Entre_Jovens_Matematica_1_ano_Vol I - Guia_Tutor

Prévia do material em texto

Entre Jovens
Tutor
1o ano do Ensino Médio
GUIA DO TUTOR
Volume I
Matemática
1o ano do Ensino Médio
Entre Jovens 1o ano do Ensino Médio: Guia do Tutor Matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2016.
234 p.; Vol. I.
ELABORAÇÃO DO MATERIAL
Coordenação
Roberta de Oliveira 
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação 
da Educação
Revisão de conteúdo
Grupo Mathema
Produção editorial
Elisa Swartele 
Maria Clara Wasserman 
Renata Buset
 
Pesquisa iconográfica
Tempo Composto
ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO
Coordenação
Marina Rosenfeld
Revisão de texto
Ofício do Texto Projetos Editoriais
Editoração eletrônica
Formato Comunicação
Realização
Instituto Unibanco
CONSELHO DE ADMINISTRAÇÃO
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Rodolfo Villela Marino
Thomaz Souto Corrêa Netto
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Diretoria Executiva
Claudio José C. Arromatte
Cristina Cestari
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
Leila Cristiane B. B. de Melo
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Implementação de Projetos
Maria Julia Azevedo Gouveia
Desenvolvimento e Conteúdos
Lucia Helena Couto
Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Planejamento e Articulação Institucional
Tiago Borba
Administração, Finanças e Tecnologia 
da Informação
Fábio Santiago
UMáRIOS
Introdução
Oficina 1 – Números Naturais e Inteiros
Oficina 2 – Números Racionais
Oficina 3 – Potenciação e Radiciação
Oficina 4 – Revendo Álgebra
Oficina 5 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
Oficina 6 – Grandezas e Medidas
Oficina 7 – Áreas de Figuras Planas
Oficina 8 – Sólidos Geométricos
Oficina 9 – Resolução de Problemas
Oficina 10 – Revisitação
Referências Bibliográficas
Matriz de Referência
Anexos
9
11
24
49
61
82
96
109
133
148
160
170
172
175
9GUIA DO tUtOr
Prezado tutor/professor, 
Este Guia foi elaborado para auxiliá-lo nas atividades de tutoria do “Projeto Entre Jovens” do Instituto 
Unibanco, voltado para os alunos do 1o ano do Ensino Médio da rede pública de ensino.
O Guia está estruturado em Oficinas, cujos temas foram selecionados com base em sua relevância 
e centralidade no currículo de Matemática do Ensino Fundamental. Para esta elaboração, levamos 
em conta temas que são centrais, que os alunos aprendem antes do 1o ano do Ensino Médio em 
cada uma das duas áreas e as habilidades descritas na Matriz de Referência do SAEB – 9o ano do 
Ensino Fundamental.
Os assuntos abordados neste Guia não esgotam a grade curricular do Ensino Fundamental, da 
mesma forma que, cada Oficina não esgota o tema por ela abordado.
As Oficinas estão estruturadas de forma a instrumentalizá-lo, do ponto de vista teórico e metodo-
lógico, para uma abordagem adequada do tema proposto.
Cada Oficina deve ser conduzida por você, tutor/professor, de forma a estimular a participação do 
aluno, procurando desafiá-lo permanentemente, provocando-o com perguntas e estimulando-o a 
tentar, ele próprio, resolver as atividades propostas. Sempre que necessário, revisite, brevemente, 
os aspectos teóricos e conceituais relacionados às ferramentas a serem empregadas na resolução 
de uma atividade. Estimule soluções por raciocínios diversos e, ao resolver um problema, procure 
mostrar, quando possível, a diversidade de resoluções.
Em vários pontos do Guia, interrompemos a apresentação para chamar-lhe a atenção para proce-
dimentos a serem adotados ou para erros frequentes cometidos pelos alunos, de forma que você 
enfatize aquelas passagens.
Em cada Oficina, são apresentados problemas diversos que você deverá resolver com os alunos, e 
não para os alunos. Ao final de cada Oficina, são propostas atividades que os alunos devem ser 
encorajados a tentar resolver. Somente depois de os alunos terem trabalhado nessas atividades, 
você deverá resolver com eles.
Cada Oficina foi planejada para ser cumprida em uma semana de atividades. Obviamente, o desen-
volvimento delas dependerá do rendimento do grupo de alunos, mas, conforme possível, tente 
executá-las em uma semana.
Esperamos que este Guia seja útil para seu trabalho em sala de aula.
Bom trabalho!
NTRODUÇÃOI
11GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Ao longo do Ensino Fundamental, os conhecimentos sobre números e operações são desenvolvi-
dos e aprimorados, em diferentes níveis de dificuldade, conforme o objeto estudado. Começando 
com os números naturais, passando para os inteiros, são desenvolvidas as propriedades e as apli-
cações desses números no cotidiano, bem como as operações fundamentais que os envolvem. 
Essas operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamen-
tais para o aluno desenvolver bem a Matemática do Ensino Fundamental e Médio e, por isso, este 
capítulo inicial tem como objetivo recapitular esses saberes.
Existem diferentes técnicas e procedimentos didáticos que criam condições para o aluno compreen-
der determinados conceitos matemáticos. É importante o professor, por vezes usando materiais 
concretos, outras modelando algumas situações, procurar o caminho mais eficiente para alcançar 
os objetivos matemáticos propostos. Nesta Oficina, inicialmente, utilizaremos a resolução de 
problemas estimulando o aluno a criar e a desenvolver suas próprias estratégias, enfatizando a 
Matemática do cotidiano. Existem inúmeras razões para usarmos a resolução de problemas nas 
aulas de Matemática: contribui para a concentração e para a organização do pensamento mate-
mático, além de desenvolver no aluno o hábito de pensar, avaliar situações e mobilizar as ferra-
mentas matemáticas adequadas em cada caso. No cotidiano, são inúmeros os casos nos quais 
aparecem problemas que envolvem as operações com números naturais e inteiros e, por isso, é tão 
importante durante as aulas trabalharmos a capacidade de resolver problemas. Também usaremos 
o jogo de tabuleiro “fatorando”, que objetiva trabalhar a fatoração de um número natural, empre-
gando uma atividade lúdica que promove socialização e estimula o raciocínio lógico dedutivo, 
além da utilização de um algoritmo.
2. Resolução de problemas
O problema a seguir pretende revisar a operação da adição, com base nas informações contidas 
em uma tabela, estimulando a interpretação de dados nela organizados. Além disso, nesse proble-
ma mostraremos que as definições das regras do jogo determinam diferentes vencedores, fazendo 
o aluno perceber que a resolução de determinado problema depende, necessariamente, de como 
o enunciado está proposto. As operações envolvidas são relativamente fáceis, por isso, destaque a 
sua interpretação.
NúMEROS NATURAIS E INTEIROS1
12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche. Veja as 
pontuações alcançadas por eles nessas três partidas.
D21
Partidas 1 2 3
Júlia 12 060 12 200 12 580
Diogo 11 960 11 500 13 500
Carolina 8 020 12 180 14 590
Dependendo da definição da regra que determina o vencedor, vamos decidir qual operação deve-
mos realizar e quais valores estarão envolvidos nessa operação. Vejamos quem vence o torneio em 
cada uma destas regras:
a) Vence quem ganha mais partidas.
 Neste caso, teremos que verificar qual dos valores é maior em cada partida, para que possamos 
definir quem venceu o maior número de partidas. Na primeira partida, observando a tabela, 
Júlia foi a que fez mais pontos, portanto, ela venceu a partida. Na segunda partida, Júlia venceu 
novamente, pois 12 200 > 12 180 > 11 500. Na terceira partida, quem venceu foi Carolina. 
Conclusão: a vencedora foi Júlia, pois venceu duas partidas das três disputadas.
 Agora, responda quem vence a partida segundo cada uma das seguintes regras:
b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas.
 Neste caso, será a Carolina. Partida 3: 14590 pontos.
c) Vence quem soma maior número de pontos.
 Neste caso, será o Diogo, com 36 960 pontos.
d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.
 Neste caso, será a Carolina, juntando a 2a e a 3a partidas.
No problema seguinte, o aluno utilizará as operações de soma, subtração e multiplicação com 
números naturais e também será estimulado a organizar os dados do problema, compreender o 
significado de cada uma dessas operações e criar sua solução. Revise com ele o algoritmo da mul-
tiplicação, se necessário.
13GUIA DO tUtOr
Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50 000,00. Inicialmente, ela 
gastou R$ 22 000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6 750,00 em equipamentos para a 
cozinha. Depois, ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1 250,00 por lote, e um estoque 
de alimentos congelados, que lhe custou R$ 3 000,00. Com tantos gastos, sobrou dinheiro? Quanto?
D21
Uma boa forma de organizar os dados que compõem o problema é numa tabela. Essa organização 
nos possibilita visualizar os valores e as operações que deverão ser feitas para que a resposta do 
problema seja encontrada.
Gastos Valor unitário (R$) Valor total (R$)
Reforma do restaurante 22 000 22 000
Equipamentos de cozinha 6 750 6 750
3 lotes de refrigerantes 1 250 3 3 1 250
Alimentos congelados 3 000 3 000
Você poderia pensar em outra forma de organizar os dados em uma tabela...
Agora, basta que você some as despesas e verifique se sobrou ou não dinheiro do montante inicial 
de R$ 50 000,00.
R$ 50 000,00 – R$ 35 500,00 = R$ 14 500,00 (montante – despesas).
Vamos reforçar as operações inversas (soma/subtração) e o raciocínio lógico-dedutivo que é 
fundamental para a resolução do próximo problema. Temos ainda de destacar que a figura nos 
remete à representação dos números naturais na reta real, o que é muito importante neste nível 
de ensino.
Problema 3. Paulo, que é muito distraído, partiu de determinado marco quilométrico da estrada 
com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 km, 
leu na placa que estava no marco km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a 
mala no ponto de partida. Com isso, ele teve de voltar para buscá-la.
D19/21 129 km
km
?
km
311
km
400
FO
RM
A
TO
14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
a) De que ponto da estrada Paulo partiu?
 311 – 129 = 182 km
Vamos observar a posição da mala e de Paulo na reta numérica que representa os números naturais.
b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?
 129 + 129 + 129 + 89 = 476 km
No problema anterior, trabalhamos com a localização de pontos na reta natural. Podemos estender 
essa ideia para a reta de representação dos números inteiros que apresentam os números positivos 
à direita do marco “zero” e os números negativos à sua esquerda.
0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
Podemos destacar algumas observações sobre o conjunto dos números inteiros:
» O conjunto dos números inteiros é infinito.
» Todo número inteiro possui um sucessor e um antecessor.
» Subconjuntos dos Inteiros:
 Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...} Inteiros não nulos
 Z = {..., –3, –2, –1, 0} Inteiros não positivos
 Z*– = {..., –3, –2, –1} Inteiros estritamente negativos não nulos
 N+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Naturais não negativos
 N*+ = {1, 2, 3, 4,...} Naturais estritamente positivos não nulos
No próximo problema, vamos revisitar o conceito de número negativo e perceber como esse número 
é interpretado na análise de um gráfico. Destaque os conceitos de lucro e prejuízo, usados em outras 
inúmeras situações matemáticas. Este é o momento de revisarmos as regras de operações de números 
inteiros (soma/subtração e multiplicação/divisão). Essas regras, apesar de importantes em nossos 
estudos, geralmente são confundidas ou mesmo esquecidas pelos alunos. Por isso, é fundamental 
que sejam reapresentadas, não só neste problema, mas em todo momento necessário.
15GUIA DO tUtOr
Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do 
ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los lucros 
negativos.
D41
Lucros de uma rede de supermercados (1o semestre de 2015)
35
30
25
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
meses
lu
cr
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Janeiro
Fevereiro
Março Maio
Abri l
Junho
(Fonte: Departamento financeiro da rede de supermercados).
a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais?
 Abril.
b) Em algum mês, o lucro foi de 45 milhões de reais?
 Não.
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?
 (30) + (15) + (–15) + (–30) + (–15) + (30) = 75 + (–60) = 15 milhões
Para responder a questão acima, será necessário montarmos uma expressão numérica somando todos 
os lucros e prejuízos que estão dispostos no gráfico. Perceba que nessa expressão somamos números 
positivos e negativos, portanto, será necessário relembrarmos como operar com números inteiros.
16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Na soma e na subtração de números inteiros com sinais diferentes, subtraímos o valor 
absoluto das parcelas e repetimos o sinal da parcela de maior valor absoluto.
Exemplos:
» 9 – 4 = 5 (subtraímos 4 de 9 e repetimos o sinal positivo, pois 9 é o maior valor)
» 3 – 8 = –5 (subtraímos 3 de 8 e repetimos o sinal negativo, pois 8 é o maior valor)
No problema a seguir, vamos revisar muitos conceitos. Primeiramente, teremos de transformar as 
sentenças textuais em linguagem matemática, empregando os significados de dobro, triplo, metade 
etc. Também construiremos e resolveremos as expressões numéricas, verificando a necessidade 
de usar parênteses, colchetes ou chaves. Aqui, você pode relembrar as regras operacionais usadas 
na resolução das expressões numéricas. Vamos, ainda, fazer as quatro operações fundamentais 
com números inteiros (prestando atenção às regras de sinais da multiplicação/divisão).
Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor:
D20/D36
a) A soma de –6 com o dobro de 5.
 Para resolver este problema, será importante revermos as regras das operações de multiplicação 
e divisão com números inteiros:
Multiplicação e Divisão de números inteiros
Na multiplicação (ou divisão) de números inteiros de mesmo sinal, fazemos o produto (ou 
divisão) dos termos e consideramos o sinal como positivo.
Exemplos: (+3) ? (+8) = +24 ou (–36)  (–9) = +4
Na multiplicação (ou divisão) de números inteiros com sinais diferentes, fazemos o produto 
(ou divisão) dos termos e consideramos o sinal como negativo.
Exemplos: (–9) ? (+4) = –36 ou (24)  (–8) = –3
17GUIA DO tUtOr
Temos de determinar o valor da expressão:
“A soma de –6 com o dobro de 5”.
Como sabemos que o dobro de um número é esse número multiplicado por 2, escrevemos a se-
guinte expressão:
–6 + (2 ? 5) = –6 + 10 = 4
Agora, você pode também resolver os itens seguintes:
b) A metade da diferença entre –4 e 8.
 (–4) – (8)
2
 = – 12
2
 = –6
c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2.
 2(–3) ? 5(–2) = (–6) ? (–10) = 60
d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8.
 (–6)
2
 – 8 = (–3) – 8 = –11
No próximo problema, teremos a oportunidade de trabalhar com a divisão com resto, já que, no 
jogo “Fatorando”, verificaremos as divisões exatas e os critérios de divisibilidade. Aproveite para 
revisar o algoritmo da divisão e a interpretação de resto e quociente.
Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1 128 soldados até um campo de 
treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos 
caminhões, no mínimo, serão necessários?
D21
1 128  36 = 31 e resto 12. Logo, serão necessários, no mínimo, 32 caminhões.
Observando a situação descrita no problema, podemos perceber que será necessário distribuir os 
soldados nos caminhões disponíveis, por isso, devemos usar a operação da divisão para resolver 
esse problema.
Vamosobservar um exemplo para relembramos o algoritmo da divisão:
7 9 8 2 1
– 6 3 3 8
1 6 8
– 1 6 8
0
18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
» Primeiramente, da esquerda para a direita, verificamos quantos algarismos são necessários 
para efetuarmos a divisão pelo divisor. Neste caso, só com o 7 não seria possível efetuar a 
divisão por 21, então usamos o 79.
» Daí, 21 “cabe” 3 vezes em 79 (com sobra), então fazemos 3 ? 21 = 63 e diminuímos de 79.
» O que sobra vai compor, com o próximo algarismo do dividendo, o novo número que 
devemos dividir por 21. No exemplo, a sobra foi 16, que junto ao algarismo 8 formará o 
número 168 e, em seguida, faremos a divisão de 168 por 21, que dará exatamente 8.
» O resultado dessa divisão é 38, sendo chamado de quociente.
» O resto é zero. Quando isso acontece, dizemos que a divisão é exata e que 798 é divisível 
por 21, ou ainda, que 21 é divisor de 798.
» Quando o resto da divisão é diferente de zero, dizemos que o dividendo não é divisível 
pelo divisor.
Agora, você já pode resolver o problema.
3. O jogo “Fatorando”
O jogo “Fatorando” é uma experiência relatada pela professora Luciane Vieira de Paiva Motokane, 
usada como recurso didático-pedagógico para o ensino de Matemática nas aulas dos 6o e 7o anos 
do Ensino Fundamental. Ele consiste em um tabuleiro com 28 espaços, no qual os alunos devem 
escolher fichas com números primos para dividir um número sorteado.
O uso do jogo “Fatorando” nesta Oficina objetiva desenvolver com os alunos as habilidades de 
divisão, o reconhecimento dos números primos, os critérios de divisibilidade, o algoritmo da fato-
ração de um número, auxiliando a utilização da fatoração, posteriormente, como instrumento 
para o cálculo do MMC, MDC e para as operações com frações.
Componentes:
» Tabuleiro com 28 espaços circulares interligados (Figura 1 do anexo);
» 28 fichas circulares contendo, em cada uma, um número primo (Figura 2 do anexo);
» 20 fichas retangulares (Figura 3 do anexo) contendo, em cada uma, um número para ser 
fatorado, e estando divididas em 3 níveis de dificuldade:
 NÍVEL 1 (FÁCIL) – 5 fichas com números de 2 algarismos (amarelos); 
 NÍVEL 2 (MÉDIO) – 10 fichas com números de 3 algarismos (azuis); 
 NÍVEL 3 (DIFÍCIL) – 5 fichas com números de 4 algarismos (vermelhos).
» Cartela para cálculos (Figura 4 do anexo);
» 2 botões de cores diferentes, um para cada jogador;
» 1 dado.
19GUIA DO tUtOr
Regras:
» Número de participantes: 2 jogadores;
» Cada participante deverá ter um botão;
» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos e 
colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;
» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a 
mesa e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em 
três blocos, com a face voltada para baixo;
» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador 
deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos 
(figura 4 do anexo), conforme ilustra a próxima figura, a seguir;
» O jogo começa com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas 
casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do 
tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;
» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o 
número do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se 
der, ele retira esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos, conforme 
ilustrado na figura a seguir, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em 
sua cartela de cálculo, passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo 
dessa casa do tabuleiro não der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca 
o círculo de volta no tabuleiro, com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro 
jogador. Veja o exemplo:
298
49
20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
» O segundo jogador repete o procedimento anterior, e o jogo continua assim, sucessivamente, 
até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada;
» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).
OBS.: Prevemos um período de aproximadamente 1 hora para o desenvolvimento do Jogo “Fatorando”.
4. Resolva as atividades propostas a seguir:
Nesta etapa, usaremos os conceitos com os quais trabalhamos no Jogo “Fatorando” e nos problemas 
resolvidos na seção 2. Proporemos atividades que relembrem os algoritmos de cálculos de MMC e 
MDC e também a resolução de problemas que envolvam o conteúdo desta unidade.
Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China por volta de 2 200 a.C. Os números 
dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante em suas linhas, colunas e diagonais, 
chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma 
mágica igual a –15:
D20
1) Podem surgir outras soluções.
–15 –14 –13 –6 –5 –4 3 4 5
–6 5 –14
–13 –5 3
4 –15 –4
Atividade 2. Calcule:
D34
a) MMC (16, 20) b) MDC (18, 27, 45)
 a) 80 b) 9
c) MMC (15, 24, 38) d) MDC (12, 32, 45)
 c) 2 280 d) 1 (quando o MDC entre dois números é igual 
a 1, estes são chamados de números primos 
entre si.)
21GUIA DO tUtOr
Atividade 3. A malha a seguir é formada por quadrados de 1 cm de lado. Resolvendo as expressões 
dadas, você vai encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois 
cada resultado corresponde ao número de centímetros que ela vai percorrer.
D1
Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste), ela caminha no sentido positivo, 
e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste), ela caminha no sentido negativo.
origem
oeste
leste
sul
norte
Caminho da cobra:
+5 na horizontal, – (+3) na vertical, –22 na horizontal, (–8)0 na vertical, (–9) ÷ (–3) na horizontal, 
(–2)² na vertical e (5)1 na horizontal.
Marque na malha anterior o caminho percorrido pela cobra.
origem
oeste leste
sul
norte
22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. Diversos cometas passam perto do Sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 
12 anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do Sol, em um 
mesmo ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?
D34
Atividade 4) MMC (12, 15) = 60 anos depois. A coincidência voltará a ocorrer 60 anos depois.
Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora, e os números indicam a dis-
tância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador 
de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja.
D19/D21
–300
Casa de
Elvira
Banco Praça Igreja Padaria Escola Correio
–200 –100 0 100 200 300
a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: caminhou até o correio e, em seguida, foi 
à igreja. Após a missa, comeu um lanche na padaria; dirigiu-se ao banco para pagar uma conta 
e apanhou sua filha na escola. As duas ficaram por algum tempo na praça e, depois, foram para 
casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
 a) 600 m + 300 m + 100 m + 300 m + 400 m + 300 m + 200 m = 2 200 m
b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400 m para a direita, 
300 m para a esquerda, 500 m para a direita, 300 m para a esquerda e 200 m para a esquerda. 
Descreva, segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou.
 b) Padaria → Banco → Correio → Igreja → Banco
Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 m e outro de 240 m de comprimento, precisam ser 
cortados em pedaços iguais e com o maior comprimento possível. Responda:
D18
a) Quanto medirá cada pedaço? 
 a) 40 m.
b) Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo?
 b) 6 e 5 pedaços.
FO
RM
A
TO
23GUIA DO tUtOrAtividade 7. Na reta numérica da figura a seguir, o ponto E corresponde ao número –9 e o ponto 
F, ao inteiro –7.
D19
–9 –7
A B C D E F G H I J K L M
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:
a) sobre o ponto M. c) entre os pontos I e J.
b) entre os pontos L e M. d) sobre o ponto J.
Alternativa c).
Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo por R$ 120,00 cada um, três DVDs por 
R$ 115,00 cada um e um televisor de R$ 2 500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas 
iguais e sem juros. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
D21
a) R$ 120,00 c) R$ 516,00
b) R$ 617,00 d) R$ 716,00
R$ 240,00 + R$ 345,00 + R$ 2 500,00 = R$ 3 085,00
R$ 3 085,00  5 = R$ 617,00 
Alternativa b).
Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, –16 °C. Os 
jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, ainda cairia em 13 °C. Segundo 
essa previsão, a temperatura chegaria a:
D21
a) –29 °C b) –3 °C c) +3 °C d) +13 °C
Alternativa a).
Atividade 10. Seja A = (–5)2 + (–5)3. O valor de A é:
D20
a) 125
b) –5 
c) 625
d) –100
 A = 25 + (–125) = –100
Alternativa d).
24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Os números naturais surgiram para auxiliar no processo de contagem, mas na vida cotidiana utilizamos 
também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos de medidas 
usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser quantificadas.
Durante esta Oficina, os exemplos serão apresentados nos problemas. Resolução de problemas 
é uma das grandes dificuldades dos alunos: compreender e transformar a linguagem falada em 
linguagem matemática e verificar se o resultado encontrado é compatível com a pergunta do 
problema. Sempre discuta com seus alunos como a resolução deve ser feita, não dê a resposta 
prontamente. O importante é a construção do conhecimento e, para isso, é preciso que o 
aluno a obtenha com o seu apoio.
2. Frações
O conceito de fração, apesar de ser amplamente utilizado em nosso dia a dia, é de difícil compreen-
são para os alunos. A grande dificuldade, na maioria das vezes, é a forma mecânica e descontextua-
lizada com que o tema é apresentado.
Problema 1. Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. 
Mas, como fazer, se todos devem receber a mesma quantidade?
Como são quatro pessoas, os chocolates serão divididos em quatro partes iguais:
D21
NúMEROS RACIONAIS2
25GUIA DO tUtOr
Agora, é possível que cada um receba a mesma quantidade de chocolate:
Como cada barra foi dividida em quatro partes iguais; cada pedacinho será chamado de um quarto 
da barra. Assim, cada pessoa receberá três quartos de uma barra de chocolate, o que pode ser 
indicado pela fração 
3
4 .
Os alunos devem perceber que uma fração é uma maneira nova de indicar divisões. Neste exemplo, que 
3 ÷ 4 = 
3
4
. Aproveite para explicar o que representa o numerador e o denominador de uma fração.
Problema 2. Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais; o segundo, 
em quatro partes iguais, e o terceiro, em 16 partes iguais, como representado nas figuras a seguir: 
D21
Os três pertencem ao mesmo agricultor, e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro 
com sementes de cenoura; o segundo com alface, e o terceiro com batata. A região colorida nas 
figuras anteriores indica a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá 
maior área semeada?
O objetivo desse problema é tratar de frações equivalentes e da comparação entre elas. Lembre-se 
de não apresentar as frações prontamente, faça com que os alunos as representem. Aproveite, 
também, para trabalhar a simplificação de fração. Peça a eles que tentem comparar as frações da 
maneira como elas estão descritas, a fim de estimular a comparação.
26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Área semeada
No 1o terreno: 
1
2
No 2o terreno: 
2
4
No 3o terreno: 
8
16
Quando os alunos perceberem que todos terão a mesma área semeada, apresente a definição de 
frações equivalentes.
Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Chegando lá, Carlos e 
Pedro escolheram uma pizza de muçarela e pediram para ser repartida em 8 partes iguais. Já Lucas 
e Jonas optaram por outra de calabresa, cortada em 6 partes iguais. No fim da noite, sobrou um 
pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?
D21/D34
O importante nesse exemplo é a passagem para a linguagem matemática. Seus alunos devem 
representar em forma de fração o problema apresentado. Além disso, com esse problema, você 
pode explicar, detalhadamente, o método de redução ao mesmo denominador.
Carlos e Pedro comeram 
7
8
 de sua pizza. Lucas e Jonas comeram 
5
6
. Qual é a maior fração?
MMC (6, 8) = 24
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 6 = 4
21
24
 > 
20
24
 ⇒ 
7
8
 > 
5
6
Portanto, Carlos e Pedro comeram mais.
Existe outra maneira de resolver esta questão.
Vamos achar as frações equivalentes a:
7
8
 = 
14
16
 = 
21
24
 = 
28
32
5
6
 = 
10
12
 = 
15
18
 = 
20
24
 = 
25
30
Como 
21
24
 > 
20
24
. Podemos afirmar que Carlos e Pedro comeram mais do que Lucas e Jonas.
Procure valorizar as diferentes formas de resolução.
Repare que sobrou um pedaço de cada pizza, ou seja, sobrou 
1
8
 de uma pizza e 
1
6
 de outra. Logo, 
sobrou mais pizza de calabresa. Portanto, Carlos e Pedro comeram mais.
Para trabalhar as operações com frações, apresentaremos problemas que ocorrem no cotidiano. 
Você pode acrescentar mais alguns, caso perceba que seus alunos ainda estão com dificuldade. 
Mas, lembre-se sempre de fazer com eles, e não para eles. Questione, incentive, estimule seus 
alunos a pensar com você. Isso é o mais importante nesse processo.
7 ? 3
8 ? 3
 = 
21
24
 
5 ? 4
6 ? 4
 = 
20
24
27GUIA DO tUtOr
Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em 
outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação? 
Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta 
ainda resta para tal plantação?
D21
Expressando a parte já plantada do terreno em forma de frações, temos:
5
12
 + 3
12
 = 8
12
Podemos, também, expressar a parte que ainda falta para plantar:
12
12
 – 8
12
 = 4
12
Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de 
chocolate para vender aos alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho; 
um deles dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços, e o outro dividiu em 8 partes iguais e 
vendeu apenas 1 pedaço. Qual fração representa o quanto foi vendido de bolo de chocolate 
naquele dia?
D21/D34
Para responder a essa pergunta, devemos efetuar a seguinte soma:
5
12
 + 1
8
28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Mas, como? Já vimos que, para comparar frações com denominadores diferentes, devemos 
reduzir as frações ao mesmo denominador. O mesmo procedimento deve ser adotado para 
somar essas frações:
MMC (8, 12) = 24
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 12 = 2
Agora, podemos somar essas frações que são equivalentes às iniciais:
5
12
 + 1
8
 = 10
24
 + 3
24
 = 13
24
O mesmo procedimento deve ser realizado no caso de subtração de frações com denominadores 
diferentes.
Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e o dividiu igualmente 
entre eles. Após alguns anos, Júlio, o filho mais velho, decidiu dividir seu terreno entre seus três 
filhos. Em relação ao terreno original, qual fração representa a quantidade que cada um receberá?
Cada filho de seu Jorge receberá 1
5
 do terreno.
D21
1
5
Júlio dividiu sua parte em três partes iguais. Com isso, cada filho de Júlio ficou com 1
3
 de 1
5
 
do terreno.
1
3
1
5
Logo, em relação ao terreno todo, cada um ficou com 1
15
 terreno. Então 1
3
 ? 1
5
 = 1
15
.
5 ? 2
12 ? 2
 = 
10
24
 
1 ? 3
8 ? 3
 = 
3
24
29GUIA DO tUtOr
Problema7. Uma pesquisa foi encomendada para analisar a preferência de moradores de uma 
cidade por esportes. 
3
4
 dos entrevistados gostam de futebol e metade desses 
3
4
 gostam também 
de vôlei. Qual fração representa os entrevistados que gostam de vôlei?
D21
3
4
metade de 
3
4
 é
3
8
O que em linguagem matemática é representado por:
1
2
 ? 3
4
 = 3
8
Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações.
Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família? 
40 ÷ 10 = 4
Cada família receberá 4 litros de leite.
Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?
40 ÷ 1 = 40
Serão necessárias 40 jarras.
E se tivessemos canecas de 
1
2
 litro cada uma, quantas serão necessárias? Podemos pensar assim: com 
cada litro de leite é possível encher 2 canecas; então, com 40 litros poderemos encher 40 ? 2 = 80 
canecas.
40 ÷ 
1
2
 = 80
E se tivermos copos de 250 m,, isto é, 
1
4
 de litro cada um, quantos serão necessários? Podemos 
raciocinar da seguinte maneira: com cada litro de leite podemos encher 4 copos, então, com os 
40 litros poderemos encher 40 ? 4 = 160 copos.
40 ÷ 
1
4
 = 160
30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
E se tivermos garrafas de 
4
5
 de litro, quantas serão necessárias? Podemos pensar assim: para encher 
5 garrafas são necessários 4 litros de leite, porque 5 ? 
4
5
 = 4. Dessa forma, dividindo os 40 litros em 
partes, cada uma de 4 litros, obtemos 10 partes. Cada parte enche 5 garrafas. Então, como 10 ? 5 = 50, 
serão necessárias 50 garrafas.
40 ÷ 
4
5
 = 50
Vamos observar novamente todas as divisões que fizemos:
40 ÷ 10 = 4 = 
40
10
 = 40 ? 
1
10
, então 40 ÷ 10 = 40 ? 
1
10
40 ÷ 1 = 40 = 
40
1
 = 40 ? 1, então 40 ÷ 1 = 40 ? 1
40 ÷ 
1
2
 = 80 = 40 ? 2, então 40 ÷ 
1
2
 = 40 ? 2
40 ÷ 
1
4
 = 160 = 40 ? 4, então 40 ÷ 
1
4
 = 40 ? 4
40 ÷ 
4
5
 = 50 = 10 ? 5 = 
40
4
 ? 5 = 40 ? 
5
4
, então 40 ÷ 
4
5
 = 40 ? 
5
4
Problema 8. Para repartir 
25
4
 de litro de leite em copos de 
2
5
 de litro, quantos copos serão necessários?
D21
25
4
 ÷ 
2
5
Para encher 5 copos, precisamos de 2 litros de leite, pois 5 ? 
2
5
 = 2. Dessa forma, dividindo 
25
4
 em 
partes de 2 litros, cada parte enche 5 copos. Veja como fica esta divisão:
25
4
 ÷ 2 = 
25
4
 ? 
1
2
 = 
25
8
31GUIA DO tUtOr
Como 
25
4
 dividido em partes de 2 litros é 
25
8
, para saber quantos copos serão necessários, basta 
efetuar a multiplicação.
25
8
 ? 5 = 125
8
Agrupando as operações feitas, temos: 
25
4
 ÷ 2
5
 = [25
4
 ÷ 2] ? 5 = [25
4
 ? 1
4
] ? 5 = 25
8
 ? 5 = 125
8
Então,
25
4
 ÷ 2
5
 = 25
4
 ? 2
5
 = 125
8
Serão necessários 125
8
 copos, ou seja, aproximadamente 16 copos.
Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha 
1
4
 de litro a mais 
em comparação com as garrafas comuns que contêm um litro. Comparando a garrafa antiga e a 
nova, qual fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando como 
unidade um copo de 250 m,?
D21
A fração maior que a unidade normalmente causa estranheza aos alunos. “Como posso repartir 
algo em quatro partes e pegar cinco?”. Com esse problema, questões desse tipo podem ser facilmente 
compreendidas. Aproveite para falar sobre fração imprópria e número misto.
250 m, = 1
4
 de litro.
Garrafa antiga: 1 litro ou 
4
4
 de litro
Garrafa nova: 1 litro + 250 m, ou 4
4
 de litro + 1
4
 de litro ⇒ 1,250 litros ou 5
4
 de litro
Portanto, a fração que representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa é 5
4
 de litro.
32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3. Numerais na forma decimal
As frações decimais e os números na forma decimal estão presentes em nossa vida. Muitas vezes, 
nem percebemos a utilidade deles, mas aparecem em várias situações práticas. Nos supermercados, 
nos jornais, nas farmácias, nas medidas, em gráficos etc.
É preciso que o aluno seja capaz de identificar e compreender a importância do valor posicional no 
estudo dos números decimais. As operações com decimais, também, são importantes e muito 
aplicadas ao cotidiano.
Um material muito usado nas escolas no estudo de números decimais é o chamado Material 
Dourado. Ele foi criado na Itália por uma professora chamada Maria Montessori para ajudar as 
crianças a aprender melhor. É composto de quatro tipos de peças, conforme representados a seguir:
cubo placa barra cubinho
Caso você tenha acesso a esse material, leve-o para a sala de aula e trabalhe os decimais com ele. 
No caso, a unidade será o cubo, e as outras partes representarão a parte decimal.
Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim, 
conforme mostra a figura.
D21
Construção
Construção Jardim
Construção
33GUIA DO tUtOr
a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação 
ao terreno todo.
 PC: 3
4
 e J: 1
4
b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída.
 J: 1
3
c) Qual número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo?
 
1
4
 = 0,25.
d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?
 
1
3
 = 0,333333... = 0,3
Neste momento, você deve introduzir as dízimas periódicas. Mostre como encontrar a geratriz de 
uma dízima.
Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística:
D21
Atleta Pontos
Aline 8,72
Bia 9,25
Cláudia 9,36
Diana 8,725
Eloá 9,32
Flávia 8,728
Qual foi a ordem de classificação das atletas?
Mostre a seus alunos que a comparação entre números decimais é feita comparando os algarismos 
que estão em cada casa decimal; devemos completar com zeros as que estão vazias.
Ordem Atleta
1a Cláudia
2a Eloá
3a Bia
4a Flávia
5a Diana
6a Aline
34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 12. Sr. José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5 kg de arroz por R$ 10,89, 
1 kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar 
a conta, seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu 
de troco?
D21
Para saber quanto foi gasto, devemos efetuar a operação 10,89 + 12,65 + 2,99. Para fazer este 
cálculo, procedemos assim:
 10,89
+ 12,65
 02,99
 26,53
Repare que todas as vírgulas estão alinhadas, que a casa vazia foi preenchida com o zero e a adição 
realizada como se tratasse de números naturais. Mas é preciso ficar atento! Quando trabalhamos 
com adição e subtração de decimais, comumente percebemos que os alunos armam a conta de 
forma incorreta, não se preocupando com o alinhamento das vírgulas. Isso acontece quando eles 
não reconhecem a vírgula como o objeto de separação entre a parte inteira e a parte decimal de 
um número.
Agora, para saber qual foi o troco recebido, devemos efetuar a operação 50,00 – 26,53:
 50,00
–
 26,53
 23,47
O procedimento é igual ao da adição, no caso da subtração.
Problema 13. Ao sair do mercado, Sr. José lembrou-se de que deveria ter comprado muçarela. 
No caminho para casa, passou em uma padaria e comprou 250 g do queijo, que custava R$ 14,99 
o quilo. Quanto pagou pelo queijo?
D21
O primeiro procedimento é transformar gramas em quilogramas.
250 g = 0,250 kg
Logo, a operação que devemos efetuar é 0,250 ? 14,99.
35GUIA DO tUtOr
1 4, 9 9
3 0, 2 5 0
7 4 9 5 0
1 2 9 9 8
0 0 0 0
0 3, 7 4 7 5 0
Repare que multiplicamos os decimais como se fossem números naturais e damos ao produto tan-
tas casas decimais quanto seja a soma das casas decimais dos fatores.
Mais uma vez, fique bem atento: muitos alunos deixam de deslocar a casa decimal durante a mul-
tiplicação.
Como estamos nos referindo a dinheiro, é preciso arredondar este valor para duas casas decimais. 
Portanto, o valor pago pelo queijo foi de R$ 3,75.
Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível. 
Por exemplo,se o carro faz 14 km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7 km por litro. Isso por-
que 14 ÷ 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5 km com 35 litros 
de combustível?
D21
Para saber, precisamos efetuar a operação 304,5 ÷ 35. Mas como? Veja esta propriedade da divisão:
42 ÷ 7 = 6
420 ÷ 70 = 6
4 200 ÷ 700 = 6
Percebeu? Multiplicando dividendo e divisor por um mesmo número, o quociente não muda.
Para efetuar a divisão com decimais, utilizamos essa propriedade. Vamos, então, calcular o consumo 
médio do carro em questão. Veja como:
304,5 35
Multiplicando o dividendo e o divisor por 10, obtemos:
3045 350
 2450 8,7
 0
Depois que retiramos as vírgulas, a divisão é feita normalmente, como ocorre entre números inteiros. 
Portanto, o rendimento médio do carro é de 8,7 km por litro.
36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. O conjunto dos Números Racionais (Q)
Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em 
forma de fração, como razão entre dois números inteiros. Esses números formam o conjunto dos 
números racionais, que é representado pela letra lQ.
Os números racionais na reta
Antes de ensinar aos seus alunos como localizar os racionais na reta numérica, você pode estimular 
a imaginação deles, desenhando a reta numérica no quadro, marcando os inteiros e fazendo algumas 
perguntas, como, por exemplo:
» Qual é o menor número inteiro positivo?
» E qual é o menor número positivo?
» Quantos números existem entre 0 e 1?
» Onde fica localizado o número 0,1 na reta numérica? E 0,01?
Ao discutir e responder a essas perguntas, os alunos terão seu primeiro contato com a localização 
de números racionais na reta numérica.
Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para o positivo, podemos 
localizar na reta qualquer número racional. Veja a localização de 
2
3
; –1,5; 3,25; –2,6 e 2,333... :
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–2,6 –1,5 2,333... 3,25
2
3
» 
2
3
 se localiza entre 0 e 1: dividimos o intervalo em três partes iguais e tomamos a segunda 
subdivisão no sentido positivo.
» –1,5 se localiza entre –2 e –1: é o ponto médio do intervalo, portanto dividimos o intervalo 
em duas partes iguais.
» 3,25 se localiza entre 3 e 4: como 0,25 = 
1
4
, então, dividimos o intervalo em quatro partes 
iguais e tomamos a primeira subdivisão no sentido positivo.
» –2,6 se localiza entre –3 e –2: como 0,6 = 3 ? 0,2 = 3 ? 
1
5
, então, dividimos o intervalo em 
cinco partes iguais e tomamos a terceira subdivisão no sentido negativo.
» 2,333... se localiza entre 2 e 3: como 0,333... = 
1
3
, então, dividimos o intervalo em três 
partes iguais e tomamos a primeira subdivisão no sentido positivo.
37GUIA DO tUtOr
5. Porcentagem
O tema porcentagem é recorrente em toda a Matemática e surge nas mais diversas situações. Este 
é um assunto trabalhado ao longo do Ensino Fundamental e deve ser devidamente compreendido, 
pois está presente em problemas diversos, relacionados a diferentes saberes matemáticos, além de 
ser uma ferramenta muito empregada na vida cotidiana.
Objetivamente, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.
Por exemplo, “sete por cento” escreve-se como “7%” e significa “sete centésimos”, isto é, 7% = 
7
100
Sempre que se menciona “sete por cento” imagina-se 7% de determinada grandeza. Nesse caso, 
imaginam-se sete centésimos dessa grandeza.
Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente saber os significados das mais frequen-
temente utilizadas.
Porcentagem 10% 20% 25% 50% 100%
Significado
1
10
1
5
1
4
1
2
1
Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar 
R$ 400,00, então, essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual é o quádruplo 
do preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto, o aumento 
foi de R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 ? R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 
300% em relação ao preço original.
Em determinados contextos, não faz sentido citar porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, 
não faz sentido mencionar um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um des-
conto superior ao preço do produto. Entretanto, é adequado dizer que um produto teve aumento 
de 140%.
Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, 
a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem 
consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.
38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 1. O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 
3,6%, quanto passou a ser seu novo salário?
D26
Solução:
1o método: 3,6% de R$ 980,00 é 3,6 centésimos de 980, ou seja, é 3,6
100
 ? 980 = 35,28.
Logo, o valor do aumento foi de R$ 35,28. Com isso, o novo salário desse trabalhador passou a ser:
R$ 980,00 + R$ 35,28 = R$ 1 015,28.
2o método: Considerar o salário original como 100% e, somando com 3,6%, obtém-se 103,6%, 
ou seja, o salário com aumento é 103,6% do salário original. Assim, o salário com aumento vale:
103,6
100
 ? 980 = 1,036 ? 980 = 1 015,28, ou seja, R$ 1 015,28.
Problema 2. O preço do ingresso do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$ 11,25. 
Qual era o valor da entrada antes do reajuste?
D26
Solução:
Seja x o preço do ingresso do cinema antes do reajuste. Com o reajuste de 25%, passou a custar:
x + 25
100
 x = 11,25
Resolvendo essa equação, obtém-se:
x + 25
100
 x = 11,25 ⇔ x + 1
4
 x = 11,25 ⇔ 5
4
 x = 11,25 ⇔ x = 4
5
 ? 11,25 = 45
5
 = 9.
ou seja, o ingresso custava R$ 9,00 antes do reajuste.
Outra forma de resolver seria usando uma regra de três simples:
11,25 ------------------------ 125%
 x ------------------------ 100%
x = 9 reais
O ingresso custava R$ 9,00 antes do reajuste.
Problema 3. Em uma empresa, há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcen-
tagem de funcionárias nessa empresa?
D26
Solução:
Nessa empresa há 620 – 341 = 279 funcionárias. Indicando por x% o percentual de mulheres 
nessa empresa, tem-se:
x
100
 ? 620 = 279
39GUIA DO tUtOr
Resolvendo essa equação obtém-se:
x
100
 ? 620 = 279 ⇔ x = 100
620
 ? 270 ⇔ x = 45
Logo, 45% total de funcionários dessa empresa são mulheres.
Outra forma de resolver seria usando uma regra de três simples:
620 ------------------------ 100%
279 ------------------------ x
x = 45 mulheres
Logo, 45% do total de funcionários dessa empresa são mulheres. 
Problema 4. (Enem) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos 
remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, 
os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% 
sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele 
não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, 
qual seria a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:
D26
a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00 e) 4,00
Solução: 
Com a remarcação de preços de todos os produtos, aquele que custava R$ 50,00 antes dessa 
remarcação ganhou um desconto de 20%, que significa uma redução de: 20
100
 ? 50 = 10 reais, 
passando a custar R$ 50,00 – R$ 10,00 = R$ 40,00.
Caso ela tivesse o cartão fidelidade, o cliente ganharia mais 10% de desconto em relação a esse 
último valor, ou seja, 10
100
 ? 40 = 4 reais. Logo, o cliente deixou de ganhar R$ 4,00 por não possuir 
o cartão fidelidade.
Problema 5. (OBMEP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto 
de quanto?
D26
Solução:
a) Desconto de 20% faz com que sobre 80% do valor inicial V 5 80% ? V = 80
100
 V
b) Desconto de 30% sobre o novo preço faz com que este seja 70% do anterior: 70% ? 80%
 70
80
 ? 80
100
 ? V = 56100
 ? V = 56%
Como só restou 56% do valor de V, os descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um 
desconto de 100% − 56% = 44%.
40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 6. (OBMEP) No gráfico, estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V 
em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990, a população da cidade II era 
de 60 000 habitantes e, em 2000, a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
D26
160
1990
2000
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
I II III IV V
0
Qual cidade teve o maior porcentual de população de 1990 a 2000?
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Solução:
As informações do gráfico estão nas três primeiras colunas da tabela a seguir:
Cidade
População 
em 1990
População 
em 2000
Aumento 
da população
Aumento 
proporcional da 
população
I 30 50 50 – 30 = 20
20
30
II 60 50 decresceu não teve
III 70 70 70 – 70 = 0 0
IV 100 150 150 – 100 = 50
50
100
V 120 130 130 – 120 = 10
10
120
Como 20
30
 é maior do que 50
100
 e 10
120
, concluímos que o maior aumento percentual de população, 
entre 1990 e 2000, ocorreu na cidade I.
Na forma percentual, 20
30
 = 67%, 50
100
 = 50% e 10
120
 = 8,3%.
41GUIA DO tUtOr
6. Trio dos Racionais
Para esta oficina, sugerimos o jogo “Trio dos Racionais”. Nele, os alunos devem relacionar três 
maneiras distintas de representar um mesmo número racional. As cartas estão no anexo, ao final 
desta Oficina.
Objetivos:
» Relacionar a imagem de uma fração com suas representações decimais e fracionárias.
» Trabalhar em equipe.
Regras
Participantes: Os alunos devem jogar em equipes formadas por três pessoas.
Cartas: São 30 cartas no total contendo 10 números racionais e suas representações.
Como jogar:
Inicia-se o jogo embaralhando as cartas e colocando-as sobre a mesa, com a face escrita voltada 
para cima.
Os participantes devem observar as cartas por um minuto, tentando localizar os trios de racionais, 
ou seja, as três cartas que representam o mesmo número racional. Após um minuto, viram as faces 
escritas para baixo.
A primeira equipe desvira três cartas. Se elas formarem trio, devem ser retiradas da mesa, e joga-se 
novamente. Se não, a equipe volta a virar as faces para baixo, deixando-as no mesmo lugar. Passa, 
então, a vez para a outra equipe.
O jogo continua até que todas as cartas sejam retiradas da mesa.
As equipes podem utilizar uma folha de rascunho, caso seja necessário efetuar alguma operação.
Vencedor: 
Vence a equipe que conseguir o maior número de trio de cartas.
42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
7. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Observe as figuras a seguir e identifique as que podem ter a parte hachurada repre-
sentada por uma fração:
D22/D23
I II III IV V VI
As questões a seguir referem-se às figuras que representam uma fração:
a) Qual fração representa cada uma delas?
 I) 3
4
 III) 5
8
 IV) 3
6
 VI) 7
4
 Os itens II e V não podem ser representados por frações.
b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas.
 3
4
 = 6
8
 = 9
12
; 5
8
 = 10
16
 = 15
24
; 7
4
 = 14
8
 = 21
12
c) Em relação à resposta do item (a), qual (is) é (são) fração (ões) equivalente (s)?
 3
6
d) Quais são frações irredutíveis?
 3
4
; 5
8
; 7
4
e) Qual pode ser expressa pela fração 
1
2
?
 IV
Atividade 2. Três caixas d´água têm a mesma capacidade. Uma está com 
5
6
 da sua capacidade, 
outra com 
4
7
, e a terceira com 
11
14
. Qual das caixas está mais cheia?
Comparação de frações equivalentes: 5
6
D21/D23
43GUIA DO tUtOr
Atividade 3. O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia, foi 
colocado carpete em 
6
8
 do chão e, no dia seguinte, em 
2
11
.
D21/D23
a) Qual fração representa a parte acarpetada?
 41
44
b) Qual fração representa a parte onde falta colocar carpete? 
 3
44
Atividade 4. A classe de Willian, o 9o ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um 
trabalho de Ciências.
D21
a) Um ônibus com 48 lugares apanhou os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi 
com eles. 
 Se 
5
8
 dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?
 a) 5
6
 ? 48 = 30 ocupados e 18 vazios.
b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos há no 9o ano B?
 b) 34 alunos.
c) A distância da escola ao zoológico é de 12 km. Ao percorrer 
3
4
 dessa distância, furou um dos 
pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico?
 c) 3
4
 ? 12 = 9 km. Faltavam 3 km.
d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 
49 macacos; 
4
7
 são fêmeas. Quantos são os machos?
 d) 4
7
 ? 49 = 28 fêmeas, 21 machos.
e) Num viveiro havia 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os pas-
sarinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e 
5
6
 do restante fugiram. Quantos 
passarinhos sobraram?
 e) Tirando 5 que morreram, sobraram 306. Mas, 5
6
 ? 306 = 255 fugiram. Logo, sobraram 
51 passarinhos.
44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do 
Sr. Antônio: rendimento médio urbano de 12,1 km; rendimento médio na estrada de 16,5 km.
D21
Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3 km na cidade e 198 km na estrada. Calcule a despesa 
com combustível que Sr. Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de 
combustível foi de R$ 2,30.
Na viagem toda:
Na cidade: 2,3 ? 36,3 = 83,49
Na estrada: 2,3 ? 198 = 455,40
Total: R$ 83,49 + 455,40 = R$ 538,89
Gastou com combustível R$ 538,89.
Atividade 6. Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais:
D19
a) 0,1
b) –1,2
c) 3,444...
d) – 
2
5
e) 
10
4
f ) –3,75
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
A E CDBF
4
45GUIA DO tUtOr
Atividade 7. Complete a tabela:
D22
Porcentagem Fração Número decimal
20%
20
100
0,20
60%
3
5 0,6
75%
75
100
0,75
7,5%
7,5
100 0,075
4%
8
200
0,04
125% 125
100
1,25
50%
50
100
0,50
28%
7
4 1,75
2,5%
2,5
100
0,025
46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 8. Calcule:
D20
a) 10% de 50 000 = 5 000
b) 25% de 400 = 100
c) 50% de 258 = 129
d) 80% de 2 700 = 2 160
Atividade 9. Calcule o número em que:
D20
a) 40% é 16 = 40
b) 20% é 30 = 150
c) 15% é 30 = 200
d) 200% é 120 = 60
Atividade 10. (CEFET-CEARá) Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a 
variações no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar 
R$ 225, 00. Qual o preço desse produto antes do aumento?
D26
a) Aumento de 25% resulta que fiquemos com 125% do valor inicial V, ou seja, 125% ? V. 
b) Desconto de 25% sobre o novo preço faz com que este seja 75% do anterior, ou seja, 
125% ? 75% ? V. 
c) Igualando ao valor dado: 125% ? 75% ? V = 225.
 125
100
 ? 175
100
 ? V = 225
 V = 225 ? 100
125
 ? 100
175
 V = 240
 Portanto, V = R$ 240,00.
47GUIA DO tUtOr
Atividade 11. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o 
primeiro semestre de 2012, na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a 
soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
D26
7,6
2,0
10,5
Em
 %
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
10,5
11,3 11,2 10,7 11,0 11,1 11,2
10,6 9,9
9,5 9,0
Aberto/2012
Oculto/2012
Total/2011
2,0
2,0 2,1 2,1 2,2
8,4 9,1 9,1 8,8 9,0
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual 
a essa taxa em dezembro de 2011. 
(Fonte: Disponível em: <www.dieese.org.br>. Acesso em: 1o ago. 2012 – Fragmento). 
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de:
a) 1,1
b) 3,5
c) 4,5
d) 6,8
e) 7,9 ( X )
Supondo que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012,então a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 
foi de 1,1%. 
Supondo que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 tenha sido igual a essa taxa em 
dezembro de 2011, então a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 foi de 9%. 
Logo, a% + 1,1% = 9% → a = 7,9% 
48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 12. A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do 
mar são necessários para obter 500 g de sal?
D26
1 000 g ------------------------ 25 g
 x ------------------------ 500 g
x = 20 000 g = 20 kg
Atividade 13. Em uma promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia da 
liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da 
bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior a ela?
D26
x ? 0,85 ? 0,90 = 0,765 ? x
1 000 – 0,765 = 0,235
Desconto de 2,35%.
Atividade 14. Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2 349,00 líquidos, após o descon-
to de 10% de INSS.
D26
a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?
 90% ------------------------ 2 349,90
 100% ------------------------ x
 x = 2 611
 Recebeu uma remuneração bruta de R$ 2 611,00.
b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho, de forma a receber (líquidos) R$ 2 610,00, 
após a a dedução do INSS?
 90% ------------------------ 2 610
 100% ------------------------ x
 x = 2 900
 Deveria ter cobrado R$ 2 900,00.
49GUIA DO tUtOr
1. Introdução
As potências e os radicais são estudados em várias séries do Ensino Fundamental, ora com suas 
definições, ora com suas propriedades. Nesta Oficina trataremos desses conteúdos começando 
pela potenciação com base racional e expoente natural, ampliando para expoentes negativos e 
enfatizando a utilização das potências de 10 utilizadas nas notações científicas, que são funda-
mentais para o desenvolvimento das teorias da Física e da Química. Trabalharemos, também, com 
as propriedades da potenciação, objetivando desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio.
Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e des-
tacaremos as propriedades e os cálculos que envolvam números irracionais, trabalhando com sim-
plificação de radicais.
Usaremos um jogo como recurso didático lúdico, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico 
matemático e habilidades de cálculo com potências e radicais. O jogo que usaremos é uma adapta-
ção do “Dominó humano matemático”, que terá cálculos que envolvem potências e radicais e suas 
propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao mesmo tempo, dinamizar a 
aula. Por meio desse recurso, os alunos aprendem Matemática brincando, desenvolvem autonomia, 
fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas.
2. Potenciação
A potenciação é útil na análise de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na com-
preensão da difusão de uma epidemia.
Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com determinada doença. Em 1 dia, 
o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina 
outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo, teremos uma epidemia. Faça um diagrama 
de árvore e complete a tabela:
D20/D21
Tempo Instante inicial 1o dia 2o dia 3o dia 4o dia
Novas pessoas contaminadas 1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO3
50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
O problema anterior envolve o uso de potências. Vamos definir o que é potência e conhecer seus 
elementos:
Definição: Podemos representar uma multiplicação em que os fatores são números iguais usando 
a operação de potenciação, como, por exemplo:
2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16 ⇒ Multiplicação de fatores iguais
24 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16 ⇒ Potenciação
Representamos uma potência de seguinte forma:
24 = 16
Expoente
PotênciaBase
A fórmula a seguir possibilita saber o número de contaminados C no enésimo dia, segundo a tabela:
C = 4n
Aqui, você, professor, deverá explicitar a definição de potência e discutir as diversas possibilidades, 
usando bases de diferentes naturezas (positiva, negativa, fracionária) e, também, com expoentes 
positivos e negativos (o expoente fracionário será explorado na radiciação). Nossos alunos costu-
mam se confundir com essas regras operacionais e, por isso, elas devem ser relembradas sempre 
que efetuarmos um cálculo com potências.
Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais: 
a) 34 = 81
b) (–5)2 = 25
 c) (–2)3 = –8
d) [ 5
8
]
2
 = 25
64
e) (3,1)3 = 29,79
 f ) 181 = 18
g) (–2)6 = 64
h) 07 = 0
51GUIA DO tUtOr
Observando as potências que você acabou de calcular, responda:
a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa? 
 Positiva.
b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa?
 Depende. Se o expoente for par, a potência é positiva; se o expoente for ímpar, a potência é negativa.
Vamos trabalhar com potências com expoente negativo e base racional. Leve o aluno a perceber a 
regularidade com a qual construímos a tabela e a formalizar a propriedade observada.
Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua elaboração.
D20/D21
22 21 20 2–1 2–2 2–3
8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
a) Escreva o resultado da potência:
a–n = 1
an
É importante revermos algumas das propriedades da potenciação para podermos efetuar cálculos 
com diferentes tipos de potências:
➜ 0n = 0
➜ 00 = 1
➜ 0–n = 1
an
➜ a
m
n = ±am
➜ am ? an = am + n
➜ am ÷ an = am – n
➜ (a ? b)n = an ? bn
➜ (a ÷ b)n = an ÷ bn
➜ (am)n = am ? n
n
52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
b) Efetue as potenciações, considerando o resultado anterior:
2–4 5–2 [– 
2
5
]
–3
[8
7
]
–1
(0,7)0
1
16
1
25
125
8
7
8
1
Vamos trabalhar agora com notação científica. Nessa altura é importante reapresentar a definição 
e as regras operacionais dessas potências especiais. É fundamental que você relembre a multiplica-
ção e a divisão por 10 e por múltiplos de 10, para que o aluno consiga desenvolver bem os cálcu-
los com essas potências.
Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:
D35
“...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 
100 000 000 000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho da 
Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100 000 000 000 000 000 000 metros de 
diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100 
000 000 000 000 000 000 000 000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos as-
sombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor 
estudar Biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,000 000 1 metro, muito 
mais fácil de lidar. O problema é que a Astronomia não é uma profissão perigosa, 
enquanto a Biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus 
que medem apenas 0,000 000 001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por 
distração, um biólogo deixar um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca 
mais irá encontrá-lo!...”.
PEDRO, Ivã. Textos para o Enem. In: Física divertida. Disponível em: <http://fisicadivertida.com.br/ 
media/2015/09/texto-1-medidas-e-vetores.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2016.
Difícil ler esses números, não é?
Para facilitar ainda a compreensão de textos como esse, os cientistas passaram a usar uma forma 
compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica 
ou notação exponencial.
53GUIA DO tUtOr
Notação Científica: Regra Prática
Números maiores que 1: Descolamos a vírgula para a esquerda até atingirmos o primei-
ro algarismo do número. O número de casas deslocadas para a esquerda corresponderá ao 
expoente positivo da potência de 10.
2 000 = 2 ? 103
762 500 = 7,625 ? 105
Números menores que 1: Deslocamos a vírgula para a direita até atingirmos o primeiro 
algarismo diferente de zero. O número de casa deslocadas para a direita corresponderá ao 
expoente negativo da potência de10.
0,0008 = 8 ? 10–4
0,000000345 = 3,45 ? 10–7
Agora, você pode escrever os números que aparecem no texto anterior utilizando notação científica.
100 000 000 000 = 1 ? 1011
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1 ? 1026
100 000 000 000 000 000 000 = 1 ? 1020
0,0000001 = 1 ? 10–7
0,000000001 = 1 ? 10–9
3. Radiciação
Vamos trabalhar a radiciação como a operação inversa da potenciação, levando o aluno a construir 
seus próprios conhecimentos por meio da observação das regularidades e semelhanças com os 
cálculos de potências.
Problema 4. Vamos completar a tabela, calculando a área de um quadrado de lado medindo n 
centímetros.
Lado n Área
3 cm 9 cm2
7 cm 49 cm2
2,5 cm 6,25 cm2
x cm x2 cm2
D16
54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Agora, a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área:
Área Lado
16 cm2 4 cm
64 cm2 8 cm
2,25 cm2 1,125 cm
x2 cm2 x cm
Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar 
esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes:
a) ±121 = 11
b) ±256 = 16
c) 
3
±121 = 5
d) ±14425 = 125
e) 
4
±–16 = não existe
f ) 
5
±32 = 2
g) 
3
±–8 = –2
A maior parte dos alunos acredita que só existem raízes exatas e esquece que todo número real 
positivo possui raiz de todos os índices, podendo ser ou não exata. É assim que construímos o con-
junto dos números irracionais. Vamos usar uma representação gráfica para mostrar a existência e as 
aproximações de raízes não exatas, que são muito importantes em cálculos de Matemática básica.
Problema 5. O gráfico a seguir mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus 
quadrados, representados por y. Analise-o e determine, ao observá-lo, o valor aproximado:
D25
a) dos números cujos quadrados são 36; 30; 19; 84
b) dos números 15 ; 81 ; 69 ; 54
55GUIA DO tUtOr
x
y
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10
Vamos agora rever as propriedades operacionais dos radicais. O exercício usa a raiz quadrada, mas 
você pode ampliar essas propriedades para raízes de qualquer índice, utilizando alguns exemplos 
para que o aluno compreenda essa ampliação. Ainda, você poderá tratar de outras propriedades 
que julgar importantes para os cálculos com radicais.
56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em 
verdadeira ou falsa.
D25
Vamos rever algumas propriedades dos radicais, lembrando que podemos sempre recorrer às 
potências que justificam e simplificam a aplicação de tais propriedades:
Notação 
Gráfica
Explicação
n
±0 = 0 Este fato na radiação acontece, pois o zero sempre será zero, não importa quantas 
“n” vezes ele aparecer.
n
±1 = 1 A mesma aplicação anterior é válida para o número 1, pois 1 ? 1 é sempre 1.
1
±a = a Esta propriedade é possível provar pela definição de raiz. Faça a seguinte pergunta: Qual 
o número que multiplicado uma vez por ele mesmo tem como resultado ele mesmo?
n
±an = a
Quando colocamos esta raiz na forma de potência temos o resultado: 
an/n
E a fração n/n vale 1, desta forma:
An/n = a1 = a
n
±ab = a
b
n Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria 
n
±a = a
1
n , a diferença é que 
agora o “a” está elevado a uma potência diferente de 1.
a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses 
números: a + b = a + b (F)
b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto 
desses números: a ? b = a ? b (V)
c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente 
desses números: a ÷ b = a ÷ b (V)
d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença 
desses números: a – b = a – b (F)
e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário 1
2
:
 a = a (V)
Vamos agora empregar o cálculo do perímetro de figuras planas para exercitar cálculos com radicais. 
Você deverá enfocar a necessidade da simplificação dos radicais para reduzir as expressões.
1
2
57GUIA DO tUtOr
Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados a seguir, cujas medidas 
de seus lados estão dadas em centímetros. Procure simplificar os radicais.
D15/25
a) 
125
20
5
48
18
Repare que os radicais não podem ser somados, já que só podemos somar radicais iguais. Então, 
para que possamos escrever os perímetros dessas figuras de forma simplificada, deveremos submeter 
esses radicais à simplificação.
A simplificação de radicais é necessária quando efetuamos operações com radicais não exatos.
Começamos a simplificar o radical ±125:
Para começar, devemos fatorar o número:
125 5
25 5
5 5
1 = 53
Agora, como queremos determinar a raiz quadrada de 125, sabendo que 
n
±an = a, vamos escrever 
o radical da seguinte forma:
±53 = ±52 ? 5 = ±52 ? ±5 = 5±5
Assim, concluímos a simplificação de ±125, basta procedermos da mesma forma para simplificar 
os outros radicais e efetuarmos a soma que determinará o perímetro da figura. Agora, faça você.
58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. Dominó matemático
De forma dinâmica e lúdica, o dominó tem como objetivo executar diferentes procedimentos de 
cálculos de potenciação e radiciação com números naturais, inteiros e racionais e também levar o 
aluno a analisar, interpretar e elaborar conclusões referentes às sentenças apresentadas. O jogo é 
proposto para um grupo, o que permite a troca, a interação e a dinamização entre os alunos, a fim 
de facilitar os cálculos de potenciação e radiciação.
Material necessário
Peças a serem recortadas no anexo desta oficina.
Regras:
» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho, 
se julgar necessário) e distribua-as para a turma, entregando uma peça para cada aluno. Se 
sobrarem peças, estas ficarão com você para que o jogo possa se realizar. Se houver mais 
alunos do que peças, organize a turma em dois grupos diferentes, para que todos possam 
participar.
» Um aluno começa o jogo. Ele vai à frente e lê seu cartaz. Por exemplo:
Eu tenho 9, quem tem 0100?
O aluno que estiver com a resposta, ou seja, o aluno que tiver a peça com os dizeres: “Eu tenho 
0, ...” vai à frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano), e assim por 
diante. Cada aluno vai se posicionar no dominó conforme sua peça.
É importante que você, tutor, aguarde as tentativas dos alunos. Espere até que alguém se pronun-
cie com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a 
propriedade utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes questões: 
Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou algum 
outro caminho para efetuar o cálculo?
59GUIA DO tUtOr
5. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilô-
metros. Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um 
ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda: 
D35
a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 km. Multiplique esse valor pelo número de segun-
dos de um ano e obtenha quantos quilômetros há em um ano-luz. Registre a resposta em 
notação científica.
 9,46 ? 1012
b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros 
nos separam dela?
 3,78 ? 1013
Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de pesso-
as infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco pessoas 
saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 6o dia, quantas pessoas 
ao todo haviam sido infectadas?
D21
1o) 5; 2o) 52; 3o)53; 4o) 54; 5o) 55; 6o) 56 → 15 625
Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 348 ?
D25
3 ? 4±3 = 12±3  12 ? 1,73 = 20,78
Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de lado l é l
2 ? 3 
4
. Nessas condições, 
qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado 35 cm?
D16
A = (3±5)
2 ? ±3
4
  19,48
60 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20 m ? 22 m deverá ser cercado com arame.
D15
Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário 
dar 3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos).
P = 4±5 + 4±2 = 8,94 + 2,82  11,76
P = 35,28 m (1 volta) → R$ 123,48
Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 ÷ (31)0 + [ 6
10
]
2
?
D20
0,64 ÷ 1 + 0,36 = 1
Atividade 7. (OBMEP) Qual dos números a seguir está mais próximo de 60,12 ? (0,99)
2
401
?
D20
a) 0,03
b) 0,3
c) 3 X
d) 30
e) 300
Vamos usar o símbolo  para indicar “aproximadamente igual a”. Por exemplo, 0,99  1; 
±401  20; 60,12  60. Em geral, em uma operação aritmética, trocamos os números envol-
vidos por outros aproximadamente iguais a eles. O resultado da operação deve ser uma apro-
ximação do que teríamos obtido com os números originais. No nosso caso, 60,12 ? (0,99)
2
±401
 = 
= 60 – 1
20
 = 3. Logo, a alternativa correta seria a c).
61GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Esta Oficina trata de um tema muito importante, pois está na base da resolução de problemas em 
Matemática. Veremos como traduzir, em linguagem e notação matemática, informações apresentadas 
textualmente, além de saber operar com expressões matemáticas do tipo monômio e polinômio.
2. O emprego de letras em Matemática
Na Antiguidade, recorria-se ao uso de palavras para indicar os cálculos e as operações, na resolu-
ção de problemas. Com isso, os cálculos tornavam-se longos e cansativos.
Mas, com o passar do tempo, superando muitas dificuldades, a humanidade foi lentamente apren-
dendo a substituir as palavras por letras e as operações por sinais, para tornar os cálculos mais 
fáceis. Por volta do século III a.C., Aristóteles e Euclides passaram a usar letras e símbolos, de forma 
limitada, para representar números e indicar a solução de um problema.
Muitos séculos se passaram, até que, em 1572, o matemático Bombeli publicou sua obra L’Algebra, 
que muito contribuiu para o desenvolvimento da linguagem algébrica. Porém, foi o matemático 
francês François Viète (1540-1603) que introduziu o uso sistemático de letras para representar os 
números, da maneira como é aplicado até os dias atuais.
Vivemos em uma sociedade em que a quantidade de informações numéricas que nos são apresen-
tadas cotidianamente é variada. Para resolver os problemas decorrentes dessas informações, pode-
mos traduzi-los para a linguagem da álgebra.
Problema 1. Represente as frases a seguir em linguagem matemática:
D36
a) Um número mais o quádruplo dele é igual a 10.
 Indicando esse número por x, teríamos: x + 4x = 10 .
b) A metade do número de eleitores de uma cidade é igual a 1 642.
 Indicando o número de eleitores dessa cidade por a, teríamos: a
2
 = 1 642
REVENDO áLGEBRA4
62 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
c) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35.
 Indicando esse número por m, teríamos: 3
4
 m – 2 = 35.
d) Um número adicionado ao seu dobro resulta em 28.
 Indicando esse número por y, teríamos: y + 2y = 28.
Problema 2. O quintal da casa de Érika tem formato retangular, e suas dimensões (em metros) 
estão representadas na figura a seguir:
D37/D38
a
a
bb
Como podemos representar a medida do contorno desse quintal? 
A representação algébrica dessa medida pode ser dada por:
a + b + a + b ou 2a + 2b metros
Observamos que na expressão 2a + 2b aparecem números e letras. Podemos afirmar, então, que:
» Uma expressão matemática que apresenta somente letras ou números e letras é chamada 
de expressão algébrica ou literal.
Veja que a expressão algébrica 2a + 2b é formada por duas parcelas que são chamadas de termos 
algébricos
No termo algébrico (ou monômio) 2a, destacamos:
» a parte numérica (2), chamada de coeficiente numérico.
» a letra (a), chamada de parte literal.
A expressão algébrica composta de mais de um monômio é chamada de polinômio. É o caso da 
expressão algébrica 2a + 2b.
63GUIA DO tUtOr
3. Operações com monômios
3.1. Adição de monômios
Problema 3. Dona Emília quer colocar rodapé no contorno da cozinha, que tem forma retangular 
e cujas dimensões estão representadas no desenho a seguir. Vamos ajudá-la!
D37/D38
3x
2x
O contorno da cozinha pode ser encontrado calculando-se o perímetro do retângulo que a repre-
senta. Ou seja:
3x + 2x + 3x + 2x = (3 + 2 + 3 + 2) ? x = 10 ? x = 10x
Fizemos uma adição de monômios. Para isso, somamos os coeficientes (parte numérica) e repetimos 
a parte literal (letras), quando são iguais.
Os termos que possuem partes literais iguais chamamos de termos semelhantes. Logo, 3x e 2x são 
exemplos de termos semelhantes.
Só podemos fazer a adição de monômios quando os termos algébricos têm a mesma parte literal, 
ou seja, são semelhantes.
Logo, o contorno da cozinha é 10x.
3.2. Multiplicação de monômios
Problema 4. Dona Emília quer calcular a área da cozinha para colocar piso. Vamos ajudá-la!
Você já sabe que a largura da cozinha é 3x e o comprimento é 2x.
D37/D38
Podemos representar no desenho a seguir:
3x
x2 x2
x2 x2
x2 x2
x x
x
x
x
2x
64 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Você pode encontrar a área contando os quadrinhos de área x2.
Qual área você encontrou?
Outra maneira de obter essa área é calculando o produto:
3x ? 2x = (3 ? 2) ? (x ? x) = 6 ? x2 = 6x2
Você multiplicou a parte numérica e somou os expoentes da parte literal. A esta operação chama-
mos multiplicação de monômios.
Para efetuar a multiplicação da parte literal, utilizamos a propriedade da multiplicação de potên-
cias de mesma base.
am ? an = am + n
Na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
3.3 Subtração de monômios
Problema 5. Quando Dona Emília chegou à loja para comprar o piso, soube de uma oferta. Resolveu 
calcular para saber se o piso servia para a cozinha. Descobriu que o total do piso em oferta era 
8x2 metros quadrados.
Como a área que Dona Emília precisa é de 6x2 metros quadrados, o piso em oferta será suficiente? 
Sobrará ou faltará? Quanto?
D37/D38
Para saber quanto piso vai sobrar, você tem que calcular a diferença. Mas como? Assim:
8x2 – 6x2 = (8 – 6)x2 = 2x2
Fizemos uma subtração de monômios. Para fazer esse cálculo, subtraem-se os coeficientes numé-
ricos e repete-se a parte literal. Essa operação só é possível com monômios semelhantes.
65GUIA DO tUtOr
3.4 Divisão de monômios
Problema 6. Mas a loja só venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrassem pelo menos 
3x2 metros quadrados. Por isso, Dona Emília não pôde comprar o piso nessa loja. Como ainda 
precisa do piso para a cozinha, Dona Emília foi a outra loja. Lá encontrou um lote de 18x2 metros 
quadrados de piso e, como o preço estava barato, resolveu comprá-lo. Curiosa, pensou em quantas 
cozinhas do tamanho da sua poderiam ser revestidas com aquela quantidade de piso.
D37/D38
Vamos ajudá-la:
Se há 18x2 metros quadrados de piso e cada cozinha tem 6x2 metros quadrados de área, basta que 
se faça uma divisão, assim:
18x2 ÷ 6x2 = (18 ÷ 6)(x2 ÷ x2) = 3x2 – 2 = 3x0 = 3 ? 1 = 3
Fizemos uma divisão de monômios. Para fazer esse cálculo, devemos dividir a parte numérica. E para 
a parte literal, diminuem-se os expoentes.
Para efetuar a divisão da parte literal, usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base:
am ÷ an = am – n
Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Logo, a 
quantidade de piso serviria para revestir 3 cozinhas iguais à de Dona Emília.
3.5. Potenciação de monômios
Problema 7. Dona Emília resolveu colocar em