Cálculo II - Aula1

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Cálculo II 
 
Aula 01 
𝑓(𝑥) −> 𝑓(𝑥, 𝑦) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 0 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 + 2𝑦 
1) Derivadas 
a. f(x) = constante -> f ’(x) = 0 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥𝑛 −> 𝑓 ′(𝑥) = 𝑛. 𝑎. 𝑥𝑛−1 
i. 𝑓(𝑥) = 2. 𝑥3 −> 𝑓 ′(𝑥) = 6. 𝑥2 
ii. ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) -> ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥6 
𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 + 30𝑥5 
 
c. Regra do produto 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 
ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓 ′(𝑥) = 2. 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 . 𝑙𝑛(𝑥) 
𝑓 ′(𝑥) = 5. 𝑥4 . 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥5 .
1
𝑥
 
𝑓 ′(𝑥) = 5. 𝑥4 . 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥4 
d. Regra do quociente 
 
ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
ℎ′(𝑥) =
𝑓 ′(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
1. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑒𝑥
 
 
a. 𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥.𝑒
𝑥− 𝑥2.𝑒𝑥
[𝑒𝑥]2
 
𝑓 ′(𝑥) =
𝑒𝑥 . [2𝑥 − 𝑥2]
𝑒2𝑥
 
𝑓 ′(𝑥) =
2. 𝑥 − 𝑥2
𝑒𝑥
 
 
2. 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 
𝑓 ′(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
=
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)]′. 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(𝑥)]′
[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]2
 
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥). 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥). [−𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]2
 
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
 
𝑓 ′ (𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
 
𝑓 ′ (𝑥) = [
1
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
]
2
 
𝑓 ′ (𝑥) = [𝑠𝑒𝑐(𝑥)]2 
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
 
 
 
e. Regra da cadeia (função composta) 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) 
 
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 
𝑔′(𝑥) = 2 
ℎ′(𝑥) = 2. 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 
 
𝑓(𝑥) → 𝑓′(𝑥) 
f. Definição de derivadas 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓′(𝑥) =? 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) = 2(𝑥 + ℎ) = 2𝑥 + 2ℎ 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥
ℎ
 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
2ℎ
ℎ
 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
2 
𝑓′(𝑥) = 2 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 → 𝑓′(𝑥) =? 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥