Métodos Quantitativos Matemáticos

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Métodos QuantitativosMétodos Quantitativos
MatemáticosMatemáticos
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Bem vindo(a)!
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), desenvolver habilidades matemáticas pode abrir novos
horizontes, pois a matemática é importante para análise, tomada de decisões e
projeções em uma organização. Então, vemos uma crescente por busca de
pro�ssionais que têm base para processos decisórios nas mais diversas áreas.
É com muito prazer que apresento a você, aluno(a), este material. Nele abordaremos
conceitos relacionados a Métodos Quantitativos Matemáticos. Mas o que são tais
métodos? São ferramentas que dão suporte para aplicações matemáticas em
modelagem em diversas ciências, como economia, física, biologia, dentre outras.
Escrevi este material com o objetivo de aumentar os níveis de autocon�ança e criar
mecanismos para que você possa interagir com a matemática.  
O material está distribuído em quatro unidades, em que buscamos conceitos
elementares dentro da matemática. Acreditamos que você, depois deste curso, terá
capacidade de abordar temas como teoria dos conjuntos e funções em seu dia a dia.
Na Unidade I trataremos de matemática básica e conjuntos numéricos. Essa
unidade irá trazer uma abordagem de conceitos elementares que, como o próprio
nome diz, é base para vários assuntos dentro das outras unidades. Na Unidade II
abordaremos relações e funções, que são ferramentas com grande uso em
modelagem matemática. Na Unidade III continuaremos tratando de funções, mas
um caso particular, uma família de funções chamadas funções polinomiais, esta
com uma gama de aplicações gigantesca. Por �m, na Unidade IV, as chamadas
funções modulares e exponenciais, essa última usada em vários conceitos
econômicos.
Espero que você aproveite ao máximo este material que foi confeccionado com
muito carinho e dedicação. Convido você para, junto conosco, percorrer esta jornada
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados
em nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e
pro�ssional.
Muito obrigado e bom estudo!
Unidade 1
Matemática Básica e
Conjuntos Numéricos
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Introdução
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo à primeira unidade de nosso material.
A Matemática é uma ciência essencial à vida do ser humano. Napoleão disse: “o
progresso de um povo depende, exclusivamente, do desenvolvimento da
matemática”. A Matemática é a base para todas as ciências e artes, por envolver
conceitos necessários e fundamentais dentro da matemática.
Os conteúdos apresentados na primeira parte desta unidade serão chamados de
Matemática Básica, que não é restrita apenas às operações de soma, subtração,
multiplicação e divisão, como muita gente pensa, tem muito mais. Em um segundo
momento, apresentaremos os Conjuntos Numéricos, que são as classi�cações para
os números conforme sua natureza.
O que faremos nesta unidade é focar em conteúdos especí�cos de álgebra que são
essenciais para o bom desenvolvimento dos métodos quantitativos matemáticos.
Trataremos das expressões numéricas que são ferramentas importantes pelo fato de
indicarem organização de operações. Depois você irá trabalhar com regra de três,
famosa conhecida desde o ensino fundamental. Ela tem o intuito de trabalhar com
grandezas diretas e inversas.
Ainda nesta unidade falaremos sobre um conceito que está presente, de forma
frequente, em nosso dia a dia: as porcentagens. Você irá aprender como fazer o
cálculo deste conceito. Outro assunto importante abordado nesta unidade são as
equações, no momento, do primeiro e segundo grau. Iremos abordar resoluções
para essas equações e também iremos analisar alguns problemas referentes a elas.
Por �m, entraremos na teoria dos conjuntos. Faremos um “passeio” sobre esse
assunto que é a base de vários conceitos dentro da matemática. Iremos abordar
tipos de conjuntos e as classi�cações para os números, naturais, inteiros, racionais,
irracionais e reais, que são chamados de conjuntos numéricos.
Aproveite ao máximo seus estudos. Vamos lá então!
Bons estudos!
Expressões Numéricas
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Você deve ter ouvido falar muito em Expressões Numéricas, mas o que é isso? A
resposta é simples, são sequências de operações que são ordenadas, ou seja, devem
ser realizadas respeitando determinada ordem. Para indicar essa ordem, é comum
usarmos símbolos de separação de operações. Esses símbolos são parênteses,
colchetes e chaves. Para resolver uma expressão numérica devemos seguir uma
ordem de resolução, tanto em relação aos símbolos de separação quanto à ordem
das operações. A ordem é essa:
Quanto os símbolos separadores:
1. Eliminar os parênteses.
2. Eliminar os colchetes.
3. Eliminar as chaves.
Quanto às operações:
1. Efetuar potenciação e radiciação.
2. Efetuar multiplicação e divisão.
3. Efetuar adição e subtração.
Ao se resolver a expressão, se você notar mais de uma operação com prioridade, 
então se deve começar com aquela que aparece primeiro.
Exemplo resolvido:
Determine o valor da expressão E = 396 : {2.[ 26 – 5.(2 + 3)5]} .
Resolução:
Note que, pela ordem de prioridade, devemos resolver a soma dentro parênteses. 
Desta forma temos
E = 396 : {2.[ 26 – 5.(5)5]}.
Como só temos um elemento dentro dos parênteses podemos eliminá-lo fazendo a 
potência:
E = 396 : {2.[ 26 – 5.25]} .
Agora, iremos trabalhar os colchetes, dentro temos uma operação prioritária, que é 
multiplicação, em seguida faremos a subtração. Então
E = 396 : {2.[26 – 125]} . 
E = 396 : {2.[– 99]} .
Ficamos com apenas um elemento dentro dos colchetes. Agora podemos calcular 
usando o produto por dois.
E = 396 : {–198} .
Como agora temos apenas um elemento dentro das chaves podemos eliminá-las,
assim E = – 2.
Regra de Três
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Regra de três é um assunto que você já deve ter ouvido falar muito. Mas o que é
isso? São problemas que apresentam grandezas relacionadas, tanto diretamente
quanto inversamente proporcionais. Temos duas situações a considerar, a primeira
chamada simples e a segunda, composta. Vamos conhecer cada uma delas.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um
valor a partir dos três já conhecidos. Regra de três composta é utilizada em
problemas com mais de duas grandezas.
Exemplos resolvidos:
1) Para percorrer certo trajeto, um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso
em 4 horas. Se a velocidade desse carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria
feito o mesmo percurso?
Resolução:
Observe que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais, ou
seja, quanto maior a velocidade, menor o tempo, ele diminui em razão inversa.
Então podemos nos guiar pelo esquema de �echas, informando que sentidos iguais
nos informam que as grandezas são diretas e sentidos opostos, grandezas inversas:
Assim
Logo o tempo que ele irá gastar é 3 horas.
2) A construtora ALEGRIA está trabalhando fazendo a terraplanagem de um grande
terreno. Como o terreno era desnivelado, ela pretendia colocar 20 caminhões
idênticos para transportar 160m3 de terra em 8 horas, o que seria su�ciente para o
serviço. Mas o engenheiro recalculou e veri�cou que serão necessários descarregar
apenas 125m3. Por questão de logística, os caminhões irão trabalhar apenas 5 horas.
Nessas condições, quantos caminhões serão necessários?
= ⇒ 8x = 4 × 6 ⇒ 8x = 24
4
x
8−0
6−0
x = ⇒ x = 3
24
8
Resolução.
Devemos analisar as grandezas número de caminhões com horas e também com
volume de forma separada. Observamos que aumentando o número de horas de
trabalho, podemos diminuir o número de caminhões, logo temos grandezas
inversamente proporcionais. Agora, aumentando o volume devemos ter mais
caminhões, então temos grandezas diretamente proporcionais. Guiando-nos pelo
esquema de �echas:
Concluímos que serão necessários 25 caminhões.
= × ⇒ = ⇒ 8x = 10 × 20
20
x
160
125
58
20
x
8−0−0
10−0−0
8x = 200 ⇒ x = ⇒ x = 25
200
8
Porcentagem
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Você provavelmente deve ouvir essa palavra quase todo dia: porcentagem. Ela
origina-se do latim per centum, que signi�ca por cem ou “por cento”, ou seja, é uma
razão cujo denominador é 100. Usamos o símbolo % para representar porcentagem,
assim quando dizemos x% estamos indicando a fração . Isso signi�ca que
dividimos algo em 100 partes e tomamos x dessas partes.
Para representarmos porcentagem podemos usar uma fração centesimal
(denominador igual a cem) ou um número decimal. A seguir estão algumas
representações que são equivalentes.
A porcentagem é vastamente utilizada no mercado �nanceiro, sendo aplicada para
capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices in�acionários e
de�acionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros.
Exemplos resolvidos.
1) Uma loja fez um anúncio de uma promoção, indicando que estava dando
descontos de até 60%. Uma pessoa que nela fosse comprar uma calça que antes da
promoção custava R$ 90,00, e na liquidação estava com desconto máximo, levaria a
calça por qual valor?
Resolução:
Devemos calcular o desconto que essa calça tem. Para se obter 60% de R$ 90,00
uma forma é dividir o valor em reais por 100 e multiplicar por 60. Assim R$90,00:100
= 0,9.60 = R$54,00. Logo o desconto será de R$ 54,00 e ela pagará R$ 90,00 – R$
54,00 = R$ 36,00.
2) Descontos sucessivos de 12% e 20%, correspondem a desconto único de quanto?
Resolução:
Se um artigo tem desconto de 12% então estaremos pagando 100% – 12% = 88%, de
mesma forma, se houver um desconto de 20% então a fração correspondente a ser
paga é 100% – 20% = 80%. Uma forma de se calcular os descontos sucessivos é
multiplicar esses valores.
x
100
x% =
x
100
8% = = 0, 08
8
100
57% = = 0, 57
57
100
132% = = 1, 32
132
100
Logo, esses dois descontos sucessivos correspondem a um desconto único de 100%
– 70,4% = 29,6%
. = = = 70, 4%
88
100
80
100
7040
10000
70, 4
100
Equação
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Dizemos que uma igualdade entre duas expressões matemáticas que se veri�ca
para determinados valores das variáveis é chamada de equação. Resolver uma
equação é determinar quais os valores satisfazem determinadas condições
indicadas na equação. Esses valores são chamados de raízes da equação. Ao
conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado de conjunto solução.
Por exemplo, o número 3 é solução da equação 4x – 3 = 3x, pois a igualdade é
veri�cada quando se substitui x por 3, note 4.3 – 3 = 3.3.
Equações do 1º Grau
Caro(a) aluno(a), neste tópico iremos discutir conceitos envolvidos em equações do
1º grau, em especial a sua resolução. Mas, a�nal, o que é uma equação do primeiro
grau?
Uma equação do primeiro grau é toda igualdade do tipo ax + b = 0, com a e b ∈ R e a
≠ 0, sendo x um número real a ser determinado, chamado de incógnita.
O problema fundamental das equações é a determinação de suas raízes, isto é,
determinar a solução da equação. Assim, poderíamos nos perguntar: uma equação
tem solução, isto é, tem raízes? Quantas são as raízes? Como determinar essas raízes
da equação? Para obter as raízes de uma equação do tipo ax + b = 0, com a e b ∈ R e
a ≠ 0, existem vários métodos.
Propriedades:
Aditiva: somar ou subtrair um número nos dois membros de uma equação,
encontrando outra equivalente.
Multiplicativa: multiplicar ou dividir por um número não nulo nos dois membros de
uma equação, encontrando outra equivalente.
Exemplo resolvido
Resolver cada uma das equações:
a) 5x – 12 = 8 
b) 3x – 10 = 2x + 8
Resolução:
a) As operações aditiva e multiplicativa podem ser substituídas pelo processo de
isolar o valor de x, observe:
Podemos “levar” o – 12 para o segundo membro invertendo a operação, daí:
5x = 8 + 12 
5x = 20
Agora, como o valor 5 está multiplicando o valor de x então “transferimos” o 5 para o
outro membro invertendo a operação:
Logo: .
b) Pode-se usar o método aplicado em a), mas faremos pelo processo aditivo e
multiplicativo.
Para obtermos a solução dessa equação devemos somar 10 a cada um de seus
membros:
3x – 10 + 10 = 2x + 8 + 10 
3x = 2x + 18
Ainda podemos somar –2x em ambos os membros:
3x + (–2x) = 2x + (–2x) + 18 
x = 18
Logo, x  = 18. Podemos então indicar o conjunto solução S = {18}.
Equações do 2º Grau
Caro(a) aluno(a), agora você terá contato com um tipo de equação particular, as
equações chamadas de equações polinomiais do segundo grau ou equação
quadrática. Nós iremos apresentar a você um método de resolução conhecido como
Bhaskara. Antes desse método, iremos indicar as equações incompletas que
também podem ser resolvidas como o método citado, mas existe a possibilidade de
diminuir esforços e tempo na resolução. Vamos então para a de�nição:
Uma equação de segundo grau ou quadrática com coe�cientes a, b e c é a equação
na forma completa representada por:
ax² + bx + c = 0 
a, b e c ∈ R e a ≠ 0 e x a incógnita a ser determinada.
Observe que a é o coe�ciente que acompanha o x², o coe�ciente b acompanha o x e
o c é o termo independente da equação. Não se esqueça de atentar a esses fatores,
pois são essenciais para resolver uma equação do 2º grau.
Observe as equações a seguir:
x = ⇒ x = 420
5
a) 3x² – 7x + 9 = 0   é uma equação do 2º grau, com a = 3,  b = –7  e  c = 9. 
b) –2x² – x – 1 = 0    é uma equação do 2º grau, com a = –2,  b = –1  e  c = –1. 
c) 9x² – 12x = 0        é uma equação do 2º grau, com a = 9,  b = –12  e  c = 0.
Considere a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Para obtermos sua
solução, um dos processos que pode ser usado é a fórmula resolutiva de Bhaskara:
Note que usamos . Esse valor é chamado de delta. Então, conforme
temos a, b e c esse valor pode variar o sinal. Acompanhe:
1. Se , então existem duas raízes reais distintas, pois representa um
número real positivo.
2. Se então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.
3. Se então não existem raízes reais, pois não representa um número
real.
Exemplo resolvido:
1) Considere a equação dada por x² – 5x + 6 = 0. Determine, se houver, as raízes dessa
equação.
Resolução:
Comparando a sentença da equação como ax² + bx + c = 0 temos a = 1, b = –5 e c = 6.
Para obtermos, se houver, raízes, usaremos o processo de Bhaskara, assim:
Logo x₁ = 2 e x₂ = 3.
2) Calcule o valor de m para que a equação do segundo grau x² – 4x + m = 0 tenha
uma única raiz.
Resolução:
Para que a equação quadrática tenha uma única raiz real devemos ter seu
discriminante, delta, igual a zero. Usando a = 1, b = – 4 e c = m temos
x = =
−b ± √b2 − 4ac
2a
−b ± √Δ
2a
x =
−b ± √Δ
2a
Δ = b2 − 4ac
Δ > 0 √Δ
Δ = 0 √Δ
Δ < 0 √Δ
Δ = (−5)2 − 4.1.6
Δ = 25 − 24 = 1
x =
x =
−(−5)±√1
2.1
5±1
2
Δ = (–4)² – 4.1.m = 0 
16 – 4m = 0 
m = 4
Sistemas de Equações do Primeiro Grau
Em várias situações encontradas nas descrições matemáticas de fenômenos físicos
nos deparamos com a necessidade da solução simultânea de um conjunto de
equações. Esses conjuntos apresentam m equações com n incógnitas. A esse
conjunto de equações daremos o nome de sistemas. Iremos discutir sistemas
lineares de segunda ordem, que são aqueles casos que apresentam duas incógnitas
e duas equações. Se um sistema está com as incógnitas x e y, nesta ordem,
representamos a solução por S = {(x,y)}.
Existem vários métodos para encontrarmos a solução de um sistema linear de
ordem dois, aqui apresentaremos o método de adição. Caro(a) aluno(a), este método
consiste em somar as equações do sistema, buscando obter uma equação com
apenas uma incógnita. Em vários casos ocorrerá a necessidade de multiplicarmos
uma ou mais equações por um número de forma conveniente, de modo que uma
incógnita tenha coe�cientes opostos nas duas equações.
Exemplo resolvido:
Determine a solução do sistema .
Resolução:
Pelo método de adição devemos obter equações equivalente à do sistema de forma
que possamos somar essas equações e, assim, obtermos uma incógnita. Neste caso,
se optarmos em obter o valor dex podemos multiplicar a primeira equação por 2.
Agora, somando essas duas equações temos que:
Desta forma temos . Logo, x = 1. Para obtermos o valor de y devemos escolher
uma das equações e substituir x = 1, escolheremos a segunda, . Desta
forma:
{ 3x − 2y = −3
5x + 4y = 17
{ 6x − 4y = −6
5x + 4y = 17
{ 6x − 4y = −6
5x + 4y = 17
––––––––––––––––––
11x = 11
x = 11
11
5x + 4y = 17
Concluímos que a solução do sistema é S = {(1, 3)}.
Inequações
Chamamos de desigualdade uma expressão que estabelece uma ordem entre
elementos. No conjunto dos números reais, quando pretendemos indicar uma
desigualdade usamos um dos símbolos: >, que signi�ca maior que, <, que signi�ca
menor que, para representar maior ou igual a, e   para menor ou igual a.
Também podemos incluir o símbolo para representar diferente.
Dados a, x e y, números reais, então a desigualdade tem como propriedades (< e >
podem ser substituídos por ≤ e por ≥):
1. x > y  ⇒x + a > y + a
2. x > y  ⇒x – a > y – a
3. a > 0  ⇒x > y então ax > ay
4. a < 0  ⇒x > y então ax < ay
Ainda, damos o nome de inequação à desigualdade literal que é satisfeita por
valores especí�cos para suas incógnitas. Pode também ser de�nida como uma
sentença matemática expressas por um dos sinais de desigualdade, fato que a faz
diferenciar-se da equação que representa relações de equivalência. As inequações
são usadas em experiências, estatísticas, análise de dados e comparações, ela serve
de recurso da linguagem para organizar problemas.
Determinar a solução de uma inequação é obter os valores das incógnitas que
satisfazem a desigualdade, tornando-a, assim, uma expressão numérica. Iremos
trabalhar, nas unidades seguintes desse material vários tipos de inequações.
Exemplos:
1. As expressões 2x + 9 > 0, x2 – 8x ≤ 0, 6x + 7 ≤ 0 são inequações.
2. A �gura a seguir mostra uma balança ao �nal de uma pesagem. Em cada um
dos pratos, há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos
representados na mesma unidade de medida.
5.1 + 4y = 17
5 + 4y = 17
4y = 17 − 5
4y = 12
y = ⇒ y = 312
4
≥ ≤
≠
Podemos expressar a situação através da inequação 3x + 5 > 2x + 8.
Teoria dos Conjuntos
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Um conceito importante em Matemática é a Teoria dos Conjuntos. No seu dia a dia
se depara com vários conjuntos, a nossa família, os habitantes de uma cidade dentre
outros, então como você de�niria um conjunto?
Conjunto é um ente primitivo, ou seja, um conceito aceito sem de�nição formal.
Então você deve continuar com a ideia formada de coleção e para �xarmos bem,
observe os exemplos:
1. Os dias da semana formam um conjunto. Sábado é um dia da semana, logo
dizemos que ele é um elemento desse conjunto.
2. O Brasil é constituído de 26 estados. São Paulo é um deles. Logo São Paulo é
um elemento que pertence a esse conjunto.
3. Saturno tem várias Luas. Essas Luas formam um conjunto e Titãs pertence a
esse conjunto.
Evidente que em seu pensamento deve pendurar “qualquer tipo de elemento tem
possibilidade de ser reunido em um conjunto”. Você está correto! Faremos uma
análise à Teoria dos Conjuntos, ela é aplicada na maioria das vezes a elementos que
são relevantes a algum estudo para a matemática ou alguma outra ciência.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Um conjunto caracterizado por possuir apenas um elemento é chamado de
conjunto unitário. Por exemplo, o conjunto A = {x/x é dia da semana que começa
com a letra D} só tem um elemento.
Se um conjunto não possui nenhum elemento ele é chamado de conjunto vazio. O
conjunto B = {x/x é mês do ano que começa com T} é um exemplo de conjunto sem
elementos, logo, é um conjunto vazio. A sua representação pode ser feita utilizando
duas simbologias: {  } ou Ø.
Relação de pertinência e de inclusão
Quando um elemento x faz parte do conjunto A, dizemos que ele pertence ao
conjunto A, indicamos essa relação por x  A. De forma contrária, quando o elemento
não faz parte de A, dizemos que ele não pertence a A, então indicamos por x  A.
Exemplo.
Sejam o conjunto A = {0, 2, 4, 8} temos que 4  A e 7  A.
Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A
pertence a B.
A ⊂ B → lê-se A está contido em B (relação de inclusão).
Exemplo.
Seja B o conjunto formado por todos os estados do Brasil. Consideremos S o
conjunto dos estados da região Sul do Brasil, que é composta por Paraná, Santa
Catarina e Rio Grande do Sul. Então, podemos dizer que o conjunto S é subconjunto
de B, pelo fato de todos os seus elementos também pertencerem a B.
Observações:
∅ ⊂ A, ∀
A ⊂ A, ∀
Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A ⊂ B e B ⊂
A ⊃ B, signi�ca A contém
A ⊄B e C ⊅ D signi�ca, respectivamente, A não está contido em B e C não
contém D.
Operações com Conjuntos
Até agora comentamos algumas indicações e alguns tipos de conjuntos. Quando
falamos de operações logo nos vem à mente a adição, subtração, divisão,
multiplicação entre números. Os conjuntos também têm sua álgebra, é possível
Figura 1 - Divisão dos estados brasileiros
Fonte: @santoldesign em Freepik.
operá-los. Iremos estudar as principais operações com conjuntos e saber como
aplicá-las. Essas operações são conhecidas como: União de conjuntos, Interseção de
conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos.
O jogo de futebol representa uma operação entre dois conjuntos.
União ou Reunião entre Conjuntos
Chamamos de união entre os conjuntos A e B um conjunto gerado pelo
agrupamento de todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do
conjunto B, ou seja, a união de A com B é o conjunto formado por todos os
elementos pertencentes a A ou a B.
Simbolicamente representamos a União entre dois conjuntos A e B, pelo símbolo 
, e de�nimos da seguinte maneira:
Preste atenção no cognitivo “ou” na de�nição, com sentido inclusivo, ele é o
indicador da união (ou reunião) entre conjuntos.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = {3, 5, 7}, então . Podemos representar
essa operação também através de um diagrama:
Propriedades da União:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
A ∪ B
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}
P1. 
P2. 
P3. 
Intersecção entre Conjuntos
Consideramos como Intersecção entre os conjuntos A e B, um conjunto gerado
pelos elementos que aparecem simultaneamente entre eles, ou seja, a intersecção
de A com B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
Simbolicamente representamos a União entre dois conjuntos A e B, pelo símbolo 
, e de�nimos da seguinte maneira:
O cognitivo “e” na de�nição, com sentido de simultaneidade, é o indicador da
intersecção entre conjuntos, observe esse detalhe.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então . Como acontece com a União,
podemos representar essa operação também por uma área hachurada em
diagrama:
Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se não tiverem nenhum elemento em
comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua intersecção
representar um conjunto vazio.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 5, 6, 8}, são disjuntos pois   .
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B
A ∩ B
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
A ∩ B = {3, 7}
A ∩ B = ∅
Propriedades da União:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
P1. . 
P2. . 
P3. .
Por consequência desta propriedade temos que  e .
Além das propriedades anteriores, há duas propriedades que são importantes, elas
envolvem operações de união e intersecção.
P4. . 
P5. 
Analisando as operações de União e Intersecção entre os conjuntos A e B, é fácil
veri�car que o número de elementos da união é igual a soma do número de
elementos do conjunto A com o número de elementos do conjunto B subtraído do
número de elementos da intersecção entre eles.
Observe que se os dois conjuntos forem disjuntos temos
Diferença entre Conjuntos
Chamamos de diferença entre dois conjuntos A e B, nesta ordem, os elementos do
conjunto A que não pertencem ao conjunto B. Observe que a diferença entre A e B é
o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, istoé, retira-se de A o que for
comum com B. A operação de diferença não é comutativa.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então A – B = {1, 2} e B – A = {5}. Note a diferença pela
área hachurada nos diagramas:
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A
A ∩ ϕ = ϕ A ∩ A = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B)
n (A ∪ B) = n (A) + n (B)
Obs.: O conjunto gerado por A – B, quando todos os elementos do conjunto B são
elementos de A, é chamado de complementar de B em relação a A, indicamos .
, com .
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 9} e B = {4, 6, 8}. Vemos que , então o
complementar de B em A é . A área hachurada do diagrama a
seguir mostra esse complementar.
Propriedades da diferença.
Sejam A e B conjuntos quaisquer, temos:
P1. . 
P2. . 
P3. .
C B
A
C B
A
= A − B B ⊂ A
B ⊂ A
C B
A
= A − B = {2, 9}
A ∩ B = ϕ ⇔ A − B = A
A ≠ B ⇔ A − B ≠ B − A
A ⊂ B ⇔ A − B = ϕ
Resolução de Problemas
Envolvendo Conjuntos
Certas situações que se referem à conjuntos �nitos podem ser representados
através de diagramas de Venn. Isso facilita de forma signi�cativa a sua resolução.
Daremos como exemplo a resolução de um problema passa a passo.
Exemplo resolvido:
Uma pesquisa realizada com 200 pessoas teve como foco veri�car a e�ciência de
um anúncio sobre dois produtos, A e B. Ao �nal dessa pesquisa veri�cou-se que, dos
entrevistados, precisamente,
120 conhecem o produto A.
110 conhecem o produto B.
50 conhecem ambos os produtos.
Quantas pessoas, dentre as entrevistadas na pesquisa, não conhecem nenhum dos
produtos?
Resolução:
Pelas informações oferecidas no problema, o número de elementos do conjunto 
 é 80. Para facilitar, iremos representar essa operação no diagrama indicando
essa quantidade de pessoas.
O conjunto A tem 120 elementos. Observe que desses, 50 já foram representados,
faltando, portanto, 70 pessoas. Esse número é a quantidade de elementos do
conjunto A – B.
A ∩ B
De mesmo modo do passo anterior, o conjunto B tem 110 elementos, como 50 já
foram indicados, então o conjunto B – A tem 60 elementos. O diagrama mostra esse
conjunto.
Para �nalizar, o conjunto tem 70+50+60=180 elementos. Como estamos nos
referindo a um universo de 200 pessoas, logo temos que 20 delas não conhecem o
produto A nem o produto B.
A ∪ B
Conjuntos Numéricos
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Caro(a) aluno(a), número é um objeto matemático usado para descrever ordem,
medida ou quantidade. Você se depara com números o dia todo, na escola, no
trabalho, na igreja, no carro, na sua conta bancária, entre outros.
Iremos fazer uma abordagem aos conjuntos formados por números, motivo pelos
quais são chamados de conjuntos numéricos. Podemos agrupar números conforme
alguma característica. Iremos tratar de alguns agrupamentos especí�cos que serão
chamados de Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números Inteiros,
Conjunto dos Números Racionais, Conjunto dos Números Irracionais e, por �m,
Conjunto dos Números Reais. Vamos lá!
Conjunto dos Números Naturais
Nos deparamos com situações que envolvem contagens, quantos objetos existem
em determinadas situações, quantos irmãos você tem, quantas pessoas tem sem
seu trabalho, entre outras. Os números envolvidos no processo de contagem são
chamados de Naturais. De�nimos como Conjunto dos Números Naturais aquele
formado por todos os elementos usados no processo de contagem.
Simbolicamente escrevemos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
N * = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Inteiros
SAIBA MAIS
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que
necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza.
A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das
atividades humanas.
Fonte: Gongorra e Sodré (2016).
ACESSAR
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm
Dizemos que um número k é inteiro se ele for natural ou oposto em relação a um
natural. Mas o que é um número oposto? Dois números são chamados de opostos
se a soma entre eles for zero, por exemplo, 2 e – 2 são opostos. Como 2 é natural ele é
inteiro, ainda, –2 é inteiro, pois é oposto de um natural.
É comum nos depararmos com várias situações de números negativos, por exemplo,
um termômetro em Paranavaí que, em um dia de inverno, marcou 15° C acima de
zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o mesmo termômetro passou a
marcar 1° C abaixo de zero, é uma dessas situações. Quando indicamos acima de
zero estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números
abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.
Para reforçar, de�nimos como Conjunto dos Números Inteiros aquele constituído
por todos os naturais unidos com os opostos dos naturais.
Simbolicamente escrevemos.
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }
Conjunto dos Números Racionais
Figura 2 - Termômetro graduado
Fonte: @tow�qu999 em Freepik
Outro conjunto importante é o chamado Conjunto dos Números Racionais.
De�nimos como racional todo número que pode ser escrito na forma , com 
e . Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos
os quocientes entre dois números inteiros a e b, com b sendo não nulo.
Simbolicamente escrevemos:
Você deve ter percebido que, pela de�nição, um número inteiro também é racional,
basta ver que podemos escrever um inteiro k com a forma k/1.
Alguns exemplos de racionais:
a) 2,45 pois = 2,45.
b) 8 pois = 8.
c) 0,3333... pois 
Os números racionais podem ser representados de várias formas. A seguir listamos
algumas: frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das
frações impróprias), números decimais de escrita com forma �nita, dízimas
periódicas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos
numéricos in�nitos. Veja:
I) Em forma de fração ordinária:
Exemplos: , , .
II) Números mistos:
Exemplos: ,   , .
III) Números Decimais com forma �nita:
Exemplos:   ; ; .
IV) Dízimas Periódicas:
Exemplos: ; ;   .
Conjunto dos Números Irracionais
a
b
a ∈ Z
b ∈ Z∗
Q = {x = /a, b ∈ Zeb ≠ 0}a
b
=245
100
49
20
8
1
= 0, 3333...1
3
3
5
4
11
7
9
6 2
5
−3 1
4
34
19
0, 8 = 4
5
1, 22 = 61
50
−2, 5 = − 5
2
1, 6666... = 5
3
0, 727272... = 8
11
3, 3333... = 10
3
Vamos agora falar sobre outra classi�cação, o conjunto dos números irracionais.
Para introduzirmos uma ideia inicial, imagine um triângulo retângulo isósceles,
cujos catetos medem 1, que, com a aplicação do teorema de Pitágoras, conseguimos
ver que a hipotenusa mede .
O número encontrado para a hipotenusa é uma raiz não exata, logo não existe a
possibilidade de escrevê-la como divisão entre dois números inteiros. Outro número
irracional bem conhecido, surge da divisão entre o comprimento de uma
circunferência de raio qualquer e seu diâmetro, que resulta um número constante e
igual a 3,141592... que representamos pela letra grega π (lê-se pi).
Note que nos exemplos citados, no primeiro caso temos uma raiz não exata e no
segundo um número decimal não periódico. Ao conjunto dos números com essas
características chamamos de conjunto dos números Irracionais.
Outros exemplos de irracionais:
2,3456734... ; .
Conjunto dos Números Reais
Caro(a) estudante, você já teve contato com os números naturais, inteiros, racionais e
irracionais. Algumas observações podem ser feitas, entre elas uma relação de
inclusão entre esses conjuntos, por exemplo, todo natural é inteiro, logo, o conjunto
dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. Ainda, todo número inteiro é
racional, logo o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos
racionais. Agora iremos introduzir um conjunto no qual todos os conjuntos citados
até aqui estão contidos, o chamado Conjunto dos Números Reais.
De�nimos como Conjunto dos Números Reais como sendo o conjunto formado por
todos os números racionais e todos os irracionais.
√2
√7
Simbolicamente o conjunto dos números reais é representado por ℝ.
ℝ = {x/x é racionalou x é irracional}
Exemplos:
Os números 4; 3,25; e 0,444... são casos de números reais.
Os números e são casos de números que não são reais.
√7
√−16 6√−6
REFLITA
Pitágoras dizia que o “Universo deve ser visto como um todo
harmonioso, onde tudo emite um som ou vibração e obedece a uma
ordem criada pelos números”. Os números estão muito enraizados em
nosso dia a dia que nem pensamos mais sobre eles, mas o que eles
representam? São formas apenas de medir ou quanti�car o que existe
ao nosso redor?
Fonte: Pereira (2013).
Pronto! Você chegou ao �nal da Unidade I de nosso material. Passou por uma
sequência didática que te proporcionou uma base sólida em conteúdos de
Matemática Básica e Conjuntos.
Aqui você estudou as expressões numéricas, teve contato com as operações
elementares e o uso de sinais separadores, como colchetes, chaves e parênteses.
Depois você estudou regra de três, que nada mais é do que problemas que envolvem
grandezas diretas e inversas. Também envolvemos, neste material, o conceito de
porcentagem, por ser algo cotidiano, a todo momento estamos trabalhando com isso.
Fizemos um procedimento para calcular casos que envolvem esse conceito.
Ainda ampliamos os nossos conhecimentos sobre expressões do primeiro grau, no
caso equações e sistemas. Nas equações indicamos um procedimento para encontrar
a solução e os sistemas que trabalhamos são os sistemas lineares com duas
incógnitas. Finalmente, tratamos da teoria de conjuntos. Você notou que os conjuntos
são caracterizados por coleção de elementos. Conforme a estrutura do conjunto
podemos classi�cá-lo. Apresentamos algumas formas de classi�cação. Ainda vimos
que existe uma álgebra estrutural para os conjuntos, que são as operações de união,
intersecção e diferença, todas geram conjuntos. A primeira indica uma junção, a
segunda o que se tem em comum e a terceira, os elementos que um conjunto tem e
o outro não. Tratamos de problemas que envolvem conjuntos, neste caso usamos as
operações juntamente com os diagramas de Venn. Para �nalizar, falamos sobre as
classi�cações dos números, os chamados conjuntos numéricos, nos casos, números
naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.
Espero que você tenha aproveitado ao máximo esse material e que ele sirva como
referência para futuras consultas.
Conclusão - Unidade 1
Livro
Filme
Web
Acesse o link
https://matematicabasica.net/
ALVAREZ, T. G. A matemática da reforma Francisco Campos em ação no cotidiano 
escolar. 2004. 270 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -
Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São 
Paulo, 2004. 
BETHLEM, A. Curso de mathematica. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 1935. 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010. 
DANTE, L. R. Matemática-Contextos e Aplicações. São Paulo: Ática, 2011. 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 
2010. 
GIOVANNI, J.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2010. 
GONGORRA, M.; SODRÉ, U. Ensino fundamental: Origem dos números. 2016. 
Disponível 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm 
PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2010. 
em: 
PEREIRA, M. do C. Matemática e música de Pitágoras aos dias de hoje. 2013. 95 f. 
Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal do Estado do Rio de 
Janeiro, Rio de Janeiro, 2013. 
Unidade 2
Relações e Funções
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Introdução
Olá, caro(a) aluno(a). Você já estudou a Unidade I, agora entraremos em nossa
segunda unidade, nela estaremos introduzindo um dos conceitos mais importantes
e fundamentais no estudo de vários assuntos em Matemática, que é: funções.
Desenvolvemos a sequência didática pensando em propor uma orientação que
aprimore o pensamento sobre os temas que serão aqui abordados.
Em boa parte do que fazemos existem funções. Por exemplo, se você vai à
pani�cadora comprar pão, estamos usando função, a quantidade de pães que
pretende comprar está diretamente ligada com o dinheiro que você irá pagar.
Também nos deparamos com outros casos de funções, como o número de questões
que você acerta em um teste estará ligado com a nota que irá tirar, velocidade de
um automóvel e o tempo de duração de uma viagem, entre outros.
Mas o que é função? Para responder essa pergunta nossa unidade irá se iniciar com
o conceito de plano cartesiano, faremos uma explanação para que você tenha a
possibilidade de localizar pontos no plano. Se você já jogou batalha naval sua vida irá
ser facilitada. Em seguida faremos um estudo sobre o produto cartesiano, que nada
mais é do que uma operação envolvendo conjuntos. Também iremos falar sobre as
relações binárias, que são subconjuntos de um produto cartesiano, este assunto é
importante pois nos remeterá uma base para as funções.
A partir das relações binárias estudaremos os casos elementares de funções, bem
como sua de�nição e ainda iremos representá-las com notações especiais. E, para
�nalizar, iremos fazer um estudo das funções do primeiro grau. Essa função é
amplamente usada em várias áreas do conhecimento, como Engenharia, Química,
Física, Geogra�a, Economia e outras. Ainda estudaremos as desigualdades, em
especial o caso da inequação do primeiro grau.
Espero que você aproveite ao máximo esta unidade, até porque ela é uma referência
inicial para as Unidades III e IV deste material. Vamos começar?
Bons estudos!
Plano Cartesiano
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Chama-se de Sistema de Coordenadas no plano cartesiano um esquema usado
para especi�car pontos no plano. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um
horizontal, chamado abscissa, é representado por x, e outro vertical, chamado de
ordenada, e representado por y. Os eixos são enumerados e orientados conforme o
conjunto dos números reais com o encontro dos eixos sendo o zero, chamado de
origem do sistema. A seguir temos uma �gura que representa esse plano
cartesiano. Esse sistema recebe esse nome por ter sido criado por René Descartes.
Figura 1 – Plano cartesiano
Fonte: o autor.
A indicação de uma localização, as chamadas coordenadas cartesianas, é da forma
(x,y). Assim, se queremos o ponto P(a,b), primeiramente observamos o valor a no eixo
x, fazemos uma linha r paralela à y, passando por a, e, em seguida, observamos o
valor b no eixo y, traçamos outra linha t paralela à x, passando por b. O encontro de r
e t é o ponto P. Por exemplo, vamos localizar o ponto P(2,1).
Figura 2 - Localização de P
Fonte: o autor.
Exemplo resolvido:
Indique no plano cartesiano os seguintes pontos:
A(2, 3), B(–2, 1), C(–4, 3), D(–1, –2), E(4, 0) e F(0, –3)
Resolução:
Prosseguindo de forma equivalente ao exemplo do ponto P indicado anteriormente
temos:
Quadrantes
Percebemos que, como os eixos se interceptam formando 90º, eles dividem o plano
em quatro regiões, designadas quadrantes, que indicaremos, no sentido anti-
horário, primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, contados a partir do lado
positivo do eixo x, qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará
localizado nos quadrantes.
Figura 3 - Indicação dos quadrantes
Fonte: o autor.
Observe que no
1. Primeiro quadrante temos x e y valores positivos.
2. Segundo quadrante temos x negativo e y positivo.
3. Terceiro quadrante temos x e y negativos.
4. Quarto quadrante temos x positivo e y negativo.
Observando o exemplo anterior, vemos que A(2, 3) está no primeiro quadrante, B(–
2,1) e C(–4, 3) estão no segundo quadrante, D(–1, –2) está no terceiro quadrante, E(4,0)
está sobre o eixo das abscissas e F(0, –3) está no eixo das ordenadas.
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, de�nimos produto cartesiano A por B, nesta
ordem, o conjunto formado por todos os pares ordenados (x,y) de forma que x
pertence a A e y pertence a B. Então
AxB = {(x,y) / x A e y B}
Observe que, de forma geral, temos AxB diferente de BxA.
Não é difícil notar que o número de elementosdo produto cartesiano pode ser dado
por: n(AxB) = n(A).n(B).
∈ ∈
Propriedades:
1. A² = AxB.
2. Ax = 
3. x = 
Exemplo resolvido:
Sendo A = {x / x – 3 < –1} e B = {x / –2 < x ≤ 1}. Determine o produto AxB.
Resolução:
No conjunto A temos x – 3 < –1, então x < –1+3, logo x < 2, assim A = {0, 1}. O conjunto B
está bem de�nido, são os inteiros entre – 2 e 1 incluindo 1, assim B = { – 1, 0, 1}. Agora
temos que AxB = {(0, –1); (0,0); (0, 1); (1, –1); (1,0); (1, 1)}.
Relação Binária
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se relação binária de A em B
qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Normalmente esses
subconjuntos estão associados a uma lei de formação.
Obs.: o número de relações é dado por: 2n(A).n(B).
Exemplos resolvidos:
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∈ N ∈ Z
1) Considere os seguintes conjuntos:
A = { –2, –1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4,5}.
Represente cada um dos conjuntos com o uso de diagrama de �echas.
1. R1 = {(x, y) A x B / y = x + 1}
2. R2 = {(x, y) A x B / y = x2 – 1} 
Resolução:
Em ambos os casos devemos substituir o valor de x pelos elementos de A em suas
respectivas leis de formação e relacionar o resultado y, se estiver contido, com os
elementos em B.
1. R1 = {(–1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 3)}
2. R2 = {(–2, 3); (–1, 0); (1, 0); (2, 3)}
Obs.: quando temos uma relação R de A em B, chamamos de domínio de R o
conjunto dos elementos x de A usados e de imagem de R os valores y de B
relacionados com elementos de A.
2) Seja P uma relação de�nida por P = {(a, b) ; a + b = 2}. Indique os elementos
de P.
Resolução:
Vemos que se a +b =2, então b = 2 – a. Então como a e b são naturais, eles não
podem ser negativos, daí, o maior valor para a é 2. Assim,
se a =0, então b = 2 – 0 = 2.
se a = 1, então b = 2 – 1 = 1.
se a = 2, então b = 2 – 2 = 0.
Logo , P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}.
∈
∈
∈ N 2
Função
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Agora, você, estudante, terá contato com a de�nição de função. Um conceito
matemático importante para várias ciências, tais como Engenharia, Física,
Economia, Biologia entre outras.
Exemplos: o crescimento de bactérias se dá através de uma função que associa o
tempo com o número de bactérias, a compra de um item no supermercado
também é uma função do dinheiro que você leva para tal �m, o consumo de gás em
sua cozinha dentre outros casos.
Mas o que é uma função? Sejam dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de
Função de A em B toda relação que associa cada elemento de A a um único
elemento em B.
Todo elemento de uma função é da forma (x, y), por efeito de notação usamos: (x,
f(x)).
Exemplos resolvidos:
1) Indique se cada uma das relações abaixo representa função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Resolução:
a) Pela de�nição, é uma função. 
b) Não é função, pois do primeiro conjunto, o elemento “a” está relacionado com “x”
e com “y”, contrariando a de�nição. 
c) Temos uma função. 
d) Não é função. No primeiro conjunto existe um elemento sem relação com algum
elemento do segundo conjunto, ou seja, está sobrando um elemento. 
e) É uma função, basta observar a de�nição. 
f) É uma função.
2) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { x / 2x – 9 < 7}. Considere a função f: A
→ B de�nida por y = f(x) = 2x + 1. Calcule f(0), f(1), f(2) e f(3). Faça um diagrama de
�echas indicando a função.
Resolução:
Vemos que 2x – 9 < 7, então 2x < 7 + 9. Assim 2x < 16 implica em x < 8. Logo B = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7}. Desta forma:
f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1 
f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 
f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5 
f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7
Domínio, Contradomínio e
Imagem de uma Função
Anteriormente comentamos que um botijão de gás é uma função do tempo de uso.
Por exemplo, se você consome em média 500g de gás por dia e seu botijão é de 13
kg então ele irá durar 26 dias.
O tempo que ele irá durar é chamado de domínio da função. A seguir iremos
conceituar o domínio e introduziremos os conceitos de contradomínio e imagem.
Chamamos de domínio de uma função real f: A R → B R o conjunto formado
∈ N
∈ ∈
pelos elementos de A. Em tese, quando precisamos descobrir esse conjunto A
pensamos em todos os valores que podem ser atribuídos à variável independente.
Indicamos pelo nome imagem de uma função o conjunto dos elementos de B que
estão relacionados com os valores do domínio. O contradomínio de uma função é o
conjunto em que estão os elementos que podem estar relacionados com os
elementos do domínio.
Podemos resumir se f: A R → B R dizemos que A é o domínio, B é o
contradomínio e os elementos de B que estão relacionados com algum de A são
chamados de imagem de f.
Dada a função f: A → B escrevemos:
Domínio da função: Dom f = A.
Contradomínio da função: Cd f = B.
Imagem da função: o conjunto imagem é o conjunto dos elementos y de B que
estão associados a x de A.
Exemplo resolvido:
Sejam os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obtenha o domínio,
contradomínio e imagem da função f: A B de�nida por f(x) = x² + 2.
Resolução:
Dom f = A 
Cd f = B
Ainda para obter a imagem:
f(– 1) = (– 1)² + 2 = 1 + 2 = 3 
f(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2 
f(1) = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 
f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6
Logo Im f = {2, 3, 6}.
∈ ∈
→
Função Real de Variável
Real
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Chamamos de grá�co uma �gura cujo objetivo é a transmissão de uma informação
qualquer. O grá�co é uma maneira de representarmos, visualmente, determinadas
situações que envolvem dados numéricos relacionando grandezas. Os meios de
comunicação (revistas, jornais, televisão) se utilizam frequentemente deste recurso
para transmitir de forma clara, simples e compacta indicadores �nanceiros,
resultados de pesquisas, dados estatísticos dentre vários outros tipos de
informações.
O termo grá�co matemático, geralmente é usado quando estamos querendo
descrever uma situação por meio de uma condição que é satisfeita. Dentre as
representações grá�cas mais comuns em matemática está o grá�co de uma
função. Podemos representar gra�camente uma função usando vários tipos de
grá�cos, de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, grá�co cartesiano.
Reconhecimento de Funções através de
Grá�cos
Chamamos de grá�co cartesiano de uma função o conjunto de todos os pontos
(x,y) que satisfazem a condição y = f(x). Podemos também dizer que o grá�co de
uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma (x, f(x)), com x
variando no domínio de f. Os grá�cos cartesianos nos fornecem “a forma”
geométrica de uma função, bem como suas principais características. Observe que:
A projeção do grá�co de uma função sobre o eixo das abscissas é o domínio da
mesma.
A projeção do grá�co de uma função sobre o eixo das ordenadas é a imagem
da mesma.
Para que uma relação binária seja função, cada x do domínio deve estar associado
com um único y no contradomínio. Assim, podemos identi�car se um grá�co
cartesiano representa uma função traçando retas paralelas ao eixo y. Então você
pode notar que se todas essas retas verticais interceptam o grá�co em apenas um
ponto, então, temos uma função.
Observe as �guras a seguir:
Nessas �guras note que a lei de formação de ambas tem domínio o intervalo D = [x₁,
x₂]. Mas I não representa função pelo fato existir um x D com mais de uma
imagem, enquanto II representa uma função.
Exemplo resolvido:
Dos grá�cos a seguir, indique quais representam funções e, caso a�rmativo,
obtenha o domínio e a imagem.
Resolução:
Os grá�cos representados em a) e b) não são funções. Para ver isso basta traçar retas
paralelas ao eixo y que veremos intersecção em mais de um ponto.
∈
Isso não ocorre no grá�co representado em c). Então temos uma função f. O
domínio da função é a projeção do grá�co sobre o eixo x e a imagem é a projeção
sobre o eixo y.
Crescimento e Decrescimento de Função
Seja f uma função real cujo domínio é o conjunto D. Considere R um subconjunto de
D, então:
f é crescente em R, se e somente se, para quaisquer valores x₁ e x₂ pertencentes
a R, com x₁ < x₁ temos f(x₁)< f(x₂).
f é decrescente em R, se e somente se,para quaisquer valores x₁ e x₂
pertencentes a R, com x₁ < x₂ temos f(x₁)> f(x₂).
f é constante em R, se e somente se, para quaisquer valores x₁ e x₂ pertencentes
a R, com x₁ ≠ x₂ temos f(x₁) = f(x₂).
A seguir temos dois grá�cos de funções, o primeiro crescente e o segundo
decrescente.
Exemplo resolvido:
Determine os intervalos onde a função a seguir é crescente, decrescente ou
constante.
Resolução:
Observando a disposição do grá�co temos que a função é crescente nos intervalos
[–1, 1] e [3,4]. Decresce nos intervalos [–3, –1] e [1, 3] e é constante no intervalo [4, 5].
Zeros ou Raízes de uma Função
Chamamos de raiz de uma função f, o valor de x pertencente ao seu domínio tal que
f(x) = 0. Para obtermos a raiz ou, em alguns casos, as raízes de uma função basta
simplesmente resolver a equação gerada quando igualamos a zero a sentença da
função. Dependendo da natureza da sentença da função e do domínio, ela pode não
possuir raízes reais, pois pode não existir no seu domínio nenhum elemento que a
anule, bem como possuir in�nitas raízes.
Exemplo resolvido:
Determine a raiz da função .
Resolução:
Devemos obter o valor de x para que f(x)=0. Assim:
Representação da Raiz no Grá�co
Como vimos anteriormente, a raiz de uma função é obtida resolvendo a equação f(x)
= 0. Então temos que os pontos nessa condição têm como característica (x,0).
Observe o grá�co da função seguinte e perceba que alguns dos seus pontos estão
localizados sobre o eixo das abscissas.
f (x) =
3x−6
x2+1
= 0
3x − 6
x2 + 1
3x − 6 = 0
3x = 6
x = 2
Figura 4 - Representação de uma função f.
Fonte: o autor.
Esses pontos têm como característica (x,0). Todo elemento do domínio da função
que tem como imagem o elemento 0, é uma raiz da função. Em resumo, para que
você determine as raízes, veri�que os valores de x onde o grá�co tem intersecção
com o eixo das abscissas.
Sinais de uma Função
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Quando estudamos os conceitos iniciais de funções onde o seu domínio e
contradomínio são subconjuntos dos números reais, vimos que os valores de y são
funções dos valores de x, isso signi�ca que os valores de y dependem de x. Conforme
a natureza da lei de formação da função poderá ter valores positivos, negativos ou
zero para y. Fazer análise de sinal de uma função é exatamente indicar, no domínio,
onde existe essa variação. Por exemplo, a curva de Gauss a seguir é uma função
positiva.
No plano cartesiano, quando traçamos o grá�co de uma função, temos que a parte
acima do eixo x tem valores para y positivos e abaixo, negativo.
Exemplo resolvido:
A função f a seguir tem domínio D = {x / -1 ≤ x < 4}. Faça a análise de sinal dessa
função.
Resolução:
∈ R
Os valores de x onde a função intercepta o eixo x são as raízes, então temos f(x) = 0.
Assim a função se anula em  –1, 0 e 2.  
Analisando o sentido do sinal do eixo y temos:
Concluímos:
f(x) > 0 para no intervalo {x / –1 < x < 0} e também em {x / 0 < x < 2}.
f(x) < 0 para no intervalo {x / 0 < x < 2}.
Domínio Real de Funções
Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do
conjunto de partida ou domínio, bem como o conjunto imagem são números reais,
isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por f: R  R.
As funções de�nidas pelas sentenças f(x) = 2x + 3, f(x) = x2 + 4x + 3, f(x) = -5x + 1/2, são
exemplos de funções reais de variável real. Se substituirmos x por um valor real, ao
realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).
Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função.
Nesta �gura temos várias fórmulas matemáticas, mas algumas delas você não pode
usar qualquer valor real nas variáveis.
∈ R ∈ R
∈ R
O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio real.
Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão f: A → R, onde A
é um subconjunto dos números reais. Para se obter o domínio real devemos analisar
a condição de existência da lei de formação da função.
Exemplos resolvidos:
1) Qual o domínio da função real de�nida por ?
Resolução:
Temos uma função cuja lei de formação é uma raiz quadrada. Então temos que 
existe se . Assim, o domínio será o conjunto dos valores reais de x, tais que:
Logo, Dom f = 
2) Escreva o domínio da função .
Resolução:
A lei da função é uma fração, então se temos , a condição de existência da
sentença é .
Assim , logo devemos ter . Concluímos que:
Dom f = 
f(x) = √2x + 4
√k
k ≥ 0
2x + 4 ≥ 0
2x ≥ −4
x ≥ −
4
2
x ≥ −2
{x ∈ R/x ≥ −2}
f(x) = x
2−7x+12
x−1
a
b
b ≠ 0
x − 1 ≠ 0 x ≠ 1
{x ∈ R/x ≠ 1}
Funções Polinomiais do 1º
Grau
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Em uma loja o vendedor João recebe um salário �xo mensal de R$ 2300,00 e uma
comissão de 5% sobre o total de vendas que ele faz. Em um mês que ele vender R$
10000,00, por exemplo, receberá um salário (S) igual a R$ 2300,00 + 0,05.(R$
10000,00) que equivale R$ 2800,00. Observamos que o salário mensal desse
vendedor é dado em função do valor x, em reais que ele vender. Logo, podemos
dizer que seu salário S(x) é dado por:
S(x) = 2 300,00 + 0,05.x
Uma outra situação: um taxista cobra uma taxa �xa de R$ 4,30, chamada
bandeirada, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado. Então, um cliente que usar o táxi
por 25 quilômetros, pagará a quantia (Q) de R$ 4,30 + R$ 0,60.25 que é R$ 19,30.
Então, se um cliente percorrer x quilômetros nesse táxi, ele pagará
Q(x) = 4,3 + 0,6x
Esses dois casos são tipos de funções a�ns que estaremos retratando nesta unidade.
Função A�m
Chamamos de função polinomial do primeiro grau aquela cuja fórmula é expressa
por um polinômio de grau 1. Então, dizemos que uma função é do primeiro grau, ou
a�m, se ela é de�nida como:
f(x) = ax + b, com {a, b} R e a ≠ 0.
Para que uma função seja considerada a�m ela deverá assumir alguma
característica: toda função do 1º grau deve ser de�nida de um conjunto dos reais
para o outro pertencente aos reais.
O valor a é chamado coe�ciente angular, b coe�ciente linear e x é a variável
independente da função.
Exemplo resolvido:
Determine o coe�ciente angular e linear das funções.
a)  f(x) = x + 2 
b) y = -2x + 6 
c) f(x) = 7x
Resolução:
Comparando as sentenças com a forma da lei de formação da função a�m, temos
que:
⊂
a)  a = 1 e b = 2 
b) a = –2 e b = 6 
c) a = 7 e b = 0
Zero ou raiz de uma função do primeiro
grau
Chamamos de zero ou raiz de uma função do primeiro grau o valor que atribuímos à
x, para que f(x) seja igual a zero. Encontramos a raiz dessa função igualando ax + b a
zero, e ao resolver essa equação temos que a raiz da função a�m é   .
Exemplo resolvido:
Determine a raiz da função f(x) = 2x – 4.
Resolução:
A raiz de f é o valor de x para que f(x) = 0, assim:
2x – 4 = 0
2x = 4 
x = 2 (raiz)
−b
a
SAIBA MAIS
Quando o tronco de uma árvore écortado, é fácil notar que existem
círculos escuros. Cada círculo desse échamado de anel de crescimento.
Cada anel corresponde a um ano de vida. Nasespécies de regiões
tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são difíceisde de�nir. Os
anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nasárvores
que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis
decontar. Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro
grau.
Fonte: Santos (2020).
Grá�co da Função do Primeiro Grau
Como vimos no começo desta aula, chamamos de grá�co cartesiano de uma
função o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a condição y = f(x).  Assim,
podemos construir o grá�co da função do primeiro grau colocando os pontos (x, ax +
b) no plano cartesiano. Inicialmente, vamos representar gra�camente uma função
do primeiro grau atribuindo valores arbitrários para x e obtendo suas respectivas
imagens. Para visualizarmos o comportamento de um grá�co, usaremos a função
do taxista apresentada na introdução, Q(x) = 4,3 + 0,6x. Construiremos um quadro
atribuindo distâncias x, e indicando o valor Q(x).
Observe que, como estamos tratando de distância, neste caso, não temos valores
tais que x < 0. Colocandono plano cartesiano os pontos apresentados na tabela, e
levando em consideração que podemos usar qualquer valor real para x, temos o
seguinte grá�co:
Quadro 1 - Referente a função Q(x)
Distância percorrida (km) Valor (em reais)
x y
0 4,30
1 4,90
2 5,50
3 6,10
4 6,70
Fonte: o autor.
Figura 5 - Grá�co referente a Q(x)
Fonte: o autor.
O grá�co da função do primeiro grau é constituído por uma reta inclinada, que pode
ser crescente ou decrescente, podendo determiná-lo apenas com dois pontos.
Exemplo resolvido:
Construir o grá�co da função  de�nida por f(x) = –x + 3.
Resolução:
Vemos que temos uma função do primeiro grau, logo seu grá�co será uma reta.
Basta, para a construção desse grá�co sabermos dois de seus pontos. Mas,
traçaremos através de cinco pontos.
f(x) = –(–2) + 3 = 2 + 3 = 5 
f(x) = –(–1) + 3 = 1 + 3 = 4 
f(x) = –0 + 3 = 3 
f(x) = –1 + 3 = 2 
f(x) = –2 + 3 = 1
R → R
Figura 6 - Grá�co de f.
Fonte: o autor.
Conclusões da Análise Grá�ca
Perceba que no caso do taxista, Q(x) = 4,3 + 0.6x, à medida que os valores de x no
domínio aumentam, os valores de f(x) na imagem também aumentam. Já no
exemplo resolvido, f(x) = –x + 3, à medida que os valores de x aumentam, vemos que
os valores de y fazem o sentido contrário, ou seja, diminuem. Assim, podemos
concluir que a função do taxista é crescente e a do exemplo resolvido é decrescente.
O que determina se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente é o
coe�ciente angular a. Se a > 0, a função será crescente; a < 0, a função será
decrescente.
Outra observação que você pode notar é que a reta de uma função do primeiro grau
toca o eixo y (eixo das ordenadas) quando x = 0, assim teremos f(0) = b, logo tocará
no ponto correspondente ao coe�ciente b, ou seja, em (0, b). Ainda, você deve ter
percebido que a reta de uma função do primeiro grau toca o eixo x (eixo das
abscissas) com coordenadas (x, 0). Assim, teremos um ponto correspondente à sua
raiz, logo, sempre haverá o ponto (–b/a, 0).
Análise de Sinais
Analisar o sinal da função a�m é determinar os intervalos em que a função tem
imagem positiva, negativa, bem como os valores em que a função se anula. Para tal,
devemos determinar o valor da raiz e, em seguida, veri�car o grá�co de f. Os valores
da função que �carem acima de zero têm sinal positivo e abaixo, valores negativos.
Com base no formato do grá�co da função do primeiro grau temos a seguinte
análise:
Função Constante
Seja f: R R,  f é uma função constante se, e somente se, f(x) = k com k R. Note
que a função não depende de x, logo, sua imagem é sempre k, ou seja, Im f = { k },
motivo pelo qual é chamada de função constante. Seu grá�co é uma reta paralela
ao eixo x.
Se a > 0 Se a < 0
 se  
 se  
 se  
 se  
 se  
 se  
f(x) > 0 x > − b
a
f(x) < 0 x < − b
a
f(x) = 0 x = − b
a
f(x) > 0 x < − b
a
f(x) < 0 x > − b
a
f(x) = 0 x = − b
a
→ ∈
Inequações do 1º Grau
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Caro(a) aluno(a), �zemos um estudo sobre as funções do primeiro grau, incluindo a
análise de sinal dessas funções. A ideia para trabalharmos com inequações do
primeiro grau é observar o comportamento da função do primeiro grau.
De�nimos como inequação do 1° grau, na incógnita x, qualquer expressão do 1°
grau, com a, b sendo números reais com a ≠ 0, que pode ser reduzida a uma das
seguintes formas:
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0.
Por exemplo, as expressões –5x + 9 > 0, 2x – 10 ≤ 0,   6x + 7 ≤ 0 e   12 – 8x < 0 são
inequações do 1º grau.
Exemplo resolvido:
A �gura a seguir mostra uma balança ao �nal de uma pesagem. Em cada um dos
pratos há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos representados na
mesma unidade de medida.
A expressão matemática que relaciona os pesos nos pratos da balança é: 
a) 3x - 5 < 8 - 2x 
b) 3x - 5 > 8 - 2x 
c) 2x + 8 < 5 + 3x 
d) 2x + 8 > 5 + 3x. 
e) 3x + 8 > 5 + 2x.
Resolução:
Observe que o peso no segundo prato é menor que o do primeiro, assim:
x + x + 8 < x + x + x + 5, logo 2x + 8 < 5 + 3x. A resposta correta é a C.
Os métodos para solucionar uma inequação do 1º grau são bem simples. Podemos
fazer a análise de sinal da função f(x) = ax + b e veri�car o intervalo que satisfaz a
desigualdade ou simplesmente isolar a incógnita e, caso façamos uma operação
que envolva a necessidade de um produto por número negativo, em especial –1,
invertemos o sinal da desigualdade.
Exemplos resolvidos:
1) Resolva a inequação –2x + 7 > 0.
Resolução:
1º modo: Usamos o procedimento semelhante ao da resolução de uma equação do
1º grau:
–2x > –7, Multiplicando por (-1)
2x < 7 
x < 7/2
Portanto, a solução da inequação é S = { x R/ x < 7/2}.
2º modo: Podemos utilizar a análise de sinal da função f(x) = –2x + 7. Observe que
temos uma função do primeiro grau decrescente. Igualando a função a zero,
obtemos uma raiz que é x = 7/2. Assim, tomando o intervalo em que a função é
negativa temos:
∈
Logo, a solução da inequação é S = { x / x < 7/2}.
2) Determine a solução da inequação: 5(x + 1) – 5 ≤ x + 4.
Usaremos 1º modo apresentado no exemplo 1. Primeiramente devemos eliminar os
parênteses, efetuando uma multiplicação dos parênteses, depois isolamos a
incógnita x em um dos membros da desigualdade.
5(x + 1) – 5 ≤  x + 4 
5x + 5 – 5 ≤  x + 4 
5x – x  ≤  4 
4x ≤ 4.
Assim, temos x ≤ 1. Então a solução da inequação é S = {x R/ x ≤ 1}.
∈ R
∈
REFLITA
Nós encontramos em nosso dia-a-dia o uso de função com duas
variáveis. Usamos funções ao associarmos a quantidade de leite que
compramos ao valor pago, número do sapato em função do tamanho
dos pés, ou pessoa em função da impressão digital, entre outros casos.
Você percebeu alguma função nas suas atividades hoje?
Fonte: o autor.
Você terminou mais uma unidade. Mais uma etapa concluída!
No decorrer desta unidade você se deparou com o Plano Cartesiano, um instrumento 
de localização dentro de um plano. Ainda, falamos um pouco sobre o conceito de 
relação binária e, em seguida, o foco principal: as funções. Durante a unidade você 
deve ter notado a importância que as funções têm em nosso cotidiano. Encontramos 
funções nas mais variadas situações, ao fazer compras, ao escolher um plano de 
saúde, cálculo de custos �nanceiros, consumo de combustível em um automóvel, 
entre outras. A base para o conceito de funções é a correspondência unívoca entre 
variáveis.
Ainda falamos sobre as particularidades de uma relação e quando elas são 
consideradas funções. As leis que regem as funções são regras de correspondência 
entre dois conjuntos, sejam eles �nito ou in�nito. Também abordamos o caso 
particular da função do primeiro grau, uma função que relaciona duas grandezas 
através de uma reta, tem equação f(x) = ax + b. Como a construção de uma reta se dá 
por dois pontos diferentes, para representar gra�camente a função do primeiro grau, 
além do valor inicial, precisamos de outro ponto.
Você não deve esquecer que as retas, de acordo com o sinal do seu coe�ciente 
angular, podem ser classi�cadas como crescente ou decrescente. Elas são 
amplamente usadas na Física, em movimento uniforme, em Economia, nas curvas de 
oferta e de demanda que um produto representa, respectivamente, as quantidades 
que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço 
do produto, que, em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. 
Por �m, as inequações. Estas são sentenças matemáticas abertas indicadas por 
alguma desigualdade.
Espero que você tenha aproveitado ao máximo os conceitos aqui apresentados, pois 
eles serão base para as unidades seguintes. Bons estudos!
Conclusão - Unidade 2
Livro
Filme
ALVAREZ, T. G. A matemática da reforma Francisco Campos em ação no cotidiano 
escolar. 2004. 270 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -
Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São 
Paulo, 2004. 
BETHLEM, A. Curso de mathematica. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 1935. 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna,2010. 
DANTE, L. R. Matemática-Contextos e Aplicações. São Paulo: Ática, 2011. 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 
2010. 
GIOVANNI, J.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2010. 
GONGORRA, M.; SODRÉ, U. Ensino fundamental: Origem dos números. 2016. 
Disponível 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm 
PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2010. 
em: 
SANTOS, V. S. dos. Anéis de crescimento. 2020. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/biologia/aneis-crescimento.htm. 
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
Unidade 3
Funções Polinomiais
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Introdução
Caro(a) aluno(a), começaremos o nosso estudo sobre funções polinomiais. Iremos
de�ni-las e introduzir alguns conceitos. As funções polinomiais são objeto de estudo
da matemática há séculos, servindo como um processo para facilitar o cálculo de
raízes equações gerais que envolvem polinômios.
Já estudamos um caso de função polinomial, a função do primeiro grau. Aqui
faremos uma abordagem mais geral do que são essas funções. Falaremos sobre
valor numérico e raízes dessas funções. Daremos foco, nesta unidade, às funções
polinomiais quadráticas, aquelas do segundo grau, pois são uma função
interessante e vemos aplicações com uma frequência maior.
Vários dos tópicos abordados serão conceitos que você, acredito, já conheça, pois são
abordados no ensino médio. Mas, se você não teve contato ainda, não tem
problemas, você vai conseguir se localizar neste tipo de função de uma forma
rápida. Para que possamos fazer um estudo interessante em funções do segundo
grau, faremos uma breve revisão, no decorrer da unidade, do processo de resolução
de uma equação do segundo grau. Como disse, iremos nos concentrar em estudar,
nesta unidade, a análise da função polinomial do 2º grau que depende de uma
�gura plana que será chamada de parábola. Iremos construir seu grá�co e indicar os
pontos notáveis a essa construção.
Para ver o formato do grá�co, imagine você regando as plantas de um jardim com
uma mangueira. Quando você direciona obliquamente o jato dessa mangueira para
cima, consegue-se perceber o sentido da água: é uma parábola. Ainda, em um jogo
de basquete, com um atleta fazendo um arremesso de longe, percebemos que a
bola faz a trajetória de uma parábola, como citaremos adiante.
Essa função tem papel importante em outras ciências, principalmente em física nos
movimentos uniformemente variados, queda livre etc.
Então, vamos estudar!
Bons estudos!
Funções Polinomiais
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Caro(a) aluno(a), iremos citar agora uma função particular, as chamadas funções
polinomiais. Mas quais funções podemos chamá-las de polinomiais? Como o próprio
nome diz, as funções polinomiais são de�nidas por expressões polinomiais. Elas são
representadas por:
f(x) = aₙ . xⁿ + aₙ₋₁ . xⁿ⁻¹ + ... + a₂ . x² + a₁ . x + a₀
onde,
n: número inteiro positivo ou nulo 
x: variável 
a₀, a₁, .... aₙ₋₁, aₙ: coe�cientes 
aₙ . xₙ, aₙ₋₁ . xₙ₋₁, ... a₁ . x , a₀: termos
Exemplos:
As funções f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 e g(x) = x⁶ – 5x⁴ + 2x² + 4 são funções polinomiais.
Valor Numérico e Raiz da Função
Polinomial
Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico
na variável x, caso o valor encontrado seja zero, dizemos, então, que o valor
substituído é uma raiz.
Exemplo resolvido.
Qual o valor numérico de f(x) = x³ + x² – 5x + 3 para x = 2?
Resolução:
Para responder essa pergunta basta substituir o valor de x na função por 2. Assim,
f(2) = 2³ + 2² – 5.2 + 3 = 8 + 4 – 10 + 3 = 5.
Se ao invés de x = 2 tivéssemos x = 1, olha o que iria acontecer:
f(1) = 1³ + 1² – 5.1 + 3 = 1 + 1 – 5 + 3 = 0
Como o resultado foi zero temos que 1 é uma raiz de f.
Grau dos Polinômios
Iremos chamar de grau de uma função polinomial o maior expoente que ela
apresentar.
Por exemplo:
A função f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 tem grau 3 e a função  g(x) = x⁶ – 5x⁴ + 2x² + 4 tem
grau 6.
Função do Segundo Grau
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Caro(a) aluno(a), já sabemos o que é uma função polinomial, agora iremos falar de
um caso particular dessas funções, aquele que o grau é 2, a função do segundo
grau, conhecida também como função quadrática.
Dizemos que uma função é do 2º grau ou quadrática se for de�nida pela lei de
formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e ≠ 0. Além
disso, uma função, para ser do 2º grau, deve assumir uma característica: o seu
domínio e seu contradomínio devem ser subconjuntos dos números reais. Os
números a, b e c são chamados coe�cientes e, em particular, c é dito termo
independente de x. O adjetivo quadrática no nome da função vem da palavra latina
quadratum, que signi�ca quadrado. Em álgebra, um termo como x2 é chamado de
quadrado pelo fato de representar a área de um quadrado de lado x.
Em uma função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero. Se
isso ocorrer, dizemos que a função é incompleta.
Exemplos:
Em f(x) = 2x² – 6x + 9 temos a = 2, b = – 6 e c = 9, logo, a função é chamada de
completa. A função g(x) = 4x² – 2x é chamada de incompleta, pois a = 4, b = – 2 e c =
0. Mesma coisa acontece com h(x) = – 3x² que tem a = –3, b = 0 e c = 0, é incompleta.
Construção do Grá�co de uma
Função do 2º Grau
Você irá perceber, sem muitas di�culdades, quando temos um grá�co que
representa uma função do segundo grau. A representação no plano cartesiano do
grá�co da função quadrática é uma parábola que, conforme o sinal do valor do
coe�ciente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. Chamamos de
concavidade a abertura da parábola. Por exemplo, em um jogo de basquete, alguns
arremessos fazem uma trajetória em formato de parábola.
Pelo fato de o grá�co de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não
uma reta, como no caso de uma função a�m, estudada na unidade anterior, para
montarmos o seu grá�co não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados
pertencentes à curva da função. Nesse caso precisamos de mais alguns pontos para
termos uma boa ideia de como �cará a curva no grá�co.
Podemos construir esse grá�co através do que chamaremos de pontos notáveis da
função quadrática, que são o vértice, a intersecção com o eixo das ordenadas e das
abscissas. Podemos também construir uma tabela para percebermos o
comportamento do grá�co dessa função.
Exemplo resolvido:
Construir o grá�co das funções reais:
a) f(x) = x² – 2x – 2 
b) g(x) = – x² + 1
Resolução:
Em ambos iremos construir uma tabela para obtermos alguns pontos para depois
traçarmos o grá�co.
a) f(–2) = (–2)² – 2.( –2) – 2 = 6
f(–1) = (–1)² – 2.( –1) – 2 = 1
f(0) = 0² – 2.0 – 2 = – 2
f(1) = 1² – 2. 1 – 2 = – 3
f(2) = 2² – 2. 2 – 2 = – 2
Colocando no plano cartesiano os pontos indicados na tabela, temos uma ideia do
comportamento dessa função.
x y
– 2 6
– 1 1
0 – 2
1 – 3
2 – 2
Figura 1 - Grá�co de f(x) = x² – 2x – 2
Fonte: o autor.
b) Fazemos um processo idêntico ao do item a.
g(–2)= – (–2)² +  1 = – 3
g(–1)= – (–1)² +  1 = 0
g(0) = 0² +  1 = 1
g(1) = –1² +  1 = 0
g(2) = – 2² +  1 = – 3
Como �zemos no item a, colocamos no plano cartesiano os pontos indicados na
tabela, assim temos uma ideia de como é o grá�co dessa função.
Figura 2 - Grá�co de f(x) = – x² + 1
Fonte: o autor.
x y
– 2 – 3
– 1 0
0 1
1 0
2 – 3
Observamos que no exemplo anterior construímos duas parábolas. Na primeira
temos concavidade voltada para cima e na segunda voltada para baixo. Isso ocorreu
pelo fato de que o coe�ciente a controla a velocidade de aumento ou decréscimo da
função quadrática a partir do ponto onde ela muda o sentido de crescimento ou
decrescimento. Podemos ter referência do sentido da concavidade da seguinte
forma:
1. Coe�ciente a > 0, parábola tem a concavidade voltada para cima.
2. Coe�ciente a < 0, parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Intersecção com o Eixo das Ordenadas
Você já viu como se calculaum valor numérico em uma função. Para obtermos a
intersecção do grá�co de uma função como o eixo y, basta notar que devemos ter x
= 0. Assim, f(0) = a.0² + b.0 + c = c. Logo, o ponto onde a função f(x) = ax² + bx + c
estará interceptando o eixo y é P(0, c).
Exemplo resolvido:
Determine a intersecção do grá�co da função quadrática f(x) = x² – 3x + 8 com o eixo
y.
Resolução:
Para obter essa intersecção basta substituir o x por 0 na sentença da função: f(0) = 0²
– 3.0 + 8 = 8. Assim, o ponto procurado é P(0, 8).
Intersecção com o Eixo das Abscissas
Podemos obter a intersecção do grá�co da função quadrática com o eixo x a
igualando a zero. Com isso, passamos a ter uma equação quadrática ou
simplesmente equação do segundo grau. As soluções reais, quando houver, dessa
equação recebem o nome de  raízes ou zeros da função. Como as raízes da função
quadrática são os valores de x, cuja imagem é 0, então os pontos de intersecção do
grá�co da função com o eixo x tem a forma P(x, 0).
O número de raízes da função depende do valor do discriminante, geralmente
chamada de delta, que é uma letra grega, de�nido por:
Dependendo dos valores de a, b e c, Δ pode assumir três possibilidades de
resultados, condicionando, assim, a quantidade de raízes:
Δ = b2 − 4ac
Como , que é chamada fórmula de Fórmula de Bhaskara, então:
1. Se , então existem duas raízes reais distintas, pois representa um
número real.
2. Se então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.
3. Se então não existem raízes reais, pois não representa um número
real.
Exemplos resolvidos:
1) Seja a função f: R R de�nida por f(x) = x² – 10x + 16. Determine, se houver, as
raízes de f.
Resolução:
Comparando a sentença da função com f(x) = ax² + bx + c temos a = 1, b = – 10 e c = 16.
Para obtermos, se houver, raízes, devemos resolver a equação x² – 10x + 16 = 0.
Usando o processo de Bháskara temos
Logo as raízes da equação são 2 e 8. 
x = −b±
√Δ
2a
Δ > 0 √Δ
Δ = 0 √Δ
Δ < 0 √Δ
SAIBA MAIS
As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo
equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos,
escritos há cerca de 4000 anos atrás. Os babilônios trabalhavam com
equações para resolver problemas práticos, principalmente aqueles
ligados à agricultura e divisão de terras.
Fonte: Baron (1985).
→
Δ = (−10)2 − 4.1.16 = 100 − 64 = 36
x = =
−(−10) ± √36
2.1
10 ± 6
2
x = = 8 ou x = = 2
10 + 6
2
10 − 6
2
2) Determine m para que a função real f(x) = x² – 2x + m tenha uma única raiz.
Resolução:
Para que a função quadrática tenha uma única raiz real, devemos ter seu
discriminante, delta, igual a zero. Usando a = 1, b = –2 e c = m, temos
Δ = (–2)² – 4.1.m = 4 – 4m = 0, logo m = 1.
Vértice de uma Parábola
Observando que o grá�co da função quadrática é uma parábola com concavidade
voltada para cima ou para baixo, então temos um ponto máximo ou mínimo
dependendo do sinal do coe�ciente a. Esse ponto é chamado de vértice da parábola
y = ax² + bx + c. É no vértice que o grá�co muda de crescente para decrescente ou
vice-versa. O vértice da função é dado pelo ponto V(xV, yV), cujas coordenadas são:
O grá�co da função f: R R quadrática é simétrica em relação à reta R vertical que
passa pela abscissa do vértice.
Quando o valor do coe�ciente a é maior que zero, a ordenada do vértice da parábola
é também chamado de valor mínimo. Se o valor do coe�ciente a é menor que zero,
então dizemos que a ordenado do vértice é o valor máximo.
Exemplo resolvido:
Considere a função f: R R de�nida por f(x) = x2 – 5x + 6. Obter o vértice do grá�co
de f.
Resolução:
V(− ; − )b
2a
Δ
4a
→
→
Para obtermos o vértice dessa parábola iremos usar a fórmula . Então,
Logo temos .
Imagem da Função Polinomial do
2º Grau
O conjunto imagem da função polinomial do 2º grau y = ax² + bx + c é construído por
todos os valores que y pode assumir. Quando a < 0, veja que para valores de x
menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor
máximo que é a ordenada do vértice, que, como sabemos, é f(xv), daí para frente o
valor de y vai diminuindo. Com a > 0 ocorre o contrário, para valores de x menores
que a abscissa do vértice y decresce e para frente, cresce.
Observe os grá�cos:
Então, vemos que existem duas possibilidades para obtenção da imagem dessa
função:
V(− ; − )b
2a
Δ
4a
Δ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4.1.6
Δ = 25 − 24 = 1
xV = − = − =
b
2a
(−5)
2.1
5
2
yV = − = − = −
Δ
4a
1
4.1
1
4
V( , − )5
2
1
4
1ª - quando a > 0, 
Im(f) = {x R / y ≥ yV}
2ª - quando a < 0, 
Im(f) = {x R / y ≤ yV}
Exemplo resolvido:
Determinar a imagem da função real y = x² – 2x – 3.
Resolução:
Temos a > 0, então o valor máximo é dado por , assim
Logo temos Im(f) = {x R/y ≥ –4}.
∈
∈
yV = −
Δ
4a
Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4.1.(−3)
Δ = 4 + 12 = 16
yV = − = − = −4
Δ
4a
16
4.1
∈
Formas da Função
Quadrática
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Caro(a) aluno(a), a função quadrática pode ser apresentada de várias formas, a
seguir cito três formatos:
1. f(x) = ax² + bx + c, que é chamada de forma geral ou forma polinomial,
também conhecida como forma desenvolvida;
2. f(x) = a(x – r₁)(x – r₂), chamada forma fatorada, onde r₁ e r₂ são as raízes da
equação quadrática;
3. f(x) = a(x – h)² + k, com h e k números reais, é chamada a forma canônica,
forma padrão ou forma vértice.
Para fazer a conversão da forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a
fórmula quadrática e encontrar as raízes r₁ e r₂, se houver. Para converter a forma
geral para a forma padrão, é necessário usar o processo de completar o quadrado.
Para converter a forma fatorada para a forma geral, é necessário multiplicar,
expandir e/ou distribuir os fatores.
Exemplo resolvido:
Seja a função f: R R de�nida por f(x) = x² – 10x + 16. Expresse f em sua forma
fatorada.
Resolução:
Comparando a sentença da função com f(x) = ax² + bx + c, temos a = 1, b = – 10 e c =
16. Para obtermos a forma fatorada, devemos obter suas raízes. Como já �zemos isso
em um exemplo anterior, temos as raízes de f sendo x = 2 e x = 8. Logo, a forma
fatorada de f é f(x) = a(x – r₁)(x – r₂) = (x – 2).(x – 8).
→
REFLITA
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é aquele que é
realizado em linha reta, por isso é chamado de retilíneo. Além disso,
apresenta variação de velocidade sempre nos mesmos intervalos de
tempo e uma aceleração �xa. A relação entre a posição e o tempo é
dado por S = S₀ + V₀t + (a/2)t². Interpretando esta função, podemos dizer
que seu grá�co será uma parábola?
Fonte: Bonjorno (1993).
Inequações do 2º Grau
AUTORIA
Luciano Xavier de Azevedo
Analisar o sinal da função quadrática é determinar os intervalos em que a função
tem imagem positiva, negativa, bem como os valores nos quais a função se anula.
Para tal, devemos determinar o valor da raiz ou das raízes, se houver, e em seguida,
veri�car o grá�co de f.
De�nimos como inequação do 2° grau, na incógnita x, qualquer expressão do 2°
grau, com  a, b, c sendo números reais com a ≠ 0, que pode ser reduzida a uma das
seguintes formas:
ax² + bx + c > 0; 
ax² + bx + c < 0; 
ax² + bx + c ≥ 0; 
ax² + bx + c ≤ 0.
Para resolvermos uma inequação do segundo grau, devemos fazer um estudo dos
sinais da função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. O estudo do sinal da função do 2º grau
é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esboço do
grá�co, indicando onde a função é positiva ou negativa. Essa análise deve ser
comparada ao sinal apresentado na inequação, com o objetivo de formular o
conjunto solução.
Exemplos resolvidos:
1) Determine o conjunto solução da inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
Resolução:
Para fazermos a análise de sinal da função f(x) = 3x² + 10x + 7 devemos obter, se
houver, suas raízes. Resolvemos a equação 3x² + 10x + 7 = 0.
Observe que a função f(x) = 3x² + 10x + 7 tem duas raízes e seu grá�co tem
concavidade voltada para cima. Queremos os valores de x tais que a função é
negativa.
Δ = b2 − 4ac = 102 − 4.3.(7)
Δ = 100 − 84 = 16
x =