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Livro Eletrônico Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital Guilherme Neves 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Estatística para Receita Federal (Auditor Fiscal) www.estrategiaconcursos.com.br 1 25 1. Momentos de uma Distribuição de Frequências .............................................................................................. 3 2. Assimetria ....................................................................................................................................................... 4 3. Curtose ......................................................................................................................................................... 11 4. Lista de Questões de Concursos sem Comentários ......................................................................................... 13 5. Gabarito sem comentário .............................................................................................................................. 16 6. Lista de Questões de Concursos com Comentários ........................................................................................ 17 Considerações Finais ............................................................................................................................................. 25 Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 2 25 Para tirar dúvidas e ter acesso a dicas e conteúdos gratuitos, acesse minhas redes sociais: Instagram - @profguilhermeneves https://www.instagram.com/profguilhermeneves Canal do YouTube – Prof. Guilherme Neves https://youtu.be/gqab047D9l4 E-mail: profguilhermeneves@gmail.com Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 3 25 1. MOMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Consideremos 𝑥", 𝑥$, … , 𝑥& os 𝑛 valores assumidos por uma variável 𝑋. O momento de ordem 𝑡 em relação a uma constante 𝑎 é definida como 𝑀,- = ∑(𝑥1 − 𝑎), 𝑛 Observe que 𝑥1 − 𝑎 são os desvios dos valores em relação à constante 𝑎. Para calcular o momento, devemos elevar cada desvio a 𝑡 e depois calcular a média dos valores. Se a constante 𝑎 for a média das observações, teremos o momento centrado em relação à média de ordem 𝑡 (ou simplesmente momento centrado de ordem 𝑡). 𝑀, = ∑(𝑥1 − �̅�), 𝑛 É interessante notar que o primeiro momento em relação à média é sempre zero. Basta lembrar que a soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero. 𝑀" = ∑(𝑥1 − �̅�)" 𝑛 = 0 Observe ainda que o momento central em relação à média de ordem 2 é justamente a variância das observações. 𝑀$ = 𝜎$ = ∑(𝑥1 − �̅�)$ 𝑛 Os momentos podem ser utilizados para o cálculo de medidas de assimetria e curtose. As medidas de assimetria medem o quanto uma distribuição de frequências se afasta da condição de simetria. As medidas de curtose medem o grau de achatamento. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 4 25 2. ASSIMETRIA Tomemos como exemplo o seguinte conjunto de dados. Altura (cm) Frequência 170 2 171 5 172 6 173 8 174 6 175 5 176 2 Observe que as alturas estão igualmente espaçadas. Perceba ainda a simetria das frequências em relação à linha central. Veja o gráfico que representa esse conjunto de dados. Este é um exemplo de distribuição simétrica de dados. Quando a distribuição é simétrica, a média, a mediana e a moda coincidem com o termo central. �̅� = 𝑀7 = 𝑀8 = 173 O número 173 funciona como um eixo de simetria, um espelho. Tudo que acontece à sua esquerda também acontece à sua direita. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 5 25 (CESPE 2016/TCE-PA) A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. Resolução Observe que os valores de X estão igualmente espaçados. Além disso, as frequências são simétricas em relação à linha central. Portanto, a distribuição é simétrica em relação à média. Gabarito: Certo Vejamos agora distribuições assimétricas. O gráfico acima ilustra uma distribuição positivamente assimétrica (ou assimétrica à direita). Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 6 25 Observe que a “cauda” do gráfico está à direita. Essa é uma boa forma para memorizar. O gráfico acima ilustra uma distribuição negativamente assimétrica (ou assimétrica à esquerda). A “cauda” do gráfico está à esquerda. Em uma distribuição assimétrica positiva (ou assimétrica à direita), a tendência é que existam desvios positivos bem maiores do que desvios negativos. Em uma distribuição assimétrica negativa (ou assimétrica à esquerda), a tendência é que existam desvios negativos bem maiores do que desvios positivos. Assim, poderíamos propor a média dos desvios para medir a assimetria. Entretanto, sabemos que a soma dos desvios em relação à média é sempre zero. Assim, a média dos desvios também é sempre zero (enfrentamos esse problema ao propor medidas de dispersão como desvio absoluto médio e variância). Queremos então eliminar o problema de termos média dos desvios nula, mas queremos preservar os sinais dos desvios (para poder decidir se a assimetria é negativa ou positiva). A saída é utilizar alguma potência de expoente ímpar para os desvios. Assim, os momentos 𝑀,, sendo 𝑡 um número ímpar maior do que 1, podem ser utilizados para indicar a assimetria dos dados. Frequentemente se usa o momento centrado na média de ordem 3 (primeiro número ímpar maior do que 1). Entretanto, os momentos possuem o inconveniente de dependerem da unidade de medida dos dados (mesmo problema apresentado pela variância e desvio padrão). Por exemplo, se os dados estão em centímetros, o momento de ordem 3 estará em 𝑐𝑚>. Para contornar esse problema, dividimos o momento de ordem 3 por 𝑠>. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 7 25 Obtemos assim, o coeficiente momento de assimetria. 𝑎> = 𝑀> 𝑠> Em que 𝑀> é o momento centrado de terceira ordem e 𝑠 é o desvio padrão. Outra medida de assimetria é o Primeiro Coeficientede Assimetria de Pearson. 𝐴" = �̅� − 𝑀8 𝑠 Pearson sugeriu uma aproximação para o cálculo da moda (a moda de Pearson), que é dada por 𝑴𝒐 = 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙. Substituindo essa expressão na fórmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson, temos: 𝒙H −𝑴𝒐 𝒔 𝒙H − (𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙)JKKKLKKKM 𝑴𝒐 𝒔 = 𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 𝒔 Essa fórmula é conhecida como o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson. 𝑨𝟐 = 𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 𝒔 𝑨𝟐 = 𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅) 𝒔 Temos ainda o coeficiente quartílico de assimetria, que toma os quartis como referência para indicar a assimetria. Sejam 𝒅𝟏 = 𝑸𝟐 − 𝑸𝟏 e 𝒅𝟐 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟐. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 8 25 O coeficiente quartílico de assimetria é dado por: 𝑨𝒒 = 𝒅𝟐 − 𝒅𝟏 𝒅𝟐 + 𝒅𝟏 Quando a distribuição é simétrica, os coeficientes de assimetria são nulos. Quando os coeficientes são positivos, a distribuição é positivamente assimétrica; quando os coeficientes são negativos, a distribuição é negativamente assimétrica. Sinal do Coeficiente Formato da Curva 𝐴 = 0 Simétrico 𝐴 > 0 Assimétrico à direita (assimetria positiva) 𝐴 < 0 Assimétrico à esquerda (assimetria negativa) É importante notar a posição relativa das medidas de posição em cada um dos casos. A média sempre estará posicionada na cauda. Assim, se a curva é assimétrica à direita, a média estará à direita. Se a curva é assimétrica à esquerda, a média estará à esquerda. A moda corresponderá ao ponto mais alto da curva e a mediana estará entre a média e a moda. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 9 25 No gráfico acima, temos uma distribuição assimétrica à direita. Observe que: �̅� > 𝑀7 > 𝑀8 No gráfico acima, temos uma distribuição assimétrica à esquerda. Observe que: �̅� < 𝑀7 < 𝑀8 Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 10 25 Coeficiente de Assimetria Fórmula Coeficiente Momento de Assimetria 𝑎> = 𝑀> 𝑠> Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson 𝐴" = �̅� − 𝑀8 𝑠 Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson 𝑨𝟐 = 𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅) 𝒔 Coeficiente Quartílico de Assimetria 𝑨𝒒 = 𝒅𝟐 − 𝒅𝟏 𝒅𝟐 + 𝒅𝟏 Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 11 25 3. CURTOSE A curtose indica o grau de achatamento de uma distribuição de frequências. Vamos tomar como “padrão” a distribuição normal (também chamada de distribuição gaussiana). Esta curva normal é a nossa referência. Outras curvas podem ser mais achatadas ou menos achatadas do que ela. Assim, a curva normal é chamada de mesocúrtica (“curtose do meio”). Se uma curva é bem achatada, recebe o nome de “platicúrtica”. Se a curva for menos achatada, receberá o nome de “leptocúrtica”. Existem alguns coeficientes para medir a curtose de uma distribuição. O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre o 90º percentil e o 10º percentil. 𝐶V = 𝐷X 𝑃Z[ − 𝑃"[ Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 12 25 Lembre-se que o desvio quartílico é dado por: 𝐷X = 𝑄> − 𝑄" 2 Para a curva normal (mesocúrtica), esse coeficiente vale aproximadamente 0,263. Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 𝐶V > 0,263 Platicúrtica Outro coeficiente comumente utilizado para medir a curtose é o Coeficiente Momento de Curtose. 𝑎_ = 𝑀_ 𝑠_ Em que 𝑀_ é o momento centrado de ordem 4. 𝑀_ = ∑(𝑥1 − �̅�)_ 𝑛 Para a curva normal (mesocúrtica), temos que 𝑎_ = 3. Coeficiente Momento de Curtose Curva 𝑎_ = 3 Mesocúrtica 𝑎_ > 3 Leptocúrtica 𝑎_ < 3 Platicúrtica Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 13 25 4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS (FCC 2018/TRT 14ª Região) Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-se que ela: I. é unimodal. II. apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. III. possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda. Então, essa distribuição a) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como platicúrtica. b) é assimétrica à direita e caracteriza-se como leptocúrtica. c) apresenta uma assimetria negativa e caracteriza-se como platicúrtica. d) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como leptocúrtica. e) é assimétrica à direita e caracteriza-se como platicúrtica. (FCC 2015/CNMP) Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística unimodal e as seguintes afirmações: I. Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. II. A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição a) platicúrtica e assimétrica à esquerda. b) platicúrtica e assimétrica à direita. c) leptocúrtica e assimétrica à esquerda. d) leptocúrtica e assimétrica à direita. e) leptocúrtica e simétrica. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 14 25 (AOCP 2018/SUSIPE) As idades dos funcionários de uma empresa de transporte coletivo são: 18, 20, 34, 19, 33, 57, 60, 48, 34, 30, 24, 19, 19, 21, 39, 55, 28, 45 e 32. Quanto à idade dos empregados dessa empresa, é correto afirmar que a) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à direita. b) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à esquerda. c) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à direita. d) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à esquerda. e) moda=mediana=média e a distribuição é simétrica. (FEPESE 2018/CELESC) A respeito de medidas usadas em estatística descritiva, é correto afirmar: a) Para uma determinada amostra finita, a moda pode assumir mais do que um valor. b) Uma distribuição de probabilidade mais achatada do que a distribuição normal é chamada de leptocúrtica. c) Curtose é uma medida da assimetria de uma determinada distribuição de frequência. d) Uma mediana de uma distribuição simétricapossui um valor maior do que o valor da média aritmética. e) A média geométrica de 1 e 9 é maior do que a média aritmética desses dois valores. (CESPE 2017/SEDF) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos tempos T seja leptocúrtica. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 15 25 (Instituto AOCP 2018/ADAF) Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada. Uma amostra de 100 observações resultou em: salário médio R$ 430,00; mediana R$ 435,00 e desvio-padrão R$ 25,45. Para análise, o coeficiente de assimetria de Pearson foi calculado. Assinale a alternativa correta. a) Assimetria = 0 e a distribuição dos salários é simétrica. b) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é simétrica. c) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica. d) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica negativa. e) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica positiva. (FGV 2017/MPE-BA) O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. Com base nessa informação, é correto afirmar que: a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. (Instituto AOCP 2018/ADAF) Uma distribuição apresentou as seguintes medidas: 𝑄" = 24,4 𝑐𝑚, 𝑄> = 41,2 𝑐𝑚 𝑃"[ = 20,2 𝑐𝑚, 𝑃Z[ = 49,5 𝑐𝑚 Com tais medidas, a curtose é 𝑟" = 0,286689 e a curva é a) leptocúrtica. b) platicúrtica. c) mesocúrtica. d) assimétrica. e) simétrica. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 16 25 5. GABARITO SEM COMENTÁRIO 01. B 02. D 03. A 04. A 05. C 06. E 07. C 08. D 09. C 10. B Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 17 25 6. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS (FCC 2018/TRT 14ª Região) Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-se que ela: I. é unimodal. II. apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. III. possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda. Então, essa distribuição a) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como platicúrtica. b) é assimétrica à direita e caracteriza-se como leptocúrtica. c) apresenta uma assimetria negativa e caracteriza-se como platicúrtica. d) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como leptocúrtica. e) é assimétrica à direita e caracteriza-se como platicúrtica. Resolução A média sempre fica posicionada na cauda. Como a média é maior do que as outras medidas, então a distribuição é assimétrica à direita. Além disso, como os dados estão bem concentrados em torno da moda, a curva será caracterizada como leptocúrtica. Gabarito: B Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR ==154a48== Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 18 25 (FCC 2015/CNMP) Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística unimodal e as seguintes afirmações: I. Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. II. A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição a) platicúrtica e assimétrica à esquerda. b) platicúrtica e assimétrica à direita. c) leptocúrtica e assimétrica à esquerda. d) leptocúrtica e assimétrica à direita. e) leptocúrtica e simétrica. Resolução Como os dados estão fortemente concentrados em torno da moda, então a distribuição é leptocúrtica. A média sempre fica posicionada na cauda. Como a média é maior do que as outras medidas, então a distribuição é assimétrica à direita. Gabarito: D (AOCP 2018/SUSIPE) As idades dos funcionários de uma empresa de transporte coletivo são: 18, 20, 34, 19, 33, 57, 60, 48, 34, 30, 24, 19, 19, 21, 39, 55, 28, 45 e 32. Quanto à idade dos empregados dessa empresa, é correto afirmar que a) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à direita. b) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à esquerda. c) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à direita. d) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à esquerda. e) moda=mediana=média e a distribuição é simétrica. Resolução Para determinar a mediana, precisamos dispor os termos em ordem crescente. 𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟏𝟗, 𝟏𝟗, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟐, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟒, 𝟑𝟗, 𝟒𝟓, 𝟒𝟖, 𝟓𝟓, 𝟓𝟕, 𝟔𝟎 Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 19 25 Como são 19 termos, a mediana será o termo de posição 𝟏𝟗n𝟏 𝟐 = 𝟏𝟎. 𝑴𝒅 = 𝒙𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 A moda é o termo que mais aparece. Assim, a moda é igual a 19. 𝑴𝒐 = 𝟏𝟗 Vamos calcular a média. A soma dos termos é 635. 𝒙H = ∑𝒙𝒊 𝒏 = 𝟔𝟑𝟓 𝟏𝟗 ≅ 𝟑𝟑, 𝟒𝟐 Perceba que: 𝒙H > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐 A média fica situada na cauda. Como a média é maior que a mediana e a moda, a cauda está à direita. Portanto, a curva é simétrica à direita (assimetria positiva). Gabarito: A (FEPESE 2018/CELESC) A respeito de medidas usadas em estatística descritiva, é correto afirmar: a) Para uma determinada amostra finita, a moda pode assumir mais do que um valor. b) Uma distribuição de probabilidade mais achatada do que a distribuição normal é chamada de leptocúrtica. c) Curtose é uma medida da assimetria de uma determinada distribuição de frequência. d) Uma mediana de uma distribuição simétrica possui um valor maior do que o valor da média aritmética. e) A média geométrica de 1 e 9 é maior do que a média aritmética desses dois valores. Resolução Vamos analisar cada uma das alternativas. A alternativa A está correta. Tome, por exemplo, a sequência (1,1,2,2,2,3,3,3,5). Essa é uma distribuição bimodal. As modas são 2 e 3. A alternativa B está errada, pois uma distribuiçãomais achatada que a distribuição normal é chamada de platicúrtica. A alternativa C está errada, pois a curtose não é uma medida de assimetria. A alternativa D está errada, pois a mediana e a média são iguais em uma distribuição simétrica. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 20 25 A alternativa E está errada, pois a média geométrica nunca pode ser maior do que a média aritmética (desigualdade das médias). Gabarito: A (CESPE 2017/SEDF) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos tempos T seja leptocúrtica. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. Resolução Vamos começar pelo desvio quartílico. 𝐷X = 𝑄> − 𝑄" 2 𝐷X = 8 − 2 2 = 3 Assim, o terceiro item está certo. Vamos ao primeiro item. O enunciado afirma que a média é 6. Como a média é maior do que a mediana, então a assimetria é positiva. Outra forma para determinar o sinal da assimetria seria através do Coeficiente Quartílico de Assimetria. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 21 25 𝑨𝒒 = 𝒅𝟐 − 𝒅𝟏 𝒅𝟐 + 𝒅𝟏 Vamos calcular as diferenças entre os quartis. 𝑑$ = 𝑄> − 𝑄$ = 8 − 4 = 4 𝑑" = 𝑄$ − 𝑄" = 4 − 2 = 2 Portanto, o Coeficiente Quartílico de Assimetria é dado por: 𝑨𝒒 = 4 − 2 4 + 2 = 2 6 > 0 Como o coeficiente é positivo, a curva é positivamente assimétrica. O primeiro item está certo. Vamos ao segundo item. O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre o 90º percentil e o 10º percentil. 𝐶V = 𝐷X 𝑃Z[ − 𝑃"[ Lembre-se que 𝑃Z[ = 𝐷Z, ou seja, o 90º percentil é igual ao 9º decil. Ademais, 𝑃"[ = 𝐷". Portanto, podemos reescrever o coeficiente percentílico de curtose como: 𝐶V = 𝐷X 𝐷Z − 𝐷" Já calculamos o desvio quartílico. Assim, 𝐶V = 3 10 − 1 = 3 9 = 1 3 = 0,333… > 0,263 Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 𝐶V > 0,263 Platicúrtica Como o coeficiente é maior do que 0,263, então a curva é platicúrtica. Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 22 25 O segundo item está errado. Gabarito: Certo, errado, certo (Instituto AOCP 2018/ADAF) Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada. Uma amostra de 100 observações resultou em: salário médio R$ 430,00; mediana R$ 435,00 e desvio-padrão R$ 25,45. Para análise, o coeficiente de assimetria de Pearson foi calculado. Assinale a alternativa correta. a) Assimetria = 0 e a distribuição dos salários é simétrica. b) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é simétrica. c) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica. d) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica negativa. e) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica positiva. Resolução O Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson é dado por: 𝐴" = �̅� − 𝑀8 𝑠 Pearson sugeriu uma aproximação para o cálculo da moda (a moda de Pearson), que é dada por 𝑴𝒐 = 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙. Substituindo essa expressão na fórmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson, temos: 𝒙H −𝑴𝒐 𝒔 𝒙H − (𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙)JKKKLKKKM 𝑴𝒐 𝒔 = 𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 𝒔 Essa fórmula é conhecida como o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson. 𝑨𝟐 = 𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 𝒔 𝑨𝟐 = 𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅) 𝒔 Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 23 25 𝐴$ = 3 ∙ (430 − 435) 25,45 = − 15 25,45 𝐴$ ≅ −0,58939 A distribuição é assimétrica negativa. Gabarito: D (FGV 2017/MPE-BA) O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. Com base nessa informação, é correto afirmar que: a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. Resolução A curva é fortemente assimétrica à esquerda. Assim, a média é menor do que a maioria dos envolvidos. Isso porque a média é menor do que a mediana. Logo, a média é menor do que mais de 50% dos indivíduos. Gabarito: C Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 24 25 (Instituto AOCP 2018/ADAF) Uma distribuição apresentou as seguintes medidas: 𝑄" = 24,4 𝑐𝑚, 𝑄> = 41,2 𝑐𝑚 𝑃"[ = 20,2 𝑐𝑚, 𝑃Z[ = 49,5 𝑐𝑚 Com tais medidas, a curtose é 𝑟" = 0,286689 e a curva é a) leptocúrtica. b) platicúrtica. c) mesocúrtica. d) assimétrica. e) simétrica. Resolução O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre o 90º percentil e o 10º percentil. 𝐶V = 𝐷X 𝑃Z[ − 𝑃"[ Lembre-se que o desvio quartílico é dado por: 𝐷X = 𝑄> − 𝑄" 2 A questão já deu as contas prontas. Apenas indicou quais foram as medidas para que pudéssemos qual coeficiente de curtose deveríamos utilizar. Como foram dados os quartis e os percentis, devemos usar o coeficiente percentílico de curtose. Para a curva normal (mesocúrtica), esse coeficiente vale aproximadamente 0,263. Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 𝐶V > 0,263 Platicúrtica Gabarito: B Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR Prof. Guilherme Neves Aula 05 Curso Regular de Estatística www.estrategiaconcursos.com.br 25 25 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no nosso fórum de dúvidas. Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. Um forte abraçoe até a próxima aula!!! Guilherme Neves Guilherme Neves Aula 05 Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do Trabalho) - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br 1395272 60934977399 - EMANUEL WOOD ALLEM DOS SANTOS AGUIAR
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