aula06

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6ºAula
Derivadas de Ordens Superiores
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• compreender as diversas ordens derivadas de uma função;
• conhecer notações e nomenclaturas utilizadas para o procedimento de derivadas de ordem superiores;
• relacionar derivadas de funções a problemas físicos;
• aplicar o conhecimento de derivadas sucessivas na resolução de problemas.
Até a aula passada foi estudada a fundamentação básica das derivadas 
e algumas das técnicas empregadas para solucionar determinadas situações 
de derivação. Aqui será visto que uma função que foi diferenciada poderá 
continuar a consistir outra função, que poderá ser diferenciada n vezes, 
denominada por uma ordem referente a esta quantidade. Várias são as 
nomenclaturas utilizadas nesse processo, e podem estar relacionadas a 
problemas físicos, onde descrevem determinados comportamentos como 
aceleração, velocidade, deslocamento etc.
Bons estudos!
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Cálculo Diferencial e Integral I 38
Seções de estudo
1. Derivadas de ordem superior
2. Aplicações
1 - Derivadas de ordem superior
Sejam f uma função e A o conjunto dos x para os quais 
f ’’(x) existe. A função f ’: A R dada por x f ’(x), denomina-
se função derivada ou, simplesmente, derivada de f, diremos, 
ainda, que f ’ é a derivada de 1ª ordem de f. A derivada de 1ª 
ordem de f pode ser indicada também por f (1).
A derivada de f ’ denomina-se derivada de 2ª ordem de 
f e é indicada por f ’’ ou por f (2), assim, f ’’=(f ’)’. De modo 
análogo, define-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f.
Em outras palavras, se uma função f for derivável, então 
f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a 
derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda 
de f (ou de ordem 2), e assim por diante.
Para simplificar, tome como exemplo a seguinte função 
original: f (x) = 2x4 – 3x². Suas respectivas derivadas de ordem 
superior serão:
f ’ (x) = 8x3 – 6x Derivada primeira
f ’’ (x) = 24x² - 6 Derivada segunda
f ’’’ (x) = 48x Derivada terceira
f (4) (x) = 48 Derivada quarta
f (5) (x) = 0 Derivada quinta
Exemplos
Se f (x) = 8x4 + 5x3 x2 + 7 , encontre as derivadas de 
todas as ordens de f.
f ‘(x) = 32x3 +15x2 2x f iv (x) = 192
f ‘’(x) = 96x2 + 30x 2 f v (x) = 0
f ‘’’(x) = 192x + 30 f (n) (x) = 0, n > 5
Se f (x) = 2sen(x) + 3cos(x) – x³, calcule f ’’’(x).
f ‘(x) = 2cos(x) 3sen(x) 3x2
f ‘’(x) = 2 sen(x) 3cos(x) 6x
f ‘’’(x) = 2cos(x) + 3sen(x) 6
Se f (x) = ex/2, calcule f (n) (x).
Se , calcule f (n) (x).
f ‘(x) = (-1) x-2 = -x-2
f ‘’(x) = (-1)(-2) x-3 = 2 x-3
f ‘’’(x) = (-3)(-2)(-1) x-4 = -3×2×1 x-4
f iv (x) = (-4)(-3)(-2)(-1) x-5 = 4×3×2×1 x-5
f v (x) = (-5)(-4)(-3)(-2)(-1) x-6 = 5×4×3×2×1 x-6
1.2 – Notações
Frequentemente, usamos expressões do tipo y = f (x), 
s = f (t), u = f (v) etc. para indicar uma função. Em y = f (x), 
y é a variável dependente e x a variável independente. Em s 
= f (t), s é a variável dependente e t a variável independente 
(GUIDORIZZI, 2008).
Se a função vem dada por y = f (x), a notação, devida a 
Leibniz, (leia: derivada de y em relação a x) é usada para 
indicar a derivada de f em x: 
Para a derivada segunda de y em relação a x, teremos que 
a notação de Leibniz será , porque ela representa 
. O símbolo é uma notação para a derivada enésima de y 
em relação a x.
Outros símbolos para a derivada enésima de f são:
Resumindo:
 ou (derivada de primeira ordem de f em 
relação a x)
 ou (derivada de segunda ordem de f em 
relação a x)
 ou (derivada de terceira ordem de f em relação 
a x)
 ou (derivada de ordem n de f em relação a x)
Como exemplo, calcula-se a seguinte expressão:
 
 Solução:
2 - Aplicações
Segundo Leithold (2002), f’ (x) dá a taxa de variação 
instantânea de f (x) em relação a x e f ’’ (x), que é a derivada de 
f ’ (x), dá a taxa de variação instantânea de f ’ (x) em relação a x. 
Além disso, se (x,y) for um ponto qualquer sobre o gráfico de 
y = f (x), então dará a inclinação da reta tangente ao gráfico 
no ponto (x,y). Assim, será a taxa de variação instantânea 
da inclinação da reta tangente em relação a x no ponto (x,y).
 Por exemplo, seja m(x) a 
inclinação da reta tangente à curva 
 no ponto (x,y). Determina-se a taxa de 
variação instantânea de m(x) em relação a x no ponto (2, 2).
 Solução:
A taxa de variação instantânea de m(x) em relação a x é 
dada por m’(x) ou, equivalente, por .
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 No ponto (2, 2)
2.1 – Aplicação na Física
De acordo com Leithold (2002), a derivada segunda f ’’ 
(x) é expressa em unidades de f ’ (x) por unidade de x, ou 
seja, unidade de f (x) por unidade x, por unidade de x. Por 
exemplo, no movimento retilíneo. Se f (t) cm for a distância 
de uma partícula à origem no instante t s, então f ’ (t) cm/s, 
será a velocidade da partícula no instante t s e f ’’ (t) cm/
s/s (centímetros por segundo por segundo) será a taxa de 
variação instantânea da velocidade no mesmo instante t s. Em 
física, a taxa de variação instantânea da velocidade é chamada 
de aceleração instantânea. Logo, se uma partícula está se 
movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação 
de movimento s = f (t), onde a velocidade instantânea é dada 
por v cm/s e a aceleração instantânea é dada por a cm/s², no 
instante t s, então, a será a derivada primeira de v em relação 
ao tempo ou, equivalentemente, a derivada segunda de s em 
relação a t; isto é,
Quando a > 0, v é crescente e quando a < 0, v é 
decrescente. Quando a = 0, v não muda. Como a velocidade 
escalar de uma partícula no instante t é v cm/s, temos os 
seguintes resultados:
Se v > 0 e a > 0, a velocidade escalar é crescente.
Se v > 0 e a < 0, a velocidade escalar é decrescente.
Se v < 0 e a > 0, a velocidade escalar é decrescente.
Se v < 0 e a < 0, a velocidade escalar é crescente.
Exemplo 1
Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, 
de acordo com a equação
Onde s cm é a distância da partícula até a origem, 
decorridos t s. Se v cm/s for a velocidade instantânea em t s, 
então v = . Logo,
Se a cm/s² for a aceleração em t s, então a = . Assim,
Vamos determinar para quais valores de t se anulam as 
quantidades s, v ou a. De (1),
De (2),
De (3),
Na Figura 1 estão os valores de s, v e a para t igual a 0, 1, 
2 e 3. Também estão indicados os sinais das quantidades s, v 
e a nos intervalos de t, excluindo 0, 1, 2 e 3. Uma conclusão é 
tirada relativa à posição e ao movimento da partícula para os 
vários valores de t.
Figura 1 - Resumo
Fonte: Leithold (2002).
Na Figura 2, o movimento da partícula se faz ao longo de 
uma reta horizontal e o comportamento do movimento está 
indicado acima da reta.
Figura 2 – Movimento da partícula
Fonte: Leithold (2002)
Exemplo 2 
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo 
com a seguinte equação de movimento: , onde 
s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t 
seg. Se v cm/s for a velocidade instantânea e a cm/s² for a 
aceleração em t s, determine t, s e v quando a aceleração é nula.
Solução:
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Cálculo Diferencial e Integral I 40
Tomando a = 0, teremos
Quando t = 1, temos
Portanto, a aceleração é nula 1 segundo após o início 
do movimento, quando a partícula está a 5/2 cm da origem, 
movendo-se para a direita, com uma velocidade de 2 cm/s.
Retomando a aula
que aprendemos?
1 – Derivadas de ordem superior
Você aprendeu que se uma função f for derivável, então 
f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a 
derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda 
de f (ou de ordem 2), e assim por diante. 
1.2 – Notações
Se a função vem dada por y = f (x), a notação 
é usada para indicar a derivada. Para a derivada segunda será 
.
No caso da derivada enésima usa-se 
.
2 – Aplicações
2.1 – Aplicação na física
Por exemplo, no movimento retilíneo. Se f (t) cm for a 
distância de uma partícula à origem no instante t s, então f ’ 
(t) cm/s será a velocidade da partículano instante t s e f ’’ (t) 
cm/s/s (centímetros por segundo por segundo) será a taxa de 
variação instantânea da velocidade no mesmo instante t s, que 
é chamada de aceleração instantânea.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de 
cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
LEITHOLD, Louis; JOSÉ FILHO, Sebastião Antônio; 
PAQUES, Antônio. et al. O cálculo com geometria 
analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 2002. 
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
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