Aula 02 Proteção e Estabilidade de Sistemas Elétricos - semana 3 - Exercícios

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Aula 2: Introdução à Operação, Controle e Estabilidade de 
Sistemas Elétricos de Potência
• Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
• Engº Eletricista (Bacharel)
• Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
• Engº Mecânico (Mestre)
antonio.junior@fmu.br
NOSSOS ENCONTROS SERÃO AS
SEXTAS-FEIRAS:
✓ INICIO: 19:00
✓ FINAL: 21:50
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
CÓD. TURMA: 127210A16
SEMESTRE: 10A
SEG TER QUA QUI SEX SÁB TEORIA PRÁTICA
1 15/08 19/08
Aula inicial/PLANEJAMENTO PEDAGÓGICO/Apresentação da 
Disciplina/Componentes Simétricas e Transformadas de Fortescue
2 22/08 26/08 Modelagem de Redes para as Sequências Positiva, Negativa e Zero
3 29/08 02/09 Cálculos de Faltas Assimétricas em Geradores sem Carga
4 05/09 09/09 Cálculos de Faltas Assimétricas em Elementos do Sistema de Potência 
5 12/09 16/09 Análise de Transiente em uma Falta
6 19/09 23/09 Faltas Simétricas e Análise de Falta sob Carga e Contribuição De Motores
Aula de simulação– Análise de Curto-Circuito em Sistemas 
de Potência ANAREDE
7 26/09 30/09 Análise de Faltas através da Matriz Impedância - Zbarra
8 03/10 07/10 Análise Computacional de um Transiente de um Sistema de Potência sob falta Aula de simulação/MONTAGEM DE BARRAS ANAREDE
9 10/10 14/10 Prova A1
10 17/10 21/10 Relés de Proteção - Tipos: Mecânicos, Estáticos e Digitais
11 24/10 28/10 Tipos de Proteção de um Relé Digital 
12 30/10 04/11 05/11 APS/Proteção Primária e Retaguarda
13 07/11 11/11 Zonas de Proteção/Chaves Fusíveis e Elos Religadores
14 21/11 18/11 Relés de Sobrecorrente
15 28/11 25/11 Religadores/Seccionalizadores Automáticos
16 05/12 02/12 Prova N2
17 09/12 Entrega de Resultados
18
N o s s o CRONOGRAMA
ANALISADOR DE ENERGIA FLUKE
Ia = 112,6A
IB = 108,2A
IC = 108,5A
N = 4,3A
O teorema de Fortescue 
De maneira semelhante, as correntes de sequência negativa podem ser escritas como
Equação 15
As correntes de sequência zero podem ser escritas de maneira ainda mais simples
Equação 16
Substituindo as relações (14), (15) e (16) na relação (4), teremos que:
Equação 14 Equação 15 Equação 16
O teorema de Fortescue 
Equação 4
Equação 16a
Equação 16b
Equação 16c
Escrevendo a relação acima em forma matricial, teremos:
Equação 17
O teorema de Fortescue 
ou, em notação mais compacta 
Equação 18
Equação 19
Onde:
O sobre-índice abc denota o sistema desequilibrado original e o sobre-índice 012 denota o sistema de
sequência.
A matriz de transformação [A] tem algumas propriedades interessantes.
O teorema de Fortescue 
Equação 20
Primeiro, podemos notar que ela é simétrica, ou seja,
onde o sobre-índice T denota a matriz transposta.
Além disso, podemos verificar que:
onde [I] é a matriz-identidade.
Este resultado será útil mais tarde.
Equação 21
Finalmente, a matriz [A] é invertível, com inversa dada por:
Equação 22
Pré-multiplicando a relação (18) por [A]-1, podemos agora obter as componentes de sequência em
função das componentes do sistema abc original
Equação 23
Equação 24
Note, da relação acima, que
Sistema de sequência 012 escrito em termos do sistema
abc original.
Equação 25
1/[A] =[A]-1 = 1/3[I]
1
In = Ia +Ib +Ic
I0a = In/3
O teorema de Fortescue 
O teorema de Fortescue 
“Quando tal caminho não existir, como é o 
caso de conexões delta, a corrente de 
sequência zero será nula.” 
• onde In é a corrente de neutro. 
• Assim, só haverá corrente de sequência zero em 
circuitos nos quais houver caminho para a corrente 
de neutro.
ANALISADOR DE ENERGIA FLUKE
Ia = 112,6A
IB = 108,2A
IC = 108,5A
N = 4,3A
Componentes Simétricas - Relembrando
• Estudo utilizado para auxiliar o equacionamento de sistemas 3~ desequilibrados.
• Pode servir de indicador do grau de desequilíbrio do sistema. (sequencia positiva,
negativa e zero)
• Pode-se observar se o desequilíbrio envolve corrente de neutro ou terra. (caso
contrário só teremos sequência positiva e negativa)
• Se um sistema equilibrado for submetido a análise de componentes simétricas,
apenas as componentes de sequência positiva existirão (e serão iguais ao próprio
sistema original)
1. Usando a relação (24), calcule as correntes de sequência para um sistema abc
equilibrado.
Solução.
Em um sistema totalmente equilibrado, teremos:
Onde:
Aplicando (24), vem:
Ou
Equação 7
Equação 6
Exercícios
1. Usando a relação (24), calcule as correntes de sequência para um sistema abc
equilibrado.
Em ambos os casos a componente de sequência zero seria nula.
Os resultados acima indicam que um sistema equilibrado com os ângulos 0°, –120°, +120° (sistema de
sequência positiva) tem apenas componente de sequência positiva.
Se os ângulos fossem 0°, +120°, –120°, caracterizando um sistema de sequência negativa, apenas a
componente de sequência negativa existiria.
Exercícios
Equação 24 0
Ia
0
2. Em um sistema desequilibrado circulam as correntes Ia = 8<0º, Ib = 6 <-90º e Ic = 16<143,1º. Calcule
as correntes de sequência e desenhe os diagramas fasoriais para cada uma delas. Passe para
coordenadas retangulares. (Utilize 2 casas decimais)
Solução.
De acordo com a relação (24), teremos 
Equação 24
ou, 
Ou ainda, 
Exercícios
Em retangular, teremos: 
-1,6 + j1,2
9,31 + j3,09
0,29 - j4,29
Exercício 2
Solução.
A Figura abaixo ilustra o diagrama fasorial completo, mostrando a composição das correntes de
sequência a partir das correntes do sistema abc original.
Diagrama fasorial mostrando a composição de um sistema desequilibrado a partir de três sistemas
equilibrados
Exercício 2
Solução.
Ia = 8<0º, Ib = 6 <-90º e Ic = 16<143,1º
Ficou alguma dúvida?
Até a próxima!