Meyer, Paul L - Probabilidade, Aplicacoes à Estatistica CAP 1-5

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PROBABILIDADE
Aplicações à Estatística
PROBABILIDADE
Aplicaçõe~ à Estatística
PAUL L. MEYER
1519.<1
MG13P~Tradução fiCRuy de C. B. Lourenço Filho \
Professor da Universidade Federal do Rio de Janeiro e da Escola Nacional
de Ciências Estatísticas (ENCE/1BGE)
2~ EDIÇÃO
1i~I"rnflíllg"lf
0.528.348-4
iJC
EDITORA
~ ~
L" edição: 1969 - Reimpressões: 1970,1972, 1974, 1975, 1976 (duas), 1977,
1978 (duas), 1980, 1981 e 1982
2: edição: 1983 - Reimpressões: 1991,1994 (duas), 1995, 1997, 1999 e 2000
Copyright@ 1969 por Ao Livro Técnico
Título do original em inglês: Introductory Probability and Statistical Applications
Copyright@ 1965 e 1969 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
AlI rights reserved. Authorized trans1ation from english 1anguage edition pub1ished by
Addison-Wes1ey Publishing Company, Inc.
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright @ 1983 by
L TC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
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Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou
reprodução deste volume, no todo ou em parte,
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios
(eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia ou outros),
sem permissão expressa da Editora.
Para A lan e David
NOTADA EDITORA
Temos por norma, nas traduções que editamos, converter as unida-
des para o sistema legalno Brasil.
No presente caso, abrimos uma exceção. O livro possui problemas
nos sistemas inglês, CGS e MKS, que foram mantidos, a conselho de
especialistasno assunto, visando a dar ao estudante maior flexibilidade,
pela oportunidade de praticar nos diferentes sistemas.
A EDITORA
PREFÁCIO DA SEGUNDAEDIÇÃO
Devido ao considerávelnúmero de observaçõesfavoráveisque recebi
durante os anos passados, tanto de alunos como de professores que
empregaram a primeira edição deste livro, relativamente poucas altera-
ções foram feitas. Durante a minha própria utilização repetida do livro,
verifiquei que a organização básica do conteúdo e o nível geral de
apresentação (por exemplo, a mistura de demonstrações matemáticas
rigorosas com explanações mais informais e exemplos) estão bastante
adequados ao tipo de estudante que se inscreveno curso.
No entanto, diversasmodificaçõese acréscimosforam feitos. Antes
de mais nada, foi realizado um esforço para eliminar os diversosenganos
e erros de impressão que existiam na primeira edição. O autor é extre-
mamente grato aos muitos leitores que não somente descobriram
algunsdeles, como foram bastante interessados em me apontá-Ios.
Em segundo lugar, foi feito um esforço para lançar maior esclareci-
mento na relação entre várias distribuições de probabilidade, de modo
que o estudante pudesse alcançar maior compreensão de como diversos
modelos probabilísticos podem ser empregados para com uni obter
aproximação de outro.
Finalmente, alguns problemas novos foram acrescentados à já
extensa lista incluída na primeira edição.
O autor deseja agradecer, mais uma vez, à Addison-WesleyPu-
blishing Company, pela sua cooperação em tudo quanto contribuiu
para esta nova edição.
P.L.M.
Pullman, Washington
PREFÂCIODA PRIMEIRA EDIÇÃO
Se temer que suspeitem ser sua na"ativa
inverídica,lembre-sedaprobabilidade.
JOHN GAY
Este livro é destinado a cursos de um semestre ou dois quadri-
mestres, de Introdução à Teoria da Probabilidade e algumas de suas
aplicações. O pré-requisito é um ano de Cálculo Diferencial e Integral.
Não se supõe qualquer conhecimento prévio de Probabilidade ou de
Estatística. Na Washington State University, o curso, para o qual este
livro foi preparado, vem sendo lecionado há algunsanos, principalmente
a alunos orientados para a Engenharia ou às Ciências Naturais. A
maioria desses alunos pode dedicar somente um semestre ao estudo
desta matéria, porém, já que esses alunos estão familiarizados com o
Cálculo, estão em condições de começar o estudo desta matéria por um
nível além daquele estritamente elementar.
Muitos tópicos da Matemática podem ser apresentados em di-
ferentes estágios de dificuldade, e isto é certamente verdade para
a Probabilidade. Neste livro, faz-se um esforço para tirar' proveito
da base matemática do leitor, semultrapassá-Ia.Linguagemmatemática
rigorosa é empregada, mas toma-se o cuidado de não se ficar excessi-
vamente mergulhado em minúcias matemáticas desnecessárias. Este
não é, seguramente, um "livro de receitas". Muito embora alguns
conceitos sejam introduzidos e explicados de maneira não formal,
as defmições e os teoremas são enunciados cuidadosamente. Quando
uma demonstração pormenorizada de um teorema não é factível ou
desejável, ao menos um esboço das idéias importantes é oferecido.
Um traço peculiar deste livro são os "Comentários", que se seguem
à maioria dos teoremas e definições. Nesses Comentários, o particular
conceito ou resultado que esteja sendo apresentado é explicado de
maneira intuitiva.
Em virtude da restrição que nos impusemos, de escrever um livro
relativamente conciso sobre um domínio muito extenso, algumas
escolhas tiveram de ser feitas, quanto à inclusão ou exclusão de deter-
minados tópicos. Não parece existir maneira óbvia de resolver esta
XII I PREFAcIO DA PRIMEIRA EDiÇÃO PREFAcIO DA PRIMEIRA EDiÇÃO I XIII
questão. Certamente, n[o sustento que para alguns dos tópicos exclui-
dos, não se pudesse encontrar um lugar; nem pretendo que alguma
parte da matéria n[o se pudesse omitir. Não obstante, para a maior
parte dela, deu-se destaque às noções fundamentais, apresentadas
bastante pormenorizadamente. Somente o Capo 11, sobre confiabili-
dade, poderia ser considerado "artigo supérfluo", mas ainda aqui, sinto
que as noções associadas às questões de confiabilidade são de interesse
fundamental para muitas pessoas. Além disso, conceitos de confiabili-
dade constituem veículo excelente para se ilustrarem muitas das idéias
anteriormente introduzidas ao livro.
Muito embora a cobertura seja limitada pelo tempo disponível,
uma seleção razoavelmente ampla dos assuntos foi conseguida. De um
exame rápido do Sumário, fica evidenciado que cerca de três quartos
do livro 8[0 dedicados a assuntos probabilísticos, enquanto o último
quarto é dedicado a uma explanação da Inferência Estatística. Apesar
de nada haver de extraordinário nesta particular divisão de importância
entre Probabilidade e Estatística, creio que um sólido conhecimento
dos fundamentos da Probabilidade é obrigatório para uma compreensão
adequada dos métodos estatísticos. Idealmente, um curso de Probabi-
lidade deveria ser seguido de outro, de Teoria e Metodologia Estatísti-
cas. No entanto, como já mencionei anteriormente, a maioria dos
alunos que toma este curso não tem tempo para uma exposição de
dois semestres nesse domínio e, por isso, senti-me compelido a explanar
ao menos alguns dos mais importantes aspectos do tema geral da
Inferência Estatística.
a sucesso potencial de determinada apresentação de um assunto
não deve ser avaliado apenas em termos das idéias específicas aprendi-
das e das técnicas específicas adquiridas. A apreciação fmal deve tam-
bém levar em conta quão bem o estudante ficará preparado para con-
tinuar seu estudo do assunto, sejapor si mesmo, seja através do trabalho
em um curso complementar. Se este critério for considerado impor-
tante, então se tomará evidente que os conceitos básicos e as técnicas
fundamentais devam ser salientados, enquanto métodos e tópicos
altamente especializados devam ser relegados a um papel secundário.
Isto se toma também um importante fator na seleção de quais tópicos
incluir.
A importância da teoria da Probabilidade é difícil de se exagerar.
a modelo matemático apropriado para o estudo de um grande número
de fenômenos observáveisé mais um modelo probabilístico do que um
determinístico. Além disso, todo o assunto da Inferência Estatística é
baseado em considerações probabilísticas. Técnicas estatísticas estão
entre as mais importantes ferramentas dos cientistas e engenheiros. A
fim de empregar inteligentemente essas técnicas, um profundoconhe-
cimento dos conceitos probabilísticos é exigido.
Espera-se que, além dos vários métodos e conceitos específicos
com os quais o leitor venha a se familiarizar, ele também desenvolva
uma certa atitude: a de pensar probabilisticamente, substituindo ques-
tões como "Quanto tempo este componente funcionará?" por "Quão
provável é que este componente funcione mais do que 100 horas?"
Em muitas situações, a segunda questão poderá ser não somente a mais
apropriada, mas de fato a única que tenha sentido fazer-se.
Tradicionalmente, muitos dos importantes conceitos de probabi-
lidade são ilustrados com o auxílio de diferentes "jogos de azar";joga-
das de moedas ou dados, extração de cartas de um baralho, giração de
uma roleta etc. Muito embora eu n[o tenha evitado inteiramente a
referência a tais jogos, já que eles servem para ilustrar as noções funda-
mentais, um esforço foi feito para colocar o estudante em contato com
ilustrações mais adequadas das aplicações da probabilidade: a emissão
de partículas IXpor uma fonte radioativa, amostragem de lotes, duração
da vida de dispositivos eletrônicos, e os problemas relacionados de
confiabilidade de componentes e de sistemasetc.
Estou relutante em mencionar o mais óbvio traço de qualquer livro
de Matemática: os problemas. E, no entanto, parece-me proveitoso
salientar que a resolução de problemas deve ser considerada parte inte-
grante do curso. Somente ao se tomar pessoalmente interessado em
propor e resolver os exercícios, poderá realmente o estudante desen-
volv~r uma compreensão e apreciação das idéias e uma familiaridade
com as técnicas adequadas. Por isso, mais de 330 problemas foram
incluídos no livro e, para mais de metade deles, respostas são dadas ao
fim do livro. Além dos problemas propostos ao leitor, há numerosos
exemplos resolvidos, espalhadosatravés do livro.
Este livro foi escrito de maneira bem encadeada: o entendimento
da maioria dos capítulos exige conhecimento profundo dos capítulos
anteriores. Contudo, é possível examinar os Caps. 10 e 11 um tanto
despreocupadamente, particularmente se alguém estiver interessado em
dedicar mais tempo às aplicações estatísticas que são explanadas nos
Caps. 13 a 15.
Tal como deve ser certo para qualquer um que escrevaum livro,
os débitos que tenho são muito numerosos: para com meus colegas,por
muitas conversas estimulantes e úteis; para com meus próprios profes-
sores, pelo conhecimento e interesse neste assunto; para com os críti-
cos das versões anteriores do manuscrito, por muitas sugestõese críticas
úteis; para com a Addison-WesleyPublishing Company, por sua grande
ajuda e cooperação desdê as fases iniciais até o fuo mesmo deste pro-
XIV I PREFAcIO DA PRIMEIRA EDIÇAO
jeto; para Com a Br!l Carol Sloan, por ser uma datilógrafa eficiente e
atenta; paIa com D. Van Nostrand, Inc., The Free Press, Inc. e Mac-
millan Publishing Company, por sua permissão para reproduzir as
Tábuas 3, 6 e 1, respectivamente; para com McGraw-HillBook Co.,
Inc., Oxford University Press Inc., Pergamon Press, Ltda. e Prentice-
Hall, Inc., por suas permissões para citar determinados exemplos no
texto, e, fmalmente para com minha esposa, não somente por me am-
parar no esforço, como também por "deixar-me" e levar nossos dois
filhos com ela a visitarem os avós, por dois cruciais meses de verão, du-
rante os quais fui capaz de transformar nossa casa em uma desordenada,
porém tranqüila oficina, da qual surgiu, miraculosamente, a última
versão final deste livro.
SUMÁRIO
P.L.M.
Pullman, Washington
Abril, 1965
Caprtulo 1. Introdução à Probabilidade
1.1 Modelos Matemáticos 1
1.2 Introdução aos Conjuntos 4
1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos 8
1.4 O Espaço Amostral 11
1.5 Eventos 13
1.6 Freqüência Relativa 15
1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade 17
1.8 Duas Observações 21
Caprtulo 2. Espaços Amostrais Finitos
2.1 Espaço Amostral Finito 26
2.2 Resultados Igualmente Verossímeis 27
2.3 Métodos de Enumeração 29
Caprtulo 3. Probabilidade Condicionada e Independência
3.1 Probabilidade Condicionada 42
3.2 Teorema de Bayes 49
3.3 Eventos Independentes 52
Caprtulo 4. Variáveis Aleat6rias Unidimensionais
4.1 Noção Geral de Variável Aleatória 66
4.2 Variáveis Aleatórias Discretas 72
4.3 A Distribuição Binomial 75
4.4 Variáveis Aleatórias Contínuas 80
4.5 Função de Distribuição Acumulada 85
4.6 Distribuições Mistas 89
4.7 Variáveis Aleatórias Uniformemente Distribuídas 89
4.8 Uma Observação 91
Caprtulo 5. Funções de Variáveis Aleat6rias
5.1 Um Exemplo 97
5.2 Eventos Equivalentes 97
5.3 Variáveis Aleatórias Discretas 100
5.4 Variáveis Aleatórias Contínuas 101
XVI I SUMARIO
Caprtulo 6.
Caprtulo 7.
Caprtulo 8.
Caprtulo 9.
Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais
Dimensões
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Distribuições de Probabilidade Marginal e Condicionada
Variáveis Aleatórias Independentes
Funções de Variável Aleatória
Distribuição do Produto e do Quociente de Variáveis
Aleatórias Independentes
Variáveis Aleatórias n-Dimensionais6.6
Caracterização Adicional das
Variáveis Aleatórias
7.1 O Valor Esperado de Uma Variável Aleatória
7.2 Expectância de uma Função de uma Variável Aleatória
7.3 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
7.4 Prupriedades do Valor Esperado
7.5 A Variância de uma Variável Aleatória
7.6 Propriedades da Variância de uma Variável Aleatória
7.7 Expressões Aproximadas da Expectância e da Variância
7.8 A Desigualdade de Tchebycheff
7.9 O Coeficiente de Correlação
7.1 O Valor Esperado Condicionado
7.11 Regressão da Média
Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson
e Outras
8.1
8.2
A Distribuição de Poisson
A Distribuição de Poisson como Aproximação da
Distribuição Binomial
O Processo de Poisson
A Distribuição Geométrica
A Distribuição de Pascal
Relação entre as Distribuições Binomial e de Pascal
A Distribuição Hipergeométrica
A Distribuição Multinomial
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
Algumas Variáveis Aleatórias Contínuas
Importantes
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
Introdução
A Distribuição Normal
Propriedades da Distribuição Normal
Tabulação da Distribuição Normal
A Distribuição Exponencial
Propriedades da Distribuição Exponencial
A Distribuição Gama
Propriedades da Distribuição Gama
SUMARIO I XVII
110
116
121
124
9.9 A Distribuição de Qui-quadrado
9.10 Comparações entre Diversas Distribuições
9.11 A Distribuição Normal Bidimensional
9.12 Distribuições Truncadas
Caprtulo 10. A FunçãoGeratrizde Momentos
128
131
10.1 Introdução
10.2 A Função Geratriz de Momentos
10.3 Exemplos de Funções Geratrizes de Momentos
10.4 Propriedades da Função Geratriz de Momentos
10.5 Propriedades Reprodutivas
10.6 Seqüências de Variáveis Aleatórias
10.7 Observação Final
137
144
149
150
156
159
162
165
167
172
175
Capítulo 11. Aplicações à Teoria da Confiabilidade
11.1 Conceitos Fundamentais
11.2 A Lei de Falhas Normal
11.3 A Lei de Falhas Exponencial
11.4 A Lei de Falhas Exponencial e a Distribuição
de Poisson
11.5 A Lei de Falhas de Weibull
11.6 Confiabilidade de Sistemas
Caprtulo 12. Somas de Variáveis Aleatórias
186
12.1 Introdução
12.2 A Lei dos Grandes Números
12.3 Aproximação Normal da Distribuição Binomial
12.4 O Teorema do Limite Central
12.5 Outras Distribuições Aproximadas pela Distribuição
Normal: a de Poisson, a de Pascal e a Gama
12.6 A Distribuição da Soma de um Número
Finito de Variáveis Aleatórias
187
194
200
203
205
206
208
Caprtulo 13. Amostras e Distribuições Amostrais
214
214
215
219
223
223
227
228
13.1 Introdução
13.2 Amostras Aleatórias
13.3 Estatísticas
13.4 Algumas Estatísticas Importantes
13.5 A Transformação Integral
Caprtulo 14. Estimação de Parâmetros
14.1 Introdução
14.2 Critérios para Estimativas
14.3 Alguns Exemplos
14.4 Estimativas de Máxima Verossimilhança
14.5 O Método dos Mínimos Quadrados
230
233
234
236.
245
246
247
250
255
259
260
263
267
268
271
273
274
284
286
288
292
297
299
308
310
312
313
321
329
330
334
339
349
XVIII I SUMARIO
14.6 O Coeficiente de Correlação
14.7 Intervalos de Confiança
14.8 A Distribuição de t deStudent
14.9 Mais Sobre Intervalos de Confiança
Capftulo 15. Testes de Hipóteses
15.1 Introdução
15.2 Formulação Geral: Distribuição Normal com Variância
Conhecida
15.3 Exemplos Adicionais
15.4 Testes de Aderência
APÊNDICE
RESPOSTAS A PROBLEMAS SELECIONADOS
INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS
fNDICE ALFABÉTICO
354
355
357
360
370 Introdução Probabilidade
,
a
376
381
385 Capítulo 1
397
412
420
422
1.1. Modelos Matemáticos
Neste capítulo examinaremos o tipo de fenômeno que estuda-
remos por todo este livro. Além disso, formularemos um modelo
matemático que nos ajudará a investigar, de maneira bastante pre-
cisa, esse fenômeno.
De início, é muito importante distinguir o pr6prio fenômeno
e o modelo matemático para esse fenômeno. Naturalmente, não
exercemos influência sobre aquilo que observamos. No entanto,
ao escolher um modelo, podemos lançar mão de nosso julgamento
critico. Isto foi especi.almente bem expresso pelo Prof. J. Neyman,
que escreveu:*
"Todas as vezes que empregarmos Matemática a fim de estudar alguns
fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por construir
um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenô-
menos. Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos por-
menores devem ser desprezados. O bom resultado do modelo depende de
que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem importância na
elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode
estar correta e, não obstante, estar em grande discotdância com os dados ob-
servados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas não sejam confirma-
das. Geralmente é bastante difícil aíirmar com certeza se um modelo mate-
mático especificado é ou não adequado, antes que alguns dados de observação
sejam obtidos. A fim de verificar a. validade de um modelo, deveremos dedu-
zir um certo número de conseqüências de nosso modelo e, a seguir, comparar
esses resultados previstos com observações."
Deveremos nos lembrar das idéias acima enquanto estivermos
estudando alguns fenômenos de observação e modelos apropriados
.Univer8ity of Califomia Publicatiom in Stalistics, VoI. I, University of
Calüornia. Presa, 1954.
2 I PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 3
par:a sua explicação. Vamos examinar, inicialmente, o que se pode
adequadamente denominar modelo detenninf8tico. Por essa expres-
são pretendemos nos referir a um modelo que estipule que as con-
dições sob as quais um experimento seja executado determinem o
resultado do experimento. Por exemplo, se introduzirmos uma
bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, presumi-
velmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria
I = E/R, isto é, a Lei de Ohm. O modelo prognostica o valor de I
tão logo os valores de E e R sejam fornecidos. Dizendo de outra
maneira, se o experimento mencionado for repetido um certo número
de vezes, toda vez utilizando-se o mesmo circuito (isto é, conservan-
do-se fixados E e R), poderemos presumivelmente esperar observar
o mesmo valor para I. Quaisquer desvios que pudessem ocorrer
seriam tão pequenos que, para a maioria .das finalidades, a descrição
acima (isto é, o modelo) seria suficiente. O importante é que a ba-
teria, fio, e amperômetro particulares utilizados para gerar e obser-
var a corrente elétrica, e a nossa capacidade de empregar o instru-
mento de medição, determinam o resultado em cada repetição. (Exis-
tem determinados fatores que bem poderão ser diferentes de repeti-
ção para repetição, que, no entanto, não influenciarão de modo dig-
no de nota o resultado. Por exemplo, a temperatura e a umidade
no laboratório, ou a estatura da pessoa que lê o. amperômetro, po-
de-se razoavelmente admitir, não terão influência no resultado.)
Na natureza, existem muitos exemplos de "experimentos", para
os quais modelos determiofsticos são apropriados. Por exemplo,
as leis da gravitação explicam bastante precisamente o que ~contece
a um corpo que cai sob determinadas condições. As leis de Kepler
nos dão o comportamento dos planetas. Em cada situação, o. mo-
delo especifica que as condições, sob as quais determinado fenÔmeno
acontece, determinam o valor de aJ.gumas variáveis observáveis:
a grandeza da velocidade, a drea varrida durante determinado pe-
dodo de tempo etc. Esses números aparecem em muitascdas fór;'
mulas com as quais estamos familiarizados. Por exemplo, sa-
bemos que, sob determinadas condições, a distância percorrida
(verticalmente, acima do solo) por um objeto é dada por 8 = -16t2 +
+ vol, onde vo é a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. O
ponto, no qual desejamos fixar nossa atenção, não é a forma parti-
cular da equação acima (que é quadrática), mas antes o fato de que
existe uma relação definida entre t e 8, a qual determina univo-
carnente a quantidade no primeiro membro da equação, se aquelas
no segundo membro forem fornecidas.
- - Para um grande número de situações, o modelo matemático
determinístico apresentado acima é suficiente. Contudo, existem
também muitos fenômenos que requerem um modelo matemático
diferente para sua investigação. São os que denominaremosmodelos
não-detenninf8ticosou probabÜf8ticos. (Outra expressão muito comu-
mente empregada é modelo estocástico.) Mais adiante neste capítulo,
estudaremos muito minuciosamente, como tais modelos probabilisticos
podem ser apresentados. Por ora, examinaremos alguns exemplos.
Suponhamos que se tenha um fragmento de material radioativo
que emita partículas alia. Com o auxílio de um dispositivo de con-
tagem, poderemos registrar o número dessas partfculas emitidas
durante um intervalo de tempo especificado. ~ evidente que não
poderemos antecipar precisamente o número de partículas emitidas,
ainda que se conheçam de modo exato a forma, a dimensão, a compo-
sição química e a massa do objeto em estudo. Por isso, parece não
existir modelo determinfstico razoável que forneça o número de par-
tículas emitidas, por exemplo n, como uma função de várias carac-
terísticas pertinentes ao material fonte. Deveremos considerar, em
seu lugar, um modelo probabilistico.
Como outro exemplo, considere-se a seguinte situação meteo-
rológica. Deseja-se deterniinar qual a precipitação de chuva que
cairá como resultado de uma tempestade particular, que ocorra em
determinada localidade. Dispõe-se de instrumentos para registrar
a precipitação. Observações meteorol6gicas podem nos fornecer
considerável informação relativa à tempestade que se avizinhe: pressão
barométrica em vários pontos, variações de pressão, velocidade do
vento, origem e direção da tormenta, e várias leituras referentes a
altitudes elevadas. Contudo, quão valiosas essas informações possam
ser para o progn6stico da natureza geral da precipitação (digamos,
fraca, média ou forte), simplesmente não tornam possível dizer-se
quanta chuva irá cair. Novamente estaremos nos ocupando de um
.fenÔmeno que não se presta a um tratamento determinístico. Um
modelo probabilistico explica a situação mais rigorosamente.
Em princípio, poderemos ser capazes de dizer quanta chuva
caiu se uma teoria tiver sido desenvolvida (o que não foi). Por isso,
empregaremos um modelo probabilístico. No exemplo que trata de
desintegração radioativa, deveremos empregar um modelo probabi-
listico invariavelmente em prindpio.
Arriscando-nos a adiantarmos demais na apresentação de um
conceito que será definido posteriormente, vamos apenas afirmar
que, em um modelo determinístico, admite-se que o resultado efetivo
4 I PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 5
1.2. Introdução aos Conjuntos
objetos que estejam sendo estudados. Este conjunto é, geralmente
representado pela letra U.
O outro conjunto que deve ser destacado pode surgir da seguinte
maneira: Suponha.-se que o conjunto A seja descrito como o con-
junto de todos os números reaiB x, que satisfaçam à equação
Xl + 1 = O. Naturalmente, sabemos que não existem tais números;
isto é, o conjunto A não contém qualquer elemento. Esta situação
ocorre tão freqüentemente que se justifica a introdução deum nome
especial para esse conjunto. Por isso, definiremos o conjunto vazio
ou nulo como o conjunto que não contenha qualquer elemento. Ge-
ralmente se representa esse conjunto por 0.
Pode acontecer que, quando dois conjuntos A e B sejam consi-
derados, ser elemento de A implique ser elemento de B. Nesse caso,
diremos que .,4 é um subconjunto 'de B, e escreveremos A C B. In-
terpretação semelhante será dada para B C A. Diremos que dois
conjuntos constituem o mesmo conjunto, A = B, se, e somente se,
A C B e B C A. Desse modo, dois conjuntos serão iguais se, e so-
mente se, eles contiverem os mesmos elementos.
As duas seguintes propriedades do conjunto vazio e do conjunto
fundamental são imediatas:
(numérico ou de outra espécie) seja detenninado pelas condições
sob as quais o experimento ou o procedimento seja executado. Em
um modelo não-determinístico, no entanto, as condições da experi-
mentação determinam somente o comportamento probabilístico
(mais especificamente, a lei probabilística) do resultado observável.
Em outras palavras, em um modelo determinístico empregamos
"considerações físicas" para prever o resultado, enquanto em um
modelo probabilístico empregamos a mesma espécie de considerações
para especificar uma distribuição de probabilidade.
A fim de expor os conceitos básicos do modelo probabilístico
que desejamos desenvolver, será conveniente conhecer algumas idéias
e conceitos da teoria matemática dos conjuntos. Este é um assunto
dos mais extensos e muito se tem escrito sobre ele. Contudo, neces-
sitaremos apenas de algumas noções fundamentais.
Um conjunto é uma coleção de objetos. Usualmente, conjuntos
são representados por letras maiúsculas A, B etc. Existem três
maneiras de descrever que objetos esttio contidos no conjunto A:
(a) Poderemos fazer uma lista dos elementos de A. Por exem-
plo, A = 11, 2, 3, 4} descreve o conjunto formado pelos inteiros
positivos 1, 2, 3, 4.
(b) Poderemos descrever o conjunto A por meio de palavras.
Por exemplo, poderemos dizer que A é formado de todos os números
reais entre O e 1, inclusive.
(c) Para descrever o conjunto acima poderemos simplesmente
éscrever A = Ix IO ~ x ~ I} i isto é, A é o conjunto de todos os x.
onde x é um número real entre O e 1, inclusive.
(a) Para todo conjunto A, temos que 0 C A.
(b) Desde que se tenha definido o conjunto fundamental, então,
para todo conjunto A, considerado na composição de U, teremos
AC U.
Os objetos que individualmente formam a coleção ou conjunto
A são denominados membros ou elementos de A. Quando "a" for
um elemento de A, escreveremos a E A, e quando "a" não for um
elemento de A, escreveremos a EEA.
Existem dois conjuntos especiais que, freqüenternerite, nos in-
teressarão. Em muitos pronlemas nos dedicaremos a estudar um
conjunto definido de objetos, e não outros. Por exemplo, poderemos
nos interessar por todos os números reais, por todas as peças que
saem de uma linha de produção durante um período de 24 horas etc.
Definiremos o conjunto fundamental como o conjunto de todos os
Exemplo 1.1. Suponha-se que U = todos os números reais,
A = Ix Ix2 + 2x ~ 3 = O}, B = Ix I (x - 2) (x2 + 2x - 3) = O}
e C = Ixlx = -3,1, 2}. Então, A C B e B = C.
A seguir, estudaremos a importante idéia de combinar conjun-
tos dados, a fim de formarmos um novo conjunto. Há duas opera-
ções fundamentais, e essas operações se assemelham, em certos as-
pectos, à.<3operações de adição e multiplicação de números. Sejam
dois conjuntos A e B.
Definiremos C como a união de A e B (algumas vezes denomi-
nada a soma de A e B), da seguinte maneira:
C = Ixlx E A ou x E B (ou ambos)}.
Escreveremos a união de A e B, assim: C = A U B. Desse modo,
, C será formado de todos os elementos que estejam em A, ou em B,
ou em ambos.
6 I PROBABI LI DADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 7
Definiremos D como a inter8eçãode A e B (algumas vezes deno.
minada o prodüto de A e B), da seguinte maneira:
D = {xix E A e x E B}.
Afirmamos que alguns conjuntos são equivalentes, por exemplo,
A () (B () C) e (A () B) () C. Conclui-se que existe ul)l certo
número de tais conjuntos equivalenre8,alguns dos quais estão rela-
cionados abaixo. Se nos lembrarmos de que dois conjuntos são o
mesmo conjunto sempre que eles contenham os mesmos elementos,
será fácil mostrar que as afirmações feitas são verdadeiras. O leitor
poderá se convencer disso, com a ajuda dos Diagramas de Venn.
Escreveremos a interseção de A e B, assim: D = A () B. Portanto,
D será formado de todos os elementos que estão em A e em B.
Finalmente, introduziremos a noção de camplemento'de um con-
junto A, na forma seguinte: O conjunto denotado por A, consti-
tlÚdo por todos os elementos que não estejam em A (mas que e~tejam
no conjunto fundamental U) é denominado complemento de A. Isto
é, A = {xix EEAI.
Um recurso gráfico, conhecido como Diagrama de Venn, poderá
ser vantajosamente empregado quando estivermos combinando con-
juntos, na maneira indicada acima. Em cada diagrama na Fig. 1.1,
a região 8ambreadarenresenta o conjunto sob exame.
(a) A U B = B U A, (b) A () B = B () A, (1.1)
(c) A U (B U C)=(A U B) U C, (d) A () (B () C) = (A () B) () C.
Denominaremos (a) e (b) leis camutativas, e (c) e (d) leis aB8ociativaB.
AuB AnB
Há outras identidade8de conjuntos encerrando união, interseção
e complementação. As mais importantes delas estão enumeradas
a seguir. A validade de cada uma delàS poderá ser verificada com
a ajuda de um Diagrama de Venn.
CD
(e) A U (B () C) = (A U B) () (A U C),
(f) A () (B U C) = (A () B) U (A () C),
(g) A () 0 = 0,
(h) A U 0 = A,
ú) (A n B) = A U R,
(1.2)
(t) (A U B) = 11() R,
(k) A = A.
Flg. 1.1 Observe-se que (g) e (h) mostram que 0 se comporta entre os con-
juntos (relativamente às operações'U e () da maneira que o nú-
mero zero (com relação às operações de adição e multiplicação) o
faz entre os números.
Uma outra maneira de formar conjuntos, quando forem dados dois
(ou mais) conjuntos, será necessáriaa seguir.
Exemplo 1.2. Suponha-se que U = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10I,
A = {I, 2, 3, 4I, B = {3, 4, 5, 6I. Então, encontraremosque
A = {5,6, 7, 8, 9, 10I, A U B = {I, 2, 3, 4, 5, 6 I e A () B = {3,4 I.
Observe-se que, ao descrever um conjunto (tal como A U B), cada
elemento é relacionado apenas uma vez.
As operações de união e interseção, definidas acima para dois
conjuntos, podem ser estendidas, intuitivamente, para qualquer
número finito de conjuntos. Assim, definiremos A U B U C como
A U (B U C) ou (A U B) U C, o que é equivalente, como se poderá
;verificar facilmente. De modo análogo, definiremos A () B n C
como sendo A () (B n C) ou (A n B) n C, o que também se pode
verificar serem equivalentes. ~ evidente que poderemos continuar
essas composiçõesde conjuntos para qualquer número Jinito de con-
juntos dados. .
Definição. Sejam dois conjuntos A e B. Denominaremos produto
cartesiano de A e D, denotando-o por A XD, o conjunto {(a, b), a EA,
b E DI, isto é, o conjunto de todos os pares ordenados nos quais o pri-
meiro elemento é tirado deA e o segundo,de D.
Exemplo 1.3. Suponha-se que A = {l, 2, 31;B = {I, 2,3,41.
Então, A XD = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 4), (2,1)... , (2, 4), (3,1), ... ,
(3,4)}.
Observação. Em geral,A X B "* B XA.
8 / PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE / 9
A noção acima pode ser estendida da seguinte maneira: Se A 1, . . . ,
An forem conjuntos, então,A1 XA2 X ...XAn ={(al,a2,...an),
ai EAi I, ou seja, o conjunto de todas as ênuplas ordenadas.
E1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de
cima.
Um caso especialimportante surge quando consideramoso produto
cartesiano de um conjunto por ele próprio, isto é,A XA ouA XA XA.
Exemplos disso surgem quando tratamos do plano euclideano, R X R,
onde R é o conjunto de todos os números reais, e do espaço euclideano
tridimensional, representado por R X R XR.
O número de elementosde um conjunto terá grande importância
para nós. Se existir um número finito de elementos no conjunto A,
digamos aloa2, . . ., an,diremosque A é finito. Se existirum número
infinito de elementosem A, os quais possam ser postos em correspon-
dência biunívocacom os inteiros positivos, diremos que A é numerdvel
ou infinito numerável. (Pode-se mostrar, por exemplo, que o con-
junto de todos os números racionais é numerável.) :.Finalmente,
deveremos considerar o caso de um conjunto infinito não-numerável;
este tipo de conjunto possui um número infinito de elementos que não
podem ser enumerados. Pode-se mostrar, por exemplo, que para
quaisquer dois números reais b > a, o conjunto A = Ix Ia ~ x ~ bI
contém um número não-numerável de elementos. Já que poderemos
associar um ponto da reta dos números reais a cada número real, o
que dissemos acima afirma que qualquer intervalo (não degenerado)
contém mais do que um número contável de pontos.
Os conceitos apresentados acima, muito embora representem
apenas um rápido exame da teoria dos conjuntos, são suficientes
para nossos objetivos: expor, com razoável rigor e precisão, as idéias
fundamentais da teoria da probabilidade.
E2: Jogue uma moeda quatro vezes e observe o número de caras
obtido.
E3: Jogtie uma moeda quatro vezes e observe a seqüência obtida
de caras.e coroas.
E.: Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte
o número de peças defeituosas produzidas em um período
de 24 horas.
E&: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebi-
tes. Conte o número de rebites defeituosos.
1.3. Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos
Ea: Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto
à duração da vida, pela colocação em um soquete e ano-
tação do tempo decorrido (em horas) até queimar.
E7: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são
retiradas uma a uma (sem reposição da peça retirada) até
que a última peça defeituosa seja encontrada. O núme-
ro total de peças retiradas do lote é contado.
E.: Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam pro-
duzidas. O número total de peças fabricadas é contado.
E.: Um míssil é lançado. Em um momento especificado t,
suas três velocidades cOqlponentes,Vz,VIIe v. são observadas.
ElO: Um míssil récem-lançado é observado nos instantes t1,
t2, . . ., tn. Em cada um desses instantes, a altura do míssil
acima do solo é registrada.
Eu: A resistência à tração de uma barra metálica é medida.
Eu: De uma uma, que só contém bolas pretas, tira-se uma bola
e verifica-se sua cor.
Eu: Um termógrafo registra a temperatura continuamente,
num período de 24 horas. Em determinada localidade e em
uma data especificada, esse termógrafo é lido.
Eu: Na situação descrita em Eu, x e y, as temperaturas mínima
e máxima, no período de 24 horas considerado, são regia-
tradas.
O que os experimentos acima têm em comum? Os seguintes tra-
ços são pertinentes à nossa caracterização de um experimemo aleatório:
(a) Cada experimento poderá. ser repetido indefinidamente
sob condições essencialmente inalteradas.
Estamos agora em condições de examinar o que entendemos por
um experimento "aleatório" ou "não-determinístico". (Mais preci-
samente, daremos exemplos de fenômenos, para os quais modelos
não-determinísticos são apropriados. Esta é uma distinção que o
leitor deverá guardar. Portanto, nos referiremos freqüentemente
a experimentos não-determinísticos ou aleatórios, quando de fato
estaremos falando de um modelo não-determinístico para um experi-
mento.) :r\'ãonos esforçaremos em dar uma definição precisa deste
r::onceito. Em vez disso, citaremos um grande número de exemplos
que ilustrarão o que temos em mente.
10 I PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 11
(b) Muito embora não sejamos capazes de afirmar que resul-
tado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto
de todos os possíveis resultados do experimento.
(c) Quando o experimento for executado repetidamente, os
resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma acidental.
Contudo, quando o experimento for repetido um grande número de
vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta
regularidade que toma possível construir um modelo matemático
preciso, com o qual se analisará o experimento. Mais tarde, teremos
muito que dizer sobre a natureza e a importância desta regularidade.
Por ora, o leitor necessita apenas pensar nas repetidas jogadas de
uma moeda equilibrada. Muito embora caras e cor6'as apareçam
sucessivamente, em uma maneira quase arbitrária, é fato empírico
bem conhecido que, depois de um grande número de jogadas, a pro-
porção de caras e a de coroas serão aproximadamente iguais.
Deve-se salientar que todos os experimentos descritos acima
satisfazem a essas características gerais. (Evidentemente, a última
característica mencionada somente pode ser verificada pela experi-
mentação; deixaremos para a intuição do leitor acreditar que se o
experimento fosse repetido um grande número de vezes, a regulari-
dade referida seria evidente. Por exemplo, se um grande número
de lâmpadas, de um mesmo fabricante, fosse ensaiado, presumivel-
mente o número de lâmpadas que se queimaria após 100 horas poderia
ser previsto com precisão considerável.) Note-se que o experimento
E 12 apresenta o traço peculiar de que somente um resultado é possível.
Em geral, tais expel"ÚT'entosnão nos interessarão, porque, realmente,
o fato de não sabermos qual particular resultado virá a ocorrer, quando
um experimento for realizado, é que torna um experimento interessante
para nós.
Comentdrio: Ao descrever os diversos experimentos, nós especificamos não
somente o procedimento que tem que ser realizado, mas também aquilo que
estaremos interessados em observar (veja, por exemplo, a diferença entre E 2 e E 3'
citados anteriormente). Este é um ponto muito importante, ao qual novamente
nos referiremos mais tarde, quando explicarmos variáveis aleatórias. Por ora,
vamos apenas comentar que, em conseqüência de um procedimento experimental
isolado ou a ocorrência de um fenômeno único, muitos valores numéricos diferen-
tes poderiam ser calculados. Por exemplo, se uma pessoa for escolhida de um
grupo grande de pessoas (e a escolha real seria o procedimento experimental
previamente mencionado), poderíamos estar interessados na altura daquela pessoa,
no seu peso, na sua renda anual, no número de filhos dela etc. Naturalmente, na
maioria dos casos, nós saberemos, antes de iniciar nossa experimentação, quais
serão as características numéricas em que iremos estar interessados.
1.4. O Espaço Amostral
Definição. Para cada experimento S do tipo que estamos con-
siderando, definiremos o espaçoamostral como o conjunto de todos os
resultados possiveis de S. Geralmente representaremos esse conjunto
por S. (Neste contexto, 8 representa o conjunto fundamental, expli-
cado anteriormente.)
Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever
um espaço amostral para cada um deles. O espaço amostra! 8i s&
referirá ao experimento Ei.
SI: 11,2,3,4,5, 6}.
82: 10, 1, 2, 3, 4}.
S3: Itodas as seqüências possiveis da forma aI>a2, aa, a.}, onde
cada a; = H ou T, conforme apareça cara ou coroa na
i-ésima jogada.
S.: 10,1,2'00" Nj,ondeNéonúmeromáximoquepodeser
produzido em '24 horas.
S6: 1o, 1, 2,..., M j, onde M é o número de rebites empre-
gado.
S8: Itlt ~ O}.
S7: 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1O}.
S8: 110, 11, 12,. ..}.
Se: IVz,VII'v.1Vz,VII'V. números reais}.
SIO: Ihl,..., hnlhi ~ °, i = 1, 2,..., n}.
811: ITIT~O}.
S12: Ibola preta}.
SII: Este espaço amostral é o mais complexo de todos os consi-
derados aqui. Podemos admitir, com realismo, que a tem-
peratura em determinada localidade nunca possa ocorrer
acima ou abaixo de certos valores 1If e m. Afora esta res-
trição, poderemos aceitar a possibilidade de que qualquer
gráfico apareça com determinadas restrições. Presumi-
velmente, o gráfico não terá saltos (isto é, ele representará
uma função contínua). Além disso, o gráfico terá certas
caracterlsticas de regularização, que podem ser resumidas
matematicamente dizendo-se que o gráfico representa uma
função derivável. Deste modo, poderemos finalmente
afirmar que o espaço amostral será:
li IJ uma função derivável, que satisfaça a m ~
~ J(t)~ M, para todo t}.
12 I PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 13
S14: /(X, y) 1m:::; X :::; Y :::; 11/}. Isto é, S14 é fonnado por todos
os pontos dentro e sobre um triângulo, no plano x, y bidi-
mensiona!.
por exemplo se H = 100. Torna-se bem mais simples e, matemati-
. camente, conveniente, admitir que todo8 os valoresde t ~ ° sejamre-
sultados possíveis e, portanto, tratar o espaço amostrai Ss tal como
foi originalmente definido.
Diante desses comentários, alguns dos espaços amostrais des-
critos são idealizados. Em todas as situações subseqüentes, o espaço
amostral considerado será aquele que for matematicamente mais
conveniente. Na maioria dos problemas, pouca dúvida surge quanto
à escolha adequada do espaço amostra!.
(Neste livro não cuidaremos de espaços amostrais da complexidade
encontrada em S13' 1\0 entanto, tais espaços amostrais podem sur-
gir, mas exigem para seu estudo mais :\latemática avançada do que
estamos admitindo aqui.)
A fim de descrever um espaço amostral associado a um
experimento, devemos ter uma idéia bastante clara daquilo que
estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar
de "um" espaço amostral associado a um experimento, e não de
"o" espaço amostra!. A esse respeito, note-se a diferença entre
S2 e S3'
Saliente-se, também, que o resultado de um e:\:perimentonão é
necessariamente, um número. Por exemplo, em E3, cada resultado
é uma seqüência de caras (H) e ~oroas (T). Em Eg e Elo cada re-
sultado é formado por um vetor, enquanto em Eu, cada resultado
constitui uma função.
Será também importante estudar o número de resultados em um
espaço amostra!. Surgem três possibilidades: o espaço amostral
pode ser finito, infinito numerável, ou infinito não-numeráve!. Re-
lativamente aos exemplos acima, observamos que SI> S2, S3, S., S~,
S7 e Su são finitos, S8 é infinito numerável, e Ss, Sg, SIO,Su, Su e
S14 são infinitos não-numeráveis.
Neste ponto poderá ser valioso comentar a diferença entre um
espaço amostral "idealizado" matematicamente e um espaço reali-
zável experimentalmente. Com este objetivo, consideremos o expe-
rimento Es e seu espaço amostral associado Ss. f; evidente que,
quando estivennos realmente registrando. o tempo total t, durante o
qual uma lâmpada funcione, seremos "vitimas" da precisão de nosso
instrumento de medir. Suponha-se que temos um instrumer.to que
seja capaz de registrar o tempo com duas casas decimais, por exem-
plo, 16,43 horas. Com esta restrição imposta, nosso espaçQ amos-
trai se tornará infinito numerável: /0,00, 0,01,0,02,..:}. Além
disso, é bastante próximo da realidade admitir que nenhuma lâmpada
possa durar mais do que H horas, onde H pode ser um número muito
grande. Conseqüentemente, parece que se fonnos completamente
realistas na descrição deste espaço amostral, estaremos realmente
tratando com um espaçoamostralfinito: {O,OO,0,01, 0,02,.. ., H}.
O número total de resultados seria (H/O,OI)+ 1, que poderá ser
um númeromuitogrande,mesmoque H seja moderadamentegrande,
1.5. Eventos
Outra noção fundamental é o conceito de evento. Um evento A
(relativo a um particular espaço amostral S, associado a um expe-
rimento 8) é -simplesmenteum conjunto de resultados possíveis. Na
terminologia dos conjuntos, um evento é um 8ubconjuntode um es-
paço amostral S. Considerando nossa exposição anterior, isto sig-
nifica que o próprio S constitui um evento, bem como o é o conjunto
vazio 0. Qualquer resultado individual pode também ser tomado
como um evento.
Alguns exemplos de eventos são dados a seguir. Novamente,
nos referimos aos experimentos relacionados acima: Ai se referirá
ao evento associado ao experimento Ei:
AI: Um número par ocorre, isto é, AI = /2, 4, 6}.
A2: /2}; isto é, duas caras ocorrem.
Aa: /HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH}; isto é, mais
caras do que coroas ocorreram.
A.: /O}; isto é, todas as peças são perfeitas.
Ai: /3,4,.. " M}; isto é, mais do que dois rebites eram defei-
tuosos.
As: /t I t < 3}; isto é, a lâmpadaqueimaem menosde 3 horas.
Au: /(x, y) Iy = x + 2O}; isto é, a temperatura máxima é 200
maior do que a mínima.
Quando o espaçó amostra! S for finito ou infinito numerável,
todo subconjunto poderá ser considerado um evento. [Constitui um
exercício fácil de provar, e o faremos resumidamente, que se S cdn-
tiver n elementos, existirão exatamente 2" subconjuntos (eventos).]
Contudo, se S for infinito não-numerável, surgirá uma. dificuldade
teórica. Verifica-se que nem todo subconjunto imaginável poderá
14 / PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE / 15
ser considerado um evento. Determinados subconjuntos "não admis-
siveis" deverão ser excluidos por motivos que ultrapassam o nivel
desta explanação. Felizmente, tais subconjuntos não-admissiveis
não surgem nas aplicações e, por isso, não cuidaremos deles aqui.
Na exposição subseqüente, será admitido tacitamente que sempre
que nos referirmos a um evento, ele será da espécie que já admitimos
considerar.
Agora, poderemos empregar as várias técnicas de combinar con-
juntos (isto é, eventos) e obter novos conjuntos (isto é, eventos),
os quais já apresentamos anteriormente.
representa o conjunto de todos os possíveis resultados, quando a. for
executado n vezes. De certo modo, S X S X . . . X S é ele próprio um
espaço amostral, a saber, o espaço amostral associado a n repetições
de a..
Definição. Dois eventos, A e B, são denominados mutuamente
excludentes,se eles não puderem ocorrer juntos. Exprimiremos isso
escrevendoA n B = 0, isto é, a interseção de A e B é o conjunto
(a) Se A e B forem eventos, A U B será o evento que ocorrerá
se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem.
(b) Se A e B forem eventos, A n B será o evento que ocorrerá
se, e somente se, A e B ocorrerem.
vazio.
Exemplo 1.4. Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo
total de serviço t é registrado. Admitiremos que o espaço amostral
seja {tlt;2: O}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte
maneira:
A = {tlt < loo}; B = {tI,50::; t::; 2OO-j;C.= {tlt > 150}.
(c) Se A for um eventó, A será o evento que ocorrerá se, e so-
mente se, não ocorrer A.
(d) Se A" ' . ., An for qualquer coleção finita de eventos, então,
U:-l Ai será o evento que ocorrerá se, e somente' se, ao menos um
dos eventos Ai ocorrer.
Conseqüentemente,
A U B = {tlt::; 2ooj; A n B = {tI50::; t < looj;
B U C = {tIt ;2:50}; B n C = {t 1150< t ::; 200j ; A n C = 0;
AUC= {tlt< lOOout>150j; A= {tlt;2:1oo};C={t!t::;150j.
(e) Se AI, ..., An for qualquer coleção finita de eventos, então
n:-I Ai será o evento que ocorrerá se, e somente se, todosos eventos
Ai ocorrerem.
Uma das características fundamentais do conceito de "experi-
mento", como foi apresentado na seção anterior, é que nós não sa-
bemos qual resultado particular ocorrerá quando o experimento for
realizado. Por outras palavras, se A for um evento associado a um
experimento, então, não poderemos afirmar com certeza que A irá
ocorrer ou não. Por isso, torna-se muito importante tentar associar
um número ao' evento A, o qual medirá de alguma maneira quão
verossímil é que o evento A venha a ocorrer. Essa tarefa nos leva
à teoria da probabilidade.
(f) Se A" . . .. An,. .. for qualquer coleção infinita (numerável)
de eventos, então, Ui:1 Ai será o evento que ocorrerá se, e somente
se, ao menos um dos eventos Ai ocorrer.
(g) Se A" .. ., An,... for qualquer coleção infinita (numerável)
de eventos, então, ni:1 Ai será o evento que ocorrerá se, e somente
se, todosos eventos Ai ocorrerem.
1.6. Freqüência Relativa
(h) Suponha-se que S represente o espaço amostral associado a
algum experimento 8., e que nós executemos 8. duas vezes. Então,
S X S poderá ser empregado para representar todos .osresultados dessas
duas repetições. Portanto, (SI. S2) E S X S significa que S1 resultou
quando 8. foi executado a primeira vez e S2. quando8.foiexecutadoa
segunda vez.
(i) O exemplo contido em (h) pode, obviamente, sergeneralizado.
Considerem-s~n repetições de um experimento 8. cujo espaço amostra!
seja S:
S X S X . . . X S = {(S 1 , S2 , . . . , Sn)' SiE S, i = I,. . . , n j
A fim de motivar a maneira de tratar o assunto, considere-se
o seguinte procedimento: Suponha-se que repetimos n vezes o expe-
rimento 8, e sejam A e B dois eventos associados a 8. Admitamos
que sejam, respectivamente, nA e nB o número de vezes que o evento
A e o evento B ocorram nas n repetições.
Definição. iA = nA(n é denominada freqüência relativado evento
A nas n repetições de 8. A freqüência relativafA apresenta as seguin-
tes propriedades, de fácil verificação:
(1) O ::; iA ::; 1.
(2) i A = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições.
16 I PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 17
(3) tA = O se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições.
(4) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e setA UB
for a freqüência relativa associada ao evento A U B, então, tA U B =
= tA +tB .
(5) tA, com base em n repetições do experimento e considerada
como uma função de n, "converge" em certo sentido probabilístico
para P (A ), quando n -+00.
Comentdrio: A Propriedade (5) está evidentemente expressada um tanto
vagamente, nesta seção. Somente mais tarde (Seç. 12.2), estaremos aptos a tornar
esta idéia mais precisa. Por enquanto, podemos apenas afirmar que a Propriedade
(5) envolve a noção nitidamente intuitiva de que a freq üência relativa, baseada em
um número crescente de observações, tende a se "estabilizar" próximo de algum
valor definido. Este não é o mesmo conceito usual de convergência encontrado
em alguma parte da Matemática. De fato, tal como afirmamos aqui, esta não é,
de modo algum, uma conclusão matemática, mas apenas um fato empírico.
Esta propriedade de estabilidade da freqüênda relativa é, por
enquanto, uma. noção inteiramente intuitiva, porém mais tarde es-
taremos aptos a tomá-Ia matematicamente precisa. A essência
desta propriedade é que, se um experimento for executado um grande
número de vezes, a freqüência relativa da ocorrência de algum evento
A tenderá 8.variar ca.da vez menos à medida que o número de repe-
tições for aumentada. Esta característica é também conhecida como
regularidadeestatística.
N6s fomos um tanto vagos em nossa definição de experimento.
Quando um procedimento ou mecanismo constituirá, em nossa acep-
ção, um experimento capaz de ser estudado matematicamente por
meio de um modelo não-determinístico 1 Já afirmamos, anteriormente,
que um experimento deve ser capaz de ser realizado repetid;1mente,
sob condições essencialmente inalteradas. Agora, podemos acres-
centar outra condição. Quando o experimento for repetidamente
realizado, ele deverá. apresentar a regularidade estatística mencio-
nada acima. Mais adiante, estudaremos um teorema (denominado
Lei dos Grandes Números) que mostrará que a regularidade estatís-
tica é, de fato, uma conseqüênciada primeira condição: reprodutibi-
lidade.
A maioria de nós está intuitivamente a par deste fenômeno de
estabilização, muito embora nunca o tenhamos verificado. Fazê-Ioexige
considerável porção de tempo e de paciência, porque inclui um grande
número de repetições de um experimento. Contudo, algumas vezes,
poderemos ser ingênuos observadores deste fenômeno, como ilustra o
seguinte exemplo:
Exemplo 1.5. Admitamos que estejamos postados na calçada e
fixemos nossa atenção em doisblocos demeio-fioadjacentes.Suponha-se
que comece a chover de tal maneira que sejamos realmente capazes de
distinguir pingos isolados de chuva e registrar se essespingos caem num
meio-fio ou noutro. Ficamos a observar os pingos e aanotar seu ponto
de impacto. Denotando o i-ésimopingo por Xi>onde Xi = I se o pingo
cair no primeiro meio-fio, e igual a O se cair no outro, poderemos
observaruma seqüência como, por exemplo, I, 1, O, 1, O,O,O, I, O,0,1.
~ evidente que não seremos capazes de prever onde um particular pingo
irá cair. (Nosso experimento consta de alguma espécie de situação me-
teorológica que causa a queda dos pingos de chuva.) Se calcularmos a
freqüência relativa do evento A = {o pingo cai no meio-fio I}, então,
a seqüência de resultados acima dará origem às seguintes freqüências
relativas (baseadas na observação de 1, 2, 3, .-.pingos): 1,1,2/3,3/4,
3/5, 3/6, 3/7,4/8,4/9,4/10,5/11, " . Esses números evidenciam um
elevado grau de variação, especialmente no início. É intuitivamente
evidente que, se o experimento acimacontinuasseindefmidamente, essas
freqüências relativas iriam se estabilizar próximas do valor 1/2. Conse-
qüentemente, teríamos toda razão em acreditar que, depois de algum
tempo decorrido, os dois meios-fiosestariam igualmente molhados.
1.7. Noções Fundamentais de Probabilidade
Voltemos agora ao problema proposto acima: atribuir um número
a cada. evento A, o qual avaliará quão verossímil será a ocorrência.
de A quando o experimento for realizado. Uma possivel maneira
de tratar a questão seria a seguinte: repetir o experimento um grande
número de vezes, calcular a freqüência relativa f A e utilizar esse nú-
mero. Quando recordamos as propriedades de f A, toma-se evidente
que este número fornece uma informação muito precisa de quão ve-
rossímilé a ocorrência de A. Além disso,.sabemos que à medida que o
experimento se repetir mais e mais vezes, a freqüência relativa fAse
estabilizará pr6xima de algum número, suponhamos p. Há, con-
tudo, duas sérias objeções a esta maneira de tratar a questão: (a) Não
está esclarecido quão grande deva ser n, antes que se conheça o nú-
mero: 1.0001 2.oo0? lO.ooo? (b) Uma vez que o experimento tenha
sitio completamente' descrito e o evento A especificado, o número
que estamos. procurando não deverá depender do experimentador
ou da particular veia de sorte que ele possua. {Por exemplo, é pos-
sível que uma moeda perfeitamente equilibrada, quando jogada
10 vezes, venha a apresentar 9 caras e 1 coroa. A freqüência rela-
tiva do evento A = locorrer cara I seria, nesse caso, igual a 9/10.
18 I PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 19
No entanto, é evidente que nas pr6ximas 10 jogadas o padrão de
caras e coroas possa se inverter.) O que desejamos é um meio de
obter tal número, sem recorrer à experimentação. Naturalmente,
para. que o número que convencionarmos tenha significado, qualquer
experimentação subseqüente deverá produzir uma freqüência rela-
tiva que seja "pr6xima" do valor convencionado, particularmente
se o número de repetições, no qual a freqüência relativa calculada
se tenha baseado, for muito grande. N6s procederemos, formalmente,
da seguinte maneira:
Definição. Seja S um experimento. Seja S um espaço amostral
associado a S. A cada even1ioA associaremos um número real re-
presentado por P(A) e denominado probabilidadede A, que satisfaça
à.s seguintes propriedades:
terá que ser um pouco mais paciente (até o pr6ximo capitulo), antes
que aprenda como avaliar P(A). Antes de voltarmos a esta questão,
vamos enunciar e demonstrar várias conseqüências relacionadas a
P(A), que decorrem das condições acima e que não dependem da ma-
neira pela qual n6s realmente calculamos P(A).
Teorema 1.1. Se ~ for o conjunto vazio, então P (0) = o.
Demonstração: Para qualquer evento A, podemos escrever
A = A U 0. Uma vez que A e 0 são mutuamente excludentes,
decorre da Propriedade 3, que P(A) = P(A U 0) = P(A) + P(~).
Daqui, a conclusão do teorema é imediata.
(1) O =:;;P(A) =:;;1.
(2) P(S) = 1. (1.3)
(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(AUB)=
= P(A) + P(B).
(4) Se AI>A2"'" An,... forem, dois a dois, eventos mutua-
mente excludentes, então,
Comentário: Mais tarde, teremos ocasião de ver que a reciproca do teorema
acima não é verdadeira. Isto é, se P(A) = O,não poderemos, em geral, concluir
que A = 9, porque existem situações nas quais atribuímos probabilidade zero a
um evento que pode ocorrer.
Teorema 1.2. Se 11 for o evento complementar de A, então
P(A) = 1 - P(A). (1.4)
P(Ut-lAi) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(An) +... Demonstração: Podemos escrever S = A U 11 e, empregando
a,<!Propriedades 2 e 3, obteremos 1 = P(A) + P(A).Observe-se que da Propriedade 3, decorre imediatamente que,
para qualquer n finito,
P (ü Ai )= i:P(Ai).i-I i-I
Comentário: Esteé um resultado particularmente útil, porque ele significa
que sempre que desejarmos avaliar P(A), poderemos calcular P(A) e, depois,
obtermos o resultado desejado por subtração. Veremos mais tarde que, em mui-
tos problemas, é muito mais fácil calcular P(A) do que P(A).
A Propriedade 4 não se seguirá; no entanto, quando considerarmos o
espaço amostral idealizado, esta propriedade será imposta e, por isso,
foi incluída aqui.
A escolha das propriedades da probabilidade acima relacionadas
é, obviamente, sugerida pelas correspondentes características da
freqüência relativa. A propriedade, antes mencionada como regu-
laridade estatística, será mais adiante vinculada a esta definição de
probabilidade. Por enquanto, n6s apenas afirmamos que se pode
mostrar que os números P(A) e fA são "pr6ximos" um do outro (em
determinado sentido), se fA for baseado CIX).um grande número de
repetições. :É este fato que nos dá a justificativa da utilização de
P(A) para avaliarmos quão verossímil é a ocorrência de A.
Por enquanto não sabemos como calcular P(A). Nós apenas
arrolamos algumas propriedades gerais que P(A) possui. O leitor
Teorema 1.3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A () B). (1.5)
Demonstração: .A idéia desta demonstração é decompor A U B
e B em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, aplicar
a Propriedade 3. (Veja o Diagrama de Venn na Fig. 1.2.)
Desse modo escreveremos
A U B = A U (B () A),
B = (A () B) U (B () A).
Conseqüentemente,
P(A U B) = P(A) + P(B () 11),
P(B) = P(A () B) + P(B () A).
20 I PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 21
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, obtém-se qüentemente, P(B) = P(A) + P(B n ii) 2::P(A), porque P(B () Ã) 2::
2::°, pela Propriedade 1.
P(A U B) - P(B) = P(A) - P(A () B)
Comentário: Este resultado é, certamente, de conhecimento intuitivo, pois
ele a.firma que se B deve ocorrer sempre que A ocorra, conseqüentemente, B é mais
provável do que A.
e daí chega-se ao resultado.
1.8. Algumas Observações
"
(a) Cabe aqui uma palavra de advertência. Da exposição an-
terior poderia ser (incorretamente) inferido que quando escolhermos
um modelo probabilístico para a descrição de algum fenômeno de
observação, estaremos abandonando todas as relações determinís-
ticas. Nada poderia estar mais distante da verdade. Nós ainda
utilizamos o fato de que, por exemplo, a Lei de Ohm I = E/R vale
em determinadas circunstâncias. A diferença seria uma diferença
de interpretação. Em vez de afirmar que a relação ,acima determina
I para E e R dados, admitiremos que E ou R (ou ambos) possam
variar de alguma maneira aleatória imprevisível e que, em conse-
qüência, I variará também de alguma forma aleatória. Para E
e R dados, I será ainda determinado pela relação acima. O impor-
tante é que, quando se adotar um modelo probabilístico para a des-
crição de um circuito, considera-se a possibilidade de que E e R pos-
sam variar de alguma maneira imprevisível, a qual somente pode
ser descrita probabilisticamente. Portanto, desde que tenha sen-
tido considerar somente a probabilidadede que E e R tomem certos
valores, torna-se significativo falar somente da probabilidade de
que I venha a tomar certos valores.
(JJ
/B S
" 0~
~
AnB AnB
Fig.1.2
Comentário: Este teorema representa uma extensão imediata da Proprie-
.dade 3, porque se A n B = 0, obteremos do enunciado acima a Propriedade 3.
Teorema 1.4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então
P(A U B U C)=P(A) + P(B)+P(C)-P(A () B)-P(A () C)-
- P(B () C) + P(A () B n C). (1.6)
Demonstração: A demonstração consiste em escrever A U B U C
na forma (A U B) U C e aplicar ó resultado do teorema anterior.
Deixa-se ao leitor completar a demonstração.
Comentário: Uma extensão óbvia do teorema é sugerida.
quaisquer k eventos. Então,
k k
p(A1 U A2 U ", U Ak) = L P(Ai) - L P(Ai n Aj)+
i-I i<j-2
Sejam Alt..., Ak,
(b) Algumas vezes, pode ser difícil realizar a escolha entre a adoção
de um modelo determinístico ou um modelo probabilístico. Poderá
depender da complicação de nossa técnica de mensuração e da exatidão
associada a ela. Por exemplo, se medidas exatas forem tão difíceis de
obter que leituras repetidas da mesma quantidade conduzam a resulta-
dos variados, um modelo probabilístico será sem dúvida mais adequado
para descrever a situação.
k
+ L P(AinAjnAr) + ." + (-1)k-lp(AlnA2n...nAk).
i<j<r-3
(1.7) (c) IndicaremoS' resumidamente que, sob certas circunstâncias,
teremos condições de fazer hipóteses adicionais sobre o comportamento
probabilístico de nossos resultados experimentais, as quais nos conduzi-
rão a um método de avaliação das probabilidades básicas. A escolha
dessas hipóteses adicionaispode ser baseada em consideraçõesfísicas do
experimento (por exemplo, propriedades de simetria), evidência empí-
Este resultado pode ser facilmente estabelecido por indução matemática.
Teorema 1.5. Se A C B, então P(A) ~ P(B).
Demonstração: Podemos decompor B em dois eventos mutua-
mente excludentes, na seguinte forma: B = A. U (B () Ã). Conse-
22 I PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 23
rica ou, em alguns casos, apenas julgamento pessoal, baseado em
experiência anterior de uma situação similar. A freqüência relativa tA
pode desempenhar um importante papel em nossa deliberação sobre a
atribuição numérica de P(A). Contudo, é importante compreender que
qualquer suposição que façamos sobre P(A) deve ser tal, que sejam
satisfeitos os axiomas básicos desde (1) até (4) da Defmição (1.3).
preender que estaremos tão-somente substituindo um valor postulado
por uma aproximação obtida experimentalmente. Quão boa ou má
essa aproximação possa ser, de modo algum influencia a estrutura
lógica de nosso modelo. Muito embora o fenômeno que o modelo
tente representar tenha sido levado em conta na construção do mode-
lo, nós nos teremos distanciado do próprio fenômeno (ao menos tempo-
rariamente), quando entrarmos no reino do modelo.
(d) No curso do desenvolvimento das idéias básicas da teoria da
probabilidade, faremos algumas referências a deterllÚnadas analogias
mecânicas. A primeira delas pode ser apropriada aqui. Em Mecânica,
atribuímos a cada corpo B sua massa, digamos m(B). Em seguida, fa-
remos diversos cálculos e obteremos várias conclusões sobre o compor-
tamento de B e suas relações com outros corpos, muitas das quais
envolvem sua massa m (B). O fato de que nós poderemos ter que
recorrer a alguma aproximação para obter realmente m(B) para um
corpo especificado não diminui a utilidade do conceito de massa.
Semelhantemente, estipularemos para cada eventoA associadoaoespaço
amostral de um experimento um número P(A), denollÚnadoprobabili-
dade de A, e satisfazendo nossos axiomasbásicos. Ao calcularrealmente
P (A) para um evento específico, nós teremos que fazer hipóteses
adicionaisou que obter uma aproximaçãobaseadaem evidênciaempírica.
Problemas
1.1. Suponha qlle o conjunto fundamental seja formado pelOlfinteiros p0-
sitivos de 1 a 10. Sejam A == {2,3, 41, B == (3,4, 51, e C == {5,6, 71. Enu-
mere os elementos dos seguintes conjuntos:
(a) A n B. (b)A U B. (c)Ã n 1i. (d)A n (B n C). (e) A n (B U C).
1.2. Suponha que o conjunto fundamental U seja dado por U ==
== {xlO=:;;x=:;;21. Sejam os conjuntos A e B definidos da forma seguinte:
A == {xl 1/2< x=:;;1\ e B == (xll/4=:;;x < 3/2\. Descrevaos seguintescon-
juntos:
(a) A U B. (b) A U B. (c)A n B. (d)A n B.
(e) t muito importante compreender que nós tenhamos pos-
tulado a existência do número P(A), e que tenhamos postulado de-
ternúnadas propriedades que esse número possui. A validade das
várias conseqüência:s (teoremas), decorrentes desses postulados, de
modo algum depende da maneira pela qual iremos obter um ~alor
numérico para P(A). :f; essencial que este ponto fique claro. Por
exemplo, admitimos que P(A U B) = P(A) + P(B). A fim de em-
pregar esta relação para a avaliação concreta de P(A U B), deveremos
conhecer os valores de P(A) e de P(B). Explicaremos, resumida-
mente, que sob certas circunstâncias, nós poderemosfazer suposições
adicionais que conduzam a um método de avaliação dessas probabi-
lidades. Se essas (ou outras) suposições não forem fundamentadas,
poderemos ter de recorrer à experimentação a fim de alcançar o valor
de P(A) a partir de dados reais. A freqüência relativa iA desempe-
nhará nisso um importante papel e será, de fato, utilizada para apro-
ximar P(A).
1.3. Quais das seguintes relações sf.o verdadeiras?
(a) (A U B) n (A U C) == A U (B n C). (b) (A U B) == (A n B) U B.
(c) Ã [) B == A U B. (d) (A U B) n C == Ã n B ne.
(e) (A n B) n (B n C)== 9.
1.4. Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos
(x, y) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira
do quadrado limitado pelas retas x == O, y == O,% == 6 e y == 6. Enumereos ele-
mentos dos seguintes conjunt{)S:
(a) A == (X,y)IX2+y2=:;;6\. (b) B== {(x,y)IY=:;;X2\.
(c) C == {(x, y)lx =:;;y21. (d) B n C. (e) (B U A) n C.
1.5. Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes rel~ões:
(a) A C B e B C C implica que A C C. (b) A C B implica que
A == A n B. (c) A C B implica que B C A. (d) A C B implica
que A U C C B U C. (e) A n B == 9 e C C A implicamque B n C == 9.
Contudo, é importante saber que i A e P(A) não são a mesma
coisa; que nós apenas utilizaremos iA para aproximar P(A) e que,
sempre que' nos referirmos a P(A), estaremos nos referindo ao valor
postulado. Se nós "identificarmos" iA com P(A), deveremos com-
1.6. Peças que saem de uma linha de produção silo marcadM defeituosa (D)
ou não defeituosa (N). As peças são inspecionadas e sus. condição registrads..
Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que
quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar.
Descreva um espaço amostral para este experimento.
24 I PROBABILIDADE ,INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 25
1.7. (a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com fil&-
mento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma, até que uma lâm-
pada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostra! para este expe-
rimento.
(b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que
todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amost~a! para
este experimento.
(e) Exatamente dois dos eventos ocorrem.
(d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente.
1.12. Demonstre o Teor IA.
1.8. Considere quatro objetos, a, b, e e d. Suponha que a ordem em que
tais objetos sejam 'listados represente o resultado de um experimento. Sejam
os eventos A. e B definidos assim: A. = ta está na primeira posição}; B =
= Ib está na segunda posiçã.o!.
(a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.
(b) Enumere todos os elementos dos eventos A. () B e .<1U B.
1.13. (a) Verifique que para qois eventos quaisquer, AI e .1.2, temos que
P(AI U .1.2)::::;P(AI) + P(A2).
(b) Verifique que para quaisquer n eventos AI" . ., An, temos que
P(AI U. . . U An)::::;P(AIJ +. .. + P(An).
[Swesúl:o: Empregue a indução matemática. O resúltado enunciado em (b)
é denominado desigualdade de Boole.]
1.9. Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, . .., 50 gramas. Admitamos
que ao menos duas peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças
são retiradas do lote. Sejam X o peso da primeira peça escolhida e Y o peso da
segunda. Portanto, o par de números (X, Y) representa um resultado simples
do experimento. Empregando o plano .\T, marque o espaço amostral e os seguin-
tes eventos:
1.14. O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos
A ou B ocorra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente
um dos eventos A ou B OCOrra. Verifique que
PICA() B) U (B () :A)]= P(A) + P(B) - 2P(A () B).
(a) [X = YI. (b) IY > XI.
(e) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira.
(d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a seglmda peça.
(e) O peso médio de duas peças é menor do que 30 gramas.
1.15. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes
situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das
escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais prpvável do que a
queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o des!;aste das escovas.
Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circuns-
tâncias ?
1.16. Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y, e
P(A () B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos
dex,yez.
1.10. Durante um período de 24 horas, em algum momento X, uma chave
é posta na posiçã.o "ligada". Depois, em algum momento futuro Y (ainda du-
rante o mesmo período de 24 horas), a cha\'e é virada para a posição "desligada".
Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o infcio do
período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par
de números (X, Y).
(a) P(A:U B). (b) P(A: () B). (e) PcA U B). (d) P(A: () B).
1.17. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =
= 1/4, P(A ri B) = P(C () B) = Oe P(A () C) = 1/8. Calcule a probabilidade
de queao menosum.doseventosA, B ou C ocorra.
(a) Descreva o espaço amostra\.
(b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:
(i) O circuito está ligado por uma hora ou menos.
(ü) O circuito está ligado no tempo z, onde z é algum instante no período
dado de 24 horas.
(iii) O circuito é ligado antes do tempo II e desligado depois do tempo Ii
(onde também II < 12 são dois instantes durante o período de 24
horas especificado).
(iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.
1.18. Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita
que o evento A seja que a máquina esteja em boas condições de funcionamento,
enquanto os eventos Bk (k = I, 2) são os eventosde que a k-ésimacaldeiraesteja
em boas condições. O evento C é que a instalação possa funcionar. Se a instalação
puder funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar,
expresse os eventos C e C, em termos de A e dos Bk'
1.11. Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento.
em notações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais:
(a) Ao menos um dos eventos ocorre.
(b) Exatamente um dos eventos ocorre.
Exprima
1.19. Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e 11. Suponha que se
disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo 11.Defina os eventos
A k, k = 1, 2 e Bj, j = 1, 2, 3 da seguinte maneira :Ak: a k.ésimaunidade do tipo I
está funcionando adequadamente; Br aj-ésima unidade do tipo 11está funcionan-
do adequadamente. Finalmente, admita que C represente o evento: o mecanismo
funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao menos uma unidade do tipo I
e ao menos duas unidades do tipo 11funcionarem; expresse o evento C em termos
dosAk e dosBj-
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS / 27
Capítulo 2
. Para resumir: a atribuição de probabilidadesPi a cada evento
elementar lad, sujeito às condições (a) e (b) citadas anteriormente,
determina unicamente P(A) para cada evento A C S, onde P(A) é
dado pela Eq. (2.1).
Para. avaliarmos os Pi individuais, alguma hipótese referente
aos resultados individuais deve ser feita.
Exemplo 2.1. Suponha-se que somente três resultados sejam
possíveis em um experimento, a saber, a1l (12e (1a. Aléni disso, su-
ponha-se que. aI seja duas vezes mais provável de ocorrer que <Ia,o
qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que (1a.
Portanto, 'PI = 2p2 e P2 = 2Pa. Já que PI + P2 + pa = 1, te-
remos 4pa + 2pa + pa = 1, o que finalmente dá
Espaços Amostrais Finitos
2.1. EspaçoAmostral Finito 1
Pa= 7'
2 4
P2 = 7 e PI = T'
Neste capítulo nos ocuparemos unicamente de experimentos
para os quais o espaço amostral 8 seja formado de um número jinito
de elementos. Isto é, admitiremos que 8 possa ser escrito sob a
forma 8 = IaI, a2,. . ., ak I. Se nos reportarmos aos exemplos de
espaços amostrais da Seç. 1.4, observaremos que 811 82, 83, 84, 86,
87 e 812 são todos finitos.
A fim de caracterizar P(A) para este modelo, deveremosini-
cialmente considerar o evento formado por um resultado simples,
algumas vezes denominado evento simples ou elementar, A = Ia;}.
Procederemos da seguinte maneira:
A cada evento simples {lli} associaremos um número Pi, deno-
minado probabilidade de {ai I, que satisfaça às seguintes condições:
(a) pi ~ °, i = 1,2,..., k,
(b) PI + P2 + ... + pk = 1.
Comenl4rio: Na exposição que se segue, empregaremos a expressão "igual-
mente verosslmeis" para significar "igualmente prová"eis".
2.2. Resultados Igualmente Verossímeis
[Porque Ia;} é um evento, essas condições devem ser coerentes com
aquelas postuladas para as probabilidades dos eventos em geral,
como foi feito nas Eq. (1.3). É fácil verificar que isso se dá.J
Em seguida, suponha-se que um evento A seja constituído por
r resultados, 1 ~ r ~ k, a saber
A hip6tese mais comumente feita para espaços amostrais fini-
tos é a de que todos os resultados sejam igualmente verossímeis.
Esta hipótese não pode ser, contudo, tomada como segura; ela deve
ser cuidadosamente justificada. Existem muitos experimentos para
os quais tal hip6tese é assegurada, mas existem também muitas si-
tuações experimentais nas quais seria absolutamente errôneo acei-
tar-se essa suposição. Por exemplo, seria bastante irreal supor que
seja igualmente verossímil não ocorrerem chamadas telefônicas em
um centro entre 1 e 2 horas da madrugada e entre 17 e 18 horas da
tarde.
Se todos os k resultados forem igualmente verossímeis, segue-se
que cada probabilidade será Pi = l/k. Conseqüentemente,a con-
dição PI + .. . +Pk = 1 toma-se kPi = 1 para. todo i. Disto de-
Correque, para. qualquer evento A formado de r resultados, teremos
P(A) = Pi, + Pi, +...+ PiTo (2.1)
P(A) = r/k.
Este métodode avaliar P(A) é freqüentementeenunciadoda seguinte
maneira.:
P(A) == numero de casos favoráveis a A pelos quais B pode ocorrer
número total de caSos pelos quais & pode ocorrer
É Uiuito importante compreender que a expressão de P(A) acima
é apenas uma conseqüência da suposição de que todos os resultados
A = Iai" ai". . ., aiT},
onde j I, j2,. . ., jT representam um qualquer dos r índices, de 1 até k.
Conseqüentemente, conclui-se da Eq. (1.3), Propriedade 4, que
~
28 I PROBABILIDADE ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 29
sejam igualmente verossímeis, e ela é aplicável somente quando essa
suposição for atendida. Ela certamente não serve como uma defi-
nição geral de probabilidade.
Exemplo 2.2. Um dado é lançado e todos os resultados se su-
põem igualmente verossímeis. O evento A ocorrerá se, e somente
se, um número maior do que 4 aparecer, isto é, A = {5, 6}. Con-
seqüentemente, P(A) = 1/6 + 1/6 = 2/6.
Exemplo 2.3. Uma moeda equilibrada é atirada duas vezes.
Seja A o evento: {aparece uma cara}. Na avaliação de P(A), a
análise do problema poderia ser a seguinte: O espaço amostral é
8 = 10, 1, 2} onde cada resultado representa o número de caras
que ocorre. Portanto, seria encontrada P(A) = 1/3! Esta análise
é obviamente incorreta, porque no espaço amostral considerado acima,
todos os resultados não são igualmente verossímeis. A fim de aplicar
os métodos expostos, deveremos considerar em s.eu lugar o espaço
amostral 8' = IHH, HT, TH, TT}, onde H representa cara, e T
coroa. Neste espaço amostral todos os resultados são igualmente
verossímeis e, por isso, obteremos como solução correta de nosso
problema: P(A) = 2/4 = 1/2. Poderiamos empregar corretamente o
espaço 8 da seguinte maneira: Os resultados O e 2 são igualmente
verossímeis, enquanto o resultado 1 é duas vezes mais provável que
qualquer um dos outros. Portanto, P(A) = 1/2, o que concorda
com a resposta anterior.
Este exemplo ilustra dois aspectos. Primeiro, deveremos estar
bastante seguros de que todos os resultados possam supor-se igual-
mente verossímeis, antes de empregar o procedimento acima. Se-
gundo, poderemos freqüentemente, por uma escolha apropriada do
espaço amostral, reduzir o problema a outro, em que todos os resul-
tados sejam igualmente verossímeis. Sempre que possível, isto deve
ser feito porque geralmente torna o cálculo mais simples. Este
aspecto será de novo mencionado em exemplos subseqüentes.
lhendo um cartão, tentaremos garantir que cada parafuso tenha de
fato a mesma probabilidade de ser escolhido. Assim, poderemos
nos meter em enorme trabalho a fim de assegurarmos que a suposição
matemática de resultados igualmente verossímeis seja de fato apro-
priada.
Nos exemplos já vistos e em muitos que se seguirão, trataremos
da escolha 3.()aeàSo de um ou mais objetos de uma dada coleção de
objetos. Definamos esta noção mais precisamente. Suponhamos
que se tenha N objetos, a saber aI, a2,.. ., aN.
(a) Escolher ao acaso um objeto, dentre N objetos, significa que
cada objeto tem a mesma probabilidade de ser esc,Olhido, isto é,
Prob (escolher lli) = l/N, i = 1, 2,..., N.
(b) Escolher ao acaso dois objetos, dentre N objetos, significa
que cada par de objetos (deixada a ordem à parte) tem a mesma pro-
babilidade de ser escolhido que qualquer outro par. Por exemplo,
se devemos escolher ao acaso dois objetos dentre (aI, a2,a3,a4),obter
aI e a2 é então tão provável quanto obter a2e a3etc. Esta formula-
ção levanta imediatamente a questão de quantos pares diferentes
existem. Admita-se que existam K desses pares. Então, a proba-
bilidade de cada par seria l/K. Logo, veremos como calcular K.
(c) Escolher ao acaso n objetos(n ::::;;N) dentre N objetos signi-
fica que cada ênupla, a saber lli., lli". . ., llin é tão provável de ser
escolhida quanto qualquer outra ênupla.
Comentário: Já sugerimos acima que se deve tomar extremo cuidado durante
o procedimento experimental, para assegurarmos que a suposição matemática de
"escolher ao acaso" seja atendida.
2.3. .~étodos de Enumeração
Muito freqüentemente, a maneira pela qual o experimento .é
executado determina se os resultados possíveis são igualmente ve-
rossímeis ou não. Por exemplo, suponha-se que retiremos um para-
fuso de uma caixa que contenha três parafusos de tamanhos diferen-
tes. Se simplesmente escolhermos o parafuso estendendo a mão
dentro da caixa e apanhando aquele que tocarmos primeiro, é óbvio
que o parafuso maior terá maior probabilidade de ser escolhido que
os outros dois. No entanto, etiquetando cuidadosamente cada para-
fuso com um número, escrevendo o número em um cartão, e esco-
Deveremos fazer uma digressão, a esta altura, para aprender-
mos como enumerar. Considere-se novamente a forma já vista de
P(A), a saber P(A) = r/k, onde k é igual ao número total de maneiras
pelas quais 8 pode ocorrer, enquanto r é igual ao número de ma-
neiras pelas quais A pode ocorrer. Nos exemplos apresentados até
aqui, pequena dificuldade foi ençontrada para calcular r e k. Mas
nós precisamos estudar situações apenas um pouco mais complica-
das, para percebermos a necessidade de alguns procedimentos siste-
máticos de contagem ou enumeração.
, .
...',~Ij~~
30 I PROBABILIDADE
Exemplo 2.4. Uma partida de cem peças é composta de 20
peças defeituosas e 80 peças perfeitas. Dez dessas peças são esco-
lhidas ao acaso, sem reposição de qualquer peça escolhida antes que
a seguinte seja escolhida. Qual é a probabilidade de que exatamente
metade das peças escolhidas seja defeituosa?
Para analisarmos este problema, consideremos o seguinte espa-
ço amostra I S. Cada elemento de S é constituído de dez possíveis
peças da partida, (ih i2,. . ., ilo). Quantos resultados desses existem?
E dentre esses resultados, quantos têm a característica de que exa-
tamente a metade das peças seja defeituosa? Nós, evidentemente,
precisamos ter condições de responder a tais questões a fim de resol-
vermos o problema em estudo. Muitos problemas semelhantes dão
origem a questões análogas. Nas poucas seções seguintes, apresen-
taremos algumas técnicas sistemáticas de enumeração.
A.. Regra da Multiplicação. Suponha-se que um procedimento
designado por 1 possa ser executado de nl maJ~eiras. Admita-se
que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado
de n2 maneiras. Suponha-se, também, que