A2-MATEMÁTICA APLICADA-2023 3-1

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
MATEMÁTICA APLICADA
AVA 2 
2023
1 - O conceito de limite ocupa um papel central no cálculo infinitesimal. Isso ocorre porque, no cálculo diferencial, a derivada de uma função, de acordo com a definição de Cauchy, é introduzida por meio de um processo limite e, no cálculo integral, para introduzir a integral de uma determinada função em um dado intervalo, considera-se o limite de uma soma de Riemann. Limite é, portanto, um conceito básico do Cálculo e da Análise Matemática.
  Assim, considerando uma função arbitrária , quando escrevemos, que se lê “o limite da função quando tende a  é ”, isso significa que  pode ser feita tão próxima de  quanto desejarmos, tomando valores de  suficientemente próximos de , mas, em geral, diferentes de . 
 Formalmente, considere uma função definida em um intervalo aberto que contém o número . Dizemos que o limite da função é , quando tende a , e representamos este fato por, se, e somente se, para todo número houver um número , tal que  sempre que . 
 MARQUES, Gil da Costa. Fundamentos de Matemática I. São Paulo: USP/Univesp/Edusp, 2014.
 Com base nessas informações, considere a função , explicitada no gráfico a seguir. 
 
Considerando o que se pode concluir do exposto, julgue os itens a seguir.
I. O gráfico da função  coincide com o gráfico da função , exceto no ponto , onde  não está definida.
II. II. O limite de  quando  tende a 4 não existe, pois a função não está definida em .
III. A função  é contínua em todo ponto do seu domínio, sendo .
É correto o que se afirma em:
Alternativas
A) III, apenas.
B) I e II, apenas.
C) I, II e III.
D) II e III, apenas.
E) Gabarito da questão I, apenas.
2 - Para facilitar o cálculo de integrais numéricas, algumas conversões são normalmente utilizadas, como a integração por partes, que consiste em expressar a integral em duas partes e integrá-la de acordo com a regra do produto; a integração por substituição, que baseia-se na mudança de variável da função a fim de simplificá-la, entre outras. Há também a integração por substituição trigonométrica, que consiste em converter a função algébrica em uma função trigonométrica. Três funções algébricas que têm semelhança com as funções trigonométricas são notoriamente úteis. São elas:
 
, em que  é uma constante.
 
Considerando a técnica de integração por substituição trigonométrica, análise a seguinte situação:
 
Em uma indústria de mineração, a velocidade média de queda dos minérios no interior do moinho de bolas é dada pela função:
 
Assinale a alternativa que corresponde à equação da distância média percorrida na queda dos minérios no interior do moinho de bolas, sabendo que  é o ângulo formado pelas partículas de minério com a parede no moinho no momento da queda.
Alternativas
A) 
B) 
C) Gabarito da questão 
D) 
E) 
3 - Um gerente modela o lucro L ( em reais ) de uma empresa em função do número x de unidades vendidas a partir da equação . Com o objetivo de estimar o lucro na venda da décima primeira unidade, utilizou como referência o lucro marginal.
 
Nesse contexto, podemos afirmar que uma estimativa para o lucro referente a décima primeira unidade será igual a: 
Alternativas
A) R$ 1.800,00
B) R$ 6.000,00
C) R$ 40.000,00
D) R$ 400,00
E) Gabarito da questão R$ 2.000,00 
4 - O gerente de uma confecção está analisando os resultados de seu negócio e descobre que, ao vender cada unidade das suas peças de roupa por um preço “p”, obteve um volume de vendas de (p+15) peças, o que lhe gerou um lucro de R$ 320,00. 
Ele sabe que o custo unitário de produção é de $ 17,00. Então, pode-se afirmar que o custo total (em R$), com a quantidade de produtos vendidos, foi de:
Alternativas
A) Gabarito da questão 680.
B) 310.
C) 710.
D) 480.
E) 560.
5- Na Matemática, as funções exponencial e logarítmica são inversas. Isso significa que uma desfaz o cálculo da outra. Abordando mais especificamente o logaritmo, ele representa o expoente ao qual se deve elevar a base  para se obter o logaritmando . Matematicamente, temos:
 
 
em que  é a base,  é o logaritmando,  é o logaritmo, sendo  e  números reais e positivos e .
A função  é uma função logarítmica de base . O domínio de uma função representa os valores de  para os quais a função é definida. Nesse sentido, para determinar o domínio da função logarítmica , é preciso levar em consideração as condições de existência do logaritmo. Assim, a base deve ser um número real, positivo e diferente de 1 e o logaritmando deve ser um número real e positivo.
 Uma vez conhecidas as principais características da função logarítmica, assinale a alternativa que apresenta o conjunto dos números reais  que satisfazem a inequação a seguir.
 
Alternativas
A) 
B) 
C) 
D) Gabarito da questão 
E) 
6 – O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que se  é contínua em , então 
 
desde que  seja uma primitiva de em . Desse modo, é importante estabelecermos estratégias que nos permitam encontrar primitivas explicitamente.
Se  é uma primitiva de então, para todo , temos que , de modo que também é uma primitiva. Além disso, se o domínio de  é um intervalo e  é uma outra primitiva de , então
. 
O Teorema do Valor Médio garante que existe um constante , tal que . Isso mostra que a família de funções  contém todas as primitivas de . Essa família de funções é chamada integral indefinida de  é denotada da seguinte maneira
.
 
Na expressão anterior,  é chamada constante de integração.
UNB. Integral Indefinida. Disponível em: https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo3/Semana2/indefinida.pdf. Acesso em: 27 abr. 2021 (adaptado).
Com base nessas informações, considere a função , explicitada no gráfico a seguir.
 
 
Assim, considerando as regras de integração, pode-se afirmar que  será
Alternativas
A) .
B) .
C) .
D) .
E) Gabarito da questão .
7 – O Teorema Fundamental do Cálculo diz que para calcular a integral de uma função é suficiente conhecermos uma primitiva dessa função. Isso estabelece uma interessante relação entre o processo de integração e o de derivação. O primeiro, que foi motivado pelo cálculo de áreas, já era essencialmente conhecido pelos matemáticos gregos da antiguidade. Naquele tempo, calculavam-se áreas e volumes usando um processo de aproximação que ficou conhecido como "método da exaustão". Por outro lado, as ideias básicas do processo de derivação já apareciam no século XIV, no contexto da dinâmica. Apesar do teorema ser muito útil para efetuar o cálculo das integrais, a sua importância histórica está no fato de que ele conecta duas habilidades que à primeira vista são distintas.
 TEOREMA Fundamental do Cálculo - Parte 1. Brasília: UnB, [20--]. Disponível em: https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo3/Semana1/tfc.pdf. Acesso em: 10 ago. 2021 (adaptado).
Diante do exposto, considere a situação em que se deseja calcular a massa m(x), em kg, de um segmento de barra, a qual é medida a partir de sua extremidade esquerda x = 0 até um ponto x = 5 m. Sabe-se que a densidade linear da barra é dada por  e é igual à função . Sendo assim, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a massa desse segmento de barro no intervalo [0;5] e assinale a opção correta.
Alternativas
A) m(x) = 50 kg.
B) m(x) = 105 kg.
C) m(x) = 15 kg.
D) Gabarito da questão m(x) = 150 kg.
E) m(x) = 5 kg.
8 - A função modular é a função que apresenta o módulo em sua lei de formação. O módulo ou valor absoluto é representado por duas barras verticais e, como a própria designação apresenta, pode ser entendido como o valor absoluto de um número. Sabe-se que o valor absoluto de um número negativo e o valor absoluto de um número positivo é sempre o próprio número, desconsiderando o seu sinal (negativo ou positivo). Sendo assim, pode-se concluir que o gráfico da função modular é sempre positivo, isto é, ele estará sempre acima do eixo  (). Isso acontece, porque o módulo presente na função faz com que a parte do gráfico abaixo do eixo  seja refletida em torno desse eixo no valor de intersecçãocom o eixo . A função  é um exemplo de função modular, que pode ser interpretada como:
Em matemática, o conceito de limite é utilizado, a fim de descrever o comportamento de uma função , quando  se aproxima de determinado valor ou quando  tende ao infinito. Por exemplo,  significa que a função modular  se aproxima de  quando  tende a . 
Diante do exposto, considere as funções modulares e o limite a seguir.
Tendo em vista o resultado do limite, assinale a opção correta.
Alternativas
A) 
B) 
C) 
D) Gabarito da questão 
E)