Circuitos Elétricos I - Atividade A3 - REV01

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CIRCUITOS ELÉTRICO I 
 
ATIVIDADE A3 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALAFE COPA 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
ENUNCIADO 
 
Circuitos de primeira ordem são aqueles compostos de apenas um tipo de armazenador de 
energia (indutores e capacitores); sendo assim, suas equações de tensão e corrente são 
compostas por derivadas de primeira ordem. 
 
Dessa maneira, vemos que, durante a análise de um circuito de primeira ordem, temos 
similaridades quando comparamos um circuito RC e um circuito RL. 
 
Argumente sobre o processo de análise de um circuito de primeira ordem, quais são os passos 
para se obter uma resposta natural em um circuito RC, como a corrente e a tensão se 
comportam nesse estado e quais são as similaridades desse processo de análise dessa mesma 
resposta para um circuito RL. 
 
 
 
RESPOSTA 
 
Existem dois tipos de circuitos simples de primeira ordem, um resultante da associação 
entre resistor e capacitor, denominado de circuito RC, e outro resultante da associação entre 
resistor e indutor, denominado circuito RL. 
Quando as leis de Kirchhof são aplicadas em circuitos puramente resistivos, as equações 
que descrevem o comportamento do circuito são algébricas, enquanto a aplicação dessas 
mesmas leis em circuitos RC e RL são descritas por equações diferenciais. 
Essas equações diferenciais são denominadas na matemática de equações de primeira 
ordem, porque possuem apenas função com a primeira derivada. Por esse motivo, os circuitos 
RC e RL também são denominados de circuitos de primeira ordem. 
Existem duas maneiras de excitar esses circuitos, uma utilizando fontes contínuas e 
independentes, e outra sem fontes, quando a fonte CC é desconectada abruptamente. 
Em um circuito RC sem fonte, a energia armazenada no capacitor é liberada e dissipada 
pelo resistor. O objetivo dessa análise de circuito, é determinar o comportamento das tensões e 
correntes seguindo os passos abaixo e encontrar resposta natural de um circuito RC: 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
 
1. Determine a tensão inicial no capacitor, denominada de V0; 
2. Aplicar a lei de Kirchhoff das tensões, ou leis das malhas, para obtenção da equação 
diferencial; 
3. Resolver a equação diferencial para obtenção da função v(t), sendo tensão ao longo do 
tempo; 
4. Utilizar a função V(t) para obtenção da função da corrente I(t); 
 
Portanto, aplicando a lei das malhas, temos que: 
 
𝑉𝐶 + 𝑉𝑅 = 0 (1) 
 
Onde 𝑉𝐶 e 𝑉𝑅 são as quedas de tensões no capacitor e resistor respectivamente. Como o valor 
da corrente no resistor é equivalente ao modulo da corrente no capacitor, temos que: 
 
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 ∙ 𝑅 = 𝐼𝐶 ∙ 𝑅 (2) 
 
Substituindo a equação (1) na (2), temos: 
 
𝑉𝐶 + 𝐼𝐶 ∙ 𝑅 = 0 (3) 
 
Sabendo que: 
 
𝐼𝐶 = 𝐶 ∙
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
 (4) 
 
Substituindo a equação (4) na equação (3), temos: 
 
𝑉𝐶 + 𝐶 ∙
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
∙ 𝑅 = 0 
 
𝑅 ∙ 𝐶 ∙
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
+ 𝑉𝐶 = 0 (5) 
 
Para resolução dessa equação de 1° ordem, faz-se necessário ajustar a equação para o formato 
abaixo: 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ 𝑃 ∙ 𝑉𝐶 = 𝑄 
 
Onde P e Q podem ser constantes ou funções dependentes do tempo. Portanto, dividindo 
todos os membros da equação por R.C, temos: 
 
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
+ 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑉𝐶 = 0 
 
Utilizando os métodos de integração, vamos resolver a equação diferencial de 1° ordem: 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
 
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
= − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑉𝐶 
 
Separando as variáveis em cada membro: 
 
𝑑𝑉𝐶
𝑉𝐶
= − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑑𝑡 
 
Integrando ambos os lados: 
 
∫
𝑑𝑉𝐶
𝑉𝐶
= ∫ − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑑𝑡 
 
Resolvendo a integral temos: 
 
ln(𝑉𝐶) + 𝐶1 = − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑡 + 𝐶2 
 
ln(𝑉𝐶) = − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑡 + 𝐶2 − 𝐶1 
 
Fazendo a parte da equação 𝐶2 − 𝐶1 equivalente a 𝐶, temos: 
 
ln(𝑉𝐶) = − 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑡 + 𝐶 
 
Aplicando as propriedades no logaritmo neperiano, temos: 
 
𝑉𝐶 = 𝑒
𝐶 ∙ 𝑒− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
Como 𝑒𝐶 é uma constante, podemos representá-la pela letra k: 
 
𝑉𝐶 = 𝑘 ∙ 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
Para encontrar o valor de k, faz-se necessário analisar os circuitos nas condições iniciais, onde 
t=0. Nesse momento, sabe-se que a tensão no capacitor se encontra no valor máximo, que 
iremos denominar de 𝑉0. Portanto: 
 
𝑉0 = 𝑘 ∙ 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
∙0 
 
𝑉0 = 𝑘 ∙ 𝑒
0 
 
𝑉0 = 𝑘 ∙ 1 
 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
𝑉0 = 𝑘 
 
Então, a equação que descreve o comportamento da tensão em função do tempo é: 
 
𝑉𝐶(𝑡) = 𝑉0 ∙ 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
A partir da função da tensão, é possível encontrar a corrente no capacitor, derivando a tensão 
em função do tempo e multiplicando pela capacitância: 
 
𝐼𝐶 = 𝐶 ∙
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
 
 
𝐼𝐶 = 𝐶 ∙ 𝑉0 ∙ (−1) ∙ 
1
𝑅𝐶
∙ 𝑒− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
𝐼𝐶(𝑡) = −
𝑉0
𝑅
∙ 𝑒− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
Os gráficos que descrevem o comportamento da tensão e corrente são caracterizados por uma 
queda exponencial, conforme projetados abaixo para 𝐶, 𝑉0, 𝑅 equivalentes a 1: 
 
 
 
Para um circuito RL, o processo de obtenção das funções da corrente e tensão é exatamente o 
mesmo, com a diferença que a função resolvida pela equação diferencial é da corrente, uma 
vez que o indutor armazena energia em forma de campo magnético descarregada através da 
corrente. A seguir, iremos demonstrar essa semelhança. Para essa análise, é necessário seguir 
os passos abaixo e encontrar resposta natural de um circuito RL: 
 
1. Determine a corrente inicial no indutor, denominada de I0; 
2. Aplicar a lei de Kirchhof das tensões, ou leis das malhas, para obtenção da equação 
diferencial; 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
3. Resolver a equação diferencial para obtenção da função I(t), sendo corrente ao longo do 
tempo; 
4. Utilizar a função I(t) para obtenção da função da tensão V(t); 
 
Aplicando a leis das malhas, para um circuito RL genérico, temos que: 
 
𝑉𝐿 + 𝑉𝑅 = 0 (6) 
 
Onde 𝑉𝐿 e 𝑉𝑅 são as quedas de tensões no indutor e resistor respectivamente. Como o valor da 
corrente no resistor é equivalente ao modulo da corrente no indutor, temos que: 
 
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 ∙ 𝑅 = 𝐼𝐿 ∙ 𝑅 (7) 
 
Substituindo a equação (6) na (7), temos: 
 
𝑉𝐿 + 𝐼𝐿 ∙ 𝑅 = 0 (8) 
 
Sabendo que: 
 
𝑉𝐿 = 𝐿 ∙
𝑑𝐼𝐿
𝑑𝑡
 (9) 
 
Substituindo a equação (9) na equação (8), temos: 
 
𝐿 ∙
𝑑𝐼𝐿
𝑑𝑡
+ 𝐼𝐿 ∙ 𝑅 = 0 
 
𝐿 ∙
𝑑𝐼𝐿
𝑑𝑡
 + 𝑅 ∙ 𝐼𝐿 = 0 (10) 
 
Para resolução dessa equação de 1° ordem, faz-se necessário ajustar a equação para o formato 
abaixo: 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ 𝑃 ∙ 𝑉𝐶 = 𝑄 
 
Onde P e Q podem ser constantes ou funções dependentes do tempo. Portanto, dividindo 
todos os membros da equação por L, temos: 
 
𝑑𝐼𝐿
𝑑𝑡
+ 
𝑅
𝐿
∙ 𝐼𝐿 = 0 
 
Chegamos ao mesmo formato da equação diferencial da tensão no capacitor. Resolvendo a 
equação diferencial de primeira ordem, temos o seguinte resultado: 
 
𝐼𝐿(𝑡) = 𝐼0 ∙ 𝑒
− 
𝑅
𝐿
∙𝑡 
 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
Onde 𝐼0 é a corrente inicial no indutor. A partir da corrente, é possível obter a tensão no indutor 
integrando a função da tensão no tempo e multiplicando pela Indutância: 
 
𝑉𝐿 = 𝐿 ∙
𝑑𝐼𝐿
𝑑𝑡
 
 
𝑉𝐿 = 𝐿 ∙ 𝐼0 ∙ (−1) ∙ 
𝑅
𝐿
∙ 𝑒− 
𝑅
𝐿
∙𝑡 
 
𝐼𝐶(𝑡) = −𝐼0 ∙ 𝑅 ∙ 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
∙𝑡 
 
Os gráficos que descrevem o comportamento da tensão e corrente são caracterizados por uma 
queda exponencial, conforme projetados abaixo para 𝐿, 𝐼0, 𝑅 equivalentes a 1: 
 
 
 
Sendo assim, é possível perceber as similaridades no processo de análise do circuito RL com o 
circuito RC. Dentre essas semelhanças estão: 
 
• Cálculos de valores iniciais, no caso do RL é a corrente e no caso de RC é detensão; 
• Ambas são função dependentes no tempo, para o circuito RL a corrente e RC a tensão; 
• Ambas são obtidas e resolvidas utilizando equações diferenciais de primeira ordem; 
• Ambas são descritas por funções exponenciais;