Lista - EDL de 1 ordem

Prévia do material em texto

UFCG/CCT/UAMat
Equações Diferenciais Lineares - 2021.2
Prof. Angelo Holanda, Profa. Pammella Queiroz e Prof. Luiz Medeiros.
1ª Lista de Exerćıcios - Equações Diferenciais de Primeira Ordem
1. Classifique as equações diferenciais dizendo se ela são lineares ou não-lineares. Dê
também a ordem de cada equação.
(a) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx
(b) x
d3y
dx3
− 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0
(c) x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0
(d)
d2y
dx2
+ 9y = sen y
(e) (senx)y′′′ − (cosx)y′ = 2
(f) (1− y2)dx+ xdy = 0
2. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c1 e c2 são
constantes).
(a) 2y′ + y = 0, y = e−x/2
(b)
dy
dx
+ 20y = 24, y =
6
5
− 6
5
e−20x
(c) y′ = 25 + y2, y = 5 tg(5x)
(d) 2xydx+(x2+2y)dy = 0, x2y+y2 = c1
(e) y′′ − (y′)2 = 0, y = ln |x+ c1|+ c2
(f) x2y′′ − xy′ + 2y = 0, y =
x cos(lnx), x > 0
3. Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial
dada.
(a) xy′ − 2y = 0; y =
 −x2, x < 0x2, x ≥ 0
(b) (y′)2 = 9xy; y =
 0, x < 0x3, x ≥ 0
1
4. Encontre valores de m para que y = xm seja uma solução para cada equação dife-
rencial.
(a) x2y′′ − y = 0 (b) x2y′′ + 6xy′ + 4y = 0
5. Mostre que y1 = x
2 e y2 = x
3 são ambas soluções para
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0.
As funções, c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitrárias, são também soluções? A
soma, y1 + y2 é uma solução?
6. Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única
solução passando por um ponto (x0, y0) na região.
(a)
dy
dx
= y2/3
(b)
dy
dx
=
√
xy
(c) x
dy
dx
= y
(d)
dy
dx
− y = x
(e) (1− y3)y′ = x2
(f) (y − x)y′ = y + x
7. Supondo que y1 e y2 são soluções da equação diferencial y
′+ g(x)y = 1, mostre que:
(a) y3 = e
y1+y2 é uma solução da equação diferencial y′ + g(x)y ln y = 2y.
(b) y4 = e
3y1 é uma solução da equação diferencial y′ + g(x)y ln y = 3y.
8. Mostre que, se y = y(x) é uma solução da equação diferencial y′ = y2 + exy em
algum intervalo, então y é uma função crescente neste intervalo.
9. Em cada item, calcule f ′(x0) e f
′′(x0), sabendo que y = f(x) é a solução do PVI.
(a)
 y
′ = x+
y
3
+ sen(3x+ y)
y(1) = −3
, x0 = 1
(b)
 y′ = ex
2
y2
y(0) = 2
, x0 = 0
2
10. Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
(a)
dy
dx
= sen(5x)
(b)
dy
dx
= (x+ 1)2
(c) ex
dy
dx
= 2x
(d) xy′ = 4y
(e)
dx
dy
=
1 + 2y2
y senx
(f)
dy
dx
= e3x+2y
(g) exy
dy
dx
= e−y + e−2x−y
(h) y lnx
dx
dy
=
(
y + 1
x
)2
(i)
dy
dx
=
(
2y + 3
4x+ 5
)2
(j) ey sen(2x)dx+ cosx(e2y − y)dy = 0
11. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(a) (e−y + 1) senxdx = (1 + cosx)dy, y(0) = 0
(b)
dy
dx
+ xy = y, y(1) = 3
(c)
dy
dx
=
y2 − 1
x2 − 1
, y(2) = 2
(d) x2y′ = y − xy, y(−1) = −1
12. Resolva a equação diferencial homogênea dada usando uma substituição apropriada.
(a) xdx+ (y − 2x)dy = 0
(b)
dy
dx
=
y − x
y + x
(c)
dy
dx
=
y
x
+
x
y
(d) (x+ y)dx+ xdy = 0
(e)
dy
dx
=
x+ 3y
3x+ y
(f) x
dy
dx
− y =
√
x2 + y2
(g) (x2e−y/x + y2)dx = xydy
(h)
dy
dx
=
y
x
ln
y
x
13. Resolva a equação diferencial homogênea sujeita à condição inicial indicada.
(a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2
(b) (x2 + 2y2)dx = xydy, y(−1) = 1
(c) 2x2
dy
dx
= 3xy + y2, y(1) = −2
(d) xydx− x2dy = y
√
x2 + y2dy, y(0) = 1
3
14. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que
a substituição x = vy transforma a equação em uma com variáveis separáveis.
15. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que
a substituição x = r cosα, y = r senα leva a uma equação separável.
16. Suponha que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que
a equação pode ser escrita na forma alternativa dy/dx = G(x, y).
17. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(a) (2x− 1)dx+ (3y − 7)dy = 0
(b) (sen y − y senx)dx+ (cosx+ x cos y − y)dy = 0
(c) (2y2x− 3)dx+ (2yx2 + 4)dy = 0
(d)
(
1 + ln x+
y
x
)
dx = (1− lnx)dy
(e) (y3 − y2 senx− x)dx+ (3xy2 + 2y cosx)dy = 0
(f)
2x
y
dx− x
2
y2
dy = 0
(g) x
dy
dx
= 2xex − y + 6x2
(h) (5y − 2x)y′ − 2y = 0
(i) (tg x− senx sen y)dx+ cosx cos ydy = 0
(j) (2y senx cosx− y + 2y2exy2)dx = (x− sen2 x− 4xyexy2)dy
18. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(a) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1
(b) (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1
(c) (4y + 2x− 5)dx+ (6y + 4x− 1)dy = 0, y(−1) = 2
(d) (y2 cosx− 3x2y − 2x)dx+ (2y senx− x3 + ln y)dy = 0, y(0) = e
4
19. Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.
(a) (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0
(b) (6xy3 + cos y)dx+ (kx2y2 − x sen y)dy = 0
20. Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma
h(y)dy − g(x)dx = 0 é também exata.
21. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
(a)
dy
dx
= 5y
(b)
dy
dx
+ 2y = 0
(c)
dy
dx
+ y = e3x
(d)
dy
dx
= y + ex
(e) x2y′ + xy = 1
(f) xdy = (x senx− y)dx
(g) (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0
(h) cos x
dy
dx
+ y senx = 1
(i) (1 + x)y′ − xy = x+ x2
(j) xy′ + 2y = ex + lnx
(k) ydx = (yey − 2x)dy
(l) dx = (3ey − 2x)dy
22. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(a) y′ = 2y + x(e3x − e2x), y(0) = 2
(b)
dQ
dx
= 5x4Q, Q(0) = −7
(c) (x+ 1)
dy
dx
+ y = lnx, y(1) = 10
(d)
dy
dx
=
y
y − x
, y(5) = 2
23. Encontre uma solução cont́ınua satisfazendo cada equação diferencial e a condição
inicial dada.
(a)
dy
dx
+ 2y = f(x), onde f(x) =
 1, 0 ≤ x ≤ 30, x > 3 e y(0) = 0
(b)
dy
dx
+ y = f(x), onde f(x) =
 1, 0 ≤ x ≤ 1−1, x > 1 e y(0) = 1
5
(c) (1 + x2)
dy
dx
+ 2xy = f(x), onde f(x) =
 x, 0 ≤ x < 1−x, x ≥ 1 e y(0) = 0
24. Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
(a) 1 + (x/y − sen y)y′ = 0
(b) ex + (ex cot y + 2y csc y)y′ = 0
(c) [4(x3/y2) + (3/y)] + [3(x/y2) + 4y]y′ = 0
(d) y′ = e2x + y − 1
(e) (x+ 2) sen y + (x cos y)y′ = 0
25. Mostre que, se (Nx−My)/M = Q, em que Q é uma função só de y, então a equação
diferencial
M +Ny′ = 0
tem um fator integrante da forma
µ(y) = e
∫
Q(y)dy.
26. Mostre que, se (Nx −My)/(xM − yN) = R, em que R só depende do produto xy,
então a equação diferencial
M +Ny′ = 0
tem um fator integrante da forma µ(xy). Encontre uma fórmula geral para esse
fator integrante.
27. Resolva a equação de Bernoulli dada.
(a) x
dy
dx
+ y =
1
y2
(b)
dy
dx
− y = exy2
(c)
dy
dx
= y(xy3 − 1)
(d) x
dy
dx
− (1 + x)y = xy2
28. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(a) x2
dy
dx
− 2xy = 3y4, y(1) = 1
2
6
(b) y1/2
dy
dx
+ y3/2 = 1, y(0) = 4
29. Resolva a equação de Ricatti dada, sendo y1 é uma solução conhecida para a equação.
(a)
dy
dx
= −2− y + y2, y1 = 2
(b)
dy
dx
= − 4
x2
− 1
x
y + y2, y1 =
2
x
(c)
dy
dx
= 2x2 +
1
x
y − 2y2, y1 = x
(d)
dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex
30. Use o método de Picard para encontrar a sequência de aproximações (yn), determine
o limite de (yn) e, em seguida, verifique se a função limite é de fato solução do
problema.
(a) y′ = 2xy, y(0) = 1
(b) y′ + 2xy = x, y(0) = 0
(c) y′ + y2 = 0, y(0) = 0
(d) y′ = 2ex − y, y(0) = 1
31. (a) Use o método de Picard para encontrar a sequência de aproximações (yn) do
problema
y′ = 1 + y2, y(0) = 0
(b) Resolva o problema de valor inicial acima, por um dos métodos vistos anteri-
ormente.
(c) Compare os resultados dos itens (a) e (b).
32. Variação dos parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação
linear de primeira ordem geral:
y′ + p(x)y = g(x). (1)
(a) Se g(x) = 0 para todo x, mostre que a solução é
y = Ae−
∫
p(x)dx, (2)
em que A é uma constante.
7
(b) Se g(x) não é identicamente nula, suponha que a solução de (1) é da forma
y = A(x)e−
∫
p(x)dx, (3)
em que A agora é uma função de x.Substituindo y na equação diferencial
dada, mostre que A(x) tem que satisfazer a condição
A′(x) = g(x)e
∫
p(x)dx. (4)
(c) Encontre A(x) da eq. (4). Depois substitua A(x) na eq. (3) e determine y.
Verifique se a solução obtida dessa maneira é igual à solução obtida através
de fator integrante. Essa técnica é conhecida como o método de variação de
parâmetros.
33. Use o método da questão anterior para resolver as equações abaixo:
(a) y′ − 2y = t2e2t
(b) y′ + (1/t)y = 3 cos(2t), t > 0
(c) ty′ + 2y = sen t, t > 0
(d) 2y′ + y = 3t2
34. Encontre as trajetórias ortogonais da famı́lia de curvas dada.
(a) y = c1x
(b) 3x+ 4y = c1
(c) c1x
2 + y2 = 1
(d) y = ec1x
(e) y =
1
ln(c1x)
(f) y2 = c1x
3
35. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número
de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400
bactérias presentes. Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes. qual era o
número inicial de bactérias?
36. Quando juros são compostos continuamente, o valor em dinheiro cresce a uma taxa
proporcional à quantia S presente no instante t, ou seja, dS/dt = rS, onde r é a
taxa de juros anual.
8
(a) Determine a quantia acumulada ao fim de cinco anos quando R$5.000 for de-
positado em uma poupança com rendimento de 5% de juros anuais compostos
continuamente.
(b) Em quantos anos a quantia inicial depositada dobrará?
37. Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado de lado de fora, em
que a temperatura é de 5◦C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20◦C; após 5
minutos, 10◦. Qual a temperatura da sala?
38. Um tanque está parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10 g de sal
são dissolvidos. Uma solução salina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura é então drenada a
uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque
após 30 minutos.
9