2_LISTA_DE_EXERCÍCIOS_DE_GA_ retas, planos e distâncias

Prévia do material em texto

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE G.A. 
 
1)Determine a equação do plano que passa pelo 
ponto A = (3, 5, 0) e é ortogonal aos planos 
𝛼: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 − 2 = 0 e 𝜋: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 
 
2)Em relação a um sistema ortogonal de 
coordenadas, sejam 
r : x = (1, 1, 2) + t(0, 1, 1) 
S: x + 2 = y + z = z + 1 
T {
𝑥 + 𝑧 − 3 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
 
 Mostre que existe um único ponto comum a 
essas três retas e calcule o volume do tetraedro 
determinado por elas e pelo plano 𝜋: x + y – 3z 
= 0. 
 
3)Sejam o ponto P = (2, -1, 1) e a reta r: 
𝑥−1
2
=
𝑦+1
0
=
𝑧
1
, obtenha: 
a) A reta t que passa por P e intercepta 
ortogonalmente a reta r; 
b) O ponto de interseção de r e t; 
c) A distância do ponto P à reta r. 
 
4)Sendo r1:{
𝑥 + 𝑧 − 2 = 0
𝑦 − 1 = 0
 e r2:{
𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
𝑧 − 1 = 0
 
calcular: 
a) A distância entre as retas r1 e r2; 
b) Os pés da normal comum; 
c) A normal comum às retas r1 e r2. 
 
5)Obter a equação do plano que contém a reta: 
 R:{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0
 e seja paralelo ao eixo 
das abscissas. 
 
 
6)Obter as equações simétricas das retas que 
passem pelo ponto A= ( 0, 0, 1), distem 
√2
2
 da 
origem do sistema cartesiano e sejam paralelas 
ao plano x – y + 2 = 0 
 
7)Calcular a distância do ponto A = (1, 2, 0) à 
reta 
r: {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 2 = 0
 
 
8)Qual é o simétrico do ponto P = (3, 7, 0) em 
relação ao plano x + 2y – z = 5? 
 
9)Achar a equação do plano que passa pela reta 
r: {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
 e é paralelo à reta 
S: 
𝑥+1
1
=
𝑦
2
=
𝑧+2
7
 
 
10)Achar as equações simétricas da reta que 
passe pelo ponto A = (1, 0, 2), seja paralela ao 
plano 𝛼: x – z + 2 = 0 e forme um ângulo de 
𝜋
6
 
rad. com o plano 𝛽: x + y – z + 4 = 0. 
 
11)Duas partículas realizam movimentos 
descritos pelas equações x = (0, 0, 0) + t(1, 2, 4) 
e 
X = (1, 0, -2) + t(-1, -1, -1), t ∈ 𝑅. As trajetórias 
são concorrentes? Pode haver colisão das 
partículas em algum instante? 
 
Em relação a um sistema ortogonal de 
coordenadas, sejam r : x = (1, 1, 2) + t(0, 1, 1) 
S: x + 2 = y + z = z + 1 
T {
𝑥 + 𝑧 − 3 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
 
 Mostre que existe um único ponto comum a 
essas três retas e calcule o volume do tetraedro 
determinado por elas e pelo plano 𝜋: x + y – 3z 
= 0. 
 
 
12) Sabendo-se os pontos A = (0,1, 2), B = (1, 1, 
3) e C=(1, 3, 4), calcule: 
a) A área da projeção de ortogonal do 
triângulo ABC sobre o plano orientado 
por �⃗� = 𝑖 + 𝑗 ; 
b) A área da projeção de ABC sobre o 
mesmo plano, porém segundo a 
direção do vetor 𝑣 = 2𝑖⃗⃗ ⃗ + �⃗� ; 
 
13)Escrever as equações dos planos que 
contém a reta r {
𝑥 − 𝑧 = 0
𝑦 − 2 = 0
 e que formam com o 
plano 
𝛼: x + y + z -1 = 0 um ângulo de 60º. 
 
 
14)Determinar as equações simétricas da reta r 
sabendo-se que passa pelo ponto P=(3, 5, 2) e 
é concomitante ortogonal ao eixo e à reta 
s:
𝑥−1
0
=
𝑦−3
−2
=
𝑧+1
1
. 
 
15) 
Sendo r1:{
𝑥 + 𝑧 − 2 = 0
𝑦 − 1 = 0
 e r2:{
𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
𝑧 − 1 = 0
 
calcular: 
d) A distância entre as retas r1 e r2; 
e) Os pés da normal comum; 
f) A normal comum às retas r1 e r2. 
 
16)Obter as equações da reta r tais que: 
 passe por P =(- 2, - 3, 5); 
 seja paralela ao plano : 2x-z+3=0; 
 intercepta a reta S:{
𝑥 = 𝑧 − 2
𝑦 = 3
 
 
 
Determinar a equação do plano que passa pela 
reta , r: {
3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0
𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 + 4 = 0
 é paralelo à reta 
s: 
𝑥−1
3
=
𝑦−5
3
=
𝑧+1
−3
 
 
17)Dada a figura abaixo, onde o plano 𝛼 é 
paralelo ao eixo z e o plano 𝛽 é paralelo ao 
plano xy, A reta é a interseção de 𝛼 e 𝛽. Pede-
se: 
a) equações simétricas de r; 
b) equação do planos 𝛽 
 
 
 
18)Dadas as retas 𝛼 : {
𝑥
1
=
𝑦−1
0
=
𝑧−1
1
 e 𝛽: 
𝑥−1
1
=
𝑦−2
1
=
𝑧−1
2
, calcule: 
a) a distância entre as retas 𝛼 e 𝛽; 
b) a reta r, perpendicular comum às retas 
𝛼 e 𝛽 
 
 
19) Considere as retas r e s dadas por: 
r: x=0, y =2 + t e z = 1 + t 
l: x-2 = z +1 e y =3. 
a) Mostre que r e l são reversas; 
b) Encontre os planos 𝜋 𝑒 𝛼 tais que r C 𝜋 
, l C 𝛼 e 𝜋 é paralelo a 𝛼. 
c) Encontre a distância entre os planos 
𝜋 𝑒 𝛼. 
d) Encontre P em r e Q em l tais que a 
reta que passa por P e Q seja 
perpendicular a r e l. 
 
20)Determinar a distância d do plano 3x − 12y + 
4z − 3 = 0 ao ponto A =(3,−1, 2) pelo seguinte 
processo: 
Encontrar o ponto B , pé da perpendicular desde 
A até o plano. Então determinar d como o 
comprimento do segmento AB. 
 
21)Decomponha o vetor v = (1, 2, 4) em duas 
parcelas, sendo uma delas paralela ao plano 
X = (1, 1, 0) + X(1, 0, 1) + p(0, 1, -1) e outra 
paralela a reta X = (0, 0, 0) + v (2, 1,0). 
 
22)Determine a equação geral do plano que 
passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paralelo aos 
vetores 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 − �⃗� . e �⃗� = 𝑖 + 𝑗 − 2�⃗� . 
 
23)Estude a posição relativa da reta r : 
{
𝑥 = 2𝑡 − 2
𝑦 = 3𝑡 + 5
𝑧 = −2𝑡 + 1
 com o plano 𝛼: 3 x – 2 y + 8 z + 40 
= 0. 
 
24) Dados o plano 𝜋 : x + 2 y – 3 z + 3 = 0 e a 
reta : {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 5 − 3𝑡
𝑧 = 1
 
a) Determine a interseção da reta com o plano. 
b) Determine a projeção ortogonal do ponto A = 
(0, 5, 1) sobre o plano. 
c) Determine as equações normais da reta r’, 
simétrica de r em relação ao plano. 
 
25)Encontrar a projeção ortogonal da reta r: x = 
y -1 = z -2 sobre o plano coordenado xy. 
 
 
 
26) Sejam o ponto P = (2, -1, 1) e a reta r: 
𝑥−1
2
=
𝑦+1
0
=
𝑧
1
, obtenha: 
a) A reta t que passa por P e intercepta 
ortogonalmente a reta r; 
b) O ponto de interseção de r e t; 
c) A distância do ponto P à reta r. 
 
 
 
27)Escrever as equações dos planos que 
contém a reta r {
𝑥 − 𝑧 = 0
𝑦 − 2 = 0
 e que formam com o 
plano 
𝛼: x + y + z -1 = 0 um ângulo de 60º.