Modelos Matemáticos de Equações Diferenciais

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56721
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6347-5
9 7 8 8 5 3 8 7 6 3 4 7 5
EQ
U
A
Ç
Õ
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C
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 P
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erez B
ravo
IESDE BRASIL S/A
2017
Equações Diferenciais
Guilherme Augusto Pianezzer
Dayane Perez Bravo
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
Capa: IESDE BRASIL S/A.
Imagem da capa: marigold_88/iStockphoto.
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
P643e Pianezzer, Guilherme Augusto
Equações diferenciais / Guilherme Augusto Pianezzer, Daya-
ne Perez Bravo. - [2. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE Brasil, 2017.
136 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6347-5
1. Matemática - Estudo e ensino (Superior). 2. Equações 
diferenciais. I. Bravo, Dayane Perez. II. Título.
17-44754 CDD: 515.35CDU: 517.9
© 2017 – IESDE BRASIL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos 
autores e do detentor dos direitos autorais.
Apresentação
Esta obra tem como objetivo aprofundar seus conhecimentos sobre 
as formas de se obter as soluções geral e particular de alguns tipos de 
equações diferenciais.
Discutiremos métodos para resolução de equações diferenciais se-
paráveis, equações diferenciais lineares de diversas ordens, equações di-
ferenciais lineares não homogêneas e as principais aplicações e soluções a 
partir de série de Fourier e transformadas de Laplace.
O livro está dividido em 8 capítulos com os seguintes temas: 
Equações diferenciais de primeira ordem: apresenta a classificação e a 
formulação de equações diferenciais e os métodos para equações dife-
renciais separáveis e homogêneas. Métodos para equações de primeira 
ordem: discute as equações resolvidas por fator integrante e as equações 
exatas, além do teorema de existência e unicidade de soluções. Equações 
lineares de segunda ordem: conceitua tais equações e apresenta os méto-
dos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes cons-
tantes e as equações de Euler-Cauchy homogênea. Equações não homo-
gêneas: discute o método dos coeficientes indeterminados, o método da 
variação dos parâmetros e aplicações em oscilações. Equações lineares de 
ordem superior: apresenta métodos de redução de ordem e generalização 
dos principais métodos para resolução de equações de segunda ordem. 
Soluções em série para equações diferenciais de segunda ordem: funda-
menta as séries de potência, as soluções perto de um ponto ordinário e 
de um ponto singular regular. Aplicações: apresenta problemas de Lei 
de Variação de Temperatura de Newton, aplicação em juros compostos 
e aplicações em engenharia elétrica. Série de Fourier e transformada de 
Laplace: apresenta métodos avançados para resolução de equações dife-
renciais parciais, como as séries de Fourier e as transformadas de Laplace. 
Bons estudos!
Sobre os autores
Guilherme Augusto Pianezzer
Doutorando no Programa de Métodos Numéricos em Engenharia 
pela UFPR. Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR. 
Especialista em Formação Pedagógica do Professor Universitário: 
Didática do Ensino Superior pela PUCPR. Graduado em Licenciatura 
em Matemática pela PUCPR. Atualmente é professor dos cursos de 
Licenciatura em Física e Matemática no ensino superior, professor subs-
tituto na Universidade Tecnológica Federal do Paraná e presidente da co-
missão permanente do EREMATSUL.
Dayane Perez Bravo
Doutoranda em Métodos Numéricos em Engenharia pela 
Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre em Métodos Numéricos 
em Engenharia pela UFPR. Graduada em Licenciatura em Matemática 
pela UFPR. Professora no ensino superior nos cursos de Engenharia.
6 Equações Diferenciais
SumárioSumário
1 Equações diferenciais de primeira ordem 9
1.1 Exemplos e formulação de equações diferenciais 10
1.2 Equações diferenciais separáveis 14
1.3 Equações homogêneas 17
2 Métodos para equações de primeira ordem 27
2.1 Fator integrante 28
2.2 Equações exatas 31
2.3 Teorema de existência e unicidade de soluções 35
3 Equações lineares de segunda ordem 43
3.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de segunda ordem 44
3.2 Métodos de resolução para equações diferenciais de 
segunda ordem com coeficientes constantes 47
3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea 51
4 Equações não homogêneas 61
4.1 Método dos coeficientes indeterminados 62
4.2 Método da variação dos parâmetros 66
4.3 Aplicações em oscilações 69
Equações Diferenciais 7
Sumário
5 Equações lineares de ordem superior 77
5.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de ordem superior 78
5.2 Redução de ordem 79
5.3 Generalização dos métodos de segunda ordem 82
6 Soluções em série para equações diferenciais de 
segunda ordem 91
6.1 Séries de potência 92
6.2 Soluções perto de um ponto ordinário 96
6.3 Soluções perto de um ponto singular regular 99
7 Aplicações 107
7.1 Lei de Variação de Temperatura de Newton 108
7.2 Aplicação em juros compostos 110
7.3 Circuito RLC 113
8 Série de Fourier e transformada de Laplace 121
8.1 Equações diferenciais parciais 122
8.2 Equações de Euler e de Bessel 126
8.3 Transformada de Laplace 129
Equações Diferenciais 9
1
Equações diferenciais 
de primeira ordem
As equações diferenciais são utilizadas em inúmeras áreas de conhecimento, pois 
referem-se às equações que descrevem taxas de variações. Assim sendo, sua resolução 
permite representar diversos fenômenos, desde simulações econômicas para o desen-
volvimento de um comércio local, até simulações físicas sobre o desenvolvimento 
do universo. Este primeiro capítulo está dividido em três partes. A primeira busca 
apresentar dois exemplos simples de equações diferenciais e como utilizar o cálculo 
diferencial e integral para resolvê-los. Também tem como objetivo apresentar algu-
mas classificações e nomenclaturas próprias que permitem diferenciar as equações. A 
segunda apresenta um método composto de três etapas para resolver equações dife-
renciais separáveis, enfocando a diferença entre a solução geral e a solução particu-
lar. A terceira parte apresenta o que são as equações diferenciais homogêneas e um 
método que pode ser utilizado para transformar essas equações em equações diferen-
ciais separáveis.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais10
1.1 Exemplos e formulação de equações 
diferenciais
As equações diferenciais, que são escritas em função de taxas de varia-
ção, aparecem frequentemente nas mais diversas áreas, como na Economia 
para cálculo de taxas de juros; na Engenharia Elétrica nos circuitos elétricos; na 
Psicologia em modelos de aprendizagem; na Física em diversas simulações, como a de queda 
livre; na Química para simulações de decaimento radioativo; entre inúmeras outras aplicações.
A quantidade de modelos que podem ser descritos a partir do uso das equações dife-
renciais são tantos que poderíamos escrever diversas páginas apenas sobre isso. Entretanto, 
a continuidade do estudo de equações diferenciais para alguma área específica é realizada 
dentro das disciplinas de interesse daquela área. Vale a pena introduzir ao leitor dois casos 
de simulação simples para observar como é conduzida a geração de modelos dentro de 
equações diferenciais.
O primeiro caso se trata do uso das Leis de Newton para simular a queda livre de um 
objeto qualquer. Existem diversas notações para descrever a Segunda Lei de Newton. Entre 
as escolhas possíveis, definimos m como sendo a massa do objeto, 
a seu vetor aceleração, 

F 
o somatório das forças aplicadas nesse objeto. Nesse caso,

F m a= . (1)
representa a Segunda Lei de Newton. Essa lei é considerada uma equação diferencial, pois 
apresenta alguma relação entre variáveis que, por sua vez, representam taxas de variação. 
Para cada simulação teremos diversos comportamentos para o fenômeno.Por exemplo, 
pode ser que:
m f t� � � (2)
caso em que o objeto está perdendo ou ganhando massa ao longo do tempo. Ou pode 
ser que:
a g t� � � (3)
caso em que o objeto está ganhando ou perdendo velocidade ao longo do tempo. Essas dife-
renças entre cada problema específico fazem com que cada equação diferencial seja solucio-
nada de forma única, adequada à modelagem que está sendo realizada.
No caso mais simples, a queda livre sem resistência do ar, a única força que atua no 
objeto em queda é a força da gravidade, que tem valor conhecido dado por:

F mg� � (4)
em que g representa a aceleração da gravidade. Aquele que busca conhecer o comporta-
mento do objeto em queda livre está determinado em descobrir em que posição o objeto 
estará ao longo do tempo. Ou seja, busca-se determinar uma função posição como:
x h t� � � (5)
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
11
A relação entre a e x é definida, pela Física, como sendo:


a
d x
dt
=
2
2
(6)
o que indica que a aceleração é a taxa de variação segunda da posição em função do tempo. 
Com todas essas informações em mãos, podemos reescrever a equação 1 (Segunda Lei de 
Newton) como:
� �m g m
d x
dt
. .
2
2
(7)
resolvendo a equação pelos métodos conhecidos do cálculo diferencial e integral:



g
d x
dt
=
2
2
 gdt d x2 2=
 

gdt d x2 2� ��


gtdt C
dx
dt
� �1
dx
dt
gt C

� � 1
dx gt C dt � �� �� � 1


x t
gt
C t C� � � � �
2
1 22
As constantes de integração que surgem durante a resolução do problema, C1 e C2, re-
presentam particularidades do problema de queda livre que não foram descritos. De acordo 
com esse modelo, a posição inicial do objeto pode ser qualquer, visto que não definimos a 
informação de que x x0 0� � � ou a velocidade inicial da simulação poderia não ser nula, ou 
seja, v v0 0� � � . A inclusão dessas características surge nas equações diferenciais por meio 
das constantes de integração e são próprias de cada uma das simulações. Como afirmam 
Boyce e DiPrima:
Para solucionar uma equação diferencial utilizamos o processo de integração. 
Ao aplicar o método de integração, obtemos uma constante arbitrária que gera 
uma infinidade de soluções para o problema. Geralmente essa constante será se-
lecionada por meio de uma condição inicial. Essa condição inicial ocorre quando 
o problema estudado possui um valor inicial. Dessa forma, o valor inicial é utili-
zado para que a constante arbitrária seja encontrada. (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais12
Ainda sobre a aplicação e a simulação de fenômenos a partir de equações diferenciais, 
o segundo caso é o decaimento radioativo. Na Química, no estudo do desenvolvimento das 
substâncias radioativas, sabe-se que certos elementos químicos deixam de existir aos poucos, 
passando a se tornar outros, processo que chamamos de decaimento radioativo. Determinou-
se que o decaimento dessa substância é proporcional à quantidade de substância em deter-
minado momento. Em outras palavras,
dQ
dt
kQ� � (8)
em que Q é a quantidade de substância em certo instante de tempo t, e k é uma constan-
te de proporcionalidade arbitrária que define quão rápido essa substância está diminuin-
do. Alguém interessado em conhecer a quantidade de substância radioativa em função do 
tempo, pode utilizar as operações conhecidas do cálculo diferencial e integral e resolver 
essa equação:
dQ
dt
kQ� �
dQ
Q
kdt� �
dQ
Q
kdt� �� �
lnQ kt C� � � 1
Q e kt C� � � 1
Q C e kt� �2
na qual C eC2 1= . Tal exemplo também fica dependente de uma constante de integração que 
precisa ser determinada. Em equações diferenciais, para a determinação exata da solução 
geral é necessário que o problema informe um valor inicial. Por exemplo, se sabemos que 
no instante t t= =0 0, Q t0 100 1� � � �% , podemos substituir na expressão Q t C e kt� � � �2 para 
obter a constante C2:
Q t Q C e Ck0 2
0
20 1� � � � � � � �� .
Nesse caso, a solução geral se tornaria Q t e kt� � � � .
Nesses dois exemplos, o método que foi utilizado representa uma possibilidade para 
a resolução de algumas equações diferenciais. Sabendo a importância delas nas diferentes 
áreas e suas potenciais aplicações, a continuidade do estudo desse tema se dá pela classifica-
ção dos diferentes tipos de equação. Existem várias maneiras para solucionar uma equação 
diferencial, dessa forma, identificar qual método de solução é mais adequado ao problema 
estudado se torna uma tarefa difícil. Para auxiliar nessa escolha, podemos classificar o tipo 
de equação diferencial que estamos estudando.
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
13
Inicialmente podemos analisar se a função desconhecida da equação diferencial em 
estudo depende de uma ou de várias variáveis independentes. Teremos uma equação di-
ferencial ordinária se a função depender de uma única variável independente. Teremos 
uma equação diferencial parcial se a função depender de várias variáveis independentes 
(BOYCE; DIPRIMA, 2010).
O oscilador harmônico, simulado em Física, representa uma equação diferencial 
ordinária:
m
d
dt
x t kx t
2
2 � � � � � � (9)
enquanto a equação do calor representa uma equação diferencial parcial:
�
�
�
�
�
T
t
a
T
x
2
2
(10)
A quantidade de funções desconhecidas também fornece uma classificação para as 
equações diferenciais. Quando houver duas ou mais funções desconhecidas, utilizamos 
um sistema de equações diferenciais para determiná-las. Outra classificação importante se 
dá pela derivada de maior ordem da equação diferencial em estudo, de forma que a or-
dem dessa derivada classifica a ordem da equação diferencial (BOYCE; DIPRIMA, 2010). 
Por exemplo,
d y
dt
y e t
2
2
2� �
é uma equação diferencial de segunda ordem, enquanto:
d y
dt
d y
dt
t
3
3
2
2 2� � � �cos
é uma equação diferencial de terceira ordem.
Uma equação diferencial ordinária é classificada como linear se suas funções forem 
lineares, ou seja, suas funções não são resultado de produtos de outras funções. Quando 
houver uma função desconhecida que seja o resultado do produto de duas funções, então 
teremos uma equação diferencial ordinária não linear. A mesma ideia vale para as equações 
diferenciais parciais (BOYCE; DIPRIMA, 2010), como no exemplo:
�
�
�
�
�
�
u
y
u
u
x
. 0
 
uma equação diferencial nem sempre possui solução.
Portanto, antes de iniciar a resolução de um problema, é importante verificar a existência de 
solução. Essa verificação se dá por meio de teoremas que garantem a solução da equação sob 
determinadas condições. Entretanto, tal solução nem sempre pode ser expressa por meio de 
funções elementares. Por esse motivo, devemos estudar tanto os métodos para problemas 
simples, quanto os métodos para problemas mais complexos (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais14
1.2 Equações diferenciais separáveis
Seja uma equação diferencial da forma:
p y
dy
dx
q x� � � � � (11)
Nesse caso, dizemos que essa equação diferencial é separável ou de va-
riáveis separáveis. Para esse tipo de resolução, podemos seguir três passos. O primeiro pas-
so é separar as variáveis, agrupando-as em cada membro da equação. No caso da equação 
11, podemos reescrevê-la separando as variáveis, obtendo:
p y dy q x dx� � � � �. . (12)
Como as variáveis estão separadas, o passo 2 é integrar ambos os lados da equação, 
buscando encontrar a solução geral do problema. Em notação integral,
p y dy q x dx� � � � � �� .
que integrando obtém-se:
P y C Q x C� � � � � � �1 2
na qual C1 e C2 são as constantes de integração.
No estudo de equações diferenciais costuma-se, nesse passo, simplificar as constantes 
de integração, agrupando-as em uma só, quando possível. Nesse caso, pode-se escrever a 
solução geral do problema, P (y).
Após obter a solução geral, para o passo 3 aplica-se a condição inicial, quando houver, 
para obter a solução particular do problema.Exemplo 1: seja y xy y’ .,� � � � �4 0 12 Vamos determinar y x� � que é a solução da equação 
diferencial. O primeiro passo é separar as variáveis. Nesse caso, reescrevemos a equação como:
y xy’ � �4 2
dy
dx
xy� �4 2
(13)
repare que as variáveis x e y podem ser separadas numa expressão na forma da equação 12. 
Nesse caso,
dy
y
xdx2 4� � (14)
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
15
o segundo passo consiste em integrar a expressão para obter a solução geral do problema. 
Ou seja,
dy
y
xdx2 4� �� � (15)
por meio das regras de integração e do uso de uma tabela de integração, sabe-se que 
x
x
n
Cn
n
�
�
�
�
�
1
1
 e podemos solucionar a equação 15 para obtermos:
� � � � �
1 21
2
2y
C x C
1 2 2
y
x C� �
Repare que as constantes C1 e C2 foram adequadas para escrever uma constante C, vis-
to que todas são consideradas, dentro da solução geral, como constantes arbitrárias. Antes 
de prosseguirmos para o terceiro passo, vale buscar interpretar graficamente a função en-
contrada. Pelo aplicativo gratuito disponível on-line WolframAlpha foram traçados gráficos 
para a função 1 2 2
y
x C� � para diferentes valores de C.
Figura 1 – Gráficos para diferentes valores de C.
15
10
5
–5
–1.0 1.0
y
x
(x de – 1 a 1)
–0.5 0.5
–10
–15
40
60
–1.0 1.0–0.5 0.5
80
20
–20
20
40
60
–1.0 –0.5 0.5 1.0
Fonte: WolframAlpha.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais16
O primeiro gráfico da Figura 1 representa a equação y
x
C� �
1
2 2, para C2 1= . O segun-
do para C2 10= e o terceiro para C2 20� � .. Repare que todos os gráficos possuem a mesma 
forma, mas diferem de uma translação vertical de uma para a outra. Isso acontece porque 
o processo de encontrar a família de antiderivadas, a integração, encontra todas as funções 
que possuem uma taxa de variação conhecida. Entretanto, são infinitas funções que pos-
suem essa propriedade.
Para notar essa característica, imagine que estivéssemos buscando simular a po-
sição final de um carro sabendo sua velocidade em cada instante de tempo. Poderíamos 
traçar o movimento exato que o carro fez, entretanto, sem saber sua posição inicial, não 
teríamos como diferenciar carros que possuíam a mesma velocidade, mas partiram de 
pontos distintos.
O segundo passo da integração nos traz esse tipo de resultado, conhecido como solução 
geral, pois representa, no caso do exemplo, todas as funções que possuem a taxa de variação 
com a característica dada pela equação 13. Isso pode ser verificado nos gráficos traçados 
para alguns valores de C. Essas funções são consideradas famílias de funções por compar-
tilharem uma mesma propriedade. Entretanto, em alguns problemas, como esse exemplo, 
é solicitado que encontremos a solução particular do problema e isso é possível a partir do 
passo 3.
A informação particular que será aplicada ao problema é fornecida no enunciado, de 
que y 0 1� � � . Aplicando essa informação na solução geral,
1 2 2
y
x C� �
1
1
2 02� �. C
C =1
Portanto, a solução particular do exemplo é:
1 2 12
y
x� �
Exemplo 2: seja y x y’ = 3 2 e y 0 3� � � . Vamos encontrar a solução geral 
y = f (x) e em seguida a solução particular. O primeiro passo solicita que separemos as va-
riáveis, ou seja:
y x y’ = 3 2
dy
dx
x y= 3 2
dy
y
x dx= 3 2
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
17
O segundo passo é integrar ambos os lados da equação para encontrarmos a solução 
geral. Consultando uma tabela de integração, verificamos que dx
x
x C� � � �� ln e continuan-
do o desenvolvimento obtemos:
dy
y
x dx= 3 2
ln y C x C� � �1
3
2
ln y x C� �3
y e x C� �
3
y k e x= .
3
(16)
Em equações diferenciais a simplificação da constante de integração facilita a visua-
lização e a utilização das funções encontradas. Repare que, nesse caso, e kC = , visto que 
a constante arbitrária ainda não foi definida. A equação 16 representa a solução geral do 
problema. O terceiro passo é determinar a solução particular a partir da aplicação do valor 
inicial. Como y 0 3� � � , temos que:
y k e x= .
3
3 0
3
= k e.
3 = k
Portanto, a solução particular é definida como:
y e x= 3
3
.
1.3 Equações homogêneas
As equações diferenciais do tipo y f x y’ ,� � � são de-
finidas como homogêneas se a função f x y,� � é uma fun-
ção homogênea de grau n em relação às variáveis x e y. Em 
outras palavras,
f x y f x yn� � �, ,� � � � � (17)
no qual n é o grau da equação homogênea.
O método para solucionar equações diferenciais homogêneas sugere que a utilização 
da substituição y = zx faz com que a equação diferencial se torne separável em relação às 
variáveis x e z.
Vídeo
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais18
Assim, o método para obter essa solução se resume em duas fases. Na primeira fase, 
testa-se se a função é, de fato, homogênea utilizando a equação 17. Na segunda fase, utili-
za-se o método descrito na segunda parte deste capítulo para resolver a equação diferencial 
ordinária separável.
Exemplo 1: seja a equação diferencial:
dy
dx
x y
xy
�
�2 2
(18)
Determine a solução geral do problema.
Como desconfia-se que a equação dada é homogênea, testa-se, a partir da equação 17, 
a veracidade dessa informação. O método proposto aqui só pode ser utilizado nesse tipo 
de equação. Por mais que a mudança de variável proposta possa ser utilizada em qualquer 
equação de variáveis x e y, nem toda equação consegue ser simplificada na forma separável.
Nesse caso, f x y
x y
xy
,� � � �
2 2
. Aplicando a equação 17, obtemos:
f x y
x y
x y
x y
xy
x y
xy
� �
� �
� �
�
�
,� � � � �
� � �
� �� �
�
�� �
�
�
2 2 2 2 2
2
2 2
Repare, então, que a função dada respeita a identidade apresentada na equação 17 para 
n = 2. Nesse caso, a equação dada é homogênea. Assim, pode-se aplicar a transformação 
proposta da segunda fase: 
y zx= (19)
Reescrevendo a equação 18, a partir da transformação da equação 19, obtemos:
d zx
dx
x zx
x zx
� �
�
� � �
� �
2 2
(20)
Para simplificar essa equação, vale a pena lembrar da regra do produto para de-
rivadas aprendida no cálculo diferencial e integral. Dada uma função na forma 
u x y g x y h x y, , . ,� � � � � � �, então: 
u x y g x y h x y g x y h x y’ , ’ , . , , . ’ ,� � � � � � � � � � � � (21)
Dessa forma, aplicando a regra do produto na derivada de zx :
d zx
dx
dz
dx
x z
� �
� �.
pois z é uma função de x na equação 20, obtemos:
dz
dx
x z
x z x
zx
. � � �
2 2 2
2
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
19
dz
dx
x z
z
z
� �
�1 2
dz
dx
x
z
z
z�
�
�
1 2
dz
dx
x
z
z
z
z
�
�
�
1 2 2
dz
dx
x
z
=
1
(22)
Repare que a equação 22 é classificada como uma equação diferencial separável. 
Portanto, aplicam-se os passos do método descrito na segunda parte deste capítulo para 
solucioná-la. Reescrevendo a equação 22:
zdz
dx
x
=
Integrando:
zdz
dx
x
�� �
z
C x
2
2
� � ln
Reescrevendo a solução geral:
e x
z C
2
2
�
�
k e x
z
.
2
2 =
Por fim, vale notar que a solução geral deve ser escrita em relação às variáveis originais 
do problema. Ou seja, refaz-se a substituição y zx= na solução geral. Assim, obtém-se:
x k e
z
= .
2
2
x k e
y
x= .
2
22
Exemplo 2: seja a equação diferencial:
dy
dx
x y
x y
�
�
�
3
3 (23)
Determine a solução geral do problema.
Nesse caso, inicia-se testando se a equação diferencial 23 é homogênea. Observando o 
formato dessa expressão, conclui-se que:
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais20
f x y
x y
x y
,� � � �
�
3
3 (24)
Aplicando o teste proposto pela equação 17 na função 24, obtemos:
f x y
x y
x y
x
y
f x y� �
� �
� �
�
�
, ,� � � � �
� � �
� � � � �
�
�
�
� � �
3
3
3
3
Portanto, a equação 24 é homogênea para n =1. Aplica-se, portanto, a transformação 
y zx= para reescrever a equação 24:
dy
dx
x y
x y
�
�
�
3
3
d zx
dx
x zx
x zx
� �
�
� � �
� � �
3
3
dz
dx
x z
x z
x z
� �
�� �
�� �
1 3
3
dz
dx
x z
z
z
� �
�
�
1 3
3
dzdx
x
z
z
z�
�
�
�
1 3
3
dz
dx
x
z
z
z z
z
�
�
�
�
�� �
�
1 3
3
3
3
.
dz
dx
x
z
z
�
�
�
1
3
2
3
1 2
�� �
�
�
z dz
z
dx
x
A equação resultante está na forma separável. Aplicando a integração:
3
1 2
�� �
�
�� �
z dz
z
dx
x
(25)
Para a solução dessa integral, utiliza-se decomposição por frações parciais, aprendida 
no cálculo diferencial e integral. Vejamos que se pode reescrever a expressão 3
1 2
�
�
z
z
 na forma:
3
1 1 12
�
�
�
�� �
�
�� �
z
z
A
z
B
z
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
21
Ou seja, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações:
3
1
1
1 1
1
1 12
�
�
�
�� �
�� � �� �
�
�� �
�� � �� �
z
z
A z
z z
B z
z z
3
1 12 2
�
�
�
� � �
�
z
z
A Az B Bz
z
A B
A B
� �
� �
�
�
�
3
1
E assim, A B= =2 1, . Portanto,
3
1
2
1
1
12
�
�
�
�
�
�
z
z z z
(26)
Assim, reescrevendo a integral da equação 25, a partir da transformação indicada pela 
equação 26, obtemos:
2
1
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �z z dz
dx
x
2
1
1
1�
� �
�
�� �z dz z dz
dx
x
2 1 1ln ln ln ln�� � � �� � � �z z x C
ln ln ln1 12�� � � �� � � �z z lnx C
e e e ez z lnx Cln ln ln1 1
2�� � �� �� � �
1 12�� � � �� � � �z z x C
Por fim, reescrevendo a equação em função das variáveis x e y a partir da transformação 
y zx= , obtemos:
1 1
2
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
y
x
y
x
x C
Que representa a solução geral da equação.
Exemplo 3: seja a equação diferencial:
2 3 1 22 2x
dy
dx
xy y y� � � � � �, (27)
determine sua solução geral e particular.
Como nos outros exemplos, inicialmente verificamos se a função:
dy
dx
f x y� � �,
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais22
é homogênea. Nesse caso,
f x y
xy y
x
,� � � �3
2
2
2
Aplicando o teste da identidade da equação 17, obtemos:
f x y
x y y
x
xy y
x
f x y� �
� � �
�
�
�
, ,� � � � �� �
� � �
� �
�
�� �
� �
� � �
3
2
3
2
2
2
2 2
2 2
Sendo homogênea de grau 2 (n=2), aplicamos a transformação y = zx na equação 27. 
Obtemos:
2 32 2x
d zx
dx
x zx zx
� �
� � � � � �
2 32 2 2 2x dz
dx
x z x z x z��
�
�
�
�
� � �
dz
dx
x z z
z
� � �
3
2 2
2
dz
dx
x z
z
� �
1
2 2
2
dz
dx
x
z z
�
� 2
2
dz
z z
dx
x�
�2 2
Que está na forma separável. Integrando ambos os lados da equação:
dz
z z
dx
x�
�� �2
1
2
dz
z z
dx
x1
1
2�� �
�� � (28)
Essa integral também precisa ser solucionada pela decomposição em frações parciais. 
Veja que:
1
1 1z z
A
z
B
z�� �
� �
�� �
Para algum A e algum B. Nesse caso, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações,
1
1
1
1 1z z
A z
z z
Bz
z z�� �
�
�� �
�� �
�
�� �
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
23
1
1 1z z
A Az Bz
z z�� �
�
� �
�� �
A
A B
�
� �
�
�
�
1
0
Portanto, A =1 e B � �1. Reescrevendo a equação 28 e integrando:
1 1
1
1
2z z
dz
dx
x
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
dz
z
dz
z
dx
x
� �
�
�� �1
1
2
ln ln ln lnz z x C� �� � � �1 1
2
ln lnz
z
x C
1
1
2
�
�
�
�
�
�
� �
z
z
C x
1�
� .
Retornando a transformação y zx= , ou seja, z
y
x
= .
y
x
y
x
C x
1�
� . (29)
que representa a solução geral do problema. Para obtermos a solução particular, usamos a 
informação dada no enunciado de que y 1 2� � � � . Nesse caso, substituindo x = 1 e y = –2 na 
equação 29, podemos obter C.
�� �
� �� �
�
2
1
1 2 1
1C .
C = 2
Portanto, a solução particular desse problema é dada por:
y
x
y
x
x
1
2
�
�
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais24
 Ampliando seus conhecimentos
Equações diferenciais
(ÇENGEL; PALM III, 2014, p. 10-11)
O estudo de equações diferenciais requer um bom conhecimento dos con-
ceitos fundamentais do cálculo. Veremos alguns desses conceitos:
1. Variáveis dependentes e independentes.
Uma equação geralmente envolve uma ou mais variáveis. Como o pró-
prio nome sugere, variável é uma grandeza que pode assumir vários valo-
res durante um estudo. Uma variável com valor fixo durante o estudo é 
denominada constante. Constantes são geralmente denotadas pelas pri-
meiras letras do alfabeto: a, b, c e d; e as variáveis, pelas últimas: t, x, y e z. 
Uma variável cujo valor pode mudar de maneira arbitrária é denominada 
variável independente ou argumento. Uma variável cujo valor depende 
dos valores de outras variáveis é denominada variável dependente 
ou função.
Uma variável dependente y que tem uma relação de dependência com a 
variável x geralmente é expressa por y(x). Porém, essa notação é inconve-
niente quando y é usada muitas vezes na mesma equação. Nesses casos, é 
mais adequado usar y no lugar de y(x) quando fica claro que y é função de 
x. Essa simplificação melhor a aparência e a leitura das equações. O valor 
de y em relação a um valor fixo de a é expresso por y(a).
Durante o estudo, é comum a restrição de uma variável em um certo inter-
valo. Um intervalo tem seus extremos limitados por dois números dos 
quais um é o limite superior e o outro é o limite inferior. Esse intervalo é 
denominado fechado se inclui os valores-limite, do contrário é denomi-
nado intervalo aberto. Por exemplo, se o limite do raio de uma equação P 
= 2πr é estabelecido para valores entre r1 = 3 e r2 = 7,5, incluindo os valo-
res-limite, pode-se dizer que o intervalo de r é de 3 a 7,5, expresso por 3 
r 7,5. Como temos a inclusão dos valores-limite, dizemos que o intervalo 
é fechado.
2. Funções contínuas e descontínuas
No estudo e na caracterização de funções, um conceito de máxima impor-
tância é o da continuidade. Uma função y é chamada de contínua em um 
número se (1) a função é definida nesse número (isto é, y(a) é um número 
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações Diferenciais
1
25
finito), (2) existe o limite lim
x a
y x
�
� �e (3) esse é igual ao valor da função no ponto a. 
Ou seja, a função y é contínua em a , se
lim
x a
y x y a
�
� � � � �
Quando uma função não é contínua em a, dizemos que ela é descontínua 
ou possui uma descontinuidade em a. A função é denominada contínua 
em um intervalo se ela é contínua para cada número desse intervalo. A 
função é denominada descontínua em um intervalo mesmo que ela pos-
sua descontinuidade em apenas um valor desse intervalo.
3. Derivadas e diferenciais
As derivadas e diferenciais são os tijolos usados para construir as equa-
ções diferenciais. A derivada de uma função y(x) em um ponto é equiva-
lente à inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto e é 
definida como:
dy
dx
y x x y x
xx
�
� �� � � � �
�� �
lim
0
Uma função é denominada diferenciável em x se existe limite da fun-
ção no ponto x. Uma função é denominada diferenciável em um inter-
valo fechado se é diferenciável em cada número desse intervalo. Uma 
função não é diferenciável em um ponto que apresenta uma mudança 
abrupta de inclinação.
[...]
 Atividades
1. Em cada um dos itens, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela 
é linear ou não linear.
a. xx x y’’ ’� �2
b. ydx xdy� � 0
c. d x
dy
x
3
3
2 0� �
2. Verifique que a função x ye y= é uma solução para a equação linear x x x’’ ’� � �2 0 
no intervalo ( , )�� � .
3. Encontre uma solução para a equação separável yx x’ � �1.
Equações diferenciais de primeira ordem1
Equações Diferenciais26
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ÇENGEL, Y; PALM III. Equações diferenciais. Trad. M. E. Marques. Porto Alegre: AMGH, 2014.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
 Resolução
1. 
a. Essa equação diferencial é de segunda ordem, pois temos o termo de segunda ordem 
x”; é não linear, pois temos a multiplicação xx”.
b. Essa equação diferencial é de primeira ordem, pois as derivadas da expressão são todas 
de primeira ordem. Além disso, ela é linear, pois não há multiplicação de variáveis.
c. Essa equação diferencial é de terceira ordem,pois temos o termo de terceira ordem 
d x
dy
3
3
; e é não linear pois temos a potência x2.
2. Analisando a função x ye y= , podemos calcular x ye ey y’ � � e x ye ey y’’ � � 2
. Fazendo uma simples substituição desses resultados em �� �� � �x x x2 0, temos 
( ) ( )ye e ye e yey y y y y� � � � �2 2 0 para todo número real.
 Portanto, x ye y= é uma solução para x x x’’ ’� � �2 0 no intervalo ( , )�� � .
3. Podemos reescrever a equação yx x’ � �1 da forma x
x y
’
�
�
1
1 . Assim, ela pode 
ser separada:
dx
x
dy
y�
�
1
 e podemos integrar em ambos os lados da equação, obtendo:
dx
x
dy
y�
�� �1
ln lnx y C�� � � �1
 E essa é a solução geral para a equação yx x’ � �1. Podemos fazer uma escolha con-
veniente fazendo C A= log ; assim,
log( ) log logx y A� � �1
log( ) logx yA� �1
 De forma que a solução geral também poderá ser escrita como: x Ay� �1 .
Equações Diferenciais 27
2
Métodos para equações de 
primeira ordem
A importância das equações diferenciais foi amplamente discutida no primeiro 
capítulo. Entretanto, com os métodos discutidos, nem toda equação diferencial con-
segue ser resolvida. O objetivo deste capítulo é apresentar alguns novos métodos, em 
especial o método do fator integrante na primeira parte e o da resolução para equações 
exatas na segunda. Vale ressaltar que, nos problemas reais, discute-se a possibilidade 
de a equação diferencial não ter solução alguma. Nesse caso, a terceira parte do capí-
tulo irá apresentar um teorema central na disciplina, chamado teorema de existência e 
unicidade de soluções.
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais28
2.1 Fator integrante
A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é dada por:
dy
dt
p t y g t� � � � � � (1)
onde p e g são funções arbitrárias da variável independente t. Veja que a 
equação 1 é de primeira ordem, visto o maior grau das derivadas da equação. Nesse caso 
não podemos utilizar os métodos de resolução discutidos no Capítulo 1. Portanto, iremos 
utilizar o método de Leibniz, que consiste em multiplicar a equação 1 por uma função µ(t) 
conveniente. Essa função µ(t) é conhecida como fator integrante e sua escolha é feita quando 
tal multiplicação torna a equação integrável mais facilmente (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Para entender esse método, vamos resolver a seguinte equação diferencial:
dy
dt
y e
t
� �
1
2
1
2
3 (2)
Iremos aplicar o método do fator integrante, explicando as dificuldades e os artifícios 
do cálculo diferencial e integral que precisam ser utilizados para encontrar a solução. O mé-
todo por fator integrante solicita que multipliquemos a equação diferencial por uma função 
µ(t) em ambos os lados. Fazendo isso, reescrevemos a equação 2:
� � �t
dy
dt
t y t e
t
� � � � � � � �1
2
1
2
3 (3)
aplicando a propriedade distributiva. Para prosseguir no método, utilizamos a regra da de-
rivada de um produto de duas funções dependentes de t. Sabemos, do cálculo diferencial e 
integral, que:
d
dt
t y t
dy
dt
d t
dt
y� �
�� ��� �� � � � �
� �
(4)
representa a regra proposta. O objetivo do método por fator integrante é utilizar uma função 
conveniente µ(t) para reescrever a equação 3 de forma simplificada. Podemos definir µ(t) 
verificando que:
d t
dt
t
�
�
� �
� � �1
2
(5)
A equação 5, portanto, indica como obter a função µ(t). Podemos fazer:
d t
t
dt
�
�
� �
� �
�
1
2
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
29
d t
t
dt
�
�
� �
� �
�� �
1
2
ln � t t C� �� � � �1
2
� t ke
t
� � � 2
utilizando os artifícios para a constante aprendidos no capítulo anterior. Repare que a fun-
ção u(t), que representa um fator integrante possível para a simplificação da equação 3, na 
verdade, é uma família de funções, diferenciadas pelo constante k. Qualquer k 0 escolhido 
gera uma função µ(t), que pode ser utilizada para solução do método. Nesse caso, escolhe-
mos k =1, obtendo como fator integrante:
� t e
t
� � � 2 (6)
Podemos partir para a simplificação da equação diferencial 3, multiplicando ambos os 
lados por u(t). Nesse caso, obtemos:
e
dy
dt
e y e e
t t t t
2 2 2 31
2
1
2
� � (7)
Repare que a parte esquerda da equação 7 é a mesma da equação 4, escrita para o fator 
integrante representado na equação 6. Assim, podemos utilizar a regra do produto para 
reescrever a equação 7:
d
dt
e y e e
t t t
2 2 31
2
�
�
�
�
�
�
�
�
� (8)
pois
d
dt
e y e
dy
dt
e y
t t t
2 2 21
2
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
Utilizando o método de integração e simplificações na equação 8:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d
dt
e y dt e e dt
t t t
2 2 31
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
d
dt
e y dt e dt
t t
2
5
61
2
e y e C
t t
2
5
61
2
6
5
� �.
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais30
e y e C
t t
2
5
63
5
� �
y e C e
t t
� �
�3
5
3 2.
Obtemos a solução geral da equação 2.
Além de fazer por comparação com a regra do produto, o fator integrante pode ser 
obtido a partir da expressão:
� x e p x dx� � � � � � (9)
quando a equação diferencial está na forma:
dy
dx
p x y g x� � � � � � (10)
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 11:
x
dy
dx
y x sen x. � �2 3 (11)
Simplificando ambos os lados por x, para obtermos a expressão no formato da 
equação 10:
dy
dx
y
x
x sen x� �
2 2 (12)
Obtém-se o fator integrante pela equação 9. Nesse caso,
� x e ep x dx x
dx
� � � �� � �
� �
2
� x e lnx� � � �2
� x x� � � �2 (13)
Multiplica-se pelo fator integrante u x� � e reescreve-se a equação 12. Obtemos, assim,
x
dy
dx
x y
x
x x sen x�
�
�� � �2
2
2 22 (14)
1 2
2 3x
dy
dx
y
x
sen x� � (15)
Simplificando pela regra do produto:
d
dx x
y sen x
1
2
�
��
�
��
�
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
31
Integrando:
d
dx x
y dx sen x dx
1
2
�
��
�
��
�� �
1
2x
y x C� � �cos
y x C x� �� �2 cos
Obtemos a solução geral da equação 11.
2.2 Equações exatas
O último método para equações diferenciais lineares deste curso é para 
as equações exatas. Dada uma equação diferencial da forma:
dy
dx
f x y� � �,
reescrevemos a equação na forma:
M x y dx N x y dy, ,� � � � � � 0 (16)
no qual M e N são funções quaisquer. Chamamos de equação exata a equação diferencial 
na forma da equação 16, quando satisfaz a equação 17:
�
�
�
�
�
M
y
N
x
(17)
O método para resolução de equações exatas afirma que existe uma função F x y,� �, 
tal que:
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
F
x
M x y
F
y
N x y
,
,
(18)
Aplicaremos o método para resolução da equação diferencial dada pela equação 19:
dy
dx
x
y
� �
�
�
2 1
3 7 (19)
Buscando reescrever no formato da equação 16:
3 7 2 1y dy x dx�� � � � �� �
2 1 3 7 0x dx y dy�� � � �� � �
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais32
Repare que, nesse caso,
M x y x
N x y y
,
,
� � � �� �
� � � �� �
�
�
�
��
2 1
3 7
Verificamos, em seguida, se a equação 19 é exata. Nesse caso, aplicando o teste proposto 
na equação 17:
�
�
� �
�
�
M
y
N
x
0
Como a equação 19 é exata, podemos buscar a função F x y,� � que satisfaz a condição 
dada pela equação 18:
�
�
� �
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
F
x
x
F
y
y
2 1
3 7
(20)
Esse sistema de equações diferenciais parciais pode ser resolvido por integração como 
apreendida no cálculo diferencial e integral, mas com alguns cuidados. Integrando uma das 
equações do sistema de equações:
�
�
� �
F
x
x2 1
�
�
�
� � �� �F
x
dx x dx2 1
F x y x x C,� � � � �2
Entretanto, é importantíssimo notar que a constante C obtida é uma constante em rela-
ção à variável x, podendo ser variável em relação à variável y. Nesse caso, escrevemos F(x,y) 
como sendo:
F x y x x C y,� � � � � � �2 (21)
A segunda equação do sistema de equações 20 pode ser combinada junto com a expres-
são obtida para F x y,� � na equação 21, para encontrar o valor de C y� � :
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
33
�
�
� �
F
y
y3 7
� � � � �� �
�
� �
x x C y
y
y
2
3 7
� � �
�
� �
C y
y
y3 7
�
� � �
�
� ��� �
C y
y
dy y dy3 7
C y
y
y K� � � � �3
2
7
2
(22)
Assim, podemos escrever a F x y,� � combinando a expressão obtida na equação 21, com 
a expressão para C y� � obtido na equação 22:
F x y x x
y
y K,� � � � � � �2
23
2
7
Repare que outras formas de obter F x y,� � podem ser realizadas dependendo da álge-
bra que for escolhida. Para exemplificar isso, buscaremos a solução particular da equação 
diferencial separando em um passo a passo do que deve ser feito para sua resolução:
x y dx xy x dy y�� � � � �� � � � � �2 22 1 0 1 1; (23)
Passo 1: verificar se a equação diferencial é exata.
Para isso, comparamos com a equação 16, identificando que:
M x y x y
N x y xy x
,
,
� � � �� �
� � � � �
�
�
�
��
2
22 1
e testamos a identidade fornecida na equação 17:
� � �
�
� �� � �
� � �
�
M x y
y
x y
N x y
x
, ,
2
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais34
Passo 2: buscamos uma função F x y,� � que satisfaça a condição dada pela equação 18. 
Nesse caso,
�
�
� �� �
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
F
x
x y
F
y
xy x
2
22 1
(24)
Aplicando os métodos de integração, obtemos:
�
�
� � �
F
y
xy x2 12
�
�
�
� � � �� �F
y
dy xy x dy2 12
F x y xy x y y C x,� � � � � � � �2 2
Reparemos que a constante C x� � é constante apenas em função de x. Substituindo no 
sistema de equações diferenciais 24:
�
�
� �� �F
x
x y 2
� � � � � �� �
�
� � �
xy x y y C x
x
x xy y
2 2
2 22
y xy
C x
x
x xy y2 2 22 2� �
� � �
�
� � �
� � �
�
�
C x
x
x2
C x
x
K� � � �
3
3
(25)
E, portanto,
F x y xy x y y
x
K,� � � � � � �2 2
3
3
A equação 25 foi resolvida aplicando substituição da prévia da solução encontrada an-
teriormente. Entretanto, poderia ser aplicada uma nova integração e a solução poderia ser 
obtida por comparação. Ambas as abordagens possuem o mesmo grau de dificuldade.
A solução geral da equação diferencial dada é:
F x y xy x y y
x
K,� � � � � � �2 2
3
3
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
35
Veja que podemos encontrar a solução particular, visto que é fornecido que y 1 1� � � . 
Logo, K � �4 3/ .
2.3 Teorema de existência e unicidade 
de soluções
Vamos enunciar o teorema fundamental da existência e unicidade para 
problemas de valor inicial de primeira ordem.
Teorema 1: suponha que as funções f e ∂ ∂f y/ são contínuas em um 
retângulo limitado por � � � �� � � �t y; contendo o ponto ( , )t y0 0 . Então, 
em algum intervalo t h t t h0 0� � � � contido em � �� �t existe uma única 
solução para o problema de valor inicial: 
y f t y’ ( , )= (26)
y t y( )0 0= (27)
onde y0 é um valor inicial arbitrário dado.
O fato de não haver um método de resolução que se aplique a todos os casos faz com 
que a demonstração da existência de uma solução para as equações 26 e 27 seja feita indi-
retamente. É necessário obter uma sequência de funções que converge para uma função 
limite. Tal sequência deve satisfazer o PVI (problema de valor inicial), mas individualmente 
seus elementos não satisfazem essas condições. As características principais desse teorema 
podem ser encontradas em Boyce e DiPrima (2010).
Vamos utilizar um exemplo de PVI para discutir o teorema 1.
y t y’ ( )� �2 1 (28)
y( )0 0= (29)
É preciso resolver o PVI pelo método de aproximações sucessivas.
Inicialmente, se y t��( ), então podemos escrever que:
� �( ) [ ( )]t s s ds
t
� ��2 1
0
(30)
Fazendo a aproximação inicial �0 0( )t � , temos:
� �1 0
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (31)
�1
2( )t t� (32)
Vídeo
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais36
Da mesma forma, temos:
� �2 1
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (33)
�2
2
4
2
( )t t t� � (34)
� �3 2
0
2 1( ) [ ( )]t s s ds
t
� �� (35)
�3
2
4 6
2 2 3
( )
.
t t
t t
� � � (36)
Intuitivamente, as equações indicam para n ≥1 a sequência:
�n
n
t t
t t t
n
( )
! !
...
!
� � � � �2
4 6 2
2 3
(37)
que pode ser deduzida por indução matemática. Essa prova pode ser encontrada em Boyce 
e DiPrima (2010, p. 87).
Observando a equação 37, podemos dizer que φn t( ) é a n-ésima soma parcial da série:
t
k
k
k
2
1 !�
�
� (38)
Assim, o limite de φn t( ) com n tendendo ao infinito existe se, e somente se, a série da 
equação 38 converge. Para verificar a convergência dessa série, aplicamos o teste da razão 
que afirma que uma série é convergente quando:
lim
n
n
n
a
a��
� �1 1
para uma série infinita:
n
n k k k na a a a a a a a
�
�
� �� � � � ��� � � ��
1
0 1 2 1 1
e verificamos que para cada t:
t
k
k
t
t
k
k
k
2 2
2
2
1 1
0
�
�
�
�
�
( )!
! (39)
quando k�� .
Dica: Lembre-se: k k k k! . . . . .� �� � �� ��1 2 3 2 1
Portanto a série converge e sua soma é o limite da sequência φn t( ) .
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
37
A série da equação 39 pode ser integrada ou diferenciada se t permanecer no intervalo 
de convergência, pois ela é uma série de Taylor. Assim, temos que a:
�n
k
k
t
t
k
( )
!
�
�
�
�
2
1
(40)
é solução para a equação 28.
Para analisarmos a unicidade, faremos a prova por redução ao absurdo, conforme os 
passos seguidos por Boyce e DiPrima (2010, p. 89). Supondo inicialmente que o PVI tem 
duas soluções φ e ψ , ambas satisfazem a equação 28. Fazendo a seguinte subtração:
� � � �( ) ( ) [ ( ) ( )]t t s s s ds
t
� � ��2
0
(41)
e tomando valores absolutos se t >0:
� � � � � �( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )t t s s s ds s s s ds
t t
� � � � �� �2 2
0 0
(42)
Se restringirmos t ao intervalo 0 ≤ t ≤ A/2, sendo A um valor arbitrário, teremos 2t ≤ A:
� � � �( ) ( ) ( ) ( )t t A s s ds
t
� � ��
0
(43)
Fazendo uso de uma definição para uma função U, convenientemente,
U t s s ds
t
( ) ( ) ( )� �� � �
0
(44)
onde:
U ( )0 0= (45)
U t( ) ≥ 0 (46)
para t >0. Também U é diferenciável com U t t t’( ) ( ) ( )� �� � . Assim, por meio da equação 
46, podemos fazer:
U t AU t’( ) ( )� � 0 (47)
Multiplicar esse resultado por um valor positivo conveniente e escrevê-lo na forma de 
derivada não irá alterar a desigualdade:
e U tAt� �( ) ’ 0 (48)
integrando esse resultado de zero a t, temos para t >0:
e U tAt� �( ) 0 (49)
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais38
Ou seja, se U(t) 0 para t >0, e também como obtemos na equação 49 U(t) ≥ 0 para t >0, 
então U(t) = 0 para t >0. Dessa forma, U’(t) = 0 e, portanto, temos como conclusão � �( ) ( )t t� , 
que é um absurdo segundo a hipótese inicial. Dessa forma, podemos afirmar que a solução 
é única para t > 0 e para t < 0 é análogo.
 Ampliando seus conhecimentos
Caos, de Jhon H. Hubbard.
(ZILL; CULLEN, 2001, p. 221)
Uma história famosa de ficção científica conta que um político, após ter 
ganho uma eleição, realizou uma viagem em uma máquina do tempo de 
volta à era dos dinossauros. Enquanto estava lá, tomou todo o cuidado 
para não perturbar nada. Mesmo assim, ele pisou sem querer em uma 
folha de grama e a entortou. Quando voltou ao seu tempo, descobriu que 
neste mundo modificado ele tinha perdido a eleição.
Isto é o que os matemáticos têm em mente quando dizem que um sis-
tema apresenta caos: mínimas variações na condição inicial de um sistema 
podem decisivamente afetar o resultado. Estamos falando do efeito bor-
boleta. [...]
Uma justificativa para o efeito borboleta não é de maneira alguma óbvia. 
Não temos uma máquina do tempo disponível; não podemos voltar no 
tempo seis semanas, pegar uma borboleta (sem perturbar nada, qualquer 
que seja o significado disto) e então retornar e observar as consequências. 
Precisamos tomar outro caminho. [...]
A próxima questão com que devemos nos deparar é: o que corresponde 
ao número um bilionésimo acima? Qual proporção do sistema (a atmos-
fera) representa nosso distúrbio (uma borboleta)? Uma maneira (talvez 
contestável) de estimar isso é simplesmente medir a razão das massas. O 
peso de uma borboleta grande é cerca de 1 grama, e a massa da atmosfera 
pesa 5 x 1021 gramas.
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
39
A pressãoatmosférica é de aproximadamente 1 kg/cm², ou seja, há 1 kg 
de ar acima de todo centímetro quadrado da Terra. A área de uma esfera 
de raio r é 4πr2, e o raio da Terra é de cerca de 6000 km. Então, o peso 
da massa atmosférica é 1000 x 4 π x (6 x 108)2 gramas. Logo, uma bor-
boleta não é um bilionésimo do tamanho do sistema; ela é precisamente 
mil-bilhão-bilionésimo.
Como 5 x 1021 é aproximadamente 272, deve levar cerca de 72 períodos de 
duplicação para os efeitos de uma única borboleta induzirem perturba-
ções em uma escala global.
Uma consequência dessa análise é que precisões do tempo para períodos 
longos são completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa 
saber o estado da atmosfera como consequência do efeito de uma borbo-
leta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior. Perturbações 
dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês.
Físicos, químicos, astrônomos e matemáticos estão mostrando agora que 
uma enorme quantidade de sistemas apresentam “caos”, no sentido de 
que estão se expandindo e têm um tempo de duplicação para erros. [...]
A presença de caos tem um efeito devastador sobre as previsões, mas 
algumas vezes é útil; às vezes, o caos pode ser controlado.
A Nasa não é capaz de construir foguetes com combustível suficiente 
para alcançar grandes distâncias. Então, eles fizeram com que o foguete 
tocasse delicadamente em Vênus, roubando dele um pouco da energia 
potencial necessária para alcançar a fantástica velocidade requerida. 
Apenas uma pequena variação na trajetória pode provocar uma grande 
variação na velocidade do foguete, e trajetória é um projeto factível. Mas 
imagine como isso dificulta precisões para longas trajetórias como órbitas 
de cometas, por exemplo.
A presença de caos também tem consequências filosóficas, como, por 
exemplo, o conflito entre determinismo e contingência. Como o ser 
humano pode ser livre se o universo é completamente governado por 
leis determinísticas?
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais40
 Atividades
1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial:
y y y’ ;� � � � �2 0 0 1
2. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial:
� � �3 4 0
dy
dt
y
3. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial:
dy
dt
ty� �4 0
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 Resolução
1. A equação diferencial dada é:
dy
dx
y� �2 0
 Veja que podemos escrever:
dy
dx
y= 2
 Ou seja,
dy
y
dx
2
=
 E integrar ambos os lados, obtendo:
� � �
dy
y
dx
2
Métodos para equações de primeira ordem
Equações Diferenciais
2
41
1
2
� � �
dy
y
dx
1
2
ln y x C� � � �
ln y x C� � � �2 2
y e x C� �2 2
y x C e x� � � 1 2
 que é a solução geral procurada.
 Como a condição de contorno é de que y 0 1� � � , temos C1 1= . Logo,
y x e x� � � 2
2. Para a equação diferencial dada:
� � �3 4 0
dy
dt
y
 podemos escrever:
� � �3 4
dy
dt
y
dy
dt
y=
4
3
dy
y
dt=
4
3
 Integrando ambos os lados:
� � �
dy
y
dt
4
3
ln y t C� � � �4
3
y t e
t C
� � �
�
4
3
Métodos para equações de primeira ordem2
Equações Diferenciais42
3. A equação diferencial dada é:
dy
dt
ty� �4 0
dy
dt
ty� �4
dy
y
tdt� �4
 Integrando ambos os lados:
� � � �
dy
y
tdt4
ln y t C� � � � �4
2
2
ln y t C� � � � �2 2
y t e t C� � � � �2
2
y t C e t� � � �1 2
2
Equações Diferenciais 43
3
Equações lineares de 
segunda ordem
Quando formulamos um modelo matemático para simular um fenômeno físico, 
muitas vezes a equação diferencial estipulada envolve derivadas de ordem maior 
que 1. Quando a equação diferencial descreve a relação da taxa de variação segunda 
com outras variáveis, dizemos que ela é uma equação diferencial de segunda ordem e 
alguns métodos facilitam sua resolução. O objetivo deste capítulo é classificar e 
resolver algumas dessas equações diferenciais. Na primeira parte, buscamos des-
crever os fundamentos e conceitos dessas equações, apresentando alguns auto-
res que facilitam a descrição do assunto. Na segunda, buscamos descrever como 
resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, os 
quais são um tipo simplificado entre as possíveis equações de segunda ordem. 
Por fim, apresentamos, na terceira parte, um método para resolver a equação de 
Euler-Cauchy homogênea.
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais44
3.1 Fundamentos e conceitos das equações 
diferenciais de segunda ordem
As equações diferenciais de segunda ordem são muito utilizadas em 
problemas de Física e Matemática. Geralmente os problemas têm como va-
riável independente o tempo. Sendo f uma função dada e t a variável que 
denota o tempo, temos uma equação diferencial de segunda ordem na forma:
d y
dt
f t y
dy
dt
2
2 = ( , , ) (1)
e ela será linear se
f t y
dy
dt
g t p t
dy
dt
q t y( , , ) ( ) ( ) ( )� � � (2)
A equação 1 também pode ser escrita de duas outras formas:
y p t y q t y g t’’ ( ) ’ ( ) ( )� � � (3)
P t y Q t y R t y G t( ) ’’ ( ) ’ ( ) ( )� � � (4)
de maneira que, se P(t) 0, podemos obter a equação 3 se dividirmos a equação 4 por P t( )
. Então, se a equação 1 não puder ser escrita como a equação 3 ou a 4, então ela será uma 
equação não linear, por exemplo:
d x
dt
x
x
2
2 21
0�
�
�
Se ocorrer g t( ) = 0 ou G t( ) = 0, então a equação é homogênea, ou seja, dado 
f x y f x y� �, ,� � � � �, como foi apresentado nos capítulos anteriores.
Caso contrário, teremos uma equação não homogênea. Geralmente, podemos resolver 
uma equação não homogênea quando temos a correspondente equação homogênea resolvi-
da (BOYCE; DIPRIMA, 2010), o que será visto ao longo deste capítulo.
Um problema de valor inicial (PVI) para a equação 1 deverá conter duas condições ini-
ciais, visto que a solução geral possuirá duas constantes arbitrárias a serem definidas. Por 
exemplo, pode ser dado:
y t y( )0 0= (5)
y t y’( ) ’0 0= (6)
onde y0 e y ’0 são valores conhecidos. Ou seja, além do ponto inicial ( , )t y0 0 que deve per-
tencer ao gráfico da solução, as condições iniciais fornecem o coeficiente angular y ’0 da reta 
tangente ao gráfico no ponto inicial (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Quando as funções da equação 4 forem constantes e o termo independente G t� � for 
nulo, temos:
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
45
ay by cy’’ ’� � � 0 (7)
onde a, b e c são constantes. Um exemplo de resolução para esse tipo de equação foi reali-
zado por Boyce e DiPrima (2010, p. 106). Outros exemplos de mesmo grau de dificuldade 
podem ser consultados em Farlow (2012). Vamos observar a equação 8, dada por:
y y’’� � 0 (8)
Podemos concluir que estamos procurando uma função cuja derivada de segunda or-
dem seja igual à própria função, basta colocar o y do outro lado da igualdade. Utilizando 
nossos conhecimentos de cálculo, podemos pensar que a função procurada pode ser y t et1( ) = 
ou y t e t2( ) �
� . Além disso, múltiplos constantes dessas funções também são solução para a 
equação 8, bem como a soma de suas soluções também pode ser uma solução. Ou seja, a 
combinação linear das funções y t et1( ) = e y t e
t
2( ) �
� representada por:
y c y t c y t� �1 1 2 2( ) ( ) (9)
y c e c et t� � �1 2 (10)
também é uma solução para a equação 8, para quaisquer valores de c1 e c2.
Como temos uma família de soluções possíveis, como na solução geral das equa-
ções diferenciais de primeira ordem, podemos determinar qual solução satisfaz as 
condições iniciais:
y( )0 2= (11)
y ’( )0 1� � (12)
Ou seja, procuramos uma função que contenha o ponto (0,2) cuja reta tangente possui coe-
ficiente angular –1. Para encontrar a solução para essas condições, substituímos a condição 
da equação 11 na equação 10:
2 1
0
2
0
1 2� � � �c ec e c c (13)
Em seguida, derivamos a equação 10, obtendo:
y c e c et t’ � � �1 2
e substituímos nesse resultado a condição da equação 13, tendo assim:
� � �1 1 2c c (14)
Podemos agora resolver um sistema de equações composto pelas equações 
13 e 14:
2
1
1 2
1 2
� �
� � �
�
�
�
c c
c c
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais46
Obtemos o resultado c1
1
2
= e c2 3 2= / . Esse resultado agora é inserido na equação 10, 
para termos então a solução para o PVI:
y e et t� � �
1
2
3
2
(15)
Voltando agora para o caso geral, dado pela equação 7, e supondo uma solução expo-
nencial para esse caso como y ert= , y r e y r ert rt’ . , ’’= = 2 , onde r pode assumir qualquer valor. 
Assim, a equação 7 terá a seguinte forma:
a by cy ar e bre cert rt rt’’ ’� � � � �0 2
ar br c ert2 0� �� � � (16)
e quando ert 0, temos:
ar br c2 0� � � (17)
que é conhecida como equação característica da equação 7, onde r são as raízes dessa equação 
(ZILL, 2001).
Supondo que as raízes da equação 16 sejam reais e distintas, podemos dizer que:
y t er t1 1� � �
y t er t2 2� � �
são soluções da equação 7 e, portanto, a combinação linear dessas soluções também será. 
Assim, temos uma infinidade de soluções dada por:
y c e c er t r t� �1 21 2 (18)
Impondo as condições iniciais:
y t y( )0 0= (19)
y t y’( ) ’0 0= (20)
Tais condições, quando inserimos na equação 17, obtemos:
y c e c er t r t0 1 21 0 2 0� � (21)
Derivando a equação 17 e substituindo a condição da equação 19, obtemos:
y c r e c r er t r t’0 1 1 2 21 0 2 0� � (22)
Agora, resolvendo o sistema de equações composto pela equação 20 e pela equação 21, 
temos como solução:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
47
c
y y r
r r
e r t1
0 0 2
1 2
1 0�
�
�
�’
(23)
c
y r y
r y r
e r t2
0 1 0
1 0 2
2 0�
�
�
�
’
Dessa forma, temos que a equação 17 é solução geral para o PVI dado pela equação 7, 
com restrições dadas pelas equações 18 e 19 (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Notemos, portanto, 
que a solução geral de uma equação diferencial do segundo grau terá dois coeficientes a 
determinar. Nas próximas seções iremos definir alguns métodos para resolução de algumas 
equações diferenciais do segundo grau.
3.2 Métodos de resolução para equações 
diferenciais de segunda ordem com 
coeficientes constantes
A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem é aquela 
apresentada na primeira seção:
d y
dt
f t y
dy
dt
2
2 �
�
�
�
�
�
�, ,
Ou seja, define-se a taxa de variação segunda da função y em função de diversos fato-
res. Entretanto, algumas dessas equações se apresentam em formatos mais simplificados, 
assumindo a forma apresentada na equação 24:
d y
dt
a
dy
dt
a y
2
2 1 0 0� � � (24)
Nesse caso, dizemos que a1 e a0 são coeficientes constantes pertencentes ao conjunto 
dos números reais e a equação 24 é considerada como uma equação diferencial de segunda 
ordem com coeficientes constantes.
Como visto na primeira seção, considera-se que y t ert� � � é uma das solu-
ções dessa equação, com r a determinar. Nesse caso, �� � �y t rert e ��� � �y t r ert2 . 
Substituindo essa solução na equação 24, obtemos:
r e a re a ert rt rt2 1 0 0� � �
e r a r art 2 1 0 0� �� � �
r a r a2 1 0 0� � � (25)
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais48
Como visto, a equação 25 é considerada como a equação característica que possui di-
ferentes soluções para r em função dos diversos valores de a1 e a0 conhecidos. Vejamos os 
três casos.
 2 Caso 1: se as soluções da equação característica são reais e distintas. Suponha a 
seguinte equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 2 8 0� � �
Sua equação característica é dada por:
r r2 2 8 0� � �
Resolvendo essa equação, obtemos duas soluções para r1 2= e r2 4� � , visto que:
r r r r2 2 8 2 4� � � �� � �� �
No caso 1 a solução geral é dada por:
y t k e k er t r t� � � �1 21 2
Ou seja, a solução geral para o exemplo dado é:
y t k e k et t� � � � �1 2 2 4
 2 Caso 2: se as soluções da equação característica são reais mas possuem mul-
tiplicidade 2, como é o caso da seguinte equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 4 4 0� � � (26)
Nesse caso, sabemos que y t k er t1 1 1� � � é solução para algum r1. Entretanto, existe uma 
segunda solução para essa equação. Como a nova solução deve apresentar uma família de 
soluções, ela não pode ser do mesmo formato que y t1 � �. Uma das suposições é que seu for-
mato seja dado por:
y t c t y t2 1� � � � � � �
y t c t k er t2 1 1� � � � �
Nesse caso, reparemos que para ser solução da equação diferencial, ��� � �c t 0. Ou seja,
y t k ter t2 2 1� � �
A solução geral para o caso 2 se torna:
y t k e k tert rt� � � �1 2 (27)
no qual r r r= =1 2, visto que as raízes da equação característica são iguais. No exemplo dado 
pela equação 26, sua equação característica é:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
49
r r2 4 4 0� � �
r �� � �2 02
Ou seja, r = – 2 é uma raiz com multiplicidade 2 da equação dada. A solução geral é dada 
pela equação 27, que nesse caso se torna:
y t k e k tet t� � � �� �1 2 2 2
y t k tk e t� � � �� � �1 2 2
 2 Caso 3: se as raízes da equação característica não são reais, ou seja, possuem duas 
raízes complexas. Podemos escrever essas raízes no formato r a bi1 � � e r a bi2 � �
, onde i é a unidade imaginária, visto que as raízes são conjugadas. Portanto, a 
solução apresentada na parte anterior poderia ser reescrita como:
y t k e k ea bi a bi� � � �� �1 2
Essa solução pode ser escrita na forma simplificada ao ser conhecida a relação de Euler 
e combinações lineares específicas. Essa demonstração pode ser encontrada em Boyce e 
DiPrima (2010). Nesse caso, a solução y(t) é dada por:
y t k e bt k e sen btat at� � � � � � � �1 2cos (28)
Suponhamos a seguinte equação diferencial:
d y
dt
y
2
2 0� �
Nesse caso, sua equação característica é dada por:
r 2 1 0� �
r 2 1� �
E as duas soluções complexas são r i1 � � e r i2 = . Substituídas na solução geral dada pela 
equação 28, obtemos:
y t k t k sent� � � �1 2cos
Seguem alguns exemplos. Seja a equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 2 0� � �
Encontramos inicialmente a equação característica. Nesse caso, seu formato será:
r r2 2 0� � �
r r�� � �� � �2 1 0
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais50
Indicando que essa equação diferencial possui duas raízes reais distintas, r1 2= e r2 1� � . 
Repare que ela se enquadra no primeiro caso. Sendo assim, sua solução geral é dada por:
y t k e k et t� � � � �1 2 2
O processo de resolução dessas equações diferenciais pode, portanto, ser separado em 
três passos:
Passo 1: determinar a equação característica da equação diferencial dada.
Passo 2: encontrar as soluções da equação característica e classificar, em relação às suas 
raízes, em qual dos três casos ela se apresenta.
Passo 3: utilizar o modelo de solução fornecido para cada caso.
Se são dadas condições de contorno para as soluções iniciais, então continuamos com 
um 4º passo, procurando suas constantes.
Por exemplo, seja a equação diferencial dada por:
4 12 9 0
2
2
d y
dt
dy
dt
y� � �
com condições de contorno y 0 2� � � � e �� � � �y 0 1. Utilizaremos o passo a passo para de-
terminar a solução geral dessa equação. O primeiro passo pede que determinemos a sua 
equação característica. Nesse caso,
4 12 9 02r r� � �
Na sequência, o segundo passo pede que encontremos as soluções dessa equação para 
classificarmos de acordo com um dos três casos. Nesse caso, verificamos que a equação pos-
sui uma raiz única real com multiplicidade 2, r � �
3
2
. Isso enquadra nossa solução no caso 2. 
Assim sendo, utilizamos o passo 3 para definir a solução:
y t k e k te
t t
� � � �
� �
1
3
2
2
3
2 (29)
Como estamos tratando de um problema de valor inicial, podemos determinar o valor de 
k1 e k2 a partir dos valores dados. Sabemos que y 0 2� � � � . Nesse caso, substituindo essa infor-
mação na solução geral dada pela equação 29:
y k e k e0 0 22
02
0� � � � � �. .
k2 2� �
Reescrevendo a equação 29:
y t k e te
t t
� � � �
� �
1
3
2
3
22
Para determinar a constante k1, utilizamos a informação de que y ’ 0 1� � � � . Derivando 
a equação 29 pela derivada da função exponencial e pela regra de derivada do produto e 
substituindo a informação dada:
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
51
y t k e e t e
t t t
’ .� � � ��
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
� � �
1
3
2
3
2
3
23
2
2 2 3
2
y
k
e e’ 0
3
2
2 0 11 0 0� � � � � � � �
� �
3
2
11
k
k1
2
3
� �
Ou seja, a solução particular para o exemplo dado é:
y t e te
t t
� � � � �
� �
�
�
�
�
�
�2
3
2
3
2
3
2
3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea
Vimos que uma forma simplificada da equação diferencial de segunda 
ordem é aquela apresentada na equação 24, na qual os coeficientes a0 e a1 são 
constantes.
d y
dt
a
dy
dt
a y
2
2 1 0 0� � � (24)
Uma equação um pouco mais complexa pode ser apresentada no formato da equação 30:
f t
d y
dt
f t
dy
dt
f t y1
2
2 2 3 0� � � � � � � � � (30)
Nesse caso, f1(t), f2(t) e f3(t) apresentam funções no lugar dos coeficientes constantes. Se 
f t at1
2� � � , f t bt2 � � � e f t c3 � � � , temos um caso particular dessa equação diferencial, que é 
conhecida como equação de Euler-Cauchy de segunda ordem. Esse caso particular é dado 
pela equação 31:
at
d y
dt
bt
dy
dt
cy2
2
2 0� � � (31)
Para encontrar a solução geral de uma equação diferencial como a equação 31, defini-
mos uma possível função y = f (t) que seja solução dessa equação. No caso da equação com 
coeficientes constantes, definimos y = e t como uma possível solução. A escolha dessa função 
acontece, muitas vezes, por tentativa e erro, o que evidencia por que o processo de resolução 
de equação diferencial é tão custoso e separa cada uma das equações por tipo.
Uma possível solução para a equação 31 é dada por:
y f t tm� � � �
Vídeo
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais52
com m a determinar. Se for solução, deve-se substituir essa função na equação 31 e verificar 
a veracidade. Como:
y tm=
dy
dt
m tm� �. 1
d y
dt
m m tm
2
2
21� �� � �. ,
substituindo na equação 31, obtemos:
at m m t b t m t c tm m m2 2 11 0. . . . . .�� � � � �� �
am m t b m t c tm m m�� � � � �1 0. . . .
am m b m c�� � � � �1 0.
que é classificada como equação auxiliar. Repare que y f t tm� � � � é solução para qualquer 
m que satisfaça a equação auxiliar. Assim, iremos classificar as soluções em relação a cada 
tipo de raízes encontradas, como foi feito na seção 3.2. Após a classificação, veremos um 
exemplo de cada caso.
 2 Caso 1: Se as raízes da equação auxiliar forem reais e distintas, então tanto m1 e m2 
geram uma solução para o problema. Portanto, temos duas famílias de soluções:
f t tm1 1� � �
f t tm2 2� � �
A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções. Ou seja,
f t k t k tm m� � � �1 21 2
 2 Caso 2: Se as raízes da equação auxiliar forem reais mas possuírem multipli-
cidade 2, então m gera uma família de soluções para o problema. Uma das 
soluções é dada por:
f t tm1 1� � �
A outra solução não pode ser uma combinação linear de f1, pois já estará contida na 
solução geral. Nesse caso, podemos supor que a outra família de soluções será dada por:
f t g t f t2 1� � � � � � �.
Se f t2 � � é solução, então satisfaz a equação 31. Derivando f t2 � �:
f t g t f t g t f t2 1 2
’ ’ . . ’� � � � � � � � � � � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
53
Derivando f t2
’ � �:
f t g t f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 1 1
’’ ’’ . ’ . ’ ’ . ’ . ’’� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 12
’’ ’’ . ’ . ’ ’’� � � � � � � � � � � � � � � � �
Substituindo na equação 31:
at g t f t g t f t g t f t b t g t f t2 1 1 1 12’’ . ’ .
’ ’’ . . ’ .� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � � �g t f t c g t f t. ’ . .1 1 0
Agrupando os termos, colocando g t g t e g t� � � � � �, ’ ’’ em evidência:
g t at f t g t at f t btf t g t at f t’’ ’ . ’ . ’’� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �2 1 2 1 1 2 12 �� � � � � � �� � �btf t cf t1 1 0’
Repare que at f t btf t cf t2 1 1 1
’’ ’� � � � � � � � é a equação 31, de Euler-Cauchy. Como ela vale 
0, podemos continuar a substituição:
g t at f t g t at f t btf t’’ ’ . ’� � � �� � � � � � � � � �� � �2 1 2 1 12 0
Substituindo f t tm1 � � � , obtemos:
g t at t g t at m t bttm m m’’ ’ . .� �� � � � � �� � �2 22 0
at g t amt bt g tm m m� � �� � � �� � � � �2 2 12 0’’ ’
Dividindo por t m:
at g t amt bt g t2 2 0’’ ’� � � �� � � � �
Repare que 2 1am b� � e, portanto:
at g t t g t2 0�� �� � � � � �.
atg t g t�� �� � � � � � 0
Considerando z g t� � �’ :
atz t z�� � � � 0
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Como a solução vista no Capítulo 1:
z
t
g t� � � �1 ’
Portanto,
�� � �g t
t
1
g t t� � � ln
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais54
O que nos mostra que a segunda família de soluções procurada é do tipo:
f t t tm2 � � � ln
E a solução geral para o segundo caso é:
f t k t k t tm m� � � �1 2 ln
 2 Caso 3: Se as duas raízes da equação auxiliar forem complexas. Nesse caso, as raí-
zes complexas podem ser escritas como:
m a bi1 � �
m a bi2 � �
A demonstração da solução geral pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010) e foge 
do escopo deste livro. Nesse caso, sua solução é dada por:
f t t k b t k sen blnta� � � � � � � �� �1 2cos ln
Exemplo 1: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
t
d y
dt
t
dy
dt
y2
2
2 3 3 0� � �
Reparemos que essa equação é do tipo Euler-Cauchy homogênea. Os três passos da-
dos para resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes 
podem ser utilizados aqui, observando o fato de que a análise das raízes é feita em relação 
à equação auxiliar, e não à equação característica.
O primeiro passo é determinar a equação auxiliar da equação dada. Nesse caso,
am m bm c�� � � � �1 0
é a equação auxiliar ao substituir a b e c= = =1 3 3, . Obtemos:
m m m�� � � � �1 3 3 0
O segundo passo é definir as raízes da equação auxiliar para classificar em qual dos três 
casos essa equação se enquadra. Veja que:
m m m�� � � � �1 3 3 0
m m m2 3 3 0� � � �
m m2 2 3 0� � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
55
Utilizando algum método para encontrar raízes, verificamos que essa equação possui 
duas raízes complexas:
m i1 1 2� � � .
m i2 1 2� � � .
Assim, ela se enquadra no terceiro caso. O terceiro passo é encontrar a solução geral. 
A solução geral desse modelo é dada por:
f t t k b t k sen b ta� � � � � � � �� �1 2cos ln ln
Ou seja,
f t t k t k sen t� � � �� ��1 1 22 2cos( .ln ) ( ln )
Perceba que, com todo o desenvolvimento para encontrar as soluções, o método de re-
solução se resume apenas em analisar raízes de uma equação do segundo grau e substituir 
na solução adequada.
Exemplo 2: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
t
d y
dt
t
dy
dt
y2
2
2 3 3 0� � �
O primeiro passo é encontrar a equação auxiliar. Veja que a =1, b � �3 e c = 3. Portanto, 
a equação auxiliar é:
am m bm c�� � � � �1 0
m m m�� � � � �1 3 3 0
m m m2 3 3 0� � � �
m m2 4 3 0� � �
m m�� � �� � �3 1 0
O segundo passo é determinar as raízes e classificar a equação. As raízes são m1 3= e 
m2 1= . Assim, trata-se de uma equação do primeiro caso, cuja solução é:
y t k t k tm m� � � �1 21 2
O terceiro passo é definir a solução com base no caso. Assim, sua solução geral é:
y t k t k t� � � �1 3 2
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais56
 Ampliando seus conhecimentos
Para determinar as raízes de uma equação característica, a maneira mais 
conveniente é pela fórmula de Euler e algumas regras algébricas, dadas na 
seção 3.3, de Boyce e DiPrima. Transcrevemos o trecho a seguir.
Equações diferenciais elementares e 
problemas de valores de contorno
(BOYCE; DIPRIMA, 2010, p. 121-125)
Para atribuir significado às expressões y t i t1( ) exp��� ��� ��� � e 
y t i t2( ) exp� �� ��� ��� � , precisamos definir a função exponencial complexa. 
É claro que queremos que a definição se reduza à função exponencial real 
habitual quando o expoente for real. Existem várias maneiras de descobrir 
como essa extensão da função exponencial deveria ser definida. Vamos 
usar aqui um método baseado em séries infinitas [...]. Lembre-se do 
Cálculo que a série de Taylor para et em torno de t = 0 é
e
t
n
tt
n
n
� �� � � �
�
�
� ! ;0 (1)
Se supusermos que podemos substituir t por it na equação (1), teremos
e
it
n
t
n
i
t
n
it
n
n
n n
n
n n
n
� �
�
�
�
��
�
�
� � �
�
� �( )!
( )
( )!
( )
( )!0
2
0
1 2 11
2
1
2 111
�
� (2)
onde separamos a soma em suas partes real e imaginária, usando o fato de que 
i i i i i2 3 41� � � � �; ; , e assim por diante. A primeira série na equação (2) é 
precisamente a série de Taylor para cos t em torno de t = 0 e a segunda é a série de 
Taylor para sen t em torno de t = 0. Temos, então,
e t i tit � �cos sen (3)
A equação (3) é conhecida como a fórmula de Euler, e é uma relação mate-
mática extremamente importante. Embora nossa dedução da Equação (3) 
esteja baseada na hipótese não verificada de que a série (1) pode ser usada 
para números complexos da mesma forma que para números reais da 
variável independente, nossa intenção é usar essa dedução apenas para 
tornar a equação (3) mais plausível. Vamos colocar as coisas em uma fun-
dação sólida agora, adotando a Equação (3) como definição de eit. Em 
outras palavras, sempre que escrevermos eit, queremos dizer a expressão 
à direita de Euler que vale a pena notar. Substituindo t por –t na equação 
(3) e lembrando que cos( ) cos� �t t e sen( ) sen� � �t t, temos 
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
57
e t i tit� � �cos sen (4)
Além disso, se t for substituído por µt na equação (3), então obtemos uma 
versão generalizada da fórmula de Euler, a saber,
e t i ti t� � �� �cos sen (5)
A seguir, queremos estender a definição de exponencial complexa para 
expoentes complexos arbitrários da forma ( )� �� i t . Como queremos que 
as propriedades usuais da função exponencial continuem válidas para 
expoentes complexos, queremos, certamente, que exp ( )� ��� �i t satisfaça
e e ei t t i t( )� � � �� � (6)
Usando, então, a equação (5), obtemos
e e t i t e t ie ti t t t t( ) (cos sen ) cos sen� � � � �� � � �� � � � � (7)
Tomamos agora a equação (7) como a definição de exp ( )� ��� �i t . O valor 
da função exponencial com coeficiente complexo é um número complexo 
cujas partes real e imaginária são dadas pelas expressões à direita do 
sinal de igualdade na equação (7). Note que as partes real e imaginária de 
exp ( )� ��� �i t estão expressas inteiramente em termos de funções elemen-
tares reais.
 Atividades
1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial:
y y y y y’’ ’ ; ( ) ; ’( )� � � � �2 0 0 1 0 1
2. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução 
geral para:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
3. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução parti-
cular para:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
y 0 1� � �
y ’ 0 2� � �
Equações lineares de segunda ordem3
Equações Diferenciais58
 Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno. São Paulo: LTC, 2010.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1.
KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
FARLOW, S. J. An introdution to differential equations and their applications. Mineola, NY: Dover 
Books on Mathematics, 2012.
 Resolução
1. Seja a equação diferencial:
d y
dx
dy
dx
y
2
2 0� � �
 sua equação característica é dada por:
r r2 2 0� � �
 cujas raízes são x1 1= e x2 2� � . Portanto, a solução geral é dada por:
y t C e C et t� � � � �1 2 2
 As condições iniciais do problema são y 0 1� � � e �� � �y 0 1. Nesse caso,
y C e C e
y C e C e
0 1
0 2 1
1
0
2
2 0
1
0
2
2 0
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�� �
�
�
.
.
 ou seja,
C C
C C
1 2
1 2
1
2 1
� �
� �
�
�
�
 Portanto, C C1 21 1� � �, e a solução particular é dada por:
y t e ep
t t� � � � �2
2. A equação diferencial desse problema é:
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
Equações lineares de segunda ordem
Equações Diferenciais
3
59
 Sua equação característica é:
r r2 3 4 0� � �
 que possui duas raízes complexas:
3
2
7
2
± i
 Portanto, sua solução geral é dada por:
y t k e
t
k e
tt t� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�1
3
2
2
3
27
2
7
2
sin cos
3. Nesse caso,
d y
dt
dy
dt
y
2
2 3 4 0� � �
 É a mesma equação do problema 2. As condições de contorno são:
y 0 1� � �
�� � �y 0 2
 Resolvendo o sistema de equações associado, obtemos os valores para C1 e C2:
y t e
t
e
tt t� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
7
7
7
2
7
2
3
2
3
2sin cos
Equações Diferenciais 61
4
Equações 
não homogêneas 
No capítulo anterior, vimos que existem equações diferenciais de segunda ordem 
homogêneas e não homogêneas e métodos que visam encontrar uma solução geral 
para uma equação homogênea. Neste capítulo, o enfoque está nas equações não homo-
gêneas. A primeira parte busca tratar do método dos coeficientes indeterminados para 
resolver equações não homogêneas. A segunda apresenta o método de variação de 
parâmetros, que permitirá resolver mais alguns casos de equações não homogêneas. 
Já a terceira parte apresenta uma discussão de como a simulação de oscilações pode 
ser realizada a partir de equações diferenciais, tendo por base conhecimentos sobre as 
leis da Física.
Equações não homogêneas4
Equações Diferenciais62
4.1 Método dos coeficientes indeterminados
Para encontrarmos uma solução particular Y de uma equação linear não 
homogênea de ordem n com coeficientes constantes, podemos utilizar o mé-
todo dos coeficientes indeterminados (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Dada a equação não linear:
L y a y a y a y a y g tn n n n[ ] ... ’ ( )
( ) ( )� � � � � �� �0 1
1
1
se g(t) tiver uma forma apropriada, que pode ser uma soma de polinômios exponenciais, 
senos e cossenos etc., podemos encontrar Y(t) convenientemente utilizando constantes inde-
terminadas (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
O método consiste em supor uma forma inicial para Y(t), porém sem coeficientes deter-
minados. Substituindo essa hipótese, devemos tentar determinar os coeficientes, da mesma 
forma que estudamos para as equações de segundo grau. No caso das equações de grau 
superior, pode ocorrer de as raízes terem maior grau de multiplicidade. Para essas situações, 
é necessário multiplicar as parcelas por potências mais altas de t, como veremos em breve. 
Vamos aplicar esse método no exemplo extraído de Boyce e DiPrima (p. 183, 2010), si-
milar aos encontrados em Zill (2011), a seguir.
Vamos encontrar a solução particular Y da equação:
y y y y et’’’ ’’ ’� � � �3 3 4
cujo polinômio característico associado é dado por:
r r r r3 2 33 3 1 1� � � � �( )
Assim, a solução geral da equação homogênea, visto que r =1 possui multiplicidade 
tripla, é dada por:
y t c e c te c t ec
t t t( ) � � �1 2 3
2
Iniciamos supondo que Y (t) é um múltiplo de et . Assim, teríamos:
Y t Aet( ) =
porém, e te t et t t; ; 2 são soluções, então faremos uma multiplicação por t³, visando obter uma 
nova solução linearmente independente. Agora precisamos encontrar o valor de A para 
a hipótese:
Y t At et( ) = 3
Para isso, calculamos sua primeira, segunda e terceira derivadas:
Y t At e At et t’� � � �3 2 3
Y t Ate At e At e At et t t t’’� � � � � �6 3 32 2 3
Y t Ate At e At et t t’’� � � � �6 6 2 3
Vídeo
Equações não homogêneas
Equações Diferenciais
4
63
Y t Ae Ate Ate At e At e At et t t t t t’’’� � � � � � � �6 6 612 32 2 3
Y t Ae Ate At e At et t t t’’’� � � � � �6 18 9 2 3
e substituímos esses resultados na equação geral: 
Y t Y t Y t Y et’’’ ’’ ’� � � � � � � � � �3 3 4
resultando em: