Mackenzie EM 1 Série - Matemática - Livro do Professor - 1 Semestre

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VOLUME 119
EscOLhEr cOM sabEdOria | EnsinO MédiO
Organizador: Mackenzie
Obra coletiva concebida, 
desenvolvida e produzida 
pelo Mackenzie
livrO 1
• Ana Enésia Sampaio Machado
• Paulo Henrique Correia Araujo
 da Cruz
1a série
identificação de séries 
e disciplinas nas capas 
de acordo com o sistema 
de cores para daltônicos
livrO dO
prOfessOr
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créditos
EquipE MackEnziE
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AO MACKENZIE.
pROiBiDa a REpRODuÇÃO paRciaL Ou TOTaL, 
incLuSiVE DE iLuSTRaÇÕES E FOTOS.
A equipe do Sistema Mackenzie de Ensino empenha-se para apresentar este 
material em conformidade com os mais altos padrões acadêmicos e editoriais. 
Em caso de dúvidas conceituais e questões relativas a tipografia e edição, a 
equipe encontra-se à disposição para a verificação e posterior correção do que 
for validado. Solicitamos que todos os apontamentos relativos a estes casos 
sejam enviados ao SME por e-mail (sme@mackenzie.br) ou por carta endereçada 
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Paulo - SP - CEP 01239-020. O Sistema Mackenzie de Ensino não se responsabiliza 
pelo uso não autorizado desta publicação e se isenta de qualquer uso indevido 
do material didático, que desrespeite a legislação pertinente.
Elaboração dE originais
Ana Enésia Sampaio Machado 
Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz 
dirEção Editorial
Débora Bueno Muniz Oliveira
CoordEnação Editorial 
Mônica Huertas Cerqueira 
CoordEnação pEdagógiCa
Viviane Nery Lacerda
Elaboração E CoordEnação 
do projEto Editorial
Arlene Goulart
Edição dE tExto E 
rEvisão pEdagógiCa
Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz
oriEntação 
tEológiCo-filosófiCa
Filipe Costa Fontes
Mauro Fernando Meister
rEvisão 
tEológiCo-filosófiCa
Bruno de Lima Romano
Wellington Castanha de Oliveira
Ronaldo Barboza Vasconcelos
(Integrando conhecimentos)
prodUção Editorial
Adriano Aguina
pEsqUisa iConográfiCa
Adriano Aguina
rEvisão
Ângela Maria Cruz
Eliane Maria Barbosa Turibio Cedano Lopes 
VILLARRUEL REVISÃO, EDITORAÇÃO 
& ARTE LTDA
Os textos das Escrituras Sagradas foram 
extraídos da Bíblia Sagrada, Nova Versão 
Internacional (NVI) [São Paulo: Sociedade 
Bíblica Internacional, 2000] e Almeida 
Revista e Atualizada (ARA) [São Paulo: 
Sociedade Bíblica do Brasil, 1993].
Rua da Consolação, 896 - Consolação
São Paulo/SP | CEP 01302-907
Site: sme.mackenzie.br
E-mail: sme@mackenzie.br
EquipE aLTaMiRa
ConCEpção E dirEção 
ExECUtiva dE projEto gráfiCo 
ConCEito / lingUagEm / sistEmas dE 
idEntifiCação dE sériEs E disCiplinas / 
aCEssibilidadE / ilUstraçõEs / Capas 
ALTAMIRA Editorial
Equipe
Alex Mazzini 
Alexandre Mazzini 
Diego Alves de Carvalho
Produção de capas e 
assistência de projeto gráfico 
ESTúDIO PARCEIRO : ARNOLD
Equipe : Victor de Bone, Lucas Andrade
dirEção dE dEsign
diagramação / ilUstraçõEs / 
infográfiCos / Capas / finalização
ALTAMIRA Editorial
Equipe
Alex Mazzini
Alexandre Mazzini
Diego Alves de Carvalho
Jennifer Sá de Almeida
Murilo Emerick
Jéssica Venâncio
Finalização de capas
Jennifer Sá de Almeida
Assistência de design, 
diagramação e ilustração
ESTúDIO PARCEIRO : STUDIO ABACATE
Equipe : Luiz Gustavo Bacan, Rodrigo 
Corradini, Erik França Oliveira
Revisão de diagramação e texto
ESTúDIO PARCEIRO : STUDIO ABACATE
Equipe : Manrico Patta Neto
Mapas e cartografia
ESTúDIO PARCEIRO : VESPúCIO
Equipe : Carlos Henrique
imprEssão
bRAsILFoRM 
GRáFIcA / EdIToRA
dAdos InTERnAcIonAIs dE 
cATALoGAção nA PubLIcAção (cIP)
M149e Machado, Ana Enésia Sampaio.
Escolher com sabedoria : Ensino Médio : 
Matemática, 1ª série : livro didático : Livro 1 : 
exemplar do professor / Ana Enésia Sampaio 
Machado, Paulo Henrique Correia Araújo da 
Cruz ; organizador: Mackenzie. – São Paulo: 
Ed. Mackenzie, 2014.
352 p. : il. ; 28 cm. – (Sistema Mackenzie de 
Ensino ; v. 119)
Obra coletiva concebida, 
desenvolvida e produzida pelo Mackenzie.
ISBN 978-85-8293-145-5
1. Ensino médio.
2. Matemática.
I. Cruz, Paulo Henrique Correia Araújo da.
II. Instituto Presbiteriano Mackenzie.
III. Título. 
IV. Série.
CDD 372.7
Reimpressão: Dezembro de 2020
Modelo_Créditos_Final_07_LD_Professor.indd 2 22/11/16 08:42
Poucas coisas nos dão uma sensação material de infinito quanto o 
número de páginas de textos escritos que existem para serem lidas. 
Junto com as páginas, vem igualmente a infinita sensação de que 
há informações, ideias e conhecimentos que seriam conhecidos e 
adquiridos se dispuséssemos de um tempo imensurável. Por fim, 
nosso bom senso, ou pelo menos nosso senso comum, nos diz 
que fazemos escolhas sábias quanto mais dispomos desses bens 
que levaríamos uma eternidade para adquirir.
As páginas que virão em seguida não carregam todos os conhe-
cimentos, nem todas as informações ou ideias. Elas podem ser mui-
tas, mas não são infinitas. E, ademais, foram cuidadosamente 
pensadas para que fossem possíveis de serem lidas e estudadas 
durante os anos desse período escolar: o Ensino Médio. São pági-
nas que procuram auxiliar o leitor na compreensão dos conteúdos 
específicos normalmente requeridos nos vestibulares das universi-
dades brasileiras, de forma significativa, atualizada e acadêmica.
Para auxiliá-lo nesse estudo, houve um trabalho, não apenas 
sobre o que está escrito, mas também voltado para a maneira como 
os textos estão dispostos e se apresentam no espaço da folha. O livro 
foi organizado de forma a contemplar o leitor que tem dificuldade 
de concentração, ou de decodificação de palavras, ou mesmo dificul-
dades de ficar muito tempo fazendo uma mesma atividade. 
Por fim, desfrute do que há nessas páginas; aproveite as infor-
mações, as ideias e o conhecimento compartilhado. Porém, esteja 
ciente do seguinte: o que nós lhe oferecemos de mais valioso, nas 
páginas a seguir, são os princípios que acreditamos serem essen-
ciais para adquirir sabedoria e entendimento para toda sua vida. 
São princípios que você pode adquirir dedicando o tempo que ti-
ver, e que lhe valerão pela eternidade.
Prefácio
“De onde vem, então, a sabedoria? Onde habita 
o entendimento? [...] ‘No temor do Senhor está a 
sabedoria, e evitar o mal é ter entendimento’ “. 
Jó 28.20 e 28b (NVI)
EquipE SME
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GALHOS 
professor | transmissor | mediador
CAULE 
força | estrutura | suporte 
RAIZ 
base | alicerce sólido | essência
FOLHAS 
aluno | assimilação | crescimento
Ele é como árvore plantada 
junto a corrente de águas, 
que, no devido tempo, dá o 
seu fruto, e cuja folhagem 
não murcha; e tudo quanto 
ele faz será bem-sucedido.
SALMOS 1.3
“PrincíPios E 
valorEs básicos da 
bíblia como lEntE”
VISÃO CRISTÃ DE MUNDO
APLICADA À EDUCAÇÃO
“relação com deus, com o próximo e com o mundo”
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s gerar sabedoria
FLORES / FRUTOS: 
aprendizagem significativa
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ideNtidade
rapidez
visual
digital
heterogeNia
diversidade
diNâmico
Estabelecer 
projetos 
de vida.
Prosseguir nos 
estudos e encarar os 
desafios de trabalho 
com o compromisso 
de servir a deus e a 
sociedade de maneira 
participativa 
e responsável.
ampliar o 
conhecimento 
a respeito das 
diferentes 
possibilidades.
Fazer escolhas 
com sabedoria.
discutir os valores 
morais e sociais com 
vista à construção da 
criticidade e formação 
intelectual.
compartilhar 
ideias e 
experiências.
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Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
abcefgkjoxuascendente
descendente
X
texto: MYRIAD PROtítulos: NEUTRA
a fonte myriad apresenta alta 
legibilidade e grande variedade 
de pesos, ideal para trabalhar 
com hierarquias de texto.
suas propriedades estruturais 
ajudam a diminuir o desconforto 
do dislexo.
Fonte para títulos por obter uma 
força visual de impacto com sua forma 
moderna e dinâmica,principalmente 
quando usada em grande formato.
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S
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1a SÉRIE
linhas 
ortogonais
2 a SÉRIE
linhas diagonais
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RESPIRO E BRANCO
a forma de um objeto é 
tão importante quanto o 
espaço em torno dele. 
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grÁFico
projeto
Um livro é um espelho 
fl exível da mente e do corpo.
Seu tamanho e proporções gerais, 
a cor e a textura do papel, o som que 
produz quando as páginas são viradas, 
o cheiro do papel, da cola e da tinta, 
tudo se mistura ao tamanho, à forma 
e ao posicionamento dos tipos 
para revelar um pouco do 
mundo em que foi feito.
Robert Bringhurst em 
Elementos do estilo 
tipográfi co, 2005, 
p.159
com o objetivo de informar de maneira 
concisa e efi caz, o projeto gráfi co faz 
uso de uma linguagem dinâmica, lúdi-
ca, porém séria, para transmitir ao aluno 
o conteúdo de cada disciplina. 
interpreta-se cada matéria e tema 
criando uma atmosfera gráfi ca fazendo 
uso de cor, formato, tipografi a, ícones 
e ilustrações. nada é por acaso. tudo 
busca refl etir o que está sendo dito.
veja nessa página alguns critérios 
utilizados para a construção dos livros 
de ensino médio do SME.
liNguagem
tipograFia
além de transmitir por meio das 
palavras o conteúdo abordado, a 
tipografi a usada deve expressar 
visualmente através de sua 
forma e cor o que está sendo 
dito, assim como a imagem.
CAPAS: atmosfera gráfi ca e identifi cação das séries através 
de tarjas que dividem o espaço e são impressas com cores neon.
Uso do sistema coloradd para daltônicos.
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iNtertÍtulo 1
inTerTÍTulo 2
INTERTÍTULO 3
SISTEMA DE 
DIVISÃO DO ESPAÇO capítulo2hierarQuia da iNFormaÇÃo
INFORMAÇÃO VISUAL
É utilizada uma linguagem 
sintética, que encontramos 
principalmente no meio digital. 
Ela consiste em formas planas e 
simples, com cores chapadas, 
que defendem a simplicidade 
e objetividade da informação.
a ilustração, além dessas 
características, acrescenta ao 
texto um melhor entendimento 
de acordo com o assunto e seu 
traço evolui a cada série.
UNIVERSO DIGITAL
representação dinâmica e 
lúdica das imagens, ícones e 
cores. linguagem “sintética”.
LEITURA VISUAL
SUPORTE E ERGONOMIA
a utilização de imagens adequa-se ao 
assunto/tema que será tratado e leva 
em conta os seguintes tópicos: imagens 
coloridas; layout das páginas; ampliadas e 
sangradas quando possível; abertas (fora 
de caixas); interação com os espaços em 
branco para ajudar na leitura (respiros) e 
composição com a tipografi a.
todos as obras são impressas em papel importado Norbrite 
66g/m2, que é mais leve e reduz o peso de cada livro em 
aproximadamente 30%, o que ajuda na locomoção e na 
saúde do aluno. as folhas, além de serem próprias para 
alta qualidade de impressão – o que também as tornam 
adequadas para a escrita do aluno – possuem uma leve 
tonalidade creme para que o refl exo da luz sobre o papel não 
seja tão intenso, proporcionando uma leitura mais confortável.
im
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1a SÉRIE
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iNtertÍtulo 1
inTerTÍTulo 2
INTERTÍTULO 3
capítulo22capítulo2capítulohierarQuia da 2hierarQuia da 2iNFormaÇÃo
Por meio de diferentes pesos dos textos (espessuras e tamanhos), aliados a um sistema de 
divisão de espaços (grid), a hierarquia de informação traz uma navegação/ordem de leitura 
efi caz e dinâmica. Podemos ver neste Grid exemplos de utilização neste projeto. 
ÍcoNes
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acessibilidade
dislexia e TdaH
TexTo com serifa e jusTificados
Baixo conTrasTe enTre figura-fundo
A dislexia é uma combinação 
de habilidades e dificuldades 
que afetam o processo de 
aprendizagem exibindo uma 
vasta gama de dificuldades. 
TexTo “redemoinho”
TexTo “desBoTado”
Prezado aluno,
Este livro foi desenvolvido com algumas características específicas 
que ajudam no estudo, principalmente, de pessoas com alguns 
quadros que podem dificultar a aprendizagem, tais como a dislexia 
e o transtorno de déficit de atenção e hiperatividade (TDAH).
Destacamos, a seguir, algumas dessas características. O tipo 
de letra usado possui estrutura formal que ajuda a diminuir 
possíveis confusões visuais, com equilíbrio entre as linhas 
ascendentes e descendentes, boas aberturas e espaços internos 
maiores, facilitando sua discriminação. Foram usados contrastes 
mais fortes entre as partes impressas e o fundo, também buscando 
aumentar a discriminação da informação relevante e diminuir as 
confusões visuais (ver quadros ao lado). As linhas foram alinhadas 
à esquerda, aumentando os recursos para o aluno se localizar 
durante a leitura de um texto. Adicionalmente, são explicitamente 
apontadas, ao longo dos capítulos, as informações que precisam 
ser recordadas por serem relevantes ao conteúdo atual (nos 
destaques intitulados “Vale lembrar”). Também são destacados, 
nos itens “Integrando conhecimentos”, trechos em que são 
discutidas ideias que vão além da matéria específica, unindo duas 
ou mais áreas diferentes de conhecimento.
Sugerimos que você aproveite esse material desenvolvido 
com cuidado e rigor! Lembramos que você também pode adotar 
estratégias para facilitar sua aprendizagem. Primeiro, esteja 
consciente da sua forma de aprender. Descubra como você 
entende melhor, se é lendo em voz alta, escrevendo, fazendo 
desenhos ou esquemas, resumindo o texto, dentre outras 
possibilidades. Conheça seus pontos fortes e seus pontos fracos. 
Quando ler os capítulos, aproveite as várias dicas que o texto 
lhe oferece: analise o título, as imagens, as cores, as palavras em 
negrito e os quadros em destaque. Use seu livro: sublinhe o que 
achar relevante, faça resumos, desenhos, esquemas. Procure o 
significado das palavras que você não conhece. Anote suas 
dúvidas e discuta-as com seus professores. 
Se você quiser mais 
informações sobre a dislexia 
e o transtorno de déficit de 
atenção e hiperatividade, 
sugerimos que visite os sites: 
www.dislexia.org.br/, 
www.andislexia.org.br/ e 
http://www.tdah.org.br/.
Revise os conteúdos 
anteriores periodicamente. Você 
também pode ler o capítulo em 
casa antes da aula, o que facilitará 
a apreensão do conteúdo e o 
esclarecimento das dúvidas 
com os professores. 
ABAIXO: possíveis 
distorções presentes na 
visão de um disléxico.
AcImA: características 
de formatação evitadas 
nesse projeto pois 
dificultam a leitura
Qr code
Para o rápido acesso a 
links sugeridos por meio 
de dispositivos móveis. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama 
de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
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vvoe/Shutters
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O QUE É?
Visão do 
daltônico
O daltonismo é uma limitação visual no 
indivíduo caracterizada pela incapacidade de 
identi� car/diferenciar todas ou algumas cores.
SISTEMA DE CÓDIGOS DE 
COR PARA DALTÔNICOS
Desenvolvido por Miguel Neiva
coloradd@gmail.com / info@coloradd.net
DALTONISMO
O Código ColorADD assenta num processo 
de associação lógica e de fácil memorização 
permitindo ao daltônico, através do 
conceito de adição das cores, relacionar os 
símbolos e facilmente identi� car todas as 
cores. O branco e o preto orientam para as 
tonalidades claras e escuras.
Cada implementação do Código é planejada para 
todos e não especi� camente para o universo dos 
daltônicos – incluir sem discriminar. O ColorADD é 
um código de fácil implementação com Inovação, 
Valor, Utilidade e Responsabilidade Social.
O Daltonismo afeta aproximadamente10% dos homens e 
0,5% das mulheres – cerca de 350 milhões em todo o mundo. 
No entanto, apesar deste número impressionante, não 
existiam respostas socialmente efetivas visando a inclusão 
desta “grande minoria” da população mundial.
O Código ColorADD é um sistema de identi� cação de cores 
universal e transversal, cuja missão é facilitar a integração dos 
indivíduos daltônicos numa sociedade global na qual 90% da 
comunicação é efetuada através da cor. Portanto, o Código 
ColorADD tem como objetivo promover a compreensão da cor 
para todos, sempre que a cor for utilizada como fator de 
identi� cação, orientação ou escolha. 
O sistema ColorADD se encontra implementado em 
diversas áreas e em diversos países. Por exemplo, em hospitais, 
transportes, material escolar e didático, vestuário, tecnologias 
de informação, sinalização e orientação, entre outros. Neste 
projeto desenvolvido pelo SME, o ColorADD é utilizado para 
auxiliar na identi� cação de séries e disciplinas nas capas dos 
livros de ensino médio estando em consonância com o projeto 
de acessibilidade proposto pelos materiais didáticos do 
Mackenzie, o que ajuda a garantir um mundo 
mais acessível e igualitário para todos!
Miguel Neiva
CORES | SÍMBOLOS 
BRANCO | PRETO | CINZENTO
Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Roxo Castanho
PrataDouradoBranco Preto Cinza Claro Cinza Esc.
TONS METALIZADOS
TONS CLAROS
TONS ESCUROS
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Matemática
Português
Física
História
Geogra� a
Sociologia
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
Desenvolvido com base nas três cores primárias, 
sendo cada uma representada através de um 
símbolo grá� co monocromático.
AZUL AMARELO VERMELHO BRANCO PRETO
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 1 | 17
CAPÍTULO
Conjuntos: 
uma organização 
matemática Talvez você já tenha ouvido mais de uma vez, quando era criança, frases 
como: “Arrume essa bagunça!” ou 
“Quero ver esse guarda-roupa todo 
organizado!”. Ou ainda, dependen-
do dos hábitos alimentares da sua 
família e da convivência com os 
mais velhos: “Tem que separar o 
feijão” ou “Precisa escolher o arroz”.
Todas essas frases trazem em 
si a mesma ideia: saber agrupar 
alguma coisa seguindo um critério 
preestabelecido. Vejamos outros 
modos de perceber ou expressar a 
busca por organização.
 • Observe, ao lado, a obra da 
artista Tarsila do Amaral. Em 
sua opinião, qual seria o ele-
mento comum no que está 
sendo retratado? 
 • A imagem ao lado reflete 
que tipo de ideia?
 • Com base no título deste 
capítulo, qual é a sua expec-
tativa ao olhar, por exemplo, 
para os livros nas prateleiras 
de uma biblioteca?
 • Por fim, que tipo de informa-
ção se deseja passar em um 
ambiente com esta imagem?
Observe que, para indicar as ações cotidianas expressas nas imagens, 
torna-se necessário o uso de verbos como agrupar, classificar, ordenar e ex-
cluir. Tais palavras são compreendidas em seus significados e têm um tipo 
específico de ação a ser executada, a qual intimamente ligada a procedi-
mentos matemáticos ou a mecanismos desenvolvidos para vincular, desvin-
cular e reordenar agrupamentos, algo que transmite a ideia de conjuntos.
Para compreender melhor como esse e outros processos ocorrem, é preciso 
entender como se dá o pensamento matemático.
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Alexey Pushkin/Shutterstock.com
ES
TR
U
TU
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 D
A
 O
B
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Um livro tem 
uma forma de ser 
organizado. Conhecer essa 
organização lhe ajudará a 
utilizá-lo melhor. Apresentamos 
a seguir, comentários sobre 
cada uma das partes que você 
encontrará nas páginas do 
seu livro didático.
ABERTURA DE UNIDADE
Uma unidade, em nossos livros, reúne três capítulos. A Abertura de unidade, que trabalha sobre um 
pequeno texto, imagens, questões e trechos bíblicos, é uma apresentação dos assuntos contidos 
nesses capítulos. Ela se relaciona diretamente com outra seção, a Refletindo ideias e atitudes.
ABERTURA DE CAPÍTULO
A Abertura de capítulo trabalha sobre imagens (artes plásticas, cinema, 
literatura etc.) e um texto introdutório ao assunto principal que será desenvolvido.
REFLETINDO IDEIAS E ATITUDES
Seção que encerra três capítulos, ligando-se à Abertura de unidade. Seu objetivo é trazer reflexões 
sobre alguns dos conceitos e temas estudados na unidade, associando-os a situações do cotidiano, 
por meio de um texto, porções da Bíblia, questões e comentários relacionados à cosmovisão cristã. 
UNIDADE
A foto abaixo é de uma 
formação geológica na forma 
de prismas encaixados, 
resultante de uma erupção 
vulcânica: Giant’s Causeway 
(Calçada dos Gigantes). Nela 
encontramos a junção da 
beleza dos elementos da 
natureza com a beleza dos 
elementos geométricos.
Isto nos leva a pensar que, ao 
observar a natureza, seja no 
mundo mineral, vegetal ou 
animal, através de um 
microscópio ou de telescópio, 
percebe-se que existe uma 
ordem nos elementos 
constituintes, e é possível 
observarem-se padrões de 
repetição.
Por exemplo: as formas 
geométricas presentes 
nas formações geológicas, 
em flocos de neve ou na 
anatomia humana, 
demonstram organização, 
harmonia e beleza.
Perceba que até mesmo as leis 
presentes na construção do 
universo trazem o melhor 
aproveitamento da matéria, 
como é o caso da colmeia, cuja 
forma permite que haja maior 
volume de armazenamento de 
mel com a menor quantidade 
de cera utilizada nos alvéolos.
Por meio desse presente 
divino que é a capacidade 
de observarmos a criação, 
e, com nosso raciocínio, 
compreendê-la em suas 
múltiplas formas, podemos 
também criar tanto objetos 
para o nosso cotidiano, tais 
como máquinas, edifícios 
e obras de arte, como leis 
abstratas, porém lógicas, 
que, traduzindo na nossa 
linguagem a estrutura da 
natureza, permitem que as 
apliquemos para cultivarmos 
a criação e cuidarmos de 
nosso bem-estar.
 • Na frase acima, quais elementos 
do universo Newton cita para 
sugerir a existência de Deus?
De onde vem que a natureza 
nada faz em vão, e de onde 
surge toda a Ordem e Beleza 
que percebemos no mundo?... 
Não parece dos fenômenos 
que há um ser incorpóreo, vivo, 
inteligente, onipresente, que 
no espaço infinito, como que 
sensorialmente, vê as coisas em 
seu íntimo [...] e as compreende 
por inteiro apenas por estarem 
presentes diante dele?”.
 • Por que motivos devemos tentar 
compreender esse universo?
Newton, I. Opticks: or, a Treatise of the Reflec-
tions, Refractions, Inflections, and Colours of 
Light, London: 4 ed., 1730, p. 370. Obra, de 
domínio público, cujo original em inglês está 
disponível em http://www.gutenberg.org/fi-
les/33504/33504-h/33504-h.htm acesso mar-
ço/2013. Tradução Bruno L. Romano.
1SINAL DA ORDEM E COERÊNCIA“No princípio criou Deus os céus e a terra. E a terra era sem forma e vazia; e havia trevas sobre a face do abismo; e o Espírito 
de Deus se movia sobre a face das águas. E disse Deus: Haja luz; 
e houve luz. E viu Deus que era boa a luz; e fez Deus separação 
entre a luz e as trevas. E Deus chamou à luz Dia; e às trevas 
chamou Noite. E foi a tarde e a manhã, o dia primeiro.”
(Gênesis 1.1-5)
CONJUNTOS
DA REALIDADE CRIADA
UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADE1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE11111111UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADE1UNIDADE1UNIDADE111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE1Ait
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OBSERVE AS TRÊS IMAGENS:
Os céus declaram a glória de Deus; o 
firmamento proclama a obra das suas 
mãos. Um dia fala disso á outro dia; uma 
noite o revela a outra noite. Sem discurso 
nem palavras, não se ouve a sua voz. 
Salmos 19:1-3
Observar o céu é uma prática humana, antiga, que nos 
remete à percepção do claro e do escuro, à contagem de pe-
ríodos temporais: dias, semanas, estações. Mas isto foi apenas o 
começo da descoberta de padrões! A tentativa de reconhecer uma 
ordem no crescimento da quantidade de pessoas ou microrganismos, 
de valores monetários ou distâncias celestes, fez com que a humani-
dade numa trajetória científica percebe-se que existe “harmonia em 
tudo isso”!
22UNIDADEUNIDADE
UM PADRÃO 
EXPONENCIAL
Animal marinho 
Nautilus, que habita 
uma concha
Formação de um furacão, 
visto do espaço.
Imagem telescópica da 
Galáxia M101.
O que você vê de comum nos três “objetos de observação”?
Ao longo desta unidade você será convidado a ver além 
das aparências, compreender padrões que se fazem presentes 
em coisas totalmente distintas, mas que possuem algo em 
comum: a Matemática.
BOAS 
DESCOBERTAS!
Que existe um padrão de comportamento 
descrito por uma variação que se encontra 
no expoente de uma potência.
GRUPOS
FAVORITOS
M A C K b o o k
notícias
amigos
colégio
curso de inglês
praia
futebol
fotos
clube
prédio
banda
mensagens
arquivos
amigos
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 61
Capítulo2
Desde os tempos primitivos, o homem aprendeu 
a contar para organizar tudo o que há ao seu re-
dor. Essa capacidade humana de diferenciar 
quantidades revela sua necessidade de viver 
em um mundo ordenado.
Por exemplo, se um homem criava ovelhas, 
era de seu próprio interesse saber quantas podia 
vender e de quantas dispunha para alimentar a si 
mesmo e sua família.
Ou seja, de forma prática, era preciso separar 
os animais em grupos, apriscos, diferentes. O que 
significa agrupar esses animais em conjuntos.
Um exemplo moderno 
dessa necessidade de orga-
nização são as páginas das 
redes sociais.
Nelas é possível separar 
as pessoas no grupo das que 
você conhece pessoalmente 
e no grupo das que não 
conhece pessoalmente. Pode 
ainda separar amigos apenas 
conhecidos.
Generalizando, você pode 
agrupar objetos distintos, 
como também distinguir 
mais de um grupo dentro 
do agrupamento maior.
Por exemplo, dentro do 
grupo “amigos”, você pode 
organizar aquelas que são da 
família, da escola, do curso 
de línguas, do trabalho etc.
Outro exemplo muito nítido da necessidade de agrupamentos, ainda nas 
redes sociais, são os chamados grupos, pois neles as pessoas estão inseridas 
de acordo com o que lhes é comum.
Além dessa organização de elementos, em alguns casos é possível estabelecer 
uma relação entre dois conjuntos por meio da comparação de seus elementos. 
Observe os seguintes casos:
 • O conjunto dos alunos de uma escola e o conjunto das mães desses alunos.
 • O conjunto das quantias investidas pelos clientes de um banco na poupança 
e o conjunto dos lucros obtidos.
Eles apontam para uma relação de dependência entre os elementos dos 
conjuntos em questão. Sendo assim, já que é possível estabelecer relações 
entre elementos de conjuntos distintos, é necessário estudar os tipos 
de relação possíveis.
DE CONJUNTOS 
A FUNÇÃO: 
UMA QUESTÃO DE RELAÇÃO
Ovelhas para 
alimentação Ovelhas
para
reproduçãoOvelhas para
troca/venda
UMA QUESTÃO DE RELAÇÃOUMA QUESTÃO DE RELAÇÃO
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Nosso cotidiano é repleto de ações que, de tanto as 
repetirmos, se tornam tão habituais que não refleti-
mos sobre elas. Por exemplo, quando se diz “Preciso 
organizar o meu dia”, “Tenho que arrumar a mala 
antes de viajar”, ou ainda, “Não mexa aí! Eu me acho 
nessa bagunça”, estamos, da maneira mais intuitiva 
possível e quase sem perceber, nos valendo de 
alguma percepção sobre como as coisas devem ser. 
Percebemos a falta de ordem e buscamos maneiras 
de corrigi-la, segundo um padrão ou uma estrutura 
que as coloque no lugar.
Mas, é claro, colocar as coisas no lugar significa 
dizer que há uma forma para como elas devem ficar. 
É a isso que se chama “ordem”. Veja como C.S. Lewis, 
o autor das Crônicas de Nárnia, contou um pouco 
da criação do mundo de Nárnia pelo Leão Aslan:
“O Leão andava de um lado para o outro na terra nua, cantando 
a nova canção. Era mais suave e ritmada do que a canção com a 
qual convocara as estrelas e o sol; uma canção doce, sussurrante.
À medida que caminhava e cantava, o vale ia ficando verde 
de capim.[...] Todo esse tempo, prosseguiam a canção do Leão e 
seu majestoso caminhar, de um lado para outro, para a frente e 
para trás [...] Polly achava a canção cada vez mais interessante, 
pois começara a perceber uma ligação entre a música e as 
coisas que iam acontecendo. Quando uma fileira de abetos 
saltou a uns cem metros dali, sentiu que os mesmos estavam 
ligados a uma série de notas profundas e longas que o Leão 
cantara um segundo antes.” 
C.S. Lewis , O Sobrinho do Mago. 
No conto de fadas escrito por Lewis, Aslan cria Nárnia por meio de 
uma canção. Conforme ele canta, sua música gera os bosques e os 
campos esverdeados. Assim, por meio da ordem musical, Aslan ditou 
a ordem das coisas no mundo que criou.
 Diante disso, você já parou para pensar como o ser humano 
tem uma necessidade interior de compreender, ordenar, e então ma-
nipular aquilo que o cerca? Em outras palavras, olhar o caos e encon-
trar a ordem?
“Ele muda as épocas e as estações; destrona 
reis e os estabelece. Dá sabedoria aos sábios 
e conhecimento aos que sabem discernir. 
Revela coisas profundas e ocultas; conhece o 
que jaz nas trevas, e a luz habita com Ele.” 
Daniel 2.21-22
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282 | MATEMÁTICA | 1ª SÉRIE | UNIDADE 2 MATEMÁTICA | 1ª SÉRIE | UNIDADE 2 | 283
Se todo o corpo fosse olho, onde estaria a audição? Se todo o 
corpo fosse ouvido, onde estaria o olfato? De fato, Deus dispôs 
cada um dos membros no corpo, segundo a sua vontade. Se 
todos fossem um só membro, onde estaria o corpo? Assim, há 
muitos membros, mas um só corpo. O olho não pode dizer à mão: 
“Não preciso de você!” Nem a cabeça pode dizer aos pés: “Não 
preciso de vocês!” Pelo contrário, os membros do corpo que 
parecem mais fracos são indispensáveis... 
(1 Coríntios 12:17-22)
Se você possuir o mesmo hábito da maioria dos jovens e adoles-
centes de hoje, provavelmente (a não ser que esteja em sala de 
aula) a leitura deste texto deve estar ocorrendo acompanhada 
de algum som de seu agrado, ouvido através de um fone.
Embora calibrados de fabrica de modo a impedir intensidade 
sonora acima de 80 ou 85 dB, a utilização dos smartphones para 
apreciação de músicas e vídeos, tem conduzido os usuários a utili-
zarem cada vez mais fones de ouvido em volumes que os “isolam” 
dos ruídos externos.
Esses auscultadores, que podem chegar a 120dB, expõem o 
usuário, por um período além do recomendado, a intensidades 
que podem causar dano físico ao aparelho auditivo. Fato agravado 
quando o modelo é de inserção, ou intra-auriculares, pois o mesmo 
aumenta em até três vezes a intensidade sonora.
QUAL A CONSEQUÊNCIA DISSO?
Perdas auditivas esperadas para a faixa dos 60 anos de idade sendo 
diagnosticadas em pessoas de 30 anos. Pesquisas nacionais e inter-
nacionais tem constatado um aumento significativo de problemas 
de audição em crianças e adolescentes. Em sua grande maioria oca-
sionado pela exposição nociva à players de música, videogames etc.
Mas você já se perguntou como isso acontece?
O OUVIR!
Essa funçãoimportantíssima do 
corpo humano se baseia numa 
das estruturas mais frágeis do or-
ganismo. Observe a imagem am-
pliada da parte interna do ouvido.
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Em várias páginas, você encontrará ícones e termos como Conceito, Glossário e Localize 
que representam complementos ao tema e assuntos abordados, seja na forma de textos, 
de atividades, em sugestões de sites, � lmes e livros ou em chamadas à re� exão e memória. 
RECURSOS
Conceito
Traz a sistematização de 
um conceito-chave que 
merece destaque em 
meio à explicação de 
determinado assunto.
Glossário
Um pequeno dicionário 
com termos técnicos 
presentes no texto.
Sugestões 
bibliográ� cas
Sequencia de livros, sites, 
� lmes e outras fontes de 
informação para sua 
pesquisa extra livro.
Código QR 
É um código de resposta 
(ou leitura) rápida (do 
inglês, Quick Response 
Code), indicado junto 
ao recurso Para acessar. 
A partir de um aplicativo 
de celular (que tenha 
câmera) ou tablet, o 
código QR pode identi� car 
rapidamente o site/blog. 
Na impossibilidade de 
usar o celular/tablet, você 
pode digitar o endereço 
virtual indicado.
INTEGRANDO CONHECIMENTOS
Tem como objetivo a integração do conteúdo com a cosmovisão 
cristã através da re� e xão sobre uma referência bíblica.
MATEMÁTICA, TECNOLOGIA, 
SOCIEDADE E AMBIENTE
Relaciona a matemática com as Ciências Humanas e da 
Natureza, mostrando pontos de conexão entre elas, como 
também o contexto histórico e/ou sociocultural que levaram 
ao desenvolvimento de um assunto do capítulo em questão. 
Ou ainda, conecta o saber matemático, desenvolvido no 
capítulo, a uma tecnologia.
VALE LEMBRAR
Resgate de conteúdos trabalhados anteriormente que 
servem no momento como pré-requisito para o novo saber.
VOCÊ SABIA?
Apresenta informações complementares e 
suplementares ao conteúdo abordado no capítulo.
PRODUÇÃO DE PESQUISA
Propostas de incentivo à busca de informações em outras fontes (algumas 
não escritas, como no caso de música ou de monumentos), para ampliação 
do conhecimento em determinado tema abordado no capítulo e iniciação 
ao processo de produção cientí� c a (individual ou coletiva).
PARA REFLETIR
Iniciação ao processo de produção cientí� c a individual ou 
coletiva. Indicação de pesquisa para aprofundar o conteúdo 
com orientações pedagógicas.. 
PARA ACESSAR
Indicação de links, vídeos, � lmes, bibliogra� as , dicas culturais 
e literárias, dentre outras, para auxiliar na compreensão do 
tema abordado.
PENSANDO MATEMÁTICA
Apresentação de desa� os ma temáticos contemporâneos ou não, 
relacionados ao mundo da matemática, que necessariamente, não 
precisam ter aplicação prática atualmente.
VAMOS PRATICAR
Exercícios e/ou atividades de indução para sistematizar/analisar o 
conteúdo apresentado e indicação de outros exercícios no caderno 
de atividades.
CADERNO DE ATIVIDADES
Ícone que faz referência ao Caderno de Atividades, onde o 
aluno encontrará uma lista de exercícios, originais, do Enem 
e de vestibulares.
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SUmário
 Capítulo 1 Conjuntos: UMA ORGANIZAÇÃO MATEMÁTICA18 Pensando Matematicamente22 Conjunto, elemento e pertinência25 Conjunto do todo, do um e do nada27 Número de elementos de um conjunto
Unidade 1Conjuntos: sinal da ordem e coerência da realidade criada
14
 Capítulo 2 De conjuntos à função, UMA QUESTÃO DE RE� ÇÃO62 Relação entre conjuntos63 O plano cartesiano67 Produto cartesiano70 Relação binária74 Relação inversa
76 Funções84 Classi� cação das funções100 Funções compostas105 Função inversa
111 Referências bibliográ� cas
111 Sugestões bibliográ� cas
 Capítulo 3 Começando a ESTABELECER PADRÕES113 Função a� m (polinomial do 1o grau)118 Aspectos da função a� m126 Inequação polinomial do 1o grau132 Função quadrática (polinomial do 2o grau)
134 Aspectos da Função Quadrática
145 Inequação polinomial do 2o grau
154 Função modular155 Módulo
156 Equações modulares160 Inequações modulares165 De� nição de uma função modular172 Refletindo ideias e atitudes
11
2
60
16
29 Subconjuntos31 Número de subconjuntos de um conjunto32 Propriedades dos conjuntos35 Operações entre conjuntos
35 União
36 Intersecção38 Número de elementos da união e 
 da intersecção de dois conjuntos
39 Diferença
44 Conjuntos numéricos49 Fração geratriz51 A reta real52 Representação dos números reais em intervalos54 Operações com intervalos59 Referência bibliográ� ca59 Sugestões bibliográ� cas
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 Capítulo 4 Expoente, SEU VALOR VARIOU
180 Descobrindo um padrão na variação do expoente191 Propriedades e representação grá� ca da função exponencial198 Equações exponenciais204 Inequações exponenciais209 Referência bibliográ� ca209 Sugestão bibliográ� ca
 Capítulo 5 Expoente, SUA FORMA MUDOU 
211 Manipulando números218 De� nição de logaritmo220 Propriedades iniciais do logaritmo222 Propriedades operatórias222 Propriedade do produto223 Propriedade do quociente223 Propriedade da potência224 Propriedade da raiz224 Principais bases logarítmicas240 Resolução de problemas247 Referências bibliográ� cas
247 Sugestão bibliográ� ca
Unidade 2Um padrão exponencial
176
24
8
21
0
17
8
 Capítulo 6 O expoente EM UMA NOVA FUNÇÃO
255 Funções logarítmicas259 Representação grá� ca da função logarítmica264 Função logarítmica e sua inversa
267 Equações logarítmicas273 Inequações logarítmicas
282 Refletindo ideias e atitudes
Dó
Ré#
Mi
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Si
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A foto abaixo é de uma 
formação geológica na forma 
de prismas encaixados, 
resultante de uma erupção 
vulcânica: Giant’s Causeway 
(Calçada dos Gigantes). Nela 
encontramos a junção da 
beleza dos elementos da 
natureza com a beleza dos 
elementos geométricos.
Isto nos leva a pensar que, ao 
observar a natureza, seja no 
mundo mineral, vegetal ou 
animal, através de um 
microscópio ou de telescópio, 
percebe-se que existe uma 
ordem nos elementos 
constituintes, e é possível 
observarem-se padrões de 
repetição.
Por exemplo: as formas 
geométricas presentes 
nas formações geológicas, 
em � ocos de neve ou na 
anatomia humana, 
demonstram organização, 
harmonia e beleza.
SINAL DA ORDEM E COERÊNCIA
“No princípio criou Deus os céus e a terra. E a terra era sem 
forma e vazia; e havia trevas sobre a face do abismo; e o Espírito 
de Deus se movia sobre a face das águas. E disse Deus: Haja luz; 
e houve luz. E viu Deus que era boa a luz; e fez Deus separação 
entre a luz e as trevas. E Deus chamou à luz Dia; e às trevas 
chamou Noite. E foi a tarde e a manhã, o dia primeiro.”
(Gênesis 1.1-5)
CONJUNTOS
DA REALIDADE CRIADA
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UNIDADE
Perceba que até mesmo as leis 
presentes na construção do 
universo trazem o melhor 
aproveitamento da matéria, 
como é o caso da colmeia, cuja 
forma permite que haja maior 
volume de armazenamento de 
mel com a menor quantidade 
de cera utilizada nos alvéolos.
Por meio desse presente 
divino que é a capacidade 
de observarmos a criação, 
e, com nosso raciocínio, 
compreendê-la em suas 
múltiplas formas, podemos 
também criar tanto objetos 
para o nosso cotidiano, tais 
como máquinas, edifícios 
e obras de arte, como leis 
abstratas, porém lógicas, 
que, traduzindo na nossa 
linguagem a estrutura da 
natureza, permitem que as 
apliquemos para cultivarmos 
a criação e cuidarmos de 
nosso bem-estar.
 • Na frase acima, quais elementos 
do universo Newton cita para 
sugerir a existência de Deus?
De onde vem que a natureza 
nada faz em vão, e de onde 
surge toda a Ordem e Beleza 
que percebemos no mundo?... 
Não parece dos fenômenos 
que há um ser incorpóreo, vivo, 
inteligente, onipresente, que 
no espaço infi nito, como que 
sensorialmente, vê as coisas em 
seu íntimo [...] e as compreende 
por inteiro apenas por estarem 
presentes diante dele?”.
 • Por que motivos devemos tentar 
compreender esse universo?Newton, I. Opticks: or, a Treatise of the Re� ec-
tions, Refractions, In� ections, and Colours of 
Light, London: 4 ed., 1730, p. 370. Obra, de 
domínio público, cujo original em inglês está 
disponível em http://www.gutenberg.org/� -
les/33504/33504-h/33504-h.htm acesso mar-
ço/2013. Tradução Bruno L. Romano.
1UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADE111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE111111111UNIDADE1UNIDADE11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1UNIDADE11111111111111111111111111111111111111111111111111111111UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE1UNIDADE1UNIDADE1111111UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE1
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Elena Schweitzer/Shutterstock.com
CaPÍtulo
Conjuntos: 
uma organização 
matemática Talvez você já tenha ouvido mais de uma vez, quando era criança, frases 
como: “Arrume essa bagunça!” ou 
“Quero ver esse guarda-roupa todo 
organizado!”. Ou ainda, dependen-
do dos hábitos alimentares da sua 
família e da convivência com os 
mais velhos: “Tem que separar o 
feijão” ou “Precisa escolher o arroz”.
Todas essas frases trazem em 
si a mesma ideia: saber agrupar 
alguma coisa seguindo um critério 
preestabelecido. Vejamos outros 
modos de perceber ou expressar a 
busca por organização.
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 17
 • Observe, ao lado, a obra da 
artista Tarsila do Amaral. Em
sua opinião, qual seria o ele-
mento comum no que está 
sendo retratado? 
 • A imagem ao lado refl ete 
que tipo de ideia?
 • Com base no título deste 
capítulo, qual é a sua expec-
tativa ao olhar, por exemplo, 
para os livros nas prateleiras 
de uma biblioteca?
 • Por fi m, que tipo de informa-
ção se deseja passar em um 
ambiente com esta imagem?
Observe que, para indicar as ações cotidianas expressas nas imagens, 
torna-se necessário o uso de verbos como agrupar, classifi car, ordenar e ex-
cluir. Tais palavras são compreendidas em seus signifi cados e têm um tipo 
específi co de ação a ser executada, a qual intimamente ligada a procedi-
mentos matemáticos ou a mecanismos desenvolvidos para vincular, desvin-
cular e reordenar agrupamentos, algo que transmite a ideia de conjuntos.
Para compreender melhor como esse e outros processos ocorrem, é preciso 
entender como se dá o pensamento matemático.
Alexey Pushkin/Shutterstock.com
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18 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Não se associe com quem vive de mau humor, nem ande em 
companhia de quem facilmente se ira; do contrário você 
acabará imitando essa conduta e cairá em armadilha mortal. 
Provérbios 22.24-25 (nVi)
Quando Deus criou todas as coisas Ele agrupou cada parte da criação, 
estrelas, animais terrestres, animais marinhos, de acordo com o seu 
conjunto. Quando fez isso ele não só estava unindo como estava 
distinguindo as coisas, mostrando que a criação é diversa. Quando 
nós nos agrupamos e formamos nossos conjuntos, também fazemos 
isso unindo­nos a algumas pessoas e distinguindo­nos de outras. 
Geralmente, distinguir­se não é algo bem visto. Mas, em sua opinião, 
deveríamos nos unir a todas as pessoas? As companhias que 
preferimos dizem algo sobre quem nós somos? 
Pensando
matematiCamente
Você já pensou em como o conhecimento matemático foi construído?
Embora não haja registros históricos que comprovem a ordem dos fatos, é 
possível imaginar que o homem precisou contar o dia e a noite, os ciclos da lua, 
os períodos de calor e frio, chuva e estiagem, assim como a quantidade de indi-
víduos de um grupo para controle de alimento, a noção de espaço e delimitação 
de um território.
Em suma, de forma muito simples, podemos dizer que o ser humano apren-
deu a contar o que estava ao seu redor, ao mesmo tempo que realizava compa-
ração entre objetos. Em seguida, por meio dessa comparação, ele passou a 
procurar formas de medir o mundo ao seu redor. E, para tanto, precisou não só 
observar, mas também estabelecer regras e procedimentos.
Aliado a isso, com o avanço da linguagem e da escrita, o homem precisou de-
senvolver dois mecanismos muito importantes: uma forma específi ca de regis-
trar os valores obtidos por procedimentos e regras de contagem e medição, e a 
nomenclatura de objetos, procedimentos e regras.
Mas por onde começar? O que serve de início, base, fundamento para desen-
volver o resto? A Matemática chama esses objetos de entes primitivos, ou seja, 
ideias e conceitos relacionados a um objeto que possuem um signifi cado intuiti-
vo, sem que haja necessidade de provas ou demonstrações.
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r
P
∝
MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 19
Podemos dizer que esses entes 
primitivos não têm definição, mas o 
significado deles é de compreensão 
geral. Como exemplos mais simples 
e práticos, temos, da geometria, 
o ponto, a reta e o plano. 
Se você consultar alguns dicionários, provavelmente encontrará, 
para a definição de ponto, algo parecido com uma marca ou um sinal 
de tamanho mínimo e formato arredondado.
Embora essa definição nos dê uma noção do que seja um ponto, 
matematicamente, ela é imprecisa. Afinal, o que significa exatamente 
tamanho mínimo? Talvez o que se deseja dizer é que o ponto é adi-
mensional (não possui dimensão, tamanho). Logo, pode ser tão pe-
queno quanto se queira. E ainda, por não ter dimensão, não pode 
possuir formato, ou seja, o “arredondado” vem muito mais do objeto 
que se usa para representá-lo do que de uma forma específica. 
Talvez você esteja se perguntando: "Será que realmente não existe 
uma definição de ponto?". Para esclarecer melhor essa dúvida, pro-
cure na internet, em dicionários ou livros de Matemática o significado 
de ponto, reta e plano. Além do que já foi mencionado aqui e em sala 
de aula, talvez você tenha encontrado as seguintes definições:
 • Ponto é o encontro de duas retas ou três planos.
 • Reta é a menor distância entre dois pontos ou o encontro 
de dois planos.
 • Plano é a superfície que passa por duas retas, uma reta e 
um ponto, ou por três pontos.
Note que, para tentar definir ponto, reta e plano, é preciso 
usar reta, ponto ou plano? Ou seja, não se define o que cada 
um é, mas há apenas explicações.
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igor.stevanovic/Shutterstock.com
20 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
O que estamos querendo dizer 
é que nem tudo em Matemática é 
demonstrável! E se o que temos 
não for nem ente primitivo, nem 
axioma, o que ele será então?
Se não é ente primitivo ou 
axioma (postulado), é algo que 
necessita de demonstração para 
ser considerado verdadeiro, e isso 
a matemática chama de teore-
ma. Um exemplo muito conheci-
do é o teorema de Pitágoras, que 
possui várias demonstrações de 
sua validade.
Além dos objetos que não possuem 
definição, a Matemática também se uti-
liza dos chamados axiomas ou postu-
lados, que, segundo o dicionário, são 
ideias, afirmações que não necessitam 
de demonstração, de prova. Por exem-
plo, ao dizermos “Em uma reta ou fora 
dela, existem infinitos pontos”, não é 
preciso demonstrar para afirmarmos 
que isso é verdade. Por isso, axiomas ou 
postulados são utilizados como hipóte-
ses iniciais, de partida, para demonstra-
ções de outras afirmações e conceitos. 
Book_M1_EM_LD.indb20 13/01/15 08:43
MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 21
Pois nele vivemos, nos movemos e existimos’, como disseram 
alguns dos poetas de vocês: ‘Também somos descendência dele’
Atos 17.28
Não conseguimos provar certas ideias ou hipóteses matemáticas. Apesar 
disso, usamos a todo o momento essas ideias e hipóteses, sem nos 
questionarmos sobre sua defi nição ou prova. Isso acontece porque esses 
conhecimentos são básicos, formam o ponto de partida para outros 
conhecimentos. Segundo a Bíblia, Deus é uma necessidade básica para o 
nosso conhecimento também. Apesar disso, muitas pessoas assumem com 
mais facilidade crenças matemáticas do que a crença em Deus. Em sua 
opinião, por que isso acontece?
 • Diante do que foi exposto, classifi que cada item abaixo como: ente 
primitivo, axioma (ou postulado) e teorema. Se necessário, busque 
informações em outras fontes de pesquisa, como livros e internet.
a. O todo é maior que a parte.
b. Conceito de igualdade.
c. Todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem 
ser decompostos num produto de números primos.
D. Se quantidades iguais forem subtraídas das 
mesmas quantidades, os restos serão iguais.
E. Conjunto.
Axioma 
Ente primitivo
Teorema, conhecido como teorema fundamental da aritmética
Axioma 
 Ente primitivo 
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22 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Conjunto, elemento 
Considerando que a imagem ao lado 
representa uma sala de aula do 1º ano 
do Ensino Médio, complete as frases:
______________________ é o grupo 
de alunos do Ensino Médio.
____________________ possui a 
característica de estudar no 1º ano 
do Ensino Médio.
Observe que, para formalizar uma estrutura de 
organização da realidade ao nosso redor, é preciso 
recorrer primeiramente à noção de agrupar em 
um único lugar objetos com aspectos comuns ou 
então identificar a característica que um determi-
nado ser ou objeto tem que o faz ser parte de um 
grupo. Tanto num caso quanto em outro, a Mate-
mática irá utilizar entes primitivos, chamados conjunto e elemento.
Para representá-los, contamos com, basicamente, três maneiras 
distintas. Por exemplo, considere o conjunto que possui os núme-
ros 1, 2, 3, 4 e 5 como elementos:
i. A primeira é enumerar seus elementos um a um, colocando-os 
entre colchetes, como no conjunto a seguir:
Essa maneira tem a vantagem de permitir que se visualize cada 
elemento do conjunto, mas é pouco prática quando há muitos ou 
infinitos elementos.
ii. A segunda maneira é descrever uma característica comum e 
exclusiva dos elementos, como no caso do mesmo conjunto 
do exemplo anterior, que pode ser escrito do seguinte modo:
e Pertinência
A sala de aula
Cada aluno
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1
3
54
2
a
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iPics/Shutterstock.com kingero/Shutterstock.com Alexander Chaikin/Shutterstock.com
MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 23
iii. A terceira maneira de represen-
tar um conjunto é por meio de 
um diagrama de Venn-Euler 
(ver ilustração ao lado).
DiAGrAMAS DE VEnn-EuLEr
Embora em muitos livros conste 
apenas diagramas de Venn, os 
diagramas de Venn-Euler são 
assim denominados porque esse 
tipo de epresentação foi, 
primeiro, usado por Leonhard 
Euler, no século XVIII, e, depois, 
por Jonh Venn, em um trabalho 
de lógica formal, em 1880. Leonhard Euler (1707-1783) John Venn (1834-1923)
Agora que sabemos como representar um conjunto e seus ele-
mentos, a pergunta a ser respondida é a seguinte: "O que faz deter-
minado elemento pertencer, ou não, a um conjunto?". Em outras 
palavras, qual é o critério de pertinência?
Analise cada imagem a seguir e determine, com suas palavras, 
o critério de organização dos elementos em cada conjunto abaixo 
representado.
a. b. c.
Sugestão de resposta:
Torcer por um time ou equipe. 
Sugestão de resposta: Ser fl or e ter o 
mesmo tom de coloração. 
Sugestão de resposta:
Ser militar.
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24 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Em Matemática, quando queremos afi rmar que um elemento 𝑥 
pertence a um conjunto 𝐴 , usamos o símbolo ∈ (lê-se: “pertence a” 
ou “é elemento de”). Assim, nas imagens analisadas anteriormente, 
podemos supor que
 • se A é o conjunto dos torcedores de times de futebol da capital 
carioca, eles podem ser representados por
 • se B é o conjunto das fl ores com tonalidade rosa, então
 • se C é o conjunto dos militares brasileiros, então
Em termos numéricos, dado um conjunto 𝐴 = {1, 2, 3}, pode-
mos fazer três afi rmações usando o símbolo ∈:
GlossÁrio
O que é pertinência?
A palavra “pertinência” é um 
substantivo que signifi ca "ser 
parte de algo". Em Matemática, 
a pertinência é a relação que se 
estabelece entre elementos e 
conjuntos. Na vida cotidiana, 
quando afi rmamos, por 
exemplo, que alguém fez 
observações pertinentes, 
queremos dizer que tais 
observações se referem ao 
assunto que está sendo 
discutido e que elas têm 
alguma importância.
E para negar a pertinência, ou seja, para afi rmar que determinado ele-
mento não pertence a um conjunto, usamos o símbolo ∉. Assim:
 • Um local que necessita de muita organização, 
tanto na disposição dos corredores quanto das 
prateleiras, é o supermercado.
a. Geralmente, como um super-
mercado é organizado?
∈ 
∉
Sugestão de resposta: Em corredores com o mesmo 
grupo de produtos e prateleiras com produtos de 
mesmo gênero e/ou marca.
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 25
b. Cite quatro critérios para a organização dos 
produtos em forma de conjuntos. Não se es-
queça de usar as representações aprendidas 
até o momento.
c. Segundo a sua realidade local e chamando 
de S o maior supermercado de sua cidade, 
escreva (na notação de conjuntos), pelo 
menos, três produtos que não fazem parte 
dos produtos comercializados. Por exemplo: 
.
Conjunto do todo, 
do um e do nada
De acordo com o critério de pertinên-
cia (ou não pertinência), escreva quan-
tos elementos há em cada um dos 
conjuntos apresentados a seguir.
Colher de 
madeira:
Pino de cor 
vermelha:
Flamingo 
azul:
Sugestão de resposta: 
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26 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Você acertou se respondeu que todas as colhe-
res (20) são de madeira, que um único pino é ver-
melho e que nenhum flamingo é azul. Esses três 
exemplos mostram que, entre os diversos tipos de 
conjunto existente, três se destacam pela impor-
tância e generalidade. Ou seja, ao estabelecermos 
determinada condição de pertinência para os ele-
mentos de um conjunto, podemos afirmar:
 • Se esse conjunto contém todos os elementos 
considerados, segundo a condição de perti-
nência, ele é chamado de conjunto universo, 
geralmente representado por 𝑆 ou 𝑈 (caso das 
colheres). Perceba que qualquer conjunto po-
de ser um conjunto universo, desde que ele 
represente o todo da situação em questão.
 • Se esse conjunto contém um único elemento 
segundo a condição de pertinência, ele é cha-
mado de conjunto unitário (caso dos pinos), 
que pode ser escrito com o único elemento 
entre as chaves.
 • Se esse conjunto não contém nenhum 
elemento, ele é chamado de conjunto vazio 
e representado pelos símbolos { } ou ∅ 
(caso dos flamingos). Assim, em linguagem 
matemática, usando o símbolo ∀, que quer 
dizer para todo ou para qualquer, pode- 
mos escrever:
Lê-se: Para todo (ou qualquer) 𝑥, 𝑥 não pertence 
ao conjunto vazio.
O conjunto vazio sempre deve ser representa-
do por um de seus símbolos: { } ou ∅. Ele nunca 
deve ser representadopelos dois símbolos ao 
mesmo tempo, isto é, não se deve usar {∅}, pois, 
nesse caso, estaremos representando um conjunto 
unitário, cujo único elemento é o conjunto vazio.
{ }
∅
{∅}
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Ma
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n/
Sh
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k.c
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 27
número de elementos 
de um Conjunto
Voltando ao exemplo das colheres e 
dos flamingos, responda: "Quantos 
elementos têm os conjuntos apresen-
tados a seguir?":
Das colheres 
de madeira:
Dos flamingos 
rosa?
Provavelmente você deve estar se questionando sobre como fazer a con-
tagem dos flamingos. Entretanto, você também já deve ter percebido que, 
embora haja na figura uma quantidade finita deles, a qualidade da imagem 
impossibilita a contagem completa. Logo, usando notação de conjuntos:
O número de elementos do conjunto 𝑀 é:
Observe outros exemplos de conjuntos 
representados pela notação: 𝑛( )
O número de elementos de cada um é:
Assim, considerando que o nú-
mero de elementos do conjun-
to 𝐶 foi colocado como infinito, 
podemos dizer que 𝑛( F ) tam-
bém é infinito?
Não! Pois, infinito, por defini-
ção, é aquilo que não tem fim, e 
por mais que a quantidade de 
flamingos, na foto, possa repre-
sentar todos os flamingos do 
mundo, ainda estamos falando 
de uma quantidade finita, ou 
seja, um valor específico.
𝑛( )
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28 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
1. Dado o critério de formação de um conjunto e de um elemento 
aleatório, verifi que a relação de 
pertinência e escreva-a usando 
a notação de conjuntos:
Exemplo: Conjunto dos 
números pares e número 3.
a. Conjunto dos números primos 
e número 57.
b. Conjunto dos números fracio-
nários e número 9/5.
c. Conjunto dos números 
negativos pares e número 0.
2. Observe os conjuntos e identifi que a quantidade 
de elementos.
a. 
a. 
3. Sabendo que os conjuntos podem ser classifi cados em universo, unitário e vazio, classifi que os conjuntos a seguir 
conforme a condição de pertinência dos elementos.
b. 
b. 
c. 
D. 
E. 
F. 
D. 
E. 
F. 
Resolva a 
questão 1 
do "Caderno 
de atividades". 
c. 
3
0
3
infi nito
3
5
Vazio 
Unitário 
Unitário 
Vazio 
Vazio 
Universo
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 29
subconjUntos
Um conjunto, cujos elementos são maçãs, é muito amplo, 
pois existem vários tipos de maçã. O que pode ser feito pa-
ra classificar mais detalhadamente determinado tipo de 
maçã é destacar uma característica específica, como a cor, o 
país produtor ou o nome popular. Por exemplo, maçã ver-
de, maçã Fuji, maçã Gala.
Maçã 
verde 
Maçã 
Fuji 
Maçã 
Gala 
Ao fazermos isso, formamos conjuntos dentro de um conjunto maior 
ou, melhor dizendo, criamos subconjuntos.
Assim, matematicamente falando, quando todos os elementos de um conjunto 𝐴 
são elementos de um conjunto 𝐵, dizemos que é 𝐴 subconjunto de 𝐵 (ou 𝐴 está con-
tido em 𝐵) e representamos essa afirmação do seguinte modo:
Ou seja, os elementos de A são também elementos de B. Nesse caso, podemos 
dizer ainda que B contém A.
Outro exemplo do cotidiano é quando afirmamos que a farinha está contida nos 
ingredientes do bolo ou, mais comumente, que o bolo contém farinha.
Para negarmos que um conjunto 𝐴 seja subconjunto de um conjunto B, utiliza-
mos o símbolo ⊄. Por exemplo:
, pois e ;
, pois 
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30 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Determine todos os elementos 
e todos os subconjuntos do 
conjunto 𝐴 = {∅, 1, {1, 3}}. 
Por definição, para negar a afirmação “𝐴 ⊂ 𝐵”, é necessário encontrar 
um elemento de 𝐴 que não seja elemento de 𝐵, como no exemplo anterior.
Assim, considerando o conjunto vazio que não possui nenhum ele-
mento, não se pode encontrar um elemento dele que não seja elemento 
de qualquer outro conjunto, conforme já mencionado. Logo, não pode-
mos negar a seguinte afirmação:
Se A é um conjunto, então .
Outra observação importante é a de que um conjunto 𝐴 é sempre sub-
conjunto de si mesmo ( ∀𝐴, 𝐴 ⊂ 𝐴), pela própria definição de subconjunto.
Resolução:
 • Elementos de 𝐴 :
Note que 3 ∉ 𝐴 e sim ao conjun-
to {1, 3 }, que é elemento de 𝐴 .
 • Subconjuntos de 𝐴 com:
Nenhum elemento: 
Apenas um elemento:
ExErcício rESoLViDo
Dois elementos:
Três elementos:
ConCeito
O conjunto das 
partes de um 
conjunto 𝐴, 
representado por 
℘( 𝐴), é o conjunto 
cujos elementos 
são todos os sub­
conjuntos de 𝐴. 
Por exemplo, se
𝐴 = {1, 2, 3}, então 
℘( 𝐴) = {∅, {1}, {2}, 
{3}, {1,2}, {1,3}, 
{2,3}, 𝐴}.
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 31
número de 
subConjuntos 
de um Conjunto
Considerando, como visto 
anteriormente, que o conjunto 
vazio é um subconjunto de 
qualquer conjunto e que todo 
conjunto é subconjunto de si 
mesmo, tente estabelecer, 
numa situação muito simples, 
todos os subconjuntos dos 
conjuntos apresentados ao lado:
Subconjuntos:
Subconjuntos:
Subconjuntos:
Subconjuntos:
Para representar a contagem dos 
subconjuntos obtidos dentro de cada 
conjunto utilizamos a seguinte tabela:
Embora tenha sido possível representar esses subconjuntos, note que 
esse processo não é muito prático, uma vez que, se um conjunto possui 50, 
100, ou 1000 elementos, torna-se humanamente impraticável a descrição, 
bem como a contagem de todos os seus subconjuntos.
Assim, é preciso observar com mais atenção a segunda e a última coluna 
da tabela. Você percebe alguma relação?
Note que, ao acrescentarmos um elemento a um conjunto, dobramos 
o número de seus subconjuntos. Desse modo, é possível generalizarmos os re-
sultados com a seguinte afi rmação:
“Se um conjunto possui elementos, então ele possui subconjuntos".
conjunto SuBconjuntoS
nÚMEro 
DE ELEMEntoS
nÚMEro DE 
SuBconjuntoS
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32 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Determine o número de subconjuntos de 
um conjunto que possui 10 elementos.
ExErcício rESoLViDo
Resolução:
 • O número de subconjuntos desse 
conjunto é 210 = 1024 subconjuntos.
ProPriedades
dos Conjuntos
Agora que já fomos apresentados às princi-
pais noções sobre conjuntos, vamos estu-
dar algumas propriedades que facilitam 
sua comparação e organização. Para tanto, 
trabalharemos com alguns exemplos, utili-
zando três conjuntos quaisquer: X, Y e W.
1ª ProPriedade: TransiTividade
Exemplo: Seja X o conjunto dos moradores da 
cidade de São Paulo, Y o conjunto dos morado-
res do Estado de São Paulo e W o conjunto dos 
moradores do Brasil, podem-se fazer as seguin-
tes afirmações:
 • 𝑋 ⊂ 𝑌, pois quem mora na cidade de 
São Paulo mora no Estado de São Paulo; 
 • 𝑌 ⊂ 𝑊, pois quem mora no 
Estado de São Paulo mora no Brasil.
Como consequência:
 • 𝑋 ⊂ 𝑊, ou seja, quem mora na 
cidade de São Paulo mora no Brasil.
Assim, para representar a primeira propriedade 
dos conjuntos, usamos:
Se e , então .
2ª ProPriedade: 
igualdade de conjunTos
Em 2011, após uma pesquisa com, aproximadamente, 
de 165 milhões de cadastros de pessoas físicas (CPFs), 
 foi publicada na mídia uma lista com os 50 nomes mais 
utilizados no Brasil. Apresentamos a seguir a lista com 
os 20 primeiros:
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 33
1º Maria 6º Ana 11º Pedro 16º Antônia
2º José 7º Luiz 12º Francisca 17º Marcelo
3º Antônio 8º Paulo 13º Marcos 18º Jorge
4º João 9º Carlos 14º Raimundo 19º Márcia
5º Francisco 10º Manoel 15º Sebastião 20º Geraldo 
Fonte: <http://mulher.uol.com.
br/comportamento/noticias/
redacao/2011/11/28/maria-e-
jose-sao-os-nomes-mais-comuns-no-brasil-veja-lista-
com-os-50-mais-populares.
htm>. Acesso em: maio 2013. 
Supondo que um conjunto seja formado com esses nomes, 
o que ocorreria se eles fossem colocados em ordem alfabética? 
Os elementos deixariam de ser os mesmos?
Provavelmente você já deve ter percebido que, independente-
mente da ordem, os elementos serão os mesmos. Assim, chaman-
do de A o conjunto dos 20 primeiros nomes mais utilizados no 
Brasil por ordem de classifi cação e de B o conjunto dos 20 primei-
ros nomes mais utilizados no Brasil por ordem alfabética, teremos:
ou ainda que:
Ou seja, independentemente da posição em que o mesmo elemento aparece, 
os elementos são os mesmos. Logo, os conjuntos são os mesmos. Assim, podemos 
representar essa propriedade do seguinte modo: 
Se e , então .
ExErcício rESoLViDo
(Mackenzie) Se , então: 
a. b. c. D. E. 
Resolução:
 • Os elementos 1, 2 e 3 estão 
em ambos os conjuntos; o 
elemento –1 está escrito no 
primeiro conjunto, mas não 
no segundo; e o elemento 4 
está escrito no segundo con-
junto, mas não no primeiro. 
Com essa comparação, 
podemos concluir, pela 
igualdade dos conjuntos, 
o seguinte:
Resolvendo o sistema pelo 
método da soma, obtemos:
Então, substituindo o valor de 
na primeira equação, temos: 
Logo, 𝑥 < 𝑦. Portanto, a alternativa “b” é a correta.
Exemplo:
Book_M1_EM_LD.indb 33 13/01/15 08:44
34 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
1. Escreva o conjunto daspartes do conjunto .
2. Determine quantos subconjuntos tem cada conjunto a seguir.
a. 
b. 
c. 
D. 
E. 
F. 
3. Seja um conjunto tal que: Quantos são os possíveis conjuntos? Escreva-os.
4. Sabendo que
 determine o valor de 
 ,
.
5. Realize, agora, uma refl exão conceitual sobre os conjuntos! O diagrama apresentado a seguir indica os principais 
conceitos trabalhados até aqui, relacionando-os e mostrando 
o caminho de estudo. Termine de preenchê-lo.
Resolva as questões 
2 a 4 do "Caderno 
de atividades".
1
2
32
32
Infi nitos
1024
Os possíveis conjuntos X são quatro:
.
O valor de 
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estão contidos ( )
em um ou mais
são em 
quantidadde de
contêm ( )
um ou vários
podem pertencer ( )
ou não pertencer ( ) aos
co n j u n to S
Subconjuntos
infinita
Elementos
universo
 , então x = YSe x Y e
possuem 
as seguintes 
propriedades
se destacam, 
entre outros, em
possuem 
quantidade
por não ter
por ter apenas um
por, conforme 
sua caracteristica de 
formação, possuir todos os
Se e Y W, então
Ru
be
ns
 Ch
av
es
/Fo
lha
pre
ss
Le
o C
ao
be
lli/
Fo
lha
pre
ss
oPerações entre 
conjUntos
Quando trabalhamos com números, po-
demos efetuar várias operações, como a 
soma, subtração, multiplicação, divisão 
etc. Porém, quando se trata de conjuntos, 
você deve estar se perguntando com ba-
se no título dado: "Quais são as operações 
entre eles realizadas?".
Diferentemente das operações com os 
números, para os conjuntos existem, basi-
camente, três operações: união, intersec-
ção e diferença. Veja como são elas!
união 
O primeiro shopping a ser construído na 
América Latina foi o Shopping Iguatemi, 
em 1966, na cidade de São Paulo. Com 
área de total de 46.573 m2, 320 lojas distri-
buídas em quatro pisos e 2.603 vagas de 
estacionamento. Embora os números 
sejam grandes, já foram, e muito, supera-
do pelo maior shopping center da América 
Latina em 2013, o Centro Comercial Leste Arican-
duva. Composto pelo Shopping Leste Aricanduva, 
Interlar Aricanduva (voltado para móveis) e Auto 
Shopping Aricanduva (voltado para carros e 
 motos), totalizam 425.000 m2 de área construída. 
Possui 574 lojas, três hipermercados, 15 conces-
sionárias de veículo, uma unidade do Detran, pis-
ta de test-drive e 14.700 vagas de estacionamento. 
Shopping 
Iguatemi
Centro Comercial 
Leste Aricanduva
2º para n elementos 
do conjunto
Finita
Vazio
Unitário
são formados por
X Y Y W
Y X
Book_M1_EM_LD.indb 35 13/01/15 08:44
36 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
Mas o que isso tem a ver com conjuntos?
O processo de agregar em um único espaço 
diversos tipos de comércio pode ser traduzido, 
em termos matemáticos, como unir vários 
elementos de conjuntos diversos, sem que exista 
algo em comum entre eles.
O processo chamado de união ( ∪) de dois 
conjuntos 𝐴 e 𝐵, representado por 𝐴 ∪ 𝐵, nada 
mais é do que o conjunto que tem todos os ele-
mentos de A e todos os elementos de 𝐵:
O destaque do conectivo ou é para indicar 
que, para um elemento fazer parte do conjunto 
𝐴 ∪ 𝐵, basta pertencer a um dos conjuntos em 
questão. Por fi m, fazendo a representação pelo 
diagrama de Venn-Euler, temos a imagem abaixo.
a b
Veja o exemplo a seguir:
Dado 
o conjunto união é formado por
ou ainda pelo diagrama de Venn-Euler:
1 6
futebol basquete
vôlei
bola3
5
42 7
Por exemplo, voltando ao caso do shopping 
center, se chamarmos de:
 • A o conjunto de lojas de roupa,
 • B o conjunto de lojas de calçados,
 • C o conjunto de fast-foods,
 • D o conjunto de lojas de eletrônicos,
e assim por diante, poderemos afi rmar o seguinte:
interseCção
Qual é a relação entre futebol, vôlei e basquete?
Provavelmente, se você conversou com seus 
colegas de classe, cada um percebeu uma ou até 
mesmo alguém não achou nenhuma relação. 
Mudemos a pergunta: "Quais esportes coleti-
vos podem ser colocados no grupo dos que utili-
zam bola?". Com certeza, essas três modalidades, 
no mínimo, seriam citadas.
Mas existem várias modalidades de futebol, 
vôlei e basquete. Assim, podemos dizer que cada 
uma delas representa um conjunto com regras e 
formas de jogo diferentes entre si, mas que pos-
suem pelo menos um elemento comum: o fato de 
necessitarem de uma bola para serem jogadas.
Assim, utilizando as formas de representação 
de conjuntos, podemos representar a situação 
como: .
elementos
de A
elementos
de B
OU
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 37
a
a
b
b
Nessa situação, é possível perceber que o 
elemento comum “bola”, que antes estava muito 
subjetivo na primeira pergunta, na segunda se 
evidenciou como critério de interligação dos con-
juntos (futebol, vôlei, basquete). Assim, podemos 
dizer que esse é o elemento comum entre essas 
modalidades esportivas, o elemento do conjunto 
intersecção entre elas.
GlossÁrio
intersecção: do latim intersectio, é a junção de dois 
termos: inter (entre) e sectio (seção), ou seja, do 
ponto de vista matemático signifi ca, entre seções. 
Dessa forma, chamamos de intersecção ( ∩) 
de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, representada por 𝐴 ∩ 𝐵, 
o conjunto que tem como elementos todos os 
elementos que são comuns a A e a B:
O conectivo E é empregado para ressaltar que 
os elementos de 𝐴 ∩ 𝐵 devem pertencer simulta-
neamente aos conjuntos em questão.
Ou, ainda, fazendo a representação pelo dia-
grama de Venn-Euler, temos a imagem abaixo.
Caso não haja intersecção entre dois conjuntos dados, estes são 
chamados de conjuntos disjuntos ou de conjuntos mutuamente 
exclusivos (imagem abaixo). Nesse caso, .
𝐴𝐴   ∩  𝐵𝐵	
  
Por exemplo, para obtém-se: .
⊂ 
∪
∩
elementos
de A
elementos
de B
E
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38 | MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1
número de elementos da união e 
da interseCção de dois Conjuntos
Pense na situação descrita a seguir.
Em um colégio, o dono da cantina decidiu fazer uma pesquisa 
com os 35 alunos de uma sala de aula, para saber que produto 
novo valeria a pena ser oferecido aos fregueses. O questionário 
aplicado por ele continha apenas duas perguntas: 
1. Você compraria salada 
de frutas na cantina?
2. Você compraria vitamina 
de frutas na cantina?
APÓS A APLicAÇÃo oBtEVE
o SEGuintE rESuLtADo:
25 alunos 
responderam 
“sim” à questão1.
20 alunos 
responderam 
“sim” à questão 2.
Observe que o número de respostas “sim” é igual a 45 (25 + 20) , 
ou seja, ultrapassa o número de alunos pesquisados. Logo, é possí-
vel concluir que há alunos que responderam “sim” às duas questões. 
Para contarmos corretamente quantos comprariam apenas um 
dos produtos ou os dois produtos novos, precisamos primeiramen-
te saber quantos não comprariam nenhum dos produtos. 
Suponha que dois alunos tenham respondido “não” às duas ques-
tões. A conta a ser feita, então, é:
Em que 𝑥 é o número de alunos que responderam “sim” às duas 
questões. Esse número deve ser subtraído, porque foi contado 
entre os 25 que comprariam salada de frutas e também entre os 
20 que comprariam vitamina. Desse modo, teremos a equação: 
Observe que, nesse exemplo, o número de alunos que 
comprariam ao menos um dos produtos é 33, que é o 
número de elementos da união dos dois conjuntos, sendo 
A o conjunto dos alunos que comprariam salada de frutas 
e B o conjunto dos alunos que comprariam vitamina. 
Assim, concluímos que 12 alunos comprariam os dois produtos.
Podemos generalizar o que fi zemos acima usando a denomina-
da Lei de De Morgan: 
a b
U
13
2
812
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MateMática | 1a série | Unidade 1 | caPítUlo 1 | 39
QuEM É DE MorGAn?
Augustus De Morgan nasceu na Índia, em 1806. 
Apesar de cego de um olho, isso não o impediu de 
ser um notável matemático britânico, alcançando a 
distinção máxima em matemática, por Cambridge.
Tratou, entre outras coisas, de álgebra, lógica 
e probabilidades, com destaque para o trabalho 
de continuidade em relação ao que George Boole 
desenvolvia sobre a teoria dos conjuntos.
Considerado uma companhia agradável, foi 
professor da recém­criada Universidade de 
Londres, como também o primeiro presidente 
da London Mathematical Society. Deixava todos 
intrigados com sua idade, uma vez que, quando 
perguntado sobre ela, respondeu: “Eu tinha anos 
de idade no ano ”. Faleceu em 1871, na cidade 
de Londres.
Augustus De Morgan (1806-1871)
ExErcício rESoLViDo
(UDESC) Considere, em um conjunto universo 
com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 
3, 5 e 7 elementos, respectivamente. É correto 
afi rmar que:
a. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝘊 tem no máximo 2 elementos.
b. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝘊 tem no mínimo 1 elemento.
c. 𝐵 ∩ 𝘊 tem 3 elementos.
D. 𝐴 ∩ 𝘊 tem no mínimo 2 elementos.
E. 𝐴 ∩ 𝐵 pode ser vazio.
Resolução:
 • Como o conjunto 𝘊 possui 7 elementos, ele é 
igual ao conjunto universo. Sendo assim, ( 𝐴 ∩ 
𝐵) ∩ 𝘊 = 𝐴 ∩ 𝐵. Quanto maior for o número de 
elementos de 𝐴 ∪ 𝐵 , menor será o número de 
elementos de 𝐴 ∩ 𝐵. O valor máximo de 𝑛( 𝐴 ∪ 
𝐵) é 7 .
 • Nesse caso, como
temos: .
diFerença
No ano 2000, o número de linhas de celular habilitadas 
no Brasil era de 17.855.894, e surpreendentemente em 2012 
chegou a 254.948.934, ultrapassando a população nacional, 
que, na época, era de aproximadamente 190 milhões 
de habitantes.
Aliado a esse crescimento, também é preciso registrar 
o avanço tecnológico que esses aparelhos receberam nos 
últimos anos. Não sendo muito justo comparar os primeiros 
aparelhos de telefonia móvel com os atuais smatphones. 
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Na verdade, com a criação desses aparelhos que 
são minicomputadores, começou uma diferencia-
ção entre os aparelhos de telefonia móvel, de 
modo que uns são chamados apenas de celular e 
outros de smartphones. Entretanto, a cada dia 
que passa, essa diferença diminui.
Trazendo essa informação para linguagem de 
conjuntos, é possível afi rmar que existe um gran-
de conjunto genérico 𝐴 de aparelhos de telefonia 
móvel e outro conjunto 𝐵, mais específi co, de 
smartphones. E que se quisermos expressar um 
novo conjunto 𝐶 de aparelhos móveis que não 
sejam smartphones, deveremos retirar do primei-
ro conjunto aqueles elementos que pertencem 
ao segundo conjunto. Com isso, fazendo uso das 
notações de conjuntos, podemos representar a 
situação como:
B
A
C
Assim, podemos dizer que a diferença de um 
conjunto 𝐴 em relação a um conjunto 𝐵, repre-
sentada por 𝐴 - 𝐵, 𝐴\𝐵 ou , é o conjunto que 
tem como elementos todos os elementos de 𝐴 
que não são elementos de 𝐵, também chamada 
de “o complementar 𝐵 de em relação a 𝐴”.
De forma genérica, a representação da dife-
rença 𝐴 - 𝐵 por meio do diagrama de Venn-Euler 
é feita conforme a fi gura abaixo: 
a
a - b
b
Pensando num exemplo numérico, para 
Por fi m, podemos considerar como válida a 
afi rmação de que, para um conjunto universo 𝘚, 
um subconjunto 𝐴 qualquer e seu complemen-
tar Ᾱ, tem-se 
que pelo diagrama de Venn-Euler pode 
serexpresso conforme imagem abaixo:
A
S S
a a
-
A
ExErcício rESoLViDo
(UDESC) Uma das últimas febres da internet são os sites de compras coletivas, que 
fazem a intermediação entre anunciantes e o consumidor fi nal, oferecendo cupons 
com grande percentual de descontos na compra de produtos e/ou serviços. O gestor 
de um destes sites, preocupado em acompanhar essa tendência e ao mesmo tempo 
oferecer novas opções para seus clientes, tabulou os dados referentes aos negócios 
realizados por sua empresa durante o ano de 2011. De posse desses dados, ele 
(gestor) percebeu que em seu site foram ofertados cupons apenas nas seguintes 
categorias: Gastronomia, Entretenimento e Saúde & Beleza. Além disso, 
e 
é possível afi rmar o seguinte:
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G
G
E
E
S
S
considerando apenas os cinco mil clientes cadastrados que 
efetuaram a compra de pelo menos uma oferta do seu site, o 
gestor notou que 52% destes adquiriram cupons do segmento 
Gastronomia, enquanto 46% aderiram a ofertas de Saúde & Beleza 
e 44% compraram itens relacionados a Entretenimento. O gestor 
notou também que apenas 300 clientes compraram cupons dos 
três segmentos disponíveis, enquanto que 800 clientes adquiriram 
ofertas de Gastronomia e Entretenimento e 700 compraram itens 
de Gastronomia e Saúde & Beleza. Então a soma do número de 
clientes deste site que comprou as ofertas relacionadas, 
exatamente, a um dos três segmentos disponíveis é: 
a. 3800
b. 2600
c. 3200
D. 2200
E. 3000
Resolução:
 • Sejam G , E e S , respectivamente, os conjuntos dos clientes que efetuaram com-
pras nas categorias de Gastronomia, Entretenimento e Saúde & Beleza.
 • Como 300 clientes compraram nas três categorias e 800 nas de Gastronomia e 
Entretenimento, deduzimos que 500 fi zeram compras apenas nas categorias de 
Gastronomia e Entretenimento.
1400
1400
1600 � X
1400 � X
300
300
500
500
400
400 X
 • Como 300 clientes efetuaram compras nas três 
categorias e 700 nas de Gastronomia e Saúde 
& Beleza, deduzimos que 400 efetuaram com-
pras apenas nas categorias de Gastronomia e 
Entretenimento.
 • 52% de 5.000, ou seja, 2.600 clientes com-
praram na categoria de Gastronomia. Sendo 
assim, os que compraram apenas em Gastro-
nomia foram:
 • Seja 𝑥 o número de clientes que comprou 
apenas na categoria de Entretenimento e 
Saúde & Beleza.
 • 46% de 5.000 , ou seja, 2.300 clientes fi zeram 
compras na categoria de Saúde & Beleza. 
Sendo assim, os que o fi zeram apenas em 
Saúde & Beleza foram:
44% de 5.000, ou seja, 2.200 clientes efetuaram 
compras na categoria de Entretenimento. Então:
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é o número de clientes que fez suas compras 
apenas na categoria de Entretenimento.
 • Sendo assim,
1. Dados os conjuntos e
 • Desse modo, o número de clientes do site que comprou ofertas 
relacionadas, exatamente, a um dos três segmentos disponíveis é:
Assim, a alternativa correta é a letra “c”.
, use o diagrama de Venn-Euler para estabelecer