Fisica 11 Classe. Scan1

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fv-ga 6
Mecdnica.... :...................... ................. 8
cinem6tica . .... . . .. ::::.:.::.:.::.:.::.: :: :.:.::::::::.:::. . . .. 8
Definiqoes e conceitos. 8
Movimento Rectilineo Uniforme (MRU).......... 13
Movimento Rectilineo UniformementeVariado(MRUV) 15
Movimento uniformemente variado 18
Queda livre dos corpos...................:............ 18
Lancamento de proj6cteis.................... '19
Movimento circular uniforme .. 27
ExercJcios propostos 29
Est6tica 31
ComposigSo e decomposigSo de forqas........... 31
Forqas da Natureza 33
CondigSo de equilibrio de trans|a96o............... 35
CondiqSo de equilibrio de rotaqSo 36
Regra dos slnais do momento (convenqSo de sinais)... 38
Regra dos sinals das forqas........... 39
Exercicios propostos 40
Din6mica.... 41
1.i Lei de Newton ou Principio de ln6rcia... 41' \.-
2.a Leidb Newtoruq; tl
Principio de Fundamentalda Dindmica.... .. 41
3.a Lei de Newton or Princlpio de AcASo e Reacgdo...... 42
ForEas no movlmento circular 43
Exercicios propostos 46
Trabalho e Energla.,.,.
Aplicagoes da equaq6o doTrabalho
Energia Mec6nlca
Lei da ConservaqSo da Energia Mecdnica
lmpulso e Quantidade de Movimento .............
Leida Conservagdo do Momento Linear..
Choques ou Colisoes ...................
Exercfcios propostos ..
50
50
52
52
53
54
54
56
Carga e Lei ou Principio da ConservaqSo da Carga...........
Lei de Coulomb
Campo El6ctrico
Protecgao electrost6tica (Gaiola de Faraday)
Exercicios propostos
Energia potencial gravitacional e el6ctrica
Potencial electrostdtico....................
Campo el6ctrico uniforme.....
Trabalho electrost5tico ......:............
Li nhas equipotenciais ................
Exercicios propostos
60
60
64
67
68
72
73
73
74
74
75
Corrente el6ctrica contfnua 80
Intensidade e densidade da corrente el6ctrica B0
Resistividade e Resist6ncia de um condutor..................... 82
Lei de Ohm. FunEoes caracteristicas de condutores......... 83
AssociaqSo de resistdncias ................ 84
AssociaqSo em s6rie....., 84
AssociaqSo em paralelo 86
Circuito el6ctrico BB
Energia e Pot6ncia da corrente el6ctrica. Lei de Joule... 88
Forqa electromotriz (f.e.m.) ................................ 90
Forga contraelectromotriz (f.c.e.m.) 90
Leis de Kirchhoff..... 91
1.a Lei de Kirchhoff (Lei dos Nodos) 91
2." Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas)....... 91
Principio de sobreposiqSo das correntes el6ctricas......... 93
Equaqoes dos circuitos el6ctricos 94
Resumo - Corrente el6ctrica cont[nua..... 95
Exercicios propostos ........j............ 98
Electromagnetismo....... 103
Magnetismo 103
ExperiAncia de Oersted 104
Forga sobre uma corrente no seio de um campo
magn6tico - ForEa de Ampdre 106
Forga sobre uma particiula carregada, em movimento,
no seio de um campo magn6tico uniforme -
Forga de Lorentz 108
CSlculo de campos magn6ticos 109
Lei de Biot-Savart 109
f nteracgSo entre correntes ................ 112
113
Teoria do magnetismo e campo magn6tico
terrestre
Declinagao e inclinagSo magn6tica 114
imanes permanentes e electroimanes.............. 1 15
Aplicagoes dos imanes e electrolmanes................ 1 15
Fluxo ma9n6tico............ 1"16
Trabalho electromagn6tico.......... 116
lnduqSo electromagn6tica jrc
Leide 1en2.............. 1117
Lei de Faraday 1 1g
Auto-indugSo...............,. 1tg
Indugdo m0tua 1 1g
Resumo - Electromagnetismo.... 1lg
Exercicios propostos. 120
Anexos 127
Solug6es 130
/1n t
Bi bI ios rafia ..U-Wtu....... A I$.eL.,.,-4.**.p.-.'. 1 3 6
bu nttA
O aluno deve ser capaz de:
. Aplicar as leis do MRU na resoluESo de exercfcios concretos.
.Interpretar os grdficos da velocidade e da posiq6o em fungSo do tempo.
. Aplicar as leis do MRUV na resolugSo de exercicios concretos.
. Interpretar os gr5ficos da aceleraqSo, da velocidade e da posiqao em fungio do tempo.
. Resolver exercicios concretos relacionados com a queda livre e o lanEamento vertical dos corpos.
. Deduzir as express6es do movimento circular em analogia ao movimento rectil[neo.
. Aplicar a condiq6o de equilibrio de rota(eo na resoluqSo de exercicios concretos.
. Aplicar as leis de Newton na resolugSo de exercicios concretos.
. Aplicar a forqa contrfpeta na resoluESo de exercicios concretos.
. Equaqio e gr5ficos do Movimento Rectilineo Uniforme
(MRU).
. EquaEoes e gr6ficos do Movimento Rectilineo Uniforme-
mente Variado (MRUV).
. Queda livre dos graves e lanqamento vertical.
. Estudo comparativo do movimento circular.
. CondiESo de equilibrio de rotaqSo e translaqao.
. Leis de Newton.
. Forgas no movimento circular.
$
Mecdnics
Desde os tempos mais antigos, o Homem tem-se preocupado em explicar os fen6menos que a
Natureza coloca diante dele. O movimento dos corpos foi alvo das primeiras atengoes. Como tal,
podemos considerar a MecAnica como a mais antiga das partes da Fisica.
-A 
MecAnica e o ramo da Fisica que estuda os fenomenos relacionados com o movimento dos
corpos. As suas leis relacionam as condig6es impostas pclas massas dos corpos e pelos agentes
causadores do movimento.
Por conveni€ncia diddctica, a MecAnica e dividida cnr tres p:rrtcs:
o Cinernitica, que estuda o movimento dos corpos scln sc l)r'c(x'ul)irr c()rn as suas causas.
o Estdtica, que estuda as forqas e suas concli('tlcs rlc cc;rrilibr"io nos cr()rpos solidos e fluidos
(liquidos e gases).
o DinArnica, que estudaarelaEao enlrc n lirrq'a c o r-novimento dos corpos.
Cinerndtico
Vamos iniciar o estudo da cinenr;itica, comeqando por definir algumas grandezas fisicas
rmportantes que nos permitirAo analisar o movimento dos corpos.
Definig6es e conceitos
Ponlo moteriql
: O ponto material 6 um modelo idealizado, cuja finalidade € de representar qualquer corpo,
; independentemente das suas dimens6es.
Assim, por exemplo, o movimento da Terra em torno do Sol, o movirnento da queda de uma
pedra, etc., podem ser descritos como movimentos de um ponto material (PM). Por isso, aloca-
lizagdo destes corpos no espaQo pode ser feita atrav6s de um so ponto.
Nota:
. O PM tem dimens6es despreziveis em relagAo ?rs distAncilrs (lr.r(' l)crcorre, mas possui massa.
o O termo PM costuma ser substituido por m6vel ou particula.
Repouso e movtmento - referenciql
Observando atentamente a figura 1.1, verificamos que clrrilnclo o c'rrrnr sc alasta da arvore X, a
distdncia entre o carro e a arvore aumenta.
Sempre que nos aproximamos ou nos afastamos de cluirlrlucr c()rl)() que nos rodeia, conside-
ramos que estamos em movimento. Caso contrario, estam()s cnr rclloLlso. Portanto, nos so pode-
mos estar em movimento ou em repouso em relagao a oLrtr()s c()rpos que nos rodeiam. Por isso 6
que se diz que o movirnenta € relativo.
Ao corpo em relagdo ao qual estamos em movimento ou em repouso, dd-se o nome de corpo
de referEncia" Assim,
, Um corpo estd em movimento quando a sua distdncia em relaqdo ao corpo de refer€nciavaria
, (aumenta orl diminui).
fi/,
lue a
) tal,
dos
:nteS
idos
ICAS
)o,
tma
)ca-
[Jtn corpo este em repouso quando a sua dismncia em relaeao ao
('()rpo de referdncia se mant€m, isto 6, nao varia.
Nrlrmalmente dizemos que um carro estd em movimento quando
r'lt' sc aproxima ou se afasta de nos.
Mas tambem dizemos que nos proprios estamos em movimento
.;rrrrndo nos aproximamos ou nos afastamos dos corpos que nos
roclciam. Porem, se os corpos que nos rodeiam ndo se afastam de
nos, consideramos que esses corpos estao parados, ou seja, em
l1'l)ouso.
Trciect6ria
A figura 1.2 mostra um carro movendo-se numa estrada de
ltrela.
As marcas deixadas pelo carro durante o seu movimento e que
representam o caminho percorrido pelo carro em relaqdo ds arvo-
res e denomi,nada trajectoria.
Fig-l-l Rcp*uso e nr*r'irglen{r;
Fig.l -3 I '|,r, ' ' i,t r, rr"t tr-lr-: !.:: t i;!11
['rll/r)
A trajectoria 6 a linha imaginiiria descrita por um corpo durante o seu movimento.
De acordo com a trajectoria, os movimentos recebem os seguintes nomes:
. Moyimento rectilineo, quando a sua trdject1ria € uma linha recta.
. Movimento curvilineo, quando a sua trajectoria € umalinha curya.
EspogoO espaqo 5, percorrido por um PM, num dado intervalo de
tempo, 6 definido pelo comprimento do arco AB - ou seja, a
distdncia pecorrida pelo PM de <A> atd <B>, (figura 1.3).
Por isso,
K,2
de-
de-
;oe
ryo
ia ','
O espaqo nSo, 6 a distAncia percorrida por um PM num dado percurso,
Nota:
' O espaqo percorrido por um corpo € sempre positivo. Podcrci, t'vtnluulmente, ser nulo se o corpo
nao se movimentar.
Posig6o
Para se definir a posigao x ou y de um PM, nunr clitlo irrstante, conhecida a traject6ria descrita
por este, e necessdrio escolher, arbitrariamenlc. urrrir 1'rosigao fixa de referencia - origem O -,
unlll recta graduada, que constitui o referencial, c o scntido positivo da trajectoria, atraves de
lunir scta na extremidade da rec[a, (figura 1.4).
I'or isso, 4
t\ lrosiqdo 6 o lugar onde o corpo se encontra sobre um dado referencial, em relaEio A origem. :
Fig- l -2'[rair:ctrir*a
Como v6, a partir da figura 1.4, o ponto A corresponde a
coordenada de uma posiqao X1 errl relaqao d origem O e o ponto
B corresponde a uma coordenada da posiqdo x2.
Se considerarmos, por exemplo, o movimento do PM,
apenas de A para B, x1 e designado por posiqdo inicial ? x2 a
a posigdo final do PM.
Notas:
. A posigao de um corpo pode ser positiva, negativa ou nula.
'x
"t
. A posipao € uma grandezayectorial, pois depende da dircr((f(), s('nli(lo c m6dulo (intensidade).
Como tal, representa-se por i O vector posigao € o yector {,u(' r,l(' tt ttt'i{t'm do referencial com a
re.specti'aposiqao'Assim?r_i\itrzi_orz:trz2z'fr71
t
t
I
I
Xz - xt L,x
lz- tl ou vn: A,
A velocidade m6dia, 6 o quociente entre o deslocamento sofrido por um corpo e o tempo
gasto nesse deslocamento.
i^: E:it i, . Parao cdlculo da intensidade dc i,,,: V,,, :At At
O yector velocidade i^tem as seguintes caracteristicas:
. Aplicado na particula.
. Direcqao e sentido LV _ Ax. M6dulo dado pela expressl o u^: fr.
Fig. 1.4 Posir::io cle urn corpo
Deslocomento
Um corpo em movimento sofre uma variagao de posic'lio crrr lt'lrr('uo a um determinado refe-
rencial. Assim, o deslocamento Ax sofrido por um corpo, t' tlrrtlo pcla clilerenQa entre a sua posi-
qao finalx2 e Su? posigao inicialxl (figura 1.4). Por isso, a srrr irrtt'rrsitlacle e dada pela expressdo:
onde:
Lx: x2 - xy
Ax e o deslocamento escalar que, conforme o seu sinal irlgr'lrrit o, rrrlorrrra-uos sobre o sentido
do movimento do corDo.
Notas:
'O deslocamentopodeserpositilo sex2) x1 (motimenlo prirqrr'sstr'{}, {}lr sr'jrr, rro,n('.sm() sentido que
o do reJerencial escolhido), negativo Se x2{ x1 (movimt'rrlo rr'rirr'ssi\/(), ()r .\('f(1, (',lr st'ntido contrario
ao doreferencialescolhido) ounulo sex2: xr (o corpo vrri r'r,oll,r (r l)()si( uo iniciulounao semoyi-
menta).
'O deslocamento etambemumagrandezavectorial, Ai c r /.linilt pclctexpressao Li: ir-Vr.
Para o seu calculo, aplicam-se as regras do calculo v(t lttt ittl, t onht'r-idas da matematica.
Vefocidqde m6dia, v- e rdpidez m6dio, cn,
Com base no espaQo, na posiqdo e no deslocanrcnto, potlt'rrros definir outras grandezas ffsicas
que sio a velocidade media e a velocidade escalar rrr('clia. I'ol isso,
;idade).
Icoma
lo refe-
ra posl-
)ressao:
;entido
ttdo que
mtrdrio
,e moyi-
--rl.
fisicas
empo
llrrrrr\r) hsrtlividiromoyimentodocotpoemvariospercursosnamesmadirecqao,(Lxt,Lxz,...Ar,, ),rr
t r'lrtr rrltult nt(clia pode ser calculada pela expressao:
Axr*Lxzt...*Axn
Atr+At2+...+Afn
A vclocidade escalar media num certo intervalo de tempo 6 o quociente entre o deslocamento
cscalar e o intervalo de tempo. Ax1' :-'em At
A rapidez media e o quociente entre o espaEo total <Sr> percorrido pelo corpo e o tempo gasto
1l percorreT esse mesmo espaQo, 
s.
'^: Lf
NOtA:
A raptdez media e uma grandeTo escalar que nao nos informa sobre a direcEao e o sentido do
novimento, ou seja, nao caracteriTa completamente o movimento.
l. A figura mostra um PM que se move de A para B, podendo usar o
caminho (l), trajectoria curvilinea ou o caminho (2), trajectoria
rectilinea. O comprimento do arco AB e de 31,4 m.
a) Calcule o espaEo percorrido e o deslocamento sofrido pelo PM, quando ele vai de A para
B, usando o caminho (l).
b) Calcule o espaqo percorrido e o deslocamento sofrido pelo PM, quanclo clc vai clc A para B e
retoma ao ponto A, usando sempre o caminho (2).
c) Calcule a velocidade media e a rapidez media do PM, quanclo clc vui clc A para B usando
o caminho (1) e retorna ao ponto A usando o caminho (2), sirlrt'rrclo clue ele gastou 20
segundos durante todo o trajecto.
Resoluqdo
a) Espago percorrido : Comprimento do u..o G : 31,4 r r
Deslocamento Ax : xs xa: 30 - l0 : 20 nr
b) Espago percorrido : A-B + BA : 20 -t 20 : 4() rrr
Deslocamento Ax - X6- X4: 0 m
c) v,, _ AB I e,A :31_,4 ilo_ _t] ,* ).r.7 m/sAt 20 20
st 4
(,,, : 
20 
-- 25.7 rrr/s
ao grafico
I
I
I
I
Velocidode inslqnf6neq - n
, A velocidade instantdnea,6 a velocidade que um corpo possui num determinado instante.
A velocidade instantdnea e igual ao declive ou coeficiente
da posiqdo em funqdo do tempo x(t) (figura 1.5).
. A velocidade no instante <to>> ri:
v:tgor= v: *.t-l'tz- tt
Quanto maior for o declive da recta tangcnlt' (orr
seja, quanto maior for o coeficiente angular), rnru()r.
€ a velocidade nesse instante.
Notas:
O dngulo <a> deve ser escolhido, como o menor angulo
com o etxo t.
A velocidade instantdnea e uma grunde 7u vectorial, i.
Tiata-se de um vector com as seguintes caracteristicas:
. Aplicado na particula.
. DirecQdo da traject6riapara o movimento rectilineo ou tangente a traject6ria no ponto onde
a particula se encontra no respectivo instante.
. Sentido do movimento.
. Modulo (intensidade) igual ao m6dulo da velocidade escalar, ve neste momento.
Para simplificar o estudo dos movimentos e as grandezas relacionadas com este, pode-se tra-
balhar com velocidade escalar que caracteriza o sentido do movimento.
Velocidode relqtivo
A velocidade relativa da-nos a velocidade de um corpo ern rclagdo d velocidade de um outro
corpo, especialmente quando os dois estao em movimento,.unl cnr rclaQao ao outro. Assim,
A velocidade relativa 6 a velocidade de um corpo em relageio rl ()Lllro corpo que tambem esteja
trtttzt
Fig. 1.5 Veloc:i<track: insuntinuit.
(angulo agudo) que a recta tangente forma
em movrmento.
A expressao para o seu cdlculo e:
onde:
v4s e a velocidade do corpo A em relaEao ao corpo B, v4 c V;1 Sifu) as vclociclitclcs dos corpo A e
B, respectivamente.
Para calcular a velocidade relativa escolhe-se, arbitrariatnclltc,
um referencial como mostra a figura I.6. Os corpos cu.jtl scnticlo
da velocidade coincide com o sentido do referencial escolhido,
tdm velocidade positiva. Caso contrdrio, a velocidade do corpo e
negativa. Por isso, na figura 4.6,v4 ( 0, v3 ) 0 e v1 ( 0.
L7
i:ol,tg, At
VAB : VA Vtt
Vrr v4
Fig. 1.6 Vclricicladc rclatir,a.
<-
Vc
1. compare as velocidades nos instantes tr e t2 em cada caso seguinte:
c)r d),
grrifico
forma
onde
rutro
Resolugio
Basta traear a recta tangente, em cada ponto e comparar os respectivos coeficientes.
a) vr ) vz; b) v1 ( v2; c) v' : v2; d) vr ) vz com v2: 0;
e) v1 : - v2; f) vr: vz: 0; g) vr : vz: 0; h) vj : -- ur.
Movimenlo Recfilineo Uniforme (MRU)
Movimento rectilineo uniforme e um movimento cr,rjir trirjcct(rria descrita pelo corpo € uma
linha recta e a sua velocidade e constante em modukr, rrir.t't.c'ir. c sentido.
Deste modo, um corpo animado de MRU percon'(' ('\l)ir( ()s igtrais crn intervalos de tempo
tILtals.
Gr6ficos e equog6es do MRU
Gr6fico dq velocidqde em fung6o do tempo - v(t)
Ae
como num MRU a velocidade e constante, podenr.s zrlirmar
( lr.lc:
o grafico da velocidade em funEao do tempo € uma rinha recta
horizontal (figura 1 .7 ) :
. Acima do eixo t se a yelocidade e positiva.
. Sobre o eixo t se ayelocidade e nula.
. Abaixo do etxo t se a yelocidade e negatitta.
A d,'r'd subentendida pelo grafico da velocidade em funqao do tempo
r'igrral qo deslocamento Lx daparticula (figura 1.7).
Fig.L.7 C'rAfica da veleficlaclc cru
funcacr do tem|tr r.lcunr MRL;.
----+x
Jii vimos que no MRU o corpo percorre espaeos iguais em intervalos de tempo iguais. por
isso, a expressdo para o cdlculo da velocidade no MRU € a da velocidade instantanea. Assim,
X's - Xr1:-;-'-
Jri sabemos que a Area subentendida pelo griifico da velocidade em funqdo do tempo 6 igual ao
deslocamento Ax. Por isso, Area: L,x.
- Mas como a figura 1.7, representa a 6reade um rectangulo cujo comprimento 6 o tempo e alargura€avelocidade,etendoemcontaqueAx:x-"6,pode-or"r..&"r,x_ xo:v.t.
+ x(t) : xo + v't
Esta e a equaqao que nos dd a posigao em fungio do tempo para uma particula animada de MRU.
Gr6fico do posig6o em fungdo do tempo - x(r)
Da equaqio x(t) : xs * v ' f, concluimos que no MRU, a posigao e directamente proporcional
ao tempo gasto em adquirir essa posiEdo. por isso:
O grafico dnposiqao mfureao da tempo e umarecta (fi.gura 7.g):
. Crescente, se a yelocidade for positwa.. Horizontal, se a velocidade for nula. xo. Decrescente , se d. velocidade for negativa.
o declive ou coeficiente angular do grafico e iguar a velocidad.e d.o
corpo.
Em alguma literatura usam-se os termos moviment. ;rr.gressivo e
movimento regressivo. Este facto tem apenas a ver com o scrrticlo do
n() nr('s,llo .scrrlirlrr quc o do referen-
n'lrttntiul. l'or isso, neste cd.so. d,
t)
I
I
:
i
I
l
I
I
Fig.I.8 (irdfico cln ;tosir,.:itr cn'r
ftrn('iio rlo 1 1'1 11;1q1movimento em relagdo ao referencial da posiEio x. Assirn:
. Um MRU progressivo e aquele em que o moyimento rtt ot tt,
cial x- A velocidade tem o mesmo sentido que o sentido dtt
velocidade E positiva (v > 0).
t Um MRU regressivo e aquele em que o movimento ocorrc rro scrrlirlrr t ottlt drio que o do referen-" cial x- Avelocidade tem sentid'o iontrario ao do refercnrittl.l,rr is.srr, tt vt:loci.d.ad.e e negativa
(v < 0).
Observe o griifico da figura ao lado.
a) classifique o movimento em cada trecho inclicarrrlo o sirral cla
velocidade.
b) Calcule a velocidade em cada trecho.
c) Determine as velocidades rn€dia e rapidez nr(rclra para todo o
evento.
d) Construa o grdfico v(t).
e) Escreva a equagAo x(t) para o trecho A--B.
Itt:solugao
a) AB - MRU porque S - t
BC - corpo parado, v: 0 Porque Xr: xB
b)r'^u : *: # :2,5m/s u' : * : #:om'/sgual ao
lpoea
t.
: MRU.
rcional
ra
'0
)ara
-o
-------->. _
t(s.)
fa
0
lcno cltl
eferen-
ca.so, d
'eferen-
",gativa
c
---->) t(s)
c) r\,,
d)
e)x(t):xo+v't
x(t):10+ 2,5't
Ar lOm 5 ,: 
-: 
-: 
- 
llVS
5
- 
nars
3
C,r: *
l0 rn
6s
Movimento Recrilineo
Uniformemente Vqriqdo (MRUV)
O movimento uniformemente variado - MUV 6 aquclc cll.l rltrc o ntovel sofre variaqdes
iguais de velocidade em intervalos de tempo iguars.
euando um movel em MUV descreve uma trajectoria rc('tilirrcrt, o scLl tnovimento diz-se
movimento rectilineo uniformemente variado - MRUV Assittt,
Um movimento rectilineo uniformemente variado 6 aquele cuja tra.jcct6ria 6 uma iinha recta
e que sofre variagdes iguais de velocidade em intervalos de tcmpo iguais'
Acelerqg6o
A grand.eza fisica que caracteriza a variaqdo da vclot'itlittlt' ttit r.rniclade de tempo chama-se
aceleragao. Portanto, ,.-pr" que hri uma variaqdo da vclot'itlaclc tro rnovimento de um corpo 6
porque existe uma aceleragao. Assim,
A aceleragdo 6 a variaqdo da velocidade na unidade dc tcmpo'
A aceleraqdo 6 calculada em fungao do tempo, isto ti, cln quantas unidades se da o aumento
,ru diminuiqdo da velocidade em cada segundo. Por isso, a expressao para o seu c:ilculo €,
o:fi--#
Av 6 a variaqdo da velocidade e At e a variaQio do tempo'
A unidade da aceleraqao no sI e o metro por segundo ao quadrado m.s-2.
Sendo a velocidade instantanea uma grandezavectorial, a aceleraqd,o tambem e um vector:
aAv
Ar
com as seguintes caracteristicas:
c Direcgdo do sentido do vector Ar7
. Norma dada pela expressdo:
O16fl
I )it t
lr'lllllrt
( ) rlr
.(
t l',
.,i
1 ) r,i
I
r\ 11
lrrrl
I
11l r",'.1 \
rtltt'lllllj
,l,t Ito']
.t]
(l
t,l
.1,
,'\ t'r'1, r
I't
Ittttr,tl
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M
;l , r' I
Av vf - yi
u1 Ar rI-1,
I
t
I
fi
tlt
lt
i
I
f
t
Grfillco do ocelerog6o em fungdo do fempo - o(t,
No Movimenro l{cctilfrrco lJniformemente variado a acereragao 6.
constante. Por isso,
o grafico da acclcruq.rto cn't lunr,cn tlo tcmpo e uma linha recta hori-
zontal (figura 1.9):
c Acima do etxo t, se a vrtr ittt,ttrt du vclot itlttdr, ( posiliva.
, Sobre o eixo t, se avaria1ao dt vclotidudt' t nultt.
t Abaixo do etxo t, se a variaq'tto du vt,lot ilufu c rrr'grll ivrr.
A area subentendidapelo grd.J'it'o du ut'ltt'tt,,(fo (,r,r ltnr,ito do tcmpo
e igual atariagao davelocidade Lv tlu purln ufu.
Jii vimos que no MRUV o corpo sofre variitr,ot's tlt' vt'lot'itl;rrlt's rgrrlris t,nr inl-crvalos de tempo
iguais. Por isso a expressdo para o ciilculo da accle rirr,'ito n() Ml{tlV c rlarla atravds da e"presseo,
Av rr - \tro: N=6
Jri sabemos que a Area subentendida pelo gr a acclcraq:io cm funqdo do tempo 6 igual d
variagio da velocidade Av.
Mas como a figura representa a Area de um rectangulo, cu.jo conrprimento e o tempo e alargura e a
aceleraqdo, e tendo em conta que Av : v - v6, podemos escrever,
V-Vn:A't v(t) : ttsla.t
Esta e a equaqdo que nos dii a velocidade em funqao do tempo para uma particula animada dre
MRUV
_f\
MS
Fig. l.9 ( rr;tlito rl;r lr,clcr;i*iri em
Irril(;ir' (lrr l(.ril1)o rltrnt &{Rt.i\.
lr
I
Ml{l
Orr
I
0
Itlttl
JT:
I
{t em
\4
lpo
;ao,
Grfllico ds yelocidode em fung6o do tempo, v(t)
Da equagdo v(t) : vs r a't, v€-se que no MRU! a velocidade d directamente proporcional ao
tempo gasto em alcanqar essa velocidade. por isso:
o grafico da velocidade em funEao do tempo t uma recta (figura 1.10):
. Crescente, se a aceleraEao for positiva.. Horizontal, se a aceleraEao for nula. vn
. Decrescente, se d aceleraEao for negativa.
O declive ou coeficiurte angular do grdfico e igual a aceleraEdo.
A drea subentendidapelo grdfico e igual ao deslocamento Lx.
Em alguma literatura tambdm se usam os termos movimento pro-
gressivo e movimento regressivo no MRUV Neste caso, tambem tem
apenas a ver com o sentido do movimento em relacao ao referencial
da posiqao x. Assim,
' Um MRUV Progressivo t aquele em que o movimento ocorre no mesmo sentid.o que o do referen-
cial x. A velocidade tem o mesmo sentido que o sentido do referencial. Por isso, neste c&so, a
velocidade €positiva (v > 0).
'UmMRUV Regressivo 6 aquele em que o movimento ocorre no sentido contrario ao d.o referencial x.
Avelocidade tem sentido contrario ao do referencial. Por isso, avelocidade enegativa (v < 0)
Jri sabemos que a iirea subentendida pelo grrifico da velocidade em
funqAo do tempo 6 ao deslocamento, Ax.
Mas como a figura representa um trap6zio, ou melhor um rectan-
gulo de 6rea A1e um tridngulo de area A2, o cdlculo da areaserd: ,{1 * v0
A2: A,x.
Mas o comprimento de 41 6. t e a largura e v6. A base do tridngulo
A2 6. te a sua altura € v - vs. Entdo,
t(v - vn)V6'l 1 
,- 
:X-X0
Da equagao, V - Vo : a.t. Entao, v6.t * L? : * x1y
<+ x(t):Xo*vnt +!at22
Esta e a equaqao que nos dd a posiqao em funqao do tempo para uma particula animada clc,
IVII{LJV
Gr6fico do posig6o em fungio do temp o, x(t)
l)rr cquaqdo x(t) : x6 * vst + ! at2 v€-se que a posiqdo em funqao do tempo e directimentc
Iroporcional ao quadrado do r.rnpl gasto em alcanqri-la. por isso:
Fig.1.l0 Grflfico da velocidade
em lungio clo ternpo dunt
MRUV
0
--+. .
t(s )
rld
ea
;0
=0
Fig. 1.1 1 Gr6[ica v (t) 
"
de
O grafico daposiEao emfunEao do tempo de umMRUV e oramo deumaparabola (figura1.12):
. Crescente, se avelocidade e positiva, (a) e (b)
. Decrescente, se avelocidade € negativa, (c) e (d).
" Com a concayidade yoltada para cima, se a aceleraqao for positiva, (a) e (c).
. Com a concayidade voltada parabaixo, se a aceleragdo e negativa (b) e (d).
cl {t )
Fig.l.l2 Gralico rla posicao rm iuuc,';,lir dtr !t'mpo
Movimento uniformemente voriqdo
I
I
I
O movimento uniformemente variado, pode ser acelerado ou retardado.
Um movimento 6 uniformemente acelerado, quando a velocidade e
mesmosinal. Caso contrdrio, o movimento e uniformemente retardado.
Nos grdfict)s aprcs('nlirtlos rra figura 4.13, estAo identificados os trechos
6 uniformementc acc lt' r'lrtlo t' rr tr i li r rnrc lnc n tc rctardado.
Assim,
a aceleraqao t€m o
em que o movlmento
,, (irrrlico r,(tJ
Fig.l.I3 [irillc'tts clt) ttt,r un( nt() unrl"rnr rrrr rrtr r.rr r.r,l,,
Quedo livre dos corpos
Do nosso dia-a-dia, por exemplo, sabemos que umel pctlrir t'rri nriris rlt'pressa do que um pedago
de papel. Este fenomeno e outros semelhantes, levaranr a (lu(' ()\ l)()vos irntigos chegassem a con-
clusdo de que o movimento de queda dos corpos depenclia clir srrir nlrlssir, isto e, quanto maior e
mais pesado fosse um corpo, mais depressa cairia em direcgao ao solo.
Nos finais do seculo XVI (inicio do s6culo XVII) Galileu Galilci, cstudando experimental-
mente o movimento de queda dos corpos, chegou d conclusao dc quc, largados de uma mesma
altura, corpos de diJerentes mdssas caiam com amesmryelocidade quando se encontrayamno yd.cuo
(na aus€ncia do ar), atingindo o chao no mesmo instante, contrariamente ao que estava entao
\2,r,,
tl\ l,{) -'.
Cir:ifico a(t)
1.12):
mo
nento
tC
t
I
\lr
----tl \r(s,
)edaqo
a con-
ralor e
rental-
nesma
vdcuo
entao
t,.ti1lulado. Deste modo, no estudo da queda livre dos corpos, desprezaremos a resistdncia do ar,
r,,t0 e, Consideraremos que o movimento se realiza no vdcuo. Desprezar a resist€ncia do aI no
rrrrvimento de um.orpo em qued.a livre significa tanrbitn que ele passa a mover-se apenas sob a
,rr (-uo da forea da gravidade. Por isso,
l)iz-se que um corpo este em qued.a livre, quando clc sc move apenas sob a acgio da forqa da
gravidade.
A queda livre 6 um movimento uniformemente acclt'nttlo A slta aceleraqao tem sempre direcqao
't.rtical 
e sentido d.e cima para baixo, e o seu valor nar strPt'tltt'it' tla lcrra e de cerca de 9,8 m/s2 
(g:
tl,8 m./s2 = I0 m/s2).
Na queda livre, as equaqoes do movimento sdo sctttt"lllttttt's rts cltt movimento rectilineo uni-
Itrrmemente acelerado, substituindo apenas a por 1l (' \ l)()l y. Assitn, as equaqoes hordrias do
rrrovimento sAo:
v(t)=vs*gt
Longomento de Proi6cteis
y(t)=yo*vst + jst'
O termo projectil 6 usad.o em Fisica, para designar rult I'ttttltt Mirlcrial que durante o seu movi-
rnento 6 actuado apenas Pela Fr.
Um ponto material on p.o]e.til pode ser lanEado vcrticulnrt'rttt', httrizontalmente e obliqua-
rnente.
Iremos em seguida estudar as particularidades de catlit lot'tttrt tlc latt('amcnLo.
Longomenlo verticql
Num lanqamento vertical, o projectil e lanqado verti-
calmente de baixo para cima (movimento ascensional)
ou de cima para baixo.
A figura 1.14 (a), (b) e (c), mostra os tr€s casos mais
.o-rrri de lanqamento vertical. Em (a), o corpo € langacltr
verticalmente a partir do solo, em (b) o corpo 6 lancadrr
verticalmente para baixo a partir de uma determirla\lir v,,
altura h e, em (c), o corpo e lanqado verticalmentc l)1ll'rl
cima a partir de uma determinada altura h.
Fig.1.I4 l-ancirmcnto verticnl.
para aresoluqao de exercicios sobre o langamento vcrtical e, normalmente, necessario estabelecer
Irs equaq6es hordrias do movimento. isto 6, as eclttaqircs v(t) cy(t).
Ao se estabelecer as equaq6es do moviment() para o lanqamento vertical, deve-se escolher um
rt,lcrencial adequado, de tal forma que simplificlue as equaqdes do movimento. Por isso, e sem-
l)r.c aconselhavll escolher o referencial com o sentido inicial do movimento, 
ou seja, com o
,r('srno sentido da velocidade inicial (eixo oy). Por exemplo, quando o corpo 6lanqado v'ertical-
rrcrLe para cima, casos (a) e (c), conv€m escolher o referencial para cima. Caso contrdrio convem
,'.,t'olher o referencial parabaixo.
\, ()
+l
|.cl
lJma vez escolhido o referencial com sentido respectivo, todas as grandezas vectoriais cujo
sentido coincide com o sentido do referencial escolhido, sao positivas, e as que aponta}n em sen-
tido contriirio sdo negativas. Por isso:
. Em (a), (b) e (c), a velocidade inicial rs e positiva.
. Em (b), a aceleraEao da gravidade € positiva (g : I0 m s-2).
. Em (a) e (c) a aceleraqao da gravidade e negativa (g: -lO m s-2).
Quando o ponto de lanqamento do corpo coincide com o valor zero (O), a posieFto 
incial ys 6
nula, caso contrario, a posiEdo inicial e diferente de zero. Por isso:
. Em (a) e (b), ys : 0.
. Em (c), Jo # 0.
Quando se lanqa um corpo verticalmente-para cima, ele sobe ate atingir lfr]'a 
determinada
altura onde a sua velocidaclc se anula (i : 0) e depois ele retorna ao solo. No -ponto onde o
corpo retorna, a sua velociclacle e nula (v : 0) e a altura atingida e chamadv altura mdxima'
(figura I.f4).
Urnavez estabeleciclas as equaQ6es hordrias do movimento conv€m:
. Igualar a equaqao v(t) a zero [v(t) : 0] se o pedid,o for o tempo necessarro par6' 
o corpo atingir
a altura maxima.
. Substituir o tempo que o corpo necessita para atingir a altura maxima n4 eQuaQao y(t)' se o
pedido for a altura mdxima atingida pelo corpo.
. lgualar y(t) a zero [y(t) : 0] se o pedid"o Jor o tempo pdra o corpo atingir notamente 
o solo'
1. Larga-se uma pedra do topo de um edificio e e gc o solo apos 4 segundos' Determine:
, a) A altura do edificio.
, b) As equaq6es do movimento.
.l A velocidade da pedra ao atingir o solo.
., d) Esboce os grdficos v(t) ey(t).
, Resolugio
ttr
llr
u)h
b)v
ll r-gtt-
2
st2
V:L:'2
"\L: 
e,8.8 - 78,4m
:g.t+v:9,8.1 4,9.t2
c)v:
d)
nls cuJo
em sen-
Lcial y6 6
rminada
onde o
ndxima,
c 
^tingir
(t), se o
'solo.
z, il 
. 
J'u t"ffi;;:;i;"il''ouru cima, a partir do solo, com uma vetocidade de 
' 
,,
40 m/s. Desprezando o atrito do ar, determine:
a) As equaq6es do movimento.
b) O tempo que o corpo gastapara atingir a altura miixima.
c) A altura meixima atingida pelo corpo l:
d) A posiqao e a velocidade do corpo, 6 segundos apos o langamento. :'
e) O instante e a velocidade do corpo ao atingir novamente o solo.
l) Construa os grdficos v(t) ey(t).
Resoluqio
ro:40m/s
g: L0m/s2
./o:0m
c)J* *: 40't, - 5' t2r: 40' 4 - 5' 42: 160 - 80 : 80m
d)v(t) :40- l0t +v(6):40- I0'6- -20m/s
y(t) : 4ot - 5t2 = y(6) 
: 40' 6 - 5,' 62 : 240- 180 : 60m
e)t:8sev:-20m/s
3. Um objecto e lanqado verticalmente para cima com uma velocidade de 20 m/s de uma
altura de 200 m.
a) Ao fim de quanto tempo o corpo alcanga o solo?
b) Calcule a velocidade de impacto do objecto com o solo.
c) Construa os grdficos v(t) ey(t).
a) vy : vo+. gt
vr:40 - 10't
y(t): !o*vo't++
2
y(t):40't-5'P
ine:
c)
Resolugio
v:20m/s
yo:200m
v:20 - I0'6
y:200+20't-5t2
a) NosoloY: 0 - 200+ 20 t - 5 t2 : O
t2-4t-40:0
t=8,6s
l.:2seh:6,6s'1 "b) v:20-10.t:20-10v:- 66mls
. 8,6
m
220
200
[ongomento horizontql
No lanqamento horizontal, lanqa-se o corpo horizontal_
mente de uma determinada altura.
A figura 1.15 mostra uma experi€ncia semelhante )r
realizada por Galileu no seculo XVII. Esta interessante e
divertida experiCncia, sempre constituiu uma grande
preocupaQd,o para a humanidaclc durante vdrios seculos.
Conforme nos referimos, csta experi€ncia intrigou a
humaniflade durante muito tcmpo, pois, atraves de
experi€ncias semelhartcs r) cle Galileu era possivel
observar que, quanclo sc clcixasse cair verticalmente um
objecto A e, no mcslno instztnte, laneando horizontal_
mente um outro oltjccto I], arnbos chegavam ao solo ao
mesmo tempo (['igr-rrir l.l5).
sentido de
D ^ -langamenro doia=-i:':Y:"
, 'r V^\n/
+;" \.",
J".
J"o
Fig.1.l5 Qucda de corpos langaclos vcrr
mentc c horizontalmente
n(t (li,((catl horiZontal nd.o tem
I'rtt ltttrlrt, us velocidades i, e i"
' untu du outra.
lvc
f""
ical-
Eq,r
(
I l'1 r1
(
Irrltl
I
,lr' t
rrlrl
Galileu, realizattclo varias vezes a experi€ncia, e tendo reconfirmado que ambos os corpos
chegavam dc lhcto ao lnesmo tempo- at chao, deu, pela primeira ,r.r, ,*u explicaqio mais
exaustiva a este [cr.rtirncn', tendo concluido o segurnte:
o Os corpos A e B chegam ao chao ao mesmo tempo porque os d,ois estao em qued.a livre.
' O objecto B tem apenas a velociduda vcrlical i, porque oseu moytmento € apenas vertical.
' A caracteristica do movimento do obje cto B, e uniformemente acelerad.o.
o objecto A' que ao mesmo tempo e lanc'aclo na horizontal, al€m da velocidade vertical i, temtamb€m a velocidade horizontal r7" porque clc cstii arrirr.raclo, simultaneamente, de dois movi-
mentos perpendiculares entre si (um movimcnrr) r'lir v(.1'tit'lrl c olrtro na horizontal).
O movimento vertical e uniformemente acelcraclo (rrir vt.r.l ir.al a aceleracdo clo crtrpo e cons_tante e igual d aceleraEao de gravidade) e o movinrcnto lrorizorrrirl ('urrihrr.'rc (rrir 6orizontal avelo-cidade do corpo nao varia, pois ndo existe nenhurrrir lor.(.lr lrorizorrlirl, (.onscquentemente
tambem ndo existe uma aceleraEao na direcqAo horizontirl).
o movimento horizontal surge devido ao impulso quc s(' tlir lro ('()r.l)o A rro rnomento do lan-
eamento.
. Para o corpo A langado horizontalmente, a velociclutlt i,
influ€ncia no seu movimento segundo a d"irecqao v,.ritttl.
actudm, simultaneamente, sobre o corpo B, independ.cnlt,tttt.ttlr
' Como para o corpo A os dois movimentos sao ind.ependtnlt's ttnt dtt oLtlr{t, entdo, o movimento d.o
corpo A pode ser estudado apartir das suas proiecqoes.
Para descrever o movimento de um corpo lanqado horizontaln.rcntc, e tambem util escolherum referencial' Escolhe-se um referencial oxy cujo eixo oy tcnha o scnticlo vertical do movimento
do corpo (figura 1.16).
t,rl
B
!u.
de
ento do
\
I
I
1.,
V"D
vcrtical-
corpos
O MAIS
v] tem
movr-
i cons-
ontal a
lmente
:1o lan-
ao tem
irei"
ento do
;colher
imento
ir( ()rll() ('onl it ligtrra I.16, podemos constatar que:
,\ r,r'lr ri idruk' itritial no saiido veftical e nula porque o corpo Joi lan-
t tulo lnt iiontalmente (vs, : 0).
. As (otvtponentes da velocidnde v em qudlquer ponto da traject6na
\tllll V11v: V0 : Yx e Yy.
. ( ) vccLor velocidnde i an cadn instante e igual a resultante dns yelo-
t idades do longo do axo x e ao longo do eao y.
. A aceleraEao de gra'tidnde { e positiv a no sentido do movimento '
. As posiE1es inicicns xo e Jo sao nulas ("0 : 0 e io : 0).
Equog6es do mov:menlo
v,
v
Fig"l.l6 Nlttr itnento cic utl corptr
langatlo horizoirlaltneute
uniforme de velocidade v6" : vx, e x0 : 0 entao, as
sao:
Como segundo a horizontal, o movimento e
ct;uaq6es do movimento na direcgio do eixo x
Como segundo a vertical, o
1 voy 0) e yo : 0, as equaqdes
lx: lo
x: l/o' t
movimento e uniformemente acelerado sem velocidade inicial
do movimento ao lttngo do eixo y, sao:
y(x). Por isso, devemos usar as equag6es
I.o equaqdo e substituindo na 2.u equagao,
lv., : q' lI' i ,
lt 
: 1Et'
Como o vector velocidade i em cada instante i igual a resultante das velocidades ao
longo do eixo x e ao longo do eixo /, entdo:
,: {ut" * ui
Tambem pode calcuiar-se o dngulo que o vector cla vclttcitlirclc i, lorma com o eixo horizon-
tal. Da figura 1.16 podemos escrever:
^ V.,tgq: t
Tambdm pode determinar a equaqdo da trajectoria
,ldex : v.t ey :1 S' t2resolvendo em ordem a t a
obtemos:
y(x) : !, '*- z'v6
longomenlo oblfquo
Tal como foi feito com o lanqamento horizontal, aqui,
para descrever o movimento de um corpo lanqado obli-
quamente, e tambem ritil escolher um referencial. Esco-
lhe-se um referencial Oxy cujo eixo Oy tenha o sentido y'0,
vertical do movimento do corpo (figura f .l7).
. Tendo em conta o referencial, constata-se que a yelo-
cidade inicial, is, com que o corpo e lanqado, pode
ser decomposta numa velocidadc inicial na Fig.I.l7 I aneatnrnto i-'biiqur;
vertical,i6r, e por uma velocidade iniciul nu horizontal, i6r.
. Na horizontal, o movimento do cor pu t' uniJorme, com uma yelocidade constante ,
i : io* igual a projecEao da vclot idudr inicial, ie, nahorizontal.
. Navertical, o movimento daboltt ( urtilormcmente yariado. Primeiro € uniformemente retardado
(durante a subida) com vektt.idudc inir iul, iso, igual a projecgao vertical de i 6. Depois, o movi-
mento dabola e uniformemenlc ttt tltttrdo u partir do ponto de altura mdximq pois ele inicia a
sua descida.
. Durante a subida, a vclocidud,', 1,', rlr lutlt tliminui e no ponto da altura maxima ( nula Gy : 0)
. Asposigoesiniciais ttrl.s r/ois ci\rrs srlrr rrrr/rls (,r,y : 0 eyg: 0).
. Durante a tlcsciclu, u vt'lot iduh. r,,, rlrr r t,, po dutn(nta em modulo e atinge o solo com yelocidade
maxima.
"Omovimentotle tlcvitll clr'srlr'rr yrtttltt trtrrisrtllo lulrujct'Loriacorresponde aolangamentohori-
zontal.
. A velocidade v num datlo insltnlr t' ttltlrltt (rl,(r\/('\ ltt son'ttt vectorial das velocidades vertical
(ir) ehorizontal (i").
. Aposigao do corpo num dado insLanlt t tklr'ttttittrttltt l,('l(rs ( rtotilcnadas x c .y.
Equog6es do movimento
Como segundo a horizontal, o movillrcnl() t' rrrriltrrrrrt' tlt' vt'lot itl;ttlt' rrr
comx0 : 0, entao, as equaqoes do movimcr.rlo rrir lroli::onllrl srr,r:
V0, : V0' COS Ct
, lu" 
: v6 c()s (x
I
r1X:VPCOSCt
Como segundo a vertical, o movimento e unilirr-nl('nr('nl('vrrrirrtlo (rrrriltlnnemente retardado
durante a subida e unifonnemente acelerado durantc a rlt'st irlir), tlc vt'lorirladev| : r0' sen o com
j 0 : 0, entao, as equaq6es do movimento na vertical sao:
v9S€ncI'-gl
IVp'serrot.t- r.g.rt
Tambem se pode calcular o Angulo que o vector da velociclaclc v, lorma com o eixo horizontal.
Da figura 4.17 podemos escrever, 
,rB:_+
Vy:Voy- g't , luu:l. ={j:roy't-g 2 [l:
( ,ottto o vector velocidade i em cada instante 6 igual i resultante das velocidades ao longo do
r'lxo r c ao longo do eixoy entao:
f irrnbem se pode determinar a equaqdo da trajector ia y(x). Por isso, devemos usar as equagoes de
rtt) cy(t), resoivendo em ordem atar." equagdo e substituindo na segunda.
(
l. De uma drvore de 20 m de altura lanEa-se horizontalmcnte um corpo com a velocidade de 30 m/s.
Desprezando a resist€ncia do ar e considerando g : l0 rn . s-2, determine:
a) As equag6es do movimento do corpo.
b) O tempo de queda do corpo.
c) A que distAncia da iirvore cai o corpo.
d) A velocidade do corpo ao atingir o chao. v:
e) As coordenadas do proj€ctil no instante I s.
f) Esboce os grdficos de v", devo,x ey em funcio clo tcrrrpo.
-n\y - v,/'
rcidade
tardado
t movi-
i.nicia a
'.o hori-
vertical
Resoluqdo
a) vo : v": 30 m,/s
v, : vor* gt
vr:10.t
y:g't2-v:5.t2'2
b)t: V4=1:YT'20:2sgl0
c)x: vo't- x:30'2:6Om
d) vr: 30 m/s ry: g. t : I0. 2
(x:to.f :30.I -e)r:ls | _;4:r!jr:Ly: 2 2
v, : 30 m./s
y: 20tn
8 : 10 m/s2
-- 20 rn/s
30m
5m
v:\/v,/ | vr2 f+ , :llo'+zG:Vijob <+
v : 36 rrr,/s
-)
zontal.
I lnro r) \/('( l()r'vclociclade i em cada instante e igual d resultante das velocidades ao longo do
r lrl \ r';to lotrgrl rltl cixrly enmo:
, vr:{v}+ v}
l,ttttltt'ttt sc pode determinar a equaqao da trajectoriay(x). Por isso, devemos usar as equaq6es de
r(l) r' \r(l). r'csolvendo em ordem atar.u equaqdo e substituindo na segunda. 
(
l. l)c uma drvore de 20 m de altura lanEa-se horizontalmente um corpo com a velocidade de 30 m/s.
l)csprezando a resist€ncia do ar e considerando g : l0 m . s-2, determine:
tardado
t moyi-
i.nicia a
'-n\
y - w/'
rcidade
to hori-
vertical
COS O
Resoluqao
a) yo : vr: 30 m,/s
vr':vur*gt
vr:10.t
y:g'tz;-v:5.t2"2
b) t: V4=L:\-2A8m
c) x: vo' t= x: 3A. 2
d)y":30m/s yv:g-t : 20 mls v :fvr2 r vr2 e u :$o
3Vo:30 m/s
ti2or:Vr jbo e
a) As equaqdes do movimento do corpo.
b) O tempo de queda do corpo.
c) A que distAncia da drvore cai o corpo.
d) A velocidade do corpo ao aringir o chao.
e) As coordenadas do proj6ctil no instante I s.
[) Esboce os griificos de v", de v, x e y em fungdo do tempo.
y:20
vo : 30 m/s
y: 20m
g : l0 m/s2
:25
:60m
: LO'2
30.1 :
10.12
v: 36 m/s30m
5m
zontal.
2. Um projectil e lanqado obliquamente do solo para cima com
numa direcaao que forma um angulo de 30" com a horizontal.
determine:
a) As equaqoes do movimento.
b) O tempo que o proj6ctil leva para aringir a altura mzixima.
c) A altura miixima alcangacla pelo prdjectir em relaqdo ao solo.
d) O tempo gasto pelo pro.iictil para retornar ao solo.
e) O alcance do pro.iictil.
f) A velocidade clo corpono instante t: 4 s.
g) Esboce os grzificos de v", de v, x e y em funqdo do tempo.
Resolueio
r,,, : 300 m./s
-I,,: 0
x: 30
g: l0nls2
a velocidade de 300 m/s,
Considere g : I0 m/s2 e
t-)t'
il
I,till
a) v-' :V,,' cosx: 300. cos30 Y] : f:O. V]n1ls
Yy : luy ' gt : vo. sen x - gt:300 . 2 - l9', -150 - l0.r10.
.x :V^' t: 150 .{l- t y:yu* yo),. 1 - + =y: 150.2
b) t. : vo' sen x 300'sen 30 - , . .g - w : r)s
^\ .. v,,2.sen2x _ 3002 . (0,5)2c.) ),,u.*: - --;-- : I l2i m20
d)tr:t2:15s
A {r\'
e) xrr*: V,r. cos x . gz I5)6
10.4
7740 m +
: ll0 rn/s
t:300.
f) v. : I50 . V3 m/s vr' : I5o - I vr,Z : 282,I m/s
J m,/s,
m/s2 e
Meconico
Movimento circulqr uniforme
t ) rrrovirlcnto circular uniforme e um caso particular do movimento curvilineo. Por isso,
llrrr rnovimento circular uniforme e aquele cuja trajectoria e uma circunfer€ncia e a velocidade
l t orrstante em m6dulo.
No urovimento circular uniforme, a velocidade 6 semprc tatrgente d tra- \,*,
;r r loriA descrita pelo corpo, (figura l.l8).
,'\s equagoes do movimento circular uniforme podem scr oltticltts por {
,rrrr;rlcs analogia coln as equaqoes dos movimentos lineares, ( l'irltclrr l). I
t- 
:
l;ig. l l8 N'loviurcnto circL.r-
litr rtlil t()rnlc
Movirnento rectilineo MovimenLo cirt'ular
Posiqao artgrrlrtr - 0
Deslocament o angr.rlar' - A0
Posiqdo linear - x
Deslocamento linear - Ax
Movimento rectilineo uniforme Movimento circular uu i lirrme
Velocidade linear
Ax
v-
Equagao x(t)
x(t):ve*v[
Ecluac, att r,r( I )
9(l) : 9,,-l rrl I
Tabela I: I:-olrac6cs cLrs ntovimcntos rcctilineo irtrilorn('( ( ir( ttl;tt ttttilottttc
Nas equaq6es deduzidas surgem grandezas como o perfoclo l, a vclocidade angular a e a fre-
r 1u€ncia /.
O periodo e o tempo necessdrio para que o corpo dC uma volta cornpleta.
A sua unidade no SI 6 o sequndo.
A frequ€ncia e o numero de voltas que o corpo executa na unidade de tempo.
A urnidade da frequ€ncia no SI 6 o hertz,Hz.
A expressdo para o seu calculo pode ser,
Velociclaclc lincar c angular
2rr Ae 2n
T ,: 
""-?ro,-T=n
rn
J- t
onde n 6 o numero de voltas e f e o tempo necessdrio para dat as n voltas.
Entre o periodo e a frequ€ncia existe uma relaqao de proporcionalidade inversa, isto ti, quanto
maior e o periodo menor e a frequOncia, e vice-versa. Por isso,
T
J
A velocidade angular a 6 o dngulo ao centro descrito pelo raio de circunfer€ncia na unidade
de tempo.
A unidade da velocidade angular no SI e o radiano por segundo, raclls'
2m Zrr
Combase nas equaq6es, v : T " @ 
: 
T, poclemos 
escrever:
y:a)'r
Acelerqgfio centripetq e ocelerqgfio tongenciol
A aceleraqao tangencial surge sempre que existavanaEao do m6dulo da vclocitkrclc dum cotTo.
por isso, a aceleragao tangencial 6 sempre tangente d trajecttirirt tlcscrita pelo corpo, (figura
1.19). No caso do MCU e do MRU, a aceleracdo tangencial e nr-tla.
A aceleragao centripeta surge sempre que exista variaqao du tlin't -
cao davelocidade.
O seu sentido e sempre em direcqdo ao centro da traject(lrin.
O seu m6dulo 6 dado Pela exPressdo:
( ),,
\d.
t
I
I
I
I
lr )
r)
rl)
r')
( )lt
,r )
lr)
ll
lr ( )lr
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lr )l
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r)
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lr )
r)
rlt
,,2
dr.: L ou dr: olr
I l;ig. l. I 9,'\t't'lr-'rat'ao laitgc!lcial
c t cttt rtptL;i.
l. A distdncia da Terra ir Lua e de 3,84 x 105 km. O pcrforlo tlt' t'o(it('iltt da Lua em torno da
Terra e de 27 ,32 dias. Calcule a velocidade angular e littcrtt' tlit I ttit'
Resoluglo
T :27,32 dias X 86 400 s =2,36 ' 106s
R:3,84'108m ;
V:?
W:?
2n 'r
v -. ., 102I,83 ur/s
'2r
(,) ,, I ' 2,7 'l 0-6 rad./s
.o e, quant
na unid
(figura
torno da
Exe rcicios proposf os
I . t ) grdfico representa a posiqao do movimento de uma
particula ao longo do tempo. Calcule a velocidade m6dia 60
t' a rapidez media nos trechos'. 40
,,)ffi b) Be .)F d) 
-GH
20
+0
.1. A posigao de uma particula e dada pela equagao x(t) : -t2 f 6t em unidades do SI.
ir) Construa o grdfico x(t) no intervalo de 0 a 6 segundos.
b) Em que instante a velocidade da particula e nula?
c) Em que intervalo de tempo a velocidade da particula 6 positiva? E em que instante e nega-
tiva? Justifique.
l. ()s carros apresentados, movem-se na mesma estrada, com as velocidades indicadas.
Calcule a velocidade relativa:
a) De A em relaqao a B.
b) De C em relaqAo a B.
c) De D em relaEdo a A.
d) De A em relagao a C. E!-4*
l. t)bserve o grrifico da figura ao lado.
a) Classifique o movimento em cada trecho indicando o
sinal da velocidade.
b) Calcule a velocidade em cada trecho.
c) Determine as velocidades media e velocidadc cscalar
media para todo o evento.
d) Construa o grrifico v(t).
c) Escreva a equaqao x(t) para o trecho AB.
'r. ()bserve o griifico da velocidade em fungdo do tempo de urn l)M.
a) Classifique o movimento em cada trecho, indicando o sirral
da velocidade.
lr) Construa os grdficos a(t) ex(t).
c) Calcule a velocidade media e a velocidade escalar rn(:cliar
durante todo o evento.
tr. ()bserve o griifico da posiEdo em funqdo do tempo duma particula.
r) Qual 6 a posiqdo inicial da particula?
Classifique o movimento em cada trecho.
lr) Em que irstantes o m6vel passa pela origem?
t') Calcule a velocidade nos instantes 1,4 e 8 segundos.
i l)rrasparticulas AeB, movem-sesegundo as funqdes xe(t):- l0+5t exu(t) -8- Zt,em
rrrridades de SI.
rr) Classifique o movimento das particulas A e B.
lr) Represente graficamente xa(t) e x6(t), num s6 referencial.
r')A partir dos grdficos construidos na alinea b), determine o instante em que as duas pqlticu-
lirs se cruzam.
rl) (.onstrua os grdficos ve(t) e vn(t).
il
Exercicios propostos
8. Dois individuos A e B, marcham na mesma direcQAo e no mesmo sentido com velocidades res-
pectivas de 36 km/h e 18 km/h. No inicio da contagem do tempo, B leva um avanQo de 60
metros sobre A. Sabendo que a trajectoria e rectilinea.
a) Construa o referenciai x e indique a posiqao iniciai dos dois individuos.
b) Escreva as equaqOes de x(t) para os dois individuos.
c) Determine o instante e a posigao em que A alcanga B.
d) Mostre graficamente o resultado da alinea c).
e) Responda novamente a ciuestao da alinea c), para o caso em que os dois individuos mar-
cham na mesma direccao, lllas em sentidos contr:irios.
9. Dado o grrifico da velociclarclc em funqao do tempo
dum PM: Lo
a) Classifique o mttvitttt'tlto cttl cada trecho. 8
b) Construa o grafit'o r(t). sltl-tondo que o PM parte
da posiqdo x : l() rrr.
c) Calcule a vclot'itlittlt' tttctlirt c a rapidez media no -8
intervalo dc I a (l scgtttttlos.
I0. De um avialo li-l(r, rlrrt' tlcscc rr piclue (verticalmente para baixo), €largada uma bomba
quando o aviaro sc cll('()lltlir ir l,(rt) l<tr do solo. Abomba gasta4 s a atingir o solo. Qual 6 a
velociclaclc clo ttvillo ll() lll()lll('lll() ('lll c1r-tc larga a bomba?
Il. Uma pccl ra A ('lrrrrr,'trtlil, v('t-l itlrlrrrcttlt' llrtrrt cima, a partir do solo, com uma velocidade de
60 m/s. No n-rcsrno lnstiult(', llrl nr('srnit vt'tltcrrl, ('largada uma pedra B de uma altura de 120 m.
Determine:
a) As equaq6es do nttlvitttcttto tlits tlttrts pt'tlrits.
b) O instante e a posiq:atl clc cllcolltt'o tllts tlttit:;1lt'tlrits.
12. Uma bola de futebol e rematacla c 4 st'gttrrtlos tlt'pois t'rri a 40 metros do ponto de onde foi
chutada.
a) Calcule a altura maxima atingicla pclit lrolrt.
b) Determine a velocidade inicial da bola'
c) Calcule o dngulo que avelocidade inicial lirrtttit t'ottt ,t sttltt.
d) Dc a equaqao da trajectoria.
13. Um automovel move-se a uma velocidade de 90 l<rrt/lr. As srrits torlits tCtn rtm diAmetro de 50
cm e nao escorlegam rlo SOlo.
a) Qual 6 a velocidade linear de um ponto no celltr() tlit t'ptlrtl
b) Calcule a velocidade linear e angular de um ponto tln lrcrilcriit tla roda.
c) Calcule a frequ€ncia de rotaqao da roda.
14. Calcule o perfod.o e a velocidade angular de um corpo (lr.tc cxccuta I20 r.p.m (rotagoes por
minuto).
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. . | ,,'
I
lr
-E
lades res-
rqo de 60
luos mar-
-+.7 r(s)
na bomba
r. Qual e a
rcidade de
de I20 m.
e onde foi
retro de 50
Estqticq
f ;r srrbcrnos que a estetica ocupa-se das forgas e suas condieoes de equilibrio. Vamos em
,, r,,rlrtlrr vcr como fazer a composiqdo e decomposiqdo das forqas associadas.
Composigdo e decomposls6o de forgqs
l:r snbe que a resultante de um sistema de forqas, e a unica forqa capaz de produzir o mesmo
r lr'ttr) (lue o das suas componentes. Por isso,
,'\ t'omposiqdo de forEas € o processo de substituiqAo de duas ou mais forqas por uma unica,
I irl)az de obter o mesmo efeito, ou seja, 6 o processo de determinagdo da resultante de um
\istcma de forqas.
() processo inverso ao da composiqao de forqas,
, lrrrrna-se decomposiqao de foreas.
Vejamos o exemplo do sistema de duas forqas concor-
rIrrt(rs apresentado na figura 1.20.
Veja que na figura 1.20, aplicou-se aregra do paralelo-
r,,riuno para determinar a resultante do sistema de forqas e
,rrrrcla se prolongou a forga F2 e baixou-se a altura em rela-
' ;r() a esta forga (segmento de recta CD).
Fig. 1.20 L,orlr pi-rsi c1;ic rlc I or."r':rs.
Assim, a figura ACD, e um triAngulo rectdngulo. Aplicando o Teorema de Pitiigoras, teremos,
AD) : eC4 COz
\() entanto, cos a :E . e sena :S' 1 ,BD -:- 
(veja tridngulo BCD)
lrrrnbem temos BD: F.
) cos a :ry =tre :Fl cos aF.
) sen a :eD -A :F' scn ttFl
l)afigura temos: AD : FpeAC : Fz* I-l(. er A(. I'; l I'1 ('oS (Y
Strlrstituindo na equaeao: AD2 : AC2 + CD2
( ) Fo' :(Fr+F, cos a)2 *(F1 sen a)2
': > Foz:P7+2FrFzcosa f Flcor2o +Fr', en2 a
: > l;fr: n)+ zrtnrcos d + nl@o*a * sen2a)
tt,!:P|12F1F2cos u+F]
'r'o:@
)taQoes por
Esta ultima equaEdo permite entao calcular o modulo da resultante de duas forqas, e d cha-
mada de regra dos co-senos.
Esta nAo e a unica forma de obter a resultante do sistema de forqas apresentado na figura
1.20. Tambem podemos determinar a resultante, decompondo estas forqas num referencial car-
tesiano, como mostra a figura I.2I.
Repare que a origem do nosso rcfcrencial, coincide com a origem das duas forgas e que o
eixo x coincide com a direcgao e o scntido da forqa F2.
Nestas condiqdes, podenros clccourpor a forqa F1 em duas componentes F1" (componente
horizontal) e Fr, (componcntc vcrtrt'rrl).
Assim, podemos calcular ar rcsultrrrrtc clas forqas na direcgao do eixox (Fa-) e a resultante das
forqas na direcgao do eixo y (ltpu). l,ogo,
Repare que:
. A componente F6e o cateto adjacente ao angulo e, por isso e que Fl" : Frcos cr.
. AcomponenteFrye o cateto oposto ao dngulo d, por isso e que FU Ffenc-.
Finalmente podemos determinar a resultante do sistcnra de forgas. Como Fp" e Fp, sdo forqas
perpendiculares, porque os eixos x ey sao perpendicularcs cntre si, logo,
F*:VFil+F^] 3F^:
Clmo v6, o resultado e o mesmo que o obtido anteriormentc.
1. Observe o sistema de foreas ao lado. Determine, atrav6s da
, decomposigao das forqas, a resultante do sistema.
Resolugao
Ff" : F3 - cos 30" : 400 .y! : 12OO {j
Fb F3' sen 30o : 400' + : 200 N-
FR. : Fz - Ft.': 500 - 500 ' yi :154 N
FR.u : Fsy - F1:200 - 300 : i00 N
l-* : VFil Fi, : 18i,6 N
f 
F*: F2+ I * [l',,, - F2 *F1cos a
I Fo, 
: F,, =1,',., __ F; sen a
lt
Fl
'l
llt I
lll
',,'l
Fr
illrl
lrrl
iltl
| | rl
''-lF:- 400 N
\
30 r 2-.ruu r\
Fig. | .2 | l)cr rriripcsic:a<i cle firrcal
Fr: 300 N
orQas, e e c
rtado na figu
referencial ca
forgas e que
1" (component
a resultante
lorgos ns Nqturezs
l,r,,lrlrt'c1ue forqa 6 toda a causa capaz de alterar o estado de repouso ou de movimento de um
I rrtl)(). ()rr ainda causar-lhe deformaqio.
Irr.nros, em'seguida, definir e representar diversas forqas da Natureza que sao essenciais para
il ilr'.,\() cstudo mais adiante.
Forgo de grovidqde
l)rr preitica sabe que quando largamos qualquer corpo sobre a superficie da Terra, o corpo diri-
l,r ,,(' cm direcqio d Terra devido d atracqio gravitacional. Este movimento, como vimos ante-
uoullcnte, tem a sua origem na atracqdo entre o corpo e o planeta devido is suas massas. Por
l ',"( ).
A lbrqa de gravidad", F* . a forga de atracgdo entrel dois corpos devido i sua massa.
. llsta forqa e sempre vertical e de cima
lrara baixo, (figura I.22 (a) e (b)).
. Tem o seu ponto de aplicaqao no cen-
tro geom€trico dos corpos.
'O seu modulo pode ser determinado
pela expressao:
F*: m' g t:ig, 1,221 rrt't'ir rlt' gr;rr'trl;rrlr -"'-'"
Forgo de ocgdo
Quando nos sentamos, por exemplo, sobre uma cadeira, exercemos Lllna forca sobre a cadeira,
t'por isso que, se a cadeira for frrigil, ela pode-se partir. E o clue ac()nl,ccc muitas vezes quando
nos sentamos sobre uma cadeira de plastico, quando as suas Pct'ttils sc vergam. Isto deve-se ir
lorEa que exercemos sobre a cadeira quando nos sentamos. Esta Iorqa, e a acqao do nosso corpo
sobre a cadeira.
Forgo ou reqcgfio normql
Da 3.u Lei de Newton sabe que para cada aceao hai scmpre uma reacqao igual e directamente
oposta. Como sabe, quando um corpo estd apoiado sobrc uma superficie, ele exerce sobre esta, uma
Iorga que e chamada acgao do corpo.
Por isso, de acordo com a 3.^ Lei de Newton, a superficie de apoio deve exercer sobre o corpo,
rrnra forqa com o mesmo valor mas de sentido confterio. Esta forqa e chamada feirQa normal ou
rt'accfitt normal,
llcsumindo:
liurqa normal, fr, e a forqa de reacqao que uma determinada superficie exerce sobre o corpo que
rr,'lrr se encontra apoiado.
5r: 300 N
' Esta forqa e sempre perpendicular )r superficie de apoio, e tem sempre sentido contriirio ir
acqdo.do peso do corpo (figura L.23 (a) e (b)).
. Tem o seu ponto de aplicaedo na superficie de apoio do corpo.
Em (a), o modulo da forqa normal e igual ao modulo da forga de gravidade ou ao modulo do
peso (N : m' g ou N : P), mas em (b) o modulo da normal e igual ao modulo da componente
da forqa de gravidade sobre o eixo y (Fsy).
De referir que um corpo suspenso nao possui normal, porque ndo estd apoiado sobre nenhuma
superficie.
(b)
1\ r. fr:Fs,
Fig.1.23 [-or r-:a rtr.rrutel
1,,l
iltt ili
,1, lr
,1,t,;
l)
LO
l)
lrrrlll
I rrll"
l)
I rrlll
llr | |
rrllll
|.rillr
r\r
|ill
Forgo de tens6o
Quando suspendemos um corpo num fio, este estica-se. Isto
deve-se d forqa que o corpo exerce sobre o fio. E mais uma vcz,
o fio deve reagir com uma forqa igual d exercida pelo corpo,
mas de sentido contrdrio. A forqa exercida pelo fio e chanrarlu
forqa normal, que tem o seu ponto de aplicaqao nas extrenridir-
des do fio (figura I.24).
Forga de tensdo ou apenas tensdo, i e u forEa de reacqio clc
acqdo de uma forqa externa.
rl.)
I
f,l
I;ig. | .24 lior( rr rl(, tcnsilo
tunr lio cluando estd sujeito a
Forgo de otrito
Da priitica sabe-se que e mais fiicil escorregar nunrir srrpt'rlrt'ic lisa do que numa rugosa. Isto
deve-se a forqa de atrito. Por isso,
A forqa de atrito, F" U3 forqa que se opoc ito ntovirrrr:rrto clo corpo.
coeficiente de atrito e N e a forga de reacgdo norural.
Fut : F' N ondep6o
ii
'Esta forga e sempre paralcla d supcrlicic orrclc o corpo se move, e tem sempre sentiao con-
trdrio ao sentido do rnovimcnto clo (:orl)o, (figura I.25 (a) e (b)).
irt)
e tern ,.rp." 
senticlo
?o.
-a )^.-,'^c,Sravi44de 
o,, .,suar ao ,,;aulo"luulo
o.,r'rr ;)or-rto de aplicaqao na superficie de apoio do corpo.
(a)
Sentido
do movimento
Fig.l.25 l ()r( it (le atrir()
'rprcssao para o seu cdlculo e:
Fo: F'N
rrlorqadeatrito,N6aforqanormal,peocoeficientedeatrito,que6umagrandezaadi-
sional (nao tem unidade) e dd-nos a dificuldade que o corpo tem de se movimentar numa
rntinada superficie. Por exemplo, o coeficiente de atrito duma superficie de vidro 6 menor
lrrc o de uma superficie!e cimento.
)istingue-se ainda:
() coeficiente de atrito estdtico p., gue 6 no caso de um corpo que estd na emindncia d-e
cntrar em movimento (quase a entrar em movimento).
. () coeficiente de atrito cinetico Fc, eue e no caso de um corpo jA em movimento.
ondig6o de equilibriode trqnslq€do
l)iz-se que um corpo executa um movimento de translaQao, quando ele se desloca de um
)rrlo para outro do espaqo, aumentando ou diminuindo a sua distAncia em relaqAo a um corpo
'rrsiclerado fixo (corpo de refer€ncia).
l)c acordo com a l.u Lei de Newton, quando a resulunte das forqas que actuam sobre um
rrt;)t) 6 nula, um corpo em repouso permanece em repouso e umcorpo em movimento perma-
r('( (' cm movimento rectilineo com veiocidade constante. Como o repouso e uma forma de
'rlrrilrltrio, podemos afirmar que um corpo obsefua o equilibrio de translaqio, quando a resul-
t,rrrtc tlirs forqas que actuam sobre ele € nula. Assim,
A t'ortdigdo de equilibrio de translaqdo, diz que a resulante das forqas que actuam sobre um
('orl)() deve ser nula.
0
00u
ta=o estd apoiado 
sobre
,Fr;l.r;l ll,t Icns;irl
ndo estd sujeiro
trra rugosa. 
Ist
nlvoDde&eo
f SE - nl4rv- U)^
l)Fn : o
( ()nro vC, tarnbem se pode considerar que um corpo estii em equilibrio quando o somat6rio
,|,t , lot(its (lr.tc actllzlm sobre ele e nula. Porem, devemos dar o mesmo sinal ds forgas com o
ilrr',ilro scrrlirlo, c sinal ncgalivt'r as forgas de sentidos contrdrios.
o contrarlo a
ro m6dulo do
r componente
rbre nenhuma
r tensao
:sta sujeito a
ra rugosa. Isto
)
.J ondepeo
r llrrr o st'rr Ponto de aplicagdo na superficie de apoio do corpo.
(a,
Sentido
do movimento
Fa
//a./-
Fig.I.25 Forqa de atrito.
r\ t'xlrressao para o seu calculo e:
{ ) n([c:
1,,t.rrlorqadeatrito,N6aforganormal,peocoeficientedeatrito,queeumagrandezaadi-
rrrr.rrsional (nao tem unidade) e dA-nos a dificuldade que o corpo tem de se movimentar numa
rlr.lt'r'rninada supedicie. Por exemplo, o coeficiente de atrito duma superficie de vidro 6 menor
rlo tltre o de uma sulierficie!e cimento.
l)istingue-se ainda:
. O coeficiente de atrito est4tico Fe, eue e o.caso de um corpo que estA na emin6ncia dS
cntrar em movlmento (quase a entrar em movlmento).
. O coeficiente de atrito cinetico Fc, eue 6 no caso de um corpo ja em movimento.
Condig6o de equilibrio de trqnslog6o
l)iz-se que um corpo executa um movimento de Lranslagao, quando ele se desloca de um
ponto para outro do espago, aumentando ou diminuindo a sua distAncia cm relagao a um corpo
, ,rrrsiderado fixo (corpo de refer€ncia).
[)e acordo com a l.u Lei de Newton, quando a resultanl.c clas {ctrgas que actuam sobre um
( ()rl)o e nula, um corpo em repouso permanece em repouso c uln corpo em movimento perma-
n('('c em movimento rectilineo com velocidade constante. Cotno o repouso ti uma forma de
ltlLrilibrio, podemos afirmar que um corpo obsefva o equilibrio de translagao, quando a resul-
l;rrrlc das forqas que actuam sobre ele e nula. Assrm,
A condiqao de equilibrio de translagdo, diz que a resultante das forgas que actuam sobre um
('orpo deve ser nula.
-n
-^ ou
( orno v6, tamb6m se pode considerar que um corpo esta em equilibrio quando.p somatorio
rl,r., lorcas que actuam sobre ele 6 nula. Por6m, devemos dar o mesmo sinal as forQas colll o
nr('\lno sentido, e sinal negativo 2rs forqas de sentidos contrarios.
Fo: F'N
f)F": o
[)F, : o
Io*
lF*o
re sentido con-
Aplicogfio ds condigfio de equilibrio de frsnslsgfio
Observe a figura l.Z0 (a) do exercicio. Pretende-se calcular a tensao a
fio devido d acqdo da massa de 80 kg.
tlrl
Na resoluqdo deste tipo de
exercicios convem obedecer
aos segurntes passos:
3"" Pagstr
Aplicar acondiQAo ck cquilibtitt lr lr(l,tsl(t((r()
que
( c'l
Ay
q'7
tQ"aY''//
: OOO\aN
: 1200 V3 N
esta sujeito cada
Tl
Tr, i(
:0 _ f l-'*
- o - lr,, -
1', ()
Fu:()
I 1 ' t,rr (l()" I ., 0
I I ' st'lr (r()" ,l ' ,q,
t:-: \j = icp- V=;q_ --E-
I
Fig. l.l6 lril,,,1r).r rilt( !'.1;r\illL'tl{)rrItrrrlr'l,it1il.l:lr'i..:1ilt[;tttt;tcsrt
l.*' Pgsso
Representdr todas as forgas que (t(lLtd,n (rl)(',r(r.\ stil'sn: o corpo, teja (figura 1.26 (b)).
2." Pilsst:l
Decompor (a)s forea(s), que nao toitrt irlr'(ttt) rotr rt.s t'ixosxey, (figura1.26 (c)).
Assim, a expressao para
momento €: M: F . b
Da figura I.27 temos, seir (180o - cr)
porque sen(180o - cr) : sen d. Assim,
Condigdo de equilibrio de rotog6o
Diz-se que um corpo executa um movinrt'nlo tlt' rol;1q;11v t;rrlrrrtlo cstc sc rnove em torno de
um eixo fixo. Porem, antes de vermos a t'orrtlil'lro tlc cr;rriltlrlio tlc rrrla('io, rrcrcessitamos de
abordar uma grandeza fisica chamada mourcnl() tlt' rrrrrir lolq'ir.
Momento de uma forqa, 6 uma grandeza vectorial c:rrjo rnirtlrrlo C rlcl'iniclo pelo produto entre
aforqa e o brago da forqa.
O braqo de uma forqa, e a distdncia entre a
linha de acqdo da fbrga e o eixo de rotagAo do
corpo, (figura 1.27).
o cdlculo do
lri1i. | ,27 ,\li)rnr.'|1r) rlc ttnt;l [ilr,,.ir,
b
- - = b 
: r'sen (180o - ct) =b 
: r' senoljr
podemos escrever,
M: F 'r'sena
;ujeito cada
lm torno de
:ssitamos de
A ligura 1.28 representa o Mabunda e o Chico a brincarem num baloigo.
l)t'viclo A diferenga de peso entro os dois, o Mabunda
rh'vt' cstar mais pr6ximo do eixo do baloiqo, para que
Ilrlrr ccluilibrio. Portanto, o Mabunda aproxima-se do
r,lxo para que os momentos dos dois amigos sejam
l;r,rritis. Entao,
YIer: *rr.= Mr, Trlor: 0
l'or palavras, significa que o
rrrornentos deve ser nulo, para que
lrn cquilibrio.
somatprio dos
o baloi\o esteja Fig.L.28 O Mabuncla e o Chico a brincarcm
num baloico
Aplicog6o dq condig6o de equilibrio de rotog6o
1.29 f:quilibrio de rotacAo.
l'lra eue um corpo observe equilibrio de rota-
\tt,o, o somat6rio dos momentos das forEas que
rtt ludm sobre ele deve ser nulo.
>M= 0,,
A figura deste exercicio, apresenta uma
barra rigida de 100 kg, fixa numa das extre-
rrridades num fio e apoiada num ponto B. Na extremidade C da barra encontra-se um bloco de
'50 kg. A distdncia AB € de 3 metros e a-BC € de 2 metros. Nestas condiq6es quer-se saber qual €
ir forqa a que estd sujeito o fio e a forga que a barra exerce sobre o apoio em B.
Na resolugdo deste tipo de exercicios, conv$m obede-
cer aos seguintes passos: l
l.o Passo
Representar todas as forqas que actuam dpends sobre a
barra, veja a Jigura 1.29 (b).
onde:
i 6 a tensdo no fio.
Fra € a forEa de gravidade dabarra.
fru e u forqa que abana exerce sobre o apoio em B (que corresponde d forga normal).
P € o peso do bloco.
2.o Passo
Escolher um ponto qualquer dabarca, que pdssd a ser considerado o seu centro de rotaEdo.
Convem escolher um ponto em que se encontra uma das grandezas a ser calculada. -
l)or isso, neste caso, conv6m escolher o ponto A ou B. (Vamos entao considerar que o eixo da
llarra se encontra no ponto B).
o'{5
=t_- (b)
Figl.29 Ecluilibrio de rotaeao.
3." Passo
Calcular o momento de todas as forcas
(ponto B).
Assim, :37
que actuam sobre a barra em relaEao ao eixo escolhido
m6 : I00 kg (massa da barra)
m:50 kg (massa do bloco)
: 100' l0'0,5 : N \AO 
^l
Mr:T.AB.sen9}o:1 .3'1
/AC ]
Mpo6: F"r, 'l -.' - zl ' sen 90" :.o" d" 
\ . I
/5 \
ma' B'l; -zl\- /
Mx,n : NB' BB' sen90o : Nn' 0'l : 0
Mp: P' BC' sen90o : m' g' 2' I : 50' I0' 2'l : 1000N
onde:
M7 e o momento da tensao e AB e a distAncia do ponto de aplicaqao da tensao ao eixo A.
MF*B o momento da forqa de graviclad.. AC e a distAncia do ponto de aplicaqao.
da forqa de gravidade da barra ao eixo g (-"?ude do comprimento da barra).
MNs6omomentodanormalcmBeBBeadistAnciadopontodeaplicaedodanormalemBate
ao eixo B (que e nula).
Mp €. o momento do peso c BC i ar clistdncia do ponto de aplicagao do peso ao eixo A.
" Repare que em todos os cersos tcnros seno de 9Oo, porque todas as forgas sao perpendiculares
abarra.
4"" Passo
Escolher o sentido de rotaEao positivo da harra
sobre o eixo escolhido.
O sentido de rotaqao pode ser o hordrio ou ant-i- Fig. I.29 l'.c1tiil rbrio dc rourgiio
horzirio. Na figura f .29 (c) foi escolhido o sentido hordrio como o sentido de rotaqao positivo.
I
),.,
. As forqas cuja acqao (sozinha) sobre abarrairiam provocar T,LmarotaQao dabarrano sentido
horario, em torno do ponto B, tem um momento positivo.
. As forEas cuja acqao (sozinha) sobre abarrairiam protocar uma rotaqao dabarrano sentido
anti-horario,em torno do ponto B, ftm um momento negativo.
Se tivessemos escolhido o sentido anti-hordrio colro o senticlo de rotaqao positivo, a regra
dos sinais iria inverter-se.
5." Passo
Aplicar a condiqao de equilibrio de rotaEao, tendo em conld a regrd dos sinais dos momentos de
cada forEa, explicada no 4.o passo.
Assim,
)M:o
=MT NufMp:O
=3T 0+1000:0=3T:*T:83.3N
Regro dos sinqis do momenlo (convengdo de sinois)
250=7:250
3
1 crso = c'
Ig"n = 5?Bz3 ^J9
\.-
7\
etxo escolh
o r'l
rmal em B at6
posltrvo.
r sinois)
arra no sentido
drra no sentido
rsitivo, a regra
s momentos de
l,' lt[sso
Al,lkur a condiqao de equilibrio de translaEao.
Regro dos sinqis dqs forgos
. Sc considerarmos positivas as forqas que actuam para cima, entao as forqas que actuam p6ra
baixo sao negativ as, ou yice-y ersa.
Assim, 
=lF*:O,'l_ Fgr*Nn-P:0 LFnY:0
> t13.3 - m6'B f Ns m 'g : 0
) Nn: -83,3 + I00 X l0 + 50 X l0: 1416,7 N
Nb ---3t\9 -r. lsa-'o < s>. : t { 
g('t
| . Analise a figura e determine as forgas suportadas pelos apoios A e B
l{csoluqio
a!);F, : 0+NA+ NB : Fr * Fr:- F, +
Q)zit!: o = ffi* rtf * rtg+ rt;+ rtg
- Fi . br - Fs-bs- Fz.bz* Na . ,"1O
- 300'1 - 200'2 - 500'3 + 4' Na: 0
- 300 - 400 - f500:- 4Na
N": 2209- : 550 N <---"4
I
Da eq;aqioC) = NA + NB : 1000
NA + 550: 1000
Na: 450 N {-.
NA+NB:1000
N-B
Exercicios propostos
15. Observe as figuras dadas e determine a tensao nos fios e o valor da forca F
b) c)
+F
60 kg
DI
ll
lllrl\
l)
t(
la
ll,
I lll li
I
,l',.,,1
I
i
I
l"
vrli
I
lll(1
vr'1,
I
(i
| \l l
l'rrlt'
\ ,lr I
16. Para os seguintes casos, determine a direcqao, o sentido e o modulo de todas as forqas que
actuam sobre a esfera de 40 kg.
b) v') A
17. De acordo com as condiqoes da figura, determine a tensao nos fios.
-1
it
lj
ffiu:i
18" Nos casos seguinr-cs, clctcr.riue a tensao e a forga (lrr('rl
sobre a articulacatl.
lrirrra homogenea de 20 kg exerce
a) b) t)
19. Uma barra de 4 metros de comprinlclrt() (' 9() l<g tlt' rrrirss:r, rlt,vt,
ser colocada em equilfbrio tal como irrclic.ir ir ligrrr.rr. (,irlt.rrlc n -
distAncia x para que se observe o equilfbri. tllr blr'r'ir. r)t.rt,r.rrrirrc tJ
tambem areacqd,o do apoio sobre abarra 120 kg
20' As barras dos exercicios que se seguem sdo homog('nt'ils c ti'rrr Lrrna massa de 200 kg. Determine
as forqas exercidas sobre os apoios A e B.
2.'-
ou
l)
lll,tl(
llil l) l
lu
fl rt
I
ce:ao:or:ar:zm
tos
' _F
60 kg
; as forqas que
20 kg exerce
entre forqa e movimento, porque as forgas sdo a causa
ds tr€s Leis de Newton.
do
l:I
T
I'ig.l.)0 1 ';,I,lt \(\', lotl
Dindmicq
Nir l)indmica estuda-se a relaEdo
nr( )virncnto dos corpos.
( ) cstudo da Dindmica resume-se
l.o Lei de Newlon ou Principio do ln6rciq
l)a przitica, sabe-se que se ndo aplicarmos uma forga a um corpo, ele ndo entrara, por si so,
lrrr urovimento. Porem, se o mesmo corpo estiver em movimento rectilineo uniforme, ele ndo
r t'ssard o seu movimento enquanto nao se aplicar uma forqa sobre ele. Por isso:
1." Lei de Newton - Na aus€ncia de forqas, ou quando a resultante das forqas que actuam
sobre um corpo 6 nula, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movi-
mento permanece em movimento rectilineo e uniforme numa trajectoria rectilinea e com
velocidade constante.
Certamente que ja deve ter reparado que quando se encontra dentro de um autocarro, por
t'xemplo, se este arrarrcar bruscamente, as pessoas dentro do autocarro movem-se para trds.
I'or6m, se o autocarro estiver em movimento e travar bruscamente, as pessoas no seu interior
vao para a frente. Este fenomeno 6 consequ€ncia da in6rcia (figura 1.30).
2.o Lel de Newton
ou Principio Fundqmenlql do Dindmicq
Do seu dia-a-dia sabe que quanto maior c a lirrc'rr c1r-rc rr;rlica ao chutar uma bola, esta sai com
rnaior velocidade e consequentemente com ulrrzl nraior ircclcracao. Isto significa que a aceleraqdo
irnprimida a um corpo e tanto maior quanto maior lirr o verlor da forea aplicada sobre ele.
2.u Lei de Newton - A resultante das forqas que actuam sobre um corpo e directamente proporcional ,
A aceleragdo que o mesmo corpo adquire,. (Fn- a) ri
Como consequ€ncia da 2.u Ler de Newton podemos escrever a equagao:
->
F o : ft7'Ci
Os grdficos da figura 1.31, estdo de acordo com a 2."Lei de New-
ton, porque quando duas grandezas sao directamente proporcionais,
o grdfico deve ser uma linha recta. Como v€, quanto maior e a incli-
naqao da recta, maior € a massa do corpo envolvido.
m t>n1)>tn) a(rns 
r)
Fig.1.3I 2 " Lci clc Newtotr.
(b)
3.o Lei de Newlon ou Principio de Acgdo e Reocgdo
Certamente que jii chutou uma bola contra uma parede e verificou que a bola, apos chocar
com a parede, volta. Isto acontece porque quando a bola choca com a parede, exerce uma forqa
contra esta. Mas, por sua vez, a parede tambem aplica sobre a bola uma forga com o mesmo
valor mas de sentido contrario. Este e o conhecido Principio de Acqao eReacEao. Assim,
3." Lei de Newton -Para cada acqio hd sempre uma reacqao igual mas directamente oposta.
O voo dos avi6cs barsciir-sc rrcstrr lt'i, l)()rque quando as helices ou as turbinas do aviao expe-
Iem o ar para trzis, o avilro vlri l)iu'rr rl lrcrttc devido d reacgdo igual e directamente oposta. O
mesmo acontccc conr rr lrclit'c rlrrrrr lrt'lit'o1ltcro, que expele o ar para baixo e como reacgao o
aparelho sobe, (f igLrrit | . ]2 (l) c (b)).
Aplicogdo dos leis de Newton
As leis de Newton podem ser apiicadas rra lt'solrr(.rro tlt't'xt'tt tt ios (()ll('rct()s como o da figura
que se segue. Neste caso pretende-se saber qual t' rr lt't'lt't'ir('lto tlo sistctna sabendo que entre o
corpo A e a mesa, o coeficiente de atrito vale 0,25.
Fig.l.33 r\plicagiio das lcis tlc Nt'rvtott
Na resoluqdo deste tipo de exercicios e aconseltravel aplicar os seguintes passos:
l." Passo
Representar todas as forqas que actuam sobre os dois corpos, ffigura 1.33(b)).
(e)
'qcgqo
la, apos chocar
erce uma forqa
com o mesmo
sslm,
lnte oposta.
do avido expe-
:nte oposta. o
omo reacQao o
mo o da figura
1o que entre o
l,'f'fluo
Al'll, 
'rr 
rl .t't I r'i rll Nr'tvlr,n pdra os dois corpos
Accllll.
=T-Fa+F8B-T 0
mt'dlms'a
l',, t (mx * 
^u) 
)mn' g- tL' Na: a(m6-t ms)
,),'i nl . .s 2
l',r tilA ' a
nr,1' cr * p' Na=T : me' a-f p' mt' I
l0N
;r () ( illcLrlo da tensao, pode-se usar qualquer das equag6es.
l',t llll ' rl
I ttts' ct
;
Irt
Forgos no movimento circulqr
l;r st' clcve ter apercebido que quando um carro descreve uma curva, a tend€ncia dos seus ocu-
lr,ltt('s (' de serem projectados para fora da curva.
| .-tt'c mais um fenomeno da Natureza que intrigou e ainda intriga o Homem actual. Porem, a
rrr,r cxltlicaqdo tem criado muitas discussoes, pois sempre se tentou explicar este fenomeno atra-
r, ,, rlir introduqao de novas forgas, que sdo a forqa centflpeta e
I l'lrllrlLrga. Mas esta explicaqdo entra em contradiEAo com a prd-
llr ;r, lx)rque se lmagrnarmos um corpo amarrado a um fio, execu-
l,rrrtltr um movimento circular, ao ser largado no ponto A, da
ltpirrlir 1.34, eIe deveria mover-se para cima devido d acqao da i
lrrr(il centrifuga. Porem, a pretica mostra que se largarmos o fio i
rlnrurclo o corpo se encontra no ponto A, ele vai para a direita, ',
rrrrrrr sentido tangente ir trajectoria.
l)ortanto, a forqa centripeta nao 6 uma nova forqa, mas apenas a
tr",rrltante de forqas que ja conhecemos, tais como, a forqa de tensao, Fig.l.34 Ft)rQAS 'o movinrenLo
ir lorl'a de atrito, a forqa de gravidade, etc. circular.
t ) sentido da forqa centripeta 6 sempre em direcqao ao centro da trajectoria do movimento.
Scndo a forqa centflpeta uma forqa resultante (Fn : F6), entAo podemos aplicar a 2." Lei de
Nlwton. Assim,
Fr: ^'i
Mas como a aceleraEflo <<a>> no movimento circular uniforme e igual 2r aceleraqio centripeta
i,(r, )), e como jii vimos que, cc : t ort dc 
: 02 ' R, entdo,
A ligr,rra 1.35 (a), (b), (c), (d) e (e), aprcs('ntil t'xt'nrplos pt'iilit'os crn que podemos determinar
o valor da forga centflpeta.
Repare que nas figuras nao esta rcl)rcscnlrr(llr rr l.rt('it(('nlr'rl)('lrt, l)orque ela nAo 6 nenhuma
nova forqa, mas apenas a resultante das lilrc'lts t'xislt'nlt's cnt cltrlrt cltso.
Hoje sabe-se que aforqa centrifuga nao cxistt', st'rrtlo rr lotlrt ('('nlnl)cta a resultante das forqas
que actuam sobre um corpo que executa urlr rrrovilrrt'rrlo citt'ttlrtt Assittt,
A forga centripeta ou reacgdo centdpeta, 6 a rcsullitttlc tlits lrtt'r.'its (lr.tc actuam sobre um corpo
que descreve uma traject6ria curvilinea.
['"'l
\ l, I'g NC: Fc:N
11 l, N I;gD: Fc-Fg
O p6nclulo coniccr
i {}i
O pendulo sirttlrlt's \l.r rrrrt rrlo crl lombas
, ^v
lr, ru'l
\lo\ ilnr illo il() ;rltrrr0 trltlicltt<.1
lrlrllrrlr
a
t-;- ;,;--ltsc: lffa 
J
Movimento no plano horizontal
Fig.1.35 Frcnrpll para o c'iiculo t!;t lot, ,t , ,
. L Quando um carro realiza urna curva horizontal ut'lttltttt rolrr'
,, 
"lS 
as forqas Peso (F), Reacqao Normal (fr) e a I;ot't'rt tlt'r\ltilo
, (fo,) Ao representarmos essas forQas verifica-se cltt(' lt l,rt1':t tlt'
l atrito e a unica que actua na direcqdo do centrtl t'ilpottlittttltr
,t: para ele, logo poderii ser chamada de resultante cctl t t ipclrt.
'. 2. Num aviAo realizando uma curva horizontal podc-st' vt'tilit rtt rt
, acgao de duas forqry sobre ele que sdo: a Forga I'cst, (li) t'rt
r ForQa Sustentaqao (F). E possivel observar que ncttlrtttrrt tlt'lrts
r aponta para o centro. Logo, devemos projectar unltt clt'llts ;lltt'rt
o centro de acordo com a conveni€ncia. Neste exelrtltlo tr lirrl'a
que tem uma de sua projecq6es passando pelo centro cla t'ttrvar
e a Forea de Sustentaeao.
rl
leterminar
nenhuma
das forqas
l, Arr lrrrrriu l)()l' tttnit clepressao ou lombada, pode-se considerar
rlrlr rr('t1il1r us lirrqas Peso(P) e Normal (N) na direcqao verti-
r rtl Nt,sst. t.irso c[eve-se calcular a resultante centlipeta Sem
t.,,(ltr(.(.(.r.(l1c el rnesma deve ter Seu Sentido voltado para o cen-
Iro rlit ('tu'vil, logo temos duas situag6es possiveis:
r Ao lxrssur pela parte de baixo da lombada (ponto B), a forqa
N11 irlltlnta para o centro da circunfer6ncia. De acordo com a
l,"l-ci deNewton: N- P:m'ac+N-P:m' Y2r
. Ao passar pela parte de cima da lombada (ponto C), a forqa
l)cso apontapara o centro da circunfer€ncia' De acordo com a
2."LeideNewton: P - N : m' a,ceP- N - * +
4. (llobo da m6rte: a determinaqdo daResultante Centripeta depende
tll posiEAo em que o conjunto <moto * piloto> esta. Caso seja
Iro topo do globo temos a situaqio ilustrada ao lado. Pela 2." Lei
tlcNewton, teremosentdo P + N : m' ac=P-| N : * +
Jd,na parte inferior do globo, teremos:
1l'
N-P:m' dc<+N-P-^'',
-r. Pcnduln ednieo: no pendulo conico da l'igura ao lado, observa-se que duas forqas actuam
sobre a massa pendular: TensAo no fio (T) c Peso clo corpo
(p). Nenhuma delas passa da curva descrita no plancl vertical.
Logo, o procedimento € a decomposiqdo dacltrcla cluc pcrmita
uma projecqd,o para o centro curva, no cas() a lilrqa c[c lbnsao'
Verifiia-se que a componente T" da tensdo i a lorga rcsttltatrtc
que actua no sistema t"".9o assim:
Tr: ffi' Ac e Tr: m' rr /
Como v€, no caso do pendulo c6nico, a forea centr(Peta e igual d componente horizontal da
t(.rsao. Mas no caso do pcndulo simples, a forqa centripcta 6 igual a diferenca ente a tensio e a
Ierqa de gravidade (pu*'a posigdo di equilibrio), ou tensao e i pro3ecqao daF, sobre a normal
tpara qualquer outra posiqdo).
Regra dos sinais; convem considerar positiva a forca que aponta em direcgdo ao centro da
lr':rject6ria, que neste caso e a tensao.
Com base na regra dos sinais que acabdmos de estabelecer e flicil explicar a proveni€ncia das
cclnagoes nos outros casos.
Exe rcicios propostos
21. Dados os seguintes sistemas, calcule a aceleragio dos blocos e a tensdo nos fios.
a) b) c) d)
o
I
Itkg
./-\
,22). Oado o seguinte sistema:
a) Represente todas as forcas clLlc a('lLlilllt sollrc os corlx)s.
b) Calcule a aceleracio dtt sislctttit tlcsprt'zlltttlo o iltrit()
c) Calcule a forqa que o corlx) (. t'xcttt' sohrt' l) t' tlttc tr
corpo A exerce sobrc ll.
23. Observe os sistemas scgttittlt's t' t'itlt'ttlc:
2kg
900 N{--
,,, 
j
a) A aceleraqdo c a tcnsuo rro(s) lio(s) dc cada sistema desprezando o atrito.
b) A acelcragao c a tcrrsiio rro(s) lio(s) de cada sistema se o coeficiente de atrito for igual a 0,I.
24.Ihn carro de 1,6 toneladas, viaja a uma velocidade
constante de 108 km,/h, numa lomba, como mostra
a figura.
a) Represente todas as forEas que actuam sobre o
carro.
b) Calcule a forga que o carro exerce sobre o pavi-
mento da estrada em A e B.
25. Num fio de 40 cm de comprimento, suspende-se um corpo clc 200 g, e faz-se girar como um
p€ndulo conico. Sabendo que o fio se rompepara tensdes supcriores a I0 N, calcule:
a) A velocidade angular maxima que o corpo pode ter scnl qLlc sc rebente o fio.
b) O angulo formado pelo fio e a vertical.
26. Calcule a velocidade mdxima com que um autom6vel poclc dcscrever, com seguranQa, uma
curva horizonlal de 200 m de raio:
a) Se o asfalto estiver seco (p : 0,75).
b) Se o aslalto estiver molhado (p, : 0,50).
c) Se o asfalto estiver coberto de gelo (p : 0,25).
)s Exercicios ProPostos
ll/1t,,,,n, rlrrr lrrrrs tlt. ltrqritcr, tem raios das 6rbitas que diferem 
entrc si, 
'or 
Lt'r factor de 2'
t)ttrtl rr lil,'ilo ('lltl(' os scus periodos de revoluqdo?
r\ /.1{ t l}' 0,71 C' 2,00 D' 0'35
,lf A f lgrttit lritixr) rcl)rcsenta a orbrta eliptica d'e um cometa em torno do Sol' Iltn 
rcla('lo aos
rrr'rlrrlrs tllrs vcl.ciclades do cometa aro, porrro, P e Q, vpe vqe aos m6dttlos 
clas acclcrarc'tlcs
ilr',,,,('\ l)olllos, Lf 1, c d.q, podemos afirmar que:
kg
,t I yt, V1.1 t' ct1' ( dq
I
r ) \'1' V1.1 c clp : 619
b)vp<vqedp)dq p
.Qnrtvq e 4p)dq
,,\ lt,r,t.t.irir Lei de Kepler afirma, no caso de planetas de orbita circular, 
que o quaclraclo clo
tr.rrr'o gasto para dur r-u volta completa e*iorno d'o Sol e proporcional ao cubo do raio cla
ilririlrr clcssa planeta. Sabendo que o movimento desses planetas 6 uniforme, 
pode-se con-
t lrrir t1ute, para 
"ler, 
sua veloci 'ade na 6rbita em torno do Sol e:
,'\, l)ircctamente proporcional ao raio da orbita'
ll lrrversamente proporcional ao raio da orbita'
t lnversamente proporcional ao quadrado do raio da orbita'
l) l)irectam.rrt" proporcional ao quadrado d raio da orbita'
No sistema solar, um planeta em orbita circular de raio R demora 2 anos 
terrestres pala com-
Plctar uma revoluqao.'qual o periodo de 
revolugdo de outro planeta em 6rbita de raio 2R?
A lorQa d.e atracqao gravitacional entre dois astros tem m6dulo igual a 
E Se as massas dos
rl.is astros fossem diplicadas, qual seria o modulo d'a forga de atracqao gravitacional 
entre
t'lcs, considerand,o constante a distAncia que o separa?
,rf
3ual a 0,1.
l0
A.F B.2F C.4F D. F/2
l.l. A montanha-russa de um parque de diversio, esquematizadana figura' 
foi projectada com
scguranqa para que a forqa resultante sobre um carrinho de massa 
m, ao passar pelo ponto c
rrum trilho circular de raio R, fosse de, m' g ' \m apos ter sido abandonado no ponto A'
Scndo assim determine:
a) A altura h em fungdo do raio R do trilho'
fr) A forqa exercida pelo trilho sobre o carrinho no ponto D' em funQAo 
de m e g'
lranQa, uma
O aluno deve ser capaz de:
. Aplicar a equaqSo do trabalho mec6nico na resoluEdo de exercicios concretos.
. Interpretar o grdfico da forqa em funqao da posigio em situagoes do dia-a-dia.
. Aplicar os conceitos de energia potencialgravitacional e el5stica, cinetica e mecdnica na
resol uqSo de exerciclos concretos.
. Aplicar a lei e conservagSo,da energia mecAnica na resolugao de exercicios concretos.
. Aplicar os conceitos de impulso e guantidade de movimento na resolugio de exercicios
concretos.
. lnterp,retar o grdfico da forqa em funEEo do tempo.
. Apli'car a leide eonservaqdo da quantidade de movimento na resolugio de exercicios concretos.
. I r lr
, I lt,'
Ir lll
.lnl ,
.llrrl
Trqbqlho e Energio
O trabalho mecdnico e a grande za fisica que e definida
pela relagio:
W:F'Ax cos d
onde:
F e a forqa constante