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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA72A - Cálculo Diferencial e Integral 2 Professor Christian Manuel Surco Chuño LISTA 1 - Noções Topológicas, Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas Questão 1: Toda bola aberta em R n é um conjunto aberto. Questão 2: Determine os pontos de acumulação do conjunto dado. a) {(x, y) ∈ R 2 | x e y inteiros} b) {( 1 n , 1) ∈ R 2 | n 6= 0 natural} c) {(x, y) ∈ R 2 | x = 1 e 1 < y < 2} Questão 3: Sejam A e B dois subconjuntos do R 2. Prove que se A e B forem abertos, então A ∪ B e A ∩B também serão abertos. Questão 4: Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em R 2. a) {(x, y) ∈ R 2 | x2 + y2 ≤ 1} b) {(x, y) ∈ R 2 | x, y ∈ Z} c) {(x, y) ∈ R 2 | x = 1 e 1 ≤ y < 3} Questão 5: Expresse em coordenadas retangulares aqueles pontos do plano cujas coordenadas polares (r, θ) são: a) (2, π) b) (3,−π 4 ) c) (5, 7π 6 ) Questão 6: Achar as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas retangulares (x, y) são: a) (3, 3) b) (−1,−1) c) (3,− √ 3) Questão 7: Grafique no plano rθ e no plano xy os conjuntos definidos pelas equações 1 a) θ = π 4 b) r = 2 Questão 8: Indique os limites em coordenadas polares da região ubicada no interior da circun- ferência r = 3 sin θ e no exterior do cardioide r = 1 + 3 sin θ. Questão 9: Achar os limites expressados em coordenadas polares da região W do plano xy limitada pela lemniscata: (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2), a > 0 (1) Questão 10: Achar as gráficas dos seguintes conjuntos a) D = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 5, z = 4} b) D = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 5, π ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3} 2
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