Tiu lun toán cao cp

Prévia do material em texto

YÊU CẦU
Câu 1. (4 điểm) 
a) Hãy trình bày thuật toán Gauss dùng để giải hệ phương trình tuyến tính 
b) Trình bày định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho một ví dụ minh họa, trong đó ma trận có ít nhất 4 dòng.
c) Xét hệ phương trình sau đây
trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn. Hãy giải phương trình trên bằng ít nhất 2 cách. 
Câu 2. (3 điểm) Gọi là không gian các ma trận vuông cấp với các phần tử là số thực và là ma trận đơn vị trong 
a) Xét đẳng thức , với . Hãy cho một ví dụ cụ thể của hai ma trận và để minh họa đẳng thức trên trong trường hợp 
b) Giả sử có . Nêu phương pháp Gauss – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của . Hãy cho một ví dụ minh họa với .
Câu 3. (3 điểm) 
a) Nêu định nghĩa ma trận chuyển cơ sở trong không gian vector chiều. Trình bày 2 cách tìm ma trận chuyển cơ sở trong không gian Mỗi cách cho một ví dụ minh họa.
b) Hãy cho ví dụ về một không gian vector con nằm trong có số chiều bằng 3. Xác định một cơ sở của và tọa độ của một vector cụ thể nằm trong với cơ sở vừa xác định.
BÀI LÀM 
Câu 1:
a. Thuật toán Gauss dùng để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B
Trong đại số tuyến tính, phép khử Gauss là một thuật toán có thể được sử dụng để tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận, để tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch. Phép khử Gauss được đặt theo tên của nhà toán học Đức là Carl Friedrich Gauss.
Là một phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình tuyến tính ( AX = B ), đối với thuật toán Gauss ta có thể làm như sau: đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang hay bậc thang thu gọn, nhờ các phép biến đổi trên dòng
Bước 1: Lập ma trận các hệ số mở rộng . Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang. 
Bước 2: Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Đưa ma trận về dạng bậc thang R.
Nếu tồn tại ít nhất với + 1 m khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Nếu = = … = = 0 thì hệ có nghiệm.
Khi đó các cột , , được giả định lại bên trái và các , , , … là các ẩn còn các cột còn lại thì được chuyển sang bên phải, các ẩn tương ứng với các cột này sẽ trở thành tham số.
Chú ý: Nếu trong quá trình biển đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái = 0 còn bên phải là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần giải tiếp. 
Bước 3: Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm.
b. Trình bày định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho một ví dụ minh họa, trong đó ma trận có ít nhất 4 dòng.
Định lý về số nghiệm của hệ phương trình:
Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
A và lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng. Khi đó:
+ Nếu rank(A) < rank() thì hệ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu rank(A) = rank() = thì hệ có nghiệm:
Nếu = n thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu < n thì hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào n tham số.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ:
Ta có: = 
 
 
Ta có r(A) = 3 < r() = 4 => Hệ Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Xét hệ Phương trình sau:
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ: 
Ta có: = 
 
 
 
= > r(A) = rank( ) = 4
= > Hệ Phương trình ban đầu tương đương với hệ.
Vậy hệ Phương trình có nghiệm duy nhất:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ: 
 = 
 
 
= > r(A) = r( = 2 < 4
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.
Chọn => 
Vậy họ nghiệm của hệ Phương trình:
W = 
c. Chọn 
Hệ phương trình trở thành:
Cách 1: Giải bằng thuật toán Gauss
Xét ma trận bổ sung và biến đổi sơ cấp ta được:
 = 
= > r(A) = 3 < r() = 3
= > Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách 2: Giải bằng định lý Cramer.
Ta có: 
 = = - 6006
 = = - 6006
 = = - 12012 
 = = - 18018
Do = > Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 
 = 
Câu 2. 
a. Xét đẳng thức , với 
Với 
Cho 2 ma trận: 
A= 
B= 
Ta có ma trận (A).(B) = Det(AB) = - 112 
A= Det(A)= -56
B= 2
 Det(AB) = Det(A).Det(B)
b. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss – Jordan
Phương pháp Gauss - Jordan là một sửa đổi của phương pháp Gauss, ứng dụng quan trọng nhất đã được bao gồm: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Lập [A | In] và phương pháp này sẽ dựa vào các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa [A | In] về dạng [ In | A-1].
Cho ma trận A cấp n, det(A) 0
Bước 1: Lập ma trận [A | In]. Trong đó I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A. 
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng để đưa ma trận [A | I] về dạng [I | B]
Bước 3: Thay A-1 = B, ta được [ In | A-1].
Cho ma trận A= . Tính 
Vì A là ma trận tam giác trên nên det(A) = 1 0 => tồn tại A-1
Ta tìm A-1 bằng rút gọn theo ma trận [A | I4] sao cho A thành I4 thì I4 thành A-1 
=> A-1 = 
Câu 3: 
Trong không gian n chiều V giả sử có hai cơ sở:
Kí hiệu [ = là tọa độ cột của vector v V trong cơ sở B.
Nếu tồn tại ma trận P thỏa mãn:
 = P. với mỗi v V thì ma trận P được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.
Với mỗi cặp cơ sở B và B’ của V thì ma trận chuyển cơ sở thì B sang B’ tồn tại duy nhất và được xác định bởi công thức:
P = 
Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’ thì:
+ P khả đảo.
+ là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B.
Cách tìm:
Bước 1: Biểu diễn các vector trong B sang cơ sở B’:
 = (i = )
Để tìm ta viết ma trận mở rộng gồm các tọa độ của các vector trong B’, cột vế phải là tọa độ của các vector trong B’, cột vế phải là tọa độ của các vector trong S. (tất cả viết theo cột)
Tìm được ; i = 
Viết tọa độ của 
Ví dụ: Cho không gian vector Cho S = và S’ = là 2 cơ sở của . Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang S’.
Ta có: 
Khi đó ta có: = 
Giải hệ ta được: 
Bên cạnh đó, 
Khi đó ta có: = 
Giải hệ ta được: 
Tiếp theo, 
Khi đó ta có: = 
Giải hệ ta được: 
Vậy = 
Cách 2: Ta kí hiệu () là cơ sở chính tắc của . Kí hiệu là ma trận chuyển cơ sở từ sang S và S’.
Ma trận chuyển cơ sở từ S’ sang S là ma trận: .
Ta có: = . 
Ví dụ: Trong không gian Vector cho 2 cơ sở a= và b=
Với 
=== (2;4;1) 
== (2;1;2), = (; trên 
Gọi là cơ sở chứ chính tắc của , ta có:
 = 
= 
= 
= > = . 
Ta có det() = 8 0
= 
= > = . 
= 
= 
b. Xét hệ: 
S = 
Xét A = 
= > r(A) = 3 = > số chiều của S = 3
1 cơ sở của S là ; ; 
A = (
Ta có: A = a. + b. + c. 
= > = > 
Vậy tọa độ của A S là (1;1;1).
2
123
123
123
33,
24,
5,
xxaxa
xbxxb
cxxxc
++=+
ì
ï
++=+
í
ï
++=+
î