AP1 Met EstI Gabarito

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir: 
Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody 
Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser 
questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente 
responderam o seguinte: 
 
CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER 
Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI 
Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI 
Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER 
Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 
 
1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão? 
 
Solução: 
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA. 
 
2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); 
 
Solução: 
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências 
absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter 
as freqüências relativas. Assim, teremos: 
 
Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
CSI 17 34 
ER 12 24 
Friends 14 28 
Raymond 7 14 
Total 50 100 
 
3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados. 
 
Solução: 
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. 
Assim, o gráfico será: 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. 
Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6. 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
10 15 4 
15 20 8 
20 25 5 
25 30 2 
30 35 1 
Total 20 
 
4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre 
estes pontos médios e as freqüências absolutas. 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Ponto médio 
(xi) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
 
nixi 
10 15 12,5 4 50,0 
15 20 17,5 8 140,0 
20 25 22,5 5 112,5 
25 30 27,5 2 55,0 
30 35 32,5 1 32,5 
Total 20 390,0 
 
A média é: 
�̅� =
∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝒏
=
𝟑𝟗𝟎
𝟐𝟎
= 𝟏𝟗, 𝟓. 
 
 5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; 
 
 Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 
 
𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓. 
 
Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 
 
 
 6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os 
50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo. 
Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida: 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
Absolutas (ni) 
Freq. 
Relativas % 
Freq. Acum 
Relativa % 
10 15 4 20 20 
15 20 8 40 60 
20 25 5 25 85 
25 30 2 10 95 
30 35 1 5 100 
Total 20 100 
 
 
 
𝑄2 − 15
30
=
20 − 15
40
 ⟹ 
𝑄2 − 15
30
=
5
40
 ⟹ 40(𝑄2 − 15) = 5 × 30 
40𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2 − 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750 
 
𝑄2 =
750
40
= 𝟏𝟖, 𝟕𝟓. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir: 
 Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces 
numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. 
 
 Figura 1: Tetraedro 
 
 7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 
8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior 
que 5}. Determine A, B e 𝐴 ∩ 𝐵. 
 
Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
Logo: 
𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 Logo: 
 
𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Assuma que 
�̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
 𝑒 𝜎2 =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2
𝑛
 
 
Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja 
moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13. 
9) (0,5 pt) A média; 
10) (0,5 pt) A variância; 
11) (0,5 pt) O desvio padrão; 
12) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
Solução: 
(9) 
�̅� =
1.802
53
= 34. 
 
(10) 
 𝜎2 =
104.028 − (53 × 342)
53
=
104.028 − (53 × 1.156)
53
=
104.028 − 61.268
53
 
=
42.760
53
= 806,79. 
 
(11) 
𝜎 = √806,79 = 28,4. 
 
(12) 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
=
28,4
34
= 0,84. 
 
(13) 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
34 − 46
28,4
= −
12
28,4
= −0,42. 
 
 
Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões 
de 14 a 16. 
 
0 50 60 70 
1 00 10 10 90 
2 10 10 20 20 20 20 
3 00 00 60 
4 00 00 
 
 14) (0,75 pt) O preço médio das ações; 
 15) (0,75 pt) O preço mediano das ações; 
 16) (0,5 pt) O preço modal das ações; 
 
Solução: 
 
14) 
 
�̅� =
(0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4))
18
= 2,08. 
 
 
15) Como há 18 observações, n é par. Assim: 
 
𝑄2 =
𝑥9 + 𝑥10
2
=
2,1 + 2,2
2
= 2,15. 
 
 
 
16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20.