Geometria Espacial de Posição

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Prof.: Paulo Cesar Costa 
Geometria Espacial de 
Posição 
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 Noções primitivas 
POSTULADOS 
 Postulados da existência 
 Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. 
 Num plano e fora dele existem infinitos pontos. 
 Postulados da determinação 
 Dois pontos distintos determinam uma reta. 
 Três pontos não colineares determinam um plano. 
 Postulado da inclusão 
Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela 
está contida no plano. 
 Postulado de Euclides (ou postulado das paralelas) 
Por um ponto fora da reta passa uma única paralela à reta dada. 
 OBS: geometrias não-euclidianas 
Riemann transformou o plano euclidiano em uma superfície 
esférica, adotando as retas como sendo circunferências 
máximas e modificou o postulado das paralelas: por um ponto 
fora de uma reta não existe qualquer reta paralela à reta dada. 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
a) duas retas são coplanares ou são reversas. 
b) duas retas concorrentes são coplanares. 
c) duas retas coplanares são concorrentes. 
d) duas retas não coplanares são reversas. 
e) duas retas paralelas não tem ponto comum. 
f) duas retas que não tem ponto comum são paralelas. 
g) duas retas que tem um ponto comum são concorrentes. 
h) duas retas que não tem um ponto comum são reversas. 
i) duas retas coplanares são paralelas ou concorrentes. 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
1. por três pontos não-colineares 
2. por uma reta e um ponto fora dela 
3. por duas retas concorrentes 
4. Por duas retas paralelas e distintas 
DETERMINAÇÃO DE PLANOS 
POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E PLANO 
1. reta contida no plano 
3. Reta paralela ao plano 
2. reta secante ao plano 
. P 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum. 
Uma reta e um plano que têm um ponto comum são secantes. 
Uma reta e um plano que não tem ponto comuns são paralelos. 
Uma reta e um plano paralelos não tem ponto comum 
Se uma reta e um plano possuem dois pontos distintos comuns, a 
reta está contida no plano. 
Se um reta é paralela a um plano e por um ponto do plano 
traçarmos uma reta paralela à reta dada, então a reta traçada está 
contida no plano. 
Se, de duas reta paralelas distintas, uma é paralela a um plano, 
então a outra é paralela a esse plano ou está contida nele. 
Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então uma reta é 
paralela à outra. 
Uma reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse 
plano. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
Uma reta paralela a um plano é paralela à infinitas retas desse 
plano. 
Se um plano é paralelo a uma reta, então toda reta desse plano é 
reversa à reta dada.. 
Dado uma reta e um plano, existe no plano uma reta paralela à reta 
dada. 
Dadas duas retas distintas, existe um plano que contém uma delas e 
é paralelo à outra 
Por um ponto fora de uma reta existe um único plano paralela a ela. 
Dados uma reta e um plano paralelos, existe no plano uma reta 
concorrente com a reta dada. 
Por um ponto fora de um plano existem infinitas retas paralelas a 
esse plano. 
j) 
 
k) 
 
l) 
 
m) 
 
n) 
o) 
 
p) 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS 
 
 
 
 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é 
concorrente com o outro. 
Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser 
concorrente com uma reta do outro. 
Se dois planos são secantes, então um reta de um deles pode ser 
reversa com uma reta do outro. 
Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é 
paralela ao outro. 
Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra 
do outro podem ser concorrentes. 
Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é 
paralela a qualquer reta do outro. 
Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um e uma reta 
do outro são reversas ou paralelas . 
Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são 
paralelos. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
Se dois planos são paralelos a uma reta, então são perpendiculares 
entre si. 
Se um plano contém duas retas distintas paralelas a um outro 
plano, então esses planos são paralelos. 
i) 
 
j) 
 
DEFINIÇÕES 
 Retas perpendiculares 
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e 
formam um ângulo reto. 
 Retas oblíquas 
Duas retas são oblíquas quando são concorrentes e não 
perpendiculares 
 Retas ortogonais 
Duas retas são ortogonais quando são reversas e formam um 
ângulo reto. 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes. 
Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares. 
Se duas retas são perpendiculares, então elas formam um ângulo 
reto. 
Se duas retas são ortogonais, então elas formam um ângulo reto. 
Duas retas que formam um ângulo reto podem ser reversas. 
Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares 
entre si. 
Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. 
Se duas retas formam um ângulo reto, toda paralela a uma delas 
forma ângulo reto com a outra. 
a) 
b) 
c) 
 
d) 
e) 
f) 
 
g) 
h) 
 
DEFINIÇÕES 
 Reta perpendicular ao plano 
Considere um reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-
se que r é perpendicular a α quando for perpendicular a todas as 
retas do plano que passam por O. 
 Reta oblíqua ao plano 
Considere uma reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-
se que r é oblíqua a α quando não for perpendicular ao plano 
α 
r perpendicular a α r oblíqua a α 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessários 
que eles sejam secantes. 
Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com 
qualquer reta do plano. 
Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas distintas de um 
plano, então ela é perpendicular ao plano. 
Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um 
plano, então ela está contida no plano. 
Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é 
perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é 
perpendicular ao plano. 
Se uma reta forma um ângulo reto com duas retas de um plano, 
distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao 
plano. 
Duas retas reversas são paralelas a uma plano. Toda reta ortogonal 
a ambas é perpendicular ao plano. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
g) 
DEFINIÇÕES 
 Planos perpendiculares 
Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são 
perpendiculares quando um deles possuir uma reta perpendicular 
ao outro. 
 Planos oblíquos 
Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são 
oblíquos quando não forem perpendiculares. 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares. 
Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes. 
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é 
perpendicular ao outro. 
Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único 
plano, perpendicular ao plano dado. 
Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares 
entre si. 
Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são 
paralelos. 
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a 
um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro. 
Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um delels 
é perpendicular ao outro. 
a) 
b) 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 Obs 
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto 
das projeções ortogonaisdos pontos da figura sobre esse plano. 
DEFINIÇÃO 
 Projeção ortogonal 
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da 
perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. 
. 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano e um ponto. 
A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. 
A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um 
segmento. 
A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o 
plano, é menor que o segmento. 
A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido 
numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou 
congruente a ele. 
Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele 
é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele. 
Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções 
ortogonais sobre qualquer plano são congruentes. 
Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são 
paralelas, então as retas são paralelas. 
a) 
b) 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 Distância entre ponto e reta 
DISTÂNCIAS 
 Distância entre dois pontos 
 Se A e B coincidem, a distância entre eles é nula. 
 Se A e B são distintos, a distância entre eles é o segmento AB. 
 Distância entre duas retas paralelas 
 Distância entre ponto e plano 
 Distância entre reta e plano paralelos 
 Distância entre dois planos paralelos 
 Distância entre duas retas reversas 
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F): 
Se PA é um segmento oblíquo a um plano α, com A em α, então a 
distância entre P e A é a distância entre P e α. 
A distância entre um ponto e um plano é a distância entre o ponto e 
qualquer ponto do plano. 
A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao 
plano pelo ponto. 
A distância de um ponto P a um plano α é a distância de P ao ponto 
P´ de interseção de α com a reta r, perpendicular a α, por P. 
A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre 
um ponto qualquer do plano e a reta. 
A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre 
um ponto qualquer da reta e um ponto qualquer do plano. 
A distância entre a reta e plano paralelos é a distância entre um 
ponto qualquer da reta e o plano. 
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto 
qualquer de um e um ponto qualquer de outro. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância 
entre uma reta de um deles e o outro plano. 
A distância entre duas retas reversas é a distância entre uma e um 
ponto qualquer de uma e a outra reta. 
i) 
 
j) 
 
** FIM **