Teorema da Superposição e circuitos equivalentes em estrela e triângulo

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DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo de análise de circuitos elétricos a partir do Teorema da Superposição e
princípio da linearidade, análise de circuitos ligados em estrela ou triângulo e suas
transformações equivalentes.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais do princípio da linearidade de circuitos elétricos,
necessários para aplicação do Teorema da Superposição. Analisar outras formas de
associação de elementos para além dos modos em série e paralelo, por meio das ligações em
estrela e triângulo, bem como suas transformações equivalentes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha à mão papel, caneta para anotações e, se possível, uma
calculadora científica para facilitar seus cálculos na solução de equações dos circuitos elétricos
e transformações equivalentes para as ligações estrela e triângulo.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
MÓDULO 2
Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
INTRODUÇÃO
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E
CIRCUITOS EQUIVALENTES EM ESTRELA E
TRIÂNGULO
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
javascript:void(0)
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE
MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km). No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade
(ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem
seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da
Superposição
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
INTRODUÇÃO
 
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A APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC)
E DA LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT) PERMITE A
SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS POR MANEIRAS MUITO
SIMPLES, POR MEIO DA ANÁLISE NODAL E ANÁLISE DE
MALHAS, RESPECTIVAMENTE.
No entanto, se o circuito for grande ou complexo, a aplicação dessas leis pode se tornar muito
trabalhosa, em virtude da quantidade de cálculos e equações necessárias para encontrar as
variáveis tensão e corrente nos elementos. Para lidar com o problema de solução de circuitos
elétricos complexos, diversos teoremas foram desenvolvidos para simplificar a análise.
Entre os teoremas mais utilizados, pode-se citar o Teorema de Thévenin, o Teorema de Norton
e o Teorema da Superposição, sendo esse o principal tema abordado neste módulo.
É importante destacar que os teoremas de circuitos são válidos apenas para circuitos lineares
e, por esse motivo, deve-se ter muito claro o princípio da linearidade em circuitos elétricos.
PRINCÍPIO DA LINEARIDADE
 
Imagem: Shutterstock.com
O princípio da linearidade é uma relação matemática de grande impacto em circuitos elétricos
em geral, intimamente relacionada com a proporcionalidade e que pode ser representada
graficamente por uma reta.
 VOCÊ SABIA
A linearidade é basicamente a propriedade de uma função ser compatível com adição
(aditividade) e escalonamento (homogeneidade), também chamado de superposição.
Em um circuito que obedece a propriedade de homogeneidade, se a entrada, ou seja, a fonte
de alimentação (excitação) for multiplicada por uma constante, a sua saída, ou seja, a resposta
à excitação, deverá também ser multiplicada por essa mesma constante. Considerando a Lei
de Ohm, que relaciona a entrada em corrente para saída em tensão no resistor:
V=RI
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o valor dessa corrente for aumentado “k vezes”, a tensão sob o resistor terá um
aumento de “k vezes”, ou seja:
KV=KIR
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função matemática representada por uma linha reta que passa pela origem possui a
propriedade de proporcionalidade. Seja como exemplo, a função
f (x ) = 2x
, representada pela Figura 1.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 1: Função matemática
f (x ) =y= 2x
Para o valor de
x= 2
, tem-se que
f (x ) = 2 × 2 = 4
. Se o valor de
x
for dobrado, ou seja,
x= 4
, tem-se que
f (x ) = 8
. Isso significa que, ao duplicar
x
(entrada), duplica-se também
f (x )
(saída). Essa relação é válida para qualquer valor de
x
, ou seja, o fator de escala ou proporcionalidade não varia.
Já a propriedade de adição (aditividade) diz que a resposta para a soma de entradas diferentes
em um circuito é dada pela soma das respostas a cada uma dessas entradas aplicadas
separadamente.
 EXEMPLO
A partir da relação entre tensão e corrente no resistor, sua resposta a uma entrada constituída
de duas correntes será obtida pelas respostas individuais a cada uma dessas correntes:
V1 = I1R ,V2 = I2R
Aplicando
i1 + i2
, tem-se:
V= I1 + I2 R= I1R+ I2R=V1 +V2
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 2 ilustra a propriedade de adição para uma função linear qualquer,
f (x )
:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 2: Ilustração para uma função linear.
SE AS ENTRADAS
X1
E
X2
( )
FOREM SOMADAS E COLOCADAS DENTRO DA FUNÇÃO
F (X )
, A SAÍDA SERÁ
F X1 +X2
OU A PARTIR DA PROPRIEDADE DE ADIÇÃO,
F X1 +X2 =F X1 +F X2
.
De modo geral, os conceitos de linearidade aplicados aos resistores são também estendidos
para os demais componentes do circuito, os indutores e capacitores. As leis desses
componentes são dadas por:
INDUTOR
V=L
DI
DT
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITOR
I=C
DV
DT
( )
( ) ( ) ( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Inicialmente, as Equações 4 e 5 podem não parecer referentes a funções lineares. No entanto,
basta observar a derivada como a variável independente da função linear:
INDUTOR
A relação no indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a
derivada
di /dt
é o eixo horizontal e
v
, o eixo vertical, conforme Figura 3. A inclinação dessa reta é a indutância L.
V=F
DI
DT
=L
DI
DT
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 3: Relação tensão x corrente para o indutor.
CAPACITOR
A relação no capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a
derivada
dv /dt
é o eixo horizontal e i como eixo vertical, conforme Figura 4. A inclinação dessa reta é a
capacitância C.
I=F
DV
DT
=C
DV
DT
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 4: Relação tensão x corrente para o capacitor.
 ATENÇÃO
O princípio da linearidade não se aplica à potência elétrica. Essa proposição pode ser
entendida analisando a fórmula de potência, expressa pela Equação 8:
P=RI2 =
V2
R
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 8 demonstra que a relação entre tensão e corrente para potência elétrica é
quadrática, portanto, o Teorema da Superposição, que será demonstrado mais adiante, não se
aplica para cálculos de potência.
Resumindo o princípio da linearidade:
“UM CIRCUITO É LINEAR QUANDO SUA SAÍDA ESTÁ
LINEARMENTE RELACIONADA À SUA ENTRADA, OU SEJA,
SAÍDA E ENTRADA SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.”
 EXEMPLO
Veja o circuito linear ilustrado na Figura 5. Os elementos contidos nesse circuito não são
importantes, desde que sejam lineares. A alimentação (entrada) do circuito é feita por uma
fonte de tensão e a resposta (saída) é representada pela corrente no resistor R. Quando a
fonte de tensão fornece 10V, a corrente no resistor é de 2A. Considerando o princípio da
linearidade, calcule o valor da corrente no resistor se a fonte de tensão entregar uma tensão de
10mV ao circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 5: Circuito linear resistivo.
Comoo circuito é linear, as propriedades de adição e homogeneidade são válidas.
Considerando a proporcionalidade entre os valores de entrada e saída, tem-se:
Para:
VS= 10V→ IR= 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
VS= 10MV → IR= 2MA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que, em virtude da proporcionalidade, basta fazer uma “regra de três” para obter a
solução.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 
Imagem: Stock.adobe.com
O Teorema da Superposição é baseado no princípio da linearidade apresentado anteriormente,
sendo, sem dúvidas, um dos mais utilizados em técnicas de solução de circuitos elétricos.
Esse teorema se aplica a circuitos lineares que contenham fontes independentes ou
dependentes, resistores, indutores e capacitores, que são elementos lineares, conforme
descrito anteriormente. A utilização desse teorema pode, muitas vezes, reduzir a complexidade
e facilitar a solução de circuitos elétricos.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o Teorema da Superposição é aplicado para analisar circuitos que contenham
duas ou mais fontes que não estejam conectadas em série ou paralelo, ou seja, em
arranjos diferentes que não permitam uma associação equivalente direta dessas fontes.
É possível, dessa forma, determinar os efeitos individuais de cada uma dessas fontes e suas
contribuições específicas nas grandezas dos circuitos. Para fontes de diferentes tipos, o
resultado final (total) referente às fontes trata-se da soma algébrica de seus resultados
individuais.
De modo resumido, tem-se que:
O Teorema da Superposição assegura que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de
um circuito linear é dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela
atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
Esse Teorema, portanto, permite que se encontre uma solução para corrente elétrica ou tensão
no circuito linear utilizando apenas uma fonte por vez. Assim, após encontrar as soluções
individuais, basta prosseguir com uma soma algébrica para combinar os resultados e obter a
resposta total. É importante destacar que a contribuição das fontes pode permitir que as
correntes elétricas tenham sentidos opostos ou que as tensões possuam polaridades
invertidas, por esse motivo, a contribuição total é a soma algébrica, de modo que o sinal de
cada fonte deve ser considerado.
 VOCÊ SABIA
Para aplicar o Teorema da Superposição, é necessário obter as contribuições individuais das
fontes do circuito elétrico, ou seja, é necessário avaliar cada fonte individualmente, enquanto
todas as outras restantes devem ser removidas.
Existem, basicamente, dois tipos de fonte em circuitos que deverão ser removidas, as fontes de
tensão e as fontes de corrente. Para desativá-las, tem-se:
FONTES DE TENSÃO
Para desativar uma fonte de tensão em um circuito elétrico, basta substituí-la por um curto-
circuito, ou seja, uma conexão direta entre seus terminais. Assim, a tensão será zero, que é o
mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser mantida
em série no circuito. A Figura 6 ilustra a remoção de uma fonte de tensão em parte de um
circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 6: Remoção de uma fonte de tensão.
FONTES DE CORRENTE
Para desativar uma fonte de corrente em um circuito elétrico basta substituí-la por um circuito
aberto, ou seja, uma conexão aberta entre seus terminais. Assim, a corrente elétrica será zero,
que é o mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser
mantida em paralelo no circuito. A Figura 7 ilustra a remoção de uma fonte de corrente em
parte de um circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 7: Remoção de uma fonte de corrente.
 ATENÇÃO
Pode-se dizer que o número de circuitos a ser analisado a partir do Teorema da Superposição
se refere ao número de fontes existentes, tendo em vista que o efeito de cada uma será
determinado individualmente. A princípio isso pode parecer uma desvantagem do método de
análise, no entanto, a superposição contribui para reduzir a complexidade de circuitos elétricos
pela simples substituição de fontes por curtos-circuitos ou por circuitos abertos em diferentes
situações de análise.
ETAPAS PARA APLICAÇÃO DO TEOREMA
DA SUPERPOSIÇÃO
 
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
ETAPA 1
Desativar todas as fontes independentes do circuito elétrico, exceto uma. As fontes de tensão
são substituídas por um curto-circuito e as fontes de corrente por um circuito aberto. As fontes
dependentes, ou controladas, devem ser mantidas no circuito.

ETAPA 2
Repetir a Etapa 1 até que todas as fontes independentes tenham sido consideradas e
calculadas suas contribuições individuais.

ETAPA 3
Determinar a resposta total nos elementos fazendo a soma algébrica das respostas individuais
de cada fonte. As tensões e correntes em cada ramo serão a soma das tensões e correntes
das fontes independentes obtidas individualmente. É importante atentar-se ao sentido das
correntes e à polaridade das tensões, conforme já descrito.
 EXEMPLO
Com base no Teorema da Superposição e no princípio da linearidade descritos, calcule a
corrente elétrica que circula por meio do resistor
R2
do circuito ilustrado na Figura 8:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 8: Circuito para o Exemplo 2.
Inicialmente, será determinada a contribuição da fonte de tensão de 24V. Para isso, a fonte de
corrente deve ser desativada, o que significa substituí-la por um circuito aberto, conforme
ilustrado na Figura 9.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 9: Substituição da fonte de corrente por um circuito aberto.
O resultado é um circuito em série simples e a contribuição da fonte na corrente, dada por
I
′
2
, será:
I
′
2 =
V
RT
=
V
R1 +R2
=
24
8 + 4
= 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para encontrar a contribuição da fonte de corrente, é necessário desativar a fonte de tensão,
ou seja, substituí-la por um curto-circuito, conforme ilustrado na Figura 10:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 10: Substituição da fonte de tensão por um curto-circuito.
O resultado é uma combinação em paralelo dos resistores
R1
e
R2
. Com base no princípio de divisão de corrente, a contribuição da fonte de 6A, denominada
I
′′
2
, será:
I
′′
2 =
R1
R1 +R2
I=
8
8 + 4
6 = 4A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as duas correntes encontradas tem o mesmo sentido de fluxo no resistor
R2
, a corrente total é dada pela soma de
I
′
2
e
I
′′
2
:
I= I
′
2 + I
′′
2 = 2 + 4 = 6A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este exemplo demonstra que, caso se deseje calcular a corrente elétrica em um circuito, a
contribuição para tal corrente deve ser determinada para cada fonte, conforme Teorema da
Superposição. Além disso, quando o efeito de cada fonte é determinado, correntes de mesmo
sentido são adicionadas e correntes de sentido oposto são subtraídas, de modo a obedecer a
soma algébrica dessas grandezas. O resultado obtido é o sentido da soma maior e o valor
absoluto da diferença.
Do mesmo modo, caso se deseje calcular a tensão em um elemento, sua contribuição também
deve ser determinada para cada fonte, conforme o Teorema da Superposição. Além disso,
quando o efeito de cada fonte é determinado, tensões de mesma polaridade são adicionadas,
enquanto tensões de polaridades opostas são subtraídas, de modo a obedecer a soma
algébrica dessas grandezas. O resultado obtido tem a polaridade da soma maior e o valor
absoluto da diferença.
 ATENÇÃO
Do mesmo modo que demonstrado anteriormente para o princípio da linearidade, o Teorema
da Superposição não pode ser aplicado para calcular a potência elétrica fornecida em
um circuito. Sabe-se que a dissipação de potência nos elementos lineares do circuito comoresistores, varia em função do quadrado da tensão aplicada ou da corrente que está no seu
ramo. Portanto, a potência total de cada componente do circuito não será a soma das
potências individuais quando as fontes atuam de forma isolada.
MÃO NA MASSA
1. COM BASE NO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE
ELÉTRICA QUE CIRCULA PELO RESISTOR $$R_{2}$$ DO CIRCUITO
ILUSTRADO NA FIGURA 11 É DE: 
 
 FIGURA 11: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) 6,65A
B) 8,5A
C) 5,45A
D) 7,25A
E) 4,5A
2. O CIRCUITO DA FIGURA 12 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO
ALIMENTADO POR UMA FONTE DE TENSÃO DE 1V. CONSIDERANDO OS
VALORES DOS COMPONENTES E O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O
VALOR DA CORRENTE $$I_{0}$$ QUANDO A FONTE DE TENSÃO FOR DE
10V É DE: 
 
 FIGURA 12: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
3. A FIGURA 13 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO LIGADO EM PONTE.
AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE $$I_{2}$$
QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE $$12 K \OMEGA$$ É DE
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 13: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 1,56mA
B) 2,88mA
C) 1,77mA
D) 4,45mA
E) 6,66mA
4. AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO NO CIRCUITO
ILUSTRADO NA FIGURA 14, A CORRENTE ELÉTRICA QUE CIRCULA
PELO RESISTOR DE $$12 \OMEGA$$ É DE: 
 
 FIGURA 14: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) 2,05A
B) 1,08A
C) 3,42A
D) 2,36A
E) 1,56A
5. PARA O CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 15, A CORRENTE $$I_{0}$$
É DE $$0,16 A$$ QUANDO A FONTE DE TENSÃO $$V_{S}$$ VALE 12V. SE
A FONTE $$V_{S}$$ FOR SUBSTITUÍDA POR UMA FONTE DE $$24 V$$, O
VALOR DA CORRENTE $$I_{0}$$ SERÁ DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 15: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 0,64A
B) 1,5A
C) 0,56A
D) 1,48A
E) 0,32A
6. SUPONDO INICIALMENTE QUE A CORRENTE $$I_{0}$$ SEJA 1A E
UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O VALOR REAL PARA
$$I_{0}$$ NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 16 É DE: 
 
 FIGURA 16: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
GABARITO
1. Com base no Teorema da Superposição, a corrente elétrica que circula pelo resistor
$$R_{2}$$ do circuito ilustrado na Figura 11 é de: 
 
 Figura 11: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "D " está correta.
 
É possível começar a resolver o circuito calculando a contribuição da fonte de tensão de 32V.
Nesse caso, a fonte de corrente deve ser desligada, ou seja, substituída por um circuito aberto
equivalente. O resultado é um circuito em série cuja corrente será:
$$ I_{2}^{\prime}=\frac{V}{R_{T}}=\frac{V}{R_{1}+R_{2}}=\frac{32}{14+2}=\frac{32}{16}=2 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que $$I_{2}^{\prime}$$ é a corrente no resistor $$R_{2}$$ referente à contribuição da fonte
de tensão.
Para calcular o efeito da fonte de corrente, a fonte de tensão deve ser desligada do circuito, ou
seja, substituída por um curto-circuito equivalente. O resultado é a combinação dos resistores
$$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ em paralelo. Assim, a corrente será:
$$ I_{2}^{\prime \prime}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} I=\frac{14}{14+2} 6=5,25 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente no resistor $$R_{2}$$ é a soma das contribuições das fontes de tensão e
de corrente:
$$ I_{2}=I_{2}^{\prime}+I_{2}^{\prime \prime}=2+5,25=7,25 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito da Figura 12 ilustra um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão
de 1V. Considerando os valores dos componentes e o princípio da linearidade, o valor da
corrente $$i_{0}$$ quando a fonte de tensão for de 10V é de: 
 
 Figura 12: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente deve-se encontrar o valor da corrente $$i_{0}$$ para a configuração ilustrada
no circuito, ou seja, com os parâmetros já conhecidos de resistores e da fonte de tensão igual a
1V:
Calculando a resistência equivalente com os resistores da malha da direita:
$$ 8 \|(5+3)=4 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente total que flui da fonte é de:
$$ i=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5} A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base no princípio de divisão de corrente, a corrente $$i_{0}$$ será de:
$$ i_{0}=\frac{1}{2} i=\frac{1}{10}=0,1 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que a fonte seja de 10V (e que os resistores mantenham os mesmos valores),
tem-se:
$$ i=2 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto a corrente $$i_{0}$$ será de:
$$ i_{0}=\frac{1}{2} i=\frac{1}{2} 2=1 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A Figura 13 ilustra um circuito elétrico ligado em ponte. Ao aplicar o Teorema da
Superposição, a corrente $$I_{2}$$ que circula pelo resistor de $$12 k \Omega$$ é de
aproximadamente: 
 
 Figura 13: Mão na massa - Exercício 3.
A alternativa "C " está correta.
 
Utilizando o Teorema da Superposição, primeiro será considerado o efeito da fonte de corrente
de 4mA no resistor de $$12 K \Omega$$. Deve-se aplicar a regra de divisão de corrente, ou
seja:
$$ I_{2}^{\prime}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} I=\frac{6 k}{6 k+12 k} 4 m A=1,33 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando agora o efeito da fonte de tensão de 8V, tem-se:
$$ I_{2}^{\prime \prime}=\frac{V}{R_{1}+R_{2}}=\frac{8}{6 k+12 k}=0,44 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tendo em vista que as correntes elétricas referentes às duas fontes têm o mesmo sentido
através de $$R_{2}$$, a corrente total nesse resistor será a soma das duas, aproximadamente:
$$ I_{R 2}=I_{2}^{\prime}+I_{2}^{\prime \prime}=1,33+0,44=1,77 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Ao aplicar o Teorema da Superposição no circuito ilustrado na Figura 14, a corrente
elétrica que circula pelo resistor de $$12 \Omega$$ é de: 
 
 Figura 14: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
5. Para o circuito ilustrado na Figura 15, a corrente $$I_{0}$$ é de $$0,16 A$$ quando a
fonte de tensão $$v_{s}$$ vale 12V. Se a fonte $$v_{s}$$ for substituída por uma fonte de
$$24 V$$, o valor da corrente $$I_{0}$$ será de, aproximadamente: 
 
 Figura 15: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "E " está correta.
 
A solução do problema pode ser encontrada utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
aplicada às duas malhas do circuito e atribuindo o valor de 24V à fonte de tensão vs. No
entanto, como já foi fornecida a corrente $$I_{0}$$ quando a fonte vale 12V, é possível aplicar
o princípio da linearidade para encontrar a nova corrente.
Quando $$v_s=12V$$:
$$ I_{0}=0,16 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para $$v_s=12V$$:
$$ I_{0}=2 \times 0,16=0,32 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, como a fonte de tensão dobrou de valor e o circuito é linear, a corrente elétrica
também deverá ser dobrada.
6. Supondo inicialmente que a corrente $$I_{0}$$ seja 1A e utilizando o princípio da
linearidade, o valor real para $$I_{0}$$ no circuito ilustrado na Figura 16 é de: 
 
 Figura 16: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
 
$$ \text { Se } I_{0}=1 A, \text { então: } V_{1}=(3+5) I_{0}=8 V $$
$$ I_{1}=\frac{V_{1}}{4}=2 A $$
Se a Lei de Kirchhoff das tensões for aplicada ao nó 1, temos:
$$ I_{2}=I_{1}+I_{0}=3 A $$
$$ V_{2}=V_{1}+2 I_{2}=8+6=14 V $$
$$ I_{3}=\frac{V_{2}}{7}=2 A $$
Ao aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões no nó 2, temos:
$$ I_{4}=I_{3}+I_{2}=5 A $$
Dessa forma, $$I_{S}=5 A$$. Isso significa que, ao supor $$I_{0}=1 A$$, tem-se $$I_{S}=5
A$$. Assim, o valor real da corrente da fonte de $$15 A$$ resultará em umacorrente $$I_{0}$$
de $$3 A$$ como valor real.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Utilizando o Teorema da Superposição, determine o valor da corrente i, que circula pelo resistor
de
3Ω
no circuito elétrico ilustrado na Figura 17.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 17: Teoria na prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, O VALOR DA TENSÃO
V NO RESISTOR DE 4Ω DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 18 É DE,
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 18: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) 10V
B) 8V
C) 12V
D) 6V
E) 14V
2. O CIRCUITO ELÉTRICO ILUSTRADO NA FIGURA 19 CONTÉM DUAS
FONTES, UMA DE TENSÃO DE $$15V$$ E UMA DE CORRENTE DE $$6
A$$. CONSIDERANDO A CONTRIBUIÇÃO DESSAS DUAS FONTES, A
CORRENTE $$I_{1}$$ QUE CIRCULA PELO RESISTOR
$$\LEFT(R_{1}\RIGHT)$$ É DE: 
 
 FIGURA 19: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) 4,0A
B) 1,5A
C) 3,0A
D) 2,0A
E) 2,5A
GABARITO
1. Utilizando o Teorema da Superposição, o valor da tensão v no resistor de 4Ω do
circuito ilustrado na Figura 18 é de, aproximadamente: 
 
 Figura 18: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "C " está correta.
 
Como o circuito contém duas fontes, é necessário calcular a contribuição de cada uma delas
separadamente na tensão total do resistor de $$4 \Omega$$. Seja assim:
$$ v=v_{1}+v_{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que $$v_{1}$$ e $$v_{2}$$ são as parcelas de tensão referentes às fontes de 4V e de 4A,
respectivamente.
Para obter $$v_{2}$$ deve-se fazer a fonte de corrente como um circuito aberto. Aplicando a
Lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
$$ 12 i_{1}-4=0 \rightarrow i_{1}=0,33 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, $$v_{1}=4 i_{1}=1,33 \mathrm{~V}$$
OBS.: $$v_{1}$$ também poderia ser encontrada utilizando divisão de tensão.
Para obter $$v_{2}$$, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substituí-la por um
curto-circuito. Assim, aplicando divisão de corrente, tem-se:
$$ i_{3}=\frac{8}{4+8} 4=2,66 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então a tensão $$v_{2}$$ será: $$v_{2}\;=\;4i_3\;=\;10,66V$$
A tensão total será a soma das tensões $$v_{1}$$ e $$v_{2}$$:
$$ v=1,33+10,66 \approx 12 V $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito elétrico ilustrado na Figura 19 contém duas fontes, uma de tensão de
$$15V$$ e uma de corrente de $$6 A$$. Considerando a contribuição dessas duas
fontes, a corrente $$I_{1}$$ que circula pelo resistor $$\left(R_{1}\right)$$ é de: 
 
 Figura 19: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "E " está correta.
 
A corrente $$I_{1}$$ pode ser encontrada aplicando o Teorema da Superposição.
Considerando inicialmente a contribuição da fonte de tensão, deve-se fazer a fonte de corrente
como zero, ou seja, substituí-la por um circuito aberto. Tem-se um simples circuito composto
pela fonte de tensão em série com o resistor $$R_{1}$$:
$$ I_{1}^{\prime}=\frac{V}{R_{1}}=\frac{15}{6}=2,5 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a contribuição da fonte de corrente, por sua vez, deve-se fazer a fonte de tensão
como zero, ou seja, substituí-la por um curto-circuito. Como a corrente elétrica sempre toma o
caminho de menor resistência, tem-se que a contribuição dessa fonte em Portanto, a corrente
total no resistor $$R_{1}$$ será: será nula:
$$ I_{1}^{\prime \prime}=0 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente total no resistor $$R_{1}$$ será:
$$ I=I_{1}^{\prime}+I_{1}^{\prime \prime}=2,5+0=2,5 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
LIGAÇÕES DE CIRCUITOS EM ESTRELA E
TRIÂNGULO
INTRODUÇÃO
 
Imagem: Stock.adobe.com
OS ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO PODEM SER
CONECTADOS DE DIVERSAS FORMAS PARA CONSTITUIR UM
EQUIPAMENTO OU UM DISPOSITIVO ELÉTRICO.
A organização dos elementos, como fontes de alimentação, resistores, indutores e capacitores
é importante para definir a forma como a energia será utilizada. Esta, por sua vez, é chamada
de associação. Tratando mais especificamente de circuitos elétricos básicos e alimentados
com corrente contínua, os elementos do circuito resumem-se aos resistores.
A associação de resistores é muito comum em circuitos elétricos, pois nem sempre é
possível obter um valor específico de resistência com apenas um resistor. A associação desses
resistores é sempre representada por um resistor equivalente
Req
, elemento fictício, ou seja, que não está, de fato, presente na rede, mas que representa a
resistência total referente aos elementos associados.
O comportamento da associação, ou seja, a forma como as tensões e correntes estão
presentes no circuito, dependem do tipo de ligação dos resistores. As associações básicas
são dos tipos:
SÉRIE
( )
PARALELO
MISTA (SÉRIE-PARALELO)
Além disso, os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não
podem ser considerados associados em série ou em paralelo, como é o caso das
configurações em estrela (Y) e triângulo (∆), que serão abordadas neste módulo.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja o circuito ilustrado na Figura 20, que representa um circuito com uma fonte de tensão e
dois resistores ligados em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma
única corrente de malha).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 20: Circuito com um laço e dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, tem-se:
V1 = IR1 ,V2 = IR2
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) à malha, arbitrando que a corrente circule no
sentido horário, tem-se:
−V+V1 +V2 = 0
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando as Equações 9 e 10:
V=V1 +V2 = I R1 +R2
I=
V
R1 +R2
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 11 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um
equivalente:
V= IREQ
Onde,
REQ=R1 +R2
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente em um circuito com
N
( )
resistores ligados em série é a soma algébrica dessas resistências individuais desses
elementos.
Para
N
resistores:
REQ=R1 +R2 + ⋯ +RN=
N
∑
N= 1
RN
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Seja o circuito ilustrado na Figura 21, composto por uma fonte de tensão e dois resistores
ligados em paralelo,
R1
e
R2
. Por estarem ligados em paralelo, os dois resistores estão submetidos à mesma tensão.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 21: Circuito com dois resistores em paralelo.
V= I1R1 = I2R2
I1 =
V
R1
I2 =
V
R2
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no nó a, tem-se a corrente total que vem da
fonte:
I= I1 + I2
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a Equação 14 na Equação 15, tem-se:
I=
V
R1
+
V
R2
=V
1
R1
+
1
R2
=
V
REQ
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Req
é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
→
1
REQ
=
R1 +R2
R1R2
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas
resistênciasdividido pela sua soma.
( )
REQ=
R1R2
R1 +R2
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO MISTA (SÉRIE-PARALELO)
A CONFIGURAÇÃO DE ASSOCIAÇÃO MISTA, OU SÉRIE-
PARALELO, EM UM CIRCUITO ELÉTRICO É FORMADA POR
UMA COMBINAÇÃO DE ELEMENTOS LIGADOS EM SÉRIE E EM
PARALELO.
São muitas as combinações possíveis para a associação mista de resistores, portanto, é
necessário analisar partes do circuito separadamente a fim de definir a abordagem que fornece
a melhor estratégia de determinação das grandezas necessárias. A melhor forma de resolver
um circuito em associação mista é compreender bem as associações em série e paralelo
apresentadas anteriormente. A Figura 22 ilustra um circuito com resistores em associação
mista.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 22: Circuito CC em série-paralelo.
LIGAÇÕES EM ESTRELA (Y) E TRIÂNGULO
(∆)
 VOCÊ SABIA
Em muitas situações, a configuração dos elementos de um circuito elétrico não se configura
como associação em série e nem como associação em paralelo. Essas situações dificultam, a
princípio, a análise do circuito a partir das leis básicas, como a Lei de Kirchhoff das correntes
(LKC) e a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), aplicadas às análises nodal e de malhas.
Muitos desses circuitos complexos podem ser simplificados a partir de uma conversão em
redes equivalentes de três terminais. As configurações de ligação em estrela (Y) e triângulo (∆)
são, frequentemente, responsáveis por essa dificuldade e que podem ser facilmente
convertidas em redes equivalentes. Muitas vezes, essas ligações são também identificadas por
“T” e “pi” (π), respectivamente, ilustradas na Figura 23 e Figura 24:
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 23: Circuito ligado em estrela: (a) Y; (b) T
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 24: Circuito ligado em triângulo: (a) ∆ (b) π.
Portanto, de modo a auxiliar na aplicação das técnicas de análise de circuitos para redes com
essas ligações, serão apresentados, na sequência, os desenvolvimentos das equações
necessárias para a conversão de circuitos em estrela para triângulo e vice-versa.
Seja o circuito da Figura 25, com os terminais
a
,
b
e
c
fixos. Caso se deseje utilizar o circuito na configuração estrela (Y), em vez da configuração em
triângulo (∆), basta aplicar diretamente as equações que serão desenvolvidas na sequência. É
importante destacar que apenas uma das configurações, estrela ou triângulo, podem estar
presentes entre os terminais
a
,
b
e
c
, de modo que se possa dizer que são equivalentes.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 25: Conceito de conversão ∆-Y
O objetivo matemático da conversão entre as configurações é determinar uma expressão para
R1
,
R2
e
R3
em função de
RA
,
RB
e
RC
, e vice-versa, de modo a garantir que a resistência entre dois terminais quaisquer da
configuração estrela seja equivalente à resistência entre dois terminais quaisquer da
configuração triângulo.
CONVERSÃO TRIÂNGULO – ESTRELA (∆ -
Y)
É possível que, em algumas situações, seja mais conveniente analisar um circuito em uma
determinada configuração.
 EXEMPLO
Pode ser interessante fazer a conversão de parte de um circuito que esteja ligada em triângulo
para seu equivalente em estrela. Essa mudança é denominada conversão triângulo-estrela.
Para fazer essa conversão, deve-se sobrepor o circuito em estrela ao circuito em triângulo já
existente e determinar o valor da resistência em cada par de nós que seja correspondente à
ligação em estrela.
De modo geral, a conversão triângulo-estrela transforma os resistores em triângulo
RA ,RB ,RC
em estrela
R1 ,R2 ,R3
, de modo que existirão expressões para
R1 ,R2eR3
, em função de
RA ,RB
e
RC
. Considerando o circuito da Figura 25, a resistência entre os terminais
a−c
deve ser a mesma tanto para a ligação triângulo quanto para ligação estrela:
( )
( )
RA−C (Y ) =RA−C ( Δ )
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se que:
RA−C=R1 +R3 =
RB RA+RC
RB+ RA+RC
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando o mesmo raciocínio aos pares de nós
a−b
e
b−c
, é possível obter outras expressões:
RA−B=R1 +R2 =
RC RA+RCB
RC+ RA+RB
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
( )
RB−C=R2 +R3 =
RA RB+RC
RA+ RB+RC
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 20 da Equação 21, tem-se:
R1 +R2 − R1 +R3 =
RCRB+RCRA
RA+RB+RC
−
RBRA+RBRA
RA+RB+RC
De modo que:
R2 −R3 =
RARC−RBRA
RA+RB+RC
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 23 da Equação 22, tem-se:
R2 +R3 − R2 −R3 =
RARB+RARC
RA+RB+RC
−
RARC−RBRA
RA+RB+RC
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Logo:
2R3 =
2RBRA
RA+RB+RC
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível, então, determinar uma expressão para o resistor
R3
(ligação em estrela), em função dos resistores
RA
,
RB
e
RC
(ligação em triângulo):
R3 =
RARB
RA+RB+RC
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o mesmo raciocínio for aplicado para
R1
e
R2
, tem-se:
R1 =
RBRC
RA+RB+RC
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R2 =
RARC
RA+RB+RC
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que não é necessário memorizar as expressões descritas nas Equações
25 a 27. Para fazer a transformação, basta criar um nó extra
n
, conforme ilustrado na Figura 26 e seguir a seguinte regra:
“CADA RESISTOR DO CIRCUITO ESTRELA É O PRODUTO DOS
RESISTORES NOS DOIS RAMOS EM TRIÂNGULO
ADJACENTES, DIVIDIDO PELA SOMA DOS TRÊS RESISTORES
EM ESTRELA.”
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 26: Superposição de circuitos Y e ∆ (transformação).
CONVERSÃO ESTRELA – TRIÂNGULO (Y -
∆)
Em outras situações, pode ser mais conveniente analisar um circuito em triângulo, em vez de
em estrela. Para isso, é necessário fazer a conversão estrela-triângulo para encontrar os
resistores equivalentes, semelhante ao que foi feito no tópico anterior. Com base nas Equações
25 e 26, tem-se a seguinte divisão:
R3
R1
=
RARB / RA+RB+RC
RBRC / RA+RB+RC
=
RA
RC
Ou
( ) ( )
( ) ( )
RA=
RCR3
R1
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, divide-se a Equação 25 pela Equação 27:
R3
R2
=
RARB / RA+RB+RC
RARC / RA+RB+RC
=
RB
RC
Ou
RB=
RCR3
R2
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
RA
e
RB
por esses valores na Equação 27, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
R2 =
RCR3 /R1 RC
RCR3 /R2 + RCR3 /R1 +RC
=
R3 /R1 RC
R3 /R2 + R3 /R1 + 1
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reduzindo a expressão para um denominador comum:
R2 =
RCR3 /R1
R1R2 +R1R3 +R2R3 / R1R2
=
R2R3RC
R1R2 +R1R3 +R2R3
Isolando
RC
:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
RC=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R3
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base nesse mesmo procedimento, é possível encontrar as expressões para
RA
e
RB
(ligação triângulo), em função de
R1
,
R2
e
RA
(ligação estrela):
RA=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R1
RB=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R2
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que:
“O VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É IGUAL À
SOMA DAS POSSÍVEIS COMBINAÇÕES DOS PRODUTOS DAS
RESISTÊNCIAS DO CIRCUITO ESTRELA (EXTRAÍDAS DUAS A
DUAS), DIVIDIDA PELA RESISTÊNCIA ESTRELA MAIS
OPOSTA.”
CIRCUITOS EM ESTRELA OU TRIÂNGULO
EQUILIBRADOS
Em circuitos queo valor das três resistências é igual tanto na ligação em estrela
R1 =R2 =R3
, como na ligação em triângulo
RA=RB=RC
, diz-se que o circuito é equilibrado. Se
RA=RB=RC
, a Equação 25 facilmente se transformaria em (usando apenas RA):
R3 =
RARB
RA+RB+RC
=
RARA
RA+RB+RC
=
R
2
A
3RA
=
RA
3
(33)
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo o mesmo procedimento:
R1 =
RA
3
,R2 =
RA
3
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma geral, as fórmulas de conversão anteriormente desenvolvidas são, para circuitos
equilibrados, resumidas em:
RY=
RΔ
3
,RΔ = 3RY
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ISSO INDICA QUE, PARA UM CIRCUITO EM ESTRELA DE TRÊS
RESISTORES IGUAIS, O VALOR DE CADA RESISTOR DO
TRIÂNGULO É IGUAL A TRÊS VEZES O VALOR DE UM
RESISTOR EM ESTRELA.
 EXEMPLO
Converta o circuito ilustrado na Figura 27, ligado em triângulo (ou delta) em seu equivalente em
estrela (ou T).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 27: Circuito do Exemplo 1.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do circuito em triângulo para seu
equivalente em estrela consiste em encontrar os valores de
R1
,
R2
e
R3
:
R1 =
RBRC
RA+RB+RC
=
20 × 10
30 + 20 + 10
= 3 , 33Ω
R2 =
RARC
RA+RB+RC
=
30 × 10
30 + 20 + 10
= 5Ω
R3 =
RARB
RA+RB+RC
=
20 × 30
30 + 20 + 10
= 10Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O circuito equivalente em estrela é ilustrado na Figura 28.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 28: Circuito Y equivalente ao ∆.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 29, QUE ILUSTRA UMA LIGAÇÃO
EM TRIÂNGULO (OU DELTA ‒ ∆). APÓS A CONVERSÃO EM SEU
CIRCUITO EQUIVALENTE EM ESTRELA, OS VALORES DAS
RESISTÊNCIAS $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ E $$R_{3}$$ VALEM,
RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 29: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) $$R_{1}=10 \Omega, R_{2}=8,5 \Omega \text { e } R_{3}=3 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) $$R_{1}=7,5 \Omega, R_{2}=10 \Omega \text { e } R_{3}=5 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) $$\mathrm{R}_{1}=4,5 \Omega, \mathrm{R}_{2}=5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=7,5
\Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) $$\mathrm{R}_{1}=8 \Omega, \mathrm{R}_{2}=7,5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=2
\Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) $$\mathrm{R}_{1}=7,5 \Omega, \mathrm{R}_{2}=5,5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=10
\Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A FIGURA 30 ILUSTRA UM CIRCUITO CUJOS ELEMENTOS ESTÃO
LIGADOS EM PONTE. CONSIDERE QUE:
$$ R_{A}=2 \OMEGA, R_{B}=5 \OMEGA \QUAD E \QUAD R_{C}=4 \OMEGA
$$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
A RESISTÊNCIA TOTAL $$R_{T}$$ PARA ESSE CIRCUITO É DE,
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 30: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) $$ 4,5 \Omega $$
B) $$ 1,5 \Omega $$
C) $$ 2,75 \Omega $$
D) $$ 5,5 \Omega $$
E) $$ 2,5 \Omega $$
3. A CONVERSÃO DO CIRCUITO LIGADO EM TRIÂNGULO (OU DELTA),
ILUSTRADO NA FIGURA 31, PARA SEU EQUIVALENTE EM ESTRELA
FORNECE COMO NOVOS VALORES DE RESISTÊNCIA: 
 
 FIGURA 31: MÃO NA MASSA ‒ EXERCÍCIO 3.
A) $$ R_{1}=7,5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) $$ R_{1}=3 \Omega, \quad R_{2}=5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=7,5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) $$ R_{1}=7,5 \Omega, \quad R_{2}=5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) $$ R_{1}=3 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) $$ R_{1}=5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O CIRCUITO DA FIGURA 32 APRESENTA UMA ASSOCIAÇÃO
COMPLEXA DE RESISTORES. COM BASE NOS CONCEITOS DE
LIGAÇÕES EM ESTRELA E TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL
EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE: 
 
 FIGURA 32: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) $$ 16,75 \Omega $$
B) $$ 25,5 \Omega $$
C) $$ 18,75 \Omega $$
D) $$ 23,05 \Omega $$
E) $$ 25 \Omega $$
5. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 33, O VALOR DA RESISTÊNCIA
EQUIVALENTE VISTA PELA FONTE, OU SEJA, A RESISTÊNCIA TOTAL
EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 33: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) $$ 25 \Omega $$
B) $$ 40 \Omega $$
C) $$ 45 \Omega $$
D) $$ 35 \Omega $$
E) $$ 30 \Omega $$
6. A FIGURA 34 ILUSTRA UM CIRCUITO EM QUE OS RESISTORES ESTÃO
ASSOCIADOS DE FORMA COMPLEXA, OU SEJA, NÃO PODEM SER
DIRETAMENTE RESUMIDOS A CIRCUITOS EM SÉRIE OU EM PARALELO.
CONSIDERANDO A POSSIBILIDADE DE CONVERSÃO ENTRE
EQUIVALENTES EM ESTRELA OU EM TRIÂNGULO, O VALOR DA
RESISTÊNCIA ENTRE OS TERMINAIS AB DO CIRCUITO É DE,
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 34: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) $$ 57,13 \Omega $$
B) $$ 45,15 \Omega $$
C) $$ 60,25 \Omega $$
D) $$ 38,18 \Omega $$
E) $$ 26,14 \Omega $$
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 29, que ilustra uma ligação em triângulo (ou delta ‒ ∆).
Após a conversão em seu circuito equivalente em estrela, os valores das resistências
$$R_{1}$$, $$R_{2}$$ e $$R_{3}$$ valem, respectivamente: 
 
 Figura 29: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
Para converter o circuito em triângulo para seu equivalente em estrela, basta voltar às
Equações 25, 26 e 27, que fornecem diretamente os valores das resistências $$R_{1}$$,
$$R_{2}$$ e $$R_{3}$$.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 30}{20+15+30}=7,5 \Omega
$$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{20 \times 30}{20+15+30}=10 \Omega
$$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{20 \times 15}{20+15+30}=5 \Omega
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
$$ R_{1}=7,5 \Omega, R_{2}=10 \Omega \text { e } R_{3}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A Figura 30 ilustra um circuito cujos elementos estão ligados em ponte. Considere
que:
$$ R_{A}=2 \Omega, R_{B}=5 \Omega \quad e \quad R_{C}=4 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total $$R_{T}$$ para esse circuito é de, aproximadamente: 
 
 Figura 30: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 30 para
seu equivalente em estrela é:
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{5 \times 4}{2+5+4}=1,8 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{2 \times 4}{2+5+4}=0,72 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{2 \times 5}{2+5+4}=0,9 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o segmento em triângulo pelo seu equivalente em estrela, a resistência total pode
ser agora facilmente encontrada a partir de associações em série e paralelo, e será de:
$$ R_{T}=0,9+\frac{(4+1,8)(2+0,72)}{(4+1,8)+(2+0,72)} $$
$$ R_{T}=0,9+\frac{(5,8)(2,72)}{(5,8)+(2,72)} $$
$$ R_{T}=0,9+1,85 $$
$$ R_{T}=2,75 \Omega $$
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3. A conversão do circuito ligado em triângulo (ou delta), ilustrado na Figura 31, para seu
equivalente em estrela fornece como novos valores deresistência: 
 
 Figura 31: Mão na massa ‒ Exercício 3.
A alternativa "E " está correta.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 31 para
seu equivalente em estrela é:
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{10 \times 25}{15+10+25}=5 \Omega
$$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{25 \times 15}{15+10+25}=7,5 \Omega
$$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 10}{15+10+25}=3 \Omega
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
$$ R_{1}=5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \text { e } R_{3}=3 \Omega $$
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4. O circuito da Figura 32 apresenta uma associação complexa de resistores. Com base
nos conceitos de ligações em estrela e triângulo, a resistência total equivalente entre os
pontos A e B é de: 
 
 Figura 32: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, deve-se transformar os resistores da primeira malha, ligados em triângulo, em
seu equivalente em estrela $$\left(R_{1}, R_{2} e R_{3}\right)$$.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{40 \times 10}{40+50+10}=4 \Omega
$$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{40 \times 50}{40+50+10}=20 \Omega
$$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{50 \times 10}{40+50+10}=5 \Omega
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se:
$$20 \Omega$$ em série com $$60 \Omega=80 \Omega$$
$$5 \Omega$$ em série com $$20 \Omega=25 \Omega$$
O paralelo dessas associações é:
$$80 \Omega \| 25 \Omega=19,05 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total equivalente entre os pontos A e B é:
$$ R_{T}=4 \Omega+19,05 \Omega=23,05 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito da Figura 33, o valor da resistência equivalente vista pela fonte, ou
seja, a resistência total equivalente entre os pontos A e B é de, aproximadamente: 
 
 Figura 33: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
6. A Figura 34 ilustra um circuito em que os resistores estão associados de forma
complexa, ou seja, não podem ser diretamente resumidos a circuitos em série ou em
paralelo. Considerando a possibilidade de conversão entre equivalentes em estrela ou
em triângulo, o valor da resistência entre os terminais AB do circuito é de,
aproximadamente: 
 
 Figura 34: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "A " está correta.
 
Primeiramente, deve-se aplicar a conversão da ligação em triângulo dos resistores de $$30
\Omega$$, $$15 \Omega$$ e $$10 \Omega$$ para seu equivalente em estrela. De forma
semelhante, essa conversão pode ser aplicada entre os resistores de $$20 \Omega$$, $$25
\Omega$$ e $$30 \Omega$$ sem alterar o resultado.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{10 \times 30}{30+15+10}=5,45
\Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{30 \times 15}{30+15+10}=8,18
\Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 10}{30+15+10}=2,72
\Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se as seguintes associações em série e paralelo:
$$ 20 \Omega+5,45 \Omega=25,45 \Omega $$
$$ 25 \Omega+8,18 \Omega=33,18 \Omega $$
$$ 25,45 \Omega \| 33,18 \Omega \rightarrow 14,4 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, a resistência total equivalente será de, aproximadamente:
$$ R_{T}=22 \Omega+14,4 \Omega+2,72 \Omega+18 \Omega=57,13 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Os circuitos em ponte são muito importantes nas montagens de equipamentos eletrônicos,
como, por exemplo, para medição de resistência. Uma das montagens mais utilizadas é a
chamada Ponte de Wheatstone, para medição de resistências com elevada precisão, resistores
entre
1Ω
e
1MΩ
. A solução de circuitos em ponte pode ser facilmente encontrada a partir de transformações
estrela-triângulo. Com base nos conceitos dessas transformações, calcule a potência elétrica
fornecida à ponte do circuito da Figura 35.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 35: Teoria na Prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. COM BASE NAS EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO DE CIRCUITOS
ESTRELA-TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL DO CIRCUITO
ILUSTRADO NA FIGURA 36 É DE: 
 
 FIGURA 36: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) $$ 2,54 \Omega $$
B) $$ 3,27 \Omega $$
C) $$ 4,65 \Omega $$
D) $$ 3,82 \Omega $$
E) $$ 4,18 \Omega $$
2. A CONVERSÃO DO CIRCUITO DA FIGURA 37, LIGADO EM ESTRELA,
PARA SEU EQUIVALENTE EM TRIÂNGULO, FORNECE COMO VALORES
PARA $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ E $$R_{3}$$, RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 37: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) $$ 55 \Omega, 120 \Omega \text { e } 85 \Omega $$
B) $$ 25 \Omega, 160 \Omega \text { e } 70 \Omega $$
C) $$ 140 \Omega, 70 \Omega \text { e } 35 \Omega $$
D) $$ 150 \Omega, 85 \Omega \text { e } 50 \Omega $$
E) $$ 70 \Omega, 35 \Omega \text { e } 140 \Omega $$
GABARITO
1. Com base nas equações de transformação de circuitos estrela-triângulo, a resistência
total do circuito ilustrado na Figura 36 é de: 
 
 Figura 36: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
A conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela permite a análise do
circuito equivalente a partir de associações em série e paralelo. No caso do circuito da Figura
36, como os resistores do triângulo são iguais, é possível utilizar as equações de conversão
para circuitos equilibrados:
$$ R_{Y}=\frac{R_{\Delta}}{3}=\frac{6}{3}=2 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total será de:
$$ R_{T}=2\left[\frac{2 \times 9}{2+9}\right]=3,27 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A conversão do circuito da Figura 37, ligado em estrela, para seu equivalente em
triângulo, fornece como valores para $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ e $$R_{3}$$,
respectivamente: 
 
 Figura 37: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
A partir das equações de conversão estrela para triângulo, tem-se:
$$ R_{A}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{1}}=\frac{10 \times 20+20 \times
40+40 \times 10}{10}=140 \Omega $$
$$ R_{B}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{2}}=\frac{10 \times 20+20 \times
40+40 \times 10}{20}=70 \Omega $$
$$ R_{C}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{3}}=\frac{10 \times 20+20 \times
40+40 \times 10}{40}=35 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise de circuitos elétricos é facilmente entendida com a aplicação das leis básicas de
circuitos, como a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff (das tensões e das correntes). No entanto,
para circuitos mais complexos ou que contenham uma grande quantidade de elementos e
fontes de alimentação, apenas o conhecimento dessas leis pode ser insuficiente para
prosseguir com a análise. Dessa forma, teoremas como o da Superposição, apresentado neste
conteúdo, permitem a simplificação dos circuitos.
O Teorema da Superposição apresentado baseia-se no princípio da linearidade dos elementos
de circuito e diz que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é
dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada
uma das fontes independentes. Dessa forma, o resultado dessas grandezas pode ser obtido a
partir de uma análise individual de cada fonte do circuito, somadas algebricamente. Por fim,
foram apresentadasas equivalências entre as ligações em estrela ou triângulo, bem como suas
equivalentes transformações que permitem simplificar a aplicação das leis básicas em circuitos
cujos elementos não estão ligados em série ou em paralelo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre:
AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo:
Pearson Education, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos
elétricos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Education, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar nos tópicos desenvolvidos, leia o seguinte livro:
CRUZ, E. C. A. Eletricidade básica – circuitos em corrente continua. São José dos Campos:
Érica, 2014.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães