Entre_Jovens_Matematica_1_ano_Vol I - Guia_Tutor

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Entre Jovens
Tutor
1o ano do Ensino Médio
GUIA DO TUTOR
Volume I
Matemática
1o ano do Ensino Médio
Entre Jovens 1o ano do Ensino Médio: Guia do Tutor Matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2016.
234 p.; Vol. I.
ELABORAÇÃO DO MATERIAL
Coordenação
Roberta de Oliveira 
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação 
da Educação
Revisão de conteúdo
Grupo Mathema
Produção editorial
Elisa Swartele 
Maria Clara Wasserman 
Renata Buset
 
Pesquisa iconográfica
Tempo Composto
ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO
Coordenação
Marina Rosenfeld
Revisão de texto
Ofício do Texto Projetos Editoriais
Editoração eletrônica
Formato Comunicação
Realização
Instituto Unibanco
CONSELHO DE ADMINISTRAÇÃO
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Rodolfo Villela Marino
Thomaz Souto Corrêa Netto
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Diretoria Executiva
Claudio José C. Arromatte
Cristina Cestari
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
Leila Cristiane B. B. de Melo
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Implementação de Projetos
Maria Julia Azevedo Gouveia
Desenvolvimento e Conteúdos
Lucia Helena Couto
Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Planejamento e Articulação Institucional
Tiago Borba
Administração, Finanças e Tecnologia 
da Informação
Fábio Santiago
UMáRIOS
Introdução
Oficina 1 – Números Naturais e Inteiros
Oficina 2 – Números Racionais
Oficina 3 – Potenciação e Radiciação
Oficina 4 – Revendo Álgebra
Oficina 5 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
Oficina 6 – Grandezas e Medidas
Oficina 7 – Áreas de Figuras Planas
Oficina 8 – Sólidos Geométricos
Oficina 9 – Resolução de Problemas
Oficina 10 – Revisitação
Referências Bibliográficas
Matriz de Referência
Anexos
9
11
24
49
61
82
96
109
133
148
160
170
172
175
9GUIA DO tUtOr
Prezado tutor/professor, 
Este Guia foi elaborado para auxiliá-lo nas atividades de tutoria do “Projeto Entre Jovens” do Instituto 
Unibanco, voltado para os alunos do 1o ano do Ensino Médio da rede pública de ensino.
O Guia está estruturado em Oficinas, cujos temas foram selecionados com base em sua relevância 
e centralidade no currículo de Matemática do Ensino Fundamental. Para esta elaboração, levamos 
em conta temas que são centrais, que os alunos aprendem antes do 1o ano do Ensino Médio em 
cada uma das duas áreas e as habilidades descritas na Matriz de Referência do SAEB – 9o ano do 
Ensino Fundamental.
Os assuntos abordados neste Guia não esgotam a grade curricular do Ensino Fundamental, da 
mesma forma que, cada Oficina não esgota o tema por ela abordado.
As Oficinas estão estruturadas de forma a instrumentalizá-lo, do ponto de vista teórico e metodo-
lógico, para uma abordagem adequada do tema proposto.
Cada Oficina deve ser conduzida por você, tutor/professor, de forma a estimular a participação do 
aluno, procurando desafiá-lo permanentemente, provocando-o com perguntas e estimulando-o a 
tentar, ele próprio, resolver as atividades propostas. Sempre que necessário, revisite, brevemente, 
os aspectos teóricos e conceituais relacionados às ferramentas a serem empregadas na resolução 
de uma atividade. Estimule soluções por raciocínios diversos e, ao resolver um problema, procure 
mostrar, quando possível, a diversidade de resoluções.
Em vários pontos do Guia, interrompemos a apresentação para chamar-lhe a atenção para proce-
dimentos a serem adotados ou para erros frequentes cometidos pelos alunos, de forma que você 
enfatize aquelas passagens.
Em cada Oficina, são apresentados problemas diversos que você deverá resolver com os alunos, e 
não para os alunos. Ao final de cada Oficina, são propostas atividades que os alunos devem ser 
encorajados a tentar resolver. Somente depois de os alunos terem trabalhado nessas atividades, 
você deverá resolver com eles.
Cada Oficina foi planejada para ser cumprida em uma semana de atividades. Obviamente, o desen-
volvimento delas dependerá do rendimento do grupo de alunos, mas, conforme possível, tente 
executá-las em uma semana.
Esperamos que este Guia seja útil para seu trabalho em sala de aula.
Bom trabalho!
NTRODUÇÃOI
11GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Ao longo do Ensino Fundamental, os conhecimentos sobre números e operações são desenvolvi-
dos e aprimorados, em diferentes níveis de dificuldade, conforme o objeto estudado. Começando 
com os números naturais, passando para os inteiros, são desenvolvidas as propriedades e as apli-
cações desses números no cotidiano, bem como as operações fundamentais que os envolvem. 
Essas operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamen-
tais para o aluno desenvolver bem a Matemática do Ensino Fundamental e Médio e, por isso, este 
capítulo inicial tem como objetivo recapitular esses saberes.
Existem diferentes técnicas e procedimentos didáticos que criam condições para o aluno compreen-
der determinados conceitos matemáticos. É importante o professor, por vezes usando materiais 
concretos, outras modelando algumas situações, procurar o caminho mais eficiente para alcançar 
os objetivos matemáticos propostos. Nesta Oficina, inicialmente, utilizaremos a resolução de 
problemas estimulando o aluno a criar e a desenvolver suas próprias estratégias, enfatizando a 
Matemática do cotidiano. Existem inúmeras razões para usarmos a resolução de problemas nas 
aulas de Matemática: contribui para a concentração e para a organização do pensamento mate-
mático, além de desenvolver no aluno o hábito de pensar, avaliar situações e mobilizar as ferra-
mentas matemáticas adequadas em cada caso. No cotidiano, são inúmeros os casos nos quais 
aparecem problemas que envolvem as operações com números naturais e inteiros e, por isso, é tão 
importante durante as aulas trabalharmos a capacidade de resolver problemas. Também usaremos 
o jogo de tabuleiro “fatorando”, que objetiva trabalhar a fatoração de um número natural, empre-
gando uma atividade lúdica que promove socialização e estimula o raciocínio lógico dedutivo, 
além da utilização de um algoritmo.
2. Resolução de problemas
O problema a seguir pretende revisar a operação da adição, com base nas informações contidas 
em uma tabela, estimulando a interpretação de dados nela organizados. Além disso, nesse proble-
ma mostraremos que as definições das regras do jogo determinam diferentes vencedores, fazendo 
o aluno perceber que a resolução de determinado problema depende, necessariamente, de como 
o enunciado está proposto. As operações envolvidas são relativamente fáceis, por isso, destaque a 
sua interpretação.
NúMEROS NATURAIS E INTEIROS1
12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche. Veja as 
pontuações alcançadas por eles nessas três partidas.
D21
Partidas 1 2 3
Júlia 12 060 12 200 12 580
Diogo 11 960 11 500 13 500
Carolina 8 020 12 180 14 590
Dependendo da definição da regra que determina o vencedor, vamos decidir qual operação deve-
mos realizar e quais valores estarão envolvidos nessa operação. Vejamos quem vence o torneio em 
cada uma destas regras:
a) Vence quem ganha mais partidas.
 Neste caso, teremos que verificar qual dos valores é maior em cada partida, para que possamos 
definir quem venceu o maior número de partidas. Na primeira partida, observando a tabela, 
Júlia foi a que fez mais pontos, portanto, ela venceu a partida. Na segunda partida, Júlia venceu 
novamente, pois 12 200 > 12 180 > 11 500. Na terceira partida, quem venceu foi Carolina. 
Conclusão: a vencedora foi Júlia, pois venceu duas partidas das três disputadas.
 Agora, responda quem vence a partida segundo cada uma das seguintes regras:
b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas.
 Neste caso, será a Carolina. Partida 3: 14590 pontos.
c) Vence quem soma maior número de pontos.
 Neste caso, será o Diogo, com 36 960 pontos.
d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.
 Neste caso, será a Carolina, juntando a 2a e a 3a partidas.
No problema seguinte, o aluno utilizará as operações de soma, subtração e multiplicação com 
números naturais e também será estimulado a organizar os dados do problema, compreender o 
significado de cada uma dessas operações e criar sua solução. Revise com ele o algoritmo da mul-
tiplicação, se necessário.
13GUIA DO tUtOr
Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50 000,00. Inicialmente, ela 
gastou R$ 22 000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6 750,00 em equipamentos para a 
cozinha. Depois, ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1 250,00 por lote, e um estoque 
de alimentos congelados, que lhe custou R$ 3 000,00. Com tantos gastos, sobrou dinheiro? Quanto?
D21
Uma boa forma de organizar os dados que compõem o problema é numa tabela. Essa organização 
nos possibilita visualizar os valores e as operações que deverão ser feitas para que a resposta do 
problema seja encontrada.
Gastos Valor unitário (R$) Valor total (R$)
Reforma do restaurante 22 000 22 000
Equipamentos de cozinha 6 750 6 750
3 lotes de refrigerantes 1 250 3 3 1 250
Alimentos congelados 3 000 3 000
Você poderia pensar em outra forma de organizar os dados em uma tabela...
Agora, basta que você some as despesas e verifique se sobrou ou não dinheiro do montante inicial 
de R$ 50 000,00.
R$ 50 000,00 – R$ 35 500,00 = R$ 14 500,00 (montante – despesas).
Vamos reforçar as operações inversas (soma/subtração) e o raciocínio lógico-dedutivo que é 
fundamental para a resolução do próximo problema. Temos ainda de destacar que a figura nos 
remete à representação dos números naturais na reta real, o que é muito importante neste nível 
de ensino.
Problema 3. Paulo, que é muito distraído, partiu de determinado marco quilométrico da estrada 
com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 km, 
leu na placa que estava no marco km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a 
mala no ponto de partida. Com isso, ele teve de voltar para buscá-la.
D19/21 129 km
km
?
km
311
km
400
FO
RM
A
TO
14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
a) De que ponto da estrada Paulo partiu?
 311 – 129 = 182 km
Vamos observar a posição da mala e de Paulo na reta numérica que representa os números naturais.
b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?
 129 + 129 + 129 + 89 = 476 km
No problema anterior, trabalhamos com a localização de pontos na reta natural. Podemos estender 
essa ideia para a reta de representação dos números inteiros que apresentam os números positivos 
à direita do marco “zero” e os números negativos à sua esquerda.
0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
Podemos destacar algumas observações sobre o conjunto dos números inteiros:
» O conjunto dos números inteiros é infinito.
» Todo número inteiro possui um sucessor e um antecessor.
» Subconjuntos dos Inteiros:
 Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...} Inteiros não nulos
 Z = {..., –3, –2, –1, 0} Inteiros não positivos
 Z*– = {..., –3, –2, –1} Inteiros estritamente negativos não nulos
 N+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Naturais não negativos
 N*+ = {1, 2, 3, 4,...} Naturais estritamente positivos não nulos
No próximo problema, vamos revisitar o conceito de número negativo e perceber como esse número 
é interpretado na análise de um gráfico. Destaque os conceitos de lucro e prejuízo, usados em outras 
inúmeras situações matemáticas. Este é o momento de revisarmos as regras de operações de números 
inteiros (soma/subtração e multiplicação/divisão). Essas regras, apesar de importantes em nossos 
estudos, geralmente são confundidas ou mesmo esquecidas pelos alunos. Por isso, é fundamental 
que sejam reapresentadas, não só neste problema, mas em todo momento necessário.
15GUIA DO tUtOr
Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do 
ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los lucros 
negativos.
D41
Lucros de uma rede de supermercados (1o semestre de 2015)
35
30
25
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
meses
lu
cr
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Janeiro
Fevereiro
Março Maio
Abri l
Junho
(Fonte: Departamento financeiro da rede de supermercados).
a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais?
 Abril.
b) Em algum mês, o lucro foi de 45 milhões de reais?
 Não.
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?
 (30) + (15) + (–15) + (–30) + (–15) + (30) = 75 + (–60) = 15 milhões
Para responder a questão acima, será necessário montarmos uma expressão numérica somando todos 
os lucros e prejuízos que estão dispostos no gráfico. Perceba que nessa expressão somamos números 
positivos e negativos, portanto, será necessário relembrarmos como operar com números inteiros.
16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Na soma e na subtração de números inteiros com sinais diferentes, subtraímos o valor 
absoluto das parcelas e repetimos o sinal da parcela de maior valor absoluto.
Exemplos:
» 9 – 4 = 5 (subtraímos 4 de 9 e repetimos o sinal positivo, pois 9 é o maior valor)
» 3 – 8 = –5 (subtraímos 3 de 8 e repetimos o sinal negativo, pois 8 é o maior valor)
No problema a seguir, vamos revisar muitos conceitos. Primeiramente, teremos de transformar as 
sentenças textuais em linguagem matemática, empregando os significados de dobro, triplo, metade 
etc. Também construiremos e resolveremos as expressões numéricas, verificando a necessidade 
de usar parênteses, colchetes ou chaves. Aqui, você pode relembrar as regras operacionais usadas 
na resolução das expressões numéricas. Vamos, ainda, fazer as quatro operações fundamentais 
com números inteiros (prestando atenção às regras de sinais da multiplicação/divisão).
Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor:
D20/D36
a) A soma de –6 com o dobro de 5.
 Para resolver este problema, será importante revermos as regras das operações de multiplicação 
e divisão com números inteiros:
Multiplicação e Divisão de números inteiros
Na multiplicação (ou divisão) de números inteiros de mesmo sinal, fazemos o produto (ou 
divisão) dos termos e consideramos o sinal como positivo.
Exemplos: (+3) ? (+8) = +24 ou (–36)  (–9) = +4
Na multiplicação (ou divisão) de números inteiros com sinais diferentes, fazemos o produto 
(ou divisão) dos termos e consideramos o sinal como negativo.
Exemplos: (–9) ? (+4) = –36 ou (24)  (–8) = –3
17GUIA DO tUtOr
Temos de determinar o valor da expressão:
“A soma de –6 com o dobro de 5”.
Como sabemos que o dobro de um número é esse número multiplicado por 2, escrevemos a se-
guinte expressão:
–6 + (2 ? 5) = –6 + 10 = 4
Agora, você pode também resolver os itens seguintes:
b) A metade da diferença entre –4 e 8.
 (–4) – (8)
2
 = – 12
2
 = –6
c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2.
 2(–3) ? 5(–2) = (–6) ? (–10) = 60
d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8.
 (–6)
2
 – 8 = (–3) – 8 = –11
No próximo problema, teremos a oportunidade de trabalhar com a divisão com resto, já que, no 
jogo “Fatorando”, verificaremos as divisões exatas e os critérios de divisibilidade. Aproveite para 
revisar o algoritmo da divisão e a interpretação de resto e quociente.
Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1 128 soldados até um campo de 
treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos 
caminhões, no mínimo, serão necessários?
D21
1 128  36 = 31 e resto 12. Logo, serão necessários, no mínimo, 32 caminhões.
Observando a situação descrita no problema, podemos perceber que será necessário distribuir os 
soldados nos caminhões disponíveis, por isso, devemos usar a operação da divisão para resolver 
esse problema.
Vamosobservar um exemplo para relembramos o algoritmo da divisão:
7 9 8 2 1
– 6 3 3 8
1 6 8
– 1 6 8
0
18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
» Primeiramente, da esquerda para a direita, verificamos quantos algarismos são necessários 
para efetuarmos a divisão pelo divisor. Neste caso, só com o 7 não seria possível efetuar a 
divisão por 21, então usamos o 79.
» Daí, 21 “cabe” 3 vezes em 79 (com sobra), então fazemos 3 ? 21 = 63 e diminuímos de 79.
» O que sobra vai compor, com o próximo algarismo do dividendo, o novo número que 
devemos dividir por 21. No exemplo, a sobra foi 16, que junto ao algarismo 8 formará o 
número 168 e, em seguida, faremos a divisão de 168 por 21, que dará exatamente 8.
» O resultado dessa divisão é 38, sendo chamado de quociente.
» O resto é zero. Quando isso acontece, dizemos que a divisão é exata e que 798 é divisível 
por 21, ou ainda, que 21 é divisor de 798.
» Quando o resto da divisão é diferente de zero, dizemos que o dividendo não é divisível 
pelo divisor.
Agora, você já pode resolver o problema.
3. O jogo “Fatorando”
O jogo “Fatorando” é uma experiência relatada pela professora Luciane Vieira de Paiva Motokane, 
usada como recurso didático-pedagógico para o ensino de Matemática nas aulas dos 6o e 7o anos 
do Ensino Fundamental. Ele consiste em um tabuleiro com 28 espaços, no qual os alunos devem 
escolher fichas com números primos para dividir um número sorteado.
O uso do jogo “Fatorando” nesta Oficina objetiva desenvolver com os alunos as habilidades de 
divisão, o reconhecimento dos números primos, os critérios de divisibilidade, o algoritmo da fato-
ração de um número, auxiliando a utilização da fatoração, posteriormente, como instrumento 
para o cálculo do MMC, MDC e para as operações com frações.
Componentes:
» Tabuleiro com 28 espaços circulares interligados (Figura 1 do anexo);
» 28 fichas circulares contendo, em cada uma, um número primo (Figura 2 do anexo);
» 20 fichas retangulares (Figura 3 do anexo) contendo, em cada uma, um número para ser 
fatorado, e estando divididas em 3 níveis de dificuldade:
 NÍVEL 1 (FÁCIL) – 5 fichas com números de 2 algarismos (amarelos); 
 NÍVEL 2 (MÉDIO) – 10 fichas com números de 3 algarismos (azuis); 
 NÍVEL 3 (DIFÍCIL) – 5 fichas com números de 4 algarismos (vermelhos).
» Cartela para cálculos (Figura 4 do anexo);
» 2 botões de cores diferentes, um para cada jogador;
» 1 dado.
19GUIA DO tUtOr
Regras:
» Número de participantes: 2 jogadores;
» Cada participante deverá ter um botão;
» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos e 
colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;
» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a 
mesa e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em 
três blocos, com a face voltada para baixo;
» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador 
deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos 
(figura 4 do anexo), conforme ilustra a próxima figura, a seguir;
» O jogo começa com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas 
casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do 
tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;
» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o 
número do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se 
der, ele retira esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos, conforme 
ilustrado na figura a seguir, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em 
sua cartela de cálculo, passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo 
dessa casa do tabuleiro não der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca 
o círculo de volta no tabuleiro, com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro 
jogador. Veja o exemplo:
298
49
20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
» O segundo jogador repete o procedimento anterior, e o jogo continua assim, sucessivamente, 
até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada;
» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).
OBS.: Prevemos um período de aproximadamente 1 hora para o desenvolvimento do Jogo “Fatorando”.
4. Resolva as atividades propostas a seguir:
Nesta etapa, usaremos os conceitos com os quais trabalhamos no Jogo “Fatorando” e nos problemas 
resolvidos na seção 2. Proporemos atividades que relembrem os algoritmos de cálculos de MMC e 
MDC e também a resolução de problemas que envolvam o conteúdo desta unidade.
Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China por volta de 2 200 a.C. Os números 
dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante em suas linhas, colunas e diagonais, 
chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma 
mágica igual a –15:
D20
1) Podem surgir outras soluções.
–15 –14 –13 –6 –5 –4 3 4 5
–6 5 –14
–13 –5 3
4 –15 –4
Atividade 2. Calcule:
D34
a) MMC (16, 20) b) MDC (18, 27, 45)
 a) 80 b) 9
c) MMC (15, 24, 38) d) MDC (12, 32, 45)
 c) 2 280 d) 1 (quando o MDC entre dois números é igual 
a 1, estes são chamados de números primos 
entre si.)
21GUIA DO tUtOr
Atividade 3. A malha a seguir é formada por quadrados de 1 cm de lado. Resolvendo as expressões 
dadas, você vai encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois 
cada resultado corresponde ao número de centímetros que ela vai percorrer.
D1
Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste), ela caminha no sentido positivo, 
e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste), ela caminha no sentido negativo.
origem
oeste
leste
sul
norte
Caminho da cobra:
+5 na horizontal, – (+3) na vertical, –22 na horizontal, (–8)0 na vertical, (–9) ÷ (–3) na horizontal, 
(–2)² na vertical e (5)1 na horizontal.
Marque na malha anterior o caminho percorrido pela cobra.
origem
oeste leste
sul
norte
22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. Diversos cometas passam perto do Sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 
12 anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do Sol, em um 
mesmo ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?
D34
Atividade 4) MMC (12, 15) = 60 anos depois. A coincidência voltará a ocorrer 60 anos depois.
Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora, e os números indicam a dis-
tância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador 
de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja.
D19/D21
–300
Casa de
Elvira
Banco Praça Igreja Padaria Escola Correio
–200 –100 0 100 200 300
a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: caminhou até o correio e, em seguida, foi 
à igreja. Após a missa, comeu um lanche na padaria; dirigiu-se ao banco para pagar uma conta 
e apanhou sua filha na escola. As duas ficaram por algum tempo na praça e, depois, foram para 
casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
 a) 600 m + 300 m + 100 m + 300 m + 400 m + 300 m + 200 m = 2 200 m
b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400 m para a direita, 
300 m para a esquerda, 500 m para a direita, 300 m para a esquerda e 200 m para a esquerda. 
Descreva, segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou.
 b) Padaria → Banco → Correio → Igreja → Banco
Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 m e outro de 240 m de comprimento, precisam ser 
cortados em pedaços iguais e com o maior comprimento possível. Responda:
D18
a) Quanto medirá cada pedaço? 
 a) 40 m.
b) Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo?
 b) 6 e 5 pedaços.
FO
RM
A
TO
23GUIA DO tUtOrAtividade 7. Na reta numérica da figura a seguir, o ponto E corresponde ao número –9 e o ponto 
F, ao inteiro –7.
D19
–9 –7
A B C D E F G H I J K L M
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:
a) sobre o ponto M. c) entre os pontos I e J.
b) entre os pontos L e M. d) sobre o ponto J.
Alternativa c).
Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo por R$ 120,00 cada um, três DVDs por 
R$ 115,00 cada um e um televisor de R$ 2 500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas 
iguais e sem juros. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
D21
a) R$ 120,00 c) R$ 516,00
b) R$ 617,00 d) R$ 716,00
R$ 240,00 + R$ 345,00 + R$ 2 500,00 = R$ 3 085,00
R$ 3 085,00  5 = R$ 617,00 
Alternativa b).
Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, –16 °C. Os 
jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, ainda cairia em 13 °C. Segundo 
essa previsão, a temperatura chegaria a:
D21
a) –29 °C b) –3 °C c) +3 °C d) +13 °C
Alternativa a).
Atividade 10. Seja A = (–5)2 + (–5)3. O valor de A é:
D20
a) 125
b) –5 
c) 625
d) –100
 A = 25 + (–125) = –100
Alternativa d).
24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Os números naturais surgiram para auxiliar no processo de contagem, mas na vida cotidiana utilizamos 
também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos de medidas 
usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser quantificadas.
Durante esta Oficina, os exemplos serão apresentados nos problemas. Resolução de problemas 
é uma das grandes dificuldades dos alunos: compreender e transformar a linguagem falada em 
linguagem matemática e verificar se o resultado encontrado é compatível com a pergunta do 
problema. Sempre discuta com seus alunos como a resolução deve ser feita, não dê a resposta 
prontamente. O importante é a construção do conhecimento e, para isso, é preciso que o 
aluno a obtenha com o seu apoio.
2. Frações
O conceito de fração, apesar de ser amplamente utilizado em nosso dia a dia, é de difícil compreen-
são para os alunos. A grande dificuldade, na maioria das vezes, é a forma mecânica e descontextua-
lizada com que o tema é apresentado.
Problema 1. Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. 
Mas, como fazer, se todos devem receber a mesma quantidade?
Como são quatro pessoas, os chocolates serão divididos em quatro partes iguais:
D21
NúMEROS RACIONAIS2
25GUIA DO tUtOr
Agora, é possível que cada um receba a mesma quantidade de chocolate:
Como cada barra foi dividida em quatro partes iguais; cada pedacinho será chamado de um quarto 
da barra. Assim, cada pessoa receberá três quartos de uma barra de chocolate, o que pode ser 
indicado pela fração 
3
4 .
Os alunos devem perceber que uma fração é uma maneira nova de indicar divisões. Neste exemplo, que 
3 ÷ 4 = 
3
4
. Aproveite para explicar o que representa o numerador e o denominador de uma fração.
Problema 2. Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais; o segundo, 
em quatro partes iguais, e o terceiro, em 16 partes iguais, como representado nas figuras a seguir: 
D21
Os três pertencem ao mesmo agricultor, e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro 
com sementes de cenoura; o segundo com alface, e o terceiro com batata. A região colorida nas 
figuras anteriores indica a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá 
maior área semeada?
O objetivo desse problema é tratar de frações equivalentes e da comparação entre elas. Lembre-se 
de não apresentar as frações prontamente, faça com que os alunos as representem. Aproveite, 
também, para trabalhar a simplificação de fração. Peça a eles que tentem comparar as frações da 
maneira como elas estão descritas, a fim de estimular a comparação.
26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Área semeada
No 1o terreno: 
1
2
No 2o terreno: 
2
4
No 3o terreno: 
8
16
Quando os alunos perceberem que todos terão a mesma área semeada, apresente a definição de 
frações equivalentes.
Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Chegando lá, Carlos e 
Pedro escolheram uma pizza de muçarela e pediram para ser repartida em 8 partes iguais. Já Lucas 
e Jonas optaram por outra de calabresa, cortada em 6 partes iguais. No fim da noite, sobrou um 
pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?
D21/D34
O importante nesse exemplo é a passagem para a linguagem matemática. Seus alunos devem 
representar em forma de fração o problema apresentado. Além disso, com esse problema, você 
pode explicar, detalhadamente, o método de redução ao mesmo denominador.
Carlos e Pedro comeram 
7
8
 de sua pizza. Lucas e Jonas comeram 
5
6
. Qual é a maior fração?
MMC (6, 8) = 24
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 6 = 4
21
24
 > 
20
24
 ⇒ 
7
8
 > 
5
6
Portanto, Carlos e Pedro comeram mais.
Existe outra maneira de resolver esta questão.
Vamos achar as frações equivalentes a:
7
8
 = 
14
16
 = 
21
24
 = 
28
32
5
6
 = 
10
12
 = 
15
18
 = 
20
24
 = 
25
30
Como 
21
24
 > 
20
24
. Podemos afirmar que Carlos e Pedro comeram mais do que Lucas e Jonas.
Procure valorizar as diferentes formas de resolução.
Repare que sobrou um pedaço de cada pizza, ou seja, sobrou 
1
8
 de uma pizza e 
1
6
 de outra. Logo, 
sobrou mais pizza de calabresa. Portanto, Carlos e Pedro comeram mais.
Para trabalhar as operações com frações, apresentaremos problemas que ocorrem no cotidiano. 
Você pode acrescentar mais alguns, caso perceba que seus alunos ainda estão com dificuldade. 
Mas, lembre-se sempre de fazer com eles, e não para eles. Questione, incentive, estimule seus 
alunos a pensar com você. Isso é o mais importante nesse processo.
7 ? 3
8 ? 3
 = 
21
24
 
5 ? 4
6 ? 4
 = 
20
24
27GUIA DO tUtOr
Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em 
outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação? 
Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta 
ainda resta para tal plantação?
D21
Expressando a parte já plantada do terreno em forma de frações, temos:
5
12
 + 3
12
 = 8
12
Podemos, também, expressar a parte que ainda falta para plantar:
12
12
 – 8
12
 = 4
12
Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de 
chocolate para vender aos alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho; 
um deles dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços, e o outro dividiu em 8 partes iguais e 
vendeu apenas 1 pedaço. Qual fração representa o quanto foi vendido de bolo de chocolate 
naquele dia?
D21/D34
Para responder a essa pergunta, devemos efetuar a seguinte soma:
5
12
 + 1
8
28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Mas, como? Já vimos que, para comparar frações com denominadores diferentes, devemos 
reduzir as frações ao mesmo denominador. O mesmo procedimento deve ser adotado para 
somar essas frações:
MMC (8, 12) = 24
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 12 = 2
Agora, podemos somar essas frações que são equivalentes às iniciais:
5
12
 + 1
8
 = 10
24
 + 3
24
 = 13
24
O mesmo procedimento deve ser realizado no caso de subtração de frações com denominadores 
diferentes.
Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e o dividiu igualmente 
entre eles. Após alguns anos, Júlio, o filho mais velho, decidiu dividir seu terreno entre seus três 
filhos. Em relação ao terreno original, qual fração representa a quantidade que cada um receberá?
Cada filho de seu Jorge receberá 1
5
 do terreno.
D21
1
5
Júlio dividiu sua parte em três partes iguais. Com isso, cada filho de Júlio ficou com 1
3
 de 1
5
 
do terreno.
1
3
1
5
Logo, em relação ao terreno todo, cada um ficou com 1
15
 terreno. Então 1
3
 ? 1
5
 = 1
15
.
5 ? 2
12 ? 2
 = 
10
24
 
1 ? 3
8 ? 3
 = 
3
24
29GUIA DO tUtOr
Problema7. Uma pesquisa foi encomendada para analisar a preferência de moradores de uma 
cidade por esportes. 
3
4
 dos entrevistados gostam de futebol e metade desses 
3
4
 gostam também 
de vôlei. Qual fração representa os entrevistados que gostam de vôlei?
D21
3
4
metade de 
3
4
 é
3
8
O que em linguagem matemática é representado por:
1
2
 ? 3
4
 = 3
8
Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações.
Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família? 
40 ÷ 10 = 4
Cada família receberá 4 litros de leite.
Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?
40 ÷ 1 = 40
Serão necessárias 40 jarras.
E se tivessemos canecas de 
1
2
 litro cada uma, quantas serão necessárias? Podemos pensar assim: com 
cada litro de leite é possível encher 2 canecas; então, com 40 litros poderemos encher 40 ? 2 = 80 
canecas.
40 ÷ 
1
2
 = 80
E se tivermos copos de 250 m,, isto é, 
1
4
 de litro cada um, quantos serão necessários? Podemos 
raciocinar da seguinte maneira: com cada litro de leite podemos encher 4 copos, então, com os 
40 litros poderemos encher 40 ? 4 = 160 copos.
40 ÷ 
1
4
 = 160
30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
E se tivermos garrafas de 
4
5
 de litro, quantas serão necessárias? Podemos pensar assim: para encher 
5 garrafas são necessários 4 litros de leite, porque 5 ? 
4
5
 = 4. Dessa forma, dividindo os 40 litros em 
partes, cada uma de 4 litros, obtemos 10 partes. Cada parte enche 5 garrafas. Então, como 10 ? 5 = 50, 
serão necessárias 50 garrafas.
40 ÷ 
4
5
 = 50
Vamos observar novamente todas as divisões que fizemos:
40 ÷ 10 = 4 = 
40
10
 = 40 ? 
1
10
, então 40 ÷ 10 = 40 ? 
1
10
40 ÷ 1 = 40 = 
40
1
 = 40 ? 1, então 40 ÷ 1 = 40 ? 1
40 ÷ 
1
2
 = 80 = 40 ? 2, então 40 ÷ 
1
2
 = 40 ? 2
40 ÷ 
1
4
 = 160 = 40 ? 4, então 40 ÷ 
1
4
 = 40 ? 4
40 ÷ 
4
5
 = 50 = 10 ? 5 = 
40
4
 ? 5 = 40 ? 
5
4
, então 40 ÷ 
4
5
 = 40 ? 
5
4
Problema 8. Para repartir 
25
4
 de litro de leite em copos de 
2
5
 de litro, quantos copos serão necessários?
D21
25
4
 ÷ 
2
5
Para encher 5 copos, precisamos de 2 litros de leite, pois 5 ? 
2
5
 = 2. Dessa forma, dividindo 
25
4
 em 
partes de 2 litros, cada parte enche 5 copos. Veja como fica esta divisão:
25
4
 ÷ 2 = 
25
4
 ? 
1
2
 = 
25
8
31GUIA DO tUtOr
Como 
25
4
 dividido em partes de 2 litros é 
25
8
, para saber quantos copos serão necessários, basta 
efetuar a multiplicação.
25
8
 ? 5 = 125
8
Agrupando as operações feitas, temos: 
25
4
 ÷ 2
5
 = [25
4
 ÷ 2] ? 5 = [25
4
 ? 1
4
] ? 5 = 25
8
 ? 5 = 125
8
Então,
25
4
 ÷ 2
5
 = 25
4
 ? 2
5
 = 125
8
Serão necessários 125
8
 copos, ou seja, aproximadamente 16 copos.
Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha 
1
4
 de litro a mais 
em comparação com as garrafas comuns que contêm um litro. Comparando a garrafa antiga e a 
nova, qual fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando como 
unidade um copo de 250 m,?
D21
A fração maior que a unidade normalmente causa estranheza aos alunos. “Como posso repartir 
algo em quatro partes e pegar cinco?”. Com esse problema, questões desse tipo podem ser facilmente 
compreendidas. Aproveite para falar sobre fração imprópria e número misto.
250 m, = 1
4
 de litro.
Garrafa antiga: 1 litro ou 
4
4
 de litro
Garrafa nova: 1 litro + 250 m, ou 4
4
 de litro + 1
4
 de litro ⇒ 1,250 litros ou 5
4
 de litro
Portanto, a fração que representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa é 5
4
 de litro.
32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3. Numerais na forma decimal
As frações decimais e os números na forma decimal estão presentes em nossa vida. Muitas vezes, 
nem percebemos a utilidade deles, mas aparecem em várias situações práticas. Nos supermercados, 
nos jornais, nas farmácias, nas medidas, em gráficos etc.
É preciso que o aluno seja capaz de identificar e compreender a importância do valor posicional no 
estudo dos números decimais. As operações com decimais, também, são importantes e muito 
aplicadas ao cotidiano.
Um material muito usado nas escolas no estudo de números decimais é o chamado Material 
Dourado. Ele foi criado na Itália por uma professora chamada Maria Montessori para ajudar as 
crianças a aprender melhor. É composto de quatro tipos de peças, conforme representados a seguir:
cubo placa barra cubinho
Caso você tenha acesso a esse material, leve-o para a sala de aula e trabalhe os decimais com ele. 
No caso, a unidade será o cubo, e as outras partes representarão a parte decimal.
Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim, 
conforme mostra a figura.
D21
Construção
Construção Jardim
Construção
33GUIA DO tUtOr
a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação 
ao terreno todo.
 PC: 3
4
 e J: 1
4
b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída.
 J: 1
3
c) Qual número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo?
 
1
4
 = 0,25.
d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?
 
1
3
 = 0,333333... = 0,3
Neste momento, você deve introduzir as dízimas periódicas. Mostre como encontrar a geratriz de 
uma dízima.
Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística:
D21
Atleta Pontos
Aline 8,72
Bia 9,25
Cláudia 9,36
Diana 8,725
Eloá 9,32
Flávia 8,728
Qual foi a ordem de classificação das atletas?
Mostre a seus alunos que a comparação entre números decimais é feita comparando os algarismos 
que estão em cada casa decimal; devemos completar com zeros as que estão vazias.
Ordem Atleta
1a Cláudia
2a Eloá
3a Bia
4a Flávia
5a Diana
6a Aline
34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 12. Sr. José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5 kg de arroz por R$ 10,89, 
1 kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar 
a conta, seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu 
de troco?
D21
Para saber quanto foi gasto, devemos efetuar a operação 10,89 + 12,65 + 2,99. Para fazer este 
cálculo, procedemos assim:
 10,89
+ 12,65
 02,99
 26,53
Repare que todas as vírgulas estão alinhadas, que a casa vazia foi preenchida com o zero e a adição 
realizada como se tratasse de números naturais. Mas é preciso ficar atento! Quando trabalhamos 
com adição e subtração de decimais, comumente percebemos que os alunos armam a conta de 
forma incorreta, não se preocupando com o alinhamento das vírgulas. Isso acontece quando eles 
não reconhecem a vírgula como o objeto de separação entre a parte inteira e a parte decimal de 
um número.
Agora, para saber qual foi o troco recebido, devemos efetuar a operação 50,00 – 26,53:
 50,00
–
 26,53
 23,47
O procedimento é igual ao da adição, no caso da subtração.
Problema 13. Ao sair do mercado, Sr. José lembrou-se de que deveria ter comprado muçarela. 
No caminho para casa, passou em uma padaria e comprou 250 g do queijo, que custava R$ 14,99 
o quilo. Quanto pagou pelo queijo?
D21
O primeiro procedimento é transformar gramas em quilogramas.
250 g = 0,250 kg
Logo, a operação que devemos efetuar é 0,250 ? 14,99.
35GUIA DO tUtOr
1 4, 9 9
3 0, 2 5 0
7 4 9 5 0
1 2 9 9 8
0 0 0 0
0 3, 7 4 7 5 0
Repare que multiplicamos os decimais como se fossem números naturais e damos ao produto tan-
tas casas decimais quanto seja a soma das casas decimais dos fatores.
Mais uma vez, fique bem atento: muitos alunos deixam de deslocar a casa decimal durante a mul-
tiplicação.
Como estamos nos referindo a dinheiro, é preciso arredondar este valor para duas casas decimais. 
Portanto, o valor pago pelo queijo foi de R$ 3,75.
Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível. 
Por exemplo,se o carro faz 14 km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7 km por litro. Isso por-
que 14 ÷ 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5 km com 35 litros 
de combustível?
D21
Para saber, precisamos efetuar a operação 304,5 ÷ 35. Mas como? Veja esta propriedade da divisão:
42 ÷ 7 = 6
420 ÷ 70 = 6
4 200 ÷ 700 = 6
Percebeu? Multiplicando dividendo e divisor por um mesmo número, o quociente não muda.
Para efetuar a divisão com decimais, utilizamos essa propriedade. Vamos, então, calcular o consumo 
médio do carro em questão. Veja como:
304,5 35
Multiplicando o dividendo e o divisor por 10, obtemos:
3045 350
 2450 8,7
 0
Depois que retiramos as vírgulas, a divisão é feita normalmente, como ocorre entre números inteiros. 
Portanto, o rendimento médio do carro é de 8,7 km por litro.
36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. O conjunto dos Números Racionais (Q)
Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em 
forma de fração, como razão entre dois números inteiros. Esses números formam o conjunto dos 
números racionais, que é representado pela letra lQ.
Os números racionais na reta
Antes de ensinar aos seus alunos como localizar os racionais na reta numérica, você pode estimular 
a imaginação deles, desenhando a reta numérica no quadro, marcando os inteiros e fazendo algumas 
perguntas, como, por exemplo:
» Qual é o menor número inteiro positivo?
» E qual é o menor número positivo?
» Quantos números existem entre 0 e 1?
» Onde fica localizado o número 0,1 na reta numérica? E 0,01?
Ao discutir e responder a essas perguntas, os alunos terão seu primeiro contato com a localização 
de números racionais na reta numérica.
Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para o positivo, podemos 
localizar na reta qualquer número racional. Veja a localização de 
2
3
; –1,5; 3,25; –2,6 e 2,333... :
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–2,6 –1,5 2,333... 3,25
2
3
» 
2
3
 se localiza entre 0 e 1: dividimos o intervalo em três partes iguais e tomamos a segunda 
subdivisão no sentido positivo.
» –1,5 se localiza entre –2 e –1: é o ponto médio do intervalo, portanto dividimos o intervalo 
em duas partes iguais.
» 3,25 se localiza entre 3 e 4: como 0,25 = 
1
4
, então, dividimos o intervalo em quatro partes 
iguais e tomamos a primeira subdivisão no sentido positivo.
» –2,6 se localiza entre –3 e –2: como 0,6 = 3 ? 0,2 = 3 ? 
1
5
, então, dividimos o intervalo em 
cinco partes iguais e tomamos a terceira subdivisão no sentido negativo.
» 2,333... se localiza entre 2 e 3: como 0,333... = 
1
3
, então, dividimos o intervalo em três 
partes iguais e tomamos a primeira subdivisão no sentido positivo.
37GUIA DO tUtOr
5. Porcentagem
O tema porcentagem é recorrente em toda a Matemática e surge nas mais diversas situações. Este 
é um assunto trabalhado ao longo do Ensino Fundamental e deve ser devidamente compreendido, 
pois está presente em problemas diversos, relacionados a diferentes saberes matemáticos, além de 
ser uma ferramenta muito empregada na vida cotidiana.
Objetivamente, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.
Por exemplo, “sete por cento” escreve-se como “7%” e significa “sete centésimos”, isto é, 7% = 
7
100
Sempre que se menciona “sete por cento” imagina-se 7% de determinada grandeza. Nesse caso, 
imaginam-se sete centésimos dessa grandeza.
Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente saber os significados das mais frequen-
temente utilizadas.
Porcentagem 10% 20% 25% 50% 100%
Significado
1
10
1
5
1
4
1
2
1
Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar 
R$ 400,00, então, essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual é o quádruplo 
do preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto, o aumento 
foi de R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 ? R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 
300% em relação ao preço original.
Em determinados contextos, não faz sentido citar porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, 
não faz sentido mencionar um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um des-
conto superior ao preço do produto. Entretanto, é adequado dizer que um produto teve aumento 
de 140%.
Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, 
a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem 
consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.
38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 1. O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 
3,6%, quanto passou a ser seu novo salário?
D26
Solução:
1o método: 3,6% de R$ 980,00 é 3,6 centésimos de 980, ou seja, é 3,6
100
 ? 980 = 35,28.
Logo, o valor do aumento foi de R$ 35,28. Com isso, o novo salário desse trabalhador passou a ser:
R$ 980,00 + R$ 35,28 = R$ 1 015,28.
2o método: Considerar o salário original como 100% e, somando com 3,6%, obtém-se 103,6%, 
ou seja, o salário com aumento é 103,6% do salário original. Assim, o salário com aumento vale:
103,6
100
 ? 980 = 1,036 ? 980 = 1 015,28, ou seja, R$ 1 015,28.
Problema 2. O preço do ingresso do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$ 11,25. 
Qual era o valor da entrada antes do reajuste?
D26
Solução:
Seja x o preço do ingresso do cinema antes do reajuste. Com o reajuste de 25%, passou a custar:
x + 25
100
 x = 11,25
Resolvendo essa equação, obtém-se:
x + 25
100
 x = 11,25 ⇔ x + 1
4
 x = 11,25 ⇔ 5
4
 x = 11,25 ⇔ x = 4
5
 ? 11,25 = 45
5
 = 9.
ou seja, o ingresso custava R$ 9,00 antes do reajuste.
Outra forma de resolver seria usando uma regra de três simples:
11,25 ------------------------ 125%
 x ------------------------ 100%
x = 9 reais
O ingresso custava R$ 9,00 antes do reajuste.
Problema 3. Em uma empresa, há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcen-
tagem de funcionárias nessa empresa?
D26
Solução:
Nessa empresa há 620 – 341 = 279 funcionárias. Indicando por x% o percentual de mulheres 
nessa empresa, tem-se:
x
100
 ? 620 = 279
39GUIA DO tUtOr
Resolvendo essa equação obtém-se:
x
100
 ? 620 = 279 ⇔ x = 100
620
 ? 270 ⇔ x = 45
Logo, 45% total de funcionários dessa empresa são mulheres.
Outra forma de resolver seria usando uma regra de três simples:
620 ------------------------ 100%
279 ------------------------ x
x = 45 mulheres
Logo, 45% do total de funcionários dessa empresa são mulheres. 
Problema 4. (Enem) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos 
remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, 
os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% 
sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele 
não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, 
qual seria a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:
D26
a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00 e) 4,00
Solução: 
Com a remarcação de preços de todos os produtos, aquele que custava R$ 50,00 antes dessa 
remarcação ganhou um desconto de 20%, que significa uma redução de: 20
100
 ? 50 = 10 reais, 
passando a custar R$ 50,00 – R$ 10,00 = R$ 40,00.
Caso ela tivesse o cartão fidelidade, o cliente ganharia mais 10% de desconto em relação a esse 
último valor, ou seja, 10
100
 ? 40 = 4 reais. Logo, o cliente deixou de ganhar R$ 4,00 por não possuir 
o cartão fidelidade.
Problema 5. (OBMEP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto 
de quanto?
D26
Solução:
a) Desconto de 20% faz com que sobre 80% do valor inicial V 5 80% ? V = 80
100
 V
b) Desconto de 30% sobre o novo preço faz com que este seja 70% do anterior: 70% ? 80%
 70
80
 ? 80
100
 ? V = 56100
 ? V = 56%
Como só restou 56% do valor de V, os descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um 
desconto de 100% − 56% = 44%.
40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 6. (OBMEP) No gráfico, estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V 
em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990, a população da cidade II era 
de 60 000 habitantes e, em 2000, a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
D26
160
1990
2000
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
I II III IV V
0
Qual cidade teve o maior porcentual de população de 1990 a 2000?
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Solução:
As informações do gráfico estão nas três primeiras colunas da tabela a seguir:
Cidade
População 
em 1990
População 
em 2000
Aumento 
da população
Aumento 
proporcional da 
população
I 30 50 50 – 30 = 20
20
30
II 60 50 decresceu não teve
III 70 70 70 – 70 = 0 0
IV 100 150 150 – 100 = 50
50
100
V 120 130 130 – 120 = 10
10
120
Como 20
30
 é maior do que 50
100
 e 10
120
, concluímos que o maior aumento percentual de população, 
entre 1990 e 2000, ocorreu na cidade I.
Na forma percentual, 20
30
 = 67%, 50
100
 = 50% e 10
120
 = 8,3%.
41GUIA DO tUtOr
6. Trio dos Racionais
Para esta oficina, sugerimos o jogo “Trio dos Racionais”. Nele, os alunos devem relacionar três 
maneiras distintas de representar um mesmo número racional. As cartas estão no anexo, ao final 
desta Oficina.
Objetivos:
» Relacionar a imagem de uma fração com suas representações decimais e fracionárias.
» Trabalhar em equipe.
Regras
Participantes: Os alunos devem jogar em equipes formadas por três pessoas.
Cartas: São 30 cartas no total contendo 10 números racionais e suas representações.
Como jogar:
Inicia-se o jogo embaralhando as cartas e colocando-as sobre a mesa, com a face escrita voltada 
para cima.
Os participantes devem observar as cartas por um minuto, tentando localizar os trios de racionais, 
ou seja, as três cartas que representam o mesmo número racional. Após um minuto, viram as faces 
escritas para baixo.
A primeira equipe desvira três cartas. Se elas formarem trio, devem ser retiradas da mesa, e joga-se 
novamente. Se não, a equipe volta a virar as faces para baixo, deixando-as no mesmo lugar. Passa, 
então, a vez para a outra equipe.
O jogo continua até que todas as cartas sejam retiradas da mesa.
As equipes podem utilizar uma folha de rascunho, caso seja necessário efetuar alguma operação.
Vencedor: 
Vence a equipe que conseguir o maior número de trio de cartas.
42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
7. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Observe as figuras a seguir e identifique as que podem ter a parte hachurada repre-
sentada por uma fração:
D22/D23
I II III IV V VI
As questões a seguir referem-se às figuras que representam uma fração:
a) Qual fração representa cada uma delas?
 I) 3
4
 III) 5
8
 IV) 3
6
 VI) 7
4
 Os itens II e V não podem ser representados por frações.
b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas.
 3
4
 = 6
8
 = 9
12
; 5
8
 = 10
16
 = 15
24
; 7
4
 = 14
8
 = 21
12
c) Em relação à resposta do item (a), qual (is) é (são) fração (ões) equivalente (s)?
 3
6
d) Quais são frações irredutíveis?
 3
4
; 5
8
; 7
4
e) Qual pode ser expressa pela fração 
1
2
?
 IV
Atividade 2. Três caixas d´água têm a mesma capacidade. Uma está com 
5
6
 da sua capacidade, 
outra com 
4
7
, e a terceira com 
11
14
. Qual das caixas está mais cheia?
Comparação de frações equivalentes: 5
6
D21/D23
43GUIA DO tUtOr
Atividade 3. O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia, foi 
colocado carpete em 
6
8
 do chão e, no dia seguinte, em 
2
11
.
D21/D23
a) Qual fração representa a parte acarpetada?
 41
44
b) Qual fração representa a parte onde falta colocar carpete? 
 3
44
Atividade 4. A classe de Willian, o 9o ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um 
trabalho de Ciências.
D21
a) Um ônibus com 48 lugares apanhou os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi 
com eles. 
 Se 
5
8
 dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?
 a) 5
6
 ? 48 = 30 ocupados e 18 vazios.
b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos há no 9o ano B?
 b) 34 alunos.
c) A distância da escola ao zoológico é de 12 km. Ao percorrer 
3
4
 dessa distância, furou um dos 
pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico?
 c) 3
4
 ? 12 = 9 km. Faltavam 3 km.
d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 
49 macacos; 
4
7
 são fêmeas. Quantos são os machos?
 d) 4
7
 ? 49 = 28 fêmeas, 21 machos.
e) Num viveiro havia 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os pas-
sarinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e 
5
6
 do restante fugiram. Quantos 
passarinhos sobraram?
 e) Tirando 5 que morreram, sobraram 306. Mas, 5
6
 ? 306 = 255 fugiram. Logo, sobraram 
51 passarinhos.
44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do 
Sr. Antônio: rendimento médio urbano de 12,1 km; rendimento médio na estrada de 16,5 km.
D21
Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3 km na cidade e 198 km na estrada. Calcule a despesa 
com combustível que Sr. Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de 
combustível foi de R$ 2,30.
Na viagem toda:
Na cidade: 2,3 ? 36,3 = 83,49
Na estrada: 2,3 ? 198 = 455,40
Total: R$ 83,49 + 455,40 = R$ 538,89
Gastou com combustível R$ 538,89.
Atividade 6. Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais:
D19
a) 0,1
b) –1,2
c) 3,444...
d) – 
2
5
e) 
10
4
f ) –3,75
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
A E CDBF
4
45GUIA DO tUtOr
Atividade 7. Complete a tabela:
D22
Porcentagem Fração Número decimal
20%
20
100
0,20
60%
3
5 0,6
75%
75
100
0,75
7,5%
7,5
100 0,075
4%
8
200
0,04
125% 125
100
1,25
50%
50
100
0,50
28%
7
4 1,75
2,5%
2,5
100
0,025
46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 8. Calcule:
D20
a) 10% de 50 000 = 5 000
b) 25% de 400 = 100
c) 50% de 258 = 129
d) 80% de 2 700 = 2 160
Atividade 9. Calcule o número em que:
D20
a) 40% é 16 = 40
b) 20% é 30 = 150
c) 15% é 30 = 200
d) 200% é 120 = 60
Atividade 10. (CEFET-CEARá) Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a 
variações no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar 
R$ 225, 00. Qual o preço desse produto antes do aumento?
D26
a) Aumento de 25% resulta que fiquemos com 125% do valor inicial V, ou seja, 125% ? V. 
b) Desconto de 25% sobre o novo preço faz com que este seja 75% do anterior, ou seja, 
125% ? 75% ? V. 
c) Igualando ao valor dado: 125% ? 75% ? V = 225.
 125
100
 ? 175
100
 ? V = 225
 V = 225 ? 100
125
 ? 100
175
 V = 240
 Portanto, V = R$ 240,00.
47GUIA DO tUtOr
Atividade 11. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o 
primeiro semestre de 2012, na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a 
soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
D26
7,6
2,0
10,5
Em
 %
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
10,5
11,3 11,2 10,7 11,0 11,1 11,2
10,6 9,9
9,5 9,0
Aberto/2012
Oculto/2012
Total/2011
2,0
2,0 2,1 2,1 2,2
8,4 9,1 9,1 8,8 9,0
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual 
a essa taxa em dezembro de 2011. 
(Fonte: Disponível em: <www.dieese.org.br>. Acesso em: 1o ago. 2012 – Fragmento). 
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de:
a) 1,1
b) 3,5
c) 4,5
d) 6,8
e) 7,9 ( X )
Supondo que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012,então a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 
foi de 1,1%. 
Supondo que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 tenha sido igual a essa taxa em 
dezembro de 2011, então a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 foi de 9%. 
Logo, a% + 1,1% = 9% → a = 7,9% 
48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 12. A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do 
mar são necessários para obter 500 g de sal?
D26
1 000 g ------------------------ 25 g
 x ------------------------ 500 g
x = 20 000 g = 20 kg
Atividade 13. Em uma promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia da 
liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da 
bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior a ela?
D26
x ? 0,85 ? 0,90 = 0,765 ? x
1 000 – 0,765 = 0,235
Desconto de 2,35%.
Atividade 14. Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2 349,00 líquidos, após o descon-
to de 10% de INSS.
D26
a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?
 90% ------------------------ 2 349,90
 100% ------------------------ x
 x = 2 611
 Recebeu uma remuneração bruta de R$ 2 611,00.
b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho, de forma a receber (líquidos) R$ 2 610,00, 
após a a dedução do INSS?
 90% ------------------------ 2 610
 100% ------------------------ x
 x = 2 900
 Deveria ter cobrado R$ 2 900,00.
49GUIA DO tUtOr
1. Introdução
As potências e os radicais são estudados em várias séries do Ensino Fundamental, ora com suas 
definições, ora com suas propriedades. Nesta Oficina trataremos desses conteúdos começando 
pela potenciação com base racional e expoente natural, ampliando para expoentes negativos e 
enfatizando a utilização das potências de 10 utilizadas nas notações científicas, que são funda-
mentais para o desenvolvimento das teorias da Física e da Química. Trabalharemos, também, com 
as propriedades da potenciação, objetivando desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio.
Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e des-
tacaremos as propriedades e os cálculos que envolvam números irracionais, trabalhando com sim-
plificação de radicais.
Usaremos um jogo como recurso didático lúdico, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico 
matemático e habilidades de cálculo com potências e radicais. O jogo que usaremos é uma adapta-
ção do “Dominó humano matemático”, que terá cálculos que envolvem potências e radicais e suas 
propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao mesmo tempo, dinamizar a 
aula. Por meio desse recurso, os alunos aprendem Matemática brincando, desenvolvem autonomia, 
fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas.
2. Potenciação
A potenciação é útil na análise de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na com-
preensão da difusão de uma epidemia.
Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com determinada doença. Em 1 dia, 
o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina 
outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo, teremos uma epidemia. Faça um diagrama 
de árvore e complete a tabela:
D20/D21
Tempo Instante inicial 1o dia 2o dia 3o dia 4o dia
Novas pessoas contaminadas 1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO3
50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
O problema anterior envolve o uso de potências. Vamos definir o que é potência e conhecer seus 
elementos:
Definição: Podemos representar uma multiplicação em que os fatores são números iguais usando 
a operação de potenciação, como, por exemplo:
2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16 ⇒ Multiplicação de fatores iguais
24 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16 ⇒ Potenciação
Representamos uma potência de seguinte forma:
24 = 16
Expoente
PotênciaBase
A fórmula a seguir possibilita saber o número de contaminados C no enésimo dia, segundo a tabela:
C = 4n
Aqui, você, professor, deverá explicitar a definição de potência e discutir as diversas possibilidades, 
usando bases de diferentes naturezas (positiva, negativa, fracionária) e, também, com expoentes 
positivos e negativos (o expoente fracionário será explorado na radiciação). Nossos alunos costu-
mam se confundir com essas regras operacionais e, por isso, elas devem ser relembradas sempre 
que efetuarmos um cálculo com potências.
Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais: 
a) 34 = 81
b) (–5)2 = 25
 c) (–2)3 = –8
d) [ 5
8
]
2
 = 25
64
e) (3,1)3 = 29,79
 f ) 181 = 18
g) (–2)6 = 64
h) 07 = 0
51GUIA DO tUtOr
Observando as potências que você acabou de calcular, responda:
a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa? 
 Positiva.
b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa?
 Depende. Se o expoente for par, a potência é positiva; se o expoente for ímpar, a potência é negativa.
Vamos trabalhar com potências com expoente negativo e base racional. Leve o aluno a perceber a 
regularidade com a qual construímos a tabela e a formalizar a propriedade observada.
Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua elaboração.
D20/D21
22 21 20 2–1 2–2 2–3
8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
a) Escreva o resultado da potência:
a–n = 1
an
É importante revermos algumas das propriedades da potenciação para podermos efetuar cálculos 
com diferentes tipos de potências:
➜ 0n = 0
➜ 00 = 1
➜ 0–n = 1
an
➜ a
m
n = ±am
➜ am ? an = am + n
➜ am ÷ an = am – n
➜ (a ? b)n = an ? bn
➜ (a ÷ b)n = an ÷ bn
➜ (am)n = am ? n
n
52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
b) Efetue as potenciações, considerando o resultado anterior:
2–4 5–2 [– 
2
5
]
–3
[8
7
]
–1
(0,7)0
1
16
1
25
125
8
7
8
1
Vamos trabalhar agora com notação científica. Nessa altura é importante reapresentar a definição 
e as regras operacionais dessas potências especiais. É fundamental que você relembre a multiplica-
ção e a divisão por 10 e por múltiplos de 10, para que o aluno consiga desenvolver bem os cálcu-
los com essas potências.
Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:
D35
“...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 
100 000 000 000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho da 
Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100 000 000 000 000 000 000 metros de 
diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100 
000 000 000 000 000 000 000 000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos as-
sombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor 
estudar Biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,000 000 1 metro, muito 
mais fácil de lidar. O problema é que a Astronomia não é uma profissão perigosa, 
enquanto a Biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus 
que medem apenas 0,000 000 001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por 
distração, um biólogo deixar um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca 
mais irá encontrá-lo!...”.
PEDRO, Ivã. Textos para o Enem. In: Física divertida. Disponível em: <http://fisicadivertida.com.br/ 
media/2015/09/texto-1-medidas-e-vetores.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2016.
Difícil ler esses números, não é?
Para facilitar ainda a compreensão de textos como esse, os cientistas passaram a usar uma forma 
compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica 
ou notação exponencial.
53GUIA DO tUtOr
Notação Científica: Regra Prática
Números maiores que 1: Descolamos a vírgula para a esquerda até atingirmos o primei-
ro algarismo do número. O número de casas deslocadas para a esquerda corresponderá ao 
expoente positivo da potência de 10.
2 000 = 2 ? 103
762 500 = 7,625 ? 105
Números menores que 1: Deslocamos a vírgula para a direita até atingirmos o primeiro 
algarismo diferente de zero. O número de casa deslocadas para a direita corresponderá ao 
expoente negativo da potência de10.
0,0008 = 8 ? 10–4
0,000000345 = 3,45 ? 10–7
Agora, você pode escrever os números que aparecem no texto anterior utilizando notação científica.
100 000 000 000 = 1 ? 1011
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1 ? 1026
100 000 000 000 000 000 000 = 1 ? 1020
0,0000001 = 1 ? 10–7
0,000000001 = 1 ? 10–9
3. Radiciação
Vamos trabalhar a radiciação como a operação inversa da potenciação, levando o aluno a construir 
seus próprios conhecimentos por meio da observação das regularidades e semelhanças com os 
cálculos de potências.
Problema 4. Vamos completar a tabela, calculando a área de um quadrado de lado medindo n 
centímetros.
Lado n Área
3 cm 9 cm2
7 cm 49 cm2
2,5 cm 6,25 cm2
x cm x2 cm2
D16
54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Agora, a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área:
Área Lado
16 cm2 4 cm
64 cm2 8 cm
2,25 cm2 1,125 cm
x2 cm2 x cm
Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar 
esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes:
a) ±121 = 11
b) ±256 = 16
c) 
3
±121 = 5
d) ±14425 = 125
e) 
4
±–16 = não existe
f ) 
5
±32 = 2
g) 
3
±–8 = –2
A maior parte dos alunos acredita que só existem raízes exatas e esquece que todo número real 
positivo possui raiz de todos os índices, podendo ser ou não exata. É assim que construímos o con-
junto dos números irracionais. Vamos usar uma representação gráfica para mostrar a existência e as 
aproximações de raízes não exatas, que são muito importantes em cálculos de Matemática básica.
Problema 5. O gráfico a seguir mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus 
quadrados, representados por y. Analise-o e determine, ao observá-lo, o valor aproximado:
D25
a) dos números cujos quadrados são 36; 30; 19; 84
b) dos números 15 ; 81 ; 69 ; 54
55GUIA DO tUtOr
x
y
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10
Vamos agora rever as propriedades operacionais dos radicais. O exercício usa a raiz quadrada, mas 
você pode ampliar essas propriedades para raízes de qualquer índice, utilizando alguns exemplos 
para que o aluno compreenda essa ampliação. Ainda, você poderá tratar de outras propriedades 
que julgar importantes para os cálculos com radicais.
56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em 
verdadeira ou falsa.
D25
Vamos rever algumas propriedades dos radicais, lembrando que podemos sempre recorrer às 
potências que justificam e simplificam a aplicação de tais propriedades:
Notação 
Gráfica
Explicação
n
±0 = 0 Este fato na radiação acontece, pois o zero sempre será zero, não importa quantas 
“n” vezes ele aparecer.
n
±1 = 1 A mesma aplicação anterior é válida para o número 1, pois 1 ? 1 é sempre 1.
1
±a = a Esta propriedade é possível provar pela definição de raiz. Faça a seguinte pergunta: Qual 
o número que multiplicado uma vez por ele mesmo tem como resultado ele mesmo?
n
±an = a
Quando colocamos esta raiz na forma de potência temos o resultado: 
an/n
E a fração n/n vale 1, desta forma:
An/n = a1 = a
n
±ab = a
b
n Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria 
n
±a = a
1
n , a diferença é que 
agora o “a” está elevado a uma potência diferente de 1.
a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses 
números: a + b = a + b (F)
b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto 
desses números: a ? b = a ? b (V)
c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente 
desses números: a ÷ b = a ÷ b (V)
d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença 
desses números: a – b = a – b (F)
e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário 1
2
:
 a = a (V)
Vamos agora empregar o cálculo do perímetro de figuras planas para exercitar cálculos com radicais. 
Você deverá enfocar a necessidade da simplificação dos radicais para reduzir as expressões.
1
2
57GUIA DO tUtOr
Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados a seguir, cujas medidas 
de seus lados estão dadas em centímetros. Procure simplificar os radicais.
D15/25
a) 
125
20
5
48
18
Repare que os radicais não podem ser somados, já que só podemos somar radicais iguais. Então, 
para que possamos escrever os perímetros dessas figuras de forma simplificada, deveremos submeter 
esses radicais à simplificação.
A simplificação de radicais é necessária quando efetuamos operações com radicais não exatos.
Começamos a simplificar o radical ±125:
Para começar, devemos fatorar o número:
125 5
25 5
5 5
1 = 53
Agora, como queremos determinar a raiz quadrada de 125, sabendo que 
n
±an = a, vamos escrever 
o radical da seguinte forma:
±53 = ±52 ? 5 = ±52 ? ±5 = 5±5
Assim, concluímos a simplificação de ±125, basta procedermos da mesma forma para simplificar 
os outros radicais e efetuarmos a soma que determinará o perímetro da figura. Agora, faça você.
58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. Dominó matemático
De forma dinâmica e lúdica, o dominó tem como objetivo executar diferentes procedimentos de 
cálculos de potenciação e radiciação com números naturais, inteiros e racionais e também levar o 
aluno a analisar, interpretar e elaborar conclusões referentes às sentenças apresentadas. O jogo é 
proposto para um grupo, o que permite a troca, a interação e a dinamização entre os alunos, a fim 
de facilitar os cálculos de potenciação e radiciação.
Material necessário
Peças a serem recortadas no anexo desta oficina.
Regras:
» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho, 
se julgar necessário) e distribua-as para a turma, entregando uma peça para cada aluno. Se 
sobrarem peças, estas ficarão com você para que o jogo possa se realizar. Se houver mais 
alunos do que peças, organize a turma em dois grupos diferentes, para que todos possam 
participar.
» Um aluno começa o jogo. Ele vai à frente e lê seu cartaz. Por exemplo:
Eu tenho 9, quem tem 0100?
O aluno que estiver com a resposta, ou seja, o aluno que tiver a peça com os dizeres: “Eu tenho 
0, ...” vai à frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano), e assim por 
diante. Cada aluno vai se posicionar no dominó conforme sua peça.
É importante que você, tutor, aguarde as tentativas dos alunos. Espere até que alguém se pronun-
cie com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a 
propriedade utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes questões: 
Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou algum 
outro caminho para efetuar o cálculo?
59GUIA DO tUtOr
5. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilô-
metros. Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um 
ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda: 
D35
a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 km. Multiplique esse valor pelo número de segun-
dos de um ano e obtenha quantos quilômetros há em um ano-luz. Registre a resposta em 
notação científica.
 9,46 ? 1012
b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros 
nos separam dela?
 3,78 ? 1013
Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de pesso-
as infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco pessoas 
saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 6o dia, quantas pessoas 
ao todo haviam sido infectadas?
D21
1o) 5; 2o) 52; 3o)53; 4o) 54; 5o) 55; 6o) 56 → 15 625
Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 348 ?
D25
3 ? 4±3 = 12±3  12 ? 1,73 = 20,78
Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de lado l é l
2 ? 3 
4
. Nessas condições, 
qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado 35 cm?
D16
A = (3±5)
2 ? ±3
4
  19,48
60 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20 m ? 22 m deverá ser cercado com arame.
D15
Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário 
dar 3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos).
P = 4±5 + 4±2 = 8,94 + 2,82  11,76
P = 35,28 m (1 volta) → R$ 123,48
Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 ÷ (31)0 + [ 6
10
]
2
?
D20
0,64 ÷ 1 + 0,36 = 1
Atividade 7. (OBMEP) Qual dos números a seguir está mais próximo de 60,12 ? (0,99)
2
401
?
D20
a) 0,03
b) 0,3
c) 3 X
d) 30
e) 300
Vamos usar o símbolo  para indicar “aproximadamente igual a”. Por exemplo, 0,99  1; 
±401  20; 60,12  60. Em geral, em uma operação aritmética, trocamos os números envol-
vidos por outros aproximadamente iguais a eles. O resultado da operação deve ser uma apro-
ximação do que teríamos obtido com os números originais. No nosso caso, 60,12 ? (0,99)
2
±401
 = 
= 60 – 1
20
 = 3. Logo, a alternativa correta seria a c).
61GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Esta Oficina trata de um tema muito importante, pois está na base da resolução de problemas em 
Matemática. Veremos como traduzir, em linguagem e notação matemática, informações apresentadas 
textualmente, além de saber operar com expressões matemáticas do tipo monômio e polinômio.
2. O emprego de letras em Matemática
Na Antiguidade, recorria-se ao uso de palavras para indicar os cálculos e as operações, na resolu-
ção de problemas. Com isso, os cálculos tornavam-se longos e cansativos.
Mas, com o passar do tempo, superando muitas dificuldades, a humanidade foi lentamente apren-
dendo a substituir as palavras por letras e as operações por sinais, para tornar os cálculos mais 
fáceis. Por volta do século III a.C., Aristóteles e Euclides passaram a usar letras e símbolos, de forma 
limitada, para representar números e indicar a solução de um problema.
Muitos séculos se passaram, até que, em 1572, o matemático Bombeli publicou sua obra L’Algebra, 
que muito contribuiu para o desenvolvimento da linguagem algébrica. Porém, foi o matemático 
francês François Viète (1540-1603) que introduziu o uso sistemático de letras para representar os 
números, da maneira como é aplicado até os dias atuais.
Vivemos em uma sociedade em que a quantidade de informações numéricas que nos são apresen-
tadas cotidianamente é variada. Para resolver os problemas decorrentes dessas informações, pode-
mos traduzi-los para a linguagem da álgebra.
Problema 1. Represente as frases a seguir em linguagem matemática:
D36
a) Um número mais o quádruplo dele é igual a 10.
 Indicando esse número por x, teríamos: x + 4x = 10 .
b) A metade do número de eleitores de uma cidade é igual a 1 642.
 Indicando o número de eleitores dessa cidade por a, teríamos: a
2
 = 1 642
REVENDO áLGEBRA4
62 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
c) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35.
 Indicando esse número por m, teríamos: 3
4
 m – 2 = 35.
d) Um número adicionado ao seu dobro resulta em 28.
 Indicando esse número por y, teríamos: y + 2y = 28.
Problema 2. O quintal da casa de Érika tem formato retangular, e suas dimensões (em metros) 
estão representadas na figura a seguir:
D37/D38
a
a
bb
Como podemos representar a medida do contorno desse quintal? 
A representação algébrica dessa medida pode ser dada por:
a + b + a + b ou 2a + 2b metros
Observamos que na expressão 2a + 2b aparecem números e letras. Podemos afirmar, então, que:
» Uma expressão matemática que apresenta somente letras ou números e letras é chamada 
de expressão algébrica ou literal.
Veja que a expressão algébrica 2a + 2b é formada por duas parcelas que são chamadas de termos 
algébricos
No termo algébrico (ou monômio) 2a, destacamos:
» a parte numérica (2), chamada de coeficiente numérico.
» a letra (a), chamada de parte literal.
A expressão algébrica composta de mais de um monômio é chamada de polinômio. É o caso da 
expressão algébrica 2a + 2b.
63GUIA DO tUtOr
3. Operações com monômios
3.1. Adição de monômios
Problema 3. Dona Emília quer colocar rodapé no contorno da cozinha, que tem forma retangular 
e cujas dimensões estão representadas no desenho a seguir. Vamos ajudá-la!
D37/D38
3x
2x
O contorno da cozinha pode ser encontrado calculando-se o perímetro do retângulo que a repre-
senta. Ou seja:
3x + 2x + 3x + 2x = (3 + 2 + 3 + 2) ? x = 10 ? x = 10x
Fizemos uma adição de monômios. Para isso, somamos os coeficientes (parte numérica) e repetimos 
a parte literal (letras), quando são iguais.
Os termos que possuem partes literais iguais chamamos de termos semelhantes. Logo, 3x e 2x são 
exemplos de termos semelhantes.
Só podemos fazer a adição de monômios quando os termos algébricos têm a mesma parte literal, 
ou seja, são semelhantes.
Logo, o contorno da cozinha é 10x.
3.2. Multiplicação de monômios
Problema 4. Dona Emília quer calcular a área da cozinha para colocar piso. Vamos ajudá-la!
Você já sabe que a largura da cozinha é 3x e o comprimento é 2x.
D37/D38
Podemos representar no desenho a seguir:
3x
x2 x2
x2 x2
x2 x2
x x
x
x
x
2x
64 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Você pode encontrar a área contando os quadrinhos de área x2.
Qual área você encontrou?
Outra maneira de obter essa área é calculando o produto:
3x ? 2x = (3 ? 2) ? (x ? x) = 6 ? x2 = 6x2
Você multiplicou a parte numérica e somou os expoentes da parte literal. A esta operação chama-
mos multiplicação de monômios.
Para efetuar a multiplicação da parte literal, utilizamos a propriedade da multiplicação de potên-
cias de mesma base.
am ? an = am + n
Na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
3.3 Subtração de monômios
Problema 5. Quando Dona Emília chegou à loja para comprar o piso, soube de uma oferta. Resolveu 
calcular para saber se o piso servia para a cozinha. Descobriu que o total do piso em oferta era 
8x2 metros quadrados.
Como a área que Dona Emília precisa é de 6x2 metros quadrados, o piso em oferta será suficiente? 
Sobrará ou faltará? Quanto?
D37/D38
Para saber quanto piso vai sobrar, você tem que calcular a diferença. Mas como? Assim:
8x2 – 6x2 = (8 – 6)x2 = 2x2
Fizemos uma subtração de monômios. Para fazer esse cálculo, subtraem-se os coeficientes numé-
ricos e repete-se a parte literal. Essa operação só é possível com monômios semelhantes.
65GUIA DO tUtOr
3.4 Divisão de monômios
Problema 6. Mas a loja só venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrassem pelo menos 
3x2 metros quadrados. Por isso, Dona Emília não pôde comprar o piso nessa loja. Como ainda 
precisa do piso para a cozinha, Dona Emília foi a outra loja. Lá encontrou um lote de 18x2 metros 
quadrados de piso e, como o preço estava barato, resolveu comprá-lo. Curiosa, pensou em quantas 
cozinhas do tamanho da sua poderiam ser revestidas com aquela quantidade de piso.
D37/D38
Vamos ajudá-la:
Se há 18x2 metros quadrados de piso e cada cozinha tem 6x2 metros quadrados de área, basta que 
se faça uma divisão, assim:
18x2 ÷ 6x2 = (18 ÷ 6)(x2 ÷ x2) = 3x2 – 2 = 3x0 = 3 ? 1 = 3
Fizemos uma divisão de monômios. Para fazer esse cálculo, devemos dividir a parte numérica. E para 
a parte literal, diminuem-se os expoentes.
Para efetuar a divisão da parte literal, usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base:
am ÷ an = am – n
Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Logo, a 
quantidade de piso serviria para revestir 3 cozinhas iguais à de Dona Emília.
3.5. Potenciação de monômios
Problema 7. Dona Emília resolveu colocar emsua sala um tapete quadrado com as dimensões 
a seguir:
D37/D38
2y
2y
Ela quer saber a área desse tapete.
Como o tapete tem a forma de um quadrado, basta fazer o cálculo da área do quadrado, que é:
A = ,2
–3 x2 – 2
66 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Como o valor do lado é 2y,
A = (2y)2
Resolvendo,
A = (2y)2 = (2y) ? (2y) = (2 ? 2) ( y ? y) = (21 ? 21) ( y1 ? y1) = 21 + 1y1 + 1 = 4y2
Este problema pode também ser resolvido elevando-se o coeficiente e a parte literal que compõem 
a base ao expoente da potência:
A = (2y)2 = 22y2 = 4y2
Outro exemplo:
(3x4)3 = (3x4)(3x4)(3x4) = 31 ? 31 ? 31 ? x4 ? x4 ? x4 = 31+ 1 + 1 ? x4 + 4 + 4 = 33 ? x12 = 27x12
ou
(3x4)3 = (31 ? x4)3 = 31 ? 3 ? x4 ? 3 = 33 ? x12 = 27x12
Fizemos nada mais do que a potenciação de monômios.
3.6. Radiciação de monômios
Você já sabe que a operação inversa da potenciação é a radiciação. Então, para extrairmos a raiz 
de um monômio, fazemos a operação inversa:
±4y2 = 
2
±22 ? y2 = 2
2
2 ? y
2
2 = 21 ? y1 = 2 ? y = 2y
Generalizando, temos:
n
±am = a
m
n
e
n
±ab = a
1
n ? b
1
n
Portanto, repetimos a base e dividimos o expoente do radical pelo índice da raiz.
67GUIA DO tUtOr
4. Polinômios
4.1 Adição de polinômios
Problema 8. O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e, para tanto, quer 
saber quantos metros de alambrado terá de comprar, sendo o comprimento desse campo dado 
por 5x + 20 m, e sua largura, por 4x + 10 m.
D37/D38
Vamos ajudá-lo. 
Como você já sabe, ele precisa calcular o perímetro desse campo, que tem a forma de um retân-
gulo, então:
5x + 20
(5x + 20) + (5x + 20) + (4x + 10) + (4x + 10) = 
= 5x + 20 + 5x + 20 + 4x + 10 + 4x + 10 = 
= (5 + 5 + 4 + 4)x + 20 + 20 + 10 + 10 = 
= 18x + 60 m 
Juntamos os monômios que têm a mesma parte literal. Aqui fizemos uma adição de polinômios. 
Quando se juntam os monômios que têm a mesma parte literal, os termos semelhantes são reduzidos.
4.2. Multiplicação de polinômios
Problema 9. Em seguida, o mesmo presidente necessita gramar o campo de futebol. 
D37/D38
Para isso, você sabe, é só calcular a área. Assim:
(5x + 20)(4x + 10) = (5x)(4x) + (5x)(10) + (20)(4x) + (20)(10) =
= 20x2 + 50x + 80x + 200 = 20x2 + 130x + 200 m2
Multiplicamos cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo e reduzimos 
os termos semelhantes. Isso chama-se multiplicação de polinômios.
4x + 10
68 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
5. Equações lineares
5.1. Identidade e equação
É importante, inicialmente, compreender a diferença entre equação e identidade. Essa diferenciação 
deve ser pontuada a priori, pois esclarecerá, adiante, as situações “estranhas” que surgirão ao se 
resolverem algumas equações.
Dada uma expressão na qual figura apenas uma letra, suponhamos x, à qual nos referiremos como 
expressão em x, o conjunto dos números reais x, para os quais se podem efetuar as operações 
indicadas na expressão, é chamado de domínio da expressão. Veja os dois casos a seguir.
a) O domínio da expressão 2
x – 3
 é o conjunto dos x reais diferentes de 3, pois, nessa expressão, 
podemos atribuir a x todos os valores reais, exceto o valor 3, já que, neste caso, o denominador 
se anularia e estaríamos diante de uma divisão por zero, o que não existe.
b) O domínio da expressão 3x + 2 é o conjunto IR dos números reais, pois podemos atribuir a x 
qualquer valor real que a expressão em tela sempre fornecerá, por resultado, um número real.
A
N
A
 B
EA
TR
IZ
 C
A
V
ET
69GUIA DO tUtOr
Dada uma igualdade na qual em cada membro há uma expressão em x, consideremos o conjunto 
dos números reais x que são comuns aos domínios dessas expressões, ou seja, o conjunto dos 
números reais x para os quais são possíveis de serem realizadas as operações indicadas por ambas 
as expressões. Indiquemos tal conjunto por D. Veja os dois casos a seguir:
a) No caso da igualdade 3x + 1= x – 4, as operações indicadas por ambas as expressões 3x + 1 e 
x – 4 podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = IR. Da mesma maneira, acontece com 
a igualdade (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.
b) Na igualdade 2
x + 2
 = 3
3x – 2
, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de –2 e 
2
3
, pois tais números anulam, respectivamente, os denominadores do primeiro e segundo 
membros. No caso da igualdade 1
x – 2
 + 2
x – 2
 = 3
x – 2
, o conjunto D é a coleção dos 
números reais diferentes de 2.
Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D). Caso contrário, tem-se 
uma equação. Neste último caso, resolver a equação significa obter os valores x de D que a verificam. 
O conjunto desses valores será chamado de conjunto-solução da equação (eventualmente, tal 
conjunto pode não conter nenhum elemento, que é o caso de não haver solução para a equação).
5.2. Equação do 1o grau
Uma equação do 1o grau pode ser reescrita e transformada na forma ax + b = 0, na qual a e b são 
constantes, a  0 e x é a incógnita da equação.
Note que o domínio da expressão ax + b = 0, com a e b constantes e a  0, é o conjunto dos 
números reais.
Sua resolução é feita da seguinte forma:
ax + b = 0
ax + b – b = 0 – b
ax = –b
ax
a
 = 
–b
a
x = 
–b
a
Logo, a expressão ax + b = 0 é uma equação e o seu conjunto-solução é o conjunto unitário 
S = [– b
a
]
[subtrai-se b de ambos os membros para cancelar com o b]
[dividem-se ambos os membros por a para isolar a incógnita x]
70 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Uma atitude que deve ser evitada ao se resolver equações é a mecanização excessiva dos procedi-
mentos, criando-se “regras” que levam, invariavelmente, o aluno a não saber o que está realmente 
fazendo e que, certamente, não trazem significado à sua aprendizagem. Além disso, essas “regras” 
são facilmente confundidas ou esquecidas.
É muito comum o aluno decorar regras como “passa para lá com o sinal trocado” ou “passa para 
lá dividindo” e, depois, não sabe quando se aplica uma ou outra regra.
Por exemplo, na resolução da equação 2x – 4 = 10, é comum o aluno utilizar as “regras” anteriores, 
da seguinte forma:
2x – 4 = 10
2x = 10 + 4 [“passa o 4 para lá com o sinal trocado”]
x = 14
2
 [“passa o 2 para lá dividindo”]
x = 7
O que conduz, neste caso, à resposta correta, ou seja, o conjunto-solução dessa equação é 
S = {7}.
Entretanto, não é incomum o aluno aplicar essas mesmas “regras” da seguinte forma:
2x – 4 = 10
2x = 10
4
 [“passa o 4 para lá com o sinal trocado e dividindo”]
2x = 2,5
x = 2,5 - 2 [“passa o 2 para lá com sinal trocado”]
x = 0,5
Esse tipo de erro resulta de se tentar fixar o algoritmo de resolução, em detrimento das ideias 
associadas aos procedimentos de resolução.
É sempre melhor afirmar, explicitamente, o que realmente está se fazendo, em cada passagem, 
conforme apresentado a seguir:
2x – 4 = 10
2x – 4 + 4 = 10 + 4 [soma-se 4 em ambos os membros para cancelar o –4 no 1o membro]
2x = 14
2x
2
 = 14
2
 [dividem-se ambos os membros por 2 para isolar x no 1o membro]
x = 7
Procedendo dessa forma, a aprendizagem adquire significado para o aluno e evita que ele 
“decore” receitas de procedimentos que, muito provavelmente, cedo ou tarde, ele as esquecerá 
ou as confundirá.
71GUIA DO tUtOr
Problema 1. Resolva as equações a seguir:
D40
a) 2x + 3 = 4x – 2
b) 3x – 1
2
 = 1,5x – 1
2
c) 2x + 2 = 4x – 3
2
d) 3( y + 4) – 5 = 9
e) y
2
 + y
3
 = y + 4
f ) 2( y + 3) – 4( y – 2) = y + 4(2 – y)
Solução:
a) 2x + 3 = 4x – 2. Inicialmente, observe que o domínio dessa expressão é lR.
 2x + 3 = 4x – 2
 2x + 3 – 4x = 4x – 2 – 4x
 –2x + 3 = –2
 –2x + 3 – 3 = –2 – 3
 –2x = –5
 x = 
–5
–2
 = 
5
2
b) 
3x – 1
2
 = 1,5x – 
1
2
. Inicialmente observe que o domínio dessa expressão é lR.
 
3x – 1
2
 ? 2 = [1,5x – 1
2
] ? 2
 3x – 1 = 3x – 1
É comum o aluno continuar, desnecessariamente, os procedimentos e, com isso, terá a surpresa do 
desaparecimento da incógnita x, chegando, assim, à igualdade 0 = 0, sem saber o que fazer. Pois 
bem, aqui se revela a importânciada diferenciação entre identidade e equação. Neste caso, estamos 
diante de uma identidade, pois a igualdade 3x – 1 = 3x – 1 verifica-se para todo valor real de x, 
portanto para todo o domínio da expressão. Mesmo que o aluno continue seus procedimentos até 
obter 0 = 0, ele estará, da mesma forma, diante de uma igualdade que se verifica para todo valor 
real de x. Com isso, o conjunto-solução dessa equação é lR. 
c) 2x + 2 = 4x – 3
2
. Inicialmente, observe que o domínio dessa expressão é lR.
 2x + 2 = 2x – 3
2
.
72 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Neste ponto, já se pode concluir que o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio, já que as 
parcelas que envolvem a incógnita x são idênticas nos dois membros. Com relação às parcelas 
constantes, tem-se 2  – 3
2
. Entretanto, em geral o aluno não resiste em prosseguir:
2x + 2 – 2x = 2x – 3
2
 – 2x
2 = – 3
2
Neste caso, obtém-se uma igualdade que não é válida nunca, independentemente de qual seja o 
valor real atribuído a x. Estamos diante de uma equação cujo conjunto-solução é o conjunto vazio, 
representado pelo símbolo .
d) 3( y + 4) – 5 = 9
 3y + 12 – 5 = 9
 3y + 7 = 9
 3y = 2 
 y = 2
3
 
O conjunto-solução desta equação é S = { 2
3
} e seu domínio é lR.
e) y
2
 + y
3
 = y + 4
 6 ? y
2
 + 6 ? y
3
 = 6 ? y + 6 ? 4
 3y + 2y = 6y + 24
 5y – 6y = 24
 y = –24
É interessante observar que podemos resolver esta equação tirando o mínimo múltiplo comum de 
ambos os lados ou, então, multiplicando todos os membros da equação por um número que seja 
divisível pelo denominador. Mostrar ao aluno as diferentes opções de resolução faz com que ele 
conheça outros procedimentos e evite a mecanização de regras. 
O conjunto-solução desta equação é S = {– 24}.
f) 2( y +3) – 4( y – 2) = y + 4(2 – y)
 2y + 6 – 4y + 8 = y + 8 – 4y
 –2y + 14 = –3y + 8
 –2y + 3y = 8 – 14
 y = –6
O conjunto-solução desta equação é S = {–6}.
73GUIA DO tUtOr
Problema 2. Existem três números inteiros e consecutivos cuja soma é 153. Quais são esses 
números?
D29
Solução: 
Usando a linguagem algébrica, podemos representar os números por: 
x, x + 1, x + 2 
x + x + 1 + x + 2 = 153
3x + 3 = 153
3x = 150
x = 50
Problema 3. (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto 
em um só pé, uma passada e um salto, nesta ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só 
pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada 
ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
D29
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do 
segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, 
o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus 
estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m. X
e) 8,0 m e 9,0 m.
Solução:
Sendo x o valor do primeiro salto; o segundo salto será (x – 1,2), pois o enunciado relata que o “do 
segundo para o primeiro alcance diminuía em 1,2 m“; o terceiro salto será (x – 1,2 – 1,5), ou seja, 
(x – 2,7), pois o “do terceiro para o segundo, o alcance diminuía 1,5”. Logo, para que o atleta 
alcance a meta de 17,4 m no salto triplo:
x + (x – 1,2) + (x – 2,7) = 17,4
x + x – 1,2 + x – 2,7 = 17,4
3x = 21,3
x = 7,1 m
Portanto, considerando seus estudos, terá que alcançar 7,1 m no primeiro salto para atingir a meta 
de 17,4 m.
74 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 4. (OBMEP) Cláudio e Mário possuem juntos R$ 240,00. Cláudio possui R$ 90,00 a 
mais que o dobro da quantia de Mário. Quanto possui Cláudio?
D29
Solução:
Chamando a quantidade que Mário possui de x, então Cláudio possui (2x + 90). Se juntos eles 
possuem R$ 240,00, temos:
x + (2x + 90) = 240 
3x = 240 − 90 
3x = 150
x = 150
3
x = 50
Se Mário possui R$ 50,00, então Cláudio possui R$ 190,00.
Disponível em: <http://matematica.obmep.org.br/>. Acesso em: 1o fev. 2016.
6. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Faça a tradução das seguintes informações para a linguagem matemática:
D36
 a) O dobro de um número. 2x
 b) O triplo de um número. 3a
 c) A metade de um número. x
2
 d) A terça parte de um número. y
3
 e) Dois terços de um número. 2
3
 a
 f) Um número mais quatro. a + 4
 g) O triplo de um número menos dois. 3x – 2
 h) Dois quintos de um número acrescidos de quinze. 2
5
 y + 15
 i) O dobro de um número mais oito. 2x + 8
 j) A metade de um número aumentado de dez. b
2
 + 10
 k) A diferença entre um número e sete. c – 7
 l) A quarta parte de um número mais vinte. m
4
 + 20
m) A terça parte de um número menos o seu dobro. s
3
 – 2s
75GUIA DO tUtOr
Atividade 2. Uma creche tem x crianças. Escreva a expressão algébrica que representa:
D36
a) o dobro do número de crianças dessa creche. 2x
b) a quinta parte do número de crianças dessa creche. x
5
c) o número de crianças que a creche teria se saíssem quinze crianças. x – 15
Atividade 3. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das seguintes figuras:
D36/D15
a) b) a
a
a a
a
a 2a
b
2a 2a
b
2a
Atividade 4. Escreva cada situação descrita a seguir em linguagem algébrica.
D36
a) A diferença entre um número e sua terça parte. a – a
3
b) A soma de três números consecutivos. a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3
c) A altura de uma pessoa é maior que a altura da irmã dessa pessoa. m > n
d) O quádruplo de um número mais dez é igual a quarenta e seis. 4n + 10 = 46
Atividade 5. Descreva cada situação a seguir em linguagem corrente.
D36
a) 5x + 1 O quíntuplo de um número mais um.
b) 4x + 2 = 9 O quádruplo de um número mais dois é igual a nove.
c) 3x – 2x A diferença entre o triplo de um número e o dobro deste número.
d) x + x
2
 = 3
2
 A soma de um número com sua metade é igual a três meios.
e) y
4
 – 3 , y
2
 A diferença entre a quarta parte de um número e três é menor que a metade 
deste número.
f ) (a + b) (a – b) O produto da soma de dois números pela diferença destes dois números.
a) 6a b) 8a + 2b
76 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 6. Observe a figura e responda:
3x
2x
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo? A = 6x2
b) Qual é a expressão algébrica do perímetro desse retângulo? Essa expressão pode ser reduzida a um 
só termo? P = 10x
Atividade 7. Responda:
D38
a) Qual é o produto de –3x2 por 5xy? –15x3y
b) Qual é o produto de 8ab por –ab? –8a2b2
Atividade 8. Observe a figura a seguir e responda:
D37
4x²y
3y²
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área deste retângulo?
 A = 12x2y3
b) A parte literal do monômio que representa a área do retângulo é x2y3? Explique como obteve 
esse resultado.
Multiplicação de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Atividade 9. Um litro de leite custa x reais. Léa comprou três litros de leite. Pagou com 5x reais. 
Nessas condições, responda:
D36
a) Qual é o monômio que representa o preço de 3 litros de leite? 3x
D15/D16/D37
77GUIA DO tUtOr
Atividade 10. Determine os monômios que representam a seguinte situação: um sorvete custa 
x reais. Leonardo comprou 3 sorvetes, e Carolina, 5.
D36/D38
a) Quanto os dois gastaram? Leonardo: 3x Carolina: 5x
b) O troco que Leonardo recebeu, se ele pagou os dois sorvetes com 10x reais. 2x
Atividade 11. Se Jussara tem 20x reais e resolveu dar a quarta parte deste dinheiro para seu filho, 
que quantia ele receberá?
D36/D38
20x
4
 = 5x
Atividade 12. Qual é a forma mais compacta de representar as expressões a seguir?
D38
a) –7xy + 3xy = –4xy
b) 15mn – 8mn = 7mn
c) 2,5ab – 0,5ab = 2ab
d) –3a2b2 – a2b2 = –4a2b2
e) y2 + 6y2 – 2y2 = 5y2
f ) 4ax2 – 3ax2 + 9ax2 = 10ax2
Atividade 13. Qual é o resultado de:
D38
a) (15xy2)  (3x) 5 5y2
b) (–20x2y)  (4y) 5 –5x2
c) (81a4b2c)  (–9ab) 5 –9a3bc
d) (–49a3b2c)  (7a2bc)5 –7ab
e) (–48x4y3)  (–12x4y2) 5 4y
f ) (35x2y2)  (–5x2y2) 5 –7
Atividade 14. Suponha que um quadrado tenha área igual a 9y2. Qual é a medida do lado desse 
quadrado? 3y
D38
78 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 15. A sala da casa de Lucimar tem forma de um quadrado e 16 m2 de área. Qual é a 
medida do lado dessa sala? 4 m
D38
Atividade 16. Encontre a medida do lado de um quadrado cuja área mede:
D38
a) 81a4 Solução: 9a2
b) 100m2n6 Solução: 10mn3
Atividade 17. Dê o resultado de:
D38
a) (–2x)2 = 4x2
b) (3a2)3 = 27a6
c) (a2b3c)2 = a4b6c2
d) (–m2n3)4 = m8n12
e) 64m2 = 8 m
f ) 100a4b10 = 10a2b5
g) 4
9
x4a10 = 2
3
 x2a5
Atividade 18. Branco comprou 5 calças e 12 camisas. Se cada calça custou x reais e cada camisa 
y reais, qual polinômio representa a quantia que Branco gastou?
D38
5x + 12y
Atividade 19. Calcule:
D38
a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
c) (x + 5) (x – 5) = x2 – 25
d) (a + 3)2 = a2 + 6a + 9
e) (b – 2)2 = b2 – 4b + 4
f ) (m – n) (m + n) = m2 – n2
79GUIA DO tUtOr
Atividade 20. Resolva as equações:
D40
a) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3)
b) 
x
2
 + 
1 – x
5
 = 
1
2
c) –3(3x – 42) = 2(7x – 52)
d) 2 ? (3 – y) + 7 ? (2 – y) = 15 – 4y
e) 5m – 7 – 2m – 2 = 0
f ) 
a
3
 – 1 = 
a
2
 – 
1
4
a) 2x – x + 1 = 5 – x + 3
 x + 1 = 2 – x
 2x = 1
 x = 1
2
b) x
2
 + 1 – x
5
 = 1
2
 5x + 2 ? (1 – x) = 5
 5x + 2 – 2x = 5
 3x = 5 – 2
 3x = 3
 x = 3
3
 ⇒ x = 1
c) –3(3x – 42) = 2(7x – 52)
 –9x + 126 = 14x – 104
 –9x – 14x = –126 – 104
 –23x = –230 → x ? (–1)
 23x = 230
 x = 230
23
 ⇒ x = 10
d) 2(3 – y) + 7(2 – y) = 15 – 4y
 6 – 2y + 14 – 7y = 15 – 4y
 –9y + 4y = 15 – 20
 –5y = –5 
 y = 1
e) 5m – 7 – 2m – 2 = 0
 3m = 9
 m = 3
f ) a
3
 – 1 = a
2
 – 1
3
 4a – 12
12
 = 6a – 3
12
 –2a = 9
 a = – 9
2
 
80 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 21. (Unicamp-SP) Roberto disse a Amanda: ”Pense em um número, dobre este número, 
some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?“ Amanda disse: “15”. Roberto 
imediatamente revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule este número.
D39
Considere x o número procurado. Utilizando a linguagem algébrica, temos:
Número pensado: x; Dobro: 2x; Soma: 2x + 12
Divisão: 
2x + 12
2
 ⇒ 2x + 12
2
 = 15 ⇒ 2x + 12 = 30 ⇒ 2x = 30 – 12 ⇒ 2x = 18 ⇒ x = 18
2
 ⇒ x = 9
Resultado: 9
Atividade 22. O triplo de um número menos 30 é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
D29/D39
3x –30 = x
2
 + 10
6x – 60 = x + 20
5x = 80
x = 16
Atividade 23. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
D29/D39
x + x
2
 = 150
2x + x = 150
3x = 300
x = 100
Atividade 24. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, 
em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, 
e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 
2
3
 do tempo em que a luz vermelha 
fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e o ciclo dura Y segundos. 
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y?
D29/D39
Alternativa b.
a) 5X – 3Y + 15 = 0
b) 5X – 2Y + 10 = 0
c) 3X – 3Y + 15 = 0
d) 3X – 2Y + 15 = 0
e) 3X – 2Y + 10 = 0
Considerando W o tempo em que a luz vermelha fica acesa a 
cada ciclo, é válida a relação: x = 
2
3
 W. Sendo assim, W = 
3
2
 x
Como y é o tempo total do ciclo (verde-amarelo-vermelho), 
y = 5 + x + W = 5 + x + 
3
2
 x
Resolvendo a equação, teremos:2y = 10 + 2x + 3x
2y = 5x + 10 
5x + 10 = 2y
5x – 2y + 10 = 0
Essa é a relação entre x e y.
81GUIA DO tUtOr
Atividade 25. (UEG) Em uma sala de cinema com 100 lugares, o valor do ingresso inteiro custa 
R$ 20,00, enquanto o valor da meia-entrada custa 50% da inteira. Em uma seção, em que foram 
vendidas 80 meias e 20 inteiras, o faturamento foi de R$ 1 200,00. Se o proprietário da sala der 
um desconto de 20% no valor da entrada, qual deve ser o número de pagantes com meia-entrada 
para que o proprietário tenha a sala cheia e o mesmo faturamento da seção anterior?
D29/D39
a) 80
b) 50
c) 40
d) 20
Alternativa b.
Vamos calcular os descontos nas entradas:
Inteira: 20 ? 0,8 = 16
Meia entrada: 10 ? 0,8 = 8
Chamando de x o número de pagantes com meia entrada, então 100 – x é o número de pagantes 
com entrada inteira.
Temos, então, a seguinte equação:
8x + (100 – x) ? 16 = 1200
–8x = –400
x = 50
82 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Este é um tema básico e importante. Tem sido solicitado em diversos concursos, em vestibulares e 
também no ENEM. Em geral, o aluno sabe resolver problemas envolvendo duas grandezas proporcio-
nais pelo emprego da “regra de três”. Mas aplica a regra de três em situações inadequadas, para as 
quais ela não é válida. Em geral, o aluno não avalia corretamente se as grandezas envolvidas são ou 
não proporcionais, muito menos se essa proporcionalidade é direta ou inversa. Mais complicado ainda 
para ele é a situação na qual uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo.
O objetivo desta Oficina é revistar esses temas e habilitar os alunos a utilizar essas ferramentas na 
resolução de problemas.
2. Grandezas proporcionais
Considere a seguinte situação: uma empresa de Engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 
20 dias. Deseja-se saber quantos dias seriam necessários para que essa mesma empresa asfalte 
uma estrada de 84 km. As duas grandezas envolvidas, quilômetros de estrada a serem asfaltados 
e o número de dias necessários para realizar o asfaltamento, são tais que: se uma delas aumenta, 
a outra também aumenta, ou seja, quando aumentamos o número de quilômetros a serem asfal-
tados, o tempo necessário para realizar esse asfaltamento também aumenta.
Note, em particular, que se duplicássemos o número de quilômetros, o tempo gasto para realizar 
o asfaltamento seria também duplicado. Se triplicássemos o número de quilômetros, o tempo para 
realizar o asfaltamento deveria também ser triplicado. Na tabela a seguir, registramos a situação 
para algumas quilometragens. Note que, na última coluna desta tabela, registrou-se o quociente 
dos valores das duas grandezas em cada caso.
Quilometragem q 
da estrada
No de dias necessários para 
realizar o asfaltamento
Quociente q/d
60 20 3
120 40 3
180 60 3
30 10 3
12 4 3
1
1
3
3
GRANDEZAS DIRETA E 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS5
83GUIA DO tUtOr
Nessa situação, as grandezas q e d são tais que o valor de uma aumenta quando a outra também 
aumenta e, além disso, o quociente entre elas é constante.
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas anteriormente, afirma-
mos que elas são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Tecnicamente, duas grandezas x 
e y são proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade), tal que y = k ? x 
ou, equivalentemente, 
y
x
 = k.
Problema 1. Uma empresa de Engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos 
dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84 km?
D27
Solução: 
Há dois métodos que são geralmente empregados para resolver este tipo de problema.
1o método (método de redução à unidade): 
Inicialmente, calculam-se quantos dias serão necessários para asfaltar uma estrada de 1 km. Como 
60 km requerem 20 dias, 1 km irá requerer 20
60
 dias. Então, 84 km irão requerer 84 ? 20
60
 = 28 dias.
Por meio de um esquema, podemos proceder da seguinte maneira:
km dias
60
1
84
20
28
÷60
� 84
÷60
84
20
60
� 
2o método (proporção):
Seja x o número de dias que se deseja descobrir. Então, 60 km estão para 84 km, assim como 
20 dias estão para x dias. Ou seja: 
60
84
 = 20
x
Logo, x = 84 ? 20
60
 = 28.
84 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Note que, na resolução deste problema, as duas grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, 
pois o número de dias necessários para asfaltar uma estrada é proporcional ao comprimento da 
estrada. Cada1 km asfaltado demanda 20
60
 = 1
3
 de um dia. O valor 1
3
 é constante de proporcio-
nalidade entre essas duas grandezas.
Pode ser útil montar o seguinte esquema no 2o método de resolução:
km
60
84
dias
20
x
As setas têm o seguinte significado: a medida que se aumenta o número de quilômetros de estrada 
a serem asfaltados (passa de 60 km para 84 km), o número de dias necessários para executar esse 
asfaltamento também tem que aumentar (passa de 20 dias para x dias). Por isso, as duas setas 
estão indicando a mesma direção. Portanto, sem resolver o problema, já se sabe que o valor a ser 
obtido para x deverá ser maior que 20.
Procure apresentar ao aluno, sempre que possível, as diversas possibilidades de tratamento para 
um mesmo problema. É importante que ele seja exposto a diferentes métodos de solução. Faça 
uma discussão sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos métodos empregados na reso-
lução do exemplo em tela.
O problema a seguir ilustra uma situação muito comum, encontrada nos supermercados: um 
produto, de determinada marca, oferecido em embalagens diferentes, com preços diferentes. 
É importante, nesses casos, que o consumidor saiba decidir qual das opções é economicamente a 
mais vantajosa.
Problema 2. Uma lata de leite em pó, pesando 400 g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem 
de 900 g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente mais vantajosa?
D27
Solução: 
Há dois métodos que são geralmente empregados para resolver este tipo de problema.
1o método: 
Neste tipo de problema, para se comparar qual a embalagem economicamente mais vantajosa, o 
ideal é descobrir qual é o preço de uma mesma quantidade do produto em cada uma das duas 
embalagens para, em seguida, comparar os preços dessa mesma quantidade. Obviamente, deve-se 
escolher uma quantidade para comparação que facilite as contas. No exemplo em tela, 100 g 
parece ser uma boa escolha, pois 100 g equivalem a 1
4
 de 400 g e 1
9
 de 900 g. Designando por 
x o preço de 100 g de leite em pó na embalagem de 400 g e por y o preço de 100 g de leite em 
pó na embalagem de 900 g, tem-se:
85GUIA DO tUtOr
Embalagem com 400 g Embalagem com 900 g
g
400
100
R$
5,20
x
g
900
100
R$
11,20
y
Inicialmente, perceba que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Dos esquemas 
anteriores, seguem as proporções:
400
100
 = 5,20
x
 ⇔ 4x = 5,20 ⇔ x = 5,20
4
 ⇔ x = 1,30
900
100
 = 11,20
y
 ⇔ 9y = 11,20 ⇔ y = 11,20
9
 ⇔ y = 1,24
Comparando, então, o preço de 100 g de leite em pó em cada uma das embalagens, percebe-se 
que a embalagem com 900 g do produto é economicamente mais vantajosa, já que y , x.
Chamamos a atenção para o fato de que não é necessário montar o esquema e as proporções para 
se resolver este tipo de problema. O procedimento pode ser mais direto, simplesmente raciocinando 
da seguinte maneira:
Na embalagem de 400 g, cada 100 g de leite em pó custam R$ 5,20 ÷ 4 = R$ 1,30. Já na emba-
lagem de 900 g, cada 100 g custam R$ 11,20 ÷ 9  R$ 1,24. Logo, a segunda embalagem é 
economicamente mais vantajosa.
2o método:
Outra opção é comparar quanto custaria, por exemplo, 400 g de leite em pó na embalagem de 
900 g. Neste caso, designando por z o preço de 400 g de leite em pó na embalagem de 900 g, 
tem-se:
Embalagem com 900 g
g
900
400
R$
11,20
z
Embalagem com 900 g
do que segue a proporção:
900
400
 = 11,20
z
 ⇔ 9z = 4 ? 11,20 ⇔ z = 44,80
9
  4,98
86 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Logo, 400 g de leite em pó, na embalagem de 900 g, custam R$ 4,98, enquanto, na embalagem 
de 400 g, custam R$ 5,20. Com isso, é mais vantajoso economicamente comprar esse leite em pó 
na embalagem de 900 g.
É importante explorar com o aluno as diversas formas de resolver um mesmo problema. Comente 
com eles as vantagens e desvantagens de cada forma de solução.
Consideraremos agora um problema no qual uma grandeza é proporcional a várias outras. 
Em geral, os alunos têm dificuldades em trabalhar com este tipo de problema.
Problema 3. Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de altura 
em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de traba-
lhadores aumentado para 5, qual será o comprimento de um muro de mesma altura que eles cons-
truirão em 15 dias?
D27
Solução: 
Neste problema há 4 grandezas envolvidas: horas trabalhadas por dia (H), número de trabalhado-
res (T), comprimento de muro (L) e número de dias (D). O que se quer conhecer é o comprimento 
do muro (L) quando H = 6, T = 5 e D = 15. Pelas informações do enunciado, sabe-se que L = 40, 
quando H = 8, T = 3 e D = 12.
Inicialmente, note que a grandeza L depende das grandezas H, T e D e, além disso, L é proporcional 
a cada uma das três grandezas H, T e D, ou seja, mantidas as grandezas H e T constantes, a grandeza 
L e D são proporcionais, pois aumentando o comprimento do muro a ser construído, o número de 
dias aumenta na mesma proporção, isto é, duplicando o comprimento do muro, teremos que 
duplicar o número de dias para construí-lo e vice-versa. A mesma análise pode ser feita entre L e 
H, mantidas as grandezas T e D constantes, e ainda, entre L e T, mantidas H e D constantes. Assim, 
a grandeza L é proporcional a cada uma das três grandezas envolvidas. Dessa forma, temos:
H
8
6
D
12
15
T
3
5
L
40
?
Como a grandeza L é proporcional a cada uma das outras três grandezas, a ideia é, passo a passo, 
transformarmos a relação fornecida entre as quatro grandezas na nova relação desejada, executando, 
em cada passo, uma única proporção entre L e cada uma das três grandezas, mantendo sempre as 
outras duas fixas.
87GUIA DO tUtOr
H D
8 12 3 40
6
6
6
12
15
15
3
3
5 62,5
37,5
30
3
4
�
5
4
�
5
3
�
3
4
�
5
4
�
5
3
�
LT
Logo, se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores 
aumentado para 5, eles construirão em 15 dias um muro de comprimento igual a 62,5 m.
Então, não é fácil? Não há segredo na resolução desse tipo de problema. Na prática, trabalhamos 
sempre com duas grandezas de cada vez. Realizando assim várias (nesse exemplo três) regras de 
três simples. É esse tipo de problema que alguns autores chamam de regra de três composta.
Existe um procedimento mais direto para esse tipo de problema. A ideia é que se uma grandeza w 
é proporcional às grandezas x, y e z, então a grandeza w é proporcional ao produto delas, ou seja, 
proporcional a xyz, o que significa existir uma constante k, tal que w = k ? (xyz).
Aplicando esse fato ao exemplo anterior, temos que, como a grandeza L é proporcional às grandezas 
H, D e T, segue que L é proporcional à HDT, o que significa existir uma constante k, tal que 
L = k ? HDT. Como se sabe que L = 40, quando H = 8, T = 3 e D = 12 , podemos obter o valor 
de k substituindo esses valores na relação L = k ? HDT. 
40 = k ? 8 ? 12 ? 3 ⇒ k = 40
288
 = 5
36
.
Agora, para H = 6, T = 5 e D = 15, temos: L = 5
36
 ? 6 ? 15 ? 5 = 62,5. Com isso, o muro terá o 
comprimento de 62,5 m.
É bem mais simples, não acha? Porém, fica muito artificial para os alunos. É claro que eles preferirão 
esse método ao primeiro por ser mais direto e rápido. Entretanto, sugiro não apresentar a eles esse 
processo, pois certamente eles o adotarão e, em pouco tempo, não se lembrarão mais da sua 
justificativa e, então, estarão procedendo mecanicamente, sem ter consciência do que estão 
realmente fazendo.
88 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3. Grandezas inversamente proporcionais
Considere agora um tanque a ser enchido e que se possa enchê-lo utilizando-se uma, duas ou 
várias torneiras, todas de mesma vazão. Dependendo do número de torneiras utilizadas, o tempo 
para encher o tanque varia. É importante observar que essa situação se diferencia das anteriores, 
pois, neste caso, as duas grandezas envolvidas, número de torneiras e tempos para encher o tanque, 
são tais que, quando uma delas aumenta, a outra diminui, ou seja, quandoaumentamos o 
número de torneiras, o tempo necessário para se encher o tanque diminui. Note, por exemplo, que 
se uma torneira sozinha gastasse 6 horas para encher o tanque, duas torneiras juntas levariam a 
metade desse tempo, ou seja, 3 horas, e ainda, três torneiras juntas levariam um terço desse tempo, 
ou seja, 2 horas. Na tabela a seguir, registramos a situação para o número de torneiras variando de 
1 a 6. Note que, na última coluna desta tabela, está registrado o produto dos valores das duas 
grandezas em cada caso.
No n de torneiras
Tempo t necessário para 
encher o tanque (em horas)
Produto n ? t
1 6 6
2 3 6
3 2 6
4 1,5 6
5 1,2 6
6 1 6
Nesta situação, as grandezas n e t são tais que o valor de uma aumenta quando a outra diminui e, 
além disso, o produto entre elas é constante.
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas, afirmamos que as 
duas grandezas são inversamente proporcionais. Tecnicamente, duas grandezas x e y são inversa-
mente proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade), tal que y = 
k
x
 
ou, equivalentemente, x ? y = k.
Problema 4: Se 4 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque 
inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio) 
quando somente 3 dessas 4 torneiras estiverem abertas?
D27
Solução: 
Neste problema temos duas grandezas que são o número n de torneiras e o tempo t necessário 
para encher o tanque. Note que, pelo exposto, o tempo necessário para encher o tanque é inver-
samente proporcional ao número de torneiras.
Consideraremos dois métodos que sintetizam procedimentos possíveis para resolver este problema.
89GUIA DO tUtOr
1o método (método de redução à unidade): 
Pode-se montar o seguinte esquema:
n t
5
1
4
2
10
2,5
÷5
� 4
� 5
÷4
Logo, 4 torneiras levarão 2,5 horas ou, equivalentemente, 2 horas e 30 minutos para encher esse 
tanque (já que 0,5 hora corresponde a meia hora que, em minutos, equivale a 30 minutos).
Note que ao diminuirmos o número de torneiras, dividindo-o por 5, o tempo é multiplicado por 5, 
ao passo que, ao aumentarmos o número de torneiras, multiplicando-o por 4, o tempo é dividido 
por 4.
2o método (proporção): 
Seja x o tempo necessário para que 4 torneiras encham o tanque. Pode-se montar o seguinte 
esquema:
n
4
t
2
x
5
As setas têm o seguinte significado: à medida que se diminui o número de torneiras (passa de 5 
para 4), o tempo necessário para encher o tanque aumenta (passa de 2 horas para x horas). Por 
isso, as duas setas estão indicando direções contrárias. Portanto, sem resolver o problema, já se 
sabe que o valor a ser obtido para x deverá ser maior que 2 horas.
O importante agora é a montagem da proporção, que deve ser feita de forma inversa, ou seja,
5
4
 = x
2
Logo, x = 2 ? 5
4
 = 2,5 horas, isto é, 2 horas e 30 minutos (que é um valor superior a 2 horas, 
conforme era esperado).
90 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Chame a atenção dos alunos para um erro que é muito comum ser cometido na resolução de 
problemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Em geral, os alunos montam a pro-
porção como sendo 5
4
 = 2
x
, e resolvem-na, achando x = 4 ? 2
5
 = 1,6 hora ou, equivalentemente, 
1 hora e 36 minutos (já que 0,6 hora é 6 décimos de 1 hora, e cada décimo de hora equivale a 
6 minutos). Note que esse procedimento equivale a considerar que as grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais, o que não é o caso. Daí a importância de se analisar previamente se 
as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais antes de se montar a 
proporção. Isso faz toda a diferença na resolução do problema.
Problema 5. Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. 
Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, 
durou sua reserva de ração?
D27
Solução: 
Inicialmente, deve-se observar que o número de dias que dura a ração é inversamente proporcional 
ao número de vacas a serem alimentadas: quanto mais vacas, menos dura a ração e, ainda, se o 
número de vacas duplica, o tempo de duração da ração é reduzido à metade; se triplica, o tempo 
de duração da ração é reduzido a um terço, e assim sucessivamente. Com isso, passados os primei-
ros 14 dias, o fazendeiro ainda tinha ração para alimentar 16 vacas por 48 (= 62 – 14) dias. Nesse 
momento, tendo vendido 4 vacas, precisa-se saber quantos dias ainda durará o estoque de ração, 
agora para alimentar 12 (= 16 – 4) vacas. Sendo essas duas grandezas inversamente proporcio-
nais, como 12 = 16 ? 12
16
, tem-se que 48 ÷ 12
16
 = 48 ? 16
12
 = 64. Com isso, depois da venda das 
4 vacas, o fazendeiro tem ração suficiente para alimentar suas 12 vacas por 64 dias. Passados os 
próximos 15 dias, há ração para alimentar 12 vacas por 49 (= 64 – 15) dias. Nesse instante, tendo 
o fazendeiro comprado mais 9 vacas, precisa-se saber quantos dias ainda durará o estoque de 
ração, agora para alimentar 21 (= 12+ 9) vacas. Como 21 = 12 ? 21
12
, tem-se que 49 ÷ 21
12
 = 
= 49 ? 12
21
 = 28.
Com isso, depois da compra das 9 vacas, o fazendeiro tem ração suficiente para alimentar suas 
21 vacas por mais 28 dias.
Com isso, a ração terá durado 14 + 15 + 28 = 57 dias.
Veja, em seguida, um esquema que pode ser montado e que sintetiza todo o raciocínio aqui 
desenvolvido.
91GUIA DO tUtOr
16 62 16
12 64
48
12 49
2821
14 dias
15 dias
V D V D
V D
12
16
� 16
12
21
12
12
21
�
� �
Faremos agora o exemplo clássico das torneiras que enchem um tanque. Vale comentar que, em 
geral, chega-se a aplicar fórmula para a resolução deste problema. De fato, é possível deduzir uma 
fórmula que se aplica no caso geral. Entretanto, entendemos que a fórmula é dispensável, pois o 
aluno tende a decorá-la (e depois certamente a esquece) e não reproduz o raciocínio de proporcio-
nalidade envolvido no problema, perdendo assim a oportunidade de compreender claramente 
como as grandezas se relacionam. Na verdade, o problema é bastante simples. Confira!
Problema 6. Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo 
tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?
D27
Solução: 
Vamos designar por V o volume desse tanque. As grandezas tempo e volume são proporcionais, 
pois quanto maior o tempo, maior o volume despejado pela torneira e, se uma torneira despeja, 
por exemplo, 5 litros em 1 hora, despejará 10 litros em duas horas, 2,5 litros em meia hora, e assim 
sucessivamente. Com isso, podemos montar os seguintes esquemas:
Volume
(litros)
Tempo
(horas)
Torneira A Torneira B
1
5
�
V
V
5
1
5�
5
1
Volume
(litros)
Tempo
(horas)
1
15
�
V
V
15
15
1
1
15
�
92 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Assim, a torneira A despeja V
5
  
litros de água por hora no tanque e a torneira B despeja V
15
 litros de 
água por hora nesse tanque. Portanto, as duas torneiras juntas despejarão, por hora, V
5
 + V
15
 = 
= 15V + 5V 
5 ? 15
 = 20V
75
 litros de água.
Pensemos agora nas duas torneiras juntas como uma única torneira C. Sobre a torneira C já sabemos 
que ela despeja 20V
75
 litros de água por hora. A pergunta, então, é: em quanto tempo a torneira C 
despejará V litros d’água? Esta pergunta é facilmente respondida ao fazermos:
Torneira C
Volume
(litros)
Tempo
(horas)
75
20
�
1
75
20
V
20V
75 75
20
�
Logo, a torneira C, ou seja, as torneiras A e B juntas enchem esse tanque em 75
20
 horas, isto é, em 
3,75 horas ou, equivalentemente, em 3 horas e 45 min.
93GUIA DO tUtOr
4. Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1. Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 
28 dias. Após 4 dias, o barco recolhe mais 1 náufrago. Se o consumo diário de água por pessoa se 
mantiver o mesmo, quantos dias durará a reserva de água?
D27
7 ? 24 = 8 ? x = 21 diasAtividade 2. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, 
alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram 
a tarefa e, nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por 
dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e todos passaram a tra-
balhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo 
de coleta tenha se mantido constante, qual a quantidade de alimentos arrecadados ao final dos 30 
dias de campanha?
D27
120
x
 = 20
50
 ? 10
20
 ? 3
4
x = 800 kg + 120 kg = 920 kg
Atividade 3. Uma caixa-d’água de 1 000 , tem um furo no fundo, por onde escoa água a uma 
vazão constante. Às 6 h da manhã de certo dia, ela foi cheia e, ao meio-dia desse mesmo dia, só tinha 
850 litros. Quando o volume d‘água restante na caixa alcançará a metade da capacidade dela?
D27
150 , em 6 h
V = 150
6
 =25 ,/h
1h ——— 25 ,
x ——— 350
x = 14 h
Logo, alcançará às 2 h da manhã do dia seguinte.
94 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo 
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do 
poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?
D27
Temos que 2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas dire-
tamente proporcionais, temos a proporção:
180
60
 = H
200
, em que H é a altura do poste.
Assim, 3 = H
200
, o que implica: H = 3 ? 200 = 600 cm. Mais tarde, teremos a proporção:
180
x
 = 600
(200 – 50)
 = 600
150
 = 4
Então, 180 = 4x. Logo: x = 180
4
 = 45 cm 
Este problema poderia ser resolvido de outra maneira.
Observe que a sombra do poste diminuiu de 50
200
 = 1
4
 .
Então, a sombra da pessoa também diminuiu de 1
4
. 
A sombra da pessoa diminuiu de 1
4
 ? 60 = 15.
Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 – 15 = 45 cm.
Atividade 5. (Enem) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no 
estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um 
estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, 
A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:
D27
a) 1 : 250
b) 1 : 2 500
c) 1 : 25 000
d) 1 : 250 000
e) 1 : 25 000 000
Vamos converter e fazer a equivalência entre as distâncias usando uma regra de três:
2 000 km = 200 000 000 cm = 200 ? 106 cm = 2 ? 108 cm = 25 000 000 cm
A escala será de 1 : 25 000 000
Alternativa e)
95GUIA DO tUtOr
Atividade 6. (Enem) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e 
outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interli-
gados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 
10 milhões (107) de litros de água potável.
D27
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem o óleo das frituras nos encanamentos e 
consumam 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água 
potável contaminada por semana nessa cidade? 
a) 102
b) 103
c) 104
d) 105
e) 109
A questão nos fornece que 10 litros de óleo contaminam 10 000 000 litros de água potável, logo 
1 000 litros de óleo contaminam 1 000 000 000 litros de água potável, que corresponde a 109. 
Alternativa e).
Atividade 7. (IBMEC-SP) Estima-se que um grupo de 8 digitadores, trabalhando de forma homo-
gênea, consiga digitar determinada obra literária em 15 dias. Qual seria o número de pessoas 
necessárias para digitar a obra, se o prazo fosse reduzido para 10 dias?
D27
As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais.
8
x
 = 10
15
10x = 120
x = 12
Seriam necessárias 12 pessoas. 
96 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
O aluno vive uma realidade em que as diferentes grandezas e medidas estão presentes e são 
necessárias. O conhecimento desse conteúdo vem sendo explorado desde as séries iniciais, agora 
será relembrado, com destaque para o raciocínio nas resoluções de problemas e regras operacionais 
de conversões de unidades. Este conteúdo é de extrema importância para que o aluno acompanhe 
não só a Matemática do Ensino Médio, mas também a Física e a Química, disciplinas que traba-
lham diretamente com medidas de tempo, espaço, massa, volume, área, entre outras. Também se 
destaca nesta Oficina a possibilidade de trabalharmos as operações com números racionais e 
discutirmos a ideia existente do sistema sexagesimal na medida do tempo. Vamos dividir esta Oficina 
em três etapas: na primeira, faremos uma atividade prática, explorando o universo existente e 
conhecido do aluno por meio da utilização de objetos concretos e de observações possíveis. Na 
segunda etapa, trabalharemos com a revisão de conceitos importantes, como operações e conversões de 
unidades de medida. E, para finalizar, vamos, na terceira etapa, propor problemas sobre grandezas e 
medidas para favorecer o raciocínio lógico, além de exercitar as metodologias de conversão.
2. Atividade Prática
Esta atividade prática tem como objetivo utilizar diferentes instrumentos, objetos e situações para 
se fazer a medição de algumas grandezas que podem ali ser observadas.
Inicialmente, o professor deverá discutir com o aluno algumas questões para introduzi-lo no universo 
das medidas.
2.1. O que é uma grandeza?
Discuta com os alunos que grandeza é tudo aquilo que se pode medir e os estimulem a falar quais 
grandezas conhecem: comprimento, tempo, velocidade, massa de um corpo, área de uma super-
fície, temperatura, dentre outras.
2.2. O que é unidade?
Você pode fazer um quadro associando as grandezas da questão anterior com as unidades que são 
usadas para medir cada uma delas.
GRANDEZAS E MEDIDAS6
97GUIA DO tUtOr
2.3. Quais instrumentos de medição geralmente são usados para medir tempo, 
comprimento, massa,...?
Novamente, associe as grandezas e unidades com os instrumentos que comumente são usados nas 
medições.
Agora, vamos passar para a atividade prática:
Material necessário:
Você deverá contar com alguns instrumentos de medição como: régua, fita métrica, balança (pode 
ser aquela de cozinha, que geralmente encontramos nas escolas), cronômetro (que geralmente 
está disponível nos celulares ou em relógios digitais).
Também será necessário que você conheça o ambiente no qual a atividade será aplicada. A suges-
tão é que seja realizada num ambiente amplo, onde haja muitas possibilidades para as medições 
(árvores, bancos, carteiras, espaço para correr e medir o tempo, objetos escolares distintos – tubo 
de cola, caderno, lápis...). Se essas situações não forem possíveis no ambiente escolar, você deverá 
simular com objetos preparados anteriormente.
Práticas:
Divida a turma em 4 grupos e para cada grupo dê um instrumento de medição (régua e fita métri-
ca para comprimentos e áreas, balança para massa, cronômetro para tempo). A ideia é que depois 
eles possam apresentar para a turma suas tabelas e suas considerações sobre as medições que 
realizaram.
1. Medindo com a régua e a fita métrica – peça aos alunos que selecionem diversos objetos cujo 
comprimento possa ser medido (cadeiras, arvoredos, paredes,...). Eles devem medir usando os 
dois instrumentos (a ideia é que eles percebam a necessidade da existência de diversas unidades e 
instrumentos de medida, observando a diferença nos comprimentos dos objetos), uma vez com 
a régua, e outra com a fita métrica. Após isso, eles deverão expor esses dados numa tabela, con-
forme a apresentada a seguir.
Objeto Unidade
Medida 
(com régua)
Medida 
(com fita métrica)
Você deve sugerir que se fosse para medir a distância entre duas cidades, ou entre a Terra e a lua, 
essa régua não seria adequada. Essa observação levará o aluno a refletir sobre a necessidade de 
diferentes instrumentos e unidadesde medida.
98 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
2. Medindo com a balança: peça aos alunos que selecionem diversos objetos cujas massas possam 
ser medidas (tubo de cola, borracha, frutos das árvores, se houver, sapatos...) Eles podem expor 
esses dados numa tabela como a do item 1.
Como desafio, você pode sugerir que eles meçam a massa de um fio de cabelo. Nesse ponto, surge, 
novamente, a necessidade de se ter diversas unidades e instrumentos de medição.
3. Medindo com o cronômetro: os alunos deverão propor uma pista de corrida e selecionar os 
competidores. Um aluno irá percorrer a pista e outro irá anotar numa tabela os tempos.
Aluno Tempo
Você pode aproveitar para falar de velocidade, de décimos e centésimos de segundo e da necessi-
dade dos múltiplos de minutos, como hora, dia ...
4. Calculando áreas: Os alunos vão medir as dimensões e calcular a área de diferentes superfícies 
observadas por eles no ambiente. Se precisarem de alguma fórmula específica de área, você 
deverá ajudá-los. A maioria das superfícies presentes no ambiente escolar são retangulares (car-
teiras, cadeiras, mesas, bancos, ...), mas, se houver outras formas mais complexas, estimule a 
estimativa e o cálculo por aproximação. Os alunos podem expor os dados numa tabela, indican-
do o formato das superfícies:
Objeto Formato Dimensões Área
Mesa Retangular 120 cm ? 140 cm 16 800 cm2
Após a atividade prática, sugerimos que os grupos exponham os resultados para toda a turma e, nesse 
momento, o tutor poderá intervir com questões que estimulem os alunos a pensarem na necessidade 
de se utilizar diferentes unidades de medidas e instrumentos adequados para essas medições.
99GUIA DO tUtOr
3. Unidades de medida
Vamos trabalhar a revisão dos conceitos das diferentes unidades de medidas, por meio da resolu-
ção de problemas. Explore as operações com números racionais, revisando sempre as regras dos 
inteiros, decimais e frações.
Neste primeiro problema, vamos resgatar o conhecimento “natural” de grandezas e medidas que 
o aluno tem pela sua vivência. Estimule o diálogo e considere e avalie todas as respostas, justifican-
do as incorretas!
Problema 1. Vamos completar a tabela a seguir, indicando a unidade de medida mais adequada, 
entre as apresentadas no primeiro quadro, para efetuar a medição nas seguintes situações:
D18
Ano Quilograma Centímetro Grau Celsius Litro
Segundo Grama Milímetro Mililitro Polegada
Metro Dia Minuto Tonelada Quilômetro
O que medir Unidade
Comprimento da sala de aula Metro
Um tempo de uma partida de futebol Minutos
Massa de um recém-nascido Grama
Distância de Juiz de Fora a São Paulo Quilômetros
Tempo entre uma Copa e outra Anos
Tempo gasto na troca de pneus de um carro de Fórmula 1 Segundos
Massa de um pão francês Grama
Comprimento de um lápis Centímetros
Capacidade de uma caixa-d’água Litros
Comprimento da diagonal de uma TV Polegadas
Temperatura em um dia frio em São Paulo Graus Celsius
Espessura do grafite de uma lapiseira Milímetros
Uma dose de xarope Mililitro
Massa de um elefante Tonelada
Tempo de duração da Quaresma Dias
100 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Apresente o problema e depois formalize os conceitos de conversão entre essas unidades.
Problema 2.
D18
Com base nas informações da tirinha anterior, responda:
a) A que horas acabará esse jogo?
 17 h 45 min
b) Quantos minutos há em 1 hora?
 60 min
c) Quantos segundos há em 1 minuto? 
 60 s
d) Quantos segundos há em 1 hora? 
 3 600 s
e) Quantos minutos há em 1 mês?
 43 200 min
f) Quantas horas há em 1 ano?
 8 760 h
g) Joana resolveu assistir a dois programas de TV, um após o outro. O primeiro teve duração de 
4 h 20 min 30 s e o segundo 2 h 48 min 54 s. Qual foi o tempo total que Joana gastou assis-
tindo aos dois programas?
 7 h 9 min 24 s
G
A
LV
Ã
O
101GUIA DO tUtOr
h) Um triatleta marcou os tempos gastos em suas provas:
 – Natação: 17 min 56 s 59 centésimos de segundo.
 – Ciclismo: 58 min 48 s e 50 centésimos de segundo.
 – Corrida: 49 min 34 s e 80 centésimos de segundo.
 Qual o tempo total das provas do triatleta?
 2 h 6 min 19 s 0,89 cs
i ) Fernanda vai assistir a um filme que tem duração de 124 minutos. No display do DVD, ela 
observa que já se passaram 1 h 35 min e 39 s do filme. Quanto tempo falta para terminar esse 
filme?
 Faltam 29 min 39 s
j) A aula de Matemática será apresentada em um programa educacional de TV que começa às 
14 h 15 min 34 s e termina às 15 h 30 min 28 s, sem intervalos. Qual é a duração dessa aula?
 1 h 14 min 54 s
Vamos agora rever as regras de conversão das unidades de medida de comprimento, que perten-
cem ao sistema decimal. Revise as operações de multiplicação e divisão por múltiplos de 10.
Problema 3
D18
a) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de cerca de 429 000 m.
 429 km
b) A espessura do fio de cabelo é de cerca de 0,0001 m. 
 0,1 mm
As medidas indicadas nos itens a e b poderiam ser mais bem expressas em outras unidades de 
medida de comprimento. Quais seriam essas unidades?
Existem algumas relações entre as unidades de medida que nos permitem converter uma unidade 
em outra, dependendo da nossa necessidade de medição. Observe:
1 m = 10 dm (decímetro) – décima parte do metro
1 m = 100 cm (centímetro) – centésima parte do metro
1 m = 1000 mm (milímetro) – milésima parte do metro
1 dam (decâmetro) = 10 m – dez vezes o metro
1 hm (hectômetro)= 100 m – cem vezes o metro
1 km (quilômetro) = 1000 m – mil vezes o metro
Você pode usar uma linha prática para realizar as conversões. Pelo deslocamento na linha, iremos 
determinar por quanto devemos multiplicar ou dividir para converter de uma unidade para outra.
Nesse problema, usamos 
um sistema decimal na 
contagem do tempo. Explore 
a diferença entre os sistemas 
sexagesimal e decimal!
102 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
�10 �10 �10 �10 �10 �10
�10�10�10�10�10�10
km hm dam m dm cm mm
Veja como faríamos nos problemas dos itens a e b. Devemos converter 429 000 m em km. 
km hm dam m dm cm mm
÷1000
�10 �10 �10 �10 �10 �10
�10�10�10�10�10�10
Verifique que de metro para quilômetro deslocamos 3 casas para a esquerda, o que significa divi-
dirmos 429 000 três vezes por 10 (isso é o mesmo que dividir por 1 000). Então, teremos 
429 000 m/1 000 = 429 km. Portanto, a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de 429 km.
Devemos converter 0,0001 m em mm.
km hm dam m dm cm mm
� 1000
�10 �10 �10 �10 �10 �10
�10�10�10�10�10�10
Verifique que de metro para milímetro deslocamos 3 casas para a direita, o que significa multipli-
carmos 0,0001 três vezes por 10 (isso é o mesmo que multiplicar por 1 000). Então, teremos 
0,0001 m ? 1 000 = 0,1 mm.
Temos que a espessura de um fio de cabelo é de 0,1 mm. Usando esse mesmo raciocínio, vamos 
fazer algumas conversões:
103GUIA DO tUtOr
a) 10 m = 100 dm f ) 12 m = 12 000 mm
b) 25 cm = 250 mm g) 30 cm = 0,3 m
c) 870 m = 87 dam h) 2 km = 2 000 m
d) 43 mm = 0,043 m i) 7,2 m = 7 200 cm
e) 32 000 m = 0,032 km j) 78,99 cm = 0,7899 m
Vamos usar um raciocínio análogo ao do problema anterior para relembrar as unidades e as regras 
de conversão das medidas de massa. Mais uma vez, enfoque na operacionalidade das multiplica-
ções e divisões por múltiplos de 10.
D18
Problema 4. Vamos observar a receita de um bolo de fubá:
» 3 ovos
» 50 g de margarina
» 300 g de açúcar
» 1
2
 kg de farinha de trigo
» 400 g de fubá
» 30 g de fermento em pó
As quantidades estão expressas em gramas e quilogramas. Como fazer para converter essas unidades?
1
2
 kg equivale a quantos gramas? Quantos gramas de ingredientes são necessários no total (consi-
dere que 1 ovo = 40 g)? 500 g / Total 1 400 g.
Como na conversão de unidades de comprimentos, observe a linha...
kg hg dag g dg cg mg
�10 �10 �10 �10 �10 �10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
104 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Veja que, para converter 1
2
 kg = 0,5 kg em gramas, temosque deslocar 3 casas para a direita, o 
que significa multiplicar por 1000, e daí temos:
0,5 kg ? 1 000 = 500 g.
Veja que é bem parecido com a conversão de unidades de comprimento, o que muda são apenas 
as unidades, pois as operações são as mesmas.
Faça as seguintes conversões: 
23 kg = 23 000 g
450 mg = 0,45 g
30 hg = 30 000 dg
67,44 g = 67 440 mg
322,77 g = 0,32277 cg
3 ton = 3 kg
Vamos trabalhar com as unidades de área, o que fica um pouco mais fácil depois das unidades de 
comprimento que vimos anteriormente. Lembre-se de usar um raciocínio análogo para que o aluno 
não entenda que tenha que memorizar novas regras, e sim que são as mesmas operações, mas 
com grandezas diferentes.
Problema 5. Para azulejar uma parede, foi necessário medir sua altura e comprimento, mas só 
tínhamos uma fita métrica em mãos e, por isso, as medidas foram: 205 cm de altura e 315 cm de 
comprimento. Na loja de materiais de construção, vendem-se azulejos em metros quadrados. 
Quantos metros quadrados de azulejos serão necessários para revestir essa parede?
D16/D18
Podemos resolver esse problema de duas formas: fazendo a conversão das medidas de centímetro 
para metro (como no problema 3) e depois calculando a área da parede, ou calculando a área e 
fazendo a conversão de centímetro quadrado para metro quadrado. Para isso, usamos a seguinte 
linha de conversão: 
�100
:
�100
:
�100
:
�100
:
�100
:
�100
:
km hm dam m dm cm mm2 2 2 2 2 2 2
Lembre-se de falar 
sobre a tonelada...
105GUIA DO tUtOr
Como anteriormente, temos que verificar quantas casas iremos deslocar e em que direção para 
verificarmos se faremos uma multiplicação ou uma divisão. A diferença está no fator de multipli-
cação. Para converter, por exemplo, centímetro em metro, deslocamos duas casas para a esquerda 
e dividimos por 100 (duas divisões por 10). Agora, para converter cm2 em m2, usaremos a divisão 
por 100 em cada deslocamento, então, como deslocamos duas casas, vamos dividir por 10 000.
Agora, é só calcular a área da parede em cm2 e dividir o resultado por 10 000. Resolva o problema.
A = 64 575 cm2 = 6,4575 m2
Faça as seguintes conversões:
20 cm2 = 0,002 m2
15 000 km2 = 15 000 000 000 m2
340 cm2 = 34 000 mm2
30 000 cm2 = 3 m2
Vamos trabalhar com as unidades de volume e suas conversões. Destaque a conversão entre litro e 
decímetro cúbico (se for possível, construa um cubo de 10 cm de aresta e coloque, com o auxílio 
de uma caixa de leite, por exemplo, 1 litro de água nesse cubo, assim o aluno irá compreender a 
equivalência entre litro e decímetro cúbico).
Problema 6. Quantos litros de água são necessários para encher uma piscina retangular de 4 m 
de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de profundidade?
D17
 
2 m
1,5 m
4 m
Para calcular a capacidade desse sólido, ou seja, o volume desse bloco retangular, basta multipli-
carmos as dimensões comprimento x largura x profundidade.
Desta forma, teremos:
V = 4 ? 1,5 ? 2 = 12 m3
Aqui está nosso problema: pedem-se “quantos litros” e encontramos a resposta em m3. 
A relação é dada por:
1, = 1 dm3
106 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Então, precisamos converter m3 em dm3.
Para efetuar essa conversão, usamos o mesmo procedimento da conversão de unidades de compri-
mento e área, mas mudando o fator de multiplicação para 1 000. Assim, para cada deslocamento, 
multiplicamos (quando para direita) ou dividimos (quando para esquerda) por 1 000.
�1000 �1000 �1000 �1000 �1000 �1000
�1000 �1000 �1000 �1000 �1000 �1000
km hm dam m dm cm mm3 3 3 3 3 3 3
Agora, já podemos resolver o problema:
Faça as seguintes conversões:
a) 200 cm3 = 0,2 ,
b) 25 m3 = 25 000 dm3
c) 4,4 m3= 4 400 ,
d) 80 000 mm3 = 0,08 ,
É importante destacar a linha de conversões do litro:
kl hl dal l dl cl ml
�10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
�10 �10 �10 �10 �10
Compare com os alunos as linhas de conversão: nas grandezas lineares, metro, litro, grama, usamos 
o fator multiplicador 10; nas grandezas bidimensionais, como metro quadrado, usamos o fator 
100 (bi = dois zeros) e nas grandezas tridimensionais, como metro cúbico, usamos o fator 1 000 
(tri = três zeros). Essas associações ajudam os alunos a memorizarem as tabelas de conversão.
107GUIA DO tUtOr
4. Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1. Uma lata de óleo tem, em geral, 900 m,. Quantas latas de óleo são necessárias para 
encher um galão de 20 ,?
D18
a) 21
b) 22
c) 23
d) 30
1 , = 1 000 m,. Pelo menos 23 latas. Alternativa c)
Atividade 2. Em uma garrafa com capacidade para 1,5 , de água mineral, seu conteúdo de água 
tem 1,5 kg de massa e a embalagem, cerca de 35 g. Qual é a massa, em kg, de uma caixa que 
transporta 30 garrafas de água mineral?
D18
1 500 g + 35 g = 1 535 g
1 535 ? 30 = 46 050 g = 46,05 kg
Atividade 3. Eduardo faz a edição de um programa de TV. O programa tem quatro blocos e deve 
ter 14 minutos de duração total. Quando esse tempo é ultrapassado, ele precisa fazer cortes. Veja 
os tempos dos blocos da edição do programa de hoje:
D18
Bloco Duração
1o 3 min 17 s
2o 4 min 12 s
3o 4 min 47 s
4o 3 min 22 s
Eduardo precisará fazer cortes nessa edição? Se sim, de quanto tempo?
Resp.: Eduardo precisará fazer corte na edição de 1 min 38 s.
Para o próximo programa, os três primeiros blocos já estão editados e têm os seguintes tempos: 
3 min 50 s, 3 min 34 s, 2 min 58 s. Quanto tempo deverá ter o quarto bloco, respeitando o tempo 
total de 14 minutos? Resp.: O 4o bloco deverá ter 3 min 38 s. 
Suponha que o programa comece às 16 h 48 min e que tenha dois intervalos de 3 min 15 s cada um. 
Qual será o horário do término do programa? Resp.: O programa terminará às 17 h 8 min 30 s.
108 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. Um campo de futebol será coberto com grama. O campo é um retângulo de 100 m 
de comprimento e 50 m de largura. Para cada 10 metros quadrados de grama plantada, gasta-se 
1 metro quadrado a mais por causa da perda. Cada metro quadrado de grama custa R$ 8,50. 
Quanto será gasto, em reais, para cobrir todo o campo?
D15
A = 50 ? 100 = 5 000 ? 8,50 = 42 500 + 500 ? 8,50 = 4 250
Gasto: 42 500 + 4 250 = 46 750.
Logo, serão gastos R$ 46 750,00.
Atividade 5. Um caminhão pipa pesa 3,2 toneladas quando está vazio e tem capacidade para 
15 000 litros de água. No momento, ele transporta 65% de sua capacidade. Sabendo que cada 
litro de água pesa 1 kg, quantas toneladas tem esse caminhão no momento?
D18/D26
Carrega 9 750 litros de água no momento = 9 750 kg de água.
3 200 + 9 750 = 12 950 kg ou 12,95 toneladas.
Atividade 6. Quantos litros de água são necessários para encher completamente um recipiente 
cúbico de 2 m de aresta?
D17
V = 8 m3 que será igual a 8 000 metros cúbicos = 8 000 litros.
Atividade 7. Uma piscina de formato retangular tem 5 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m 
de altura. Ela será revestida com azulejos quadrados de 20 cm de lado.
D16/D17
Vamos por partes:
2 paredes: 15 m2 ➞ 30 m2
2 paredes: 12 m2 ➞ 24 m2
chão ➞ 20 m2
Somando, temos uma area de 74 m2.
a) Quantos azulejos serão necessários?
 Calculando os azulejos: 20 cm = 0,2 m ? 0,2 m= 0,04
 74 ÷ 0,04 = 1 850 azulejos
b) Quantos litros de água são necessários para preencher 60% da capacidade da piscina?
 V = 60 m3 = 60 000 ,
 60% ➞ 36 000 ,
109GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Agora já estamos familiarizados com diferentes unidades de medida; podemos começar nosso 
estudo sobre áreas de figuras planas.
Medir uma grandeza significa compará-la com outra, de mesma espécie, considerada unidade. 
Nesta Oficina vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado 
será a medida de sua área.
Para encontrar a área de uma figura F, devemos comparar sua superfície (a porção do plano que 
ela ocupa) com a de outra figura, tomada como unidade de medida. O resultado dessa comparação 
será um número que deverá informar quantas vezes a figura F contém a figura tomada como unidade 
de medida (unidade de área).2. Perímetro de figuras planas
2.1 Perímetro de polígonos
Problema 1. Será construído um muro no entorno de um terreno cuja planta é representada pela 
figura a seguir. Qual será o comprimento (extensão) desse muro?
D15
6 m
15,3 m
3 m
6 m
12 m
9,48 m 4,23 m
9 m
áREAS DE FIGURAS PLANAS7
110 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Em Matemática, perímetro de uma figura plana indica a linha de contorno dessa figura. Essa linha 
de contorno tem um comprimento que, obviamente, é expresso por um número. Este número é o 
comprimento do perímetro. Em geral, a palavra perímetro é utilizada para designar tanto o objeto 
(a linha de contorno) quanto o seu comprimento. Assim, é comum encontrar frases como “o perí-
metro do triângulo é 25 cm” em lugar de “o perímetro do triângulo mede 25 cm”. Portanto, em-
bora perímetro seja um objeto, e o comprimento (ou medida) do perímetro seja uma qualidade 
desse objeto, já é usual tratar indistintamente o objeto perímetro e sua qualidade comprimento.
No caso dos polígonos, o comprimento do perímetro é a soma das medidas dos comprimentos de 
seus lados. Isso vale para qualquer polígono. Portanto, para resolver este problema, o aluno 
deverá somar as medidas indicadas para cada lado. No caso do problema 1, teríamos:
P = 6 + 9,48 + 4,23 + 9 + 12 + 6 + 3 + 15,3
P = 65,01 m
Problema 2. A professora Raquel pediu que alguns de seus alunos medissem o perímetro da sala 
de aula. Para essa medição, Paula e Pedro utilizaram um pedaço de corda, enquanto Gabriel e Ali-
ne utilizaram uma ripa de madeira. O pedaço de corda e a ripa eram de tamanhos distintos, mas 
eles não sabiam qual era o comprimento de cada um. Veja as anotações que cada dupla fez após 
as medições:
D15
307,5
3 12
P = 7,5 + 3 + 7,5 + 3 P = 30 + 12 + 30 + 12
P = 21 cordas P = 84 ripas
Paula e
Pedro
Gabriel
e Aline
111GUIA DO tUtOr
a) Observando as anotações das duas duplas, dá para saber qual tem o maior comprimento: a ripa 
ou a corda? A corda.
b) A medida do perímetro obtida pelas duplas é diferente. Por que isso acontece? Porque foram 
utilizadas unidades distintas de medição.
c) Sabendo que a corda tem 2 m de comprimento, qual é o perímetro da sala em metros?
 Psala = 21 ? 2 = 42 m
Problema 3. A figura a seguir representa os três terrenos que Jorge quer cercar.
D15
2 2 2
2
2
2
3 3
4
4
4
1
1
2
Terreno CTerreno BTerreno A
As medidas dos lados dos terrenos estão indicadas em metros na figura. Quantos metros de cerca 
serão necessários para contornar cada terreno?
TA = 12 m TB = 12 m TC = 10 m
Comente com os alunos que figuras com formas distintas podem ter perímetros iguais (terrenos A 
e B), assim como figuras com formas iguais podem ter perímetros diferentes (terrenos A e C ).
Agora, já sabemos como calcular perímetro de polígonos. Mas, como fazer para calcular o perímetro 
de uma circunferência?
2.2. Perímetro de uma circunferência
Antes de tratarmos de perímetro de uma circunferência, devemos esclarecer a diferença entre 
círculo e circunferência.
Dado um ponto A no plano e um número real positivo r, definimos circunferência de centro A 
e raio r como o conjunto de todos os pontos do plano que estão à distância r do ponto A. 
112 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
A união de uma circunferência com a região plana de seu interior é chamada região circular 
fechada ou círculo.
A
r
A
r
Circunferência Círculo
Portanto, são dois conceitos distintos. Círculo é uma região do plano formada por uma circunfe-
rência com a região por ela delimitada. Assim, todo círculo contém uma circunferência, pois é uma 
de suas partes. Uma circunferência, portanto, é só o contorno de um círculo, é só uma linha fechada. 
Tecnicamente, podemos afirmar que a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de 
um plano localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunfe-
rência. Por se tratar de uma linha, circunferência não tem área. Quem tem área é o círculo. Circun-
ferências têm comprimento!
O número π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Esta razão dá 
sempre o mesmo quociente, ou seja, não depende do comprimento da circunferência, já que todas 
as circunferências são semelhantes entre si. Indicando por C o comprimento de uma circunferência 
de raio r, tem-se:
C
2r
 = π
Mas o que é o comprimento de uma circunferência? Nós sabemos o que é o comprimento de um 
segmento, mas temos apenas uma ideia intuitiva do que vem a ser o comprimento de uma circun-
ferência. Podemos pensar em passar um barbante bem fino sobre a circunferência, esticá-lo e, em 
seguida, medir seu comprimento com uma régua. Isso dará uma boa ideia do que seja o compri-
mento da circunferência. Mas, este método é experimental e permite apenas avaliar (com pouca 
precisão) essa medida.
Portanto, o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por: 
C = 2πr.
O número π é um número irracional, aproximadamente, igual a 3,1416. O uso da letra grega π 
para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro deve-se a Euler, 
que a adotou em 1737. Mas, esta razão sempre fascinou matemáticos e curiosos em toda a história. 
Por ser um número irracional, sua representação decimal é infinita e não periódica. Hoje, conhecemos 
mais de cinco bilhões de casas decimais de π e muito em breve conheceremos mais.
113GUIA DO tUtOr
Problema 4. Uma costureira vai contornar com renda uma toalha circular com raio de 70 cm. 
Quantos centímetros de renda serão necessários?
D13
O comprimento C de uma circunferência de raio r é dado por:
C = 2πr
C  2 ? 3,14 ? 70 = 439,6 cm
Portanto, serão necessários cerca de 440 cm de renda.
Note que nesse exemplo foi utilizada para π a aproximação racional 3,14. Esta é a aproximação 
racional mais comumente empregada e aceita para o número irracional π.
3. Noções de áreas de figuras planas
Medir uma grandeza significa compará-la com outra de mesma espécie considerada unidade. 
Vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será a medida 
da área dessa figura.
Para encontrar a área de uma figura F, devemos comparar sua superfície (a porção do plano que 
ela ocupa) com a de outra figura, tomada como unidade de medida. O resultado dessa comparação 
será um número que deverá informar quantas vezes a figura F contém a figura tomada como unidade 
de medida (unidade de área).
Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ele 
será chamado de quadrado unitário.
= 1 unidade de área
1
Se o lado do quadrado for de 1 cm, a unidade de área será chamada de centímetro quadrado e 
representada por cm2. Naturalmente, para cada unidade de comprimento, existe uma unidade de 
área correspondente. Assim, o metro quadrado (m2), o milímetro quadrado (mm2), o quilômetro 
quadrado (km2) são outras unidades de área utilizadas.
Afirmamos que a área de uma figura é um número que representa quantas vezes essa figura con-
tém a unidade de área. Isso é fácil de perceber, por exemplo, quando desejamos conhecer a área 
de um retângulo cujos lados medem 5 cm e 3 cm.
3 cm
5 cm
A unidade de área cabe 15 vezes no retângulo e, por isso, sua área é de 15 cm2.
114 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Se as medidas dos lados de um retângulo são os números inteiros a e b, a medida de sua área é 
dada por:
S = a ? b
Em particular, se a medida do lado de um quadrado é o número inteiro n, então a medida de sua 
área é igual a:
S = n2
Problema 5.
D16
Figura I
Figura II
a) Meça quantas vezes a figura I cabe na figura a seguir, ou seja, calcule a área utilizando a figura 
I como unidade de medida. 
b) Agora, meça novamente utilizando a figura II como unidade de medida. 
Observe com os alunos que o valor da medida da área de uma figura depende da unidade de 
medida utilizada.
115GUIA DO tUtOr
Problema 6. Observe as figuras a seguir:
D16
A B C
D E F
a) Quais figuras têm mesma área que a figura A? C e D.
b) Essasfiguras têm formas iguais? Não.
Observe com os alunos que figuras com formas distintas podem ter áreas iguais.
4. Áreas de algumas figuras planas
Nosso próximo passo é deduzir fórmulas que permite calcular a medida das áreas das principais 
figuras planas.
4.1. Área do retângulo
Conforme visto anteriormente, em retângulos com lados de dimensões inteiras a e b, a medida de 
sua área é dada por:
S = a ? b
Essa fórmula continua válida mesmo quando as dimensões a e b são não inteiras. Assim, a medida 
da área de um retângulo é o produto das medidas de seus lados.
S = ab
a
b
116 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4.2. Área do paralelogramo
Conhecida a medida da área do retângulo, podemos calcular a medida da área de um paralelogramo.
Consideremos o paralelogramo ABCD da figura a seguir, com base AB = a e altura h.
a
h
A
D C
B
As figuras, a seguir, mostram o paralelogramo sendo transformado num retângulo de mesma área.
a
•
h h h h
a
h
a a
== + =
h h h+
• • • • • •
A área do paralelogramo é, portanto, o produto da base pela altura.
S = a ? h 
Chamamos a atenção para o fato de que o mesmo procedimento poderia ter sido feito se tomás-
semos para base o lado BC, por exemplo. É claro que, nesse caso, a altura a ser considerada seria 
a distância entre os lados opostos AD e BC, que, na figura a seguir, indicamos por h. É lógico que 
h e h1 não precisam ser iguais, assim como AB e BC.
D
A B
C
h1
h1
•
117GUIA DO tUtOr
Mas, o fato é que teremos:
AB ? h = BC ? h1 
Nesta oficina há um encarte que deverá ser trabalhado com os alunos. Peça-lhes que o recortem. 
Com o paralelogramo em mãos, eles devem identificar os lados congruentes e reconhecer as 
medidas indicadas. É muito importante se familiarizar com o objeto para a atividade ser bem- 
-sucedida.
Agora, siga as indicações:
a) Recorte a figura na linha pontilhada interna.
b) Após o recorte, você obterá duas figuras. Cole no espaço indicado a figura que possui lado de 
medida a.
c) Como os lados do paralelogramo são congruentes, um dos lados do triângulo obtido poderá ser 
encaixado perfeitamente na figura que você colou. Encontre esse lado e cole o triângulo, de 
forma a construir uma nova figura.
d) Qual figura você encontrou? Retângulo.
e) Qual é a área da figura encontrada? a ? h
f) A área da figura inicial foi modificada? Não.
g) Conclusão: Calculamos a área de um paralelogramo da mesma maneira que calculamos a área 
de um retângulo.
h) Fórmula: Apararelogramo = a ? h
4.3. Área do triângulo
Para obter a medida da área de um triângulo ABC, escolha um lado para chamar de base. Vamos 
escolher o lado BC para base. Suponha que a base tenha comprimento a e que a altura relativa a 
essa base tenha tamanho h.
Pelo vértice A, oposto à base BC, trace paralelas aos lados AB e BC, formando o paralelogramo 
ABCD.
118 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
A
B
D
h
C
É claro que a área do triângulo ABC é a metade da área do paralelogramo ABCD. Daí resulta que 
a medida da área do triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos da base pela altura, 
isto é,
S = 
ah
2
No Anexo II, o aluno encontrará dois triângulos congruentes, como a seguir:
h
a
+ = h
a a
a
Peça para que os alunos recortem essas figuras e, mais uma vez, reconheçam seus elementos. Agora, 
siga as indicações dadas:
a) Qual é a relação entre os dois triângulos? Eles são congruentes.
b) Cole a figura II no espaço indicado.
c) Cole a figura III junto à figura II, de forma a obter uma figura de base a. Qual é esta nova figura? 
Paralelogramo.
d) Qual é a área dessa nova figura? a ? h
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos triângulos recortados inicialmente? O triângulo 
é metade do paralelogramo.
f) Conclusão: Para calcular a área de um triângulo, basta calcular a área de um paralelogramo de 
base e altura iguais a ele e dividir ao meio.
g) Fórmula: Atriângulo = 
a ? h
2
119GUIA DO tUtOr
Note que, pelo exposto, para calcularmos a medida da área de um triângulo, torna-se necessário 
conhecermos a medida de um de seus lados e também da altura relativa a esse lado. Entretanto, 
nem sempre dispomos dessas informações. Vale registrar que há outras formas de se obter a área 
de um triângulo. No segundo guia, ao estudarmos razões trigonométricas, será possível mostrar 
que a medida da área de um triângulo pode ser calculada quando se conhece a medida de dois de 
seus lados e a medida do ângulo por eles formado.
A
B
C
a
b
c
Y
β
α
Neste caso, tem-se:
S = 
1
2
 bc ? sen a ou S = 
1
2
 ac ? sen b ou S = 
1
2
 ab ? sen .
Uma terceira maneira de se calcular a área de um triângulo é por meio da Fórmula de Heron. Ela é 
útil quando se conhecem as medidas dos três lados do triângulo.
Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, então a medida S de sua área é dada por:
S = p(p – a) (p – b) (p – c), na qual p = 
a + b + c
2
.
Não demonstraremos essa fórmula no guia. Para uma demonstração da Fórmula de Heron, consulte 
a plataforma.
Ao lidarmos com triângulos, é bastante útil observarmos algumas propriedades importantes rela-
cionadas à sua área. Vários problemas interessantes são resolvidos por meio do emprego dessas 
propriedades.
Algumas delas já podemos apresentar nesta oficina. Outras ficarão para o Guia 2, quando será 
estudada a semelhança de triângulos.
120 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4.4. Propriedades importantes sobre áreas de triângulos
Propriedade 1. A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa, e o terceiro 
vértice percorre uma reta paralela à base.
B C
A4A3A2A1
r
A5
h
Na figura anterior, a reta r é paralela a BC. Os triângulos A1BC, A2BC, A3BC, A4BC e A5BC têm áreas 
de mesma medida, pois todos possuem a mesma base BC e mesma a altura h.
Propriedade 2. Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.
De fato, observando a figura a seguir, sendo M o ponto médio do lado AB, os dois triângulos inte-
riores possuem bases de mesma medida e mesma altura. Logo, possuem áreas de mesma medida.
S1 S2
S2S1=
M B
C
A
h
a
2
a
2
Quando duas figuras possuem áreas de mesma medida, dizemos que elas são equivalentes. 
Portanto, o enunciado desta propriedade pode ser: “Uma mediana divide o triângulo em dois 
triângulos equivalentes”.
121GUIA DO tUtOr
Problema 7. O triângulo ABC da figura tem área equivalente a 30 cm². O lado BC está dividido 
em quatro partes iguais pelos pontos D, E e F. O lado AC está dividido em três partes iguais pelos 
pontos G e H. Qual é a medida da área do triângulo GDE?
D5
A
G
H
CB D E F
Solução:
Observe na figura a seguir, o triângulo ABC com as cevianas BG e BH. (Ceviana é qualquer segmento 
de reta que une um vértice do triângulo a um ponto qualquer do lado oposto). 
A
G
H
CB
10
10
10
D E F
Pela propriedade 2, os triângulos BAG, BGH e BHG têm áreas de mesma medida. Cada um tem, 
portanto, área medindo 10 cm², e o triângulo BGC tem área medindo 20 cm². Observe agora o 
triângulo BGC, com as cevianas GD, GE e GF.
A
G
H
CB
10
5 5 5 5
D E F
Pela mesma propriedade, os triângulos GBD, GDE, GEF e GFG têm mesma área. Logo, cada um 
deles tem área medindo 5 cm². Com isso, a área do triângulo GDE mede 5 cm².
Repare que a solução do problema não necessitou do uso de fórmulas. Uma propriedade simples, 
e convenientemente aplicada, foi suficiente para resolver o problema.
122 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4.5. Área do trapézio
Chamamos os dois lados paralelos de um trapézio de bases do trapézio, e o maior dentre esses dois 
lados paralelos é chamado de base maior, e o menor deles, de base menor do trapézio. A distância 
entre os lados paralelos de um trapézio é a medida da altura desse trapézio.
A
D C
B
h bases
Note que, duplicando o trapézio, podemos construir um paralelogramo, conforme ilustrado a seguir.
b a
b a + ba
h h+ =
Como já sabemos calcular a área de um paralelogramo, temos que a área desse paralelogramo é 
dadapelo produto da medida de sua base (a + b) pela medida de sua altura (h) , ou seja, a medi-
da de sua área é dada por (a + b) ? h. Como a medida S da área do trapézio é igual à metade da 
área desse paralelogramo, temos que:
S = 
(a + b) ? h
2
.
No Anexo III, o aluno encontrará dois trapézios congruentes. Peça aos alunos que recortem essas 
figuras e, mais uma vez, reconheçam seus elementos.
Agora, siga o roteiro:
a) Qual é a relação entre os dois trapézios? São congruentes.
b) Cole a figura IV no espaço indicado.
c) Cole a figura V junto à figura IV, de forma a obter uma figura de base (B + b). Qual é essa nova 
figura? Paralelogramo.
d) Qual é a área dessa nova figura? (B + b) ? h
123GUIA DO tUtOr
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos trapézios recortados inicialmente? O trapézio é 
metade do paralelogramo.
f) Conclusão: Para calcular a medida da área de um trapézio, basta calcular a medida da área de um 
paralelogramo de base igual à soma de suas bases e altura igual à do trapézio e dividi-la ao meio.
g) Fórmula: Atrapézio = 
(B + b) ? h
2
4.6. Área do losango
Como o losango é um paralelogramo, podemos calcular a medida de sua área da mesma forma 
como calculamos a medida da área de um paralelogramo. Entretanto, o losango é um paralelogramo 
com características específicas. Ele possui os quatro lados com a mesma medida, o que implica em 
ser um paralelogramo com suas duas diagonais perpendiculares entre si. Chamando as medidas de 
suas diagonais de D e d, podemos construir, a partir do losango, um retângulo cujas dimensões são 
as medidas das diagonais do losango, e cuja medida de sua área será igual ao dobro da medida da 
área desse losango.
D D
d
d
Assim, podemos concluir que a medida da área do losango é dada por:
S = D ? d
2
Peça para que os alunos recortem o retângulo. Discuta com eles quais são as dimensões do retângulo 
e o que representam as linhas pontilhadas (alguns poderão não reconhecê-las como diagonais 
do losango; relembre esse conceito). Discuta as características de um losango, suas diferenças e 
semelhanças em relação ao retângulo.
124 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Vamos ao roteiro:
a) Qual é a área do retângulo recortado? D ? d
b) Dobre os cantos do retângulo para dentro, tomando por dobra os lados do losango.
c) Cole a figura já dobrada no local indicado.
d) Qual é a relação entre o retângulo inicial e o losango? Já que, ao dobrar as partes do retângulo, 
essas partes couberam perfeitamente sobre o losango, podemos dizer que o losango é metade 
do retângulo.
e) Conclusão: Para calcular a medida da área de um losango, basta calcular a medida da área de 
um retângulo de base e altura iguais às suas diagonais e dividi-las ao meio.
f ) Fórmula: Slosango = 
D ? d
2
4.7. Área do círculo
Para esta atividade, os alunos deverão utilizar o círculo que está no Anexo V. Além disso, precisarão 
de tesoura e cola.
Vamos começar:
a) Recorte o círculo.
b) Com o auxílio de uma tesoura, recorte os setores e reagrupe-os, como se mostra na figura a seguir. 
Cole-os dessa forma no espaço indicado.
r
r
c) A que polígono essa figura se assemelha? Paralelogramo.
125GUIA DO tUtOr
d) Quais são as suas dimensões? (Aqui é preciso reconhecer que a altura do retângulo corresponde ao 
raio da circunferência e que a base do paralelogramo é metade do comprimento da circunferência. 
Como eram 16 setores no total, a base, que é formada por 8 setores, tem como comprimento 
 1
2
 (2πr) = πr. Lembre-se de que estamos trabalhando com aproximações).
e) Qual é a relação entre essa figura e o círculo inicial? Os dois têm áreas de mesma medida (apro-
ximadamente).
f ) Qual é a medida de sua área? πr2
g) Conclusão: A medida da área de um círculo é dada pelo produto da constante π pelo quadrado 
da medida do raio desse círculo.
h) Fórmula: Acírculo = πr
2
4.8. Área de setor circular
A medida da área de um setor de um círculo é diretamente proporcional à medida do ângulo central, 
ou ainda, diretamente proporcional ao comprimento de seu arco. Para justificar isso, basta observar 
que, dobrando o ângulo central, a área do setor dobra; triplicando o ângulo central, a área do 
setor triplica, e assim por diante.
R
O
L

Assim, se o ângulo central tem medida a em graus, a área do setor medirá:
360° ——— πR2
a ——— S
S = 
a
360º
 πR2.
126 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
De outro lado, como a área do setor também é diretamente proporcional ao comprimento L do seu 
arco, podemos expressar essa área como:
2πR ——— πR2
L ——— S
S = 
L
2πR
 πR2 = 
LR
2
 .
5. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Considere cada quadradinho da malha a seguir como uma unidade de medida de 
área. Construa e pinte quatro regiões planas diferentes, todas com 12 unidades de área.
D7
127GUIA DO tUtOr
Atividade 2. Construa na malha quadriculada duas figuras planas com as seguintes características:
D7
a) A base de uma é o dobro da base da outra.
b) Ambas têm a mesma área.
Atividade 3. O comprimento da circunferência de uma moeda de R$ 1,00 é de 8,164 cm. Qual é 
o raio dessa circunferência? Utilize a aproximação π  3,14.
D13
C = 2πr → 8,164 = 2 ? 3,14 ? r → r = 1,3
128 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. O terreno de Paula foi dividido em três setores para uma plantação, de acordo com 
o indicado na figura. Cada setor tem como contorno uma figura plana. Observe as medidas e os 
ângulos retos da figura.
D16
Setor I
Setor II
Setor III 20 m
8 m40 m
30 m10 m
a) Que tipo de figura representa cada setor?
Setor I: paralelogramo.
Setor II: triângulo.
Setor III: trapézio.
b) Calcule a área de cada setor. 
área I: 10 ? 20 = 200 m2
área II: (40 ? 20)
2
 = 400 m2
área III: (30 + 8) ? 20
2
 = 380 m2
c) Calcule a área do terreno todo. área total: (58 + 40) ? 20
2
 = 980 m2
d) Existe outra maneira de calcular a área total do terreno. Pense mais um pouco e responda: qual 
é essa maneira? Calcular como um único trapézio.
129GUIA DO tUtOr
Atividade 5. Durante o intercolegial da escola “Co-Educação”, a turma 207 resolveu fabricar sua 
própria bandeira. Para isso, pegaram um lençol branco retangular com dimensões 2,5 m por 3,6 m 
e desenharam um losango dentro. Em seguida, resolveram pintar a parte interna do losango com 
tinta vermelha.
D15/D16
a) Quantos m2 do lençol serão pintados?
 A1 = 
9
2
 = 4,5 m2
 A2 = 3,6 ? 2,5 = 9 m
2
 At = 9 – 4,5 = 4,5 m
2. Foram utilizados 4,5 m2 de lençol.
b) Para enfeitar ainda mais, a turma decidiu colocar uma fita de cetim no entorno da bandeira. 
Quantos metros de fita foram utilizados?
 P = 3,6 ? 2 + 2,5 ? 2 = 12,2 m
 Foram utilizados 12,2 m de fita.
Atividade 6. (OBMEP) A figura é formada por dois quadrados, um de lado 8 cm e outro de lado 
6 cm. Qual é a área da região cinza?
D16
Se juntarmos à região cinza o retângulo cujos lados medem 6 cm e 2 cm, como na figura a seguir, 
teremos um novo retângulo com lados medindo 14 cm e 8 cm, cuja área é 112 cm2.
8
8 6
6
6
2
A área da região cinza será a diferença entre a área desse último retângulo e a área do retângulo 
2 ? 6 que foi acrescentado, isto é, 56 – 12 = 44 cm2 
Turma 207
130 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 7. Marta tem um terreno retangular de 60 m por 40 m; quer construir nele um canteiro 
triangular e um lago circular com raio de 10 m, conforme indica a figura. No restante do terreno, 
Marta pretende colocar pedregulhos. Utilize as aproximações π  3,14 e ±5  2,24.
D15/D16
60 m
40 m
20 m
20 5
a) Calcule quantos m2 de pedregulhos serão colocados. 
 Acírculo = 3,14 ? 10
2= 314 m2
 Atriângulo = 
20 ? 40
2
 = 400 m2
 Aquadrado = 60 ? 40 = 2 400 m
2
 Apedregulhos = 1 686 m
2
 Serão colocados 1 686 m2 de pedregulhos. 
b) No total, quantos metros de arame serão necessários para cercar o lago e o canteiro? 
 Plago = 60 + 20 ? 2,24 = 104,80 m
 Pcanto=2 ? 3,14 ? 10 = 62,8 m
 Ptotal = 167,60 m
 Serão necessários 167,6 m de arame para cercar o lagoe o canteiro.
Atividade 8. Esta é uma chapa de aço com dimensões 60 cm de base por 50 cm de altura. Nela 
foram feitos furos circulares com raio de 4 cm. Quanto resta da chapa após a perfuração? Utilize 
a aproximação π  3,14.
D16
Acírculos = 3,14 ? 4
2 = 50,24 ? 20 = 1 004,80 cm2
Aquadrado= 60 ? 50 = 3 000 cm
2
Aq – Ac = 3 000 – 1 004,80 = 1 995,20 cm
2
131GUIA DO tUtOr
Atividade 9. Após anos de intensa circulação de carros e muitas derrapagens, a curva mais perigosa 
de uma grande rodovia sofrerá obras de asfaltamento. A figura indica a porção da rodovia que será 
asfaltada. Calcule quantos m2 de asfalto serão necessários, considerando que serão duas coberturas. 
Utilize a aproximação π  3,14.
D16
120º
18 m
12 m
360° πr2
360° 3,14 ? 302
360° 2 826 m2
Então: 360° 2 826 m2
 120° x
 x = 942 m2 (1)
Logo: 360° 3,14 ? 182
 120° x
 x = 339,12 (2)
Fazendo (1) – (2) e multiplicando por 2, temos: 602,88 ? 2 = 1 205,76 m2.
132 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 10. A imagem a seguir representa o telhado de uma casa.
D16
É um tipo específico de telhado chamado “quatro águas”. Duas partes são triângulos iguais e as 
outras duas são trapézios iguais. As dimensões são:
8,4 m
4,5 m
 
16,2 m
10,1 m
5,3 m
Para cobrir 1 m2 de telhado, gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado 
da casa?
Atriângulo = 18,9 m
2 
Atrapézio = 69,69 m
2 
Serão, aproximadamente, 567 telhas (para cobrir o telhado em forma de triângulos) + 2 090,7 
telhas (para cobrir o telhado em forma de trapézio), obtendo um total de, aproximadamente, 
2 658 telhas.
133GUIA DO tUtOr
1. Introdução
Na Oficina anterior, estudamos as figuras planas, principalmente suas áreas e perímetros. Agora, 
vamos estudar figuras tridimensionais, mais especificamente volumes, planificações e áreas laterais 
e totais de sólidos geométricos.
Vivemos em um mundo físico tridimensional. Ao ser capaz de relacionar a teoria da sala de aula 
com o cotidiano, o aluno terá mais facilidade para a aprendizagem. Explore o fato de que as figuras 
geométricas foram criadas com base na observação de formas existentes na natureza e dos objetos 
produzidos pelo ser humano.
As figuras planas estão contidas em um plano. Quando uma figura geométrica é tal que não há 
um plano que possa contê-la, ela é chamada de uma figura tridimensional. Estaremos interessados 
em figuras tridimensionais que apresentam certas particularidades: os sólidos geométricos. Estas 
figuras geométricas, além de terem comprimento e largura, apresentam também altura (ou profun-
didade). As figuras tridimensionais que estudaremos nesta oficina têm relação com as figuras 
planas vistas anteriormente.
Figura 
Tridimensional
Figura 
Plana
Em sala de aula, explore as diversas figuras tridimensionais encontradas em nosso dia a dia. Peça 
a seus alunos que levem para a aula caixas, latas, embalagens diversas. Em grupo, peça que 
identifiquem as três dimensões dos sólidos e que reconheçam as figuras planas que formam 
aquele sólido.
SóLIDOS GEOMÉTRICOS8
134 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Situação-problema:
Desde criança, Juliana adora peixes. Ela acaba de se mudar para uma casa e quer construir um 
grande aquário com tampa para que possa curtir seus animais preferidos. Para isso, fez várias pes-
quisas e descobriu coisas bem interessantes. A primeira coisa que descobriu foi que existem três 
opções para o formato de seu aquário:
Prisma retangular Cubo Cilindro
Antes de escolher uma dentre as três formas, resolveu verificar quanto gastaria e quais providências 
ela deveria tomar com cada tipo de aquário.
Em cada problema apresentado, iremos tratar de uma questão relacionada às figuras tridimen-
sionais. Esperamos que você trate conceitos e definições de uma forma contextualizada. Não 
responda às questões por eles. Estimule o raciocínio dos alunos e valorize as respostas dadas, 
mesmo as incorretas.
Problema 1. A vidraçaria informou à Juliana que ela deveria levar um molde do aquário. Para tal, 
Juliana tentou desenhar o que seriam os moldes para as diferentes formas de aquário. Quando 
terminou de desenhá-los, percebeu que havia cometido alguns erros. A seguir, estão os moldes 
construídos por ela. Identifique o sólido que cada molde deveria representar, os erros cometidos 
em cada um e desenhe novos moldes de forma correta.
D17
Aqui, iremos trabalhar com planificações. Explique o que é a planificação de um sólido, utilizando 
esse problema como exemplo. Lembre-se de que existem várias planificações para cada sólido. 
Mostre isso a seus alunos, apresentando diferentes planificações desses sólidos.
Molde 1 Molde 2 Molde 3
135GUIA DO tUtOr
MOLDE 1
SóLIDO: Cubo 
ERROS: Com essa planificação, o cubo não fecha; vai ficar uma base “por cima da outra”. 
MOLDE 2
SóLIDO: Cilindro 
ERROS: Uma base menor do que a outra. 
MOLDE CORRETO
MOLDE CORRETO
136 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
MOLDE 3
SóLIDO: Prisma de base quadrada. 
ERROS: As bases deveriam ser retângulos, e não quadrados; as faces laterais precisavam estar intercaladas. 
Problema 2. Antes de desenhar novos moldes, Juliana decidiu as dimensões de cada tipo de aquário.
D17
105 cm
140 cm
70 cm
105 cm
105 cm
60 cm
Prisma Retangular Cubo
Cilindro
Em seguida, corrigiu seus moldes e levou-os à vidraçaria. Lá, foi informada de que o metro quadrado 
de vidro custava R$ 22,00. Quantos reais ela gastará em vidro para fazer cada tipo de aquário?
I) A1 = 1,05 ? 0,7 ? 2 = 1,47
 A2 = 1,4 ? 0,7 ? 2 = 1,96
 A3= 1,4 ? 1,05 ? 2 = 2,94
 A = A1 + A2 + A3 = 6,37 m
2
MOLDE CORRETO
137GUIA DO tUtOr
Então, 6,37 ? 22 = 140,14 
Vai gastar R$ 140,14.
II) 1,05 ? 1,05 ? 6 = 6,615
 6,615 ? 22 = 145,53
 Vai gastar R$ 145,53.
III) Ab = 3,14 ? 0,6
2 = 2,2608
 Sl = 2 ? 3,14 ? 0,6 ? 1,05 = 3,9564
 At= 6,2172
 Então, 6,2172 ? 22 = 136,77
 Vai gastar R$ 136,77.
O objetivo desse problema é trabalhar área de superfícies de sólidos. Peça que eles identifiquem 
quais figuras planas formam cada um dos sólidos trabalhados e como devemos calcular sua área. 
Lembre-se de que faces opostas têm áreas iguais e que a área lateral de um cilindro é formada por 
um retângulo.
APRISMA = 63 700 cm
2 = 6, 37 m2 ⇒ Valor: R$ 140,14
ACUBO = 66 150 cm
2 = 6,615 m2 ⇒ Valor: R$ 145,53
ACILINDRO =  62 172 cm
2 = 6,2172 m2 ⇒ Valor: R$ 136,78
Antes de continuarmos com a construção de aquário de Juliana, vamos fazer uma rápida atividade 
prática para introdução do cálculo de volume de um sólido.
138 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
2. Princípio de Cavalieri
O Princípio de Cavalieri é uma ferramenta valiosa no cálculo de volumes de sólidos geométricos. 
Para ilustrar o Princípio de Cavalieri, você pode realizar a seguinte atividade:
Atividade Prática
Para essa atividade você precisará de 20 moedas iguais. 
Sobre uma mesa coloque uma pilha de 10 moedas no formato de um cilindro circular 
reto. Questione seus alunos qual é a figura tridimensional que se assemelha a essa pilha. 
Ao lado dessa pilha, construa outra idêntica a ela. Em seguida, dê uma leve “entor-
tada” na nova pilha, conforme ilustrado na imagem abaixo. 
Como os alunos já sabem que volume de um sólido é a porção do espaço que ele 
ocupa, questione se o volume da pilha “torta” é igual ao volume da pilha reta. Pro-
vavelmente, você ouvirá respostas diversas. Participe dessa discussão e conduza-os à 
conclusão que os volumes são iguais.
Em seguida, apresente o enunciado formal do Princípio de Cavalieri:
“Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo 
plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes 
dos sólidos também serão iguais.”
Utilize a pilha de moedas para exemplificar o que foi definido. Peça que seus alunos imaginem que 
as moedas são bem fininhas. Como são todas iguais, a primeira moeda da pilha reta tem exata-
mente a mesma área que a primeira moeda da pilha “torta”.A segunda também, e assim sucessi-
vamente. Portanto, para calcular o volume, bastaria “somar” todas essas áreas.
Neste ponto, vários questionamentos podem surgir. Ouça todos e incentive essa discussão. É assim 
que se constrói o conhecimento.
Portanto, no caso da pilha de moedas, 
VSóLIDO = ABASE ? h
Tudo o que foi feito para a pilha de moedas pode também ser feito para uma pilha de folhas de 
papel. Sugerimos que repita todos os procedimentos para uma pilha de papel A4.
FE
RN
A
N
D
O
 F
A
V
O
RE
TT
O
/
CR
IA
R 
IM
A
G
EM
139GUIA DO tUtOr
Problema 3. Com o orçamento da vidraçaria em mãos, a próxima providência de Juliana é calcular 
o volume do aquário. Vamos ajudá-la neste cálculo.
D17
I) V = 1,03 m3 = 1 030 ,
II) V = 1,157  1,16 m3  1 160 ,
III) V = Sb ? h = 1,186  1,19 m
3  1 190 ,
Problema 4. Chegou a hora de Juliana escolher os peixes para seu aquário. Ela quer colocar 
paulistinhas, lebistes e néons.
D17
Paulistinha Lebiste Néon
Em um aquário, é recomendável prever as seguintes quantidades de água para cada unidade de peixe:
» Paulistinha: de 5 litros de água;
» Lebiste: 11 litros de água;
» Néon: 4 litros.
Em qual dos três aquários considerados por Juliana caberiam 50 paulistinhas, 50 lebistes e 85 néons?
O objetivo aqui é trabalhar a capacidade dos sólidos. Na oficina de unidades de medida, eles já 
aprenderam a fazer as transformações necessárias entre metro cúbico e litro. Aqui eles devem 
compreender como relacionar o volume de um sólido com sua capacidade.
» 50 paulistinhas – 250 litros
» 50 lebistes – 550 litros
» 85 néons – 340 litros
Para colocar todos esses peixes em um aquário, sua capacidade deveria ser de, no mínimo, 
250 + 550 + 340 = 1 140 litros.
VPrisma = 1,03 m³ ⇒ CPrisma = 1 030 ,
VCubo = 1,16 m³ ⇒ CCubo = 1 160 ,
VCilindro = 1,19 m³ ⇒ CCilindro = 1 190 ,
Portanto, Juliana poderá escolher entre o aquário em formato cúbico ou cilíndrico.
M
Ik
H
A
IL
G
/ 
D
RE
A
M
ST
IM
E.
CO
M
SO
M
M
A
I S
O
M
M
A
I/
D
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140 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 5. Apesar de querer um aquário bem grande, Juliana deseja ter o menor gasto possível 
em confecção. Portanto, entre as duas possibilidades que lhe resta, qual é a mais econômica?
D17
Na vidraçaria, ela gastará menos com o aquário cilíndrico, portanto, esse deve ser seu escolhido.
3. Outros sólidos importantes
Além do prisma retangular, do cubo e do cilindro, o cone e a pirâmide são formas geométricas que 
aparecem com frequência em nosso cotidiano. A seguir, veja exemplos de cone e pirâmides com 
suas planificações.
Apresente exemplos desses sólidos em nossa vida cotidiana. Destaque o fato de uma pirâmide ser 
caracterizada pelo polígono que forma sua base e apresente outras maneiras de planificá-la.
CONE
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇÃO: Formada por um círculo e por um setor circular.
141GUIA DO tUtOr
PIRÂMIDE
Pirâmide
Triangular
Pirâmide
Quadrangular
Pirâmide
Pentagonal
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇÃO: Faces laterais formadas por triângulos, e a base depende do 
polígono (que dá o nome à pirâmide).
142 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. Baralho dos sólidos
Para finalizar esta oficina, sugerimos o jogo “Baralho dos Sólidos”. Neste jogo, os alunos devem 
relacionar a imagem de um sólido ao seu nome e à sua planificação. As cartas estão anexas, no 
final deste Guia.
Objetivos:
» Reconhecer um sólido, seu nome e relacioná-lo com suas planificações;
» Desenvolver o raciocínio lógico;
» Trabalhar em equipe.
Regras
Participantes: de 2 a 10 equipes. As equipes devem ser formadas por duplas. É possível também 
desenvolver o jogo sem formar equipes. Nesse caso, restrinja o jogo a, no máximo, 10 participantes.
Material: São dois baralhos de 36 cartas, totalizando 72 cartas. Cada baralho é formado por 9 
sólidos. Cada sólido tem uma carta com sua imagem, uma com seu nome e duas cartas que repre-
sentam suas planificações.
Como jogar
Inicia-se o jogo embaralhando as cartas. Após embaralhar, disponha 6 cartas sobre o centro da 
mesa, com a face voltada para cima. Toda vez que essas cartas sobre a mesa acabarem, devem ser 
colocadas outras 6 em seu lugar. Para isso, não é necessário esperar que a rodada termine. Cada 
equipe receberá 4 cartas. O restante ficará separado até que seja necessário dar cartas novamente 
ou preencher as cartas na mesa.
O jogo começa com a equipe que está à esquerda de quem distribuiu as cartas.
Essa equipe deve verificar se entre suas cartas há alguma que forme par com alguma das que estão 
sobre a mesa.
» Se sim, deve juntar as duas cartas e separá-las em um monte à sua frente, com a face vol-
tada para cima. Por exemplo, em sua mão tem uma planificação do cubo e sobre a mesa 
tem a carta com a palavra CUBO; o jogador deve recolher essas duas cartas (a da sua mão 
e a da mesa) e colocá-las sobre o monte à sua frente.
» Se não, deve descartar uma carta qualquer de sua mão e colocá-la sobre a mesa, com a face 
para cima, junto às demais que lá já estão.
Assim que terminar sua jogada, a próxima equipe deve observar as cartas da mesa e também a 
carta de cima dos montes de seus adversários.
143GUIA DO tUtOr
» Se formar par com uma das cartas sobre a mesa, o procedimento é o mesmo descrito no 
exemplo anterior.
» Se formar par com a carta de cima do monte de algum adversário, o jogador deve colocar 
sua carta por cima do monte e tomá-lo para si. Por exemplo, a carta de cima do monte do 
adversário é uma planificação do cubo. Em sua mão, ele tem a imagem de um cubo.
» Se nenhuma de suas cartas formar par com as que estão sobre a mesa, nem com as de cima 
dos montes dos adversários, então, ele deve escolher uma carta e descartá-la sobre a mesa, 
junto às outras.
» Caso a equipe tenha carta que forme par tanto com uma carta da mesa quanto com uma 
do monte de seu adversário, fica a critério dessa equipe decidir se recolhe da mesa ou se 
recolhe o monte de seu adversário.
Ao final da primeira rodada, cada equipe terá 3 cartas na mão. Antes de iniciar a segunda rodada, 
todas as equipes devem comprar uma nova carta de forma a completar 4 cartas na mão. Assim 
deve prosseguir o jogo, de rodada em rodada. Caso não haja mais cartas suficientes para que todas 
as equipes façam sua compra, essas cartas devem ser colocadas sobre a mesa. Por exemplo, se são 
8 equipes jogando e no monte restam apenas 5 cartas, não seria mais possível cada equipe com-
prar uma carta. Nesse caso, as 5 cartas devem ficar sobre a mesa, com a face para cima.
O jogo termina quando acabarem as cartas para distribuição e ninguém mais conseguir formar par 
com as cartas da mão e alguma carta da mesa ou do topo do monte de algum adversário.
Vencedor
Vence a equipe que, ao final, tiver o maior número de cartas em seu monte.
144 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
5. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Relacione as figuras com suas planificações.
D2
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6
Fig. A Fig. B Fig. C Fig. D
Fig. E
Fig. F
Fig. G Fig. H
Figura 1: C
Figura 2: E
Figura 3: B
Figura 4: G
Figura 5: F
Figura 6: D
Atividade 2. A figura a seguir mostra um dado planificado.
D2
145GUIA DO tUtOr
Qual das figuras a seguir representa o mesmo dado depois de reconstituído? III
I II III IV
Atividade 3. Um silo de milho tem a forma de cilindro circular reto, com raio da base de 1,5 m e 
altura de 4 m. Qual é a área total da superfície desse silo? Utilize a aproximação π  3,14.
D16
At = 2πrh + 2πr
2
At = 2 ? 3,14 ? 1,5 ? 4 + 2 ? 3,14 ? (1,5)
2 = 51,81 m2
Atividade 4. Dona Jussara quer construir uma piscina em seu quintal com formato de um prisma 
πr2 retangular. Essa piscina terá todo seu interior azulejado. Para isso, tem dois projetos:
D16
Projeto I: comprimento 2 m, largura 3 m e profundidade 1,5 m;
Projeto II: comprimento 2,5 m, largura 2 m e profundidade 1,8 m.
Qual dos dois projetos é mais vantajoso para DonaJussara, ou seja, qual gastará menos azulejos? 
A1 = 21 m
2
A2 = 21,2 m
2
Projeto I.
Atividade 5. Uma vasilha está cheia de feijões e tem formato de um cilindro circular reto, com raio 
da base de 10 cm e altura 20 cm. O que acontecerá se despejarmos os feijões em uma caixa de 
mesma altura, comprimento de 18 cm e largura de 15 cm? Utilize a aproximação π  3,14.
D17
Vvasilha = 3,14 ? 10
2 ? 20 = 6 280 cm3
Vcaixa = 18 ? 15 ? 20 = 5 400 cm
3
Os feijões vão transbordar.
146 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 6. Uma empresa de sucos precisa de embalagens com capacidade de um litro. Três 
fábricas de embalagem apresentaram propostas:
D17
Fábrica I: no formato de um cubo de aresta de 10 cm;
Fábrica II: na forma de um paralelepípedo, com comprimento 5 cm, largura 20 cm e altura 
15 cm;
Fábrica III: na forma de um paralelepípedo, com comprimento 5 cm, largura 10 cm e altura 
20 cm.
a) Todas as fábricas apresentaram propostas compatíveis à necessidade do cliente? 
 I) V = 1 000 cm3 = 1 litro
 II) V = 1 000 cm3 = 1,5 litro
 III) V = 1 000 cm3 = 1 litro
 Não, só as fábricas I e III.
b) O critério de escolha da empresa será a fábrica que utilizar menos material. Assim, qual fábrica 
será escolhida? 
 I) A = 500 cm2
 III) V = 650 cm2
 Será a fábrica I. 
c) Após a escolha da embalagem, a empresa colocará suas caixas de suco em caixas de papelão 
com formato de bloco retangular, com comprimento de 40 cm, largura de 50 cm e profundidade 
de 60 cm. Quantas caixas de suco caberão em cada caixa de papelão? 
 V = 40 ? 50 ? 60 = 120 000 cm3 = 120 litros ou 120 caixas.
147GUIA DO tUtOr
Atividade 7. (Enem) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.
D2
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Planificação de figuras espaciais. Cada figura espacial é formada por um conjunto específico ou variável 
(de acordo com sua característica) de figuras planas. Considerando as figuras espaciais retas, o cilin-
dro é formado por 2 círculos e 1 retângulo; o cone por um círculo e um setor circular, com mesmo 
comprimento do que o círculo. Já o prisma é formado por 2 bases (qualquer polígono) e “n” faces 
laterais retangulares, com “n” igual ao número de lados do polígono da base e a pirâmide por 1 base 
(qualquer polígono) e “k” faces laterais triangulares, com “k” igual ao número de lados do polígono 
da base. A base dos prismas e pirâmides os caracteriza. Assim, a primeira planificação representa um 
cilindro, a segunda um prisma de base pentagonal e a terceira uma pirâmide (de base triangular, 
também chamada de tetraedro). 
Resposta: alternativa a).
148 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Compreender, planejar, executar, verificar e interpretar.
Criatividade, espírito de organização, capacidade de trabalho,
autoconfiança, paciência, persistência.
Resolver problemas é uma habilidade que pode ser desenvolvida. Esta Oficina não oferece uma 
chave mágica que abre todas as portas e resolve todos os problemas, mas oferece algumas técnicas 
úteis para disciplinar e favorecer a postura e a organização quando o desafio é a resolução de 
problemas. Um problema, ainda que simples, pode despertar o prazer pelo trabalho mental e 
proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.
Nesse sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e levá-lo a se interessar pela 
Matemática, de modo que, ao tentar resolvê-los, ele adquire criatividade e aprimora o raciocínio, 
além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.
1. O que é um problema em Matemática?
Um problema matemático é toda e qualquer situação na qual é requerida uma descoberta de 
informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, ou ainda, 
é o desenvolvimento da demonstração de um dado resultado matemático. O ponto principal é 
que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever novas estratégias, percorrer novos 
caminhos. Ela até pode conhecer os objetivos a serem atingidos, mas desconhece os meios para 
alcançá-los.
Pode-se definir assim um problema: situação em que devemos chegar a um objetivo, cujo caminho 
a ser trilhado é desconhecido. De outra forma, não seria um problema, mas sim a aplicação de 
conhecimentos previamente conhecidos.
Algumas características dos problemas:
» O caminho da resolução é desconhecido;
» Precisam ser analisados de várias formas diferentes, ou seja, esgotar todas as suas possi-
bilidades;
» Exigem paciência, pois devemos analisar até descobrirmos padrões, regularidades que per-
mitam traçar estratégias de resolução.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS9
149GUIA DO tUtOr
» Podem conter informações ocultas, que só percebermos se analisarmos corretamente as 
informações dadas.
» Não têm uma resposta única: podemos nos deparar com situações que apresentam várias 
possibilidades de resolver o mesmo problema, outras em que não exista uma melhor solu-
ção, ou até mesmo encontrar problemas sem solução, pois resolver um problema não é o 
mesmo que identificar somente a resposta.
2. Diferença entre problema e exercício
É muito comum a dúvida entre a diferença de problemas e exercícios. Exercícios são atividades em 
que aplicamos conhecimentos e/ou habilidades já conhecidos, ou seja, apenas utilizamos conheci-
mentos prévios para resolver situações semelhantes às que foram apresentadas anteriormente na 
ocasião do aprendizado. Exercícios envolvem apenas a reprodução de situações de aprendizagem 
já fixadas, enquanto o problema exige o desenvolvimento de novos caminhos.
Na realidade, essa diferenciação é relativa a cada pessoa. O que é um exercício para alguns pode 
ser um problema para outros. Por exemplo, se estamos apresentando, pela primeira vez, equação 
do segundo grau a um aluno, para ele, aluno, que não sabe ainda da existência de uma fórmula 
resolutiva para tal equação, achar as raízes dessa equação é um problema. Depois que ele já tenha 
visto a fórmula resolutiva dessa equação, ao se deparar com outra equação do segundo grau a ser 
resolvida, ele estará diante de um exercício, e não mais de um problema.
3. Técnicas e estratégias para a solução de problemas
O processo da tradução do problema para a linguagem matemática é apenas o começo da solução 
do problema, mas é nela em que se executam as ações que mais se aproximarão da solução.
Ao falar de estratégias para resolução de problemas, temos de montar um plano para encontrar 
uma solução e executá-lo. Com isso, concluímos que a organização do processo é fundamental 
para a resolução.
Essas estratégias englobam planejamento e organização das diferentes técnicas já aprendidas para 
encontrar uma meta desejada. Para a resolução de problemas, não basta que o aluno conheça 
determinada técnica ou determinado algoritmo para aplicá-lo na tarefa, pois isso não garante que 
ele conseguirá resolver o problema somente com esse conhecimento.
Segundo Polya, a solução de um problema exige uma compreensão da tarefa, a concepção de um 
plano que nos leve a uma meta, a execução desse plano e uma análise que nos permita determinar 
se alcançamos nossa meta, ou seja, nosso objetivo.
Como vemos, segundo Polya, o primeiro passo é compreender o problema, ou seja, entender a 
situação e querer buscar uma solução que satisfaça suas condições. Devemos primeiramente com-
preender a linguagem e, em seguida, nos situar em relação aos conhecimentos prévios que possam 
ser aplicados no processo.
150 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Após termos compreendido o problema, devemos traçar um plano para alcançar os resultados que 
satisfaçam a situação. Esses planos e metas podem ser chamados de estratégiasde solução de 
problemas, e os procedimentos usados para a execução deles podem ser chamados de regras, al-
goritmos ou operações.
Existe uma grande variedade de estratégias disponíveis para qualquer pessoa poder utilizar na 
resolução de problemas, desde o método de tentativa e erro, até os métodos mais complexos e 
elaborados.
Depois de o plano ter sido traçado, o terceiro passo é a execução, ou seja, desenvolver o que havia 
sido planejado e transformar o problema mediante o algoritmo que mais se adequar à situação em 
questão. Não é de se estranhar se, nessa etapa, o problema original transformar-se em outro pro-
blema; nesse caso, é necessário traçar um novo plano na tentativa de satisfazer o novo problema, 
ou seja, adequar o plano anterior a uma nova situação. Isso é mais comum do que se imagina, 
pois, se estamos resolvendo um problema, significa que se trata de uma situação desconhecida, 
por isso, deve ser analisada e adequada no decorrer do processo, de forma a dar continuidade à 
busca da solução do problema inicial.
E, por último, executamos o quarto passo, que corresponde a chegar à solução do problema, mas 
também checar sua validade, ou seja, analisar a resposta obtida e verificar se ela satisfaz as condi-
ções iniciais do problema proposto. Essa verificação deve ocorrer para evitar cometer erros de 
apresentar respostas erradas como solução de um problema.
Em geral, o 4o passo tende a ser negligenciado pelo aluno. Ao perceber que “resolveu” o problema 
proposto, a tendência é dá-lo por encerrado, e não ter o cuidado de verificar se a resposta obtida 
está correta e compatível com o problema. Isso é uma questão de hábito, que pode e deve ser 
cultivado pelos alunos, mas que só será adotado se você, tutor, der o exemplo. Sempre verifique a 
resposta obtida, em cada atividade.
Essas fases de resolução têm sido consideradas métodos gerais de solução de problemas, inde-
pendentemente da área a ser considerada, e nem sempre sua aplicação garante uma resolução 
satisfatória, pois nem todos conseguem realizar corretamente todas as etapas, seja por falta de 
conhecimentos concretos, seja por impaciência na busca de um caminho mais objetivo e, na 
maioria das vezes, por falta de criatividade. Mas, independentemente do algoritmo escolhido 
para a resolução do problema a que se propuser resolver, com base nesses quatro passos, o 
planejamento e a execução da estratégia de resolução ficam mais acessíveis.
151GUIA DO tUtOr
4. A arte de resolver problemas
A seguir, apresentamos os quatro passos na resolução de um problema, apontados por Polya.
1o É preciso compreender o problema.
O primeiro passo para resolver um problema é compreendê-lo bem. Devem-se saber exata-
mente o que é dado e o que é pedido.
• Leia o problema atentamente. Se necessário, leia-o em voz alta e tente explicá-lo aos 
colegas.
• Anote as quantidades e as condições dadas – os chamados dados do problema.
• Identifique as incógnitas e as condicionantes. O que se pretende exatamente: calcu-
lar ou provar?
• Desenhe uma figura ou um esquema que possa lhe ajudar a organizar a informação e 
a visualizar o problema.
• Uma possível ajuda é reformular o problema de formas diferentes, ou pensá-lo em 
uma situação concreta, familiar. Tente isso!
2o É preciso planejar uma estratégia para resolver o problema.
Agora que já compreendeu bem o problema, deve imaginar um plano para resolvê-lo. Esse é 
o passo mais difícil porque requer algumas capacidades que precisam ser desenvolvidas – 
criatividade, espírito de organização e experiência. É claro que só vai consegui-lo com esforço 
e trabalho. Não há outra hipótese! Mas verá que vale a pena.
• Tente pensar em um problema semelhante que, eventualmente, já tenha resolvido 
antes.
• Tente fazer um diagrama que explique a estratégia imaginada para a resolução.
• Identifique as ferramentas necessárias para a resolução – analíticas, geométricas, 
combinatórias etc.
• Se não conseguir resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema 
semelhante. É possível imaginar um problema parecido mais acessível? Um problema mais 
genérico? Um mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte dele?
• Fixe apenas uma parte das condicionantes, deixe outras de lado; até que ponto a in-
cógnita fica assim determinada? Como pode ela variar? É possível obter dos dados 
alguma utilidade? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a 
incógnita? É possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de 
tal maneira que fiquem mais próximos entre si?
• Utilizou todos os dados? E todas as condicionantes?
152 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3o Execute a estratégia planejada. Reveja tudo, desde o início, se necessário!
Agora, já tem um plano para resolver o problema. Tem de executá-lo. Sem receios, é claro! 
Seja autoconfiante!
• Guarde sempre as notas do teu trabalho, já que podem ser úteis se precisar revê-lo.
• Verifique, de novo, cada passo da resolução e confirme se não há erros que afetem a 
solução final.
• Teste sempre a estratégia que imaginou no passo 2. Se encontrar erros, contradições ou 
falta de informação para prosseguir, é natural que tenha de repensar o seu plano. Tenha 
paciência, volte atrás! A paciência também é fundamental na resolução de problemas!
4o Verifique e interprete os resultados obtidos.
Agora, já tem uma solução. Mas, estará correta? É muito importante validar os resultados obtidos.
• Confirme se os resultados fazem sentido. Verifique se, por exemplo, eles têm as uni-
dades esperadas e valores numéricos que não sejam absurdos em relação ao contexto 
apresentado no problema.
• Verifique os seus cálculos de novo, ou faça-os de outra forma diferente.
• Teste a consistência dos resultados, considerando casos particulares ou situações-
-limites.
• Escreva a solução final de forma clara e concisa, usando uma linguagem simples, sem 
dar qualquer margem para ambiguidade.
Agora, vamos praticar as técnicas apontadas por Polya, resolvendo alguns problemas. É claro que 
nenhuma técnica de resolução de problemas, por si só, é suficiente para se resolvê-los. Há proble-
mas de todos os níveis. Em problemas menos complicados, o emprego de técnicas de resolução 
pode dar bons resultados, pois a simples organização e a sistematização de procedimentos podem 
facilitar no enfrentamento do problema. Entretanto, há problemas que são bastante difíceis, que 
exigem muita, mas muita criatividade e, nesses casos, as técnicas pouco ajudam.
Inicialmente, apresente o problema ao aluno e dê-lhe um tempo para tentar resolvê-lo, seguindo 
as quatro etapas apontadas por Polya. Se após algum esforço o aluno ficar inclinado a desistir, você 
deverá entrar em ação, elaborando perguntas e apresentando sugestões, simples e genéricas. 
À medida da necessidade, deve-se, gradualmente, dar sugestões mais específicas. Enquanto os 
alunos estiverem tentando resolver o problema, não mostre a conclusão. Por fim, resolva o proble-
ma, em detalhes, comentando a postura de investigação esperada.
Conduza-os com perguntas, transmitindo sempre a sensação de que a turma teve efetiva partici-
pação na resolução do problema. Essa atitude de sua parte é desejável, pois desenvolve a autoes-
tima do aluno e o encoraja a continuar trabalhando e se esforçando nos problemas seguintes.
153GUIA DO tUtOr
Exemplo 1. 
(OBMEP-Adaptado) Valdemar vai construir um muro de 2 m de altura por 7 m de comprimento. 
Ele vai usar tijolos de 5 cm de altura por 20 cm de comprimento unidos por uma fina camada de 
cimento, conforme indicado na figura. Sabendo que os tijolos são vendidos em milheiros, quantos 
milheiros Valdemar vai ter que comprar para construir o muro?
D16/D18
t
t
tt
5
20
1a etapa: compreensão do problema.
Aqui devemos fazer uma leitura cuidadosa do problema: quais são os dados e a pergunta a ser 
respondida? 
É possível estimar. 
Quais são os dados?
Temos a altura e o comprimento do muro: 2 m ? 7 m.
Sabemosa altura e o comprimento dos tijolos: 5 cm ? 20 cm.
Os tijolos são vendidos em milheiros.
Qual a pergunta do problema?
Quantos milheiros Valdemar vai ter que comprar para construir o muro?
2a etapa: estabelecimento de uma estratégia.
Precisamos fazer a transformação de unidades, ou seja, transformar centímetros para metros. 
Depois, precisamos descobrir quantos tijolos “cabem” na altura do muro e, consequentemente, no 
comprimento do muro.
O enunciado aponta que a camada de cimento é fina, contudo essa informação é irrevelante na 
resolução do problema, então, podemos estimar o resultado sem considerá-la.
154 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3a etapa: execução da estratégia. 
Sabemos que 1 m = 100 cm. A altura do muro é igual a 2 m, ou seja, 200 cm, e a altura de cada 
tijolo é de 5 cm. Logo, serão necessárias cerca de 200
5
 = 40 camadas horizontais de tijolos. 
O comprimento do muro é de 7 m, ou seja, 700 cm, e o comprimento de um tijolo é de 20 cm. 
Assim, devem ser colocados em cada camada horizontal do muro cerca de 700
20
 = 35 tijolos. Já 
que a espessura da camada de cimento é fina e, portanto, irrelevante, podemos estimar que serão 
necessários 40 ? 35 = 1 400. Como os tijolos só são vendidos aos milheiros, ou seja, de mil em mil, 
então Valdemar vai precisar comprar dois milheiros de tijolos. 
4a etapa: revisão da solução.
Nesta etapa, examinamos a solução obtida.
É possível verificar o resultado? Volte à pergunta do problema e analise o resultado.
Obtivemos primeiro quantos tijolos seriam necessários para a altura do muro, dividimos a altura 
total do muro pela espessura de um tijolo para encontrarmos quantas camadas seriam necessárias. 
Depois, fizemos o mesmo com o comprimento. Dividimos o comprimento total do muro pelo com-
primento de um tijolo para obtermos quantos tijolos seriam necessários. Ao final, calculamos a 
área do muro que Valdemar iria construir para precisar quantos milheiros ele teria que comprar. 
Exemplo 2. D21
Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos os dias acorda as 
8 horas, toma o seu café e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2 dúzias de 
bolinhas coloridas para jogar. No final do jogo, ele havia perdido um quarto de suas bolinhas, e 
Júnior ficou muito contente, pois agora tinha o triplo de bolinhas de Caio. Quantas bolinhas Júnior 
tinha ao iniciar o jogo?
(Fonte: SMOLE, kátia S. Ler, escrever e resolver problemas. Habilidades básicas para 
aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001).
Esse problema é bem diferente do exemplo 1 que resolvemos. Nem todas as informações disponí-
veis no texto são usadas em sua resolução.
Trabalhar com eles rompe com a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e de que todos 
os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso, evidencia ao aluno a importância de 
ler, fazendo com que aprenda a selecionar dados relevantes para a resolução de um problema.
Esse tipo de problema aproxima-se de situações mais realistas que o aluno deverá enfrentar em sua 
vida, pois, na maioria das vezes, os problemas que se apresentam no cotidiano não são propostos 
de forma objetiva e concisa. Nesses casos, o resolvedor terá pela frente, em geral, uma situação 
revolta, cheia de informações supérfluas que devem ser identificadas e descartadas.
155GUIA DO tUtOr
Essa é uma habilidade que precisamos desenvolver no aluno. 
Precisamos passar pelas etapas de identificar os dados do problema.
1a etapa: compreensão do problema. 
Caio tem 6 anos. 
Acorda às 8 horas.
Tem 2 dúzias de bolinhas.
Perdeu 1
4
.
2a etapa: estabelecimento de uma estratégia. 
Precisamos pensar o que é necessário para a resolução do problema, ou seja, quais dados são 
supérfluos e quais fazem parte da resolução. Saber que horas ele acorda ou quantos anos ele tem 
influencia na resolução do problema?
O que preciso para resolvê-lo?
Caio perdeu 1
4
 das bolinhas jogando com Júnior e, ao final, Júnior ficou com o triplo de bolinhas 
de Caio. Essas são as informações de que preciso para resolver o problema.
3a etapa: execução da estratégia.
Se Caio perdeu 1
4
 do que tinha, então: 24 ÷ 4 = 6. Ficou com 24 – 6 = 18 bolinhas.
Júnior ficou com o triplo de bolinhas de Caio. Logo, Júnior ficou com 3 ? 18 = 54 bolinhas.
4a etapa: revisão da solução.
Esse problema envolve uma história, utiliza informações desnecessárias para a resolução matemá-
tica e requer do aluno uma atenção maior para a seleção do que é relevante para obter a resposta 
do problema.
Exemplo 3. D21
Joana tem 80 reais em cédulas. Quantas notas ela tem?
Esse é um problema que não tem uma única resposta e faz com que o aluno procure diferentes 
estratégias de resolução. Isso é importante porque faz com que ele perceba que nem todo proble-
ma tem somente uma solução e promove um processo de investigação e busca de formas e res-
postas diferentes dos outros colegas.
Solução: Joana tem 80 reais em cédulas.
Temos somente os 80 reais como o “dado” do problema. 
156 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Como estratégia do problema, podemos resolver de diversas maneiras de se formar 80 reais em 
cédulas.
Por exemplo, podemos fazer uma tabela com as diferentes possibilidades:
Possibilidades
80 50 + 20 + 10
80 20 + 20 + 20 + 20
80 20 + 20 + 20 + 10 + 10
80 50 + 10 + 10 + 10 
E ainda existem outras possibilidades diferentes. 
Exemplo 4. D2
Monte uma pirâmide de base quadrada usando os 5 triângulos a seguir: 
(Fonte: SMOLE, kátia S. Ler, escrever e resolver problemas. Habilidades básicas 
para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001).
Esse é um exemplo de problema sem solução, por causa de uma impossibilidade matemática, pois 
não conseguimos construir uma pirâmide de base quadrada com cinco triângulos iguais. Para isso, 
necessitamos de um quadrado e quatro triângulos iguais e adequados. 
Esse tipo de problema impacta profundamente a crença dos alunos de que todo problema tem 
solução e é numérica.
Podemos propor aos alunos que tornem o problema possível, e uma alternativa é trocar um dos 
triângulos por um quadrado.
A seleção de diferentes tipos de problemas é fazer com que nossos alunos sejam capazes de resol-
ver diferentes tipos de problemas nas aulas de Matemática.
157GUIA DO tUtOr
5. Resolva as atividades propostas a seguir: 
1) (OBMEP) Dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cinco regiões, 
sendo quatro retângulos e um quadrado, como ilustrado a seguir:
Na figura dada, temos que:
• O quadrado do centro tem área igual a 64 m2.
• Os lados maiores dos quatro retângulos têm o mesmo comprimento.
• As cinco regiões têm o mesmo perímetro.
Determine a área do terreno de Dona Lígia.
Como a área do quadrado do centro é igual a 64 m2, então o seu lado mede 8 m. Como o perímetro 
de um quadrado é igual a quatro vezes o comprimento do seu lado, concluímos que o perímetro do 
quadrado central é igual a 32 m. 
Como as cinco regiões têm o mesmo perímetro, concluímos que o perímetro de cada retângulo 
também é igual a 32 m. Observe agora a seguinte figura: 
A
M
N
B
S
Nessa figura, vemos que MA + NA é igual à metade do perímetro do retângulo MANS.
Portanto, MA + NA = 16 m.
Mas, os lados maiores dos retângulos são iguais, logo MA = NB. Assim, podemos substituir MA por NB 
na equação anterior para obter NB + NA = 16 m. Concluímos, então, que o lado do terreno mede 
NB + NA = 16 m. Como o terreno tem forma de quadrado, a área do terreno é (16 m)2 = 256 m2.
D16
158 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
2) (OBMEP) Aureliano escreve uma lista contendo cinco números, sendo o primeiro deles o 6 e o 
último deles o 8. O produto dos três primeiros números é 648, o produto dos três últimos centrais 
é 432, e o produto dos três últimos é 288. Qual é a lista de Aureliano?
D21
Vamos chamar de a, b e c o segundo, terceiro e quarto números da lista, respectivamente. Como 
o primeiro número da listaé o 6 e o último é o 8, a lista pode ser representada como: 
6, a, b, c ,8.
Como o produto dos três primeiros termos é igual a 648, o produto dos três números do meio é 
igual a 432 e o produto dos três últimos números é igual a 288, temos que:
6 ? a ? b = 688 (1); a ? b ? c = 432 (2) e b ? c ? 8 = 288 (3)
Dividindo ambos os lados da primeira equação por 6, obtemos a ? b = 108.
Substituindo na (2), temos: c = 4 e, depois, substituindo na (3), temos que b = 9.
Voltando na (1), encontramos a = 12. Logo, a lista procurada é 6, 12, 9, 4 ,8.
3) (OBMEP) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mos-
tram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma 
viagem feita por João. Quantos litros de gasolina ele gastou nessa viagem?
partida
vazio •
1/4 3/4
1/2
cheio
chegada
vazio •
1/4 3/4
1/2
cheio
As figuras mostram que o tanque continha 3
4
 da sua capacidade na partida e 1
4
 na chegada. Logo, 
foram gastos 3
4
 – 1
4
 = 1
2
. João gastou meio tanque de gasolina na viagem. Como o tanque tinha 
capacidade para 50 ,, então, a metade de 50 , é 25 ,.
D20/D21
159GUIA DO tUtOr
4) (OBMEP) Daniela quer cercar o terreno representado pela figura. Nesta figura, dois lados con-
secutivos são sempre perpendiculares e as medidas de alguns lados estão indicadas em metros. 
Quantos metros de cerca Daniela terá que comprar?
tt
t
t
tt
t
t
60 m
40 m
60 m
80 m
A
F
H
E
G
DC
B
Precisamos calcular o perímetro do polígono, que é a soma de todos os lados. Primeiro, vamos 
identificar os vértices com A, B, C, D, E e F; prolongando o lado AB, obtemos o ponto G e prolon-
gando o lado CB, obtemos o ponto H. Como dois lados consecutivos são perpendiculares, então 
BG = CD e BH = AF, e deste modo:
AB = FE – CD = 80 – 60 = 20
CB = DE – AF = 60 – 40 = 20.
Assim, o perímetro é AB + BC + CD + DE + EF + FA, que é igual a 20 + 20 + 60 + 60 + 80 + 
+ 40 = 280 m.
5) (OBMEP) Marina, ao comprar uma blusa de R$ 17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota 
de R$ 10,00 e outra de R$ 50,00. O vendedor, distraído, deu o troco como se Marina lhe tivesse 
dado duas notas de R$ 10,00. Qual foi o prejuízo de Marina?
D21
Marina, ao dar 60 reais para pagar 17 reais, deveria receber 60 – 17 = 43 reais de troco. Como ela 
recebeu somente 20 – 17 = 3 reais, então o prejuízo dela foi de 43 – 3 = 40 reais.
D15
160 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Como esta Oficina tem o propósito de revisitar os temas trabalhados nas oficinas de 1 a 10, bus-
camos selecionar vários problemas, de forma a fornecer uma coletânea que possibilite mobilizar os 
saberes abordados. Para tal, recorremos ao banco de questões da Olimpíada Brasileira de Matemá-
tica das Escolas Públicas, com problemas interessantes e desafiadores para os alunos.
A proposta nesta Oficina é trabalhar esses problemas que têm, em comum, o potencial de despertar 
o prazer de raciocinar.
Procure discutir o enunciado dos problemas com os alunos, deixando-os pensar sobre cada um 
deles, mas elabore perguntas que possam ajudá-los a descobrir uma estratégia pertinente para o 
problema em tela.
Em virtude do perfil e da maturidade matemática de seus alunos, você deve selecionar quais dos 
17 problemas apresentados estariam mais adequados ao seu grupo.
Obviamente, não é necessário trabalhar todos os problemas com os alunos. Julgamos que trabalhar 
cerca de doze deles seria adequado. Percebendo a possibilidade de trabalhar mais do que doze, vá 
em frente.
2. Problemas
D21
1. Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem 
algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, 
qual é ela?
8 6 4
– 1 3 5
7 2 9
REVISITAÇÃO10
161GUIA DO tUtOr
2. Um litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Maria percorre 25 km com 3 litros de álcool. 
Quantos reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer 600 km?
D21
1 , = R$ 0,75
3 , 25 km
x 600 km
x = 72 ,
72 ? 0,75 = 54
Maria gastará R$ 54,00.
3. Ester vai a uma papelaria comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria, todos os cadernos 
custam R$ 6,00. Se ela comprar três cadernos, sobram R$ 4,00. Se, em vez disso, seu irmão lhe 
emprestar R$ 4,00 adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas, todas iguais.
D21
a) Quanto custa cada caneta?
 3 ? 6 = 18
 18 + 4 = 22
 22 + 4 = 26
 26 – 12 = 14 ÷ 7 = 2
 Cada caneta custa R$ 2,00.
b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas poderá comprar?
 22 – 12 = 10
 10 ÷ 2 = 5
 Poderá comprar 5 canetas.
162 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. A figura a seguir representa um gramado retangular em que foram marcados sete quadrados 
numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², quanto mede a área total do 
gramado?
D16
2
3
4
6 7
51
área (2) = 1 m2
área (3) = 1 m2
área (4) = 1 m2
área (5) = 1 m2
área (6) = 4 m2
área (7) = 4 m2
área (1) = 25 m2
área sem número: 8 m2
área total: 45 m2
5. (OBMEP) Na cidade de Trocalândia, 20% dos gatos pensam que são cachorros e 25% dos cachorros 
pensam que são gatos. Certo dia, um psicólogo veterinário resolve testar todos os gatos e cachorros de 
Trocalândia, verificando que 30% do total pensava ser gato. Qual proporção dos testados era de cães?
D26
Sejam C e G, respectivamente, o número de cães e gatos de Trocalândia. O número de gatos que 
pensam que são gatos é 80G
100
.
O número de cachorros que pensam que são gatos é 25C
100
.
Logo, o número total de animais que pensam que são gatos é 80G + 25C
100
 
Conforme diz o psicólogo veterinário, 80G + 25C
100
 = 30
100
 (G +C)
80G + 25C = 30G + 30C
80G – 30G = 30C – 25C
10G = C
Portanto, a proporção de cães é C
C + G
 = 10G
10G + G
 = 10
11
.
163GUIA DO tUtOr
6. (Enem) A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um 
grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe 
proporcionalidade entre:
D27
• resistência (R) e comprimento ( , ), dada a mesma secção transversal (A); 
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento ( , ) e 
• comprimento ( , ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na 
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes:
resistência RA
fio condutor
�
resistência RA
fios de mesmo material
�
resistência 2RA
resistência RA
fios de mesmo material
�
�
2A 2A
2�
resistência R
resistência Rresistência 
A
fios de mesmo material
�
2
2�
R
Fonte: Disponível em: <http://www.efeitojoule.com>. Acesso em: abr. 2010. (Adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento ( , ), 
resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento ( , ) e área da secção transversal 
( A ) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
Na 1a figura dada (A), dobrando o comprimento, a resistência também dobra, portanto, é possível 
observar que a resistência (R) e o comprimento ( , ) são grandezas diretamente proporcionais. Na 
2a figura, dado o mesmo comprimento, dobrando a área, é observado que a resistência se reduz à 
metade. Portanto, resistência e área são grandezas inversamente proporcionais. Na 3a figura dada, 
a mesma resistência (R), dobrando o comprimento ( , ), é observado que a área da secção transver-
sal (A) também dobra, logo o comprimento e a área são grandezas diretamente proporcionais. 
Então, 1a figura direta; 2a figura inversa; 3a figura direta.
FO
RM
A
TO
164 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
7. Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco em um recipiente. O refresco é 
composto de 20%de suco de laranja e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem 
do volume final representa o suco de laranja?
D26
Separando a mistura:
Total: 4 ,
água: 3 , → 3
4
 = 0,75 = 75%
Suco: 1 litro → 1
4
 = 0,25 = 25%
80% de água → 0,8 ? 0,25 = 0,2 = 20%
20% de polpa → 0,2 ? 0,25 = 0,05 = 5%
A polpa do suco corresponde a 5% da mistura.
8. Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e 
Marcos. João obteve 2
7
 dos votos e Rosa, 2
5
 dos votos. Quem ganhou a eleição?
D23
João: 2
7
 = 10
35
Rosa: 2
5
 = 14
35
 Marcos: 11
35
 
Rosa ganhou a eleição.
9. Correndo a uma velocidade de 10 km/h, João completa um certo percurso em seis minutos. 
Com qual velocidade, em km/h, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos?
D27
D = Ds
Dt
2,77 = Ds
360
D = 997,2 m
D = 997,2
480
D  2 077 m/s
2 077 ? 3,6 = 7,47 km/h
Aproximadamente 7,5 km/h.
165GUIA DO tUtOr
10. Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imedia-
tamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de desidratação 
faz as flores perderem 5
7
 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?
D21
Sem desidratação: 49 ? 1,25 = 61,25 reais.
O peso após a desidratação é 2
7
 ? 49 = 14 kg. 
O preço após a desidratação é 14 ? 3,25 = 45,50.
Portanto, a florista ganha mais no processo sem a desidratação.
11. (OBMEP) Se você acerta 58 das 84 questões de um teste, qual é o seu percentual de acertos?
D26
84 100%
58 x
x  69,04%
12. Em um certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma 
semana, o preço dos ovos caiu 10% e o da maçã subiu 2%. Percentualmente, quanto se gastará a 
mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs?
D26
1 dúzia + 10 maçãs = 2x
0,90x + 1,02x = 1,92x
2x ÷ 1,92x = 104,1666... – 100 = 4,16666
Aproximadamente 4%.
166 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
13. (OBMEP) Laura desenhou cinco círculos, dentro dos quais ela quer colocar números inteiros 
positivos, de tal modo que formem uma igualdade entre uma fração e seu valor inteiro. De quantas 
maneiras pode Laura colocar os números 2, 3, 5, 6 e 11 dentro dos cinco círculos para que a igualdade 
seja verdadeira?
D21
+ +
=
Como a fração é igual a um número inteiro, o seu numerador tem que ser um múltiplo do seu 
numerador. Vamos testar todas as possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do 
problema:
3 + 5 + 6
2
 = 7; 3 + 11 + 6
2
 = 10; 5 + 11 + 6
2
 = 11 → não satisfazem
2 + 5 + 11
3
 = 6 → satisfaz
3 + 6 + 11
5
 = 4 → não satisfaz
2 + 5 + 11
6
 = 3 → satisfaz
Assim, temos duas respostas:
+2 5 11
6
3
+
=
 +2 5 11
3
6
+
=
14. O dobro de um número dividido por 5 tem resto 1. Qual é o resto da divisão desse número 
por 5?
D21
2x 5
1 q
Os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5.
O dobro termina em 1 ou 6, mas o dobro é um número par, logo termina em 6. Assim, o número 
termina em 3 ou 8, portanto dividido por 5 deixa resto 3.
167GUIA DO tUtOr
15. (OBMEP) A figura a seguir representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em 
duas partes por uma cerca representada pelo segmento AC. A parte triangular ABC tem área igual 
a 120 m2.
D16
B
A
20 m
10 m
10 m
E
Ccerca
D
a) Qual é a área do terreno?
b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento AF na figura a seguir, de 
modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância CF?
A C
Fnova cerca
a) 1a solução: A figura abaixo mostra como decompor a região ACDE em um quadrado CDEH e 
um triângulo AHE. Como CD = DE = 10 m e AC = 20 m, segue AH = 10 m. Logo a área do 
triângulo AHE é metade da área de um quadrado de lado 10 m, ou seja, é
AH ? HE
2
 = 10 m ? 10 m
2
 = 50 m2
 Como a área do quadrado CDEH é 10 m ? 10 m = 100 m2, concluímos que a área da região 
ACDE é 100 m2 + 50 m2 = 150 m2.
 Alternativamente, podemos calcular a área de ACDE como a diferença entre as áreas do retân-
gulo ACDG e do triângulo AGE, ou seja, 20 m ? 10 m – 10 m ? 10 m
2
 = 150 m2.
B
A
H
G 10 m
10 m
E
C
D
168 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
 2a solução: Podemos calcular a área do trapézio retângulo ACDE, em metros quadrados, pela 
fórmula usual:
(AC + DE) ? CD
2
 = (20 + 10) ? 10
2
 = 150.
 A área total do terreno é então área (ACDE) + área (ABC) = 150 m2 + 120 m2 = 270 m2
b) 1a solução:
B
A
E
C
F
D
 Como o terreno tem 270 m2, ao dividi-lo em duas partes iguais cada uma das partes terá área de
270 m2
2
 = 135 m2
 Desse modo, devemos ter
 135 m2 = área (ABCF) = área (ABC) + área (ACF) = 120 m2 + área (ACF)
 e vemos que a área (ACF) = 15 m2. Por outro lado, a área do triângulo ACF é
(AC ? CF)
2
 = 20 m ? CF
2
 = 10 m ? CF.
 Portanto, 10 m ? CF = 15 m2 e logo CF = 1,5 m.
 2a solução: Como o terreno tem 270 m2, ao dividi-lo nas partes da mesma área ABCF e AFDE, 
cada parte terá área de 135 m2. Notamos que ABCF é um trapézio de bases AB e CF e de altura 
AC = 20; logo
 135 m2 = área (ABCF ) = (12 m + CF ) ? 20 m
2
 = 120 m2 + 10 m ? CF
 e segue que CF = 1,5 m.
169GUIA DO tUtOr
16. Na reta dada, estão representados os seis números a, b, m, n, p e q, além dos números 0, 1
2
, 
1 e 2.
D19
m
0 1
2
1 2
n p a b q
Dentre os seis números a, b, m, n, p e q, indique quais deles melhor representam os números 
a + b, a – b e a ? b.
a + b  1,48 (q)
a – b  0,66 – 0,82 = –0,16 (m)
a ? b = 0,66 ? 0,82 = 0,5412 (a)
17. Cortamos o canto de um cubo oco, conforme mostra a figura a seguir. Apresente uma plani-
ficação do cubo cortado.
D2
Há várias possibilidades: 
170 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
REFERÊNCIAS BIBLIOGRáFICAS
 DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: ática, 2005. 
v. I a IV.
 DINIZ, Maria Ignez de S. V.; SMOLE, kátia Cristina S. O conceito de ângulo e o ensino de 
Geometria. 4. ed. São Paulo: CAEM-IME/USP, 2002.
 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 5. ed. São 
Paulo: Atual, 2005. v. I a IV. 
 IMENES, Luiz Márcio; LELIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 2001. v. I a IV. 
 ______. Matemática. São Paulo: Moderna, 2009.
 LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1996 (Coleção 
Professor de Matemática, v. 1). 
 ______. Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006 (Coleção Profes-
sor de Matemática). 
 ______. Temas e problemas. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2003 (Coleção Professor de Mate-
mática).
 OCHI, Fusako H. et al. O uso de quadriculados no ensino de Geometria. 3. ed. São Paulo: 
CAEM-IME/USP, 1997.
 REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria Lúcia B. Geometria Euclidiana Plana e construções 
geométricas. Campinas: Editora da UNICAMP, 2000.
171GUIA DO tUtOr
E-REFERÊNCIAS
 CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL DO PROFESSOR. Secretaria de Educação de Minas Gerais. 
Home page. Disponível em: <http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/crv.htm>. Acesso em: 
3 fev. 2016.
 ENSINO FUNDAMENTAL I. Dominó humano. Disponível em: <http://ensfundamental1.word 
press.com/407-2/415-2/>. Acesso em: 3 fev. 2016.
 MOTOkAME, Luciane Vieira de Paula. Jogo Fatorando. Disponível em: <http://www.sbmac. 
org.br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/359.pdf>. Acesso em: 30 mar. 2016.
 OBSERVATóRIO NACIONAL. Usando números muito pequenos e números muito grandes. 
Disponível em: <http://www.on.br/ead_2013/site/conteudo/cap2-numeros/numeros.html>. 
Acesso em: 3 fev. 2016. 
 PORTAL SÃO FRANCISCO. História da Matemática. Disponível em: <http://www.portal 
saofrancisco.com.br/alfa/historia-da-matematica/historia-da-matematica.php>. Acesso 
em: 3 fev. 2016.
 Só MATEMáTICA. Home page. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/index2.php>. 
Acesso em: 3 fev. 2016. 
172 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
MATRIZ DE REFERÊNCIA
MATRIZ DE REFERÊNCIA – ENTRE JOVENS
MATEMÁTICA – 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL – TEMAS E SEUS DESCRITORESI – ESPAÇO E FORMA
D1 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas.
D2
Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais relacionando-as 
com as suas planificações.
D3 Reconhecer polígonos e não polígonos em figuras planas e sólidos geométricos.
D4 Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando e calculando ângulos retos e não retos.
D5 Identificar propriedade de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.
D6 Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.
D7
Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou 
redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.
D8
Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, números de 
diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).
D9
Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.
D10 Resolver problemas utilizando as propriedades e os casos de semelhança de triângulos.
D11 Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.
D12 Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
D13 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
D14 Resolver problemas envolvendo área, perímetro, ângulo interno, ângulo central e propriedades do círculo.
II – GRANDEZAS E MEDIDAS
D15 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D16 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
D17 Resolver problema envolvendo noções de volume.
D18 Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
173GUIA DO tUtOr
MATRIZ DE REFERÊNCIA – ENTRE JOVENS
MATEMÁTICA – 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL – TEMAS E SEUS DESCRITORES
III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES
D19 Identificar a localização de números inteiros, racionais e reais na reta numérica.
D20
Efetuar cálculos com números inteiros e racionais, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação, porcentagem).
D21
Resolver problema com números naturais,inteiros, racionais e reais envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, porcentagem).
D22 Reconhecer as diferentes representações de um número racional e seus diferentes significados.
D23 Identificar frações equivalentes.
D24
Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração 
decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.
D25 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
D26 Resolver problema que envolva porcentagem.
D27 Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
D28 Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
D29 Resolver problemas que envolvam equação do 1o grau.
D30
Associar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequência de números ou figuras 
(padrões).
D31 Identificar uma inequação do 1o grau que expressa um problema.
D32 Identificar um sistema de equação do 1o grau que expressa um problema.
D33 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equação do 1o grau.
D34 Resolver problemas e efetuar cálculos envolvendo mmc e mdc.
D35 Utilizar conhecimento de notação científica para resolução de problemas.
D36
Representar uma expressão algébrica usando a linguagem corrente e a linguagem algébrica para expressar a 
linguagem corrente.
D37 Relacionar áreas e perímetro de uma figura plana a uma expressão algébrica.
D38 Realizar operações e problemas com monômios e polinômios.
D39 Resolver problemas que envolvam equação do 2o grau.
D40 Resolver equações de 1o e 2o graus.
IV - TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
D41 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
D42 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
* Foi usada a Matriz de Referência do SAEB para Matemática – 9o ano do Ensino Fundamental.
174 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
175GUIA DO tUtOr
Anexos 
176 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
177GUIA DO tUtOr
Figura 1
Anexos – oFICInA 1
178 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
179GUIA DO tUtOr
Figura 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 2
5 5 5 5 5
13 11 11 7 7
29 29 19 19 17
47 37 23
180 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
181GUIA DO tUtOr
Figura 3
1650
2142
3990
4620
6105
125
154
220
312
380
36
40
60
72
98
414
423
665
725
957
182 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
183GUIA DO tUtOr
Figura 4
184 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
185GUIA DO tUtOr
1
2
3
4
0,5
0,75
Anexos – oFICInA 2
186 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
187GUIA DO tUtOr
5
8
1
3
0,625
0,333...
5
3
1
6
1,666...
0,1666...
188 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
189GUIA DO tUtOr
1
5
1
4
0,2
0,25
7
10
3
5
0,7
0,6
190 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
191GUIA DO tUtOr
Anexos – oFICInA 3
Eu tenho 9,
Quem tem 0100?
Eu tenho 11,
Quem tem 32?
Eu tenho 12,
Quem tem 121?
192 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
193GUIA DO tUtOr
Eu tenho 0,
Quem tem 3�2?
Eu tenho 4,
Quem tem 27?
Eu tenho 
Quem tem 8 � 2?
9
1
3
,
194 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
195GUIA DO tUtOr
Eu tenho 3,
Quem tem (�3)4?
Eu tenho �8,
Quem tem 16 � 4?
Eu tenho 81,
Quem tem (�2)3?
196 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
197GUIA DO tUtOr
Eu tenho 6,
Quem tem ?
Eu tenho 2,
Quem tem 81 � 16?
 12
 3
Eu tenho 5,
Quem tem (32)
4
?
198 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
199GUIA DO tUtOr
Eu tenho 38,
Quem tem 52 � 53?
Eu tenho 55,
107
103
Eu tenho 104,
Quem tem 2
Quem tem ?
?
200 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
201GUIA DO tUtOr
Eu tenho 2 ,
Quem tem 5?
Eu tenho 5 ,
1
2
1
3
3
Eu tenho �16,
Quem tem 1�80?
Quem tem �42?
202 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
203GUIA DO tUtOr
Eu tenho 1,
Quem tem 3 � 102?
Eu tenho 300,
Eu tenho 0,009,
Quem tem 52 � 53?
Quem tem 9 � 10�3?
204 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
205GUIA DO tUtOr
Eu tenho 150,
Quem tem 33 � 31?
Eu tenho 24,
25
1Eu tenho ,
Quem tem (�4)�3?
Quem tem 5�2?
206 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
207GUIA DO tUtOr
64
1
Eu tenho � ,
Quem tem 144?
208 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
209GUIA DO tUtOr
Anexos – oFICInA 9
Anexo I
a
h
Anexo II
h
a
210 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
211GUIA DO tUtOr
Anexo III
h
a
Anexo IV
212 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
213GUIA DO tUtOr
Anexo V
214 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
215GUIA DO tUtOr
Anexos – oFICInA 10
a a
a
216 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
217GUIA DO tUtOr
a b
c
218 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
219GUIA DO tUtOr
220 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
221GUIA DO tUtOr
222 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
223GUIA DO tUtOr
224 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
225GUIA DO tUtOr
226 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
227GUIA DO tUtOr
228 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
229GUIA DO tUtOr
230 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
231GUIA DO tUtOr