Analise Nodal

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Analise Nodal 
 
ÍNDICE DE CONTEÚDO 
 
• Análise nodal sem fontes de tensão 
• Exemplo de análise nodal sem fonte de tensão 
• Análise nodal com fontes de tensão 
• Saiba Mais 
• Referências 
Este post faz parte da série Eletricidade básica. Leia também os outros posts da série: 
• Código de cores de resistores 
• Transformação Y-Delta (Estrela-Triângulo) 
• Campo Elétrico 
• Carga Elétrica 
• Circuito Elétrico 
• Unidades de medidas para eletricidade e eletrônica 
• Primeira e Segunda Lei de Ohm 
• Conheça as Leis de Kirchhoff 
• Como calcular potência elétrica 
• Associação de resistores 
• Divisor de Tensão 
• Divisor De Corrente 
• Analise Nodal 
• Análise de Malhas 
• Transformação De Fontes 
• Teorema da superposição de efeitos 
• Teorema de Thévenin 
• Teorema de Norton 
• Capacitores 
• Máxima Transferência De Potência 
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• Tipos de capacitores 
• Associação De Capacitores 
• Circuito RC: Carga e descarga de capacitores 
• Indutores 
• Associação de Indutores 
• Circuito RL 
• Corrente Alternada 
• Números Complexos 
• Impedância e Admitância 
• Circuito RLC Série 
• Potência em CA 
Uma vez que foram entendidas as leis fundamentais da teoria dos circuitos, lei de 
Ohm e leis de Kirchhoff, duas técnicas de análise de circuitos, baseadas nessas leis, 
poderão ser aplicadas: a análise nodal e a análise de malhas. 
 A análise nodal, baseia-se em uma aplicação sistemática da lei 
de Kirchhoff para corrente (LKC), conhecida como lei dos nós. 
 Neste artigo entenderemos como essa técnica funciona. 
Análise nodal sem fontes de tensão 
A análise nodal é uma estratégia para análise de circuitos usando tensões nodais como 
variáveis de circuitos. É conveniente optar por tensões nodais ao invés de tensões de 
elementos, em alguns circuitos, para diminuir o número de equações a serem resolvidas. 
 Nessa primeira análise nodal vamos considerar circuitos que não possuem fontes de 
tensão, somente fontes de corrente. 
 Para encontrar as tensões nos nós, em um circuito com n nós sem fontes de tensão, 
realiza-se o seguinte procedimento. 
Procedimento para determinar as tensões nodais 
1. Selecione um nó como referência; 
2. Atribua tensões v1, v2, … , vn-1 aos n - 1 nós restantes. Todas as tensões são 
medidas em relação ao nó de referência; 
3. Aplique a LKC a cada um dos n - 1 nós que não são o de referência. Para 
expressar as correntes nos ramos, em termos de tensões nodais, use a lei de 
Ohm; 
4. Resolva as equações resultantes para obter as tensões nodais. 
Aplicando cada uma das etapas, primeiramente é preciso definir o nó de referência. 
Normalmente, o nó de referência é chamado de terra (GND), isso porque se assume que 
ele tem potencial nulo. Há pelo menos dois símbolos utilizados para indicar o nó de 
referência, como pode-se observar na Figura 1, aqui será mais utilizado o segundo 
símbolo. 
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Figura 1 - 
Símbolos usados para indicar nó de referência ou terra. 
 Na Figura 2 temos um circuito sem fonte de tensão que iremos resolver por meio da 
análise nodal. O nó de referência foi nomeado como 0, cuja tensão é considerada nula 
(v0=0), os demais nós foram nomeados como 1 e 2. 
Figura 2 - 
Circuito para entender a análise nodal. 
 Na segunda etapa atribuímos v1 e v2 ao seus respectivos nós. Lembrando que, as 
tensões são definidas em relação ao nó de referência e é por essa razão que, além do nó 
de referência, há apenas dois nós. 
 Na terceira etapa aplicamos a LKC a cada um dos nós - que não são de referência - do 
circuito. Assim temos a Figura 3, em que as tensões e correntes estão destacadas. 
Figura 3 - 
Circuito avaliado. 
 Ao aplicar LKC no nó 1 e 2, respectivamente, temos: 
 
 
 Para expressar as correntes desconhecidas (i3, i4 e i5) em termos de tensões nodais, 
aplica-se a lei de Ohm. Como nos resistores a corrente flui de um potencial mais 
elevado para um mais baixo, podemos expressar isso como: 
 
 Dessa forma temos que: 
 
 
 
 Substituindo nas equações de LKC, temos: 
 
 
Sabendo que a condutância é definida por: 
 
 Podemos reescrever as equações como: 
 
 
O último passo é o de encontrar as tensões nodais v1 e v2, através das duas equações 
obtidas anteriormente. O método para determiná-las pode ser o da substituição, da 
eliminação, a regra de Cramer ou a inversão de matrizes. 
Exemplo de análise nodal sem fonte de tensão 
Para fixar a análise nodal, sem fonte de tensão, resolveremos o exemplo da Figura 4 por 
todos os métodos citados. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_Cramer
Figura 4 - 
Esquema para entender a análise. 
Aplicando a LKC e a lei de Ohm no nó 1, obtemos: 
 
Para remover a fração multiplicamos a equação por 4. 
 
 Realizando o mesmo procedimento no nó 2, obtemos: 
 
 Multiplicando cada termo por 12, temos: 
 
 Em posse das equações, mostradas abaixo, é possível determinar v1 e v2 por qualquer 
um dos métodos. 
 
• Método 1: eliminação 
 Somando a primeira equação com a segunda obtemos v2: 
 
Substituindo v2 na primeira equação, encontramos v1: 
 
• Método 2: substituição 
Para encontrar v1, primeiramente utilizamos a primeira equação para isolar v2. 
 
A tensão v2 será utilizada na segunda equação, para obter v1, logo: 
 
 
 Uma vez encontrado v1, basta substituir o seu valor na primeira equação e encontrar 
v2. 
 
• Método 3: regra de Cramer 
Para usar a regra de Cramer, precisamos reescrever as equações na forma matricial e 
calcular seu determinante. Logo: 
 
O determinante da matriz é dado por: 
 
 Assim, obtemos v1 e v2 da seguinte forma: 
 
 
• Método 4: matriz inversa 
 Sabendo que: 
 
 Temos que: 
 
 Ao realizar a multiplicação entre as duas matrizes obtemos os valores de v1 e v2. 
 
Análise nodal com fontes de tensão 
Agora, entenderemoscomo a análise nodal é afetada pelas fontes de tensão. Para isso 
existem 2 casos: 
• Caso 1:Se a fonte de tensão está conectada ao nó de referência e a outro nó 
qualquer, a tensão no nó - que não é de referência - é igual à tensão da fonte de 
tensão. 
• Caso 2:Se a fonte de tensão (seja dependente ou independente) estiver 
conectada entre dois nós que não são de referência, haverá a formação de 
um super nó. Então aplica-se tanto a LKC como a LKT para determinar as 
tensões nodais. 
Na Figura 5, temos uma aplicação do caso 1, assim v1 = 10 V. E também temos uma 
aplicação do caso 2. 
Figura 5 - 
Análise nodal com tensão: caso 1 e 2. 
 Como os nós 2 e 3 há um super nó, então as 4 etapas da análise nodal serão aplicadas 
normalmente, mas o super nó é tratado de forma diferente. Isso porque eles possuem as 
seguintes propriedades: 
Propriedades super nó 
• A fonte de tensão dentro do super nó fornece uma equação necessária para 
encontrar as tensões nodais; 
• Um super nó não tem nenhuma tensão própria; 
• Um super nó requer a aplicação tanto da LKC como da LKT. 
 Assim, ao aplicar a LKC ao nó obtemos: 
 
 
 Para aplicar a LKT no super nó, o circuito é redesenhado conforme mostrado na Figura 
6. 
Figura 5 - LKT em super nó. 
 Ao percorrer o laço no sentido horário, temos: 
 
E em posse dessa e das demais equações encontradas pode-se determinar v1, v2 e v3. 
Saiba Mais 
Conheça as Leis de Kirchhoff 
Teorema de Superposição em Amplificadores Operacionais 
Primeiros passos com o LTSpice XVII 
Referências 
ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 
2013. 
 
https://embarcados.com.br/conheca-as-leis-de-kirchhoff/
https://embarcados.com.br/amplificador-operacional-superposicao/
https://embarcados.com.br/primeiros-passos-com-o-ltspice-xvii/