Questão resolvida - Um aquário sem tampa de volume V 20 cm tem a base feita de granito e as paredes feitas de vidro Os custos do material para montagem do aquário são 5,00_cm pelo granito e 1,00_cm pe

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Um aquário sem tampa de volume tem a base feita de granito e as paredes V = 20 cm³
feitas de vidro. Os custos do material para montagem do aquário são pelo $ 5, 00 / cm²
granito e pelo vidro. Determine as dimensões do aquário que minimizam o $ 1, 00 / cm²
custo.
 
Resolução:
 
Vamos considerar que o aquário tenha um comprimento , uma largura e uma altura , x y h
como visto na representação abaixo;
 
Com isso, temos que a área superficial desse aquário, que não tem tampa, é;
 
A = xy + 2xh + 2yhs
 
O volume desse aquário é dado pela seguinte expressão:
 
V = xyh
 
 Como o volume deve ser de , a expressão para o volume fica;20 cm³
 
20 = xyh
Isolando , temos;h
 
20 = xyh xyh = 20 h =→ →
20
xy
 
 
x
y
h
(1)
(2)
Substituindo o resultado de 2 em 1, temos;
 
A = xy + 2x + 2ys
20
xy
20
xy
 
Simplificando e reescrevendo a expressão anterior, temos;
Agora, fazemos as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função ;A x, ys( )
 
A x, y = xy + + = xy + + 40x = y - 40x = y - ;s( )
40
y
40
x
40
y
-1
→
𝜕A x, y
𝜕x
s( ) -2
→
𝜕A x, y
𝜕x
s( ) 40
x2
 
= y - = y - 40x = - -2 ⋅ 40x =
𝜕A x, y
𝜕x
s( ) 40
x2
-2
→
𝜕 A x, y
𝜕x
2
s( )
2
-3
→
𝜕 A x, y
𝜕x
2
s( )
2
80
x3
 
= y - = 1
𝜕A x, y
𝜕x
s( ) 40
x2
→
𝜕 A x, y
𝜕x𝜕y
2
s( )
 
A x, y = xy + + = xy + 40y + = x - 40y = x - ;s( )
40
y
40
x
-1 40
x
→
𝜕A x, y
𝜕y
s( ) -2
→
𝜕A x, y
𝜕y
s( ) 40
y2
 
= y - = y - 40y = - -2 ⋅ 40y =
𝜕A x, y
𝜕y
s( ) 40
y2
-2
→
𝜕 A x, y
𝜕y
2
s( )
2
-3
→
𝜕 A x, y
𝜕y
2
s( )
2
80
y3
 
= x - = 1
𝜕A x, y
𝜕y
s( ) 40
y2
→
𝜕 A x, y
𝜕y𝜕x
2
s( )
 
Com isso, devemos, agora, encontrar os valores de para o sistema;x e y
 
= 0 
𝜕A x, y
𝜕x
s( )
 = 0
𝜕A x, y
𝜕y
s( )
Ou seja;
 
 
A = xy + 2x + 2y A = xy + + A x, y = xy + +s
20
xy
20
xy
→ s
40x
xy
40y
xy
→ s( )
40
y
40
x
 
y - = 0 
40
x2
 x - = 0
40
y2
Resolvendo;
 
y - = 0 y =
40
x2
→
40
x2
 
 x - = 0 x =
40
y2
→
40
y2
 
Substituindo 3 em 4, vem;
 
x =
40
40
x2
2
Resolvendo;
= 1 x = 40 x = x ≅ 3, 42 cm→
x
40
3
→
3
→ 40 →
 
Substituindo em 3, temos;
 
y = y ≅ 3, 42 cm
40
3, 42( )2
→
 
Vamos, agora, saber se esses valores de e são pontos de mínimo, para isso acontecer, x y
devemos ter as seguintes condições satisfeitas;
 
H > 0 e H > 01
 Temos, então, que;
 
 
x = x = x = x = ⋅ = = x
40
40
x2
2
→
40
40
x
( )2
2
2
→
40
40⋅40
x4
→
40
1
x
40 ⋅ 40
4 x
40
4
→
x
40
4 3
3
(3)
(4)
 
H = f 3, 42; 3, 42 = = ≅ 2 > 01 xx( )
𝜕 A 3, 42; 3, 42
𝜕x
2
s( )
2
80
3, 42( )3
 
O determinante da matriz Hessina da função também deve ser maior que zero, a matriz 
Hessina de uma função é dada por;
H =
𝜕 f
𝜕x
2
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2 𝜕 f
𝜕y
2
2
 
Vamos encontrar os termos restantes para compor a Hessina:
 
= = ≅ 2
𝜕 f 3, 42; 3, 42
𝜕y
2 ( )
2
𝜕 A 3, 42; 3, 42
𝜕y
2
s( )
2
80
3, 42( )3
 
 
= = 1 e = = 1 
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2 𝜕 A 3, 42; 3, 42
𝜕x𝜕y
2
s( ) 𝜕 f
𝜕y𝜕x
2 𝜕 A 3, 42; 3, 42
𝜕y𝜕x
2
s( )
 
Com isso, podemos fazer o determinante da Hessina;
Assim, como H > 0 e H > 0, x = 3, 42 cm e y = 3, 42 cm são 1
os valores que mínimizam os custos! 
 
Com os valores de mínimo para e , substituindo na expressão 2, calculamos a altura ;x y h
 
h = h ≅ 1, 71 cm
20
3, 42 ⋅ 3, 42
→
 
 
 
2 1
1 2
H = - 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 = - 1 + 4 = 3
 
Finalmente, as dimenssões do aquário que minimizam os custos são:
 
x = 3, 42 cm, y = 3, 42 cm e h = 1, 71 cm
 
 
(Resposta )