AULA 02 - CAMPO MAGNÉTICO, FORÇA MAGNÉTICA E INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA_LIC_QUÍ_IFPR_2022

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A definição do vetor campo magnético B é feita em função da força magnética FB
que age sobre uma partícula carregada q ao entrar em um campo magnético com
velocidade v. Ou seja:
(1).B
F
B
q v
=
A partir da eq. (1) podemos determinar a força magnética FB como:
x (2).BF q v B=
Do produto vetorial a eq. (2), o módulo de FB é escrito como:
(3).BF q v B sen= 
2
De acordo com a eq.(3) o módulo da força FB que age sobre uma partícula na presença de
um campo magnético é proporcional à carga q e à velocidade v a partícula. Assim:
A força é zero se a carga é zero ou se a partícula está parada;
A força é zero se v e B são paralelos (θ = 0º) ou antiparalelos (θ = 180º);
A força é máxima quando v e B são perpendiculares.
Se q POSITIVA Se q NEGATIVA
3
4
A força FB que age sobre uma partícula carregada que se move com velocidade v na
presença de um campo magnético B é sempre perpendicular a v.
Unidade de medida no SI de B
1 tesla = 1 T = 1
( )( / )
newton
coulomb metro segundo
Pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem e pólos de nomes iguais se 
repelem.
5
6
7
8
9
Dipolo Magnético Linhas de campo magnético 
saem do pólo norte e entram no pólo sul.
10
1 – Um elétron se move pelo espaço como um raio cósmico com uma velocidade de 8,0 x
106 m/s ao longo do eixo x. Na sua localização, o campo magnético da Terra tem uma
magnitude de 0,050 mT e é direcionado em um ângulo de 60º para o eixo x, situado no plano
xy. Calcule a força magnética sobre o elétron. Dado: e = 1,6 x 10-19 C.
11
FB = 5,5 x 10
-17 N
2 – Um próton em um acelerador de partículas tem uma velocidade de 5,0 x 106 m/s. O próton
encontra um campo magnético cujo módulo é 0,40 T e cuja direção faz um ângulo θ = 30º em
relação à velocidade do próton. Encontre o módulo e a direção (a) da força magnética sobre o
próton e (b) da aceleração do próton. (c) Quais seriam a força e a aceleração se a partícula
fosse um elétron em vez de um próton? Dados: e = 1,6 x 10-19 C;
me = 9,11 x 10
-31 kg; mp = 1,67 x 10
-27 kg.
12
(a) FB = 1,6 x 10
-13 N, Vertical para cima
(b) ap = 9,6 x 10
13 m/s2
(c) Mesma força FB = 1,6 x 10
-13 N, Vertical
para baixo
ae = 1,76 x 10
17 m/s2
3 – Um campo magnético uniforme B, com módulo de 1,2 mT, é direcionado verticalmente
para cima por todo o volume de uma câmara de vácuo em um laboratório. Um próton com
energia cinética de 5,3 MeV entra na câmara, movendo-se horizontalmente de sul para norte.
(a) Que força magnética de deflexão atua sobre o próton quando ele entra na câmara? (b) Qual
é a aceleração do próton?
13
(a) FB = 6,1 x 10
-15 N
(b) ap = 3,65 x 10
12 m/s2
Ԧ𝑣
FB
𝐵
O L
S
N
Michael Faday (1791-1867)
Físico e Químico britânico
Experimento 1 (1831)
Experimento 2 (Posteriormente)
Neste sentido, a corrente produzida na
espira é a corrente induzida, trabalho
realizado por unidade de carga para
produzi-la é a fem induzida (ξ) e o
processo de produção da corrente e da fem
é a indução. 15
. cos (1).B B d A BA = = 
A
Para um campo magnético constante a eq. (1)
fica,
A quantidade de campo magnético que atravessa
uma espira é determinado de forma análoga ao
fluxo de campo elétrico. Assim, o fluxo magnético
através de uma área A associada a uma espira é
dado por:
(2).B BA =
O fluxo do campo magnético é um escalar, e sua unidade no SI é o tesla.metro
quadrado (T.m2), chamado weber (Wb). Assim,
21 weber = 1 T. m (3).
16
“A intensidade da fem ξ induzida em uma espira condutora é igual 
à taxa na qual o fluxo magnético ΦB através dessa espira varia com 
o tempo”.
A partir da noção de fluxo magnético, a lei de Faraday é enunciada de maneira mais
quantitativa e útil como:
Matematicamente,
(4)B
d
dt

= −
com o sinal negativo indicando uma oposição à variação do fluxo.
Para uma bobina contendo N espiras muito próximas (enrolamento compacto), o
mesmo fluxo magnético ΦB atravessa todas as espiras e a força eletromotriz total
induzida é dada por
(5).B
d
N
dt

= −
17
Uma fem é induzida por um fluxo magnético
variável mesmo que a espira através do qual o
fluxo esteja variando não seja um condutor
físico, mas uma linha imaginária. O campo
magnético variável induz um campo elétrico E
em cada ponto da espira imaginária.
O trabalho realizado sobre a carga de teste
q0 realizar uma revolução é:
q0
0. (6).W q= 
Da definição de campo elétrico podemos
escrever F = E.q0. Então, de um outro
ponto de vista, o trabalho é:
0. .W F d s E d s q= = 
0( ).(2 ) (7).W q E r= 
18
Igualando (6) com (7), obtemos:
0 0 2q q E r= 
2 (8).E r= 
De forma mais geral, podemos escrever o trabalho realizado sobre q0 para movê-la ao
longo de uma superfície fechada como:
0. . (9).W F d s q E d s= = 
Igualando (5) com (8) e fazendo N = 1, obtemos:
. (10).E d s= 
Agora, combinando a eq.(4) com a eq.(9),
podemos reescrever a lei de Faraday na
forma integral. Logo,
. (11).B
d
E d s
dt

= −
A eq. (11) diz simplesmente que um campo
magnético variável induz um campo
elétrico. Ou seja, um campo magnético
variável produz um campo elétrico.
Ainda, nesta forma integral ela pode ser
aplicada a qualquer trajetória fechada que
possa ser desenhada em um campo
magnético variável.
19
“Uma corrente induzida possui um sentido tal que o 
campo magnético devido à corrente se opõe à variação 
no fluxo magnético que induz a corrente” Ainda, “O 
sentido da corrente é aquele que tende a se opor a 
variação do fluxo através da espira”.
Logo depois de Faraday ter proposto
sua lei de indução, Lenz elaborou
uma regra para determinar o sentido
da corrente induzida em uma espira,
Assim:
Heinrich Friedrich Lenz
(1804 - 1865)
Físico Alemão
20
1 – Uma espira retangular de fio imersa em um campo não-uniforme e variável B que é
perpendicular ao plano o papel e dirigido para dentro do papel, conforme figura abaixo. O
módulo do campo é dado por B = 4t2x2, com B em teslas, t em segundos e x em metros. A
espira tem uma largura W = 3,0 m e uma altura H = 2,0 m. Determine o módulo e a direção
da força eletromotriz ξ induzida na espira no instante t = 0,10 s.
21
14 , sentido anti-horário V=
2 – O campo magnético entre os polos de um eletroímã é uniforme por algum instante,
conforme figura abaixo, mas o seu módulo está aumentando a uma taxa de 0,020 T/s. A área da
espira condutora imersa no campo é de 120 cm2 e a resistência total no circuito, incluindo a do
medidor, é de 5,0 Ω. Determine a fem ξ e a corrente i induzida no circuito.
22
0,24 ; 0,048mV i mA= =
3 – A figura abaixo mostra uma espira condutora no formato de um semicírculo de raio r 0,20
m e três seções retas. O semicírculo está em um campo magnético uniforme B que está
direcionado para fora da página, a magnitude do campo é dada por B = 4,0t2 + 2,0t + 3,0, com
B em teslas e t em segundos. Uma bateria ideal com uma fem ξbat = 2.0 V é conectada à espira.
A resistência da espira é 2,0 Ω. (a) Qual é o módulo e direção da fem ξ induzida na espira
devido ao campo B em t =10 s? (b) Qual é a corrente i induzida na espira em t =10 s?
23
( ) 5, 2 ; ( ) 1,6a V b i A 
O campo magnético produzido por um condutor
percorrido por uma corrente pode ser
determinado com o auxílio da lei de Biot-
Savart. De acordo com essa lei, a contribuição
dB para o campo, produzida por um elemento de
corrente ids em um ponto P situado a uma
distância r do elemento de corrente, tem módulo
dada por
0
2
, (1)
4
i ds sen
dB
r
 

=
onde, θ ângulo entre as direções de ds e ȓ, um
vetor unitário que aponta de ds para P, e μ0 é a
constante magnética, que por definição, vale
7 6
0 4 x 10 T.m/A 1,26 x 10 T.m/A (2) 
− −= 
Já a direção de dB, na figura entrando no plano, é dada pelo produto vetorial ds x ȓ. Assim, a
forma vetorial da Eq. 1 fica
0
2
ˆx
. (3)
4
i d s r
dB
r


=
Lei de Biot-Savart 25
O módulo do campo B depende somente da corrente e da distância R entre o ponto e o fio.
O módulo do campo magnético a uma distânciaperpendicular R de um fio retilíneo longo
(infinito) percorrido por uma corrente i é dado por
0 . (4)
2
i
B
R


=
26
Considerando-se um fio retilíneo longo, o módulo do campo B é dado pela Eq. 4. Já o sentido
do campo B é dado pela regra da mão direita. Assim,
Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar estendido apontando no
sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientação das linhas de campo magnético
produzidas pela corrente no fio.
27
Para determinar o campo magnético produzido em um ponto por uma
corrente em um fio curvo, aplicamos a lei de Biot-Savart para calcular o
módulo do campo produzido por um elemento de corrente e integramos o
resultado para obter o campo produzido por todos os elementos de
corrente. Assim temos,
0
2
90º
4
i ds sen
dB
R


=
0
2
. (5)
4
i ds
dB
R


=
O campo total produzido pelo fio no ponto C é dado pela soma (por
integração) dos módulos de dB de todos os campos elementares. Usando
a identidade ds = R dϕ e reescrevendo a Eq. 5, obtemos
0
2
. (6)
4
i R d
dB
R
 

= Integrando ambos os lados de (6), vem
0
20 4
i R d
B
R
  

= 
0
04
i
B d
R



= 
0 . (7)
4
i
B
R
 

 =
Com ϕ expresso em radianos. 28
Para qualquer distribuição de correntes, com certos tipos de simetria, podemos usar a lei
de Ampère para determinar o campo magnético total. Assim, para uma integral fechada,
conhecida como amperiana, a lei de Ampère é escrita como
0. . (8)envB d s i=
A corrente ienv é a corrente total envolvida
pela curva fechada. Do produto escalar do
lado esquerdo, podemos escrever a lei de
Ampère como
0. cos . (9)envB d s B ds i = = 
Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos 
apontando no sentido da integração. Uma corrente no sentido do 
polegar estendido recebe sinal positivo; uma corrente no sentido 
oposto recebe sinal negativo.
A regra da mão direita é usada para atribuir um sinal positivo ou negativo às correntes que
contribuem para a corrente total envolvida pela amperiana, ienv:
Sinal das Correntes:
29
Corrente Total. Aplicamos a regra da mão direita da lei de Ampère e tomando o sentido de
integração como o sentido anti-horário, a corrente total envolvida pela amperiana é
1 2.envi i i= −
Como a corrente i3 está fora da amperiana, a Eq. 9 fica
0 1 2cos ( ). (10)B ds i i = −
30
1 - Campo Magnético nas Vizinhanças de um Fio Longo, Retilíneo, Percorrido por Corrente
Usando a lei de Ampère determine o campo magnético produzido do lado de fora a uma
distância r de um fio retilíneo longo, de seção reta circular, percorrido por uma corrente i
dirigida para fora do papel.
Solução:
Aplicando a definição da lei de Ampère, vem
Portanto,
0. envB d s i=  0cos envB ds i =
0 envB ds i=  0(2 ) .envB r i =
0 . (11)
2
enviB
r


=
Campo magnético do lado de fora de 
um fio retilíneo
Com uma pequena mudança (R = r) a Eq. (11) fornece a Eq. (4) obtida, de maneira mais
trabalhosa, pela lei de Biot-Savart.
31
2 - Campo Magnético no Interior de um Fio Longo, Retilíneo, Percorrido por Corrente
Usando a lei de Ampère determine o campo magnético produzido no interior de um fio
retilíneo longo, de raio R, percorrido por uma corrente i dirigida para fora do papel.
Solução:
Aplicando a definição da lei de Ampère, vem
0. envB d s i=  0cos envB ds i =
0 envB ds i= 
2
2
. (13)env
r
i i
R


=
0
2
. (14)
2
i
B r
R


 
=  
 
Campo magnético no interior de um fio retilíneo
Assim, no interior do fio, o módulo B do campo elétrico é proporcional a r, o valor é zero no
centro do fio e máximo na superfície, em que r = R.
Como a distribuição de corrente é uniforme no interior
do fio, a corrente ienv envolvida pela amperiana é
proporcional à área envolvida pela curva. Assim,
0(2 ) . (12)envB r i =
Substituindo (13) em (12), obtemos:
2
0 2
(2 )
r
B r i
R

 

= 
32
Na figura ao lado temos uma bobina helicoidal formada por espiras
circulares muito próximas, chamada solenoide. Suporemos que seu
comprimento é muito maior que seu diâmetro.
Campo Magnético em um Solenoide
Nesta figura temos uma seção reta de um trecho
“esticado” de um solenoide contendo cinco
espiras. No interior o campo é intenso, forte e
do lado de fora, em P, é muito fraco. A
orientação do campo no interior do solenoide é
dada pela regra da mão direita.
Solenoide Ideal 33
Agora, vamos aplicar a lei de Ampère para
determinar o módulo do campo magnético B
no interior do solenoide ideal, Figura ao
lado. Assim,
0. . . . . . (15)
b c d a
env
a b c d
B d s B d s B d s B d s B d s i= + + + =    
0 . (16)B in=
como B é uniforme do lado de dentro e zero
do lado de fora, aplicamos a amperiana
retangular abcda. Então para cada segmento
da amperiana, temos:
0. ,envB d s i=
A corrente total ienv envolvida pela amperiana retangular não é igual à corrente i nas
espiras do solenoide porque as espiras passam mais de uma vez pela amperiana. Assim,
para n sendo o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide (n = N/L),
nesse caso, a amperiana envolve nh espiras. Então,
( ).envi i nh= Substituindo na Eq. (15), vem
0Bh inh= 
Campo Magnético Solenoide 
Ideal
34
Eletroímãs 
Circulares
Eletroímãs Retangulares
35
Um toroide pode ser descrito como um solenoide que foi
curvado até as extremidades se tocarem, formando um
anel.
Campo Magnético em um Toroide
0. envB d s i= 
Aplicando a lei de Ampère, vem
0(2 ) ,envB r i =
onde i é a corrente nas espiras do toroide e N é o número
de espiras. Assim, temos
0 1 . (17)
2
iN
B
r


=
Isso mostra que, ao contrário do que acontece no caso
do solenoide, B não é constante ao longo da seção reta
de um toroide.
Campo Magnético Toroide
36
Transformadores
s
s p
p
N
V V
N
=
37
Considerando-se um trecho de um fio de
comprimento L, após um intervalo t = L/vd ,
todos os elétrons de condução desse trecho
passam pelo plano xx. Assim, nesse intervalo
de tempo uma carga é dada por
(18).
d
L
q it i
v
= =
Substituindo (4) na eq. (3), temos:
Assim, obtemos:
(19).BF iBL=
90ºB d
d
L
F i v B sen
v
=
38
Caso o campo magnético não seja perpendicular ao fio, a força magnética pode ser
generalizada na forma vetorial. Assim,
 x (20).BF iL B=
(21).BF iLBsen=
Cujo módulo de FB é dado por:
Já para segmentos infinitesimais, temos:
 x (22).Bd F id L B=
39
Na figura ao lado mostra um motor simples constituído
de uma espira percorrida por uma corrente e submetida a
um campo magnético B. As forças magnéticas F e –F
produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar
em torno de um eixo central.
40
O torque tende a fazer a espira girar em um sentido tal
que o vetor normal n se alinhe com a direção do
campo magnético B. Assim, o módulo τ´ do torque
produzido pelas forças F1 e F3 é:
´
2 2
b b
iaB sen iaB sen  
   
= +   
   
´ . (23)iabB sen =
Agora, considerando-se uma bobina de N espiras,
enroladas tão juntas que se possa supor que todas
têm aproximadamente as mesmas dimensões e
estão no mesmo plano (bobina plana), podemos
escrever:
´N =  NiabB sen =  ( ) . (24)NiA B sen =
Como o momento dipolar magnético μ está associado à bobina e tem direção do vetor normal
n, podemos escrevê-lo da seguinte forma
. (25)NiA =
Reescrevendo a Eq. 24 com a definição do
momento magnético, obtemos
. (26)B sen  =
Finalmente na forma vetorial o momento
magnético é escrito como
 x . (27)B =
No SI: A.m2
41