Aulão do módulo 4 e exercícios

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27/04/2022 23:40 Vigas em concreto armado
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DESCRIÇÃO
VIGAS EM CONCRETO ARMADO
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
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O dimensionamento de vigas em concreto armado exige a determinação de cargas e esforços que são aplicados
ao elemento com a �nalidade de obtenção das armaduras longitudinal e transversal para detalhamento e
apresentação do projeto.
PROPÓSITO
O dimensionamento das vigas de concreto armado é essencial para os engenheiros civis apresentarem o projeto
estrutural de uma edi�cação de forma adequada para a execução da estrutura.
OBJETIVOS
Módulo 1
Identi�car pré-
dimensionamento, cargas e
esforços em vigas
Módulo 2
Demonstrar o
dimensionamento da armadura
longitudinal para vigas
Módulo 3
Demonstrar o
dimensionamento da armadura
transversal para vigas
Módulo 4
Descrever o projeto e suas
especi�cidades
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DE DIMENSIONAMENTO DE
VIGAS EM CONCRETO ARMADO
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
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
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
MÓDULO 1
 Identi�car pré-dimensionamento, cargas e esforços em vigas
COMO DETERMINAR AS CARGAS ATUANTES NAS VIGAS
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javascript:void(0)
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
PRÉ-DIMENSIONAMENTO, CARGAS E ESFORÇOS EM VIGAS
As vigas são elementos estruturais sujeitos, basicamente, a cargas transversais. Ou seja, ao realizar um corte em
sua seção transversal, obtemos como ações, geralmente, o esforço cortante e o momento �etor como
ilustram as imagens a seguir.
(V ) (M),
Clique nas setas para ver o conteúdo.
O carregamento atuante das vigas é obtido através do cálculo das reações nas lajes transferidas para as vigas(q)
Imagem 1: Viga biapoiada com carregamento uniforme.
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 Imagem 4: Exemplo do vão da viga a partir do projeto de formas.
de apoio. O procedimento de cálculo apresentado pela NBR 6118: 2014 baseia-se no comportamento em regime
plástico, a partir da posição aproximada das linhas de plasti�cação, também denominadas charneiras plásticas.
Esse procedimento é conhecido como processo das áreas e será descrito nas próximas seções.
O pré-dimensionamento da viga inicia-se pela determinação da altura da viga , que, normalmente, é adotada
como tendo um valor entre:
(h)
8% ⋅ L ≤ h ≤ 10% ⋅ L
Sendo o comprimento do vão da viga, que é obtido do projeto de formas (imagem a seguir), medido de eixo a
eixo dos apoios (do lado esquerdo V6 e do lado direito P10), é dado por Nesse caso, no pré-
dimensionamento da viga, seria adotado um valor entre a critério do engenheiro projetista.
L
3, 14m.
25cm ≤ h ≤ 31, 4cm,
Cargas e esforços em vigas
A NBR 6118:2014 permite calcular as reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente
distribuído, considerando, para cada apoio, a carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando,
a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
45° entre dois apoios do mesmo tipo.
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60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente
apoiado.
90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando
a borda vizinha for livre.
A imagem a seguir apresenta de forma esquemática a consideração das áreas descritas anteriormente, sendo:
 e as áreas correspondentes aos apoios considerados.
 e as reações de apoio correspondentes aos apoios considerados.
 menor e maior vão teórico da laje (respectivamente).
Ax, Ay, A
′
x A
′
y :
vx, vy, v
′
x v
′
y :
lx, ly :
 Imagem 5: Áreas obtidas utilizando o método das charneiras plásticas determinado pela NBR 6118:2014.
As reações são obtidas por meio das equações:
    
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vx =
p ⋅ Ax
ly
vy =
p ⋅ Ay
lx
v′x =
p ⋅ A′x
ly
v′y =
p ⋅ A′y
lx
Em que é a carga total uniformemente distribuída na laje.
As reações de apoio também podem ser obtidas com o auxílio dos coe�cientes e cujos valores são
apresentados nas tabelas 1, 2 e 3 . Os valores dos coe�cientes estão relacionados com a condição do apoio e de 
 As equações para determinar as reações de apoio a partir das tabelas são:
p
kx, ky, k
′
x k
′
y,
λ.
vx = kx
p ⋅ lx
10
vy = ky
p ⋅ lx
10
v′x = k
′
x
p ⋅ lx
10
v′y = k
′
y
p ⋅ lx
10
Vejamos a seguir as tabelas dos coe�cientes.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
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1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83
1,30 3,08 2,50 2,38 2,49 4,32 2,63 4,55 1,83
1,35 3,15 2,50 2,47 2,50 4,33 2,67 4,62 1,83
1,40 3,21 2,50 2,56 2,50 4,33 2,70 4,68 1,83
1,45 3,28 2,50 2,64 2,50 4,33 2,74 4,74 1,83
1,50 3,33 2,50 2,72 2,50 4,33 2,77 4,79 1,83
1,55 3,39 2,50 2,80 2,50 4,33 2,80 4,84 1,83
1,60 3,44 2,50 2,87 2,50 4,33 2,82 4,89 1,83
1,65 3,48 2,50 2,93 2,50 4,33 2,85 4,93 1,83
1,70 3,53 2,50 2,99 2,50 4,33 2,87 4,97 1,83
1,75 3,57 2,50 3,05 2,50 4,33 2,89 5,01 1,83
1,80 3,61 2,50 3,10 2,50 4,33 2,92 5,05 1,83
1,85 3,65 2,50 3,15 2,50 4,33 2,94 5,09 1,83
1,90 3,68 2,50 3,20 2,50 4,33 2,96 5,12 1,83
1,95 3,72 2,50 3,25 2,50 4,33 2,97 5,15 1,83
2,00 3,75 2,50 3,29 2,50 4,33 2,99 5,18 1,83
5,00 2,50 5,00 2,50 4,33 3,66 6,25 1,83
 Tabela 1: Coe�cientes e para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3). 
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 333.
∞
kx, ky, k
′
x k
′
y
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44
1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,52 3,66 3,63 1,44
1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44
1,15 2,07 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44
1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44
λ
kx k
′
x ky k
′
y kx k
′
y k
′
x ky
    
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https://estudante.estacio.br/disciplinas/estacio_7020119/temas/5/conteudos/1 9/71
1,25 2,20 3,80 1,83 3,17 1,80 3,99 3,85 1,44
1,30 2,25 3,90 1,83 3,17 1,88 4,06 3,89 1,44
1,35 2,30 3,99 1,83 3,17 1,95 4,12 3,93 1,44
1,40 2,35 4,08 1,83 3,17 2,02 4,17 3,97 1,44
1,45 2,40 4,15 1,83 3,17 2,09 4,22 4,00 1,44
1,50 2,44 4,23 1,83 3,17 2,17 4,25 4,04 1,44
1,55 2,48 4,29 1,83 3,17 2,24 4,28 4,07 1,44
1,60 2,52 4,36 1,83 3,17 2,31 4,30 4,10 1,44
1,65 2,55 4,42 1,83 3,17 2,38 4,32 4,13 1,44
1,70 2,58 4,48 1,83 3,17 2,45 4,33 4,15 1,44
1,75 2,61 4,53 1,83 3,17 2,53 4,33 4,17 1,44
1,80 2,64 4,58 1,83 3,17 2,59 4,33 4,20 1,44
1,85 2,67 4,63 1,83 3,17 2,66 4,33 4,22 1,44
1,90 2,70 4,67 1,83 3,17 2,72 4,33 4,24 1,44
1,95 2,72 4,71 1,83 3,17 2,78 4,33 4,26 1,44
2,00 2,75 4,75 1,83 3,17 2,84 4,33 4,28 1,44
3,66 6,33 1,83 3,17 5,00 4,33 5,00 1,44
 Tabela 2: Coe�cientes e para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6). 
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 334.
∞
kx, ky, k
′
x k
′
y
Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 1,44 2,50 3,03 3,03 1,44 2,50 2,50 2,50
1,05 1,52 2,63 3,08 3,12 1,44 2,50 2,62 2,50
1,10 1,59 2,75 3,11 3,21 1,44 2,50 2,73 2,50
1,15 1,66 2,88 3,14 3,29 1,44 2,50 2,83 2,50
1,20 1,73 3,00 3,16 3,36 1,44 2,50 2,92 2,50
λ
kx k
′
x k′
y k
′
x ky k
′
y k
′
x k
′
y
    

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1,25 1,80 3,13 3,17 3,42 1,44 2,50 3,00 2,50
1,30 1,88 3,25 3,17 3,48 1,44 2,50 3,08 2,50
1,35 1,94 3,36 3,17 3,54 1,44 2,50 3,15 2,50
1,40 2,00 3,47 3,17 3,59 1,44 2,50 3,21 2,50
1,45 2,06 3,57 3,17 3,64 1,44 2,50 3,28 2,50
1,50 2,11 3,66 3,17 3,69 1,44 2,50 3,33 2,50
1,55 2,16 3,75 3,17 3,73 1,44 2,50 3,39 2,50
1,60 2,21 3,83 3,17 3,77 1,44 2,50 3,44 2,50
1,65 2,25 3,90 3,17 3,81 1,44 2,50 3,48 2,50
1,70 2,30 3,98 3,17 3,84 1,44 2,50 3,53 2,50
1,75 2,33 4,04 3,17 3,87 1,44 2,50 3,57 2,50
1,80 2,37 4,11 3,17 3,90 1,44 2,50 3,61 2,50
1,85 2,40 4,17 3,17 3,93 1,44 2,50 3,65 2,50
1,90 2,44 4,21 3,17 3,96 1,44 2,50 3,68 2,50
1,95 2,47 4,28 3,17 3,99 1,44 2,50 3,72 2,50
2,00 2,50 4,33 3,17 4,01 1,44 2,50 3,75 2,50
3,66 6,34 3,17 5,00 1,44 2,50 5,00 2,50
 Tabela 3: Coe�cientes e para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9). 
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 335.
∞
kx, ky, k
′
x k
′
y
Exemplo de aplicação
Para uma laje do tipo 2, com um carregamento total e determine os
carregamentos das vigas.
p = 8, 00kN/m2, lx = 5, 00 ly = 5, 50,
Clique no botão para ver a resolução.
SOLUÇÃO
Cálculo de :λ
    

javascript:void(0)
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Este é o cálculo dos carregamentos das vigas do contorno da laje:
Resposta:
λ =
5, 50
5, 00
= 1, 10
Entrando com os valores de e do tipo de laje na tabela 1:λ
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83
1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
vx = 2, 01
8, 00.5, 00
10
= 8, 04kN/m
vy = 2, 41
8, 00.5, 00
10
= 9, 64kN/m
v′y = 4, 17
8, 00.5, 00
10
= 16, 68kN/m
    

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VEM QUE EU TE EXPLICO!
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1 Um engenheiro estrutural tem o hábito de adotar para o pré-dimensionamento de
 
    

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javascript:void(0)
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1. Um engenheiro estrutural tem o hábito de adotar, para o pré-dimensionamento de
vigas, um valor de 10% do comprimento teórico da laje. Dada a planta de formas a seguir,
com as dimensões em centímetros, e sabendo que as vigas terão largura igual a 14cm,
marque a opção que apresenta a altura a ser adotada para a viga V1.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Cálculo do vão teórico da Viga V1:
( )
67cmA)
65cmB)
55cmC)
53cmD)
50cmE)
    
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Cálculo do pré-dimensionamento da altura da Viga V1:
L = 6, 68 − 2 ⋅ ( 0, 14
2
) = 6, 54m
h = 6, 54 ⋅ 0, 1 = 0, 654m = 65cm
2. Para uma laje do tipo 4 com um carregamento total, e 
 marque a opção que apresenta o carregamento dada a tabela abaixo.
p = 12, 00kN/m2, lx = 5, 00
ly = 5, 50, vx,
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44
1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,52 3,66 3,63 1,44
1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44
1,15 2,07 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44
1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44
 Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
λ
kx k
′
x ky k
′
y kx k
′
y k
′
x ky
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Cálculo de :λ
λ =
5, 50
5, 00
= 1, 10
12kN/mA)
11kN/mB)
10kN/mC)
9kN/mD)
8kN/mE)
    

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Entrando com os valores de e do tipo de laje na tabela 1:
Este é o cálculo dos carregamentos das vigas do contorno da laje:
λ
Caso 4 Caso 5
1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,5
1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,52 3,66 3,6
1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,6
1,15 2,07 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,7
1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,8
 Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
λ
kx k
′
x ky k
′
y kx k
′
y k
′
x
vx = 2, 00
12, 00.5, 00
10
= 12, 0
kN
m
 (resposta) 
Avalie este módulo: 
MÓDULO 2
 Demonstrar o dimensionamento da armadura longitudinal para vigas
    

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EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA
LONGITUDINAL

DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
O dimensionamento da armadura longitudinal das vigas é realizado no estado-limite último devido ao momento
�etor (ELU-M). Ou seja, é a armadura responsável por combater os esforços de �exão.
Dimensionamento da armadura longitudinal de viga T
Além da viga retangular, é comum encontrar vigas com seção transversal em forma de I ou T. Entretanto, a seção
de vigas pode ter outros formatos, como V, U, C, duplo T, entre outras. As vantagens de considerar a contribuição
das lajes para formar seções do tipo T estão na possibilidade de vigas com menores alturas, economia de
armadura e de forma, �echas menores etc. As seções transversais diferenciadas são utilizadas com frequência
em elementos pré-moldados. 
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 Imagem 6: Viga T.
É muito comum também a viga de seção T quando se considera a contribuição de lajes maciças apoiadas em viga
de seção retangular, como ilustra a imagem a seguir.
A mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida pela ação do momento �etor atuante. A seção T é bastante
comum nas estruturas moldadas no local quando as lajes do pavimento são do tipo maciça, onde a seção T é
visualmente imperceptível. As tensões normais de compressão alcançam também as vizinhanças das lajes
apoiadas nas vigas. A imagem a seguir ilustra a situação de compressão apenas na mesa e a situação com
compressão na mesa e parte da alma para o momento positivo.
 Imagem 7: Situação de compressão apenas na mesa e na mesa e na alma.
Vale ressaltar que a contribuição das lajes só pode ser considerada quando estão comprimidas pelas tensões
normais da �exão. Além disso, é importante observar que a laje deve estar obrigatoriamente no lado da viga,
inferior ou superior, submetida às tensões normais de compressão, conforme ilustra a imagem a seguir.
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 Imagem 8: Consideração de viga de seção T e retangular de acordo com o momento atuante.
Segundo a NBR 6118:2014, a largura colaborante, deve ser dada pela largura da viga acrescida de no
máximo da distância "a" entre pontos de momento �etor nulo, para cada lado da viga em que haja laje
colaborante. A distância "a" pode ser estimada em função do comprimento do tramo considerado, como se
apresenta a seguir.
bf , bw
10%

Viga simplesmente apoiada:
a = 1, 00 ⋅ l

Tramo com momento em uma só extremidade:
a = 0, 75 ⋅ l

Tramo com momentos nas duas extremidades:
a = 0, 60 ⋅ l

Tramo em balanço:
a = 2, 00 ⋅ l
A NBR 6118:2014 ainda diz que, alternativamente, o cômputo da distância “a” pode ser feito ou veri�cado mediante
exame dos diagramas de momentos �etores na estrutura. E, no caso de vigas contínuas, é possível calculá-las
com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos – desde
que essa largura seja calculada a partir do trechode momentos positivos em que a largura resulte mínima, como
ilustra a imagem a seguir.
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 Imagem 9: Largura de mesa colaborante.
Sendo:
b1 ≤ 0, 5 ⋅ b2; b1 ≤ 0, 1 ⋅ a
b3 ≤ b4; b3 ≤ 0, 1 ⋅ a
Em que é a largura colaborante de lajes em balanço.b3
O equacionamento da armadura longitudinal para vigas de seção T e concreto de até 50MPa é mostrado de forma
esquemática na imagem a seguir. Observa-se a existência de dois casos, em função da posição da linha neutra
(LN) na seção transversal: LN cortando a mesa ou LN cortando a alma.
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 Imagem 10: Esquema para o equacionamento de vigas com seção T.
Para a seção T com armadura simples e LN passando pela alma da seção, tem-se a seguinte equação para o
momento resistido pelas abas :(M1)
M1 = Fc1 ⋅ (d −
hf
2
) = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ hf⋅ (bf − bw) ⋅ (d −
hf
2
)
O momento restante é dado por:(M2)
M2 = Md − M1 = Fc2 ⋅ (d −
y
2
) = 0, 68 ⋅ bw ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d − 0, 4 ⋅ x)
A área de aço é calculada por:
As =
M1
(d − hf/2) ⋅ fyd
+
M2
(KZ) ⋅ d ⋅ fyd
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Armadura de pele
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a mínima armadura lateral deve ser de , em cada face da alma da
viga, e composta por barras de CA-50 ou CA-60, com espaçamento não maior que e devidamente ancorada
nos apoios, não sendo necessária uma armadura superior a , por face. O esquema do posicionamento da
armadura de pele é ilustrado na imagem.
0, 10%b ⋅ h
20cm
5cm2/m
 Imagem 11: Armadura de pele.
Deve-se considerar a armadura de pele em vigas com altura superior a 60cm. Vale ressaltar que as armaduras
principais de tração e de compressão não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele.
Exemplo de aplicação
Neste exemplo, os valores calculados serão confrontados com os valores obtidos na calculadora de vigas do
programa de cálculo estrutural TQS-versão estudante. Vamos então ao exemplo.
Calcule a armadura longitudinal das seções transversais mais solicitadas da viga V12 indicada na planta posterior
(primeira imagem), para as seções mais solicitadas (segunda imagem).
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 Imagem 12: Parte da planta de forma com a viga V12.
 Imagem 13: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da viga V12.
Dados para o dimensionamento:
Aço CA-50
Cobrimento da armadura (classe II)
Brita 0 (Dmáx = 9,5mm)
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje – peso próprio e cargas
permanentes – e alvenaria sobre a viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
Diagrama de momento �etor da viga V12:
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
= 2, 5cm
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
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 Imagem 14: Momentos �etores da viga V12.
Clique no botão para ver a resolução.
SOLUÇÃO
1º passo: Cálculo dos momentos �etores de cálculo máximos para cada seção
Para o cálculo do momento �etor de cálculo, será utilizado o coe�ciente para majoração da carga: 
Para o momento �etor da carga permanente será somado o momento �etor devido ao peso próprio da
estrutura com o momento �etor devido às cargas permanentes, e depois o valor obtido será multiplicado pelo
coe�ciente.
γ = 1, 4.
(Mgd),
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Já para obter o valor do momento �etor das cargas acidentais , o momento acidental característico será
multiplicado por 1,4 . Esses valores de momentos foram obtidos na imagem 
O momento �etor de cálculo total foi obtido pela equação:
Seção S1:
Seção S2:
Seção S3:
Seção S4:
2º passo: Obter e 
Cálculo de KMD: 
Seção S1:
(Mqd)
14.
(Md( total ))
Md( total ) = Mgd + Mqd
Mgd = 1, 4 × 0, 57 = 0, 79t.m;
Mqd = 1, 4 × 0, 08 = 0, 112 t. m;
Md( total ) = 0, 9 t.m 
Mgd = 1, 4 × (−0, 78) = −1, 092 t. m; 
Mqd = 1, 4 × (−0, 16) = −0, 224 t. m;
Md( total ) = −1, 32 t. m
Mgd = 1, 4 × 0, 45 = 0, 378 t. m
Mqd = 1, 4 × 0, 13 = 0, 182 t. m
Md( total ) = 0, 632 t. m
Mgd = 1, 4 × (−2, 71) = −3, 794 t. m; 
Mqd = 1, 4 × (−0, 25) = −0, 35 t. m
Md( total ) = −4, 144 t. m
Kx, Kz KMD
KMD =
Md
bw ⋅ d2 ⋅ fcd
KMD =
9, 1
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
= 0, 023
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Valores adotados: 
Seção S2:
Valores adotados: 
Seção S3:
Domínio
0,005 0,07 0,997 0,07 10,00 2
0,010 0,015 0,994 0,15 10,00 2
0,015 0,022 0,991 0,23 10,00 2
0,020 0,030 0,988 0,31 10,00 2
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
0,030 0,045 0,982 0,47 10,00 2
KMD KX KZ εc εs
Kx = 0, 034; Kz = 0, 986
KMD =
13, 2
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
= 0, 034
Domínio
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
0,030 0,045 0,982 0,47 10,00 2
0,035 0,053 0,979 0,55 10,00 2
0,040 0,060 0,976 0,64 10,00 2
KMD KX KZ εc εs
Kx = 0, 052; Kz = 0, 98
KMD =
6, 32
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
= 0, 0163
Domínio
0,005 0,07 0,997 0,07 10,00 2
KMD KX KZ εc εs
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Valores adotados: 
Seção S4:
Valores adotados: 
3º passo: Determinar a posição da linha neutra, 
Seção S1: 
Seção S2: 
Seção S3: 
Seção S4: 
4º passo: Determinar área de aço, 
Seção S1: Adotar 
Seção S2: 
Seção S3: Adotar 
Seção S4: 
0,010 0,015 0,994 0,15 10,00 2
0,015 0,022 0,991 0,23 10,00 2
0,020 0,030 0,988 0,31 10,00 2
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
Kx = 0, 023; Kz = 0, 99; Ks = 43, 05
KMD =
41, 44
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
= 0, 107
Domínio
0,100 0,157 0,937 1,86 10,00 2
0,105 0,165 0,934 1,98 10,00 2
0,110 0,174 0,930 2,10 10,00 2
0,115 0,182 0,927 2,23 10,00 2
KMD KX KZ εc εs
Kx = 0, 1695; Kz = 0, 932
x = Kx ⋅ d
x = 0, 034 ⋅ 36 = 1, 224cm
x = 0, 052 ⋅ 36 = 1, 872cm
x = 0, 023 ⋅ 36 = 0, 823cm
x = 0, 1695 ⋅ 36 = 6, 10cm
As =
Md
Ks ⋅ d
As =
8, 96
42, 87 ⋅ 0, 36
= 0, 58cm2 → As,mín
As =
13, 2
42, 6 ⋅ 0, 36
= 0, 861cm2
As =
6, 32
43, 05 ⋅ 0, 36
= 0, 41cm2 → As,min
As =
41, 44
40, 53 ⋅ 0, 36
= 2, 84cm2
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5º passo: calcular área de aço mínima 
Obs.: Adotar sempre que este for maior que o calculado no 4º passo!
6º passo: veri�car os cálculos realizados com o resultado obtido pela calculadora de vigas do TQS
Seção S1:
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
As,min = 0, 15%(b ⋅ h)
As,min = 0, 173%. (b ⋅ h) = 0, 0015 ⋅ 14 ⋅ 40 = 0, 84cm
2
As,min As
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 Print de tela do programa TQS.
Seção S2:
 Print de tela do programa TQS.
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 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
Seção S3:
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 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
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 Print de tela do programa TQS.
Seção S4:
 Print de tela do programa TQS.
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 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
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Os valores calculados convergiram com os valores obtidos na calculadora do software estrutural TQS (versão
estudante). O sexto passo é apenas uma informação a mais que pode ser utilizada pelo aluno caso tenha
interesse em comparar seus cálculos manuais com o cálculo realizado por um software estrutural na versão
estudante.
7º passo: determinar a armadura longitudinal
Com a �nalidade de facilitar a determinação da armadura longitudinal (quantidade e diâmetro das barras)
adotada no dimensionamento, foi desenvolvida a tabela 4. Para montar a tabela 4, em cada cédula foi
multiplicada a quantidade de barras pela área unitária da seção transversal da barra.
ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE n BARRAS (cm²) - A - VIGA
Número 
de barras
Diâmetro da barra (mm)
5 6.3 8 10 12.5 16 20 22 25 32 40.0
20 3.93 6.23 10.05 15.71 24.54 40.21 62.83 76.03 98.17 160.85 251.33
19 3.73 5.92 9.55 14.92 23.32 38.20 59.69 72.23 93.27 152.81 238.76
18 3.53 5.61 9.05 14.14 22.09 36.19 56.55 68.42 88.36 144.76 226.19
17 3.34 5.30 8.55 13.35 20.86 34.18 53.41 64.62 83.45 136.72 213.63
16 3.14 4.99 8.04 12.57 19.63 32.17 50.27 60.82 78.54 128.68 201.06
15 2.95 4.68 7.54 11.78 18.41 30.16 47.12 57.02 73.63 120.64 188.50
14 2.75 4.36 7.04 11.00 17.18 28.15 43.98 53.22 68.72 112.59 175.93
13 2.55 4.05 6.53 10.21 15.95 26.14 40.84 49.42 63.81 104.55 163.36
12 2.36 3.74 6.03 9.42 14.73 24.13 37.70 45.62 58.90 96.51 150.80
11 2.16 3.43 5.53 8.64 13.50 22.12 34.56 41.81 54.00 88.47 138.23
10 1.96 3.12 5.03 7.85 12.27 20.11 31.42 38.01 49.09 80.42 125.66
9 1.77 2.81 4.52 7.07 11.04 18.10 28.27 34.21 44.18 72.38 113.10
8 1.57 2.49 4.02 6.28 9.82 16.08 25.13 30.41 39.27 64.34 100.53
7 1.37 2.18 3.52 5.50 8.59 14.07 21.99 26.61 34.36 56.30 87.96
6 1.18 1.87 3.02 4.71 7.36 12.06 18.85 22.81 29.45 48.25 75.40
5 0.98 1.56 2.51 3.93 6.14 10.05 15.71 19.01 24.54 40.21 62.83
4 0.79 1.25 2.01 3.14 4.91 8.04 12.57 15.21 19.63 32.17 50.27
s
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Seção S1:
Seção S2:
Seção S3:
Seção S4:
3 0.59 0.94 1.51 2.36 3.68 6.03 9.42 11.40 14.73 24.13 37.70
2 0.39 0.62 1.01 1.57 2.45 4.02 6.28 7.60 9.82 16.08 25.13
1 0.20 0.31 0.50 0.79 1.23 2.01 3.14 3.80 4.91 8.04 12.57
 Tabela 4: Determinação da quantidade de barras e do diâmetro da armadura longitudinal de acordo com a área de aço calculada. 
Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
As,min = 0, 84cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
As = 0, 861cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
As,min = 0, 84cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
As = 2, 84cm
2 →  Adotado 6 × ϕ8mm = 3, 02cm2
VEM QUE EU TE EXPLICO!
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
 
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1. Um engenheiro, em seus cálculos, obteve para uma viga a área de armadura longitudinal
igual a maior do que a área de aço mínima. Marque a opção que apresenta um
possível dimensionamento para a viga.
3, 84cm2,
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
1 × ϕ16.0mm = 2, 01cm2 < 3, 84cm2
3 × ϕ12.5mm = 3, 68cm2 < 3, 84cm2
5 × ϕ10.0mm = 3, 94cm2 > 3, 84cm2
6 × ϕ8.0mm = 3, 02cm2 < 3, 84cm2
11 × ϕ6.3mm = 3, 43cm2 < 3, 84cm2
2. A seguir, são apresentadas as dimensões das seções transversais de algumas vigas, base
e altura, respectivamente. Marque a opção que apresenta a dimensão de seção
transversal da viga cujo uso de armadura de pele é obrigatório.
1 × ϕ16.0mmA)
3 × ϕ12.5mmB)
5 × ϕ10.0mmC)
6 × ϕ8.0mmD)
11 × ϕ6.3mmE)
14x30cmA)
14x40cmB)
14 50C)
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Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
A armadura de pele é obrigatória apenas para vigas com altura superior a 60cm.
14x50cmC)
20x60cmD)
20x70cmE)
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MÓDULO 3
 Demonstrar o dimensionamento da armadura transversal para vigas
EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA
TRANSVERSAL PARA VIGAS
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
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
O dimensionamento da armadura transversal das vigas é realizado no estado-limite último devido ao esforço
cortante (ELU-V). Ou seja, é a armadura responsável por combater os esforços de cisalhamento.
Abordagem por meio de exemplo de aplicação
Calcule a armadura transversal das seções transversais mais solicitadas da viga V12 (primeira imagem) nas
seções mais solicitadas (segunda imagem).
 Imagem 15: Parte da planta de forma com a viga V12.
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 Imagem 16: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da Viga V12.
Dados para o dimensionamento:
Aço CA-50
Cobrimento da armadura (classe II)
Brita 
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje – peso próprio e cargas
permanentes – e alvenaria sobre a viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
Diagramas de esforço cortante da viga V12:
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
= 2, 5cm
0 (Dmáx=9,5mm) 
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
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 Imagem 17: Diagrama de esforço cortante.
Clique no botão para ver a resolução.
SOLUÇÃO
Para o dimensionamento do ELU-V, será adotado o modelo simpli�cado com Para esse
dimensionamento será considerada apenas a seção crítica da viga em questão que apresenta os
carregamentos mostrados na imagem 
1º passo: de�nição das cargas
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
1. Esforço cortante máximo devido ao peso próprio da viga: 1,09tf
2. Esforço cortante máximo devido à carga permanente sobre a viga: 1,84tf (proveniente das cargas
permanentes sobre a laje – peso próprio e cargas permanentes – e alvenaria sobre a viga)
3. Esforço cortante máximo devido à carga acidental sobre a viga: 0,44tf (proveniente das cargas acidentais
sobre a laje)
θ = 45∘.
17.
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Logo, o esforço cortante solicitante de cálculo adotado será:
2º passo: veri�cação do esmagamento das bielas de concreto
Considerando , temos:
Como não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
3º passo: cálculo da área de aço da seção transversal 
A área de aço é dada por:
E temos que: 
Logo:
E assim temos que:
4º passo: cálculo da área de aço, mínima, da seção transversal 
Temos que:
Vsd = 1, 4 × 3, 37 = 4, 72tf
v = 0, 6 ⋅ (1 − fck
250
) = 0, 6 ⋅ (1 − 30
250
) = 0, 528
d = 0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 14 ⋅ 0, 9 ⋅ 40 ⋅ 0, 528 ⋅
3, 0
1, 4
= 256, 6kN = 25, 66tf
Vsd ≤ VRd2,
Asw
Asw =
(Vsd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fyd
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 302/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd =
fctk
1, 4
=
2, 02721, 4
= 1, 448MPa
Vc = 0, 6 ⋅ 14 ⋅ 36 ⋅ 0, 1448 = 43, 79kN = 4, 38tf
Asw =
(4, 72 − 4, 38) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 36( 50
1,15
)
= 0, 0241cm2/m
Asw,mín 
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Portanto:
Como , será adotada 
5º passo: determinar a armadura transversal
O espaçamento e o diâmetro das barras a serem utilizadas na determinação da armadura transversal
aparecem em detalhes na tabela 
Essa tabela apresenta espaçamento e diâmetros para dimensionamento de armaduras transversais com dois
ramos.
Os dados da tabela 5 são utilizados na equação a seguir, utilizada para determinar o valor de cada célula da
tabela:
 diâmetro da barra em centímetros
 espaçamento entre estribos
Asw,min = 0, 2 ⋅  b  ⋅ fctm/fyk
Asw,min =
0, 2 ⋅ 14 ⋅ 100 ⋅ 0, 2896
50
1,15
= 1, 865cm2/m
Asw,min ≥ Asw Asw,min = 1, 865 cm
2/m
5.
Asw = 2 ⋅
π ⋅ ϕ2
4
⋅
100
s
ϕ =
s =
ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE ESTRIBOS POR METRO (cm²/m) - Asw - VIGA
Espaçamento 
(cm)
Diâmetro da barra (mm)
5.0 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 20.0 22.0 25.0 32.0 40.0
7 5.61 8.91 14.36 22.44 35.06 57.45 89.76 108.61 140.25 229.79 359.04
8 4.91 7.79 12.57 19.63 30.68 50.27 78.54 95.03 122.72 201.06 314.16
9 4.36 6.93 11.17 17.45 27.27 44.68 69.81 84.47 109.08 178.72 279.25
10 3.93 6.23 10.05 15.71 24.54 40.21 62.83 76.03 98.17 160.85 251.33
11 3.57 5.67 9.14 14.28 22.31 36.56 57.12 69.12 89.25 146.23 228.48
12 3.27 5.20 8.38 13.09 20.45 33.51 52.36 63.36 81.81 134.04 209.44
13 3.02 4.80 7.73 12.08 18.88 30.93 48.33 58.48 75.52 123.73 193.33
14 2.80 4.45 7.18 11.22 17.53 28.72 44.88 54.30 70.12 114.89 179.52
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Para armadura transversal, com dois ramos, será adotado o seguinte: a cada 
6º passo: veri�cação quanto ao espaçamento
Para a veri�cação quanto ao espaçamento longitudinal e transversal será utilizada a formulação a seguir:
15 2.62 4.16 6.70 10.47 16.36 26.81 41.89 50.68 65.45 107.23 167.55
16 2.45 3.90 6.28 9.82 15.34 25.13 39.27 47.52 61.36 100.53 157.08
17 2.31 3.67 5.91 9.24 14.44 23.65 36.96 44.72 57.75 94.62 147.84
18 2.18 3.46 5.59 8.73 13.64 22.34 34.91 42.24 54.54 89.36 139.63
19 2.07 3.28 5.29 8.27 12.92 21.16 33.07 40.01 51.67 84.66 132.28
20 1.96 3.12 5.03 7.85 12.27 20.11 31.42 38.01 49.09 80.42 125.66
21 1.87 2.97 4.79 7.48 11.69 19.15 29.92 36.20 46.75 76.60 119.68
22 1.78 2.83 4.57 7.14 11.16 18.28 28.56 34.56 44.62 73.11 114.24
23 1.71 2.71 4.37 6.83 10.67 17.48 27.32 33.06 42.68 69.93 109.27
24 1.64 2.60 4.19 6.54 10.23 16.76 26.18 31.68 40.91 67.02 104.72
25 1.57 2.49 4.02 6.28 9.82 16.08 25.13 30.41 39.27 64.34 100.53
26 1.51 2.40 3.87 6.04 9.44 15.47 24.17 29.24 37.76 61.87 96.66
27 1.45 2.31 3.72 5.82 9.09 14.89 23.27 28.16 36.36 59.57 93.08
28 1.40 2.23 3.59 5.61 8.77 14.36 22.44 27.15 35.06 57.45 89.76
29 1.35 2.15 3.47 5.42 8.46 13.87 21.67 26.22 33.85 55.47 86.66
30 1.31 2.08 3.35 5.24 8.18 13.40 20.94 25.34 32.72 53.62 83.78
 Tabela 5: Dimensionamento da armadura transversal com dois ramos para vigas. 
Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
∅5, 0 20cm.
smáx  ≤ {
st, máx  ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
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A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a representação de e nos cortes da viga
longitudinal e transversal, respectivamente.
 Imagem 18: Representação esquemática de e 
Cálculos:
Sendo assim, o espaçamento longitudinal máximo entre estribos equivale a Já o
espaçamento transversal máximo entre ramos será de 
Portanto, a armadura adotada permanecerá a cada , visto que essa armadura também atende a
bitola mínima para o estribo. Essa armadura corresponde à seguinte área de aço por seção de estribo de dois
ramos:
Como o espaçamento será de 20cm, a cada 1 metro teremos:
Logo, a área de aço efetiva de armadura transversal em 1 metro de viga será de:
Como
smáx  st, máx 
smáx st,máx
Vsd
VRd2
=
4, 72
25, 65
= 0, 184
0, 6 ⋅ 36 = 21, 6cm.
36cm.
∅5.0 20cm
 Área de aço Asw,1 = 2 ⋅
π ⋅ (0 ⋅ 52)
4
= 0, 393cm2
100
20
= 5 estribos 
Asw,efetivo = 5 ⋅ 0, 393 = 1, 97cm
2/m
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tudo ok!
Asw, efetivo  = 1, 97 > Asw, calculada  = 1, 87,
VEM QUE EU TE EXPLICO!
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um engenheiro obteve no dimensionamento de uma viga a seguinte armadura
transversal, considerando dois ramos: a cada Marque a opção que apresenta
a área de aço efetiva de armadura transversal desse dimensionamento.
∅6, 3 10cm.
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Asw,1 = 2 ⋅
π ⋅ (0, 632)
4
= 0, 623cm2
4,42cm²/mA)
5,14cm²/mB)
5,67cm²/mC)
6,23cm²/mD)
6,83cm²/mE)
 
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Como o espaçamento será de 10cm, a cada 1 metro teremos:
Consideram-se 10 estribos a cada 1 m de viga, logo:
100
10
= 10 estribos 
Asw,efetivo  = 10 ⋅ 0, 623 = 6, 23cm
2/m
2. Ao dimensionar a armadura transversal de uma viga com altura útil de 36cm, um
engenheiro obteve a força cortante de cálculo igual a 11,4tf e a força cortante máxima
resistida por compressão das bielas de concreto igual a 22,8tf. Sabe-se que a NBR
6118:2014 estabelece que:
Marque a opção que apresenta o espaçamento máximo entre estribos e o espaçamento
máximo entre ramos, respectivamente, que esse engenheiro poderá adotar.
smáx  ≤ {
st, máx  ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
d ≤ 800mm, seVSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
11, 4
22, 8
= 0, 5
10,8cm e 21,6cmA)
21,6cm e 10,8cmB)
21,6cm e 21,6cmC)
13,8cm e 80cmD)
80cm e 21,6cmE)
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Pela condição imposta pela norma:
Resposta: 21,6cm e 21,6cm
smáx  ≤ {
0, 6.36 = 21, 6cm ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
(satisfaz a 1ª condição)
st,máx ≤ {
(satisfaz a 2ª condição)
0, 6.36 = 21, 6cm ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
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MÓDULO 4
 Descrever o projeto e suas especi�cidades
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAL E
TRANSVERSAL DA VIGA
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
DETALHAMENTO E APRESENTAÇÃO DE PROJETO
O detalhamento e a apresentação de projeto consistem em colocar em forma de desenho as armaduras
calculadas nos módulos anteriores. Neste módulo, iremos aprender como apresentar os desenhos da viga de
acordo com a as normas da ABNT NBR 6118:2014.
Porém, antes de iniciarmos esse detalhamento, será apresentada, na próxima seção, a veri�cação quanto ao
estado-limite de serviço (ELS-Def).
VERIFICAÇÃO QUANTO AO ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO (ELS-
DEF)
Para compreender com clareza a veri�cação ao estado-limite de serviço de uma viga, vamos observar o exemplo a
seguir.
Exemplo de aplicação
Veri�que no estado-limite de serviço quanto à deformação (ELS-Def) a viga V12 indicada na imagem 19, sabendo
que se refere a um edifício residencial.
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 Imagem 19: Parte da planta de forma com a viga V12.
 Imagem 20: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da viga V12.
Dados para o dimensionamento:Aço CA-50
Cobrimento da armadura (classe II)
Brita 0 (Dmáx )
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Carga permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje, peso próprio e cargas
permanentes – alvenaria sobre a viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
= 2, 5cm
= 9, 5mm
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
Clique no botão para ver a resolução.
SOLUÇÃO
1º passo: de�nir o carregamento
Será utilizada a carga quase permanente :(Pqp)
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2º passo: veri�cação do estádio da viga (se estádio 1 ou 2 ) e cálculo do momento de inércia Cálculo do
momento �etor de �ssuração :
Sendo: 
Cálculo dos momentos máximos atuantes considerando os valores de momento obtidos por meio da
isostática e da hiperestática para carregamento uniformemente distribuído (imagem 21):
 Imagem 21: Equações para valores máximos de momento �etor de cada vão da viga V12.
Vão 1: Estádio ।
Vão 2: Estádio I
Vão 3: Estádio ॥
Pqp = g + 0, 3 ⋅ q
Pqp = (0, 14 + 0, 95) + 0, 3 ⋅ 0, 21 = 1, 153tf = 11, 53kN
(MR)
MR =
α ⋅ fctm ⋅ Ic
yt
α = 1, 5
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 302/3 = 0, 2896MPa
Ic =
b ⋅ h3
12
=
0, 14 ⋅ 0, 43
12
= 7, 47 ⋅ 10−4m4
yt =
h
2
=
0, 4
2
= 0, 2m
MR =
1, 5 ⋅ 0, 2896 ⋅ 74666, 67
20
= 1 ⋅ 622, 02kN ⋅ cm
(Ma),
Ma =
9.11, 53 ⋅ 103 ⋅ 2, 542
128
= 523kN . cm →
Ma =
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 3, 342
24
= 536kN . cm →
Ma =
−11, 53 ⋅ 103 ⋅ 1, 852
2
= −1.973kN . cm →    
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Para os vãos 1 e 2:
Como o momento atuante é menor que o momento resistente de �ssuração, a seção encontra-se no estádio I,
e, portanto, não �ssurada. Por isso, iremos considerar o momento de inércia igual ao momento de inércia
da seção bruta 
Para o Vão 3:
Como o momento atuante é maior que o momento resistente de �ssuração, a seção encontra-se no estádio II,
e, portanto, �ssurada. Por isso, vamos considerar o momento de inércia igual ao momento de inércia
equivalente para a seção �ssurada de Branson:
Seção S4 (Vão 3):
(I)
(IC) :
I = Ic =
b ⋅ h3
12
=
0, 14 ⋅ 0, 43
12
= 74 ⋅ 700cm4
(I)
(Ie)
I = Ie
Ie = (
Mr
Mqp
)
3
⋅ Ic + [1 − (
Mr
Mqp
)
3
] ⋅ I2
I2 =
b ⋅ x3
2
3
+ n ⋅ As(d − x2)
2 + (n − 1) ⋅ A′s ⋅ (x2 − d
′)2
x2 = [−a2 + √a22 − 4 ⋅ a1 ⋅ a3]/ (2 ⋅ a1)
a1 = b/2
a2 = n ⋅ As + (n − 1) ⋅ A
′
s
a3 = −n ⋅ As ⋅ d − (n − 1) ⋅ A
′
s ⋅ d
′
n =
Es
Ecs
AS = 2, 84cm
2 →  Adotado: 6 × ϕ8, 0mm = 3, 02cm2
4
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3º passo: cálculo da �echa imediata
O cálculo da �echa imediata é realizado utilizando os conhecimentos da resistência dos materiais a partir das
equações ilustradas na imagem.
 Imagem 22: Equações para o cálculo da �echa imediata de cada vão da viga V12.
Vão 1: 
Vão 2: 
Vão 3: 
4º passo: cálculo da �echa diferida 
Considerando mês e meses, tem-se: 
a1 =
14
2
= 7cm
a2 = 8, 055.3, 02 = 24, 326cm
2
a3 = −8, 055.3, 02.36 = 875, 74cm
3
x2 =
[−24, 33 + √(24, 33)2 − 4 ⋅ (7) ⋅ (−875, 74)]
2.7
= 9, 58cm
I2 =
14 ⋅ (9, 58)3
3
+ 8, 055.3, 02 ⋅ (36 − 9, 58)2 = 4103, 02 + 16980, 01 = 21083, 03cm4
Ie = (
1622, 02
1973
)
3
⋅ 74700 + [1 − ( 1622, 02
1973
)
3
] ⋅ 21083, 03 = 41505, 72 + 9368, 62
= 50874, 34cm4
fi =
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 2, 544
184, 6 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 74700 ⋅ 10−8
= 1, 29 ⋅ 10−4m
fi =
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 3, 344
384 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 74700 ⋅ 10−8
= 1, 85 ⋅ 10−4m
fi =
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 1, 854
8 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 50 ⋅ 874, 34 ⋅ 10−8
= 1, 23 ⋅ 10−3m
(fd)
t0 = 1 t = 70 αf = 2, 0 − 0, 68 = 1, 32
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Vão 1: 
Vão 2: 
Vão 3: 
5º passo: cálculo da �echa total e veri�cação com a �echa-limite 
Vão 1:
Como tudo ok!
Vão 2:
Como tudo ok!
Vão 3:
Como tudo ok!
fd = 1, 32 ⋅ 1, 29 ⋅ 10
−4 = 1, 703 ⋅ 10−4m
fd = 1, 32 ⋅ 1, 85 ⋅ 10
−4 = 2, 442 ⋅ 10−4m
fd = 1, 32 ⋅ 1, 23 ⋅ 10
−3 = 1, 624 ⋅ 10−3m
(ft) (fl)
ftotal  = fimediata  + fdiferida  ≤ flimite 
flimite  =
L
250
; (L = 2 ⋅ Lbal ,  no caso de balanço )
ft = 1, 29 ⋅ 10
−4 + 1, 703 ⋅ 10−4 = 0, 03cm
fl =
254
250
= 1, 01cm
flimite  > ftotal ,
ft = 1, 85 ⋅ 10
−4 + 2, 442 ⋅ 10−4 = 0, 043cm
fl =
334
250
= 1, 34cm
flimite  > ftotal ,
ft = 1, 23 ⋅ 10
−3 + 1, 624 ⋅ 10−3 = 0, 29cm
fl =
2.185
250
= 1, 48cm
flimite  > ftotal ,
Finalizada a veri�cação do estado-limite de serviço quanto à deformação da viga, daremos sequência para a
elaboração do detalhamento do projeto.
DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
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Após determinar o dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais e realizar as veri�cações quanto
à �echa, vamos posicionar a armadura longitudinal na viga seguindo os requisitos da ABNT NBR 6118:2014.
Espaçamento entre a armadura longitudinal
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve
ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
ah ≥
av ≥
⎧⎪⎨⎪⎩ 20mm diâmetro da barra 1,2 ⋅ diâmetro máximo do agregado⎧⎪⎨⎪⎩ 20mm diâmetro da barra 0,5 ⋅ diâmetro máximo do agregado distância vertical distância verticalav =ah =Ambas estão ilustradas na imagem a seguir.    
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 Imagem 23: Espaçamento vertical e horizontal entre as barras longitudinais.
 Tabela 6: Tipo de brita para confecção do concreto e seu diâmetro. 
Elaborada por: Larissa Camporez Araújo.
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por transpasse das barras que será visto mais à frente.
O diâmetro do agregado vai depender da brita adotada para a confecção do concreto, os diâmetros são
apresentados na Tabela 6.
Tipo de brita Diâmetro [mm]
Brita 0 4,8 a 9,5
Brita 1 9,5 a 19
Brita 2 19 a 25
Brita 3 25 a 38
O arranjo das armaduras deve propiciar condições adequadas de execução, como viabilidade para o lançamento e
o adensamento do concreto, bem como a introdução de vibradores.    
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 Imagem 24: Posicionamento da armadura longitudinal e estribo nas seções 1, 2, 3 e 4 da viga.
A seguir, é apresentado o posicionamento da armadura longitudinal nas seções das vigas. Realizou-se a
veri�cação dos espaçamentos horizontal e vertical. Observe que a armadura em S1 e S3 é positiva e, portanto,
está posicionada na parte inferior da viga. Já nas seções S2 e S4, a armadura é negativa, portanto, posicionada na
parte superior da viga.
Para as seções S1, S2 e S3:
ah > 2, 0cm,  tudo ok! 
av = 2, 0cm,  tudo ok! 
Para a seção S4:
ah = 14 −
(2 ⋅ 2, 5 + 2.0, 5 + 3 ⋅ 0, 8)
2
= 3, 25cm > 2, 0cm,  tudo ok! 
av = 2, 0cm,  tudo ok! 
Além da armadura longitudinal, é posicionada também de forma longitudinal, uma armadura que auxilia na
montagem da viga. Essa armadura é chamada de porta-estribo e posicionada do lado oposto à armadura de
�exão.
O porta-estribo deve apresentar diâmetro maior ou igual ao diâmetro da armadura transversal (estribo). Assim, a
seção transversal das seções da viga V12 passa a �car conforme ilustra a imagem a seguir. Os porta-estribos da
viga V12 terão diâmetro de 5,0mm. Como a viga V12 tem altura inferior a 60cm, não será necessária a armadura
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 Imagem 25: Detalhamento da viga V12.
 Imagem 26: Diagrama de momento �etor com os trechos de in�uência.
de pele.
Armadura Longitudinal ao longo da viga
O cálculo da armadura longitudinal, nas seções transversais, é realizado para os momentos �etores máximos,
como foi feito no exemplo de aplicação do módulo 2.
No diagrama de momento �etor, obtemos o desenvolvimento da armadura ao longo de toda
a viga, o que é feito para usar as barras de aço com o menor comprimento possível, sem
deixar de atender a todas as condições de segurança do estado-limite último.
A quantidade de barras dimensionadas para resistir ao momento �etor negativo atuante no apoio B são
necessárias apenas no trecho b (imagem a seguir). Além disso, conforme se caminha do apoio B para as
extremidades A e C, a redução do momento �etor negativo nos diz que a quantidade de barras necessárias
também se reduz.
Gra�camente, como ilustrado na imagem a seguir, temos a divisão do momento �etor em partes iguais e a
redução do número de barras ou grupo de barras ao longo da viga. Na imagem, o momento seria resistido por
quatro barras, e cada uma seria responsável por resistir a uma parcela do momento (k).
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 Imagem 27: Divisão do momento �etor entre as barras da armadura longitudinal.
Para realizar a divisão com a redução do tamanho das barras, devem ser levadas em conta algumas questões
práticas.
A necessidade de que um número mínimo de barras seja
levado até os apoios extremos para ancorar as bielas de
concreto.
A necessidade de empregar pelo menos quatro barras
trabalhando para segurar os estribos.
Vale lembrar que os tamanhos mínimos das barras devem ser usados de forma a gerar economia. Entretanto,
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 Imagem 28: Ilustração das regiões de boa e má aderência na viga.
deve-se analisar a racionalização do processo de fabricação e montagem na obra.
Ancoragem e aderência
Ao de�nir os pontos de interrupção das barras, em função da distribuição dos momentos �etores solicitantes de
cálculo, há a necessidade de transferir para o concreto as tensões a que elas estão submetidas. Para isso, as
barras devem ser providas de um comprimento adicional.
A transferência das tensões do aço para o concreto é chamada de ancoragem e o
comprimento adicional é chamado de comprimento de ancoragem reto .(lb)
A aderência está relacionada com a disposição da armadura longitudinal na viga que pode estar em região de boa
ou de má aderência, como ilustra a imagem a seguir.
Os valores das resistências de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto na ancoragem de
armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:
(fbd)
fbd = η1 ⋅ η2 ⋅ η3 ⋅ fctd
Com:
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η1 =
η2 = {
η3 = {
⎧⎪⎨⎪⎩1, 0 para barras lisas  → CA − 25/CA − 601, 4 para barras entalhadas  → CA − 602, 25 para barras nervuradas  → CA − 501, 0 para situações de boa aderência 0, 7 para situações de má aderência 1, 0 para ϕ < 32mm132−ϕ100 ,  para ϕ > 32mmQuando a barra se encontra em região de má aderência, a resistência de aderência pode ser dada por:fbd,má = 0, 7. fbdTodas as barras das armaduras devem ser ancoradas, garantindo que os esforços a que estejam submetidassejam integralmente transmitidos ao concreto. São considerados dois tipos de ancoragens, como veremos aseguir. Aderência entre o aço e o concretoOs esforços são ancorados por meio deum comprimento reto ou com granderaio de curvatura, seguido ou não degancho. Dispositivos mecânicosOs esforços são transmitidos por meiosde dispositivos mecânicos acoplados àbarra.
As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de
curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições a seguir.
Obrigatoriamente com gancho para barras lisas.
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Sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de
tração e compressão.
Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo
recomendado o gancho para barras de ou para
feixes de barras.
∅ > 32mm
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.
De�ne-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva
necessário para ancorar a força-limite nessa barra, admitindo-se, ao longo desse comprimento,
resistência de aderência uniforme e igual a 
O comprimento de ancoragem básico é dado por:
(lb,bás)
(As ⋅ fyd)
fbd.
lb,bás =
∅
4
⋅
fyd
fbd
≥ 25 ⋅ ∅
E o comprimento de ancoragem necessário é dado por:(lb,nec)
lb, nec  = α1 ⋅ lb ⋅
As, calc 
As, ef 
≥ lb, min 
Onde:
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α1
⎧⎪⎨⎪⎩ 1, 0 para barras sem gancho 0, 7 para barras tracionadas com gancho 0, 7 quando houver barras transversais soldadas 0, 5 quando houver barras transversais soldadas e gancho  é a área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante de cálculo, é a área de armadurautilizada no projeto para resistir aos esforços e:As, cal  As,eflb,min > ⎧⎪⎨⎪⎩0, 3 ⋅ lb,bás10 ⋅ ∅100mmGANCHOS DA ARMADURA DE TRAÇÃOOs ganchos possibilitam a redução do comprimento de ancoragem e são previstos nas barras tracionadas e nosestribos. Já as armaduras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho.Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração estão representados na imagem aseguir e podem ser:semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a ;em ângulo de (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a ;em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 2 ⋅ ∅45∘ 4 ⋅ ∅8 ⋅ ∅; eVamos ver os tipos de ancoragem da armadura longitudinal.Imagem 29: Ancoragem reta. Imagem 30: Ancoragem com gancho em ânguloreto.
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 Tabela 7: Diâmetro do pino de dobramento dos ganchos. 
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.37.
Imagem 31: Ancoragem com gancho em ângulo de
45°.
Imagem 32: Ancoragem com gancho semicircular.
O diâmetro do pino para realizar o gancho na armadura de tração é dado na tabela (∅p) 7.
Bitola (mm)
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
-
∅ < 20 4 ⋅ ∅ 5 ⋅ ∅ 6 ⋅ ∅
∅ ≥ 20 5 ⋅ ∅ 8 ⋅ ∅
Ancoragem dos estribos
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais
soldadas. Os ganchos dos estribos podem ser:
semicirculares ou em ângulo de (interno), com ponta reta de comprimento igual porém não inferior
a 
em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a porém não inferior a (esse tipo
de gancho não pode ser utilizado para barras e �os lisos).
45∘ a5 ⋅ ϕt,
5cm;
10 ⋅ ϕt, 7cm
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo igual ao valor apresentado na tabela 8.
Bitola(mm)
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
-
-
≤ 10 3 ⋅ ∅t 3 ⋅ ∅t 3 ⋅ ∅t
10 < ∅ < 20 4 ⋅ ∅t 5 ⋅ ∅t
≥ 20 5 ⋅ ∅t 8 ⋅ ∅t
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 Tabela 8: Diâmetro do pino de dobramento para estribos. 
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.40.
Emendas
Em alguns casos, pode ocorrer de serem necessárias emendas de barras, como quando o comprimento da viga
contínua for maior do que o comprimento da barra de aço. Nesses casos, o engenheiro projetista pode optar por:
Emenda por transpasse (mais usual).
Emenda por luvas com preenchimentometálico, rosqueadas
ou prensadas.
Emenda por solda.
Emenda por outros dispositivos devidamente justi�cados.
A emenda por transpasse não é permitida para barras de bitola maior que 32mm, e cuidados especiais devem ser
tomados na ancoragem e na armadura de costura dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de
seção inteiramente tracionada). No caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não pode
ser superior a 45mm.
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 Tabela 9: Valores do coe�ciente 
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.43.
 Imagem 33: Emendas supostas como na mesma seção transversal.
O comprimento de transpasse para barras tracionadas da armadura longitudinal é dado por:(l0t)
lot = α0t ⋅ lb, nec  ≥ l0t, min 
Onde o é o coe�ciente relacionado com o percentual de barras emendadas (veja tabela 9) e o comprimento de
transpasse mínimo é máximo valor entre:
α0t
(l0t)
0, 3 ⋅ α0t ⋅ lb.bás
15 ⋅ ∅
20cm
Barras emendadas na mesma seção (%)
1,2 1,4 1,6 1,8 2
< 20
> 20
≤ 25
> 25
≤ 35
> 35
≤ 50
> 50
α0t
α0t
Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais
próximas estejam afastadas menos de 20% do comprimento do trecho de transpasse, como na imagem a seguir.
Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de transpasse deve ser calculado pela barra de maior
diâmetro.
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser
emendadas na mesma seção.
Para mais informações sobre transpasse e emendas em barras, consulte a ABNT NBR 6118:2014, item 9.5.    
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 Imagem 34: Detalhamento do projeto da viga V4.
DETALHAMENTO DO PROJETO DA VIGA
A imagem a seguir ilustra como deve ser apresentado o detalhamento do projeto de uma viga. Todas as barras
precisam estar acompanhadas da numeração que apresenta sua posição (N1, N2, N3, etc.), do seu comprimento
total e do comprimento de cada parte reta da barra. Além disso, é preciso indicar o diâmetro e a quantidade de
barras.
Para os estribos, deve ser informado no comprimento longitudinal da viga qual o seu diâmetro e a ocorrência. No
exemplo ilustrado, temos estribos com diâmetro de 5mm espaçados em 22cm. Estão na posição N5 e, além da
indicação na viga longitudinal, é preciso representá-los em cortes esquemáticos, como o corte A e o corte B, que
indicam o comprimento de cada parte reta do estribo e seu comprimento total. Embora não esteja representada
nessa imagem, é comum acrescentar a quantidade de estribos na viga.
Na armadura longitudinal, é possível identi�car os ganchos de ancoragem nos apoios e as emendas de transpasse
no encontro das barras. Também é preciso indicar a posição da barra (N1, N2, N3 e N4) e informar o diâmetro, o
comprimento de cada parte reta e o comprimento total da barra.
No projeto estrutural das vigas, também é comum apresentar uma tabela de resumo de cada posição das
armaduras utilizadas para o dimensionamento informando posição, bitola, quantidade de barras e o comprimento
unitário e total. Veja a imagem a seguir.
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 Imagem 35: Tabela resumo da armação da viga V4.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Dado o detalhamento do projeto de viga a seguir, marque a opção correta a respeito da
armadura longitudinal da viga V11.
 
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A armadura negativa é composta por quatro barras de 10mm.A)
A armadura negativa é composta por duas barras de 10mm.B)
É representada pelas posições N2 e N4.C)
Estão afastadas a cada 15cmD)
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Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
A armadura negativa é posicionada na face superior da viga e, portanto, composta por quatro
barras de 10mm. A posição N4 refere-se aos estribos (armadura transversal) que estão
afastados a cada 15cm e apresentam diâmetro de 5mm.
2. Dado o detalhamento do projeto de viga a seguir, o comprimento total de cada estribo
é:
Estão afastadas a cada 15cm.D)
É composta por barras de 5mm.E)
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600cmA)
90cmB)
83cmC)
21cmD)
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Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
O estribo está representado pelo corte A e posição N4, portanto seu comprimento total é de
83cm.
21cmD)
15cmE)
Obrigado pelo feedback!

CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui você desenvolveu habilidades para a elaboração do detalhamento das vigas do seu projeto em concreto
armado. Agora você já é capaz de dimensionar, realizar veri�cações de deslocamento e detalhar o projeto de uma
viga. O detalhamento da viga vai indicar ao engenheiro de execução como deve ser construída a viga por você
dimensionada.
Os engenheiros calculistas trabalham cotidianamente com os exemplos de aplicação que vimos: pré-
dimensionamento, determinação de esforços em estruturas, veri�cação de �echas, cálculo das armaduras
longitudinal e transversal e o detalhamento do projeto �nal. Você verá como os assuntos tratados aqui estarão
presentes no seu dia a dia de engenheiro calculista.  
 PODCAST
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Agora, a especialista Larissa Camporez Araújo fará um resumo sobre o conteúdo abordado.
0:00 3:33
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118: projeto de estruturas de concreto –
procedimento. Rio de Janeiro, RJ: ABNT, 2014. 
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014.
4. ed. São Carlos, SP: EdUFSCar, 2014. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2010. 
PARIZOTTO, L. Concreto armado. Porto Alegre, RS: SAGAH, 2017.
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Pesquise a dissertação de mestrado Arranjos de armaduras para estruturas de concreto armado e veja como
Eliane Fiorin aborda a importância do arranjo dos detalhamentos em estruturas de concreto armado.
CONTEUDISTA
Larissa Camporez Araújo
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