AP1_ProbEst_Est_I_2011 2-Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2011 
Profa. Keila Mara Cassiano 
(pode usar calculadora) 
 
Versão Tutor 
 
1. (1,5 ponto) Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos 
foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media 
Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais 
gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte: 
 
CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER 
Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI 
Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI 
Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER 
Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 
 
a) Qual o tipo de variável está em questão? 
 
Solução: 
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma 
VARIÁVEL QUALITATIVA. 
 
b) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); 
 
Solução: 
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter 
as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de 
respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim, 
teremos: 
 
Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
CSI 17 34 
ER 12 24 
Friends 14 28 
Raymond 7 14 
Total 50 100 
 
c) Construa um gráfico de colunas para estes dados. 
 
Solução: 
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a 
freqüência absoluta. Assim, o gráfico será: 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) 
de conclusão de auditorias: 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
10 15 4 
15 20 8 
20 25 5 
25 30 2 
30 35 1 
Total 20 
 
a) (0,5) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna 
com o produto entre estes pontos médios e as freqüências absolutas. 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Ponto médio 
(xi) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
 
nixi 
10 15 12,5 4 50,0 
15 20 17,5 8 140,0 
20 25 22,5 5 112,5 
25 30 27,5 2 55,0 
30 35 32,5 1 32,5 
Total 20 390,0 
 
A média é: 
 
 
 b) (0,5) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; 
 
 Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 
 
 
 
Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 
 
 
 c) (0,5) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que 
estão acumulados os 50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 
10% a mais,conforme a tabela abaixo. Assim podemos fazer as proporções de 
acordo com a figura logo em seguida: 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
Absolutas (ni) 
Freq. 
Relativas % 
Freq. Acum 
Relativa % 
10 15 4 20 20 
15 20 8 40 60 
20 25 5 25 85 
25 30 2 10 95 
30 35 1 5 100 
Total 20 100 
 
 
 
 
 
 
 d) (0,5) Sabendo que , determine o desvio padrão. 
 
Solução: 
Conhecida a média, o tamanho da amostra e a soma acima,o desvio padrão é 
dado por: 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - 
figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na 
base. 
 
 Figura 1: Tetraedro 
 
 a) (0,5) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
 
 
 
b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das 
faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e . 
 
Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
 
Logo: 
 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
 
 
 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
 
 
4. (1,5 ponto) Uma urna contém 50 bolas idênticas, numeradas de 1 a 50. Determine a 
probabilidade de, em uma extração ao acaso, obtermos: 
 
 a) (0,5) A bola de número 27; 
 
 Solução: 
 A bola de número 27 é uma dentre as 50 bolas. Assim: 
 
 
 b) (0,5) Uma bola de número par; 
 
 Solução: 
 Temos 25 bolas pares e 25 bolas ímpares. Assim: 
 
 
 c) (0,5) Uma bola de número maior que 20. 
 
 Solução: 
 As bolas acima de 20 são todas numeradas de 21 a 50. Ou seja, temos 30 bolas 
acima de 20. Logo: 
 
 
5. (0,5 ponto) Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A). 
 
Solução: 
Temos que e . Substituindo os valores 
acima na fórmula da probabilidade da união, teremos: 
 
 
Reorganizando, 
 
 
 
 
6. (0,5 ponto) Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e 
B são eventos mutuamente excludentes? 
 
Solução: 
Como vimos na questão anterior, trata-se da probabilidade da união. Se A e B são 
mutuamente excludentes (ou exclusivos), então Logo: 
 
 
 
 
 
7. (1,0 ponto) Temos 5 livros diferentes de Física, 3 livros diferentes de Portugues e 4 
livros diferentes de História. De quantas maneiras podemos organizar estes livros em 
uma prateleira, se os livros de mesmo assunto devem ficar juntos? 
 
Solução: 
Inicialmente, observemo que, se os livros de mesmo assunto devem ficar juntos, então 
seria como organizar 3 blocos de livros: 
 
(_ _ _ _ _) (_ _ _) (_ _ _ _) 
Física Portugues História 
 
A organização destes 3 blocos pode ser feita de 3!= 6 Maneiras. A saber: 
{(FPH), (FHP), (PFH), (PHF), (HPF), (HFP)} 
 
Mas, para cada uma destas formações, é possível fazer formações dentro de cada 
bloco: 
 
Assim, no bloco de Física é possível 5!=120 formações, no bloco de Portugues é 
possível 3!=6 formações e no bloco de História, 4!=24 formações. 
 
Assim, são possíveis: 
 
 
 
 
8. (1,0 ponto) Cinco rapazes e cinco moças devem sentar-se em cinco bancos de dois 
lugares. De quantas maneiras isso pode acontecer se em cada banco deve sentar um 
rapaz e uma moça? 
 
Solução: 
 
M1 R1 M2 R2 M3 R3 M4 R4 M5 R5 
 
Considerando inicialmente as moças. A moça M1 tem todas os 10 lugares para 
escolher. Uma vez escolhido, a moça M2 só tem 8 lugares, uma vez que o um dos 
rapazes deverá ocupar o lugar ao lado da moça M1. E assim, sucessivamente. De modo 
que para as moças, são possibilidades. 
 
Para cada uma destas possobiliddades de moças sentarem, existem as possibiliddes de 
os rapazes se sentarem: 
 
Dado que as 5 moças já estão sentadas, só restam 5 lugares para os 5 rapazes. O rapaz 
R1 tem 5 lugares a escolher, o rapaz R2 tem 4 lugares e assim até que o último rapaz se 
sente. De modo que para os rapazes são possibilidades. 
Logo: