aula-1-introduc3a7c3a3o-a-derivada

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Introdução
O que é uma derivada?
Problema: Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto P dado.
					
	
A Reta Tangente
t
s
x1+∆x
f(x1+∆x)
y = f(x)
∆x
x1
f(x1)
P
s
A Reta Tangente
t
y = f(x)
∆x
x1
f(x1)
x1+∆x
f(x1+∆x)
t
A Reta Tangente
x1
f(x1)
y = f(x)
∆x
x1+∆x
f(x1+∆x)
 Coeficiente Angular da Reta Tangente:
A Reta Tangente
 Coeficiente Angular da Reta Secante:
s
∆x
t
∆y
Introdução
EX: Calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola y= x2 no ponto P=(x1 , y1).
					
f(x)= x2
x
P=(x1 , f(x1))= (x1 , (x 1) 2)
A Reta Tangente
x1+∆x
x1
f(x1)
f(x1+∆x)
Introdução
Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(x1 , y1).
					
f(x)= 2x2 +1
x
P=(x1 , f(x1))= (x1 , 2(x 1) 2 +1)
Introdução
Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(-1 , 3).
					
f(x)= 2x2 +1
x
P=(-1 , f(-1))= (x1 , 2(-1) 2 +1)
-1
3
FASE I:
Definição de Derivada
Definição: Dada uma função real f, sua derivada f´ é a nova função cujo valor no ponto x é definido por
OBS: Pode ser que o domínio de f´ não esteja definida em todo domínio de f.
FASE I:
Ex1:
					
Tomando valores positivos para , temos:
Tomando valores negativos para , temos:
FASE I:
Definição: Se o limite existe para x=a, então a função diz-se diferenciável em a. Uma função diferenciável é aquela que possui derivada em cada ponto do seu domínio.
Exemplo de função diferenciável:
Contra-exemplo de função diferenciável
FASE I:
Definição: Para toda função dada por y=f(x), a derivada de f chama-se taxa de variação de y com relação a x.
Outras notações para derivada:
FASE II:
 Exercícios
1)Calcule a taxa de variação de f(x)= 1-x/2+x
2) Calcule a derivada de f(x)=5
3)Dada y= x3 , usando a definição de derivada, calcule y´.
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21
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s
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===+D=
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t
xx
xxxxxxxx
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xx
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(1)(1)
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t
xx
fxxfx
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[2(1)1]32((1)2)13
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t
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-+D+---D+D+-
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2422(42)
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DD
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D
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x
f(x+x)-f(x)
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x
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f(x)= xf´(x)= 2x
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f(x+x)-f(x)x+x-x
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