Matemática anpec

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Cursinho Simples
Disciplina: Matemática
Anpec 2022
Prof. Douglas Bokliang
Lista de Revisão
Equações Diferenciais e Equações em Diferenças
(Anpec 2021/Q6) Considere a seguinte equação diferencial: yiv − y′′ = x+ 1.
Julgue as seguintes afirmativas:
(0) A equação característica associada à equação diferencial ordinária tem 3 raízes.
(1) A solução particular da equação diferencial ordinária é um polinômio de grau 3.
(2) A soma dos coeficientes da solução particular da equação diferencial ordinária é
estritamente positiva.
(3) A solução particular da equação diferencial ordinária é yp = x
3
6
− x2
2
.
(4) A solução particular da equação diferencial ordinária restrita aos números reais não
negativos atinge seu valor máximo em x = 0.
(Anpec 2021/Q11) Considere duas funções (f : R → R e g : R → R) que são duas
vezes continuamente diferenciáveis e satisfazem, dada uma lista de parâmetros (α, β, γ) ∈ R3,
a desigualdade |f ′(x)− f(x)|α + β|g′′(x) + g(x)| ≤ γ. Julgue as afirmações abaixo de acordo
com a sua veracidade:
(0) Quando α = β = 1
2
e γ = 0, as funções nulas f(x) = g(x) = 0 para todo x satisfazem
a desigualdade do enunciado.
(1) Quando α = β = 2 e γ = 1, não existe solução para a desigualdade do enunciado.
(2) Quando α = γ = 1 e β = 0, dada uma constante a ∈ R, as funções definidas por
f(x) = aex + sen(x)
2
e g(x) = 2 3
x
2
−2x para todo x satisfazem a desigualdade do enunciado.
(3) Quando α = β = 1 e γ = 0, a solução da desigualdade tem a forma f(x) = aex e
g(x) = b sen(x) + c cos(x) para todo x, para determinadas constantes a, b, c ∈ R.
(4) Quando α = γ = 1 e β = 0 e o sinal de desigualdade presente no enunciado é
substituído pelo sinal de igualdade, não existe função f que juntamente com outra junção g
satisfaça tal igualdade.
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(Anpec 2020/Q10) Classifique as afirmações abaixo segunda a sua veracidade:
(0) A função x(t) = et + 1 é uma solução para a equação diferencial x′(t) = x(t) + t em
R.
(1) Sabendo que x0 = 4, temos que xt =
(
2
3
)t
+ 3 é solução da equação em diferenças
3xt+1 = 2xt + 3.
(2) Considere funções de demanda e oferta de um determinado bem dadas, respectivamente,
por d(p) = a0 − b0p e s(p) = a1 + b1p, em que a0, b0, a1, b1 são constantes positivas e a0 > a1.
Supondo que o preço p = p(t) varie com o tempo de modo que p′(t) = λ(d(p) − s(p)), com
λ > 0, tem-se que existe uma constante real C tal que p(t) = Ce−λ(a0−a1)t + a0−a1
b0+b1
.
(3) A funções x1(t) = sen(t) e x2(t) = cos(t) são as únicas soluções para a equação
diferencial x′′(t) + x(t) = 0.
(4) Se a, b ∈ R satisfazem a2 = 4b, então a solução geral para a equação x′′(t) + ax′(t) +
bx(t) = 0 é x(t) = (A+Bt)e−(
a
2 )t, em que A,B ∈ R são constantes.
(Anpec 2018/Q2) Um economista fez um modelo sobre a evolução do PIB que desconsidera
a incerteza. De modo mais preciso, ele considerou que o PIB anual segue uma equação em
diferença que pode ser descrita como:
Yt = 2Yt−1 −
99
100
Yt−2 −
2
100
,
em que Yt representa o PIB do ano t medido em trilhões de Reais. A solução para o
tempo t é
Yt = A1b
t
1 + A2b
t
2 + k.
Encontre o valor de b1 + b2 + k.
(Anpec 2018/Q9) Suponha que o tempo é continuo e que os preços pt se ajustam de
maneira proporcional ao excesso de demanda zt com constante de proporcionalidade k. Isto
é, ṗt = kzt. Assumindo que as ofertas e demandas são lineares: qst = c + dpt, qdt = a − bpt,
respectivamente, julgue as seguintes afirmativas, se as constantes k, a, b, c e d são estritamente
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positivas:
(0) A equação diferencial para o preço é ṗt = k(b+ d)pt − k(a− c).
(1) O estado estacionário do preço depende da constante de proporcionalidade k.
(2) O estado estacionário p̄ é sempre positivo.
(3) O estado estacionário é estável independentemente das constantes
(4) Se pt = AeBt + p̄ é a solução particular de ṗt = kzt, então (p0 − A)B = a− c.
(Anpec 2017/Q3) Considere a seguinte equação em diferenças: yt+3−yt+2−yt+1−2yt =
3t − 3. Se temos as seguintes condições iniciais: y0 = 3, y1 = 2 e y2 = −5, classifique as
seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
(0) A solução da equação homogênea associada é explosiva.
(1) A solução particular é uma função quadrática em t.
(2) Em t = 30 temos que y30 = −27.
(3) A solução da equação homogênea associada é uma combinação linear de potências de
números reais que têm valores absolutos maiores ou menores que 1.
(4) A solução é oscilante entorno de uma função linear.
(Anpec 2016/Q11) A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é
Dt = 10− 12pt e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços
futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é St = 18 + 12pt − 6p
e
t+1 + pt−1, em
que pet+1 é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se
pet+1 = pt+1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
(0) Sob expectativas racionais, um preço estacionário é p̄ = 2.
(1) Sob expectativas racionais, a dinâmica de preços fica oscilando sem convergir ao preço
estacionário.
(2) Sob expectativas racionais, se p0 = 19 e p1 = 3, então p3 = 83 .
(3) Se as expectativas são adaptativas, no sentido de pet+1 = pt−1, então o novo preço
estacionário é p̄ = 4.
(4) Se as expectativas são adaptativas, no sentido de pet+1 = pt−1, então a dinâmica de
preços é explosiva.
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(Anpec 2016/Q15) Considere a equação diferencial abaixo:
y′′(x)− 3y′(x) = 0 , tal que y(1) = 1 + 2e3 e y′(1) = 6e3.
Encontre y′(0).
(Anpec 2015/Q10) A demanda de mercado de um produto depende do preço corrente
expresso na função Dt = a − bpt, em que a e b são constantes positivas. Por motivos de
estoque, a oferta de mercado do mesmo produto depende dos preços dos dois últimos períodos
expressos em St = c+ dpt−1 + ept−2, em que c, d e e são constantes positivas. Desta forma,
ao igualarmos demanda e oferta teremos a dinâmica dos preços seguindo uma equação em
diferenças finitas de ordem 2. Analisar o valor de verdade das seguintes afirmações:
(0) Se a > c, existe um preço estacionário de equilíbrio.
(1) Se d < 2
√
be, então a trajetória de preços de equilíbrio irá oscilar entorno do equilíbrio
estacionário, quando este existir.
(2) Se d < 2
√
be e e > b, então a trajetória de equilíbrio oscila entorno do equilíbrio
estacionário se aproximando dele, quando este existir.
(3) Se d > 2
√
be, as raízes da equação característica são números reais de sinais opostos.
(4) Se d = 2
√
be e d < 2b, então a trajetória de equilíbrio se aproxima monotonicamente
(crescente ou decrescente) ao equilíbrio estacionário, quando ele existir.
(Anpec 2014/Q9) Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(2) Defina a sequência {an}n≥0 da seguinte forma: a0 = 0, a1 = 1 e an é o ponto médio
dos dois antecessores, para n ≥ 2. Então lim
n→∞
an =
2
3
.
(3) Seja bn = 23 − an, n ≥ 0, em que {an}n≥0 é a sequência definida na parte 2 desta
questão. Então
∑+∞
n=0 bn =
1
3
.
(Anpec 2013/Q11) Suponha que as medidas adotadas pelo governo geraram uma
dinâmica para a inflação πt e taxa de juros rt mensal que obedece à seguinte equação:
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[
πt+1
rt+1
]
= A
[
πt
rt
]
+ b em que A =
[
0, 9 −0, 1
0, 8 0, 2
]
e b =
[
0, 005
−0, 008
]
.
Julgue as seguintes afirmações:
(0) O estado estacionário para a inflação é 3% ao mês, mas ele é instável.
(1) O estado estacionário para a taxa de juros é 2% ao mês e ele é estável.
(2) Dependendo das condições iniciais, este processo pode gerar hiperinflação (inflação
acima de 50% ao mês) e taxas de juros acima de 30% ao mês, no longo prazo.
(3) Existe um estado estacionário estável com inflação e taxa de juros zero.
(4) A equação em diferenças de segunda ordem que resulta do sistema acima para a
inflação é πt+2 − 1, 1πt+1 + 0, 26πt − 0, 0048 = 0.
(Anpec 2011/Q11)Seja g : R → R uma função contínua e ℑ o conjunto de todas as
soluções x : R → R da equação diferencial
x′′(t)− 2x′(t)− 3x(t) = g(t). (∗)
Seja φ ∈ ℑ uma solução de (∗) com condições iniciais φ(0) = 3 e φ′(0) = 4. Julgue os itens
abaixo:
(0) Se g(t) = e−t, a função xp(t) = −12te
−t é uma solução particular de (∗).
(1) Se g(t) = e−t, a solução φ é dada por 16φ(t) = 19e−t + 29e3t − 4te−t.
(2) Se g(t) = 3t, a função xp(t) = 23 − t é uma solução particular de (∗).
(3) Se g(t) = 3, a função xp = −2 é uma solução particular de (∗).
(4) Se g(t) = 3, a solução φ é dada por φ(t) = 2e−t + 2e3t − 1.
(Anpec 2011/Q12) Seja A a matriz 2x2 à qual está associado o sistema de equações
diferenciais com coeficientes constantes reais
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x′ = ax+ byy′ = cx+ dy
Avalie os seguintes itens:
(1) A origem (0, 0) é um ponto de sela se a = b = d = 1 e c > 1.
(3) A origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para a = d = −b =
−1 e c = 1
4
.
(4) A origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para a = c = −d =
−1 e b = 2.
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