Apostila-geometria analitica

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Apostila de Geometria Analítica
Notas de Aula com Exercícios Resolvidos
Diego Sebastián Ledesma
Atualizado 22/03 /2022
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ãoConteúdo
1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Álgebra Matricial
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Matrizes 11
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 15
3 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0. 21
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de outra linha22
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz 24
3.4 Matriz escalonada Reduzida 25
4 Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 Matrizes Quadradas 29
5 Determinante de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Determinantes 35
5.2 Determinante via permutações 41
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada 47
6 Sistema de equações linerares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 Estudo de sistemas lineares 55
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao número de equações 58
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II Vetores
7 Vetores no plano e no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1 O plano e o espaço 63
7.2 Vetores 65
8 Produto entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1 Produto generalizado 71
8.2 Produto escalar 72
8.3 Produto vetorial 76
III Objetos Geométricos
9 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1 Retas 81
9.2 Ângulo entre retas 84
9.3 Posição Relativa de retas 84
9.4 Distâncias 86
10 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1 Planos 89
10.2 Ângulo 92
10.3 Posição relativa de dois planos 93
10.4 Posição relativa entre uma reta e um plano 93
10.5 Distãncias 94
11 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1 Cônicas 97
11.2 Elipse 98
11.3 Hipérbole 100
11.4 Parábola 102
12 Translação de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.1 Sistemas de Coordenadas 106
12.2 Translação de coordenadas 107
13 Rotação do sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.1 Rotação de coordenadas 111
14 Identificação de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
14.1 Um exemplo 115
14.2 Procurando a mudança de coordenadas 116
14.2.1 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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15 Como saber se uma cônica é degenerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
16.1 Coordenadas Polares 129
16.2 Relação entre coordenadas polares e cartesianas 131
16.3 A reta em coordenadas polares. 132
16.4 Circunferência em coordenadas polares 133
16.5 Cônicas em coordenadas polares 134
16.5.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
16.5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.5.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
17 Parametrização de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.1 Paramerização de curvas 145
17.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
17.1.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
17.1.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
17.2 Parametrização em coordenadas polares 149
IV Quádricas e Superfícies
18 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
18.1 Quádricas 153
18.2 Superfícies 155
18.2.1 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
18.2.2 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
18.2.3 Superfícies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
19 Coordenadas Cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
19.1 Coordenadas Cilíndricas 161
19.2 Coordenadas Esféricas 162
20 Parametrizacão de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
20.1 Parametrização de Superfícies 165
V Exercícios resolvidos
21 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
22 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
23 Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
24 Determinante de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
25 Sistema de equações linerares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
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26 Vetores no plano e no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
27 Produto entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
28 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
29 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
30 Translação de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
31 Identificação de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
32 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
33 Parametrização de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
34 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
35 Coordenadas Cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 341
36 Parametrizacão de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
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ão1. Apresentação
Este texto é uma apostila resultado do compilado das notas de aula que utilizei para ministrar a disciplina
Geometria Analítica ao longo dos anos. Ela está escrita na forma mais simples e sintétizada que me foi possível.
O objetivo da mesma é fornecer material teórico e prático aos estudantes que façam uso delas para seus estudos.
É por isto que não há nada proposto para ser feito como exercicio e tudo está completamente resolvido na
quantidade de detalhes que me foi possível. Com isto quero dizer que não pretende para nada ser um livro texto
de disciplina mas sim um material de suporte para o estudo da mesma.
O material teórico que faz parte do texto está fortemente inspirado nos livros
• R. J. Santos, Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, Imprensa Universitária da UFMG.
• K. Hoffman e R. Kunze, Álgebra Linear, Prentice Hall, Second edition, 1971.
• P. Boulos e I. C. Oliveira, Geometria Analítica-um tratamento vetorial, McGraw-Hill, São Paulo, 2a
edição-2000 .
• L. Leithold, O Cálculo com geometria analítica, Vol. 1, Harbra, São Paulo, 2a edição – 1977.
Os exercícios resolvidos que aparecem massivamente no final do trabalho são parte das listas de exercícios e
provas aplicadas na disciplina MA141 - Geometria Analítica da UNICAMP.
Finalmente faço o destaque de que grande parte da escrita do texto contou com apoio do Serviço de Apoio ao
Estudante (SAE) da Pró-reitoria de Graduação (PRG) da UNICAMP e foi feita pela estudante - bolsista Ysabella
Visinho dos Reis.
Esta apostila ainda contém muitos erros. Teria ainda mais se não fosse pelas correções aportadas por
Daniel Paulo Garcia e Helena Pivoto Paiva enquanto cursaram Geometria Analítica comigo. A eles o meu
agradecimento.
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ãoI
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Matrizes
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz
3 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0.
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um
multiplo escalar de outra linha
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz
3.4 Matriz escalonada Reduzida
4 Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 Matrizes Quadradas
5 Determinante de uma matriz quadrada
35
5.1 Determinantes
5.2 Determinante via permutações
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada
6 Sistema de equações linerares . . . . . . 51
6.1 Estudo de sistemas lineares
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao nú-
mero de equações
Álgebra Matricial
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ão2. Matrizes
Neste capítulo começaremos estudando as noções básicas sobre matrizes. Começaremos com a definição e logo
passaremos a estudar as propriedades destes objetos.
2.1 Matrizes
Definição 2.1 Uma matriz real de tamanho m×n é um arranjo bidimensional de números
{ai j ∈ R, i = 1 . . .m, j = 1 . . .n},
que escrevemos na forma
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 .
Dada A uma matriz de tamanho m×n como acima, chamamos de entrada Ai j ao número ai j que encontra-
se na interseção da linha i com a coluna j (isto é na posição i, j da tabela) de A.
A matriz nula, que denotamos por 0, é a matriz cujas entradas são todas iguais a zero.
Denotamos por M(m×n) ao conjunto de todas as matrizes de tamanho m×n com entradas em R.
Obs.
• Em particular uma matriz de tamanho 1×n é chamada de matriz linha e uma matriz m×1 é chamada
de matriz coluna.
• No caso em que m = n então dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n.
• As matrizes de tamanho 1×1 podem ser naturalmente identificadas com os números reais.
A k−ésima linha de A é a matriz linha [A]k dada por
[A]k = (ak1,ak2, . . . ,akn).
A j−ésima coluna da matriz A é a matriz coluna [A] j dada por
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12 Capítulo 2. Matrizes
[A] j =

a1 j
a2 j
...
am j
 .
A seguinte definição estabelece quando duas matrizes são iguais.
Definição 2.2 Duas matrizes A ∈M(m×n) e B ∈M(k× l) são iguais se m = k, n = l e
Ai j = Bi j ∀ i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n.
A seguir vemos alguns exemplos de matrizes.
� Exemplo 2.1 1. Seja A ∈M(4×3) definida por
A =

1 0 21
3 −2 π
−3 41 9
5 5 5
 .
temos que
[A]2 =

0
−2
41
5
 ∈M(4×1), e [A]3 = ( −3 41 9 ) ∈M(1×3).
2. Seja B ∈ (3×6) dada por
B =
 1 1 1 1 1 21 2 4 4 4 3
1 1 1 1 1 1
 .
Então,
[B]1 =
 11
1
 ∈M(3×1), e [B]1 = ( 1 1 1 1 1 2 ) ∈M(1×6).
�
Assim como acontece nos números reais, podemos definir as operações soma e produto por escalar no
conjunto das matrizes, porém impondo algumas restrições.
Definição 2.3 • A soma de duas matrizes A e B em M(m× n) é uma matriz em M(m× n), que
denotamos por A+B, cujas entradas são dadas por
(A+B)i j = Ai j +Bi j, ∀ i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n,
isto é, se
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 e B =

b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
. . .
...
bm1 bm2 . . . bmn
 ,
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2.1 Matrizes 13
então
A+B =

a11 +b11 a12 +b12 . . . a1n +b1n
a21 +b21 a22 +b22 . . . a2n +b2n
a31 +b31 a32 +b32
. . .
...
am1 +bm1 am2 +bm2 . . . amn +bmn
 .
A multiplicação de uma matriz A ∈M(m×n) por um escalar λ ∈ R é uma matriz em M(m×n), que
denotamos por λ ·A, cujas entradas são dadas por
(λ ·A)i j = λAi j ∀i = 1 . . .m, j = 1 . . .n,
isto é, se
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 ,
então
λ ·A =

λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n
...
...
. . .
...
λam1 λam2 . . . λamn
 .
� Exemplo 2.2
1. Seja
A =
 1 2 10 1 3
3 2 2
 e B =
 1 0 70 1 1
0 2 4
 ,
vemos que
A+B =
 1+1 2+0 1+70+0 1+1 3+1
3+0 2+2 2 = 4
=
 2 2 80 2 4
3 4 6
 ,
e
2 ·A =
 2.1 2.2 2.12.0 2.1 2.3
2.3 2.2 2.2
=
 2 4 20 2 6
6 4 4
 .
�
Teorema 2.1 O conjunto M(n×m) com as operações soma e produto por escalar definidas acima é um espaço
vetorial sobre os números reais, isto é, a soma e o produto por escalar satisfazem as seguintes propriedades:
i- Comutatividade da soma: A+B = B+A.
ii- Associatividade da soma: (A+B)+C = A+(B+C).
iii- Existe um único elemento 0 em M(m×n) tal que A+0 = A.
iv- Para cada elemento A existe um único elemento, que denotamos por −A, tal que A+(−A) = 0.
v- 1 ·A = A.
vi- (λ1λ2) ·A = λ1 · (λ2 ·A).
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14 Capítulo 2. Matrizes
vii- (λ1 +λ2) ·A = λ1 ·A+λ2 ·A.
viii- λ · (A+B) = λ ·A+λ ·B.
Demonstração: Para demonstrar esses fatos vamos utilizar a definição 2.2, isto é, vamos mostrar que as entradas
das matrizes de um e outro lado de cada identidade coincidem em cada caso.
i- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
(A+B)i j = Ai j +Bi j
= Bi j +Ai j
= (B+A)i j
ii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((A+B)+C)i j = (A+B)i j +Ci j
= (Ai j +Bi j)+Ci j
= Ai j +(Bi j +Ci j)
= Ai j +(B+C)i j
= (A+(B+C))i j.
iii- Sabemos que a matriz nula
0 =
 0 . . . 0... . . . ...
0 . . . 0
 ∈M(m×n).
satisfaz A+0 = A. Vamos mostrar que é a única matriz com esta propriedade, isto é, com a propriedade
de que A+B = A para todo A ∈M(m×n). Em particular, consideramos a matriz A(i, j) cujas entradas
são todas nulas exceto a entrada Ai j que é 1. Portanto, como A(i, j)+B = A(i, j) temos que 1+Bi j = 1
donde Bi j = 0. Da arbitrariedade na escolha de i, j segue que todas as entradas Bi j = 0. De onde segue
que B = 0.
iv- Dada a matriz A considere a matriz (−1) ·A então é facil ver que A+(−1) ·A = 0. Defina −A = (−1) ·A.
Vamos mostrar que se B é tal que A+B = 0 então B =−A e portanto −A é única. Observamos que caso
tal B exista, da identidade A+B = 0 tiramos que para todo i = 1 · · · m, j = 1, · · · n.
Ai j +Bi j = 0⇒ Bi j =−Ai j = (−1)Ai j = (−A)i j.
Então B =−A.
v- Trivial.
vi- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((λ1λ2)·A)i j = (λ1λ2)i j
= λ1(λ2 ·Ai j)
= λ1(λ2 ·A)i j
= (λ1.(λ2.A)i j.
vii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((λ1 +λ2) ·A)i j = (λ1 +λ2)Ai j
= λ1 .Ai j +λ2 .Ai j
= (λ1 .A)i j +(λ2 .A)i j
= (λ1 ·A+λ2 ·A)i j.
viii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
(λ · (A+B))i j = λ (A+B)i j
= λ (Ai j +Bi j)
= λAi j +λBi j
= (λ ·A+λ ·B)i j.
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2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 15
�
Obs.
i- Embora os símbolos sejam iguais, não devemos confundir o produto e a soma definidos acima com os
canônicos de R. Por exemplo a identidade
(λ1 +λ2) ·A = λ1 ·A+λ2 ·A,
envolve duas operações soma: do lado esquerdo a soma canônica de R e do lado direito a soma
definida para matrizes. Nesse sentido o que diz a propriedade é que existe uma relação entre as duas
operações.
ii- A partir da definição de −A podemos definir no conjunto das matrizes, e em forma análoga ao que
acontece para os números reais, a operação diferença: Dadas A e B duas matrizes em M(m×n) a
diferença entre A e B é uma matriz A−B ∈M(m×n) dada por
A−B = A+(−B).
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz
Até aqui temos definido operações entre matrizes que preservam o tamanho. Nesta seção vamos a estudar outros
tipos de operações sobre as matrizes onde esta propriedade já não é necessáriamente preservada.
Definição 2.4 O produto de uma matriz A ∈M(m× n) e uma matriz B ∈M(n× k) é uma matriz AB ∈
M(m× k) cujas entradas são obtidas da seguinte forma
(AB)i j =
n
∑
r=1
AirBr j = Ai1B1 j +Ai2B2 j + · · ·+AinBn j,
para todo i = 1, · · ·,m e j = 1, · · ·,k.
� Exemplo 2.3
1. Seja
A =
(
1 2 3 4
)
∈ M(1×4) e B =

0
1
2
−1
 ∈ M(4×1).
Então A ·B ∈M(1×1) e
A ·B =
(
1.0+2.1+3.2+4.(−1)
)
=
(
0+2+6−4
)
= (4).
2. Seja
A =
 1 1 11 2 3
1 1 0
 ∈ M(3×3) e B =
 2 02 1
1 1
 ∈ M(3×2).
Então A ·B ∈M(3×2) e
A ·B =
 2.1+2.1+1.1 1.0+1.1+1.11.2+2.2+3.1 1.0+2.1+3.1
1.2+1.2+0.1 1.0+1.1+0.1
=
 5 29 5
4 1
 .
�
Em
ela
bo
raç
ão
16 Capítulo 2. Matrizes
Obs.
i- A entrada i, j do produto de A com B é obtido ao multiplicar as entradas da linha i de A com as da
coluna j de B em forma ordenada, isto é
(AB)i j = [A]i[B] j.
ii- Se A ∈M(m×n) e B ∈M(n×k) então AB está definida. Porém não necessáriamente ocorre o mesmo
para o produto de B com A. De fato, só vai ser possivel fazer o produto de B com A quando k = m.
iii- Sobre o conjunto das matrizes quadradas M(n× n) temos que AB e BA são definidas e dão como
resultado matrizes em M(n×n). No entanto temos que geralmente AB 6= BA. Por exemplo se
A =
(
0 1
0 0
)
B =
(
0 0
0 1
)
,
então A ·B será(
0 1
0 0
)(
0 0
0 1
)
=
(
0 1
0 0
)
Por outro lado B ·A será(
0 0
0 1
)(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Segue então que A ·B 6= B ·A.
O produto de matrizes possui as seguintes propriedades.
Proposição 2.1 Sejam A,B,C matrizes de tamanhos apropriados e λ ∈ R. Então
i- A(B+C) = AB+AC.
ii- λ · (AB) = (λ ·A)B = A(λ ·B).
iii- Se Ik é a matriz quadrada de tamanho k× k definida por
Ik =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 ,
e chamada de matriz identidade em M(k× k) então, para toda matriz A ∈M(m×n), temos
ImA = A = AIn.
iv- A(BC) = (AB)C.
Demonstração: Para demonstrar as propriedades comparamos as entradas das matrizes aos dois lados da
igualdade.
i-
[A(B+C)]i j = ∑
k
Aik(B+C)k j
= ∑
k
Aik(Bk j +C)k j
= ∑
k
AikBk j +∑
k
AikCk j
= (AB)i j +(AC)i j ∀i j.
Portanto A(B+C) = AB+AC.
ii-
[(λ (AB)]i j = λ (AB)i j
⇒ λ
(
∑AikBk j
)
= ∑(λAik)(Bk j)
= ((λA) ·B)i j ∀i j.
Em
ela
bo
raç
ão
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 17
O outro caso é análogo.
iii- Seja A ∈M(k×n) e Ir a matriz em M(r× r) cujas entradas são definidas por
Il j =
{
0, se l 6= j
1, se l = i
Então, temos que
(Ik ·A)li = ∑(Ik)l j ·A ji = IllAli = Ali.
Portanto Ik ·A = A analogamente se prova A · In = A.
iv-
(A(BC))i j = ∑
l
Ail(BC)l j
= ∑
l
Ail ∑
k
BlkCk j
= ∑
l
∑
k
AilBlkCk j
= ∑
k
(
∑
l
AilBlk
)
Ck j
= ∑
k
(AB)ikCk j = ((AB) ·C)i j.
�
Definição 2.5 Seja A uma matriz de tamanho m×n. A transposta de A é uma matriz At de tamanho n×m
cujas entradas são dadas por
(At)i j = A ji.
Para todo i = 1 · · ·n e j = 1 · · ·m.
� Exemplo 2.4
1. Se
A =
(
1 2 3
)
⇒ At =
 12
3
 .
2. Se
A =
(
1 2 3
1 1 1
)
⇒ At =
 1 12 1
3 1
 .
3. Se
A =

2 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
1 4 4 4
⇒ At =

2 1 1 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 .
�
Proposição 2.2 Sejam A,B e C matrizes de tamanhos apropriados e λ ∈ R. Então
i- (At)t = A.
ii- (λ ·A)t = λ ·At .
Em
ela
bo
raç
ão
18 Capítulo 2. Matrizes
iii- (A+B)t = At +Bt .
iv- (AB)t = BtAt .
Demonstração: Fazemos a demonstração comparando as entradas das matrizes de ambos os lados da igualdade.
i- Para todo i, j temos
((At)t)i j = (At) ji
= Ai j. ∀i j.
Portanto (At)t = A.
ii- Para todo i, j temos
[(λA)t ]i j = (λA) ji
= λA ji
= λ (At)i j. ∀i j.
Portando (λA)t = λAt .
iii- Para todo i, j temos
[(A+B)t ]i j = (A+B) ji
= A ji +B ji
= (At)i j +(Bt)i j. ∀i j.
Então (A+B)t = At +Bt .
iv- Para todo i, j temos
((AB)t)i j = (AB) ji
= ∑
k
A jkBki
= ∑
k
BkiA jk
= ∑
k
(Bt)ik(At)k j
= (BtAt)i j. ∀i j.
Então (AB)t = BtAt .
�
Obs. O espaço das matrizes quadradas M(n×n) com as operações soma, produto por escalar e produto formam
uma estrutura conhecida com o nome de Álgebra Linear, isto é, é um espaço vetorial munido de um produto
com as seguintes propriedades
i- A(BC) = (AB)C.
ii- A(B+C) = AB+AC.
iii- λ .(AB) = (λ .A)B = A(λ .B).
iv- Existe o elemento In ∈M(n×m) tal que InA = A = AIn.
Definição 2.6 Uma matriz quadrada A ∈M(n×n) é dita
• simétrica se At = A,
• antissimétrica se At =−A.
Proposição 2.3 Seja A ∈M(m× n) então existe uma matriz simétrica A1 e uma antissimétrica A2 tais que
A = A1 +A2.
Proof. Seja
A1 =
1
2
(A+At) e A2 =
1
2
(A−At).
Claramente
At1 =
1
2
(A+At)t =
1
2
(At +A) = A1.
Em
ela
bo
raç
ão
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 19
At2 =
1
2
(A−At)t = 1
2
(At −A) =−A2.
e
A1 +A2 =
1
2
(A+At)+
1
2
(A−At) = A.
Em
ela
bo
raç
ão
Em
ela
bo
raç
ão3. Operações elementares
Dada uma matriz A ∈M(m×n) vamos considerar operações sobre as linhas desta de forma tal que a nova matriz
obtida B esteja em M(m×n). Em particular vamos nos concentrar em três tipos de operações:
1. Multiplicação de uma linha por um escalra λ 6= 0.
2. Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo de outra linha.
3. Troca de duas linhas de uma matriz.
Procedimentos análogos podem ser feitos com as colunas de uma matriz. Nestas notas não estudaremos esse
caso.
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0.
Por exemplo, multiplicar a linha i da matriz A ∈M(m×n) por λ 6= 0 (que denotamos por λ`i→ `i) dá origem a
uma nova matriz B ∈M(m×n) com a seguinte forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

λ`i→ `i−−−−−→ B =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
λai1 λai2 . . . λain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

.
Em particular, ao fazer esta operação elementar sobre a identidade obtemos:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 λ`i→ `i−−−−−→ Emi (λ ) =

1 0 · · · · 0
...
. . . · · · ·
...
0 · · · 1 0 0 ·
...
0 · · · 0 λ 0 ·
...
0 · · · 0 0 1 ·
...
...
... · · · . . .
...
0 0 · · · · 1

← i
Em
ela
bo
raç
ão
22 Capítulo 3. Operações elementares
Observamos que a operação (λ`i→ `i) sobre a matriz A é igual a multiplicar A a esquerda por Emi (λ ), isto é:
Se A λ`i→`i−−−−→ B então B = Emi (λ ) ·A.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato, ao multiplicar a linha i de B por 1
λ
temos novamente A.
Isto garante que
Emi (
1
λ
)Emi (λ ) = Im.
� Exemplo 3.1 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
e considerere a operação elementar 2`2→ `2, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 2`2→ `2−−−−−→ B =

1 2 3
2 −2 2
0 1 −1
0 0 1
 .
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 2`2→ `2−−−−−→ E2(2) =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Observamos que E2(2)A = B. Mais ainda
E2
(
1
2
)
=

1 0 0 0
0 12 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

e
E2(
1
2
)E2(2) = I e E2(
1
2
)B = A.
�
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de outra linha
Por exemplo, substituir a linha i por multiplo escalar λ da linha j mais a linha i (que denotamos por `i+λ` j→ `i)
dá origem a uma nova matriz B ∈M(m×n) a seguinte forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

`i +λ` j→ `i−−−−−−−−→
B =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 +λa j1 ai2 +λa j2 . . . ain +λa jn
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

.
Em
ela
bo
raç
ão
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de outra linha 23
Em particular, ao fazer esta operação elementar sobre a identidade obtemos, por exemplo para o caso i > j:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 `i +λ` j→ `i−−−−−−−−→ Emi j (λ ) =

1 0 · · · · 0
...
. . . · · · ·
...
0 . . . 1 0 0 ·
...
·
...
. . .
...
...
0 · · · λ · · · 1 ·
...
...
... · · · . . .
...
0 0 · · · · 1

← i
← j
Fazer esta operação `i +λ` j→ `i sobre a matriz A é igual a multiplicar A a esquerda por Emi j (λ ), isto é:
Se A→ B ao fazer a operação elementar λ` j + `i→ `i temos que B = Emi j (λ ) ·A.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato, ao substituir a linha i por um multiplo (−λ ) da linha j mais
a linha i temos novamente A. Isto garante que
Emi j (−λ )Emi j (λ ) = Im.
� Exemplo 3.2 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
e considerere a operação elementar `1 +2`2→ `1, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 `1 +2`2→ `1−−−−−−−−−→ B =

3 0 5
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 .
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 `1 +2`2→ `1−−−−−−−−−→ E12(2) =

1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Observamos que E12(2)A = B. Mais ainda
E12 (−2) =

1 −2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

e
E12(−2)E12(2) = I e E12(−2)B = A.
�
Em
ela
bo
raç
ão
24 Capítulo 3. Operações elementares
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz
Por exemplo, trocar a posição da linha i da matriz A com a posição da linha j (que denotamos por `i↔ ` j) dá
origem a uma nova matriz B ∈M(m×n) da seguinte forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

`i↔ ` j−−−−→
B =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

← i
← j
Em particular ao fazer esta operação sobre a identidade obtemos:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 `i↔ ` j−−−−→
Emi j =

1 0 · · · · · · · · 0
...
. . . · · · · · · · · ·
...
0 · 1 · · · · ·· · ·
...
· · · 0 0 0 . . . 0 1 0 ·
...
· · · 0 1 0 . . . 0 0 · ·
...
· · ·
... 0
. . . · · · · ·
...
· · ·
...
... · . . . 0 · · ·
...
· · · 0 0 0 . . . 1 0 · ·
...
· · · 1 0 0 · · · 0 0 · ·
...
0 · · · · · · · · 1 ·
...
...
... · · · ·· · · · . . .
...
0 0 · · · · · · · · · 1

← i
← j
Fazer esta operação (`i↔ ` j) sobre a matriz A é igual a multiplicar A por Emi j , isto é:
Se A→ B ao fazer a operação `i↔ ` j temos que B = Ei jA.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato ao trocar novamente a posição das linhas i e j da matriz
B temos novamente A. Isto garante
Emi j E
m
i j = Im.
� Exemplo 3.3 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
Em
ela
bo
raç
ão
3.4 Matriz escalonada Reduzida 25
e considerere a operação elementar `3↔ `4, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 `3↔ `4−−−−→ B =

1 2 3
1 −1 1
0 0 1
0 1 −1
 .
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 `3↔ `4−−−−→ E34 =

1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
 .
Observamos que E34A = B. Mais ainda
E34E34 = I e E34B = A.
�
3.4 Matriz escalonada Reduzida
Na discussão das operações elementares temos provado o seguinte resultado.
Proposição 3.1 Fazer uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A de tamanho m×n é equivalente
a multiplicar A a esquerda por uma matriz quadrada E de tamanho m×m que é obtida ao se fazer a operação
elementar sobre a identidade Im. Isto é, a matriz obtida B de fazer a operação elementar sobre A é igual a B = EA.
As operações elementares permitem definir uma relação no matrizes de tamanho m×n da seguinte forma :
Dadas duas matrizes A,B ∈M(m×n) dizemos que A está relacionada com B (e o denotamos A∼ B) se B pode
ser obtida de A ao fazer um número finito de operações elementares.
� Exemplo 3.4 Fazemos
A =
 −1 1 1−1 1 1
−1 −1 1
`1 + `2→ `1−−−−−−−−→
 0 2 21 1 1
−1 −1 1
`3 + `2→ `3−−−−−−−−→
 0 2 21 1 1
0 0 2
 1
2
`1→ `1
−−−−−−→
 0 1 11 1 1
0 0 2
 1
2
`3→ `3
−−−−−−→
 0 1 11 1 1
0 0 1
`1↔ `2−−−−→
 1 1 10 1 1
0 0 1
= B
Então A∼ B. �
Vamos mostrar que esta é uma relação de equivalência, isto é, vamos mostrar que relação é
• reflexiva: A∼ A,
• simétrica: Se A∼ B então B∼ A
• transitiva: Se A∼ B e B∼C então A∼C
Mostramos agora estas propriedades:
Demonstração.
A∼ A: Toda A ∈M(m×n) está relacionada com ela propria, isto é A∼ A. De fato, por exemplo, fazendo duas
vezes a operação elementar troca de uma linha por outra vemos que A é obtida de A por um número finito de
operações elementares e, portanto, A∼ A.
Em
ela
bo
raç
ão
26 Capítulo 3. Operações elementares
Se A ∼ B então B ∼ A: Sejam A, B duas matrizes em M(m× n) tais que A está relacionada com B, isto é
A∼ B. Então B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares. Então existem matrizes
elementares E1, · · · ,Ek tais que
B = E1 · · ·Ek ·A.
Como toda operação elementar pode ser revertida, para cada matriz E j existe uma matriz elementar E ′j tal que
E ′j E j = Im, de onde
E ′k · · ·E ′1 ·B = E ′k · · ·E ′1 ·E1 · · ·Ek ·A = ImA = A.
Dito de outra forma, A é obtida de B fazendo um número finito de operações elementares sobre suas linhas. De
onde segue que B∼ A.
Se A ∼ B e B ∼C então A ∼C: Sejam A, B e C matrizes em M(m× n) tais que A está relacionada com B e
B está relacionada com C então existem matrizes elementares E1 · · ·Ek e D1 · · ·Dk tais que B = E1 · · ·Ek . A e
C = D1 · · ·Dk . B donde
C = D1 · · ·Dk ·B = D1 · · ·Dk ·E1 · · ·Ek ·A.
Portanto C é obtida de A ao fazer um número finito de operações elementares sobre suas linhas, isto é, A∼C. �
Consideremos então uma matriz A ∈M(m×n) e todas as matrizes B que estão relacionadas com A. Estas
matrizes estão contidas em um conjunto [A]⊂M(m×n) que é o conjunto de sua classe de equivalencia, isto é, o
conjunto
[A] = {B ∈M(m×n),B∼ A}.
Se B é uma matriz contida em [A] dizemos então que A e B são equivalentes por linhas. É facil mostrar as
seguintes propriedades.
Proposição 3.2
a) A ∈ [A],
b) A∼ B se e somente se [A] = [B],
c) [A]
⋂
[B] 6= /0 então [A] = [B],
d) B ∈ [A] então [A] = [B],
e) M(m×n) =
⋃
A∈M(m×n)[A].
Demonstração:
a) Utilizando que A∼ A temos que A ∈ [A] = {B,B∼ A} ⊂M(m×n).
b) Assuma A∼ B. Como ∼ é de equivalência, se
C ∼ A⇒C ∼ B⇒C ∈ [B].
Portanto [A]⊆ [B]. Similarmente se mostra que [B]⊆ [A] de onde [A] = [B].
Por outro lado, se [A] = [B]⇒ B ∈ [A]⇒ B∼ A.
c) Se C ∈ [A]
⋂
[B]⇒C∼ A e C∼ B então A∼C e C∼ B⇒ A∼ B, pois∼ é de equivalência, assim [A] = [B]
pelo item b)
d) Segue do item b).
e) Se M ∈M(m×n) então M ∈ [M] portanto
M(m×n) ⊂
⋃
A∈M(m×n)
[A].
Como ⋃
A∈M(m×n)
[A]⊂M(m×n), então
⋃
A∈M(m×n)
[A].
Em
ela
bo
raç
ão
3.4 Matriz escalonada Reduzida 27
�
Obs. Observamos que em particular os itens b), c) e d) nos dizem que se duas matrizes A e B não são equivalentes
então [A]
⋂
[B] = /0.
Vemos entãoque para descrever uma classe de equivalencia só precisamos de uma matriz na classe pois
todas as outras vão ser obtidas ao fazer operações elementares sobre esta. Assim dada uma classe, escolhemos
um representante da classe que tenha a maior quantidade de 0 e 1 possíveis. Esse é motivo da seguinte definição.
Definição 3.1 Uma matriz A ∈M(m× n) é dita escalonada reduzida por linhas, ou simplesmente escalonada
reduzida, se
1- O pivô de cada linha de A, isto é, a primeira entrada não nula de cada linha, é 1
2- Cada coluna que contém o pivô de alguma linha tem todas as outras entradas nulas.
3- O pivô de cada linha ocorre a direita do pivô da linha anterior.
4- As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas.
Obs. O item 3- nos diz que as matrizes escalonadas reduzidas tem zeros abaixo da diagonal, isto é, tem a forma
∗ ∗ . . . ∗ ∗
0 ∗ . . . ∗ ∗
0 0
. . . ∗ ∗
0 0
. . . ∗ ∗
0 0 . . . 0 ∗

� Exemplo 3.5 1. A matriz
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 ,
é escalonada reduzida.
2. A matriz
A =
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 2 4
 ,
não é escalonada reduzida. De fato, observamos que 0 1 0 00 0 1 1
0 0 2 4
`3−2`2→ `3−−−−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 0 2
 1
2
`3→ `3
−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 0 1

`2− `3→ `2−−−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 ,
que é escalonada reduzida.
3. A matriz 1 0 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 ,
é escalonada reduzida.
Em
ela
bo
raç
ão
28 Capítulo 3. Operações elementares
4. A matriz
0 . . . 0
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
 ,
é escalonada reduzida.
�
Teorema 3.1 Toda matriz A ∈M(m×n) é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida.
Demonstração: Seja A ∈M(m×n) uma matriz. Considere o seguinte jogo.
1 - Começamos pela primeira linha.
2 - Se ela for nula, fazemos uma operação elementar que a coloque na parte de baixo da matriz. Se não for,
procuramos a primeira entrada não nula e fazemos uma operação elementar para tornar esta entrada igual
a 1. O mesmo fazemos com todas as linhas não nulas.
3 - Fazendo novamente operações elementares colocamos as linhas de forma tal que os pivôs apareçam
conforme descemos nas linhas, a direita do pivô da linha anterior.
4 - Se na linha de baixo tivermos pivôs abaixo do pivô da primeira linha, fazemos operações elementares
entre cada uma destas linhass e a primeira linha para trasladas estes pivôs para outra coluna.
5 - Fixamos a primeira linha e recomeçamos o processo a partir da segunda linha, e assim sucessivamente.
Por este método obtemos uma matriz onde todas as linhas nulas estão abaixo e, na parte de cima, os pivôs
ocorrem de forma adequada. Agora, só resta zerar as entradas acima de cada pivõ, o que é feito novamente via
operações elementares, obtendo uma matriz escalonada reduzida. Observamos que o processo é finito pois a
matriz tem finitas entradas.
Para ver a unicidade, assuma que A é equivalente por linhas a duas matrizes escalonadas reduzidas B1 e B2.
Então B1 e B2 são equivalentes por linhas e portanto B2 é obtido de B1 fazendo operações elementares. Mas
estas operações devem ser identidade pois caso contrario B2 não pode estar na sua forma escalonada reduzida.
Donde B1 = B2.
�
O teorema anterior garante que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz escalonada reduzida. Por
exemplo vemos que se A é uma matriz de 3×2 então ela é equivalente por linhas a alguma das matrizes abaixo:
A1 =
 1 00 1
0 0
 A2 =
 1 00 0
0 0
 A3 =
 0 10 0
0 0
 A4 =
 0 00 0
0 0
 A5 =
 1 k0 0
0 0
 ,
com k ∈ R.
Obs. No caso das matrizes quadradas de tamanho n×n, a matriz escalonada reduzida é a identidade In ou possui
pelo menos uma linha nula. De fato se B é uma matriz escalonada reduzida quadrada que não é a identidade
então temos que para alguma linha o pivô está a direita da diagonal. Por exemplo:
1 0 0 0 · · · ∗
0 1 ∗ 0 ∗· · · ∗
0 0 0 1 · · · ∗
0 0 0 0
. . . ∗
...
...
...
...
. . .
...
0 · · · · · · · · · · · · 0

Segue disto que os pivõs correspondentes as linhas inferiores estão a direita da diagonal. Pelo fato da matriz
ser quadrada temos que na linha n não haverá termos não nulos.
Em
ela
bo
raç
ão4. Matrizes Quadradas
Até agora introduzimos o conjunto das matrizes e estudamos as diferentes operações entre estes objetos. Nesta
seção pretendemos focar no caso particular das matrizes quadradas.
4.1 Matrizes Quadradas
Considere o conjunto das matrizes quadradas de tamanho n×n, isto é, M(n×n). Observamos que M(n×n)
comporta-se um pouco como o conjunto de números racionais Q no sentido em que soma e produto de elementos
do conjunto produzem elementos do conjunto, mais ainda, existe um elemento neutro para a soma, que é a
matriz 0, e um elemento neutro para o produto que é a matriz In.
Vimos que, para o caso da soma, sempre podemos achar um inverso aditivo, isto é: dada uma matriz A existe
uma matriz −A tal que A+(−A) = 0. Será que o mesmo acontece com o produto?. Ou melhor, dada uma matriz
A ∈M(n×n) existe uma matriz B tal que BA = In?
Não precisamos ir muito longe para ver que isto não é verdade. De fato no caso n = 2 considere, por exemplo,
a matriz
A =
(
1 0
0 0
)
.
para qualquer matriz B =
(
a b
c d
)
temos que o produto de B com A dá
(
a b
c d
)(
1 0
0 0
)
=
(
a 0
c 0
)
6=
(
1 0
0 1
)
,
para qualquer matriz a,b,c,d escolhido.
No entanto, é interessante observar o seguinte:
Proposição 4.1 Seja A ∈M(n×n).
i- Se existe B tal que BA = In então AB = In.
ii- Se existe B tal que AB = In então BA = In.
iii- Se B e C são tais que AB = In = AC ou BA = In =CA então B =C.
Demonstração:
Em
ela
bo
raç
ão
30 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
i- Seja B tal que BA = In. Sabemos que B é equivalente por linhas a uma matriz escalonada reduzida, isto é,
existem matrizes elementares E1 · · ·Ek tais que C = E1 · · ·EkB é uma matriz escalonada reduzida. Mais
ainda C deve ser a identidade pois, caso contrario, teriamos que C possui uma linha nula de onde segue
que CA tem uma linha nula e, como
CA = E1 · · ·EkBA = E1 · · ·EkIn = E1 · · ·Ek,
teriamos que a matriz E1 · · ·Ek tem uma linha nula, o que é impossível. De fato, se isso acontecese a
classe de equivalência da matriz identidade teria interseção com a classe de equivalencia de uma matriz
escalonada reduzida com linhas nulas o que é um absurdo. Portanto C = In.
Como
B(In−AB) = BIn−
In︷︸︸︷
BA B = B−B = 0
temos que
In−AB =
In︷ ︸︸ ︷
(E1 · · ·EkB)(In−AB)
= E1 · · ·Ek(B−BAB)
= E1 · · ·Ek(B−B) = 0,
de onde In = AB.
ii- Se existe B tal que AB = In então, pelas propriedades da transposta, temos que BtAt = In. O item anterior
garante então que AtBt = In ou, aplicando novamente as propriedades da transposta, BA = In.
iii- Sejam B e C tais que AB = In = AC então
B = BIn = BAC = InC =C.
Análogamente o outro caso.
�
Tudo isso motiva a seguinte definição.
Definição 4.1 Uma matriz quadrada A de tamanho (n×n) é dita invertível se existe uma matriz B tal que
AB = BA = In.
Neste caso, chamamos B de inversa de A e a denotamos por A−1.
Corolário 4.1 Seja A uma matriz invertível. Então a inversa é única.
Demonstração: Seja A−1 a inversa de A e assuma que existe B tal que AB = BA = In. Então:
B = B(AA−1) = (BA)A−1 = A−1.
Tem-se ainda que Ek · · ·E1 = A−1, isto é, são as operações elementares feitas na identidade que dão A−1. �
� Exemplo 4.1 1. Toda matriz elementar é invertível. De fato se E é a matriz associada a uma operação
elementar e E ′ é a matriz elementar associada à operação elementar inversa temos que
E ′E = I.
2. Seja
A =
 1 1 10 1 1
0 0 1
 e B =
 1 −1 00 1 −1
0 0 1
 ,
então AB = I. Portanto A é invertível.
�
Em
ela
bo
raç
ão
4.1 Matrizes Quadradas 31
Em particular, como consequência da demostração do item i- da Proposição 4.1 temos que A é uma
matriz invertível então ela é equivalente por linhas a matriz identidade. Dito de outra forma, existem matrizes
elementares E1 · · ·Ek tais que
Ek · · ·E1A = In.
E se uma matriz é equivalente por linhas a matriz identidade então, Ek · · ·E1A = In dondeEk · · ·E1 = A−1 e
portanto A é invertível. Temos provado o seguinte resultado.
Corolário 4.2 Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, é equivalente por linhas a matriz identidade.
Mais ainda, uma matriz é invertível se ela for produto de matrizes elementares.
� Exemplo 4.2 Dada a matriz
A =
 1 1 11 0 1
0 1 1
 .
Vamos fazer operações elementares para levar a matriz para a forma escalonada reduzida
A =
 1 1 11 0 1
0 1 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 01 0 1
0 1 1
`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 00 0 1
0 1 1

`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 00 0 1
0 1 0
`2↔ `3−−−−→
 1 0 00 1 0
0 0 1
= I.
Vamos fazer as mesmas operações elementares na identidade.
I =
 1 0 00 1 0
0 0 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 −10 1 0
0 0 1
`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 −1−1 1 1
0 0 1

`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 −1−1 1 1
1 −1 0
`2↔ `3−−−−→
 1 0 −11 −1 0
−1 1 1
= A−1.
De fato 1 1 11 0 1
0 1 1
 1 0 −11 −1 0
−1 1 1
=
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Poderiamos ter feito isto tudo de uma única vez e simultaneamente se colocassemos a identidade ao lado da
matriz A e fizessemos as operações elementares nas duas
A︷ ︸︸ ︷ 1 1 11 0 1
0 1 1
|
|
|
I︷ ︸︸ ︷
1 0 0
0 1 0
0 0 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −11 0 1 | 0 1 0
0 1 1 | 0 0 1

`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −10 0 1 | −1 1 1
0 1 1 | 0 0 1
`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −10 0 1 | −1 1 1
0 1 1 | 0 0 1

`2↔ `3−−−−→
 1 0 00 1 0
0 0 1︸ ︷︷ ︸
I
|
|
|
1 0 −1
1 −1 0
1 1 1

︸ ︷︷ ︸
A−1
.
�
Em
ela
bo
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ão
32 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
Isto fornece um método valiosíssimo para achar a inversa de uma matriz que é o método de Gauss-Jordan. A
seguir o descrevemos: Seja A uma matriz invertível dada por
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann
 .
i- Construa a matriz aumentada [A|In] como segue
[A|In] =

a11 a12 · · · a1n | 1 0 · · · 0
a21 a22 · · · a2n | 0 1 · · · 0
...
...
. . .
... |
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann | 0 0 · · · 1
 .
ii- Faça operações elementares até levar [A|In] na sua forma escalonada reduzida.

1 0 · · · 0 | b11 b12 · · · b1n
0 1 · · · 0 | b21 b22 · · · b2n
...
...
. . .
... |
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1 | bn1 bn2 · · · bnn
 .
iii- A matriz
B =

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
...
...
. . .
...
bn1 bn2 · · · bnn
 .
É a inversa de A.
Vamos brevemente justificar porque o método funciona. Assuma que A é invertível e sejam E1 · · ·EkA = In e,
claramente, A−1 = E1 · · ·Ek. Se multiplicarmos
E1 · · ·Ek[A|In] = [E1 · · ·EkA|E1 · · ·EkIn]
= [In|E1 · · ·Ek]
= [In|A−1].
Como [In|E1 · · ·Ek] é matriz escalonada reduzida associada a [A|In] temos que A−1 está unívocamente determinada.
Algumas propriedades da inversa são as seguintes:
Proposição 4.2
i- Se A é invertível então A−1 também o é. Mais ainda (A−1)−1 = A.
ii- Se A é invertível então (At)−1 = (A−1)t .
iii- Se A e B são invertíveis então AB também o é. Mais ainda (AB)−1 = B−1A−1.
Demonstração: i- Se A é invertível então
AA−1 = A−1A = I
portanto A é a inversa de A−1.
ii- Se A é invertível então
AA−1 = A−1A = I ⇒ (A−1)tAt = At(A−1)t = It = I
e portanto (At)−1 = (A−1)t .
Em
ela
bo
raç
ão
4.1 Matrizes Quadradas 33
iii- De fato
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
Então AB é invertível e (AB)−1 = B−1A−1.
�
Em
ela
bo
raç
ão
Em
ela
bo
raç
ão5. Determinante de uma matriz quadrada
Neste capítulo vemos a definição de determinante de uma matriz quadrada. O determinante pode ser visto como
uma função do espaçõ das matrizes nos reais que satisfaz uma serie de propriedades que a tornam única.
5.1 Determinantes
Definição 5.1 Uma função D : M(n×n)→ R é dita n-linear se, satisfaz
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 ,
para todo 1≤ k ≤ n.
� Exemplo 5.1 Sejam `1, . . . , `n inteiros positivos e menores ou iguais do que n e b ∈ R. A função D :
M(n×n)→ R definida por
D(A) = b([A]1`1 · · · [A]n`n).
Em
ela
bo
raç
ão
36 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
é n-linear. De fato, para todo 1≤ k ≤ n, temos
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
 = b(a1`1 · · ·(ak`k + cbk`k) · · ·an`n)
= b(a1`1 · · ·ak`k · · ·an`n)+ cb(a1`1 · · ·cbk`k · · ·an`n)
= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 .
�
Lema 5.1 Dadas D1, . . . ,Dk funções n−lineares e b1, . . . ,bk ∈ R. A função
D = b1D1 + · · ·+bkDk,
é n−linear.
Demonstração: De fato,
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
 = b1D1

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann

+ · · ·+bkDk

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann

= b1D1

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ · · ·+ cb1D1

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann

+ · · ·+bkDk

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cbkDk

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann

= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 .
Em
ela
bo
raç
ão
5.1 Determinantes 37
�
Definição 5.2 Uma função n linear é alternada se D(A) = 0 sempre que duas lineas de A sejam iguais.
Corolário 5.1 Seja D alternada e assuma que A′ é obtida de A de intercambiar duas lineas então D(A′) =
−D(A).
Demonstração: Se D é alternada, então para quaisquer l e k temos
0=D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

=D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

= 0+D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+0.
Portanto
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

=−D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

.
�
Definição 5.3 Uma função D : M(n× n)→ R é chamada de função determinante se ela é uma função
n-linear, alternada tal que D(I) = 1 para I matriz identidade.
Em
ela
bo
raç
ão
38 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
� Exemplo 5.2 Seja D uma função n−linear alternada e A uma matriz em M(2×2) então
D
(
a b
c d
)
= D
(
a+0 0+b
0+ c d +0
)
= D
(
a 0
0+ c d +0
)
+D
(
0 b
0+ c d +0
)
= D
(
a 0
0 d
)
+D
(
a 0
c 0
)
+D
(
0 b
0 d
)
+D
(
0 b
c d
)
= adD
(
1 0
0 1
)
+acD
(
1 0
1 0
)
+bdD
(
0 1
0 1
)
+ cdD
(
0 1
1 0
)
= adD
(
1 0
0 1
)
+0+0+ cdD
(
0 1
1 0
)
= (ad +(−cd))D
(
1 0
0 1
)
.
Portanto existe uma única função determinante D para matrizesem M(2×2) e é dada por
D
(
a b
c d
)
= ad−bc.
Isto provém do fato de que a função determinante satisfaz
D
(
1 0
0 1
)
= 1.
�
Definição 5.4 Se n> 1 e A é uma matriz em M(n×n) denotamos por A(i| j) a matriz em M((n−1)×(n−1))
que é obtida de A apagando-se a linha i e a coluna j. Isto é, se
A =

a11 · · · a1 j−1 a1 j a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai1 · · · ai j−1 ai j ai j+1 · · · ain
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j an j+1 · · · ann

então
A(i| j) =

a11 · · · a1 j−1 a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j+1 · · · ann

.
Se D é uma função n−1-linear denotamos
Di jA = D(A(i| j)).
Em
ela
bo
raç
ão
5.1 Determinantes 39
Teorema 5.1 Seja n > 1 e D uma n− 1-função linear alternada em M((n− 1)× (n− 1)). Para todo j a
função E j : M(n×n)→ R definida por
E j(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+ jAi j(Di jA),
é uma n-função linear alternada. Mais ainda se D é uma função determinante E j também o é.
Demonstração: Seja A uma matriz de tamanho n× n. Então, Di j(A) é independente da i−ésima fila de A e
como D é (n−1)linear temos que Di j é (n−1) linear com respeito a qualquer linha de A diferente de i. Então
Ai jDi jA é n linear por um resultado acima. Como a soma e produto por escalar de funções n−lineares é n−linear
temos que E j definida como acima é n−linear.
Assuma que A tem duas linhas iguais. Observamos que é suficiente supor que as linhas são adjacentes. Então
assuma que a linha k é igual à linha k+1. Se i 6= k, k+1, a matriz A(i| j) tem duas linhas iguais e Di j(A) = 0.
Portanto
E j(A) = (−1)k+ jAk jDk j(A)+(−1)k+1+ jA(k+1) jD(k+1) j(A).
Mas como Ak j = A(k+1) j e A(k| j) = A(k+1| j) temos que E j(A) = 0.
Se D é uma função determinante e I é a identidade de tamanho n×n, então I( j| j) é a identidade de tamanho
(n−1)× (n−1) e como
Ii j =
{
1 se i = j
0 se i 6= j ,
segue que E j(I) = D(I( j| j)) = 1. �
Corolário 5.2 Existe uma função determinante em M(n×n).
Demonstração: Sabemos que existe a função determinante em matrizes de 1×1 definida por
det(a) = a
e para matrizes de tamanho 2×2, definida pelo exemplo 5.2, em que
det
(
a b
c d
)
= ad−bc.
Utilizando o teorema anterior definimos a função determinante para matrizes de tamanho n×n por meio do
seguinte esquema
i- Se n = 1 então A = (a) donde det(A) = a.
ii- Se n > 1 então
det(A) = (−1)i+ jai1 det(A(i|1))+ · · ·+(−1)i+nain det(A(i|n)),
ou equivalentemente
det(A) = (−1) j+1a1 j det(A(1| j))+ · · ·+(−1) j+nan j det(A(n| j)).
Para qualquer 1≤ i, j ≤ n escolhidos (vamos ver na próxima seção que de fato é independente da escolha de i ou
j). A primeira fórmula corresponde ao cálculo do determinante com respeito à coluna j e a segunda corresponde
ao cálculo de determinante com respeito a linha i.
Observamos que a fórmula assim obtida dá uma função determinante, isto em virtude do teorema 5.1 De
fato, vejamos que para n = 2 temos a função D obtida no exemplo 5.2. Para isto, seja A ∈M(2×2) dada por
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
,
Em
ela
bo
raç
ão
40 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
escolhemos calcular o determinante com respeito a linha 1. Então
det(A) = (−1)1+1a11 det((a22))+(−1)1+2a12 det((a21))
= a11a22−a12a21.
Mostramos agora como funciona a recursão fazendo as contas para n = 3 seja A ∈M(3×3) dada por
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 .
Escolhemos calcular novamente o determinante com respeito a linha 1 e vamos utilizar a formula achada para o
cálculo de determinantes de matrizes de tamanho 2 × 2. Assim
det(A) = (−1)1+1a11 det
(
a22 a23
a32 a33
)
+(−1)1+2a12 det
(
a21 a23
a31 a33
)
+(−1)1+3a13 det
(
a21 a22
a31 a32
)
= a11
(
a22a33−a23a32
)
+a12
(
a21a33−a23a31
)
+a13
(
a21a32−a32a22
)
.
Portanto a função det assim definida é uma função determinante.
�
Obs. Para simplificar a notação é definido o cofator da entrada ai j da matriz A de tamanho n×n como o número
āi j obtido por
āi j = (−1)i+ j det(A(i| j)).
Com esta notação, a formula para o cálculo do determinante fica
det(A) = ai1ãi1 + · · ·+ainãin,
ou equivalentemente
det(A) = a1 jã1 j + · · ·+an jãn j.
� Exemplo 5.3 Vamos mostrar como calcular o determinante de uma matriz utilizando a fórmula acima.
Calculamos o determinante da matriz abaixo a partir da terceira linha.
det

1 0 1 1
0 1 2 1
1 0 1 3
−1 1 −1 1
 = (−1)(1+1)(1)det
 0 1 11 2 1
1 −1 1

+(−1)(1+2)(0)det
 1 1 10 2 1
−1 −1 1

+(−1)(1+3)(1)det
 1 0 10 1 1
−1 1 1

+(−1)(1+4)(3)det
 1 0 10 1 2
−1 1 −1

Portanto, precisamos calcular os seguintes
Em
ela
bo
raç
ão
5.2 Determinante via permutações 41
det
 0 1 11 2 1
1 −1 1
 = 0+(−1)(1+2)(1)det( 1 1
1 1
)
+(−1)(1+3)(1)det
(
1 2
1 −1
)
= 0+(−1×0)+(1×−3) =−3.
det
 1 0 10 1 1
−1 1 1
 = (−1)1+1(1)det( 1 1
1 1
)
+0+(−1)1+3(1)
(
0 1
−1 1
)
= 0+0+1 = 1.
det
 1 0 10 1 2
−1 1 −1
 = (−1)1+1(1)det( 1 2
1 −1
)
+0+(−1)1+3 det
(
0 1
−1 1
)
= (1×−3)+0+(1×1) =−2.
Substituindo temos,
det

1 0 1 1
0 1 2 1
1 0 1 3
−1 1 −1 1
= (1×−3)+0+(1×1)+(−3×−2) = 4.
�
5.2 Determinante via permutações
Nesta seção vamos mostrar que a função determinante definida na seção anterior é única e independente da
escolha da coluna ou linha escolhida. Também vamos mostrar um método mais simples para o cálculo do
mesmo.
Seja e j ∈M(1×n) a matriz linha definida por
e j = (0, . . . ,0,
j︷︸︸︷
1 ,0, . . . ,0)
onde o número 1 está na posição j. Com esta notação temos que todam matriz linha α = (a1, . . . ,an) em
M(1×n) pode ser escrita da forma
(a1, . . . ,an) = a1(1,0, . . . ,0)+ · · ·+an(0, . . . ,0,1)
ou, equivalentemente
α =
n
∑
i=1
aiei.
Em
ela
bo
raç
ão
42 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Portanto, para toda função n-linear D em M(n×n) temos
D(A) = D
(
n
∑
i1=1
[A]1i1ei1 ,α2, . . . ,αn
)
=
n
∑
i1=1
[A]1i1 ∗D
(
ei,
n
∑
i2=1
[A]2i2ei2 , . . . ,αn
)
=
n
∑
i1,i2=1
[A]1ii ∗ [A]2i2D(ei1 ,ei2 , . . . ,αn)
...
=
n
∑
i1,...,in=1
([A]1ii ∗ . . .∗ [A]nin)D
 ei1...
ein
 .
Se pedimos que D seja alternada temos que os termos dos produtos que involvem
D
 ei1...
ein
 ,
onde ei j = eik para algum k e j, são identicamente nulos.
Definição 5.5 Uma n-upla de inteiros positivos (i1, . . . , in) tais que 1≤ i j ≤ n para todo j = 1 . . .n e i j 6= ik
para todos j e k é chamada uma permutaão de grau n do conjunto (1, . . . ,n).
Assim, uma permtação é definida como uma função bijetora σ : {1, . . . ,n} → {1, . . . ,n}. Uma tal função
define uma n-upla (σ1, . . . ,σn) e é por tanto uma regra para reorganizar os elementos 1,2, . . . ,n de alguma forma
definida. Em particular se
σ(1, . . . ,n) = (σ1, . . . ,σn)
então
σ(i) = σi ∀ i ∈ {1, . . . ,n}.
Um fato básico em permutações é o seguinte:
Toda permutação σ pode ser obtida de uma suceção de intercambio de pares.
Esta suceção pode ser de diferentes formas mas o número de intercambio de pares utilizados é sempre sempre
par ou impar e isto depende somente da permutação.
Definição 5.6 Uma permutação σ : {1, . . . ,n}→ {1, . . . ,n} é dita
• par se o número de intercambios utilizado for par.
• impar se o número de intercámbios utilizados for impar.
O sinal da permutação sigma será
sinal(σ) =
{
1 se σ par
−1 se σ impar .
� Exemplo 5.4 • A permutação σ = (1,3,4,2,5) é par pois pode ser vista como composta dos seguintes
intercâmbios de pares
σ1 : (1,2,3,4,5)→ (1,3,2,4,5), σ2 : (1,2,3,4,5)→ (1,2,4,3,5).
Então
σ = σ2 ◦σ1(1,2,3,4,5) = σ2(1,3,2,4,5) = (1,3,4,2,5).
Em
ela
bo
raç
ão
5.2 Determinante via permutações 43
• A permutação σ = (3,2,1) é impar pois pode ser vista como composta dos seguintes intercâmbios de
pares
σ1 : (1,2,3)→ (2,1,3) σ2 : (1,2,3)→ (1,3,2),
da seguinte forma,
σ = σ1 ◦σ2 ◦σ1(1,2,3) = σ1 ◦σ2(2,1,3) = σ1(2,3,1) = (3,2,1).
�
Podemosentão escrever
D(A) =
n
∑
i1,...,in=1
([A]1ii ∗ . . .∗ [A]nin)D
 ei1...
ein

= ∑
diferentes permutações σ
([A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))D
 eσ(1)...
eσ(n)

pois os termos com ei j = eik cancelam e só restam aqueles que são um reordenamento de {1, . . . ,n} isto é, as
permutações.
Por otro lado, pelo fato de D ser alternada, temos que
D
 eσ(1)...
eσ(n)
= sinal(σ)D
 e1...
en
 .
Portanto podemos escrever
D(A) = ∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)([A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))D(e1, . . . ,en) .
ou
D(A) =
(
∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)∗ [A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))
)
D(I).
Se denotamos por det(A) a
det(A) = ∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)∗ [A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n)).
temos mostrado o seguinte resultado.
Teorema 5.2 Existe uma unica função determinante em M(n× n) definida por det(A). Mais ainda, toda
função n-linear alternada D em M(n×n) satisfaz
D(A) = det(A)D(I).
Obs. Como consequência deste teorema temos que o determinante pode ser visto como um polinômio nas entradas
da matriz.
Em
ela
bo
raç
ão
44 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
� Exemplo 5.5 Vamos ver como obter a fórmula do determinante para uma matriz de tamanho 2×2 com este
formalismo.
Primeiramente observamos que para n = 2 temos duas permutações
σ(1,2) = (1,2) com sinal(σ) = 1
λ (1,2) = (2,1) com sinal(λ ) =−1
Então, se
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
temos que
det(A) = sinal(σ)a1σ(1)a2σ(2)+ sinal(λ )a1λ (1)a2λ (2)
= a11a22−a12a21.
�
Corolário 5.3 Se D é uma função determinante as E j são todas iguais. Dito de outra forma, o cálculo do
determinante não depende da escolha da línea ou coluna.
Teorema 5.3 Sejam A e B matrizes em M(n×n) então
det(AB) = det(A)det(B).
Demonstração: Fixamos B e definimos D(A) = det(AB). É simples ver que D é n- linear e alternada. Portanto,
por um resultado acima temos que
D(A) = det(A)D(I),
mas
D(I) = det(IB) = det(B).
�
Proposição 5.1
det(At) = det(A).
det(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+ j[A]i jdet(A(i| j)).
Demonstração: A primeira identidade segue de
det(At) = ∑
σ
(sinal(σ))[A]σ1,1 . . . [A]σn,n
= ∑
σ
(sinal(σ−1))[A]1,σ−11 . . . [A]n,σ−1n .
A segunda provem do fato de que todas as funções alternadas E j são funções determinante.
�
Em
ela
bo
raç
ão
5.2 Determinante via permutações 45
A fórmula vista para o determinante permite o cálculo do determinante de qualquer matriz de tamanho
n×n, porém tem um grande defeito que é o volume de contas a fazer. Já no caso 4×4 temos que calcular o
determinante de 4 matrizes de tamanho 3×3 o que resulta em muito trabalho. A ideia então é obter, a partir da
definição de determinante, um método mais simples para o cálculo.
� Exemplo 5.6 1. Uma matriz A de tamanho n×n que possui uma linha ou uma coluna nula tem determi-
nante igual a 0. De fato, se calculamos o determinante a partir desta linha ou coluna obtemos que cada
término é 0.
2. Seja A uma matriz triangular superior, isto é uma matriz da forma
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
 .
Então
det(A) = a11a22 · · ·ann.
Provamos isso por indução. Claramente vale para matrizes de tamanho 2×2. Assuma como válido para
matrizes de tamanho n×n, vamos mostrar o caso (n+1)× (n+1). Para isto calculamos o determinante
com respeito a primeira coluna e obtemos
det(A) =

a11 a12 a13 · · · a1n+1
0 a22 a23 · · · a2n+1
0 0 a33 · · · a3n+1
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · an+1n+1
= (−1)1+1a11 det

a22 a23 · · · a2n+1
0 a33 · · · a3n
...
. . .
...
0 0 · · · an+1n+1
+0.
Agora, utilizando a hipótese indutiva temos
det(A) = a11a22 · · ·an+1n+1.
Como queriamos mostrar.
�
Teorema 5.4 Seja E uma matriz elementar.
i- Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha da In por um escalar λ 6= 0 então
det(B) = λ .
ii- Se B é uma matriz obtida a partir de trocar duas linhas de In, então
det(B) =−1.
iii- Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar a uma linha de In um multiplo escalar de outra linha de In
então
det(B) = 1.
Demonstração: Consequência direta do teorema anterior e do fato det(In) = 1. �
Portanto se B é obtida de A e de fazer uma operação elementar E então temos que
det(B) = det(E)det(A).
Inductivamente podemos provar que se B = E1 · · ·EkA, para E1 · · · ,Ek matrizes elementares então
det(B) = det(E1) · · ·det(Ek)det(A).
Em
ela
bo
raç
ão
46 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Teorema 5.5 Seja A uma matriz de tamanho n×n.
i- Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha de A por um escalar λ 6= 0 então
det(B) = λ det(A).
ii- Se B é uma matriz obtida a partir da troca de duas linhas de A então
det(B) =−det(A).
iii- Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar uma linha de A um múltiplo escalar de outra linha de A,
então
det(B) = det(A).
Demonstração: Segue do teorema anterior e de utilizar a propriedade det(AB) = det(A)det(B).
�
Juntando todo o visto até agora temos que para calcular determinates, podemos utilizar as seguintes
propriedades:
1. det(I) = 1.
2. det(At) = det(A).
3. Se A é uma a matriz triangular superior de tamanho n×n então
det(A) = det

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
= a11a22 · · ·ann.
4. Se A tem linha nula então det(A) = 0.
5. Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha de A por um escalar λ 6= 0 então
det(B) = λ det(A).
6. Se B é uma matriz obtida a partir da troca de duas linhas de A então
det(B) =−det(A).
7. Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar uma linha de A um múltiplo escalar de outra linha de A,
então
det(B) = det(A).
� Exemplo 5.7 Vamos ver como estas propriedades funcionam com um exemplo. Calculando det(A) para
A =

1 0 1 1
1 1 0 0
0 2 0 1
0 0 1 2

Em
ela
bo
raç
ão
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada 47
Começamos fazendo operações elementares sobre A até leva-lá numa matriz triangular superior.
A =

1 0 1 1
1 1 0 0
0 2 0 1
0 0 1 2
 `2− `1→ `2−−−−−−−−→ A2 =

1 0 1 1
0 1 −1 −1
0 2 0 1
0 0 1 2
`3−2`2→ `3−−−−−−−−−→
A3 =

1 0 1 1
1 1 −1 −1
0 0 2 3
0 0 1 2
`4− 12`3→ `4−−−−−−−−−→ A4 =

1 0 1 1
0 1 −1 −1
0 0 2 3
0 0 0 1/2

Como det(A4) = 1×1×2× 12 = 1 e det(A) = det(A2) = det(A3) = det(A4) temos det(A) = 1. �
Corolário 5.4 Seja A uma matriz e B sua forma escalonada reduzida. Sejam E1 · · ·Ek as matrizes elementares
tais que
B = E1 · · ·EkA.
Então B 6= I se det(A) = 0. Caso contrário
det(A) =
1
det(E1) · · ·det(Ek)
.
Demonstração: Se B não é a identidade então necessariamente tem uma linha nula. Portanto det(B) = 0.
Utilizando que
det(B) = det(E1) · · ·det(Ek)det(A).
Temos que se B 6= I então det(A) = 0 e se B = I,
det(A) =
1
det(E1) · · ·det(Ek)
.
�
Corolário 5.5 Uma matriz quadrada A é invetível se, e somente se, det(A) 6= 0.
Demonstração: Segue do resultado anterior e do fato que uma matriz é invertível se, e somente se é equivalente
por linhas a identidade. �
Finalizamos esta seção observando o seguinte diagrama de equivalências
A é invertível ks +3 A∼ I
det(A) 6= 0
t|
4<
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada
Seja A uma matriz de tamanho n×n dada por
A =
 a11 · · · a1n... . . . ...
an1 · · · ann
 .
Em
ela
bo
raç
ão
48 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Lembramos que o cofator da entrada ai j é o número
ãi j = (−1)i+ j det(A(i| j)) = (−1)i+ j det

a11 · · · a1 j−1 a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j+1 · · · ann

.
Definição 5.7 A matriz adjunta de A, que denotamos por ad j(A), é a matriz
ad j(A) =
 ã11 · · · ã1n... . . . ...
ãn1 · · · ãnn

t
,
isto é, a transposta da matriz formada pelos cofatores.
� Exemplo 5.8 1. Seja
A =
(
a b
c d
)
⇒ ad j(A) =
(
d −c
−b a
)t
=
(
d −b
−c a
)
.
Observamos que
A ad j(A) =
(
a b
c d
)(
d −b
−c a
)
=
(
ad−bc 00 ad−bc
)
= (ad−bc)
(
1 0
0 1
)
= det(A)
(
1 0
0 1
)
.
2. Seja
A =
 1 0 10 1 1
1 1 0
 .
ã11 = (−1)1+1 det
(
1 1
1 0
)
ã12 = (−1)1+2 det
(
0 1
1 0
)
ã13 = (−1)1+3 det
(
0 1
1 1
)
ã21 = (−1)2+1 det
(
0 1
1 0
)
ã22 = (−1)2+2 det
(
1 1
1 0
)
ã23 = (−1)2+3 det
(
1 0
1 1
)
ã31 = (−1)3+1 det
(
0 1
1 1
)
ã32 = (−1)3+2 det
(
1 1
0 1
)
ã33 = (−1)3+3 det
(
1 0
0 1
)
.
Calculando temos,
ã11 =−1 ã12 = 1 ã13 =−1
ã21 = 1 ã22 =−1 ã23 =−1
ã31 =−1 ã32 =−1 ã33 = 1
Então,
ad j(A) =
 −1 1 −11 −1 −1
−1 −1 1
t =
 −1 1 −11 −1 −1
−1 −1 1
 .
Em
ela
bo
raç
ão
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada 49
Observamos que,
ad j(A) ·A =
 −1 1 −11 −1 −1
−1 −1 1
 1 0 10 1 1
1 1 0
=
 −2 0 −00 −2 −0
0 0 2
=−2
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
E que
det(A) = 1× (−1)2 det
(
1 1
1 0
)
+0+1× (−1)1+3 det
(
0 1
1 1
)
=−1−1 =−2.
�
A Propriedade fundamental da matriz adjunta é que fornece uma fórmula para a inversa de A. Isto é o enunciado
do seguinte teorema.
Teorema 5.6 Seja A uma matriz de n×n. Então
A(ad j(A)) = det(A)In.
Mais ainda, se A é invertível, então
A−1 =
1
det(A)
ad j(A).
Demonstração: A entrada i j do produto A(ad j(A)) é dada por
ai1ã j1 + · · ·+ainã jn
Decorre da definição que se i = j então
ai1ã j1 + · · ·+ainã jn = detA
Se i 6= j então
ai1ã j1 + · · ·+ainã jn = 0
pois é o determinante da matriz obtida de A substituindo a linha j pela linha i. Isto é, o determinante da matriz:
A =

a11 · · · a1n
...
...
ai1 · · · ain
...
...
ai1 · · · ain
...
...
ai1 · · · ain

← i
← j
respeito da linha i. �
Em
ela
bo
raç
ão
Em
ela
bo
raç
ão6. Sistema de equações linerares
Neste capítulo consideramos o problema de achar n escalares x1, · · · ,xn ∈R que satisfazem as seguintes equações:
(1)

a11x1 + a12x1 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
,
onde os ai j ′s e b j ′s são números em R. Chamamos a este conjunto de equações de sistema linear de m equações
com n incognitas.
Em particular, um sistema linear é dito homogêneo se
b1 = b2 = · · ·= bm = 0,
isto é,
a11x1 + a12x1 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
,
Definição 6.1 Uma n-upla (c1, · · · ,cn) é dita uma solução do sistema se, ao substituir xi = ci em cada uma
das equações acima, são satisfeitas as identidades. O conjunto solução é o conjunto de todas as n-uplas que
são solução do sistema.
Nem sempre é possível garantir a existência de solução. De fato vamos ver depois que alguns sistemas lineares
não tem solução. Outros, no entanto, admitem infinitas soluções. Em particular:
Corolário 6.1 Todo sistema homogêneo admite pelos menos uma solução.
Demonstração: De fato, a solução x1 = 0, · · · ,xn = 0 resolve o sitema linear homogêneo. �
Em
ela
bo
raç
ão
52 Capítulo 6. Sistema de equações linerares
Procuramos então um método prático para achar ou garantir a existência de soluções para sistemas lineares.
Para isto, começamos observando que podemos reescrever o sistema (1) em notação matricial como
AX = B,
onde
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 X =

x1
x2
...
xn
 B =

b1
b2
...
bn
 .
Nesta notação podemos dizer que uma n-upla (c1, · · · ,c2) é solução do sistema linear (1) se
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn


c1
c2
...
cn
=

b1
b2
...
bn
 ,
isto é, ao fazer o produto da matriz A com a matriz
C =

c1
c2
...
cn
 ,
obtemos B.
A dificuldade em resolver o sistema linear radica na complexidade da matriz A. Em principio, quanto menos
entradas não nulas possua a matriz A mais difícil será resolver o sistema linear. Assim, para resolver o sistema,
procuramos um método que me elimine o maior número possível de entradas não nulas. Este é o coração da
técnica de eliminação de parámetros que ilustramos com o seguinte exemplo.
� Exemplo 6.1 Considere o sistema{
x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + x3 = 0
ou, em notação matricial
(
1 2 1
1 1 1
) x1x2
x3
= ( 0
0
)
.
Se fazemos a primeira equação menos a segunda temos que x2 = 0. Substituindo agora na segunda equação,
tiramos x1 + x3 = 0. Portanto, resolver este sistema torna-se equivalente a resolver o sistema{
x1 + x3 = 0
x2 = 0
,
ou, em notação matricial
(
1 0 1
0 1 0
) x1x2
x3
= ( 0
0
)
.
Observe que a diferença fundamental aqui é que, no segundo caso, estamos com uma matriz escalonada reduzida!.
�
Em
ela
bo
raç
ão
53
� Exemplo 6.2 Vamos obter os coeficientes estequiométricos para o balanceamento da equação
xC6H6 + yO2→ zCO2 +wH2O.
Comparando a quantidade de átomos, temos o seguinte sistema
6x = z
6x = w
2y = 2z+w
⇒

6x −z = 0
6x −w = 0
2y −2z −w = 0
.
Escrito na linguagem de matrizes fica,
 6 0 −1 06 0 0 −1
0 2 −2 −1


x
y
z
w
=

0
0
0
0
 .
O conjunto solução é S = {(x/3,5x/2,2x,x),x∈R} donde a solução para x= 6 é dada por (2,15,12,6). Portanto
a equação balanceada é
2C6H6 +15O2→ 12CO2 +2H2O.
Podemos fazer o mesmo com xH2+yO2→ zH2O para obter que o balanceamento é dado por 2H2+O2→ 2H2O.
�
Seja então AX = B um sistema linear e considere E1 · · ·EkA = D as operações elementares que me levam A
na sua forma escalonada reduzida D, isto é
E1 · · ·EkA = D.
Multiplicando aos dois lados da igualdade
AX = B,
por E1 · · ·Ek obtemos um novo sistema, isto é
E1 · · ·EkAX = E1 · · ·EkB→ DX = B̃, para B̃ = E1 · · ·EkB,
que é muito mais simples de resolver que o sistema original pois D tem uma quantidade maior de entradas nulas
do que A. Mais ainda, temos o seguinte resultado.
Teorema 6.1 O sistema AX = B e o sistema DX = B̃ tem o mesmo conjunto solução.
Demonstração: Lembramos que
E1 · · ·EkA = D e E1 · · ·EkB = B̃,
para E1, . . . ,Ek matrizes elementares.
Seja S uma solução do sistema AX = B então AS = B. Então
DS = (E1 · · ·EkA)A
= E1 · · ·Ek(AS)
= E1 · · ·Ek(AS)
= E1 · · ·EkB = B̃
Em
ela
bo
raç
ão
54 Capítulo 6. Sistema de equações linerares
Por outro lado, assuma que S̃ é solução de DX = B̃ Sejam E ′1, · · · ,E ′k as matrizes elemetares inversas de
E1 · · ·Ek
AS̃ = (E ′k · · ·E ′1E1 · · ·EkA)S̃
= E ′k · · ·E ′1(E1 · · ·EkA)S̃
= E ′k · · ·E ′1DS̃
= E ′k · · ·E ′1B̃
= E ′k · · ·E ′1(E1 · · ·EkB)
= (E ′k · · ·E ′1E1 · · ·Ek)B.
�
Assim temos construído um método para determinar soluções de sistemas lineares, o método de Gauss-
Jordan, e que passamos a descrever:
Considere o sistema de equações lineares
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
=

b1
b2
...
bn
 .
i- Construa a matriz
a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2nn | b2
...
...
. . .
... |
...
am1 am2 . . . amn | bm
 .
ii- Faça operações elementares na matriz até levar a parte correspondente a A na sua forma escalonada
reduzida
M̃ = [D|B̃].
iii- Resolva, se possível, DX = B̃
iv- O conjunto solução de DX = B̃ é igual ao conjunto solução de AX = B.
Explicamos brevemente por que o método funciona. Se E1 · · ·Ek são operações elementares que levam A na
sua forma escalonada reduzida, tiramos que
E1 · · ·Ek[A|B] = [E1 · · ·EkA|B] = [D|B̃],
está na forma escalonada reduzida (e que é unívocamente determinada).
Os conjuntos solução de AX = B e de DX = B̃ coincidem como consequência do teorema anterior.
� Exemplo 6.3 Consideramos o sistema linear
x + (a−1)z = 2
−2x + (a2−1)y + (1−a)z = −4
2x + (3a−3)z = 4
,
com 3 equações e 3 variáveis onde a ∈ R é um parámetro que podemos ajustar. Vamos estudar para que valores
de a o sistema possui solução e como são essas soluções.
Construimos a matriz aumentada do sistema e fazemos operações elementares para levá-la na forma
escalonada reduzida. 1 0 a−1 | 2−2 a2−1 1−a | −4
2 0 3a−3 | 4
 `3−2`1→ `3
`2 +2`1→ `2
−−−−−−−−−−→
 1 0 a−1 | 20 a2−1 a−1 | 0
0 0 a−1 | 0

Em
ela
bo
raç
ão
6.1 Estudo de sistemaslineares 55
`1− `3→ `1
`2− `3→ `2
−−−−−−−−−→
 1 0 0 | 20 a2−1 0 | 0
0 0 a−1 | 0
 .
Portanto se a 6=±1 então o sistema tem solução única igual a
S = {(2,0,0)}.
Se a = 1 então o sistema inicial é equivalente ao sistema
x = 2
0y = 0
−2z = 0
,
que tem infinitas soluções S = {(2,y,z),z,y ∈ R2}.
Se a =−1 então o sistema inicial é equivalente ao sistema
x = 2
0y = 0
−2z = 0
,
que tem infinitas soluções S = {(2,y,z),z,y ∈ R2}. Não há valores de a para os quais o sistema não tem solução.
�
Proposição 6.1 Considere um sistema de equações lineares da forma AX = B. Se S1 6= S2 são duas soluções
do sistema, então o sistema admite infinitas soluções.
Demonstração: Seja Sρ = ρS1 +(1−ρ)S2 com ρ ∈ R um número qualquer diferente de 0 ou 1. Observamos
que Sρ 6= S1 e Sρ 6= S2. Vamos mostrar que Sρ é solução do sistema. De fato
ASρ = ρAS1 +(1−ρ)AS2 = ρB+(1−ρ)B = B.
�
6.1 Estudo de sistemas lineares
Se temos um sistema linear da forma AX = B e aplicamos o método de Gauss-Jordan para resolvé-lo, podemos
chegar nos seguintes casos.
Caso 1. O sistema tem solução. Depois de aplicar as operações elementares sobre a matriz [A|B] temos que
a matriz resultante [D|B̃] não admite linhas da forma (0 · · ·0|k) com k 6= 0.
Neste caso o sistema pode ter uma única solução ou infinitas soluções dependendo da matriz escalonada
reduzida D.
A-) Se a matriz escalonada reduzida não tem colunas sem pivôs então ela é da forma
1 · · · 0 | b̃1
...
. . .
... |
...
0 · · · 1 | b̃n
0 · · · 0 | 0
... · · ·
... | 0
0 · · · 0 | 0

.
O sistema, neste caso tem solução única, e igual a
S =
 b̃1...
b̃n
 .
Em
ela
bo
raç
ão
56 Capítulo 6. Sistema de equações linerares
B-) Se a matriz D tem colunas sem pivôs então há mais variáveis do que equações e portanto existem variáveis
que podem assumir valores arbitrários. Por exemplo fica uma matriz da forma
1 0 0 0 · · · 0 | b̃1
0 1 0 0 · · · 0 | b̃2
0 0 0 1 · · · 0 | b̃3
...
...
...
. . .
... |
...
0 0 0 0 · · · 1 | b̃k
0 0 0 · · · 0 0 | 0
0 · · · · · · · · · · · · 0 | 0
...
...
...
...
...
... |
...
0 · · · · · · · · · · · · 0 | 0

.
para k < n. Neste caso temos infinitas soluções.
Caso 2. O sistema não tem solução. Depois de aplicar as operações elementares sobre a matriz [A|B] temos que
a matriz resultante [D|B̃] admite linhas da forma (0, · · · ,0|k) com k 6= 0. Neste caso fica uma equação da forma
0 = k 6= 0,
o que constitui uma contradição.
� Exemplo 6.4 1. ) Considere o sistema
x + y + z = 1
x − z = 2
3x + y − z = 1
.
Este sistema não tem solução. De fato, 1 1 1 | 11 0 −1 | 2
3 1 −1 | 1
`3− `1→ `3−−−−−−−−→
 1 1 1 | 11 0 −1 | 2
2 0 −2 | 0

`3−2`2→ `3−−−−−−−−−→
 1 1 1 | 11 0 −1 | 2
0 0 0 | −2
 .
Assim, o sistema equivalente obtido é
x + y + z = 1
x − z = 2
0 = −2
,
que não tem solução.
2. ) Vamos procurar a solução do seguinte sistema
x + y + z = 1
x − y + z = 1
x + y − z = 0
.
Construimos
M̃ =
 1 1 1 | 11 −1 1 | 1
1 1 −1 | 0
`2− `1→ `1−−−−−−−−→
 1 1 1 | 10 −2 0 | 0
1 1 −1 | 0

Em
ela
bo
raç
ão
6.1 Estudo de sistemas lineares 57
`3− `1→ `3−−−−−−−−→
 1 1 1 | 10 −2 0 | 0
0 0 −2 | −1
−1
2
`2→ `2
−−−−−−−→
 1 1 1 | 10 1 0 | 0
0 0 −2 | −1

−1
2
`3→ `3
−−−−−−−→
 1 1 1 | 10 1 0 | 0
0 0 1 | 12
`1− `2→ `1−−−−−−−−→
 1 0 1 | 10 1 0 | 0
0 0 1 | 12

`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 0 | 120 1 0 | 0
0 0 1 | 12
 .
O sistema equivalente fica
x = 12
y = 0
z = −12
.
O conjunto soluçao é
S = {(1/2,0,−1/2)}
3. ) Se temos um sistema em que a matriz aumentada fica

1 0 1 0
... 1
0 1 2 0
... 2
0 0 0 1
... 3
0 0 0 0
... 0
⇒

x + z = 1
y + 2z = 2
w = 3
.
Temos infinitas soluções. Mais ainda o conjunto solução é
S = {(1− z,2−2z,z,3) ,z ∈ R} .
4. ) Se temos um sistema em que matriz aumentada fica
1 2 0 4 0 | 1
0 0 1 3 0 | 0
0 0 0 0 1 | 1
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
⇒

x + 2y + 4w = 1
z + 3w = 0
v = 1
.
Temos infinitas soluções. Mais ainda o conjunto solução é
S = {(1−2y−4w,y,−3w,w,1) ,y,w ∈ R} .
�
Em particular quando tratarmos de um sistema linear homogenêo, o caso 2 nunca acontece. Pois o sis-
tema sempre tem solução, de fato a solução trivial (todas as entradas nulas) sempre é solução como vimos
anteriormente. Mais ainda, caso exista uma solução não trivial teremos então infinitas soluções.
Em
ela
bo
raç
ão
58 Capítulo 6. Sistema de equações linerares
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao número de equações
Considere agora um sistema de equações lineares AX = B com um número de incognitas n igual ao número
de equações m, isto é, a matriz associada ao sistema é quadrada. Caso a matriz seja equivalente por linhas a
identidade teremos que existe A−1 e portanto a solução do sistema é única e da forma
S = A−1B.
Caso a matriz não seja equivalente por linhas a identidade então teremos que o sistema tem infinitas ou nenhuma
solução, dependendo do B. Portanto assuma que depois de fazer operações elementares sobre as linhas da matriz
aumentada ficamos com uma matriz escalonada reduzida
M̃ =

1 0 · · · 0 ∗ ∗ 0 0 0 | b1
0 1 · · · 0 ∗ ∗ 0 0 0 | b2
...
. . . 0 ∗ ∗ 0 0 0 |
...
0 1 ∗ ∗ 0 0 0 | bk−3
0 · · · 0 · · · 0 1 0 0 | bk−2
0 · · · 0 · · · 0 0 1 0 | bk−1
0 · · · 0 · · · 0 0 0 1 | bk
0 · · · 0 · · · 0 0 0 0 | bk+1
...
...
...
...
...
...
...
... |
...
0 · · · 0 · · · 0 0 0 0 | bn

.
• Se bk+1 = · · ·= bn = 0 temos um sistema com infinitas soluções e que possui n− k variáveis livres.
• Se bk+1 6= 0 então o sistema não tem solução.
Proposição 6.2 Seja AX = B um sistema de equações lineares com número de incógnitas igual ao número de
equações. O sistema tem solução única se, e somente se, det(A) 6= 0.
Demonstração: Se det(A) 6= 0 então a matriz do sistema possui inversa, donde a solução é unica.
Se o sistema possui solução única então não existem variáveis livres, de onde segue que cada coluna da
matriz escalonada reduzida associada a A tem pivô. Portanto é a identidade. Então A é equivalente por linhas a
identidade e consequêntemente invertível e com det(A) 6= 0. �
Temos assim as seguintes equivalências para matrizes quadradas.
A é invertível ks +3KS
��
A∼ InKS
��
det(A) 6= 0 ks +3 AX = B tem solução única
Um método interessante para resolver este tipo de sistemas de equações lineares é fornecido pela regra de
Cramer.
Teorema 6.2 (Regra de Cramer). Considere o sistema
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
=

b1
b2
...
bn
 ,
em que
A =
 a11 · · · a1n... · · · ...
an1 · · · ann

Em
ela
bo
raç
ão
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao número de equações 59
é invertível. Então a solução do sistema é
S = (S1, · · · ,Sn),
onde
S j =
1
det(A)
det

a11 a12 . . . a1 j−1 b1 a1 j+1 · · · a1n
a21 a22 . . . a2 j−1 b1 a2 j+1 · · · ann
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . an j−1 bn an j+1 · · · ann
 ,
para todo i = 1 · · ·n. para todo i = 1 · · ·n.
Demonstração: Sabemos que a solução do sistema AX = B é dada por S = A−1B. Como
A−1 =
1
det(A)
ad j(A),
S =
1
det(A)
ad j(A)B.
Portanto a entrada j−ésima é dada por
S j =
1
det(A)
(b1ã j1 + · · ·+bnã jn)
=
1
det(A)
det

a11 a12 . . . a1 j−1 b1 a1 j+1 · · · a1n
a21 a22 . . . a2 j−1 b1 a2 j+1 · · · ann
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . an j−1 bn an j+1 · · · ann
 .
�
� Exemplo 6.5
Considere o sistema
x + y + z = 0
x − z = 2
x − y = 2
,
então
A =
 1 1 11 0 −1
1 −1 0
 e B =
 02
2
 .
det(A) = (−1)det
(
1 1
−1 0
)
+0+(−1)(−1)det
(
1 1
1 −1
)
= −1+(−2) =−3 6= 0.
Então é invertível e portanto o sistema tem solução única. Se a solução é
S =
 S1S2
S3
 ,
Em
ela
bo
raç
ão
60 Capítulo 6. Sistema de equações linerares
temos, da regra de Cramer, que
S1 =
1
−3
det
 0 1 12 0 −1
2 −1 0

=
1
−3
(
0+(−1) ·1det
(
2 −1
2 0
)
+1det
(
2 0
2 −1
))
=
−1
3
(−2+(−2)) = 4
3
.
S2 =
−1
3
det
 1 0 11