PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE- 10 ANO- TEXTO

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PARTE 3
DUPLA PROJEÇÃO 
ORTOGONAL – 
REPRESENTAÇÃO 
DIÉDRICA
PARALELISMO13
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No espaço, duas retas são paralelas se e só se as duas retas são complanares e não têm nenhum ponto 
em comum ou se são retas coincidentes.
Se duas retas são complanares e não têm nenhum ponto em comum (ou têm um ponto em comum no 
infinito) dizem ‑se estritamente paralelas.
Assim, retas paralelas podem ser:
• retas estritamente paralelas, caso sejam concorrentes num ponto do infinito (no caso em que têm, 
em comum, um ponto situado no infinito – um ponto impróprio);
• retas coincidentes (ou retas paralelas em sentido lato), caso tenham todos os seus pontos em comum.
O presente estudo debruça ‑se sobre todas as situações de paralelismo estrito entre retas. No entanto, à 
exceção do caso das retas de perfil, este estudo aborda a aprendizagem já efetuada no 10o ano da disciplina 
(ver Manual 10o ano, página 102). Assim, este estudo inci dirá, principalmente, no estudo do paralelismo 
entre retas de perfil, referindo, de forma breve, as restantes situações de paralelismo entre retas, que 
aqui se apresentam como caso geral.
Paralelismo entre retas – caso geral
Retas paralelas que são concorrentes entre si num ponto 
do infinito (um ponto impróprio) – são, portanto, retas com 
a mesma direção.
As retas a e b, na figura ao lado, são paralelas entre si (têm 
a mesma direção).
As suas projeções frontais (a2 e b2) são necessariamente 
paralelas entre si.
Da mesma forma, as suas projeções hori zontais (a1 e b1,) 
são igualmente paralelas entre si.
Como se pode observar na figura, retas para lelas têm as projeções 
homónimas paralelas entre si.
Representemos duas retas paralelas quaisquer (as retas a e b), por exemplo, pelas suas projeções.
As retas a e b são paralelas entre si, pois:
• a2 e b2 são paralelas entre si;
• a1 e b1 são também paralelas entre si.
As retas a e b, no espaço, são paralelas entre si, pois:
• as suas projeções frontais são paralelas en tre si;
• as suas projeções horizontais são também para lelas entre si.
•	 retas paralelas têm as suas projeções frontais paralelas entre si e têm também as 
suas projeções horizontais paralelas entre si, ou seja, retas paralelas têm as proje‑
ções homónimas paralelas entre si.
CONCLUSÃO
NOÇÃO DE PROJEÇÃO 
– DEFINIÇÕES E CONCEITOS13.1
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Paralelismo entre retas de perfil
As retas de perfil constituem ‑se como a única exceção à regra enunciada na abordagem da página anterior. 
Recorde que a reta de perfil é a única situação em que as projeções da reta não verificam o Critério de Reversibilidade 
(ver Manual 10o ano, páginas 112 a 114).
De facto, duas retas de perfil têm sempre as projeções 
homónimas paralelas entre si, mesmo que não sejam 
paralelas entre si.
Na figura ao lado estão representadas duas retas de perfil 
(as retas p e p’), que não são paralelas entre si, apesar das 
suas projeções horizontais (p1 e p’1) serem pa ralelas entre 
si, tal como as suas projeções frontais (p2 e p’2) também 
são paralelas entre si. 
Note que as projeções frontais de duas retas de perfil são sempre 
paralelas entre si, tal como as suas projeções horizontais também 
são sem pre paralelas entre si. 
Assim, no caso das retas de perfil, a condição de para‑
lelismo entre retas é uma condição necessária mas não 
suficiente para que as retas sejam, realmente, paralelas 
entre si (no espaço), o que nos obriga, neste caso (das retas 
de perfil), a raciocínios auxiliares.
No caso de duas retas de perfil serem paralelas, elas serão necessariamente complanares – definirão um 
plano. Assim, quaisquer outras duas retas concorrentes com duas retas de perfil paralelas serão, também 
elas, complanares entre si e complanares com as duas retas de perfil (as quatro retas pertencerão ao 
plano que estará definido pelas duas retas de perfil). 
O raciocínio acima permite ‑nos averiguar a posição relativa de duas retas de perfil, como em seguida se 
expõe.
Sejam dadas duas retas de perfil, p e p’, cada uma delas 
definida pelas suas pro jeções e por dois dos seus pontos.
A reta p está definida pelos pontos A e B. A reta p’ está definida 
elos pontos C e D.
Admitamos que as duas retas são paralelas.
No caso de as duas retas serem efetivamente paralelas, 
as duas retas definirão um plano (retas paralelas são retas 
complanares).
Os dados desse suposto plano são insuficientes para averiguar o pretendido, pelo que é necessário o recurso a uma 
reta auxiliar do plano, reta essa que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção.
RECORDANDO
Duas retas paralelas são sempre complanares. Quaisquer duas retas complana res ou são paralelas ou são 
concorrentes.
 Ver Manual 10o ano, páginas 10/11 e 129 a 133.
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Quaisquer outras retas desse suposto plano serão necessariamente complanares entre si e com as 
retas de perfil p e p’. Averiguemos a eventual situação de complanaridade entre outras duas retas desse 
suposto plano.
Recorreu ‑se a uma reta auxiliar do suposto plano – a reta a. A reta 
a está definida pelos pontos A e D.
A reta a é concorrente com a reta p no ponto A e concor‑
rente com a reta p’ no ponto D. 
Recorreu ‑se a outra reta auxiliar do suposto plano – a reta b. 
A reta b está definida pelos pontos B e C.
A reta b é concorrente com a reta p no ponto B e com a 
reta p’ no ponto C.
As retas a e b não são complanares (não são paralelas 
nem concorrentes). Assim, o suposto plano não existe 
– as retas p e p’ não são complanares. 
Conclui ‑se, portanto, que o plano que se supôs existir (no caso de 
as retas p e p’ serem paralelas) não existe.
Analisemos, agora, outra situação.
Sejam dadas outras duas retas de perfil, p e p’, cada uma de‑
las definida pelas suas pro jeções e por dois dos seus pontos.
A reta p está definida pelos pontos E e F. A reta p’ está definida 
elos pontos M e N.
Admitamos, mais uma vez, que as duas retas são para‑
lelas.
No caso de as duas retas serem efetivamente paralelas, 
as duas retas definirão um plano (retas paralelas são retas 
complanares).
Os dados desse suposto plano são insuficientes para averiguar o pretendido, pelo que é necessário o recurso a uma 
reta auxiliar do plano, reta essa que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção.
Quaisquer outras retas desse suposto plano serão necessariamente complanares entre si e com as 
retas de perfil p e p’.
Recorreu ‑se a uma reta auxiliar do suposto plano – a reta r. A reta 
r está definida pelos pontos E e M.
A reta r é concorrente com a reta p no ponto E e concor‑
rente com a reta p’ no ponto M. 
Recorreu ‑se a outra reta auxiliar do suposto plano – a reta s. A 
reta s está definida pelos pontos F e N.
A reta s é concorrente com a reta p no ponto F e com a 
reta p’ no ponto N.
As retas r e s são paralelas, pelo que são necessariamente 
complanares. Assim, as retas p e p’ são complanares – 
como não são concorren tes, são paralelas. 
Conclui ‑se, portanto, que o plano que se supôs existir (no caso de as retas p e p’ serem paralelas) existe efetivamente.
•	as retas p e p’ não definem plano algum, pelo que não são paralelas.CONCLUSÃO
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•	as retas p e p’ definem efetivamente um plano, pelo que são paralelas.CONCLUSÃO
Visualizemos no espaço a situação atrás exposta.
As retas p e p’ são as duas retas de perfil para lelas, pelo 
que definem um plano.
A reta r está definida por dois pontos (E e M), que são os seus 
pontos de concorrência com as retas p e p’, respetivamente.
A reta s está definida por dois pontos (F eN), que são os seus 
pontos de concorrência com as retas p e p’, respetivamente.
As retas r e s são paralelas, pelo que são complanares.
As retas r e s são outras duas retas do plano que as duas 
retas de perfil (as retas p e p’) defi nem.
As retas r e s, que são concor rentes com as retas p e p’, 
são mais duas retas do plano que as retas p e p’ defi nem.
Vejamos, em seguida, como desenhar as projeções de uma reta de perfil paralela a uma outra reta de 
perfil dada, a partir de um ponto dado.
Sejam dados uma reta de perfil, p, e um ponto M, qualquer, 
exterior à reta.
A reta p, de perfil, está definida por dois dos seus pontos – os 
pontos A e B.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta p’, de perfil, pa‑
ralela à reta p e passando pelo ponto M.
A condição de paralelismo entre retas, no caso das retas de perfil 
é condição necessária mas não suficiente para que as retas, no 
espaço, sejam efetivamente paralelas.
Note que é possível desenhar as projeções da reta p’ di retamente. Estas, no entanto, por não verificarem 
o Critério de Reversibilidade, não nos garantem que as duas retas sejam paralelas.
Assim, para garantirmos que as duas retas são efetiva‑
mente paralelas, necessitamos de um outro ponto da reta 
p’, para além do ponto M.
Se as retas p e p’ são paralelas, então definem um plano. Os dados 
desse plano são insuficientes para obter o pre tendido, pelo que é 
necessário o recurso a uma reta auxi liar do plano, reta essa que, 
também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto 
e uma direção.
Comecemos por desenhar as projeções de uma reta qual‑
quer, r, pas sando pelo ponto M e concor rente com a reta 
p (no ponto A, por exemplo).
A reta r é a reta auxiliar a que se recorreu e está definida por dois pontos – o ponto A (o seu ponto de concorrência com 
a reta p) e o ponto M (que é, na prática, o seu ponto de concorrência com a reta p’).
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Desenhemos as projeções de uma outra reta, s, qualquer, 
concor rente com a reta p e complanar com a reta r (pa‑
ralela ou concorrente com a reta r).
A reta s é outra reta auxiliar a que se recorreu e está definida por 
dois pontos – o ponto B (o seu ponto de concorrência com a reta 
p) e o ponto P (que é o seu ponto de concorrência com a reta r).
A reta s é concorrente com a reta p no ponto B e concor‑
rente com a reta r num ponto P. 
As retas r, s, p e p’ são com planares (ver página anterior). Assim, 
as retas s e p’ ou são paralelas ou são concorrentes – como não 
são paralelas (a reta p’ é de perfil e a reta s é uma reta oblíqua), 
as duas retas são concorrentes, pelo que existe um ponto de con-
corrência – o ponto N.
Determinou ‑se o ponto de concorrência das retas s e p’ – o ponto N. A reta p’, definida pelos pontos M e 
N, é necessariamente uma reta de perfil para lela à reta p.
A análise da situação de paralelismo acima exposta refere ‑se à situação de retas de perfil não contidas 
no mesmo plano de perfil, que também se pode processar com o recurso aos processos geométricos 
auxiliares – com o recurso a uma Mudança do Diedro de Projeção, por exemplo (ver Manual 10o ano, 
páginas 281 e 282).
O estudo do paralelismo de retas de perfil contidas no mesmo plano de perfil pode processar ‑se através 
do rebatimento do plano de perfil que as contém.
Critério de paralelismo entre retas e planos
As situações de paralelismo entre retas e planos fundamentam ‑se no critério de paralelismo entre 
retas e planos.
RESOLUÇÃO 
NO CD
1. Sejam dadas duas retas de perfil, p e p’. A reta p está definida pelos pontos A ( 1; 1; 5) e B ( 4; 2). A reta p’ 
está definida pelos pontos C ( –3; 4; 3) e D ( 1; 4). Averigue a posição relativa das duas retas.
2. Considere a reta p do exercício anterior. Seja dado um ponto M (–2; 3; 4). Desenhe as projeções de uma reta p’, 
de perfil, paralela à reta p e passando pelo ponto M.
3. São dadas duas retas de perfil, p e p’, contidas no mesmo plano de perfil. A reta p está definida pelos pontos 
E ( 3; 1) e F ( 1; 2). A reta p’ está definida pelos pontos M ( 6; 2) e N ( 4; 3). Averigue se as retas p e p’ são, ou 
não, paralelas.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 1. a 11. do Livro de Exercícios. 
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PARALELISMO ENTRE
RETAS E PLANOS13.2
RECORDANDO
Uma reta é paralela a um plano se não estiver contida no plano e for paralela a uma reta desse plano. Assim, 
um plano é paralelo a uma reta se não contiver essa reta e contiver uma reta paralela à reta dada.
 Ver Manual 10o ano, página 16.
RESOLUÇÕES NO CD
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Na figura ao lado estão representados um plano a, uma 
reta s, contida no plano a e uma reta r, não pertencente 
ao plano a e paralela à reta r.
A reta r é paralela ao plano a, pois não está contida no 
plano a e é paralela a uma reta do plano a – a reta s.
O plano a é paralelo à reta r, pois não contém a reta r e 
contém uma reta paralela a r – a reta s. 
Note que as retas r e s são retas da mesma «família» de retas.
APRENDENDO
Por «família» de retas entende ‑se todas as retas do espaço com uma mesma direção. Na 
figura acima, as retas r e s pertencem à mesma «família» de retas exatamente porque são 
duas retas com a mesma direção.
•	uma reta é paralela a um plano se e só se for paralela a uma reta que o plano contenha, 
ou seja, se a reta pertencer a uma «família» de retas contida no plano;
•	um plano é paralelo a uma reta se e só se o plano contiver uma reta paralela à reta 
dada, ou seja, se o plano contiver a «família» de retas à qual a reta dada pertence.
CONCLUSÕES
13.2.1 RETA PARALELA A UM PLANO
Analisemos a determinação das projeções de uma reta paralela a um plano dado.
Sejam dados um plano a, oblíquo, definido pelos seus 
traços, e um ponto P, exterior ao plano.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta r, paralela ao 
plano a e passando pelo ponto P. 
Sobre a reta r pretende ‑se, ainda, que a sua projeção ho‑
rizontal faça, com o eixo X, um ângulo de 30º (a.e.).
Comecemos por desenhar a projeção horizontal da reta r, de acordo com o pretendido.
r1 – projeção horizontal da reta r.
A projeção horizontal da reta r (r1) passa pela projeção 
horizontal do ponto P (P1) e faz, com o eixo X, o ângulo 
pretendido.
Para definir uma reta (a reta r) são necessários dois pontos ou um 
ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta r – o 
ponto P. Falta ‑nos outro ponto ou uma direção.
Para a reta r ser paralela ao plano a, a reta r terá de ser 
paralela a uma reta do plano a (Critério de Paralelismo 
entre retas e planos).
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Os dados do plano são insuficientes para definir a reta r, pelo que 
é necessário o recurso a uma reta auxiliar do plano, reta essa 
que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um 
ponto e uma direção.
Recorreu ‑se a uma reta do plano a (a reta s), garantindo‑
‑se, no entanto, que a reta s é paralela à reta r – s1 é 
paralela a r1.
A reta s verifica a condição para que uma reta per tença a um 
plano, em relação ao plano a (ver Manual 10o ano, páginas 150 a 
152). A reta s está definida por dois pontos – os pontos F e H (os 
seus traços).
A reta s pertence ao plano a e está definida pelos seus 
traços (os pontos F e H).
Já temos a direção que nos faltava para definir a reta r – a direção 
da reta s.
r2 – projeção frontal da reta r.
Retas paralelas têm as suas projeções homó nimas paralelas entre 
si, pelo que a projeção frontal da reta r (r2) é paralela à projeção 
frontal da reta s (s2).
r2 passa por P2 e é paralela a s2.
A reta r está definida por um ponto (o ponto P) e uma direção (a 
direção da reta s).
A reta r é paralela ao plano a, pois não está contida no 
plano a e é paralela a uma reta do plano a (a reta s).
Note que as retas r e s são retas da mesma «família» de retas, poissão retas paralelas (têm a mesma 
direção). 
RESOLUÇÃO 
NO CD
4. São dados um plano de rampa, r, e um ponto P ( 5; 2). Os traços horizontal e frontal do plano r têm, respeti-
vamente, 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Determine as projeções de uma reta r, passando pelo ponto P, 
sabendo que a reta r é paralela ao plano r e que a sua projeção frontal faz, com o eixo X, um ângulo de 45o (a.d.).
5. Sejam dados um plano a, oblíquo, e um ponto P, não pertencente ao plano. Os traços do plano a são concor-
rentes num ponto com 2 cm de abcissa e fazem, com o eixo X, ângulos de 30o (a.d.) e 45o (a.d.), respetivamente 
o traço frontal e o traço horizontal. Desenhe as projeções de uma reta horizontal (de nível) h, paralela ao plano a 
e passando pelo ponto P, sabendo que as coordenadas do ponto P são ( 1; 4; 3).
6. É dado um plano q, de topo, que faz um diedro de 40o (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção. O plano q corta 
o eixo X num ponto com 1 cm de abcissa. É dado também um ponto M ( –2; 3; 2). Desenhe as projeções de uma 
reta m, oblíqua, passando pelo ponto M e paralela ao plano q.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 12. a 23. do Livro de Exercícios. 
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13.2.2 PLANO PARALELO A UMA RETA
Analisemos, agora, a determinação dos traços de um plano paralelo a uma reta dada.
Sejam dados uma reta r, oblíqua, e um ponto P, exterior 
à reta r.
Pretendem ‑se os traços de um plano a, paralelo à reta r 
e contendo o ponto P. 
Sobre o plano a sabe ‑se, ainda, que o seu traço frontal faz, 
com o eixo X, um ângulo de 45º (a.d.).
De acordo com o Critério de Paralelismo entre retas e planos, o 
plano a tem de conter uma reta paralela à reta r, ou seja, o plano a 
tem de conter a «família» de retas a que a reta r pertence.
Para que o plano a contenha o pon to P é necessá rio que 
o plano conte nha uma reta a que o ponto P pertença (ver 
Manual 10o ano, páginas 180 a 182).
Por outro lado, para que o plano a seja pa ralelo à reta r, o 
plano a tem de conter uma reta para lela à reta r.
Comecemos, então, por desenhar as projeções de uma reta s, 
paralela à reta r e passando pelo ponto P.
s – reta paralela à reta r que passa pelo ponto P.
Qualquer plano que contenha a reta s contém necessaria‑
mente o ponto P (pois o ponto P pertence à reta s)
Já se garantiu que o plano a conterá o ponto P – o ponto P perten-
cerá a uma reta do plano a (a reta s), pelo que o ponto P pertencerá 
necessariamente ao plano a.
Qualquer plano que contenha a reta s será necessaria‑
mente paralelo à reta r.
Já se garantiu, também, que o plano a será paralelo à reta r, pois 
conterá uma reta paralela à reta r (a reta s).
Determinemos os traços da reta s.
F – traço frontal da reta s.
H – traço horizontal da reta s.
RECORDANDO
Para que um ponto pertença a um plano, é necessário que o ponto pertença a uma reta que pertença ao plano.
 Ver Manual 10o ano, páginas 136 a 138 e 160/161.
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Para que a reta s pertença ao plano a, os tra ços da reta s têm de 
estar sobre os traços homónimos do plano a (ver Manual 10o ano, 
páginas 150 a 152 e 179).
Determinemos, então, os traços do plano a:
• fa contém o ponto F e faz, com o eixo X, um ân gulo de 
45o (a.d.), de acordo com o pre tendido;
• ha contém o ponto H e é concorrente com fa no eixo X.
O plano a é paralelo à reta r e contém o ponto P, pois o 
plano a con tém a reta s que, por sua vez, contém o ponto 
P e é paralela à reta r.
RESOLUÇÃO 
NO CD
13.2.3 RETAS PARALELAS AOS PLANOS BISSETORES
O estudo que se segue, a partir da situação anterior, incide sobre o estudo das retas paralelas aos planos 
bissetores e na análise das características das suas projeções (ou seja, da respetiva representação em 
Dupla Projeção Ortogonal)..
Retas oblíquas paralelas ao b2/4
Para que uma reta seja paralela ao b2/4, essa reta tem de ser paralela a uma reta do b2/4 (critério de 
paralelismo entre retas e planos). 
O b2/4 é um plano passante (de rampa), pelo que contém retas fronto ‑horizontais e retas passantes (oblí‑
quas e de perfil). Uma reta fronto ‑horizontal que não esteja contida no b2/4 será sempre paralela ao b2/4. 
Analisemos, então, a situação das retas oblíquas.
Seja dado um ponto P, não contido no b2/4 e representado 
pelas suas projeções.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta r, oblíqua, qual‑
quer, passando pelo ponto P e paralela ao b2/4.
Para definir uma reta (a reta r) são necessários dois pontos ou um 
ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta r – o 
ponto P. Falta -nos outro ponto ou uma direção.
A reta r terá de ser paralela a uma reta do b2/4.
7. É dada uma reta r, definida pelos pontos A ( –2; 1; 3) e B ( –5; 4; 1). É dado, ainda, um ponto C ( 1; 2; 2). Deter-
mine os traços de um plano a, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à reta r, sabendo que o traço frontal 
do plano a faz, com o eixo X, um ângulo de 60o (a.d.).
8. Considere a reta r e o ponto C do exercício anterior. Determine os traços de um plano de rampa r, paralelo à 
reta r e contendo o ponto C.
9. É dada uma reta f, frontal, que passa pelo ponto M ( 1; 2; 3) e faz, com o Plano Horizontal de Projeção, um 
ângulo de 50o (a.e.). É dado um ponto N ( –2; 4; 2). Determine os traços de um plano d, oblí quo, paralelo à 
reta f, sabendo que o plano d contém o ponto N e que os seus traços estão coinci dentes.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 24. a 32. do Livro de Exercícios. 
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Os dados do plano são insuficientes para definir a reta r, pelo que 
é necessário o recurso a uma reta auxiliar do plano, reta essa 
que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um 
ponto e uma direção.
Recorreu ‑se a uma reta do b2/4 – a reta a. 
Retas do b2/4 têm as suas projeções coinci dentes (ver Manual 10o 
ano, páginas 118 e 119).
A reta a é uma reta oblíqua, qualquer, pertencente ao b2/4 
– tem as suas projeções coincidentes (é uma reta oblíqua 
passante).
Já temos a direção que nos faltava para definir a reta r – a direção 
da reta a.
Desenhemos, agora, as projeções da reta r, paralela à 
reta a, passando pelas projeções homónimas do ponto P:
• r2 passa por P2 e é paralela a a2;
• r1 passa por P1 e é paralela a a1.
As retas r e a são paralelas entre si, pois têm as projeções homó-
nimas paralelas entre si (ver página 8).
A reta r está definida por um ponto (o ponto P) e uma direção (a 
direção da reta a).
Repare que as projeções da reta r são para lelas entre si. Tenha em atenção que, qualquer que ti vesse 
sido a reta a, pertencente ao b2/4, as projeções da reta r, paralela a essa reta a, seriam sempre paralelas 
entre si.
Retas oblíquas paralelas ao b1/3
Para que uma reta seja paralela ao b1/3, essa reta de ser paralela a uma reta do b2/4 (critério de parale‑
lismo entre retas e planos).
O b1/3 é um plano passante (de rampa), pelo que contém retas fronto ‑horizontais e retas passantes (oblí‑
quas e de perfil). Uma reta fronto ‑horizontal que não esteja contida no b1/3 será sempre paralela ao b1/3. 
Analisemos, então, a situação das retas oblíquas.
Seja dado um ponto N, não contido no b1/3 e representado 
pelas suas projeções.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta s, oblíqua, qual‑
quer, passando pelo ponto M e paralela ao b1/3. 
Para definir uma reta (a reta s) são necessários dois pontos ou um 
ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta s – o 
ponto M. Falta -nos outro ponto ou uma direção.
A reta s terá de ser paralela a uma reta do b1/3.
•	retas oblíquas paralelas ao b2/4 têm as suas projeções paralelas entre si.CONCLUSÃO
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Os dados do plano são insuficientes para definir a reta s, pelo que 
é necessário o recurso a uma reta auxiliar do plano, reta essa 
que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um 
ponto e uma direção.
Recorreu ‑se a uma reta do b1/3 – a reta b. 
Retas do b1/3 têm as suas projeções simétricas em rela ção ao eixo 
X (ver Manual 10o ano, página 118).
A reta b é uma reta oblíqua, qualquer, pertencente ao b1/3 
– tem as suas projeções coincidentes (é uma reta oblíqua 
passante).
Já temos a direção que nos faltava para definir a reta r – a direção 
da reta b.
Desenhemos, agora, as projeções da reta s, paralela à reta 
b e passando pelas projeções homónimas do ponto M:
• s2 passa por M2 e é paralela a b2;
• s1 passa por M1 e é paralela a b1.
As retas s e b são paralelas entre si, pois têm as pro jeções homó-
nimas paralelas entre si (ver página 8).
A reta s está definida por um ponto (o ponto M) e uma direção (a 
direção da reta b).
Repare que o ângulo que s2 (a projeção frontal da reta s) faz com o eixo X é geometricamente igual ao 
ângulo que s1 (a projeção horizontal da reta s) faz com o eixo X, e com abertura para o mesmo lado 
– abertura para a esquerda, neste caso.
Note que, qualquer que tivesse sido a reta b, contida no b1/3, as projeções da reta s, pa ralelas a essa reta 
b, fariam, sempre, ângulos iguais com o eixo X e com abertura para o mesmo lado.
Retas de perfil paralelas aos planos bissetores
A determinação das projeções de retas de perfil paralelas aos planos bissetores não se processa através 
de uma característica comum a todas, como no caso das retas oblíquas (a que se referiram as situações 
anteriores), mas, sim, através do recurso a processos específicos a utilizar em cada situação. Esses pro‑
cessos são o recurso aos processos geométricos auxiliares ou à situação de paralelismo entre retas de 
perfil, já exposta neste capítulo (ver páginas 9 a 12).
Retas de perfil paralelas ao b2/4
Seja dado um ponto A, não contido no b2/4.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta p, de per fil, para‑
lela ao b2/4 e passando pelo ponto A.
Para definir uma reta (a reta p) são necessários dois pon tos ou um 
ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta p – o 
ponto A. Falta -nos outro ponto ou uma direção.
•	retas oblíquas paralelas ao b1/3 são retas não passantes cujas projeções fazem, com o 
eixo X, ângulos iguais e com abertura para o mesmo lado.
CONCLUSÃO
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Sublinha ‑se que é possível, de forma imediata, desenhar as projeções da reta p. No entanto, a reta p (que 
é uma reta de perfil) não fica totalmente definida, pois trata ‑se da única situação em que as projeções da 
reta não verificam o Critério de Reversibilidade (ver Manual 10o ano, páginas 112 a 114) – é necessário 
um outro ponto da reta p.
Por outro lado, para que a reta p (de perfil) seja paralela ao b2/4, terá de ser paralela a uma reta de perfil 
do b2/4 (Critério de Paralelismo entre retas e planos). Recorrendo ao processo do rebatimen to, tratar‑
‑se ‑á do rebatimento do plano de perfil que contém a reta p. A reta do b2/4, a que a reta p será paralela, 
será necessariamente a reta de interseção desse plano de perfil com o b2/4 – a reta i.
A reta p, cujas projeções se desenharam imediatamente, 
é a reta pedida. No entanto, necessitamos de um outro 
ponto da reta, para além do ponto A.
Pela reta p conduz -se um plano de perfil, p, e deter mina -se a reta 
de inter seção do plano p com o b2/4 – a reta i. 
p – plano de perfil que contém a reta p.
i – reta de interseção do plano p com o b2/4.
A reta i é uma reta de perfil do b2/4 que está contida no 
plano p.
A reta p, sendo paralela ao b2/4, tem de ser pa ralela à reta 
i (que é uma reta de perfil do b2/4). 
Uma vez que se trata de duas retas de perfil (cujas projeções não 
verificam o Critério de Reversibilidade), é necessário efetuar o 
rebati mento do plano p. 
Rebateu ‑se o plano p para o Plano Frontal de Projeção – a 
charneira foi o seu traço frontal (fp).
Ar – ponto A rebatido.
A reta i, no espaço, faz ângulos de 45o com os traços do plano p 
(ver Manual 10o ano, página 115). 
ir – reta i rebatida (passa por Ar e faz ângulos de 45º com 
os fpr e hpr).
Note que o ponto A se situa no 1o Diedro e a reta i passa pelos 2o e 4o Diedros, o que se verifica em rebatimento.
A reta p é paralela à reta i – desenhou ‑se pr, paralela a ir 
e passando por Ar. 
Sobre pr representou ‑se um outro ponto qualquer da 
reta – o ponto Br. Invertendo o rebati mento do plano p, 
determinaram ‑se as projeções do ponto B.
A reta p é uma reta de perfil paralela ao b2/4 e está definida 
por dois pontos – os pontos A e B.
A reta p é paralela ao b2/4, pois é paralela a uma reta do b2/4 – a 
reta i (Critério de paralelismo entre retas e planos).
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Retas de perfil paralelas ao b1/3
Seja dado um ponto M, não contido no b1/3.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta p, de perfil, para‑
lela ao b1/3 e passando pelo ponto M. 
Para definir uma reta (a reta p) são necessários dois pon tos ou um 
ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta p – o 
ponto M. Falta -nos outro ponto ou uma direção.
Sublinha ‑se que, à semelhança da situação anterior, é possível, de forma imediata, desenhar as projeções 
da reta p. No entanto, também nesta situação, a reta p (que é igualmente uma reta de perfil) não fica 
totalmente definida, pois trata ‑se da única situação em que as projeções da reta não verificam o Critério 
de Reversibilidade (ver Manual 10o ano, páginas 112 a 114).
Assim, também à semelhança da situação anterior, necessitamos de um outro ponto da reta p, para além 
do ponto M, para definir a reta.
Recorramos, então, ao processo exposto nas páginas 9 a 12.
Recorreu ‑se a uma reta de perfil do b1/3 – a reta p’.
A reta p’ está definida por dois pontos – os pontos A e B 
(que são dois pontos que pertencem ao b1/3).
Os pontos A e B pertencem ao b1/3, pois têm as suas pro jeções 
simétricas em relação ao eixo X.
Para que a reta p seja paralela ao b1/3, a reta p terá de ser 
paralela à reta p’.
As retas p e p’ são complanares (porque são paralelas), pelo que de finem um plano. Recorramos a uma reta auxiliar 
desse plano – a reta a. A reta a está definida por dois pontos – os pontos A e M.
A reta a é uma reta auxiliar, concorrente com a reta p’ no 
ponto A e concorrente com a reta p no ponto M.
Recorramos a outra reta auxiliar do plano definido pelas duas retas 
de perfil – a reta b. A reta b está definida por um ponto (o ponto B) 
e por uma direção (a direção da reta a).
A reta b é outra reta auxiliar, concorrente com a reta p’ no 
ponto B e paralela à reta a.
As retas b e p, sendo complanares, ou são paralelas ou são con-
correntes. Não são paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que 
existe um ponto de concorrência – o ponto N. Já temos o ponto que 
nos faltava para definir a reta p – o ponto N.
A reta b é complanar com a reta p, sendo concorrente com 
esta no ponto N.
A reta p, definida por dois pontos (os pontos M e N), é para lela à reta p’ (ver página 12). Dessa forma, a 
reta p é paralela ao b1/3, pois é pa ralela a uma reta do b1/3 – a reta p’.
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RESOLUÇÃO 
NO CD
NOÇÕES GERAIS
Critério de paralelismo entre planos
Planos paralelos têm a mesma orientação. Dois planos não paralelos têm orientações diferentes e 
dizem ‑se secantes (intersetam ‑se segundo uma reta).
As situações de paralelismo entre planos fundamentam ‑se no Critério de Paralelismo entre planos.
Na figura ao lado, os planos a e b são paralelos. O plano a 
contém duas retas concorrentes – as retas a e b. O plano 
b contém outras duasretas concorrentes – as retas r e s. 
As retas a e b são paralelas, respetivamente, às retas r e s.
As retas a e r são paralelas – pertencem a uma mesma 
«família» de retas (que ambos os planos contêm).
As retas b e s são também paralelas – perten cem a outra 
«família» de retas (que ambos os planos também contêm).
Note que, verificando ‑se esta condição (o Critério de Paralelismo entre planos), se verificará sempre 
que todas as «famílias» de retas que existirem num dos planos existirão, necessariamente, no outro plano, 
ou seja, dois planos paralelos têm, em comum, todas as «famílias» de retas.
De facto, sempre que dois planos são paralelos, qualquer reta de um desses planos será necessariamente paralela a 
uma infinidade de retas do outro plano.
•	dois planos são paralelos entre si se e só se duas retas concorrentes de um dos planos 
forme paralelas a duas retas concorrentes do outro plano, ou seja, se os dois planos 
tiverem duas «famílias» de retas em comum.
CONCLUSÃO
10. São dadas duas retas, h e r, concorrentes no ponto P ( 3; 2). A reta h é horizontal (de nível) e faz, com o Plano 
Frontal de Projeção, um ângulo de 45o (a.d.). A reta r é paralela ao b2/4 e a sua projeção horizontal é perpen-
dicular à projeção horizontal da reta h. Determine os traços do plano definido pelas duas retas.
11. São dados um plano de rampa, r, e uma reta oblíqua, a. Os traços frontal e horizontal do pla-
no r têm, respetivamente, 3 cm de cota e 4 cm de afastamento. A reta a contém o ponto P ( 3; 2) e 
é paralela ao b1/3. Sobre a reta a sabe -se, ainda, que a sua projeção horizontal faz, com o eixo X, 
um ângulo de 50o (a.d.). Determine as projeções do ponto de interseção da reta a com o plano r.
12. É dada uma reta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota e que faz, com o Plano Frontal de Projeção, 
um ângulo de 45o (a.e.). É dada uma reta p, de perfil, paralela ao b1/3 e concorrente com a reta h num 
ponto com 4 cm de afastamento. Determine os traços do plano definido pelas duas retas.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 33. a 46. do Livro de Exercícios. 
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PARALELISMO
ENTRE PLANOS13.3
RECORDANDO
Dois planos são paralelos entre si se e só se duas retas concorrentes de um dos planos forem paralelas a 
duas retas concorrentes do outro plano.
 Ver Manual 10o ano, página 17.
RESOLUÇÕES NO CD
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Paralelismo entre planos – caso geral
Um plano definido pelos seus traços está definido por duas retas concorrentes (à exceção dos planos de 
rampa). Tendo em conta a exceção dos planos de rampa, considera remos aqui como caso geral a situação 
de todos os outros planos, cujos traços são duas retas con correntes.
Sejam dados dois planos, a e d, definidos pelos seus traços, 
sendo que os traços frontais dos dois planos são paralelos 
entre si, bem como os seus traços horizontais.
Os plano a e d verificam o Critério de Paralelismo entre planos.
Os planos a e d são paralelos entre si, pois duas retas 
concorrentes do plano a (fa e ha) são paralelas a duas 
retas concorrentes do plano d (fd e hd).
Assim, dois planos paralelos têm os seus traços homóni‑
mos paralelos entre si.
De facto, se dois planos são paralelos entre si e um terceiro plano interseta os dois pla nos, as duas re‑
tas de interseção são paralelas entre si (ver Manual 10o ano, página 200). 
Assim, as retas de interseção dos planos a e d (os dois planos paralelos) com o Plano Frontal de Pro jeção 
(o terceiro plano) são fa e fd, que são necessariamente duas retas paralelas entre si. 
De forma idêntica, as retas de interseção dos planos a e d (os dois planos paralelos) com o Plano Hori‑
zontal de Projeção (o terceiro plano) são hae hd, que são necessariamente duas retas para lelas entre si.
A única exceção a esta conclusão, como anteriormente se referiu, são os planos de rampa, pois os seus traços não são 
retas concorrentes em sentido restrito (são retas concor rentes num ponto do infinito – são paralelos). Assim, nos planos 
de rampa não se verifica a aplicação direta do Critério de paralelismo entre planos através dos seus traços.
Vejamos, agora, como determinar os traços de um plano paralelo a um plano dado, passando por um 
ponto exterior.
Sejam dados um plano a, oblíquo, definido pelos seus 
traços, e um ponto P, exterior ao plano.
Pretendem ‑se os traços de um plano d, paralelo ao 
plano a e passando pelo ponto P.
•	dois planos paralelos têm os seus traços frontais paralelos entre si e têm os seus traços 
horizontais paralelos entre si, ou seja, dois planos paralelos têm os traços homónimos 
paralelos entre si.
CONCLUSÃO
RECORDANDO
O traço frontal de um plano é uma reta frontal (de frente) do plano, com afastamento nulo. O traço horizontal 
de um plano é uma reta horizontal (de nível) do plano, com cota nula. Os traços de um plano são duas retas 
desse plano que são concorrentes num ponto do eixo X (à exceção dos planos de rampa).
 Ver Manual 10o ano, páginas 147 a 150.
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É necessário conduzir, pelo ponto P, uma reta que pertença ao plano d. Sobre o plano d sabemos, já, a 
direção dos seus traços, que são paralelos aos tra ços homónimos do plano a – fd é uma reta frontal (de 
frente) do plano d e hd é uma reta horizontal (de ní vel) do plano d. 
Assim, já conhecemos a direção das retas frontais (de frente) e das retas horizon tais (de nível) do plano 
d, sendo a uma destas que é aconselhável recor rer.
Optemos por utilizar uma reta hori zontal (de nível), h, como 
reta auxiliar.
Para definir uma reta (a reta h) são necessários dois pontos ou 
um ponto e uma direção. Já temos um ponto para definir a reta 
h – o ponto P. Também já temos a direção da reta h – a direção das 
retas horizontais (de nível) do plano d (que é a direção das retas 
hori zontais do plano a).
A reta h contém o ponto P e é paralela a ha.
Já temos uma reta do plano d (a reta h), que é paralela a 
uma reta do plano a (o seu traço horizontal – ha).
Por outro lado, o recurso à reta h garante ‑nos ainda que o ponto P pertencerá ao plano d, porque pertence 
a uma reta do plano d – a reta h.
Para garantir o paralelismo do plano d em relação ao 
plano a, falta ‑nos uma outra reta – uma reta que seja 
concorrente com a reta h e paralela a outra reta do plano 
a e que, por sua vez, seja concorrente com ha (o traço 
horizontal do plano a).
Determinemos o traço frontal da reta h.
F – traço frontal da reta h.
Desenhemos, agora, o traço frontal do plano d (fd).
fd – traço frontal do plano d.
O traço frontal do plano d (fd) é concorrente com a reta 
h no ponto F e é paralelo ao traço frontal do plano a (fa).
O traço frontal do plano d (fd) está definido por um ponto (o ponto F) e uma direção (a direção das retas frontais do plano 
d, que é a direção do traço frontal do plano a).
RECORDANDO
Para um ponto pertencer a um plano, o ponto tem de pertencer a uma reta que pertença a esse plano.
 Ver Manual 10o ano, páginas 136 a 138 e 160/161.
RECORDANDO
Para que uma reta pertença a um plano, os seus traços têm de estar sobre os traços homónimos do plano.
 Ver Manual 10o ano, páginas 150 e 152.
Retas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano (que 
é uma reta horizontal do plano, com cota nula).
 Ver Manual 10o ano, páginas 153 e 154.
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Já temos outra reta do plano d (o seu traço frontal – fd), que 
é paralela a uma reta do plano a (o seu traço frontal – fa). 
Note que já se garantiu o paralelismo entre os dois planos, pois já 
temos duas retas concorrentes do plano d (h e fd) que são paralelas 
a duas retas concorrentes do plano a (ha e fa, respetivamente).
hd – traço horizontal do plano d.
O traço horizontal do plano d (hd) é para lelo à reta h (e a 
ha), sendo concor rentecom fd num ponto do eixo X.
O traço horizontal do plano d (hd) está definido por um ponto (o 
ponto de concorrência dos traços do plano) e por uma direção (a 
direção da reta h).
O plano d é paralelo ao plano a (já se verifica o Critério de Paralelismo entre planos) e contém o ponto 
P, pois o ponto P pertence a uma reta do plano d (a reta h).
Paralelismo entre planos de rampa
Os planos de rampa são a única exceção à conclusão de que planos paralelos têm os traços homónimos 
paralelos entre si, devido ao facto de os tra ços de um plano de rampa serem retas paralelas e não con‑
correntes. Salienta ‑se que o traço horizontal e o traço frontal de qualquer plano de rampa são duas retas 
da mesma «família» de retas – a «família» das retas fronto ‑horizontais. 
Por isso mesmo, o paralelismo entre os traços homónimos de dois planos de rampa (que se verifica 
sempre), por si só, não garante que se verifique o Critério de Paralelismo entre planos.
Os dois traços de um plano de rampa são duas retas fronto -horizontais desse plano, ou seja, são retas da mesma «família» 
de retas. Dessa forma, dois planos de rampa definidos pelos seus traços têm, à partida, uma única «família» de retas 
em comum – a «família» das retas fronto ‑horizontais.
Assim, planos de rampa têm sempre os traços homónimos paralelos entre si, quer sejam paralelos ou 
não (ou seja, quer sejam paralelos quer sejam secantes). Esse facto justifica a abordagem diferenciada 
da situação de paralelismo entre planos de rampa, que em seguida se inicia.
Sejam dados dois planos de rampa, r e s, definidos pelos 
seus traços.
Repare que os traços homónimos dos dois planos são 
paralelos entre si. No entanto, na situação apresentada, 
os dois planos de rampa não são paralelos.
Certifiquemo ‑nos desse facto.
RECORDANDO
Critério de Paralelismo entre planos: dois planos são paralelos entre si se e só se duas retas concorrentes 
de um dos planos forme paralelas a duas retas concorrentes do outro plano, ou seja, se os dois planos tive‑
rem duas «famílias» de retas em comum.
 Ver página 21.
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Para que os dois planos sejam paralelos, os dois planos têm de ter, em comum, duas «famílias» de retas (para que se 
verifique o Critério de Paralelismo entre planos). 
Os dois planos já têm uma «família» de retas em comum – a «família» das retas fronto ‑horizontais. Caso 
os dois planos sejam efetivamente paralelos, os dois planos têm de ter, em comum, todas as ou tras 
«famí lias» de retas. Averiguemos, então, se existe mais alguma «família» de retas co mum aos dois pla nos. 
Comece mos por definir uma reta de cada plano, averiguando o eventual paralelismo entre essas duas 
retas. Uma vez que se trata de recorrer a outra «família» de retas dos dois planos, essas retas não poderão 
ser fronto ‑horizontais – as retas deverão ser con correntes com os traços, para que se trate de uma outra 
«família» de retas dos dois planos. Optemos por recorrer a retas oblíquas.
Consideremos uma reta a, pertencente ao plano r, e uma 
reta b, pertencente ao plano s, cujas projeções frontais 
sejam paralelas entre si.
Se as retas a e b forem paralelas, então as suas pro jeções homó-
nimas são paralelas entre si – come ce mos pelas suas projeções 
frontais, paralelas entre si.
a2 – projeção frontal de uma reta a, oblíqua, per tencente 
ao plano r.
b2 – projeção frontal de uma reta b, pertencente ao plano 
s e eventualmente paralela à reta a.
Determinemos as projeções hori zontais das duas retas, de acordo com a condição para que uma reta 
pertença a um plano.
F e H – traços da reta a.
A reta a está definida por dois pontos – os pontos F e H.
F’ e H’ – traços da reta b.
A reta b está definida por dois pontos – os pontos F’ e H’.
As retas a e b não são paralelas (são enviesadas), pelo que 
não pertencem à mesma «família» de retas.
As retas a e fr são duas retas concor rentes do plano r. As retas b 
e fs são duas retas concorrentes do plano s. As retas fr e fs são 
pa ralelas entre si (pertencem à mesma «família» de retas, mas as 
retas a e b não).
Assim, os planos r e s não são paralelos, pois não se verifica o Critério de parale lismo entre planos – 
os dois planos têm, em comum, uma única «família» de retas (a «família» das retas fronto ‑horizontais). 
Em função disso mesmo, conclui ‑se que os planos r e s são planos secantes.
Salienta -se que a outra «família» de retas a que se recorreu poderia ser, por exemplo, a «família» das retas de perfil. Essa 
situação, no entanto, implicaria o recurso aos processos geométricos auxiliares. 
Uma outra forma de verificar o eventual paralelismo entre os dois planos, consiste em fazer com que os 
dois traços dos planos deixem de ser duas retas da mesma «família» de retas. Para tal seria necessário 
recorrer a uma mudança do diedro de projeção, de forma a transformar os dois planos de rampa em 
dois planos de topo (por exemplo). 
Nessa situação, e uma vez que os dois traços de um plano de topo são duas retas de «famílias» de retas 
diferentes, seria possível averiguar a situação de paralelismo dos dois planos, com a aplicação direta do 
Critério de Paralelismo entre planos, conforme em seguida se expõe.
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Consideremos os dois planos de rampa do estudo precedente (os planos r e s da página 24). Optemos por 
transformar os dois planos em planos de topo, com o recurso a uma mudança do diedro de projeção.
Um plano de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção. Assim, é necessário substituir o Plano Frontal 
de Projeção (o plano 2) por um outro plano de projeção (o plano 4), que seja ortogonal aos dois planos 
(e ortogonal aos respetivos traços horizontais).
O novo eixo X (o eixo X’) é a reta de interseção do plano 1 
(o plano que se manteve) com o plano 4 (o novo plano de 
projeção) – o eixo X’ é necessariamente perpendicular aos 
traços horizontais dos dois planos.
Na mudança do diedro de projeção efetuada, mantêm -se as pro-
jeções horizontais e as cotas e alteram -se as projeções frontais 
e os afastamentos.
Os traços horizontais dos dois planos mantêm ‑se, porque 
se situam no plano de projeção que se manteve (o plano 1). 
Determinemos, em seguida, os novos traços frontais dos 
dois planos.
Os novos traços frontais dos planos r e s (f4r e f4s) são retas, e para definir uma reta são necessários dois pontos ou 
um ponto e uma direção.
O novo traço frontal do plano r (f4r) é concorrente com hr 
num ponto do eixo X’.
Já temos um ponto para definir f4r – o ponto de concorrência 
dos traços do plano. Falta -nos outro ponto ou uma direção para 
definir f4r.
Recorreu ‑se a um ponto do traço frontal do plano r – o 
ponto A (A é um ponto de fr).
A4 – projeção do ponto A no plano 4.
f4r – novo traço frontal do plano r (traço do plano r no 
plano 4), que passa por A4.
f4r está definido por dois pontos – o ponto de concorrência dos dois 
traços do plano e A4.
O novo traço frontal do plano s (f4s) é concorrente com hs 
num ponto do eixo X’.
Já temos um ponto para definir f4s – o ponto de concorrência 
dos traços do plano. Falta -nos outro ponto ou uma direção para 
definir f4s.
Recorreu ‑se a um ponto do traço frontal do plano s – o 
ponto B (B é um ponto de fs).
B4 – projeção do ponto B no plano 4.
f4s – novo traço frontal do plano s (traço do plano s no 
plano 4), que passa por B4.
f4s está definido por dois pontos – o ponto de concorrência dos dois 
traços do plano e B4.
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Note que as novas projeções frontais dos pontos A e B (A4 e B4) se determinaram em função das respetivas cotas, que 
se mantiveram (ver Manual 10o ano, página 279).
Os planos r e s, no novo diedro de projeção, são dois planos de topo. Nessesentido, os seus traços hori‑
zontais (hr e hs) e os seus traços frontais (f4r e f4s) pertencem a duas «famílias» de retas diferentes, pelo 
que é possível a aplicação do Critério de Paralelismo entre planos de forma direta.
Os traços horizontais dos dois planos (hr e hs) são paralelos, mas os seus traços frontais (f4r e f4s) não 
são paralelos, pelo que os dois planos não são paralelos.
Vejamos, agora, como determinar os traços de um plano de rampa paralelo a um outro plano de rampa 
e passando por um ponto dado.
Sejam dados um plano r, de rampa, definido pelos seus 
traços, e um ponto P, exterior ao plano.
Os dois traços de um plano de rampa são duas retas paralelas, ou 
seja, são duas retas da mesma «família» de retas – a «família» das 
retas fronto -horizontais.
Pretendem ‑se os traços de um plano s, paralelo ao plano 
r e contendo o ponto P.
Os dois planos já têm em comum a «família» das retas fronto ‑horizontais. No entanto, para que sejam 
paralelos os dois planos têm de ter outra «família» de retas em comum (ver Critério de Paralelismo 
entre planos na página 21). 
Nesse sentido, e como anteriormente se referiu, a verificação do Critério de paralelismo entre planos 
de rampa obriga necessariamente ao recurso a uma outra reta do plano, para além dos seus traços, ou 
seja, o recurso a uma outra «família» de retas do plano, para além da «família» das retas fronto ‑horizontais.
Essa reta, porque pertence a uma «família» de retas diferente da «família» de retas dos traços do plano, 
terá necessariamente de ser uma reta concorrente com os traços do plano, pelo que não poderá ser uma 
reta fronto ‑horizontal.
Comecemos, pois, por representar as pro jeções de uma 
reta oblíqua, r, contida no plano r.
A reta r está definida por dois pontos – os pontos F e H.
A reta r, porque pertence ao plano r, tem os seus traços 
sobre os traços homónimos do plano – a reta r é concor‑
rente com fr no ponto F e concorrente com hr no ponto H.
Para que o plano s seja paralelo ao plano r, o plano s terá de conter uma reta paralela à reta r (a «família» de retas a 
que a reta r pertence), o que nos garantirá o paralelismo entre os dois planos. No entanto, há ainda que garantir que o 
ponto P pertença ao plano s.
RECORDANDO
Para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma reta que pertença ao plano.
 Ver Manual 10o ano, páginas 136 a 138 e 160/161.
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A reta s é a reta paralela à reta r que contém o ponto P.
A reta s está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direção 
(a direção da reta r).
Pelos traços da reta s conduziram ‑se os traços homó‑
nimos do plano s, paralelos ao eixo X (e aos traços do 
plano r).
O plano s é paralelo ao plano r, pois duas retas con cor ren tes do 
plano s (s e hs, por exemplo) são parale las a du as retas concorren-
tes do plano r (r e hr, res petiva mente). O ponto pertence ao plano 
s, pois pertence a uma reta do plano s – a reta s.
Os dois planos são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. 
Sublinha ‑se que a determinação dos traços do plano s se poderia ter processado, por exemplo, com o 
recurso a uma mudança do diedro de projeção, criando um diedro de projeção no qual os traços do 
plano r fossem retas de «família» de retas diferentes (à semelhança da situação anterior).
Por outro lado, a reta auxiliar a que se recorreu (a reta r) poderia, também, ser uma reta de perfil, o que 
implicaria, nesse caso, o recurso a um processo geométrico auxiliar (o do rebatimento do plano de perfil, 
por exemplo).
16. Sejam dados um plano l, oblíquo, e um ponto T ( –2; 1; 3). O plano l interseta o eixo X num ponto com 2 de 
abcissa, tem os seus traços coincidentes e o seu traço horizontal faz, com o eixo X, um ângulo de 45º (a.d.). 
Determine as projeções de uma reta m, passando pelo ponto T e paralela ao plano l, sabendo que a projeção 
horizontal da reta m é perpendicular ao traço horizontal do plano l.
17. Considere os dados do exercício anterior relativos ao ponto T e ao plano l. Determine os traços de um 
plano d, paralelo ao plano l e passando pelo ponto T.
18. São dadas duas retas, a e h. A reta a está definida pelos pontos A ( 3; 2; 1) e B ( 1; 1; 4). A reta h é horizontal (de 
nível), contém o ponto C ( –3; 2; 3) e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 60º (a.d.). Determine 
os traços de um plano a, sabendo que este contém a reta h e é paralelo à reta a.
19. São dados um ponto R ( –1; 4; 1) e uma reta p, de perfil. A reta p está definida pelos pontos A ( 2; 1; 4) e B ( 2; 2). 
Determine os traços de um plano r, de rampa, sabendo que o plano r contém o ponto R e é paralelo à reta p.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 69. a 76. do Livro de Exercícios.
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13. Sejam dados um ponto P ( 3; 2; 3) e um plano a, oblíquo. Os traços do plano a são concorrentes num ponto 
com –2 de abcissa – fa e ha fazem, com o eixo X, ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respetivamente. Determine 
os traços de um plano d, paralelo ao plano a e passando pelo ponto P.
14. São dados dois planos de rampa, r e s. Os traços frontal e horizontal do plano r têm, respetivamente, 2 cm 
de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano s têm, respetivamente, 4 cm de cota 
e 6 cm de afastamento. Averigue se os dois planos são paralelos.
15. Considere o plano r do exercício anterior. Seja dado um ponto M ( 2; 2). Determine os traços de um plano s, 
paralelo ao plano r e contendo o ponto M.
Sugere ‑se a resolução dos exercícios 47. a 68. do Livro de Exercícios. 
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RESOLUÇÕES NO CD
RESOLUÇÕES NO CD
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PARTE 3
DUPLA PROJEÇÃO 
ORTOGONAL – 
REPRESENTAÇÃO 
DIÉDRICA
PERPENDICULARIDADE
E ORTOGONALIDADE14
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Perpendicularidade e ortogonalidade
Em primeiro lugar, há que recordar a diferença entre perpendicularidade e ortogonalidade explicitada 
na página 18 do Manual do 10o ano da disciplina.
O conceito de perpendicularidade está necessariamente associ a do a retas concorrentes – só duas retas 
concorrentes é que podem ser perpendiculares. Duas retas perpendiculares são, assim, duas retas con‑
correntes que fazem, entre si, ân gulos de 90º. Duas retas não complanares (enviesadas) não poderão, 
nunca, ser chamadas de perpendiculares mas, antes, de ortogonais, caso sejam paralelas a duas retas 
perpendiculares. 
O conceito de ortogonalidade é, assim, bastante mais geral do que o de perpendicularidade, que é muito 
mais restrito – o conceito de perpendicularidade é exclusivo das retas concorrentes.
Esclareçamos melhor esta diferença. Considere dois planos ortogonais entre si, o Plano Frontal de Projeção 
e o Plano Horizontal de Projeção, por exemplo, como ilustra a figura que se segue.
O eixo X é uma reta que pertence a am bos os planos (é a 
reta de interseção dos dois planos).
A reta a é uma reta do Plano Hori zontal de Projeção e é 
perpendicu lar ao eixo X.
A reta a é uma reta de topo com cota nula.
A reta b é uma reta do Plano Frontal de Projeção e é paralela 
ao eixo X.
A reta b é uma reta fronto -horizontal com afasta mento nulo.
A reta a e o eixo X são perpendiculares, pois são, concor‑
rentes (são complanares) e fa zem, entre si, ângulos de 90º. 
As suas di reções são ortogonais. 
As retas a e b são apenas ortogonais, pois são não compla‑
nares e as suas direções são ortogonais.
Note que as retas a e b são retas não complanares, pois não são paralelas nem concorrentes. Exatamente por não serem 
concorrentes, as retas a e b não são perpendiculares – são apenas ortogonais.
Assim, conclui -se que retas ortogonais podem ou ser retas perpendiculares ou não (dependendo do facto de serem ou 
não concorrentes). Retas perpendiculares são necessa riamente retas ortogonais.
APRENDENDO
Umareta pode ser ortogonal a um plano, por exemplo, mas não se deve dizer que a reta é 
perpendicular ao plano, pois o conceito de perpendicularidade é exclusivo das retas concorrentes. 
De forma idêntica, dois planos podem ser ortogonais, mas não se deve dizer que dois planos são 
perpendiculares, pois o conceito de perpendicularidade é exclusivo das retas concorrentes.
PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 
ENTRE RETAS – CASOS PARTICULARES14.1
RECORDANDO
Duas retas dizem ‑se perpendiculares se são complanares e as suas direções são ortogonais. Duas retas 
são ortogonais se não são complanares e são paralelas a duas retas perpendiculares. Duas retas perpen‑
diculares são, assim, duas retas ortogonais que são concorrentes.
 Ver Manual 10o ano, página 18.
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Perpendicularidade e ortogonalidade entre retas em projeções 
– noções gerais
Ao iniciarmos o estudo da representação de retas perpendiculares e/ou ortogonais con vém recordar que 
o paralelismo entre retas se manifesta diretamente em projeções – retas paralelas têm as suas projeções 
homónimas paralelas entre si (ver página 8).
Ao contrário do paralelismo, a perpendicularidade e a ortogonalidade entre retas não se manifestam di‑
retamente em projeções, pois, frequentemente, retas perpendiculares ou orto gonais no espaço não apre‑
sentam qualquer situação de perpendicularidade em projeção. Este facto deve ‑se ao fator de deformação 
inerente a qualquer sistema de projeção, como ilustra a figura que se segue.
Na figura ao lado estão re pre sentadas duas retas – r e s – e as suas pro‑
jeções.
As retas r e s, no espaço, são perpendi cula res (são concorrentes no 
ponto P), mas as suas projeções não o são:
• r1 e s1 (as projeções horizontais das retas r e s) não são perpendi‑
culares;
• r2 e s2 (as projeções frontais das retas r e s) não são perpendiculares.
Os ângulos que as duas retas fazem, no espaço (ângulos retos), estão contidos 
num plano que não é paralelo a nenhum dos planos de projeção – o plano definido 
pelas duas retas.
Assim, esses ângulos não se projetam em verdadeira grandeza nem em proje-
ção horizontal (o plano que contém o ângulo não é paralelo ao Plano Horizontal de 
Projeção) nem em projeção frontal (o plano que contém o ângulo também não é 
paralelo ao Plano Frontal de Projeção), pelo que ambas as projeções do ângulo 
estão deformadas – nenhuma das projeções do ângulo tem 90º de amplitude.
A representação, em Dupla Projeção Ortogonal, de retas perpendiculares ou ortogonais em situações como a exposta 
(perpendicularidade ou ortogonalidade entre retas oblíquas), obriga ao recurso a raciocínios auxiliares, como adiante se 
estudará neste capítulo.
A situação é bastante diferente sempre que uma das retas for paralela a 
um dos planos de projeção, como ilustra a figura ao lado.
Na figura ao lado estão re pre sentadas duas retas (as retas r e h) e as 
respetivas projeções. As duas retas são per pendi cu lares entre si (são 
concorrentes no ponto P).
A reta r é uma reta oblíqua e a reta h é uma reta horizontal (de nível) – a 
reta h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção.
Analisemos as projeções das retas r e h:
• r2 e h2 (as projeções frontais das retas r e h) não são perpendiculares;
• r1 e h1 (as projeções horizontais das retas r e h) são efetivamente 
perpendiculares.
•	duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço não têm as suas projeções hori‑
zontais per pendiculares entre si e as suas projeções frontais perpendiculares entre si 
em simultâneo (exceto em algumas situações particulares que adiante se estudarão);
•	de forma idêntica, duas retas cujas projeções horizontais sejam perpendiculares entre si 
e cujas projeções frontais sejam perpendiculares entre si não são perpendicula res ou or‑
togonais no espaço (exceto em algumas situações particulares que adiante se estudarão).
CONCLUSÕES
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A figura anterior ilustra um teorema que é facilmente demonstrável e que se cha ma o «Teorema das três perpendi cula res».
Da análise da figura anterior, deduz ‑se que se duas retas são perpendicula res (ou ortogonais) entre si e 
uma delas é paralela ao Plano Horizontal de Projeção, as projeções horizontais das duas retas são 
efetiva mente perpendiculares entre si (a perpendicularidade ou ortogonalidade é direta em projeção 
horizontal).
De forma semelhante, é possível concluir que se duas retas são perpendicula res (ou ortogonais) entre si 
e uma delas é paralela ao Plano Frontal de Projeção, as projeções frontais das duas retas são efetiva‑
mente perpendiculares entre si (a perpendicularidade ou ortogonalidade é direta em projeção frontal).
Sugere -se que o aluno tente visualizar as duas situações referidas com o recurso, por exemplo, a instrumentos de escrita 
(duas lapiseiras como retas).
Analisemos o fundamento da situação atrás apresentada. Consideremos uma reta h, horizontal (de nível), e 
um ponto P, da reta, tal como a figura seguinte ilustra.
Existe, no espaço, uma infinidade de retas perpendiculares 
à reta h no ponto P, como se pode observar na figura ao 
lado – as retas n, r e s são três dessas retas. 
Todas es sas retas estão contidas num plano a, que é orto‑
gonal à reta h e que passa pelo ponto P – é um plano verti‑
cal (um plano projetante horizontal) que contém o ponto P.
O plano a é o lugar geométrico das retas do espaço que são per-
pendiculares à reta h no ponto P.
Como o plano a é projetante horizontal, o plano a pro jeta 
todas as suas retas no Plano Hori zontal de Projeção (sobre 
o seu traço horizontal). 
As projeções horizontais de todas as suas retas estão 
sobre ha (o traço horizontal do plano a), que é perpendi‑
cular a h1 (a projeção horizontal da reta h).
Retas horizontais (de nível) perpendiculares ou ortogonais
Sejam dados uma reta horizontal (de nível) h, definida pelas 
suas projeções, e um ponto P, exterior à reta.
Pretendem ‑se as projeções de uma outra reta horizontal 
(de nível) h’, ortogonal à reta h e pas sando pelo ponto P.
Note que não há nenhuma reta horizontal (de nível) que passe por P 
e que seja perpendicular à reta h, pois para que duas retas horizon-
tais (de nível) sejam concorren tes têm de ter a mesma cota (o ponto 
P e a reta h têm cotas diferentes).
•	se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si e uma delas é paralela a um 
dos planos de projeção, as projeções das duas retas nesse plano de projeção são efe‑
tivamente per pendiculares entre si (a perpendicularidade ou ortogonalidade é direta 
nesse plano de projeção).
CONCLUSÃO
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Retas horizontais (de nível) são paralelas ao Plano Horizon‑
tal de Projeção.
De acordo com o exposto na página ante rior, para que a 
reta h’ seja ortogonal à reta h, basta que as projeções hori‑
zontais das duas retas sejam perpen di culares entre si:
• h’1 é perpen dicular a h1 e passa por P1;
• h’2 contém P2 e é paralela ao eixo X (trata ‑se de uma 
reta horizontal).
A reta h’ está definida por um ponto (o ponto P) e uma direção (é 
ortogonal à reta h).
A reta h’ é a reta pedida, pois contém o ponto P e é ortogo‑
nal à reta h.
Salienta -se que as duas retas não são complanares (não são concorrentes), pelo que as retas h e h’ não são perpendiculares 
– as retas h e h’ são retas ortogonais.
Retas frontais (de frente) perpendiculares ou ortogonais
Retas frontais (de frente) são retas paralelas ao Plano Fron‑
tal de Projeção.
A figura ao lado representa duas retas frontais (de frente) f 
e f’, cujas projeções frontais são perpendiculares entre si.
As duas retas são não complanares, pois não são paralelas nem 
concorrentes.
De acordo com o«Teorema das três per pendiculares», as 
retas f e f’ são ortogo nais entre si, pois as projeções fron‑
tais das duas retas são perpendiculares entre si. 
Note que as retas não são concorrentes, pelo que não são perpen-
diculares – as retas f e f’ são retas ortogonais.
Reta perpendicular ou ortogonal a uma reta horizontal (de nível)
Sejam dados uma reta horizontal (de nível) h, definida pelas 
suas projeções, e um ponto P, exterior à reta.
Analisemos como determinar as projeções de uma reta r, 
passando pelo ponto P e que seja ortogonal ou perpendi‑
cular à reta h.
Para que a reta r seja ortogonal à reta h, as duas retas não serão 
concorrentes.
Já para que a reta r seja perpendicular à reta h, as duas retas terão 
de ser concorrentes.
A reta h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção.
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Para que a reta r seja perpendicular ou ortogonal à reta h, 
basta que r1 (a projeção horizontal da reta r) seja perpendi‑
cular a h1 (a projeção hori zontal da reta h):
• r1 passa por P1 e é perpendicular a h1.
Tendo em conta que a reta h é paralela ao Plano Hori zon tal de Pro-
jeção, a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta r e a 
reta h é direta em projeção horizontal (ver pági nas 31 e 32).
Comecemos por considerar que a reta r é ortogonal à reta h. 
Note que, a partir da projeção horizontal da reta r (r1), já se 
garantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção frontal da reta r poderá ter uma direção qualquer, 
pois a ortogonali dade entre as duas retas está assegu rada 
a partir da projeção horizontal da reta r (r1).
A reta r contém o ponto P e é ortogonal à reta h.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
Consideremos, agora, que a reta r é perpendicular à reta h.
Sublinha ‑se que, a partir da projeção horizontal da reta r 
(r1), já se garantiu a perpendicularidade entre as duas retas.
Para que as duas retas sejam perpendiculares, as duas re‑
tas têm de ser concorrentes. Nesse sentido, determinaram‑
‑se as projeções do ponto de concorrência – o ponto M. 
A projeção frontal da reta r (r2) passa pelas projeções frontais dos 
pontos P e M (P2 e M2) – a reta r está definida por dois pontos (P e M).
A reta r contém o ponto P e é perpendicular à reta h.
Note que as duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes.
Consideremos, agora, a situação das retas de topo. Recorde que uma reta de topo é um caso particular 
das retas horizontais (de nível) – trata ‑se de uma reta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal 
de Projeção (ver Manual 10o ano, páginas 105 a 107).
Sejam dados uma reta t, de topo, e um ponto P, exterior à 
reta.
Analisemos como determinar as projeções de uma reta 
qualquer, passando pelo ponto P e que seja ortogonal ou 
perpendicular à reta t.
Para que a reta seja ortogonal à reta t, as duas retas não serão 
concorrentes.
Já para que a reta seja perpendicular à reta t, as duas retas terão 
de ser concorrentes.
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r1
h2
h1
P2
P1
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r1
h2
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A reta t é paralela ao Plano Horizontal de Projeção.
Qualquer reta ortogonal ou perpendicular à reta t terá a sua projeção horizontal perpendi cular à projeção horizontal da reta 
t (ver pági nas 31 e 32).
Nesse sentido, a projeção horizontal da reta pretendida tem 
de ser perpendicular a t1.
Conduzindo por P1 uma reta perpendicu lar a t1, observa -se que a 
reta pedida será necessari a mente uma reta frontal (a sua proje-
ção hori zontal é paralela ao eixo X).
f1 – projeção horizontal da reta ortogonal à reta t (trata ‑se 
de uma reta frontal).
Tendo em conta que a reta t é paralela ao Plano Hori zon tal de Proje-
ção, a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta f e a reta 
t é direta em projeção horizontal.
Comecemos por considerar que a reta f é ortogonal à reta t. 
Note que, a partir da projeção horizontal da reta f (f1), já se 
garantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção frontal da reta f poderá ter uma direção qualquer, 
pois a ortogonali dade entre as duas retas está assegu rada 
a partir da projeção horizontal da reta f (f1).
A reta f contém o ponto P e é ortogonal à reta t.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
Consideremos, agora, que a reta f é perpendicular à reta t.
Sublinha ‑se que, a partir da projeção horizontal da reta f 
(f1), já se garantiu a perpendicularidade entre as duas retas.
Para que as duas retas sejam perpendiculares, as duas re‑
tas têm de ser concorrentes. Nesse sentido, determinaram‑
‑se as projeções do ponto de concorrência – o ponto M. 
A projeção frontal da reta f (f2) passa pelas projeções frontais dos 
pontos P e M (P2 e M2) – a reta f está definida por dois pontos (P e M).
A reta f contém o ponto P e é perpendicular à reta t.
Note que as duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes.
•	se duas retas são perpendiculares ou ortogonais e uma delas é paralela ao Plano 
Horizontal de Pro jeção, as projeções horizontais das duas retas são perpendiculares 
entre si (a perpendicularidade ou ortogonalidade é direta em projeção horizontal).
CONCLUSÃO
(t )2
t1
f2
f1
P2
P1
X
M1
M2(t )2
t1
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X
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Reta perpendicular ou ortogonal a uma reta frontal (de frente)
Sejam dados uma reta frontal (de frente) f, definida pelas 
suas projeções, e um ponto P, exterior à reta.
Analisemos como determinar as projeções de uma reta r, 
passando pelo ponto P e que seja ortogonal ou perpendi‑
cular à reta f.
Para que a reta r seja ortogonal à reta f, as duas retas não serão 
concorrentes.
Já para que a reta r seja perpendicular à reta f, as duas retas terão 
de ser concorrentes.
A reta f é paralela ao Plano Frontal de Projeção.
Para que a reta r seja perpendicular ou ortogonal à reta f, 
basta que r2 (a projeção frontal da reta r) seja perpendicular 
a f2 (a projeção frontal da reta f):
• r2 passa por P2 e é perpendicular a f2.
Tendo em conta que a reta f é paralela ao Plano Frontal de Projeção, 
a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta r e a reta f é 
direta em projeção frontal (ver pági na 32).
Comecemos por considerar que a reta r é ortogonal à reta f. 
Note que, a partir da projeção frontal da reta r (r2), já se 
garantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção horizontal da reta r poderá ter uma direção 
qualquer, pois a ortogonali dade entre as duas retas está 
assegu rada a partir da projeção frontal da reta r (r2).
A reta r contém o ponto P e é ortogonal à reta f.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
Consideremos, agora, que a reta r é perpendicular à reta f.
Sublinha ‑se que, a partir da projeção frontal da reta r (r2), já 
se garantiu a perpendicularidade entre as duas retas.
Para que as duas retas sejam perpendiculares, as duas re‑
tas têm de ser concorrentes. Nesse sentido, determinaram‑
‑se as projeções do ponto de concorrência – o ponto M. 
A projeção horizontal da reta r (r1) passa pelas projeções horizon-
tais dos pontos P e M (P1 e M1) – a reta r está definida por dois 
pontos (os pontos P e M).
A reta r contém o ponto P e é perpendicular à reta f.
Note que as duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes.
r2
r1
f2
f1
P2
P1
X
r2
r1
f2
f1
P2
M2
P1
M1
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Consideremos, agora, a situação das retas verticais. Recorde que uma reta vertical é um caso particular 
das retas frontais (de frente) – trata ‑se de umareta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de 
Projeção (ver Manual 10o ano, páginas 109 a 111).
Sejam dados uma reta v, vertical, e um ponto P, exterior à 
reta.
Analisemos como determinar as projeções de uma reta 
qualquer, passando pelo ponto P e que seja ortogonal ou 
perpendicular à reta v.
Para que a reta seja ortogonal à reta v, as duas retas não serão 
concorrentes.
Já para que a reta seja perpendicular à reta v, as duas retas terão 
de ser concorrentes.
A reta v é paralela ao Plano Frontal de Projeção.
Qualquer reta ortogonal ou perpendicular à reta v terá a sua projeção frontal perpendi cular à projeção frontal da reta v (ver 
pági na 32).
Nesse sentido, a projeção frontal da reta preten dida tem de 
ser perpendicular a v2.
Conduzindo por P2 uma reta perpendicu lar a v2, observa -se que a 
reta pedida será necessari a mente uma reta horizontal (a sua pro-
jeção frontal é paralela ao eixo X).
h2 – projeção frontal da reta ortogonal à reta v (trata ‑se de 
uma reta horizontal).
Tendo em conta que a reta v é paralela ao Plano Frontal de Projeção, 
a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta h e a reta v é 
direta em projeção frontal.
Comecemos por considerar que a reta h é ortogonal à reta v. 
Note que, a partir da projeção frontal da reta h (h2), já se 
garantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção horizontal da reta h poderá ter uma direção 
qualquer, pois a ortogonali dade entre as duas retas está 
assegu rada a partir da projeção frontal da reta h (h2).
A reta h contém o ponto P e é ortogonal à reta v.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
Consideremos, agora, que a reta h é perpendicular à reta v. Sublinha ‑se que, a partir da projeção frontal da 
reta h (h2), já se garantiu a perpendicularidade entre as duas retas.
Para que as duas retas sejam perpendiculares, as duas re‑
tas têm de ser concorrentes. Nesse sen tido, determinaram‑
‑se as projeções do ponto de concorrência – o ponto M. 
A projeção horizontal da reta h (h1) passa pelas pro jeções horizon-
tais dos pontos P e M (P1 e M1) – a reta h está definida por dois 
pontos (os pontos P e M).
A reta h contém o ponto P e é perpendicular à reta v. 
Note que as duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes.
M2
v2
h2
M 1 (v )1
h1
P2
P1
X
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Reta perpendicular ou ortogonal a uma reta fronto ‑horizontal
Sejam dados uma reta g, fronto ‑horizon tal, e um ponto P, 
exterior à reta.
Pretendem ‑se as projeções de uma reta r, ortogonal à reta 
g e passando pelo ponto P.
Para que sejam apenas ortogonais, as duas retas não serão con-
correntes.
Uma reta fronto ‑horizontal é, simultaneamente, um caso particular das retas horizon tais (de nível) e um 
caso particular das retas frontais (de frente) – ver Manual 10o ano, páginas 107/108 e 111. Assim, este pro‑
blema admite soluções distintas, conforme se considere a reta g como um caso particu lar das retas frontais 
(de frente) ou como um caso particular das retas horizontais (de nível). 
Consideremos a reta g como um caso particular das retas horizontais (de nível), pois a reta g é paralela 
ao Plano Horizontal de Projeção.
Qualquer reta ortogonal ou perpendicular à reta g terá a sua projeção horizontal perpendi cular à projeção horizontal da reta 
g (ver pági nas 31 e 32).
Nesse sentido, a projeção horizontal da reta r (r1) tem de 
ser perpendicular a g1.
Conduzindo por P1 uma reta perpendicu lar a g1, observa -se que a 
reta pedida será necessari a mente uma reta de topo ou uma reta 
de perfil (a sua projeção hori zontal é perpendicular ao eixo X).
r1 – projeção horizontal da reta ortogonal à reta g (trata ‑se 
de uma reta de topo ou de uma reta de perfil).
Tendo em conta que a reta g é paralela ao Plano Hori zon tal de Pro-
jeção, a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta r e a 
reta g é direta em projeção horizontal.
Comecemos por considerar que a reta r é uma reta de 
topo (uma reta projetante frontal).
Recorde que, a partir da projeção horizontal da reta r (r1), já se ga-
rantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção frontal da reta r é um ponto, que está coinciden‑
te com a projeção frontal do ponto P – P2 ≡ (r2). 
A reta r contém o ponto P e é ortogonal à reta g.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
•	se duas retas são perpendiculares ou ortogonais e uma delas é paralela ao Plano Fron‑
tal de Pro jeção, as projeções frontais das duas retas são perpendiculares entre si (a 
perpendicularidade ou ortogonalidade é direta em projeção frontal).
CONCLUSÃO
r1
g2
g1
P (r )2 2
P1
X
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Consideremos, agora, que a reta r é uma reta de perfil.
Sublinha -se que, a partir da projeção horizontal da reta r (r1), já se 
garantiu a ortogona lidade entre as duas retas
A projeção frontal da reta r (r2) está coincidente com a sua 
projeção horizontal (r1) – r1 ≡ r2.
No entanto, para definir a reta r (de perfil) é necessário um 
outro ponto, para além do ponto P. Esse ponto (o ponto M, 
por exemplo) não pode pertencer à reta g, para garantir 
que as retas são ortogonais e não perpendiculares.
M – um ponto qualquer da reta r, que não per tence à reta g.
Note que se garantiu que a reta que passa pelos pontos P e M não 
é concorrente com a reta g.
A reta r contém o ponto P e é ortogonal à reta g.
Sublinha -se que o ponto M não pertence à reta g, pois não verifica a condição para que um ponto pertença a uma reta em 
relação à reta g. Por outro lado, o ponto M garante, ainda, que não haverá nenhum ponto de concorrência entre as duas 
retas (caso M1 não se situasse sobre g1, poderia haver um outro ponto de concorrência entre as duas retas, que não fosse 
o ponto M). 
Consideremos, agora, que a reta g é um caso particular das retas frontais (de frente), pois a reta g é 
paralela ao Plano Frontal de Projeção.
Qualquer reta ortogonal ou perpendicular à reta g terá a sua projeção frontal perpendi cular à projeção frontal da reta g (ver 
pági na 32).
Nesse sentido, a projeção frontal da reta r (r2) tem de ser 
perpendicular a g2.
Conduzindo por P2 uma reta perpendicu lar a g2, observa -se que a 
reta pedida será necessari a mente uma reta vertical ou uma reta 
de perfil (a sua projeção frontal é perpendicular ao eixo X).
r2 – projeção frontal da reta ortogonal à reta g (trata ‑se de 
uma reta vertical ou de uma reta de perfil).
Tendo em conta que a reta g é paralela ao Plano Frontal de Proje-
ção, a perpendicularidade (ou ortogona li dade) entre a reta r e a reta 
g é direta em projeção frontal.
Comecemos por considerar que a reta r é uma reta vertical (uma reta projetante horizontal).
Recorde que, a partir da projeção frontal da reta r (r2), já se garantiu 
a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção horizontal da reta r é um ponto, que está coin‑
cidente com a projeção horizontal do ponto P – P1 ≡ (r1). 
A reta r contém o ponto P e é ortogonal à reta g.
Note que as duas retas são apenas ortogonais, pois não são con‑
correntes.
r r1 2
g2
g1
P2
M2
P1
M1
X
r2
g2
g1
P2
P (r )1 1
X
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Consideremos, agora, que a reta r é uma reta de perfil.
Sublinha -se que, a partir da projeção frontal da reta r (r2), já se ga-
rantiu a ortogona lidade entre as duas retas.
A projeção horizontal da reta r (r1) está coinci dente com a 
sua projeção frontal (r2) – r2 ≡ r1.
No entanto, para definir a reta r (de perfil) é necessário um 
outro ponto, para além do ponto P. Esse ponto (o ponto M, 
por exemplo) não pode pertencer à reta g, para garantir 
que as retas são ortogonais e não perpendiculares.