ITA - Prova de Seleção 2S2019 - Ex01 Matemática

@import url(https://fonts.googleapis.com/css?family=Source+Sans+Pro:300,400,600,700); Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Programa de Programação em Engenharia de Infraestrutura Aeronáutica / Programa de Programação em Engenharia Aeronáutica e Mecânica

Prova de Seleção \u2013 1° semestre de 2020\u2013 Questões de Matemática

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Uma certa reta passa pelos pontos (x, y) = (2, 0) e (x, y) = (0, 2) do plano cartesiano. Uma outra reta passa pelos pontos (x, y) = (0, 2.5) e (x, y) = (5, 0). A interseção entre estas duas retas se dará no ponto (x, y) =

(a) (1.25, 3.5)

(b) (\u22121, 3)

(c) (3, 0.5)

(d) ( 10 17 , 30 17)

(e) não existe interseção entre estas retas

Conceitos Utilizados para Resolução do Problema:

01 - Conceitos sobre equação da reta (Análise Gráfica):

Obs: devemos recordar à equação simplificada da reta (y = Mx + N) em que M = coeficiente angular e N = coeficiente linear.

Pontos importantes na figura acima:

O coeficiente angular é a inclinação da reta, assim como caracteriza se essa é crescente (positivo) ou decrescente (negativo); O coeficiente angular pode ser encontrado com a "tangente do ângulo" que a reta faz com eixo-x ou conhecendo dois pontos. Ex.: Na figura foi dado o ponto A e B, portanto a inclinação será DeltaY/DeltaX; O coeficiente linear N pode ser encontrado quando a reta toca o eixo-x para Y = 0.

Simples não? Este conceito trata-se da análise gráfica da qual tenho maior facilidade de entendimento, vejamos abaixo outros conceitos matemáticos.

01-Equações da Reta:

02-Determinantes (Equação da Reta):

03-Algebra Linear (Equação da Reta):

Resolução do problema:

a) Encontrar as equações gerais para as duas retas utilizando o conceito-01

Para primeira , pontos \ufeff A ( 2 , 0 ) A(2, 0) A ( 2 , 0 ) \ufeff ; \ufeff B ( 0 , 2 ) B(0, 2) B ( 0 , 2 ) \ufeff teremos \ufeff ( y = M x + y ) (y = Mx + y) ( y = M x + y ) \ufeff Assim: \ufeff D e l t a y = 2 Deltay = 2 D e l t a y = 2 \ufeff e \ufeff D e l t a X = \u2212 2 DeltaX = - 2 D e l t a X = \u2212 2 \ufeff , portanto, \ufeff M = \u2212 1 M = -1 M = \u2212 1 \ufeff

O valor de N pode ser facilmente encontrado, pois um dos pontos dados já considera \ufeff y = 0 y=0 y = 0 \ufeff , então \ufeff x = 2. x = 2. x = 2 . \ufeff Sendo assim, y = -x + 2">\ufeff R e t a 01 \u2212 > y = \u2212 x + 2 Reta01 -> y = -x + 2 R e t a 0 1 \u2212 > y = \u2212 x + 2 \ufeff

Repetimos o processo para segunda reta com pontos \ufeff A ( 5 , 0 ) ; B ( 0 , 5 / 2 ) A(5, 0); B(0, 5/2) A ( 5 , 0 ) ; B ( 0 , 5 / 2 ) \ufeff : \ufeff D e l t a Y = 5 / 2 DeltaY = 5/2 D e l t a Y = 5 / 2 \ufeff e, \ufeff D e l t a X = \u2212 5 DeltaX = -5 D e l t a X = \u2212 5 \ufeff , portanto \ufeff M = \u2212 1 / 2 M = - 1/2 M = \u2212 1 / 2 \ufeff

O ponto que toca o eixo-x quando \ufeff y = 0 y = 0 y = 0 \ufeff , \ufeff x = 2 , 5 x = 2,5 x = 2 , 5 \ufeff

y = - 0.5x + 2,5">\ufeff R e t a 02 \u2212 > y = \u2212 0.5 x + 2 , 5 Reta02 -> y = - 0.5x + 2,5 R e t a 0 2 \u2212 > y = \u2212 0 . 5 x + 2 , 5 \ufeff

Utilizando o segundo conceito, para encontrarmos a intersecção das retas colocamos as equações no formato elementar:

\ufeff y + x \u2212 2 = 0 y + x - 2 = 0 y + x \u2212 2 = 0 \ufeff (1) \ufeff y + 0.5 x \u2212 2.5 = 0 y + 0.5 x - 2.5 = 0 y + 0 . 5 x \u2212 2 . 5 = 0 \ufeff (2)

A interseção será um ponto em comum entre essas retas, ou seja, um ponto que satisfaça as condições (x, y) = 0 para ambas as equações, então:

Reta01 + Reta02: x = - 1">\ufeff 0.5 x + 0.5 = 0 \u2212 > x = \u2212 1 0.5x + 0.5 = 0 -> x = - 1 0 . 5 x + 0 . 5 = 0 \u2212 > x = \u2212 1 \ufeff

Encontrado o valor de x , basta substituir em qualquer uma das equações: y = 2 - (-1) -> y = 3">\ufeff y = 2 \u2212 x \u2212 > y = 2 \u2212 ( \u2212 1 ) \u2212 > y = 3 y = 2 - x -> y = 2 - (-1) -> y = 3 y = 2 \u2212 x \u2212 > y = 2 \u2212 ( \u2212 1 ) \u2212 > y = 3 \ufeff

Assim, chegamos no ponto de interseção C( - 1; 3 ), para finalizar, testamos em ambas as equações e verificamos se atende, (Obs.: Também sugiro realizar a verificação gráfica)

Equação01: 3 -1 -2 = 0 (ok)">\ufeff y + x \u2212 2 = 0 \u2212 > 3 \u2212 1 \u2212 2 = 0 ( o k ) y + x - 2 = 0 -> 3 -1 -2 = 0 (ok) y + x \u2212 2 = 0 \u2212 > 3 \u2212 1 \u2212 2 = 0 ( o k ) \ufeff

Equação02: 3 + 0.5 ( - 1) - 2.5 = 0 (ok)">\ufeff y + 0.5 x \u2212 2.5 = 0 \u2212 > 3 + 0.5 ( \u2212 1 ) \u2212 2.5 = 0 ( o k ) y + 0.5x - 2.5 = 0 -> 3 + 0.5 ( - 1) - 2.5 = 0 (ok) y + 0 . 5 x \u2212 2 . 5 = 0 \u2212 > 3 + 0 . 5 ( \u2212 1 ) \u2212 2 . 5 = 0 ( o k ) \ufeff

Sendo assim, a resposta correta é \ufeff b ) [ \u2212 1 ; 3 ] b) [ -1; 3 ] b ) [ \u2212 1 ; 3 ] \ufeff

Obs.: Não farei a demonstração utilizando os métodos de álgebra linear com determinantes, conceitos 2 e 3. Ficará para uma próxima...

Refs analisadas neste exercício:

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta

https://sabermatematica.com.br/intersecao-de-retas.html

https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equacao-reduzida-reta.htm

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