LISTA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Unidade Acadêmica de Matemática
Disciplina: Equações Diferenciais Lineares
Lista 2
EDO de Bernoulli, EDOs exatas, PVI, T.E.U., Aplicações.
1. Para cada um dos problemas abaixo, encontre a solução geral e use-a para determinar o comporta-
mento das soluções quando t→ +∞, isto é, para calcular e descrever o limite das soluções quando
t→ +∞; em seguida, use o GeoGebra para construir o campo de direções e a solução e confirmar
a sua análise:
a) y′ + 3y = t+ e−2t;
b) y′ + y = te−t + 1;
c) y′ − 2y = 3et;
d) 2y′ + y = 3t2.
2. Encontre a solução dos PVIs dados:
a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1; b) y′ + 2
t
y =
cos(t)
t2
, y(π) = 0, t > 0.
3. Considere o PVI
y′ − 1
2
y = 2 cos(t), y(0) = a.
Resolva o PVI. Como as soluções se comportam quando t → ∞? O comportamento depende
da escolha do valor inicial a? Seja a0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de
comportamento para outro. Determine o valor de a0. Use o GeoGebra para construir o campo de
direções e confirmar a sua análise.
4. Considere o PVI
ty′ − (t+ 1)y = 2te−t, y(1) = a, t > 0.
Resolva o PVI. Como as soluções se comportam quando t → 0? O comportamento depende da
escolha do valor inicial a? Seja a0 o valor cŕıtico de a, ou seja, o valor inicial tal que as soluções
para a < a0 e as soluções para a > a0 têm comportamentos diferentes quanto t→ +∞. Determine
o valor de a0. Use o GeoGebra para construir o campo de direções e confirmar a sua análise.
5. Encontre o valor de y0 para o qual a solução do PVI
y′ − y = 1 + 3 sen(t), y(0) = y0,
parece finita quando t→ +∞.
6. Considere o PVI
y′ − 3
2
y = 3t+ 2et, y(0) = y0.
Encontre o valor y0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t → +∞ das que
crescem em módulo, mas permanecem negativas. Como a solução que corresponde a esse valor
cŕıtico de y0 se comporta quando t→ +∞?
7. Encontre em forma expĺıcita a solução dos PVIs dados e determine (pelo menos aproximadamente)
o intervalo no qual a solução está definida:
a) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6;
b) y′ = (1− 2x)/y, y(1) = −2;
c) xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1.
8. Resolva o PVI
y′ =
1 + 3x2
3y2 − 6y
, y(0) = 1,
e determine o intervalo de validade da solução.
Dica: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma
tangente vertical.
9. Considere o PVI
y′ =
ty(4− y)
t+ 1
, y(0) = y0, t > 0.
a) Determine o comportamento da solução quando t top∞.
b) Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução a tinge, pela primeira vez, o valor 3, 99.
c) Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3, 99 < y <
4, 01 no instante t = 2.
10. Em cada um dos itens a seguir, construa uma EDL de primeira ordem cujas soluções têm o com-
portamento descrito quando t→∞. Depois resolva a sua equação e confirme que todas as soluções
têm, de fato, a propriedade especificada.
a) todas as soluções têm limite 3 quando t→∞;
b) todas as soluções são assintóticas à reta y = 3− t quando t→∞.
11. Verifique se cada uma das EDOs a seguir é exata. Se for, encontre a solução.
a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0;
b) 2x+ 4y + (2x− 2y)y′ = 0.
12. Resolva o PVI e determine, pelo menos aproximadamente, em que intervalo a solução é válida.2x− y + (2y − x)y′ = 0,y(1) = 3.
13. Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois resolva usando esse valor de b.
(xy2 + bx2y) + (x+ y)x2y′ = 0.
14. Mostre que a equação dada não é exata, mas trona-se exata quando multiplicada pelo fator inte-
grante dado. Depois resolva a equação.
x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ(x, y) =
1
xy3
.
15. Encontre um fator integrante e resolva equação dada.
1 + (
x
y
+ sen(y))y′ = 0.
16. Em cada um dos PVIs abaixo, transforme a condição inicial dada em uma condição inicial com
ponto inicial na origem.
a)
y′ = t2 + y2,y(1) = 2; b)
y′ = 1− y3,y(−1) = 3.
17. Considere um tanque usado em determinados experimentos em hidrodinâmica. Depois de um
experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta com uma concentração de 1
grama por litro. Para preparar o tanque para o próximo experimento, ele é lavado com água fresca
fluindo a uma taxa de 2 litros por minuto, e a solução bem misturada flui para fora à mesma taxa.
Encontre o tempo gasto até a concentração de tinta no tanque atingir 1% e seu valor original.
18. Um tanque contém inicialmente 120l de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de
γ g/l de sal entra no tanque a uma taxa de 2l/min e a mistura bem mexida sai do tanque à mesma
taxa. Encontre uma expressão para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t em
termos de γ. Encontre, também, a quantidade limite de sal no tanque quando t→∞.
19. Suponha que a temperatura de uma x́ıcara de café obedece à lei do resfriamento de Newton. Se o
café estiver a uma temperatura de 100°C quando colocado na x́ıcara e, um minuto depois, esfriar
para 90°C em uma sala à temperatura de 20°C, determine quando o café alcançará a temperatura
de 60°C.
20. O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na lei de Stefan-
Boltzmann, é descrito pela equação diferencial
du
dt
= −α(u4 − T 4),
em que u = u(t) é a temperatura absoluta (em graus Kelvin) do corpo no instante t, T é a
temperatura absoluta do ambiente e α é uma constante que depende dos parâmetros f́ısicos do
corpo. No entanto, se u for muito maior do que T , as soluções da equação anterior podem ser bem
aproximadas por soluções da equação mais simples
du
dt
= −αu4.
Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000K, está em um meio à temperatura de
300K e que α = 2, 0.10−12K−3/s.
a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer resolvendo a segunda equação;
b) Encontre um instante τ no qual u(τ) = 600, ou seja, o dobro da temperatura ambiente.
Curiosamente, até esse instante, o erro a usar a segunda equação para aproximar as soluções
da primeira não é maior do que 1%.