de Laplace L f t� �� �.
3. Encontre funções f t( ) e g t( ) tais que a transformada de Laplace da função 
e sen t dt�
�
�( )��0 seja o produto das transformadas de Laplace das funções f t( ) e g t( ).
 Referências 
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
NÓBREGA, D. D. Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações. Caicó-RN: Ed. UFRN, 2016.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
Série de Fourier e transformada de Laplace8
Equações Diferenciais136
 Resolução
1. Primeiramente observamos que a função f t( ) é definida em duas partes; logo, sua 
transformada vai ser dada por soma de duas integrais. Pela definição de transforma-
da de Laplace, da função f t( ) e calculando a integral, obtemos:
e f t dt e dt e dt
e
s
e
s
st st st
st s
�� � ��
� � �
� � �� � � � � �0 0
3
3
3
3
0 2 2 2( ) ( ) ( ) , ss � 0. (1)
2. Usando o Teorema 3.1 obtemos: 
 ( ) ( ) .t u t e ts� �� � � � ��2 23 2 2 3 (2)
 e, pela Tabela 1, 
e e
s
e
s
sts s s� � �� � � � �2 2 4 2 43 3 6 0 ! , . (3)
3. Definimos f t et( ) = e g t sen t( ) ( )= . Pelo Teorema 3.1, a transformada de Laplace do 
produto de convolução de f t( ) e g t( ) é o produto das transformadas de Laplace de 
f t( ) e g t( ), ou seja:
  e sen t d e sen t
t t� � �
0� �� �� � � � �( ) ( ) . (4)
 Pela Tabela 1,
 e sen t
s s s s
t� � � � �
� �
�
� �
( )
( ) ( ) ( )( )
.1
1
1
1
1
1 12 2
(5)
Código Logístico
56721
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6347-5
9 7 8 8 5 3 8 7 6 3 4 7 5
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