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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE NÚMEROS COMPLEXOS
1) Complete com o(s) conceito(s) correto(s) as frases abaixo:
5	5
a) O afixo do conjugado do número complexo z=
argumento igual a	.
3(cos
4
· 
i sen
) pertence ao	quadrante e tem
4
b) O(s) valor (es) de k  R para que o número complexo (k+i).(2-ki)-6 seja real é (são)
 	e para que seja imaginário puro é (são)	.
c) Efetuando-se o produto do complexo z pelo seu conjugado encontramos um número complexo cujo argumento é	.
d) (
2
)O produto do número z =
(cos
7
+ i sen
7
) com o número z =3(cos
2
+ i sen
2
) tem como
1	4	4	2	3	3
módulo e argumento, respectivamente	e	.
e) (
3
)Se z  C é tal que	z 	 i , então o argumento principal de z.z é igual a	radianos.
f) Se z  C é tal que z = i77 - i43 + i26 , então o inverso multiplicativo de z é igual a	.
g) Se
z  w 
z  w , onde z = a + bi ; w = c + di, com a, b, c, d  0, então podemos estabelecer a
seguinte relação entre a, b, c e d:	.
h) (
2

 
cos
)Se z C / z 	
 (
e
)
  i sen 8
  2

8 
, então, na forma algébrica, z =	.
i) A área do polígono cujos vértices são os afixos de z, tais que: z
 1e R (z 2 ) 
0 , mede	.
j) Se o=(0, 0), z1=(2, 3) e z2=(-5, -1), então a menor determinação positiva do ângulo z1ôz2 mede	.
k) O(s) número(s) z, tais que z  z  z  z é (são):	.
l) Se o argumento de um número complexo z é 400, então o argumento principal do número complexo z.i, em graus, é igual a	.
m) Sejam 0 e 1 os argumentos das raízes quadradas de um número complexo z. Para 0 = 20º, qual o valor, em graus, de 1? 	
n) Sejam os complexos z, de módulo 2 e argumento 40º; e w, de módulo 3 e argumento 50º. Então,
z5 na forma trigonométrica e z.w na forma algébrica são respectivamente iguais a	.
o) (
8
)Os números complexos com representação geométrica na reta y = x e módulo	são	.
2) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) às questões abaixo:
a) (	) Z  Z  Im(Z ).i , para todo Z complexo.	b) (	) (1+i)24=(1+i)0.
 (
5
)c) (	) Dado o no complexo a+3i, a  , e sabendo que a+3i=3
, então a é um número múltiplo de 2.
 	
   2
 (
a
 

 
bi
a
 

 
bi
)d) (	)  2 cos 8  i. sen 8  
 cos
· 
i. sen
.	e)(	)
 1, em que a e b são reais e a–bi 0.
 	 
f) (	) Se o módulo e o argumento de uma das raízes quintas de um número complexo são, respectivamente,
iguais a 2 e a

, então, 2 e
3
17
15
representam, respectivamente, o módulo e o argumento de uma outra raiz
quinta desse mesmo número complexo.
RESPOSTAS LISTA 1:
3
1)	a) 2o;
 (
2
) (
2
)4
b) 	e 
 (
2
);	-2	c) 0o	d) 3	; 5 12
e) /3
f) z  1 
 1 
5
 2 i
5
g) (
2
)ad – bc = 0	h) -
· 
2i
i) 2 u.a	j) 3/4 radianos	k) z = (0, 0)
l) 1300	m) 2000 n) z5 = 32(cos 200º + i  sen 200º) ; 6i.	o) 22i
2) a) F	b) F	c) V	d) F	e) V	f) V
1) Na figura, o ponto P é afixo de um número complexo Z no plano de Argand-Gauss. Represente Z na forma trigonométrica.
Im (z)
0
2
Re (z)
2) Sendo z =
2	
i1023
(1 
i)3
 2 3
, escreva a representação mais simples
P
de z na
forma trigonométrica.
3) Dado o número complexo w= cos 60o + i sen 60o, determine o número complexo z, na forma algébrica, tal que 2w2-2w+z=0.
1. 	As raízes cúbicas de um número complexo z são os vértices de um triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência de centro em (0,0). Sabendo que um de seus vértices é V1= - 4i, pede-se determinar, na forma algébrica:
a) O número complexo z.	b) Os outros vértices do triângulo.
5) Seja o número complexo z = (
2  i
2
6 ) . Determine o(s) valor(es) do número natural n, para os quais
2
zn quais está no 3° quadrante e a uma distância inferior a 16 unidades da origem.
6) Se z1 e z2 são números complexos, z1 + z2 e z1.z2 são ambos reais, o que se pode afirmar sobre z1 e z2? (Justifique corretamente utilizando as definições e propriedades dos números complexos)
7) Determine a expressão que define os complexos z = (x, y), para os quais se tenha:
(x  2 yi)(2 y  xi)   16i . Em seguida, represente, no plano Argand-Gauss, o gráfico da figura descrita
por seus afixos.
8) Sendo 1+ i 3 uma das raízes cúbicas de um complexo Z, determine, na forma algébrica as demais raízes cúbicas de Z e as represente no plano de Argand-Gauss.
9) Seja z0 o número complexo 1+i. Sendo S0 o conjunto-solução no plano complexo de z – z0=z + z0=2, determine, então o produto dos elementos de S.
10) Resolva a equação x2= 2  x no conjunto dos números complexos.
11) Calcule o valor do número natural n, tal que (2i)n + (1+i)2n = –16i.
12) Determine a forma algébrica do número complexo z 
imaginária.
i3 4n
1  i
, em que n é natural e i é unidade
13) (
3
)Mostre que cos 150 + i sen 150 é solução da equação 2x10 –x6 +	=0.
5
1) Z = 4 (cos
 (
3
)3
5
+ i sen
3
RESPOSTAS LISTA 2:
);	2) z = 2 (cos  + i sen )
 (
3
)3) z = 2;	4) a) z = 64 i; b) V2 = 2
+ 2i; V3 = - 2
+2i
 (
4
Desta forma, concluímos que os complexos
 
(x,
 
y)
 
que
 
satisfazem
 
a
 
condição
 
do
 
problema
2
pertencem à elipse dada pela equação e
 
gráfico
 
ao lado.
)5) n =3 ; n = 4	6) z1=z2=0 ou z1 e z2 são conjugados: Re(z1)=Re(z2) e Im(z1)=-Im(z2)
 (
7
)
 
16
x
 
2
 

 
y
 
2
 
 

4
1
)
8)
 (
3
)z0 = (1,	)
z1(-2, 0) ou
z1 
2(cos
 (
3
) i sen )   2
 (
3
)z2 (1, -
)	ou
z2 
2(cos 5
3
 isen 5 )  1 i 3
9) 2i	10) {- 1, 2}	11) 3	12)
1  1 i
 (
z
2
 
(1, 
 
3
 
)
z
2
 
(-
 
2,
 
0)
z
2
 
(1,
 
-
 
3
 
)
)2	2
13)	Demonstração
1) (
21
)Dado o número complexo z = a+bi, a  R - , b  R+, e sabendo que 2a+3bi= determine o argumento principal de z 3.
e b–4ai =7,
2) Determine todos os números complexos w que satisfazem a equação (w – i)8 = 16. A seguir represente-os no plano complexo.
3) Considere o conjunto de todos os números complexos z, tais que |z – 25 i|  15.
a) Faça a representação gráfica (figura geométrica) desse conjunto no plano complexo.
b) Determine o número z de menor módulo.
c) Mostre que o número z de menor argumento é z = 12 + 16i.
4) Considere, no plano complexo um hexágono regular centrado em z0 =i. Represente por z1, z2, z3,.	z6 seus
vértices, quando percorridos no sentido anti-horário. Nestas condições determine o complexo w=2.z3, sabendo que z1=1.
5) Represente geometricamente o conjunto dos pontos z = x+yi do plano complexo que satisfazemz-12= 2x e y0.
6) As raízes cúbicas de um número complexo z são os vértices de um triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência com centro em (0,0) e raio igual a 2 (duas) unidades de comprimento. Sabendo que um de

seus vértices (V1) tem afixo em
, determine:
12
a) O número z na forma algébrica
b) Os números complexos V1, V2 e V3, vértices do triângulo, na forma trigonométrica.
7) Considere a equação z2 +z-2 z =3+3i.
a) Ache todos os números complexos z que satisfazem essa equação.
b) Faça a representação gráfica desses números no plano complexo.
8) a) Resolva a equação (z – 3i)4 = 16.
b) Considere um quadrado inscrito numa circunferência de centro no afixo de número complexo 3i. Um dos vértices é o afixo de i. Determine os números complexos que representam os outros vértices desse quadrado.
9) Considere a equação z2  z  z .
a) Ache todos os números complexos z que satisfazem essa equação.
b) Faça a representação gráfica desses números no plano complexo.
10) Considere os números complexos z = x + yi que satisfazem à condição z  z  z .
e) Mostre que o lugar geométrico descrito pelos afixos de z é a reunião de duas retas.
f) Escreva z na forma trigonométrica, em função de x e y. (Há 4 casos.)
11) a) Resolva a equação w4 + 64 = 0.
b) Seja u = –2i uma das raízes cúbicas do número complexo z. Determine as raízes quartas de z2.
1) z= 
 i =2(cos 5
 (
3
) (
2
)6
5
+ i sen
6
RESPOSTAS LISTA 3

); Argumento principal de z3 =
2
2) a) w0 =
 i ;	w1 = 1 + 2i;	w2 = 1 
2  i ;	w3 = –1 + 2i ;	w4 = 
· 
i ;
 (
2
)w5 = –1;	w6 = 1 	2  i ;	w7 = 1	2 b) Representação gráfica dos 8 nos complexos
3) a) Representaçãográfica: circunferência C(0,25) e raio=15;	b) z = 10.i
 (
2
)4) w=2.{[
.(cos 750 +i.sen 750)] +i}=2. (
3  1)  i.(
2
3  1 = (
 (
3
) (
)
)2
-1) +i.(
 (
3
)+1)
 (
3
)5) Representação gráfica: região superior do semi-círculo com centro em (2,0) e raio=
		9	9
 (
2
) (
2
)6) a) z = 4	 4i
b) V1 = 2 (cos
12
+ i sen	) ;	V2 = 2 (cos
12	12
+ i sen	) ;
12
V = 2 (cos
17 + i sen 17 )
	
3	12	12
7) a) { -1+i ; 2+i }	b) Representação Gráfica	8) a) {i ; 5i ; 2+3i ; -2+3i}	8b)
9) a) { 0, 1 – i ; - 1 + i }	b) Representação gráfica
10 a) Demonstração	b) z =
2 
3 y
3
(cos 2
3
· 
isen 2 )
3
..............
11 a) wk
= 4 64 (cos  
2k 4
 i sen   2k )
4
k = 1,3,5,6,	w0= 2
(cos 
 (
2
)4

 (

)i sen ) 4
w1 = 2
(cos 3
 (
2
)4
· 
i sen 3 )
4
w2 = 2
(cos 5
 (
2
)4
· 
i sen 5 )
4
w3 = 2
(cos 7
 (
2
)4
· 
i sen 7 )
4
 (
b)
 
(-2i)
3
 
=
 
8i
e
 
(8i)
2
=
 
-64
e
 
4
 

 
64
)(letra a)
1) O gráfico abaixo representa as raízes sextas de um número complexo z. Determine:
a. O número complexo z, na forma algébrica.
b. As demais raízes sextas de z.
2) Resolva, em C, a equação em C: z4 – z² + 1 = 0.
3) Se é um argumento de z . w, determine o valor de .
4) A parte imaginária de ((1+cos 2x)+ i sen 2x)k, k inteiro positivo, x real, é:
A -	2 . senk x . cosk x	C -	2k . sen kx . cosk x	E - sen kx . cosk x B -	senk x . cosk x	D -	2k . senk x . cosk x
5) O número complexo z 
1  cos a
 i.1 
2. 
cos a 
2.sen a , em que	a  ]0; /2[ , tem
sen a.cosa	sen 2a
argumento  /4. Neste caso, determine o valor de a.
6) Seja z0 o número complexo 1 + i. Sendo S0 conjunto-solução no plano complexo de z – z0 =
z + z0 = 2, determine, então o produto dos elementos de S.
7) Sejam a e k constantes reais, sendo a>0 e 0<k<1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação z - ai ak, qual é o de menor argumento?
Respostas: 1) a) 729. ( 
3  i ) ;	b) Módulo das raízes: 3; Argumentos: z2:17/36;
2
z : 9/36;	z : 41/36; z : 53/36; z : 65/36;	2)  3  i ; 	3  i 
 (
2
) (
2
)3	4	5	6		
 (
1
 

 
k
 
2
)	
3) 2/3	4) C	5) /6	6) 2i	7) z 
ak.
 ia.(1 
k 2 )