PORTICO 2D - ESTUDO DA LAJE TRELIÇADA

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DISCIPLINA: ANÁLISE DAS ESTRUTURAS 
PROF: MÁRCIO BANDEIRA DE OLIVEIRA 
 
1. OBSERVE O MODELO ESTRUTURAL ABAIXO E, APÓS ANÁLISE DOS CARREGAMENTOS, 
FAÇA A ANÁLISE DA LAJE TRELIÇADA. ENCONTRE O MOMENTO FLETOR NA VIGA, 
INÉRCIA BRUTA, INERCIA NO ESTADO II E A FLECHA. 
 
 
DADOS DO PROBLEMA: 
1. Lajes L1 e L2 (TRELIÇADA) com 300 x 400 cm (eixo a eixo). PP = 2KN/m2, g = 4KN/m2 e 
q = 2KN/m2. 
2. Vigas: 20 x 40 cm. Com g = 1,5KN/m2. 
3. Pilares: 20 x 20 cm, altura total de 400 cm. 
4. Gama do concreto = 25 KN/m3 
5. Fundações: Sapata 100 x 100 cm. 
6. Planta baixa: 
 
 
 
 
 Vamos analisar a viga T da laje treliçada !! 
7. Corte da laje treliçada: 
 
 
8. Cálculo da carga da laje nas vigas de apoio: 
 
 Carga total da laje: 2 + 4 +2 = 8 KN/m2 
 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇 = 0,42 𝑚 𝑥 8
𝐾𝑁
𝑚2
= 3,36 𝐾𝑁 𝑚⁄ 
 𝑀𝑘 =
𝑃𝑥𝐿2
8
=
3,36𝑥32
8
= 3,78 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 A partir da vigota pré-fabricada: 
 
 Reação nas vigotas: 𝑅 =
3,36 𝑥 3,0
2
= 5,04 𝐾𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑑𝑒 42 𝑐𝑚. 
 Precisamos da carga por metro de viga assim: 
 {
5,04 𝐾𝑁 → 0,42 𝑚
𝑥 → 1,00 𝑚
𝑥 = 12,0 𝐾𝑁
} Dessa forma a carga na viga seria: 12,0 KN/m 
 
A partir da faixa de influência: 
 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑒𝑥 [𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎] =
8,0𝐾𝑁
𝑚2
𝑥1,50 𝑚 = 12,0
𝐾𝑁
𝑚
 
 
 Podemos tratar de duas formas: Viga retangular de largura bw ou viga T 
 
 
 
 
 Figura 1 
 
 Fonte: o próprio autor. 
 
Admitindo um concreto C25 e altura útil de 10 cm temos: 
1. Para viga retangular da figura 𝐴𝑠,𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 1,490𝑐𝑚
2 →
2 ∅ 10 𝑚𝑚; 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝 = 0,286 𝑐𝑚
2 → 1 ∅ 6.3 𝑚𝑚 
 
2. Para viga T da figura 𝐴𝑠,𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 1,272 𝑐𝑚
2 → 2 ∅ 10 𝑚𝑚 
 
Essa armadura foi calculada para ELU. 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 2 ∅ 10 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = 1,57 𝑐𝑚
2 e trabalhando com a forma T: 
 
Módulo de elasticidade secante do concreto: 
𝐸𝑐𝑠 = [0,8 +
0,2 . 𝑓𝑐𝑘
80
] . ∝𝑒 . 5600. √𝑓𝑐𝑘 = [0,8 +
0,2 .25 
80
] . 1 . 5600. √25
= 24150 𝑀𝑃𝑎 
∝𝑒= 1 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑔𝑛𝑎𝑖𝑠𝑒. 
 
Relação do entre modulo de elasticidade do aço e do concreto: ∝ 
∝=
𝐸𝑎ç𝑜
𝐸𝑐𝑠
=
210000
24150
= 8,70 
 
SEÇÃO BRUTA: 
 
Fazendo o momento de área de primeira ordem em torno da LN igual a zero 
calculamos X para seção T bruta (concreto sem considerar a armadura): 
𝑋 =
𝑏𝑤. 𝐻
2 + 𝑏𝑓 . ℎ𝑓
2 − 𝑏𝑤. ℎ𝑓
2
2. [𝑏𝑓 . ℎ𝑓 − 𝑏𝑤. ℎ𝑓 + 𝑏𝑤. 𝐻]
=
10. 122 + 42. 42 − 10. 42
2. [42.4 − 10.4 + 10.12]
= 3,94 𝑐𝑚 
 
 
 
Momento de Inércia da seção bruta: Substituindo os valores da geometria: 
𝐼𝐿𝑁 =
𝑏𝑤 . 𝐻
3
12
+ 𝑏𝑤. 𝐻. [
𝐻
2
− 𝑋]2 +
[𝑏𝑓 − 𝑏𝑤]. ℎ𝑓
3
12
+ [𝑏𝑓 − 𝑏𝑤]. ℎ𝑓 . [𝑋 −
ℎ𝑓
2
]
2
= 2.601,63 𝑐𝑚4
= 2.601,63 𝑥(10𝑚𝑚)4 = 26.016.344,09 𝑚𝑚4 = 2,6016 𝑥107𝑚𝑚4 
 
SEÇÃO T COM ARMADURA NO ESTADIO II – FISSURADO: 
 Figura 2 
 
 Fonte: o próprio autor. 
 
Fazendo o momento de área de primeira ordem em torno da LN igual a zero 
calculamos X para seção T no estádio II: Desprezamos a armadura comprimida 
(As´). 
 
𝑏𝑤. 𝑋.
𝑋
2
+ [𝑏𝑓 − 𝑏𝑤]. ℎ𝑓 . [𝑋 −
ℎ𝑓
2
] −∝. 𝐴𝑠. [𝑑 − 𝑋] = 0 → 𝑋 = 2,54 𝑐𝑚 
 
Momento de Inércia da seção T(armada): Substituindo os valores da geometria, 
armadura (As) e ∝: 
 
𝐼𝐿𝑁 =
𝑏𝑤 . 𝑋
3
3
+
[𝑏𝑓 − 𝑏𝑤]. ℎ𝑓
3
12
+ [𝑏𝑓 − 𝑏𝑤]. ℎ𝑓 . [𝑋 −
ℎ𝑓
2
]2+∝. 𝐴𝑠. [𝑑 − 𝑋]
2 = 1.022,38 𝑐𝑚4 
 
Momento de fissuração: Calculado para seção bruta. 
𝑀𝑟 =
∝. 𝑓𝑐𝑡,𝑚. 𝐼
𝑦𝑡
 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3. 𝑓𝑐𝑘
2/3
= 0,3. 252/3 = 2,56 𝑀𝑃𝑎 
𝑦𝑡 = 12 𝑐𝑚 − 3,94 𝑐𝑚 = 8,06 𝑐𝑚 
 
 
Para obter uma inércia intermediária utilizamos a equação de BRANSON abaixo: 
 
𝐼𝑚 = ( 
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
 )3. 𝐼1 + [1 − (
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
)
3
] . 𝐼2 = (
0,99
3,78
)3. 0,0000260163 + [1 − (
0,99
3,78
)
3
] . 0,0000102238 =
0,00001051006𝑚4 
 
Estimativa da flecha: 
 
𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 =
5 𝑥 𝑃 𝑥 𝐿4
384 𝑥 𝐸𝑐𝑠 𝑥 𝐼𝑚
=
5 𝑥 3360 𝑥 3,04
384 𝑥 24150000000 𝑥 0,00001051006
= 0,01396𝑚 = 1,396 𝑐𝑚 
 
𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 = 
𝐿
250
=
300
250
= 1,20 𝑐𝑚 < 1,396 𝑐𝑚 ; 𝑛ã𝑜 𝑂𝐾 
 
Podemos usar uma contra - flecha de 300/350 =0,86 cm e resolver o problema! 
Flecha final = 1,396 – 0,86 = 0,54 cm