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Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
Revisão técnica:
Shanna Trichês Lucchesi
Mestre em Engenharia de Produção
Professora do curso de Engenharia Civil 
T673 Topografia e geoprocessamento / Priscila Marques Correa ... [et 
 al.]; [revisão técnica: Shanna Trichês Lucchesi]. – Porto 
 Alegre: SAGAH, 2017.
 433 p. : il. ; 22,5 cm.
 ISBN 978-85-9502-270-6
 1. Topografia. 2. Sistemas de informação geográfica. 3. 
 Engenharia civil. I. Correa, Priscila Marques.
CDU 624
 Planilha de coordenadas II
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identi� car as tolerâncias do erro no fechamento angular.
  Explicar como se dão os erros no fechamento angular.
  Resolver o cálculo de azimutes.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as tolerâncias no cálculo do fechamento 
angular e o cálculo de azimutes.
 Poligonação ou caminhamento
Esta técnica consiste na medida dos lados consecutivos de uma poligonal e 
na determinação dos ângulos que esses lados formam entre si, percorrendo 
os limites da poligonal. O ângulo formado pode ter sentido à direita ou à 
esquerda, conforme a direção do novo alinhamento, variando de 0° a 180°.
Erro angular
Na poligonal fechada, há condições de se verifi car a precisão das medidas 
angulares e lineares, ou seja, podem-se determinar os erros cometidos e 
compará-los com erros admissíveis (tolerância). Esses cálculos são utilizados 
para projetos de loteamentos, conjuntos habitacionais, levantamentos de áreas, 
usucapião, perímetros irrigáveis, entre outros.
Para que seja calculado o azimute das direções, é necessário realizar as 
verificações dos ângulos medidos. 
Em razão de a poligonal formar um polígono fechado, é possível analisar 
os erros na medição dos ângulos internos (Figura 1) e externos (Figura 2). 
∑ i = (n − 2) × 180º (Equação 1)
Figura 1. Exemplo de ângulos internos.
Fonte: Reis ([2016?]).
∑ e = (n + 2) × 180º (Equação 2)
Onde:
n: número de vértices da poligonal
∑ i: somatório dos ângulos internos 
∑ e: somatório dos ângulos externos 
Figura 2. Exemplo de ângulos externos.
Fonte: Reis ([2016?]).
 Planilha de coordenadas II 362
Para uma poligonal apoiada, é possível estimar o erro comparando-se o 
azimute final, calculado a partir da poligonal, e o azimute inicial conhecido, 
no caso, o azimute da poligonal que serve de apoio.
E a = AZfinal − AZinicial (Equação 3)
O erro angular (E a) será dado por: 
E a = ∑ i − somatório dos ângulos internos medidos
E a = ∑ e − somatório dos ângulos externos medidos
O erro angular admissível (E ad) é em função da precisão que se pretende 
atingir.
E ad = k × p × n (Equação 4)
Onde: 
k: valor variável de 1 a 3, conforme seja a precisão desejada
n: número de vértices da poligonal
Tolerância do erro angular
Sendo conhecido o erro angular, este deve ser analisado. Para estabelecer 
a veracidade do levantamento topográfi co, é necessário ter parâmetros de 
comparação para a sua aceitação ou rejeição. Com isso, deve-se calcular a 
tolerância angular conforme as diferentes classes de poligonais. 
T = b × √n (Equação 5)
Onde:
T = tolerância angular 
n = número de ângulos medidos na poligonal
b = constante fixada que depende das diferentes classes de poligonais (I 
P 6”; II P 15”; III P 20”; IV P 40” e V P 180”)
Distribuição do erro angular
O erro calculado deverá ser menor que a tolerância angular (E a), também 
conhecida como erro angular máximo aceitável. Se o erro cometido for menor 
que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro cometido entre 
363Planilha de coordenadas II
as estações. Somente após essa distribuição é possível realizar o cálculo dos 
azimutes.
Caso a medida do ângulo da poligonal seja igual, a correção deve ser dada 
pela divisão do erro angular pelo número total de lados da poligonal, como é 
apresentado na equação a seguir:
O sinal da correção deve ser o oposto do sinal do erro cometido.
 Cálculo de azimute
Uma palavra comum utilizada para designar a direção de uma linha é azimute. 
Este é o ângulo formado entre o eixo das ordenadas e o alinhamento em 
questão. É medido a partir do eixo de ordenadas, no sentido horário, podendo 
variar de 0º a 360º.
Como se vê na Figura 3, a medição do ângulo de azimutes ocorre sempre 
a partir do norte (N) verdadeiro. A diferença angular entre o norte verdadeiro 
e o norte magnético é a declinação magnética, e esta é sempre determinada 
do norte verdadeiro para o norte magnético, como o azimute AZDA, em que 
o ângulo é calculado de N a A.
 Planilha de coordenadas II 364
Figura 3. Exemplo de azimute.
Fonte: Pastana (2010).
Cálculo do azimute
Generalizando, tem-se a fórmula geral dos azimutes:
 Azn = Az(n −1) ± αi ± 180º (Equação 7)
Onde:
Azn: azimute do alinhamento
Az (n − 1): azimute do alinhamento anterior
αi: ângulo horizontal interno
Se a direção poligonal for ao sentido anti-horário, soma-se o valor do ângulo 
interno ao azimute do alinhamento anterior (Az [n − 1] + αi).
Se a direção poligonal for ao sentido horário, subtrai-se o valor do ângulo 
interno do azimute do alinhamento anterior (Az [n − 1] − αi). 
Se (Az [n − 1] ± αi) > 180º, subtrai-se 180º.
Se (Az [n − 1] ± αi) < 180º, soma-se 180º.
365Planilha de coordenadas II
Sabe-se que o azimute verdadeiro do painel de uma antena em Porto Alegre (φ = 
35º, λ = 59º) é 55º, no dia 27 de setembro de 2017, e a correspondente declinação é 
18ºW. Calcular o azimute para a direção em questão, tendo em vista que a empresa 
só dispõe de bússola para a orientação.
AZm = AZv − (−D)
AZm = 55º − (−18º)
AZm = 73º
Para entender mais sobre o assunto, acesse o link ou 
código a seguir:
https://goo.gl/rG4Rte
 Planilha de coordenadas II 366
https://goo.gl/rG4Rte
1. Qual é a tolerância, segundo 
a ABNT, para uma poligonal 
de classe IV P e 6 lados?
a) 38”
b) 1’30”
c) 1’38”
d) 1’39”
e) 59”
2. Qual é a tolerância, segundo 
a ABNT, para uma poligonal 
de classe V P e 9 lados?
a) 8’
b) 8’38”
c) 10’
d) 9’30”
e) 9’
3. Com base na figura a seguir, como ficará o ângulo corrigido do vértice 4?
a) 95°42’24”
b) 96°43’24”
c) 95°43’20”
d) 95°43’24”
e) 95°43’36”
367Planilha de coordenadas II
4. Dada a caderneta de campo a seguir, qual é o azimute Az c-d?
a) 110°
b) 120°
c) 220°
d) 200°
e) 100°
5. Dada a caderneta de campo a seguir, qual é o azimute Az c-d?
a) 290°
b) 400°
c) 110°
d) 220°
e) 100°
 Planilha de coordenadas II 368
PASTANA, C. E. T. Topografia I e II: anotações de aula. 2010. Disponível em: <http://civil-
net.com.br/Files/topo2/TOPOGRAFIA-APOSTILA-2010-1.pdf>. Acesso em: 22 out. 2017.
REIS, A. C. da C. Topografia: unidade II: planimetria. [2016?]. Disponível em: <https://
pt.slideshare.net/vanilsonsertao01/topografia-unidade-2-planimetria>. Acesso em: 
22 out. 2017.
Leituras recomendadas
BORGES, A. de C. Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 2013. 
GONÇALVES, J. A.; MADEIRA, S.; SOUSA, J. J. Topografia: conceitos e aplicações. Lisboa: 
Lidel Edições Técnicas, 2008.
JELINEK, A. R. Capítulo II: planimetria. [200-?]. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/igeo/
departamentos/geodesia/trabalhosdidaticos/Topografia_IProfa_%20Andrea_Jelinek/
Teoria/Planimetria.pdf>. Acesso em: 22 out. 2017.
LOPEZ CUERVO, S. Topografia. Madrid: Ediciones Mundi-Prensa, 1996. 
MCCORMAC, J. C. Topografia. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
369Planilha de coordenadas II
http://net.com.br/Files/topo2/TOPOGRAFIA-APOSTILA-2010-1.pdf
http://pt.slideshare.net/vanilsonsertao01/topografia-unidade-2-planimetria
http://www.ufrgs.br/igeo/
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.