Estudo de Caso 15 - Engenharia

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Estudo de Caso 
 
Olá, estudante! 
Se você está lendo este texto é porque você chegou à etapa de avaliação das disciplinas de 
Eixo do seu curso de Pós-graduação da Faculdade Descomplica na área de Engenharia. 
Para desenvolver esta atividade, você deve ler os artigos selecionados abaixo e elaborar um 
texto com o limite de 500 palavras (utilize o contador de palavras do aplicativo Word ou equivalente 
para este controle). Não se esqueça de se posicionar com clareza a respeito dos aspectos técnicos 
e legais sobre os assuntos abordados. Ao final, um caso hipotético é apresentado para que você faça 
as suas considerações. 
 
Artigos para leitura e fundamentação da análise 
 
Paradoxo de Russell 
Descoberto em 1901 pelo matemático Bertrand Russell, o Paradoxo de Russell versa sobre 
uma contradição na Teoria de Conjuntos de Cantor-Frege. 
 
Além de matemático, Russel era filósofo, escritor premiado com o Nobel da Literatura e 
impulsionador do logicismo – vertente filosófica da matemática que acredita que esta ciência pode 
ser reduzida, pelo menos em sua maioria, à lógica. 
 
Na Teoria dos Conjuntos desenvolvida pelos matemáticos alemãs Georg Cantor e Gotlob 
Frege, todo predicado define um conjunto. Por exemplo, o predicado “ser de aço” define o conjunto 
de todas as coisas que são de aço. Em uma escrita mais formal, teríamos: 
 
𝐶 = {𝑥; 𝑥 é 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜} 
 
 Neste caso, temos que C é o conjunto e x é um elemento deste conjunto. Os conjuntos mais 
famosos são os conjuntos numéricos, onde seus elementos são números. 
Por exemplo: 
• O conjunto dos Números Naturais N = {1, 2, 3, 4, 5, 6 … } 
• O conjunto dos números Inteiros Z = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
• O conjunto dos números Racionais Q = {
𝑎
𝑏
; 𝑎 ∈ 𝐙 𝑒 𝑏 ∈ 𝐍} 
 
 
 
Porém, a Teoria dos Conjuntos vai muito além. Podemos definir conjuntos não só de números, 
mas também de polígonos, de pontos, de objetos, de funções, e inclusive conjuntos de conjuntos. 
 
A título de exemplo, consideremos um conjunto C={a,b,c}. A partir dele podemos criar um 
conjunto de conjuntos, chamado de Conjunto das Partes, composto por todos os subconjuntos de 
C. Em uma escrita mais formal: 
 
𝑃(𝐶) = {{𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}{𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}} 
 
Observe que no Conjunto das Partes de C temos que seus elementos são outros conjuntos, 
porém os elementos de C não são elementos de P(C). Isto é, em um conjunto de conjuntos, seus 
elementos são somente conjuntos, mas não incluem os elementos destes conjuntos. 
 
 O Paradoxo de Russell consiste em um conjunto de conjuntos definido pelo seguinte 
predicado: “não pertence a si mesmo”. De modo mais detalhado, o conjunto definido por este 
predicado é “o conjunto de todos os conjuntos que não possuem a si próprios como elementos”. 
Em escrita mais formal: 
𝑀 = {𝐴; 𝐴 ∉ 𝐴} 
 
onde A é um conjunto de conjuntos. O rigor que a matemática exige pode dificultar o 
entendimento deste paradoxo, porém tal paradoxo pode ser ilustrado através da analogia criada 
por M. Carmen Márquez García, explicita a seguir: 
 
Considere que um especialista em obras de arte queira classificar todos os quadros do mundo 
em duas categorias disjuntas (isto é, cada obra estará em uma, e apenas uma, categoria). A primeira 
categoria consiste de todos os quadros que possuem uma cópia de si mesmos retratada na cena na 
tela. Por exemplo, uma obra que retrata uma sala de estar e, na parede da sala, está uma cópia 
deste mesmo quadro, seria um quadro incluído nesta categoria. 
 
A segunda categoria consiste de todos os quadros que não possuem uma cópia de si mesmos 
retratados na cena pintada. Por exemplo, o quadro A Noite Estrelada, de Van Gogh, não possui uma 
cópia de A Noite Estrelada retratada em local nenhum da tela, então é um quadro que está nesta 
categoria. Esta categoria será chamada de Quadros de Russell. 
 
Agora, suponha que uma galeria de arte decida expor todos os Quadros de Russell que existem 
no mundo, em uma enorme sala. Para comemorar tal feito, um artista é contratado para pintar a 
seguinte cena: a sala com todos os quadros. Este quadro, intitulado de “Quadro M: Todas as pinturas 
de Russell do mundo”, possui em sua tela todos os Quadros de Russel, como A Noite Estrelada, por 
exemplo. 
 
O paradoxo reside em classificar o Quadro M nas duas categorias anteriores: tal obra é ou não 
é um Quadro de Russell? Se tal obra não inclui uma cópia de si mesma, então por definição é um 
Quadro de Russell, logo deveria ser retratada na cena de Todas as pinturas de Russell do mundo. 
Por outro lado, se tal obra incluir uma cópia de si mesma, então não é um Quadro de Russell, e 
sendo assim, não deveria estar na cena de todas as pinturas de Russell do mundo. Com isto, temos 
um paradoxo: o Quadro M não pode ser classificado em nenhuma das duas classificações iniciais. 
 
Voltando ao problema inicial, o conjunto M={A;A∉A} representa uma falha nos fundamentos 
da teoria de Cantor e Frege. Considerando que Russell buscava reduzir a matemática à lógica, a sua 
reação foi, em suas palavras, “a mesma que deve sentir um católico fervoroso sobre papas 
indignos”. 
 
A solução encontrada para resolver o paradoxo de Russell, e também a Teoria de Cantor e 
Frege, era de que, na definição de conjuntos, não serão considerados os conjuntos que possuem a 
si próprios como elementos. Em outras palavras, M deixou de ser considerado um conjunto. 
 
 
Problemática para desenvolvimento 
 
1 – O Paradoxo de Russell exibiu uma falha na Teoria de Cantor e Frege, que só foi corrigida 
na segunda metade do século XX. Quais seriam as possíveis consequências que uma falha teórica 
não solucionada poderia desencadear em uma teoria matemática? 
 
2 – Uma técnica para ilustrar um problema complexo como o Paradoxo de Russell é o uso de 
analogias, como os “Quadros de Russell”. Que outra analogia poderia ser utilizada para ilustrar o 
Paradoxo de Russell?