Determinação da Deflexão de uma Viga pelo Método de Runge-Kutta

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DETERMINAÇÃO DA DEFLEXÃO DE UMA VIGA ATRAVÉS DO 
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
Leonan Patrick dos Santos Silva, Filipe Lima dos Santos
 
 
Resumo: As análises sobre estruturas, especificamente das vigas, possuem grande relevância, considerando o fato 
de que elas estão presentes em quase todas as edificações, a partir disso, as vigas devem ser determinadas conforme 
aos esforços e condições de uso a qual as mesmas estarão sujeitas. O objetivo deste trabalho é mostrar equação da 
linha elástica provinda de um estudo de equações diferenciais e apresentar o método numérico de Runge-Kutta, 
como forma alternativa de encontrar as deflexões, realizando uma comparação dos valores obtidos dos métodos 
analítico e numérico, para garantir a convergência do mesmo. No presente trabalho teve-se o auxílio de programas 
computacionais como o Excel® e MATLAB®, para a realização e aplicação do método, tendo como base todos 
os conhecimentos adquiridos no decorrer da pesquisa. Este estudo trará um enfoque especial a aplicação do método 
de Runge-Kutta na deflexão, evidenciando a convergência para a viga bi apoiada e erros obtidos na viga engastada, 
além de esclarecer as futuras fontes de erro. 
 Palavras-chave: Deflexão de viga, Runge-Kutta, Diferencial. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A determinação da deflexão máxima sofrida por uma viga quando submetida a um determinado 
carregamento é de suma importância, uma vez que esta é tomada como um valor máximo admissível no momento 
da realização do protejo de uma viga [4]. Para a caracterização e determinação das deflexões suportadas por uma 
viga, deve-se anteriormente definir a equação diferencial que rege a linha elástica. Uma equação que contém as 
derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis 
independentes, é chamada de equação diferencial (ED) [3]. 
O resultado para tal equação e para as deflexões sofridas pela viga, podem ser encontrados de diversas 
maneiras, dentre os quais está o método de Runge-Kutta, o qual foi escolhido para ser utilizado no presente 
trabalho. Segundo [7], podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem 𝑝 se caracterizam pelas três 
propriedades: 
 São de passo um; 
 Não exigem o cálculo de qualquer derivada de 𝑓(𝑥, 𝑦); pagam, por isso, o preço de calcular 
𝑓(𝑥, 𝑦) em vários pontos; 
 Após expandir 𝑓(𝑥, 𝑦) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) e agrupar 
os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma 
ordem; 
O dispositivo clássico de Runge-Kutta sofre dos mesmos defeitos que outros métodos com tamanho de 
passo fixo possuem para problemas onde o erro de truncamento local varia muito no intervalo de interesse, ou seja, 
um passo suficientemente pequeno para obter precisão satisfatória [5]. 
O mesmo tem a finalidade de corroborar com a precisão dos valores quando empregado a equação 
diferencial da linha elástica, em comparação aos apresentados pela resolução analítica. Ao utilizar uma EDO no 
cálculo de vigas para determinar a equação da curva de deflexão, aplica-se um problema de valor inicial, 
possibilitando encontrar deflexões em pontos específicos ao longo do eixo da viga e podendo assim mostrar quais 
os pontos de deflexão máxima. 
Com base no que foi exposto, o presente trabalho tem como objetivo empregar o dispositivo numérico 
como forma de solucionar as deflexões por meio da equação da linha elástica resultantes da formulação de uma 
EDO. Para tanto, será feito uma análise gráfica e numérica utilizando um método comparativo entre os resultados 
obtidos, levando em consideração o erro absoluto entre ambos. A simulação da modelagem será realizada por meio 
de disparo linear, com 20 subintervalos pré-definidos ao longo da viga. O algoritmo será feito no MATLAB. Para 
a resolução da deflexão, foi escolhido realizar uma relação referente ao tamanho do passo ℎ, estabelecida pela 
razão entre o comprimento da viga, e o número de subintervalos. 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA 
CURSO DE BACHARELADO INTERDISCIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Trabalho de Conclusão de Curso (2018.2). 
 
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 2 
 
 2. DESENVOLVIMENTO 
 As equações diferenciais apresentam uma gama de aplicações na modelagem de diversas questões 
matemáticas, dentre as quais estão contidos problemas referente à: Fenômeno dos transportes, mecânica dos 
fluídos, termodinâmica, além de outras áreas do conhecimento em que estas equações se fazem presente na 
resolução 
2.1 Referencial Teórico 
 Neste tópico será abordado os conceitos de equação diferencial ordinária, deflexão de vigas e o método 
numérico de Runge-Kutta. 
2.1.1 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem 
 Uma equação é dita como diferencial quando tem-se uma equação que apresenta derivadas de uma função 
desconhecida (a incógnita da equação). Se 𝒚 é uma função de 𝒙, e n é um número inteiro positivo, então uma 
relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛) é chamada uma equação 
diferencial de ordem n [5]. Sabendo disso, pode-se classificar uma ED como ordinária quando a equação contém 
apenas derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, assim para 
poder definir a ordem da equação, basta observar qual a maior ordem da mesma [3]. 
 Com o intuito de encontrar respostas para as equações diferenciais de segunda ordem, alguns critérios de 
extrema relevância devem ser considerados, (PVC) e (PVI), problema de valor de contorno e problema de valor 
inicial, respectivamente. Em geral, nos problemas procura-se uma solução 𝑦(𝑥) para uma ED de modo que 𝑦(𝑥) 
satisfaça as condições de contorno impostas a função desconhecida e suas respectivas derivadas no ponto 𝑥0 em 
um intervalo 𝐼 contendo 𝑥0. Dessa forma, sujeito as condições de contorno especificadas em 𝑥0, teremos: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 
 Sujeito a: 
 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 , 𝑦
′(𝑥0) = 𝑦1 
 Onde 𝑦0 e 𝑦1 são constantes reais especificadas. Esse tipo de evento é chamado de (PVI) problema de 
valor inicial, além dos valores de 𝑦(𝑥) e sua derivada em um único ponto, chama-se de condições iniciais [3]. 
 Um outro fator também a ser citado é a consistência em resolver uma equação diferencial linear de 
segunda ordem em pontos diferentes, assim temos: 
𝑎2(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
 Sujeito a: 
𝑦(𝑎) = 𝑦0 , 𝑦(𝑏) = 𝑦1 
 Chama-se este tipo de problema como (PVC) problema de valor de contorno e os valores prescritos a qual 
a ED está submetida [3]. Existem vários métodos de resolução de EDO, assim, visando aplicar um método de 
integração direta para simplificar as equações, aplicaremos o método de variáveis separáveis, que consiste em 
integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução que se apresenta da seguinte forma: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) 
𝑑𝑦
ℎ(𝑦)
= 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
___________________________________________________________________________ 
 
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 3 
 
2.1.2 A Deflexão de Vigas 
 Quando tem-se uma viga que possui um eixo longitudinal reto, que está recebendo a atuação de uma carga 
por forças laterais, o eixo é deformado em uma curva denominada de curva de deflexão. O diagrama da deflexão 
que passa pelo eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado 
linha elástica [1]. O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forçaspara impedir a translação ou um 
movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir 
que o corpo gire [1]. Podemos expressar essas condições matematicamente pelas equações logo abaixo: 
 ∑𝐹 = 0 (1) 
 ∑𝑀 = 0 (2) 
 Onde (1) é o somatório de forças e (2) o somatório dos momentos. Para apresentar a equação da deflexão, 
assumimos que o plano 𝑥𝑦 seja um plano de simetria da viga e que todos os carregamentos estejam atuando neste 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 : Plano de simetria dos eixos da viga [6]. 
 A deflexão 𝑣 é o deslocamento na direção do eixo 𝑦 de qualquer ponto no eixo da viga, como mostra a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
Figura 2: Viga em balanço e esboço da sua linha elástica [2]. 
 Visando facilitar a visualização, em detalhes, do que ocorre na estrutura mediante a aplicação de cargas, 
faz-se necessário utilizar um elemento diferencial da viga. Desse modo, teremos uma vista mais aproximada dos 
deslocamentos que a viga sofre devido a carga P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Curva de deflexão de uma viga [2]. 
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 4 
 Realizando uma análise da figura 3, tendo como base os pontos 𝑚1 𝑒 𝑚2, é possível concluir que 𝜌 é o 
raio de curvatura. Iremos levar em consideração que 𝑑𝜃 possui um valor muito pequeno e matematicamente 𝑡𝑔 𝜃 ≈
𝜃, temos que, de acordo com as relações trigonométricas, 𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜃. Conhecendo a distância entre 𝑚1 𝑒 𝑚2 que 
é demarcada por 𝑑𝑠 e 𝑑𝜃 é o aumento do ângulo entre eles, assim definimos a curvatura como sendo: 
 𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
 (3) 
 Como rotineiramente trabalha-se com estruturas, é verídico que teremos algumas variações mesmo que 
pequenas, com ângulos de rotação muito pequenos, e dessa forma podemos utilizar o argumento de que: 
 𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥 ⇒ cos(𝜃) = 1 (4) 
 Se consideramos que a distância horizontal entre 𝑚1 𝑒 𝑚2 é o diferencial 𝑑𝑥, cuja a distância inclinada é 
𝑑𝑠, assim a curvatura fica: 
 𝑘 =
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 (5) 
 Após analisar a equação descrita, concluímos que a curvatura expressa a taxa de variação da inclinação 
da 𝑡𝑔 a uma determinada curva que se relaciona ao comprimento do arco. Perceba que quando tem-se um 𝜃 muito 
pequeno, como no caso abordado, pode-se considerar 𝑡𝑔 𝜃 ≈ 𝜃, assim teríamos a seguinte relação: 
 𝜃 ≈ 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 (6) 
 Dessa forma, resta apenas derivar a equação (5) em relação a 𝑥 para conseguir relacionar com a curvatura 
(5), teremos: 
 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
= 𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 (7) 
 É válido salientar que, essa expressão tem reconhecimento para uma viga de qualquer material, com uma 
exclusiva condição, de que as rotações sejam pequenas. Levaremos em consideração que o material tem obediência 
a lei de Hooke, ou seja, apresenta uma deformação elástica e linear. Com isso, temos uma equação da curvatura 
representada por: 
 𝑘 =
1
𝜌
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
 (8) 
 Na equação (8), pode-se destacar a equação de momento fletor, representado pela letra 𝑀, sendo dividido 
pelo módulo de elasticidade 𝐸 e pelo momento de inércia da viga 𝐼. Assim, se igualarmos as equações (7) e (8), 
resultamos na seguinte equação: 
 
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒙𝟐
=
𝑴(𝒙)
𝑬𝑰
 (9) 
 Essa equação acima representa a equação diferencial da curva de deflexão de uma viga. Essa equação 
pode ser integrada nos casos específicos em que se deseja encontrar a deflexão 𝑣, desde que o momento fletor 𝑀 
e a rigidez de flexão 𝐸𝐼 [1], sejam funções conhecidas de 𝑥. 
 Um outro aspecto muito importante que deve ser citado, são as conversões de sinal que devem ser 
utilizadas ,tendo em vista as equações precedentes. Segundo [2], consideramos que: 
 Os eixos 𝑥 𝑒 𝑦 são positivos para a direita e para cima, respectivamente; 
 A deflexão 𝑣 é positiva para cima; 
 A curvatura 𝑘 é positiva quando a viga é fletida côncava para cima; 
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 5 
 A inclinação 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 e o ângulo de rotação 𝜃 são positivos quando são anti-horários, com relação ao eixo 𝑥 
positivo; 
 O momento fletor 𝑀 é positivo quando produz compressão na parte superior da viga; 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Convenções de sinais para momento fletor 𝑀, a forças de cisalhamento 𝑉e intensidade 𝑞 [2]. 
 
 A partir da equação de número (9), fazendo uso do método da integração, é possível obter as equações da 
inclinação na primeira integração, e na sequência, na segunda integração, obter a deflexão da viga. Visando a 
obtenção do equacionamento, faz-se necessário ter conhecimento sobre as condições de contorno para cada tipo 
de apoio a que a viga está sujeita, como mostra a figura 4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Condições de contorno em relação ao tipo de apoio [1]. 
 Conforme o que foi visto na figura 5, podemos perceber que, os apoios que resistem a aplicação de uma 
força, como o pino, restringem o deslocamento, e os apoios que resistem a um momento, podendo ser um engaste 
ou uma parede fixa, irão restringir a rotação ou a inclinação, bem como deslocamento[1]. 
 
2.1.3 Método Numérico de Runge-Kutta de 4º ordem 
 Os métodos de Runge-Kutta tiverem a sua formulação desenvolvida por dois indivíduos alemães que 
atuaram arduamente na criação do método, Carl Runge (1856-1927) e Wilhelm Kutta (1867-1944). A grosso modo, 
a ideia se restringe em aproveitar as vantagens que são apresentadas nos métodos de serie de Taylor, e, 
simultaneamente, suprimindo a desvantagem dos mesmos, no qual consiste no cálculo de derivadas de 𝑓(𝑥, 𝑦) 
que, acaba inviabilizando os métodos de serie de Taylor de se resolver computacionalmente [7]. 
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 6 
 O método de Runge-Kutta de quarta ordem, para funções definidas por uma variável, como mostra[5] , 
se dá por: 
 𝑘1 é a inclinação no início do intervalo; 
 𝑘2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação 𝑘1 para determinar o valor de y no 
ponto tn + h/2 através do método de Euler; 
 𝑘3 é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação 𝑘2 para 
determinar o valor de y; 
 𝑘4 é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando 𝑘3.Figura 6: Representação dos intervalos de Runge-Kutta (autoria própria). 
 
 𝑘1 = ℎ . 𝑓(𝑥, 𝑦) (10) 
 𝑘2 = ℎ . 𝑓 (𝑥 +
1
2
ℎ, 𝑦 +
1
2
𝑘1) (11) 
 𝑘3 = ℎ . 𝑓 (𝑥 +
1
2
ℎ, 𝑦 +
1
2
𝑘2) (12) 
 𝑘4 = ℎ . 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3) (13) 
 𝒚𝒏+𝟏 − 𝒚𝒏 =
𝒉
𝟔
[𝒌𝟏 + 𝟐𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑 + 𝒌𝟒] (14) 
 A soma 
1
6
[𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4] também pode ser interpretada como um coeficiente angular médio [5]. 
Este método se equipara ao modo de disparo linear que é muito utilizado para o cálculo de deflexão de vigas. O 
seguinte método quando está em funcionamento realiza, a cada iteração, o cálculo de inclinações em quatro pontos, 
obtendo uma tendência ao comportamento da função 𝑦. 
 
2.2 Metodologia 
 
 Os conceitos abordados anteriormente serão utilizados no tópico presente, com o objetivo de mostrar as 
suas funcionalidades, forma e meios nas situações as quais foram submetidas. 
VIGA BI-APOIADA: 
 De início, procurou-se determinar o modelo de viga e o material da mesma para viabilizar a formulação 
do problema. Foi seguido o seguinte modelo aço estrutural ASTM A36 e de perfil 𝑊150 𝑥 30 no qual o mesmo 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler
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 7 
possui um momento de inércia igual a 1,71 𝑥 10−5 𝑚4. O módulo de elasticidade, segundo [1] na tabela de 
propriedades mecânicas de materiais típicos de engenharia, é informado como sendo 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, adotando-se 
de um carregamento distribuído 𝑞 = 20 𝑘𝑁/𝑚 e um vão de 𝐿 = 5𝑚. 
 Segundamente, após ter definido algumas variáveis importantes do problema que será abordado, além de 
constar também a determinação das condições de carga em que o elemento estrutural está submetido e o gênero 
dos apoios. De acordo com as condições teóricas estabelecidas previamente, tornando possível a determinação da 
equação diferencial da linha elástica, que corresponde ao modelo de viga adotado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Viga bi apoiada com apoios de 1º e 2º gênero [2]. 
 
 A partir do modelo de viga definido foi encontrada a equação geral da deflexão para o sistema abordado 
na equação (15). A princípio, partindo das equações da linha elástica, foram encontradas as forças de reações nos 
apoios, da figura 7, e seguidamente feito um corte transversal na seção da estrutura, para se calcular os esforços 
internos e após isso realizar a análise de acordo com a equação da deflexão (1). 
 
 𝒗(𝒙𝟏) =
𝒒
𝑬𝑰
(
𝑳𝒙𝟑
𝟏𝟐
−
𝒙𝟒
𝟐𝟒
−
𝑳𝟑𝒙
𝟐𝟒
) (15) 
 
 VIGA ENGASTADA: 
 Para o presente caso, procurou-se determinar o modelo de viga e o material da mesma, visando viabilizar 
e facilitar o estudo do mesmo. Foi seguido o seguinte modelo aço estrutural ASTM A36 e de perfil 𝑊250 𝑥 28 no 
qual o mesmo possui um momento de inércia igual a 3,99 𝑥 10−5 𝑚4. O módulo de elasticidade, segundo [1] na 
tabela de propriedades mecânicas de materiais típicos de engenharia, é informado como sendo 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, 
adotando-se de uma carga pontual localizada a 4𝑚 do engaste P= 8 𝑘𝑁 e um vão de 𝐿 = 4𝑚. 
 
Figura 8: Viga engastada[2]. 
 Para o engaste utilizou-se o mesmo processo realizado pela viga bi apoiada, partindo das equações da 
linha elástica, foram encontradas as forças de reações no engaste, que é um apoio de 3º gênero, e seguidamente ao 
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 8 
corte da seção analisada, encontrando os esforços internos e a equação da curva de deflexão apresentada na equação 
(16). 
 
 𝒗(𝒙) =
𝟏
𝑬𝑰
(
𝑹𝒚𝒙
𝟑
𝟔
−
𝑴𝒂𝒙
𝟐
𝟐
) (16) 
 Método de Runge-Kutta: 
 Visando a obtenção dos resultados de deflexão das forças atuantes no eixo longitudinal da viga, foi 
aplicado o método de Runge-Kutta de quarta ordem, onde definiu-se algumas variáveis para efetuar o cálculo 
numérico. Definindo um passo ℎ, inversamente proporcional a precisão da solução encontrada, obtém-se um 
resultado 𝑦 para um valor de 𝑥 em 𝑛 iterações. 
 Para os modelos de viga escolhidos, definiu-se utilizar para a viga bi apoiada, um determinado 𝑥, que 
pertença ao intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 5, com um passo ℎ = 0,25. Já para o engaste, teremos um determinado 𝑥, que 
pertença ao intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, com um passo de ℎ = 0,20. 
 Como visto na equação (14), devem ser efetuados quatro cálculos, para cada iteração, resultando em um 
desenvolvimento muito extenso por haver um número grande de iterações necessárias. Utilizou-se o MATLAB® 
como ferramenta para a idealização do algoritmo disponível no anexo [1] e [2], para os respectivos casos, e o 
mesmo para a realização das iterações do método numérico. Abaixo temos a apresentação de um fluxograma 
ilustrando o que ocorre na aplicação do dispositivo de Runge-Kutta. 
 
 
Figura 9: Fluxograma da execução de Runge-Kutta (Autoria Própria). 
2.3 Resultados e Discussões 
 No presente tópico será apresentado e discutido as soluções encontradas na aplicação de ambos os 
métodos citados anteriormente. A fim de se obter os valores de deflexão sofridos no eixo longitudinal da viga, por 
meio do método analítico e pelo incremento de Runge-Kutta na solução. 
2.3.1 Deflexões da viga Bi apoiada Analiticamente e com Runge-Kutta 
 Realizadas as iterações para encontrar as deflexões utilizando a forma analítica, expressamos o gráfico da 
deflexão, onde é possível observar a deflexão máxima ao longo da viga. Nela está a representação da aplicação 
dos comprimento de 𝑥, acrescidos do passo ℎ, realizado em 20 subintervalos. 
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 9 
 
 
Gráfico 1: Linha elástica representando a deflexão ao longo da viga (Autoria Prórpia). 
 É possível notar o resultado da deflexão máxima proporcionada pela aplicação da carga distribuída, no 
ponto 
𝐿
2
= 2,5 𝑚, com o valor de 𝑣 = 0,047591 𝑚. Logo abaixo temos, a representação gráfica da deflexão da 
viga bi apoiada aplicando o dispositivo de Runge-Kutta na equação 𝑣(𝑥) obtida analiticamente por uma equação 
diferencial. 
 
Gráfico 2: Linha elástica representando as deflexões utilizando o método (Autoria Própria). 
 Objetivando a obtenção dos valores da viga defletida, utilizou-se a equação da declividade para aplicar 
no artifício. No gráfico 2, é de fácil observação que o resultado convergiu para o esperado, mantendo um 
comportamento similar a resolução analítica. O dispositivo apresenta uma deflexão máxima no ponto 𝑥 = 2,5 𝑚, 
com o resultado de 𝑣 = 0,047586 𝑚. Podemos observar que, por meio da comparação de resultados entre as 
soluções obtidas através da aplicação do método analítico e por Runge-Kutta, em detrimento, da obtenção do erro 
absoluto entre os resultados dos mesmos,tendo uma variação dos valores na ordem de 10−5 𝑎 10−6 
 
0,000000
0,010000
0,020000
0,030000
0,040000
0,050000
0 1 2 3 4 5 6
D
e
fl
e
x
õ
e
s 
(m
)
Comprimento (m)
Deflexões da viga Biapoiada
Curva de Deflexão
0,000000
0,010000
0,020000
0,030000
0,040000
0,050000
0 1 2 3 4 5 6
D
e
fl
e
x
ã
o
 (
m
)
Comprimento (m)
Deflexão da viga Bi apoiada com o incremento 
de Runge-Kutta
Curva de Deflexão
___________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________ 
 10 
2.3.2 Deflexões para uma viga engastada 
 Analisando o processo de forma análoga ao item anterior tem-se a expressão gráfica para o modelo de 
viga abordado, utilizando um passo ℎ = 0,20, para o mesmo número de subintervalos. 
 
Gráfico 3: Linha elástica representando as deflexões ao longo do eixo da viga (Autoria Própria). 
 O gráfico 3 apresenta o resultado da deflexão máxima proporcionada pela aplicação da carga pontual, 
no ponto 𝐿 = 4 𝑚. Ciente das condições iniciais estabelecidas, obteve-se o valor de 𝑣 = 0,021387 𝑚, 
representando a deflexão máxima produzida pela força no engaste. 
 
Gráfico 4: Linha elástica representando as deflexões ao longo do eixo da viga (Autoria própria). 
 De forma análoga a viga bi apoiada, utilizou-se a equação da declividade para aplicar no dispositivo. No 
gráfico 4, não é de fácil observação que o resultado não convergiu para o esperado, porém se for analisado o seu 
comportamento nota-se que a desenvoltura é similar a resolução analítica, porém apresentando um erro absoluto 
significativo numa margem de 3,38%. O dispositivo apresenta uma deflexão máxima no ponto 𝑥 = 4 𝑚, com o 
resultado de 𝑣 = 0,018001 𝑚. Podemos observar pela comparação dos métodos, uma dispersão dos valores 
quando é calculado um passo mais próximo de onde a carga está sendo aplicada. 
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
D
e
fl
e
x
õ
e
s 
(m
)
Comprimento(m)
Deflexão da viga Engastada 
Curva da Deflexão
0,000000
0,002000
0,004000
0,006000
0,008000
0,010000
0,012000
0,014000
0,016000
0,018000
0,020000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
D
e
fl
e
x
ã
o
 (
m
)
Comprimento (m)
Deflexão da viga engastada com o incremento 
de Runge-Kutta
Curva de Deflexão
___________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________ 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 5: Dispersão dos Resultados das Deflexões (Autoria Própria). 
 O gráfico 5 expressa uma futura fonte de erros, estima-se que é devido ao fato do método apresentar um 
tamanho de passo fixo para problemas onde o erro de truncamento local varia muito no intervalo de interesse, ou 
seja, para uma melhor obtenção de resultados que mostrassem maior precisão seria necessário utilizar um passo 
menor do que o utilizado em questão. É preferível que neste tipo de aplicação seja realizado uma análise da iteração 
entre o resultado obtido, o tamanho do passo e o tempo gasto para realizar as operações, visando sempre o objetivo 
do problema e a sua relevância. 
 
3. CONCLUSÕES 
 Através do estudo realizado foi possível constatar que o método de Runge-Kutta em problemas que 
envolvem a obtenção de deflexões em vigas por meio da equação diferencial da linha elástica se apresenta como 
uma ferramenta prática e eficaz, quanto a sua execução, mostrando sua capacidade em modelar problemas que 
envolvam estruturas. Como observado no tópico anterior, as soluções dos deslocamentos verticais (𝑦) apresentam 
variações muito pequenas, na ordem de milímetros, mostrando que é possível aplicar o dispositivo, considerando 
as circunstancias que estão sobre análise. Para fins demonstrativos, o caso estudado é considerado simples, no 
entanto, na atuação de carregamentos mais complexos, ou até mesmo uma viga que possua uma estrutura com 
geometria não uniforme, pode-se obter equações com o auxílio do software. Por fim, métodos como o de Runge-
Kutta podem ser aplicados, caso tenha uma equação diferencial de primeira ordem ou ordem superior. No problema 
em questão optou-se por simplificar a resolução numérica, proporcionando uma fácil resolução. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo. Pearson Prentice Hall, 2010. 
[2] GERE, J. M.; Mecânica dos Materiais. 6. Ed. São Paulo. Editora Thomson Learning, 2003. 
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[6] TREFETHEN, L. N. Branches of Mathematics: Numerical Analysis. In: GOWERS, T.; BARROWGREEN, 
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[7] RUGGIERO, Márcia A. G.;LOPES, Vera L. R.. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2ª ed. 
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ANEXOS 
[1] https://drive.google.com/open?id=1Oua9f6P_hsa85uIkM141IRSLrgIjMm6i 
[2] https://drive.google.com/open?id=1b57-Uv1MGupdOfsUqR1vqm3fPtUVFEE6 
-0,000500
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0,000500
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0,003000
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0,004000
0 5 10 15 20 25
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nº de subintervalos
Erro Absoluto
https://drive.google.com/open?id=1Oua9f6P_hsa85uIkM141IRSLrgIjMm6i
https://drive.google.com/open?id=1b57-Uv1MGupdOfsUqR1vqm3fPtUVFEE6
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