Corrente elétrica e circuitos cc - UNESA

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DESCRIÇÃO
Construção dos conceitos da corrente elétrica, da Lei de Ohm, da resistência elétrica, da potência elétrica, das regras de Kirchhoff e suas
aplicações como fundamento à análise e ao projeto dos circuitos elétricos CC.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos de corrente elétrica, lei de Ohm, resistência elétrica, potência elétrica e as aplicações das regras de Kirchhoff que,
somado aos conceitos prévios de campo, potencial elétrico e capacitância, além de contribuir para o avanço na compreensão da eletrodinâmica
clássica, agora para sistemas elétricos com corrente elétrica, é fundamental para a análise e projeto dos circuitos elétricos de corrente contínua,
C.C.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a corrente elétrica, a Lei de Ohm, a resistência e a potência elétrica
MÓDULO 2
Aplicar as regras de Kirchhoff aos circuitos CC resistivos
 
Fonte: ShutterStock
INTRODUÇÃO
Os circuitos elétricos com corrente contínua (CC), que são sistemas elétricos com fluxo uniforme de cargas, constituem a base conceitual e
fundamental de toda a tecnologia de distribuição elétrica e dos circuitos elétricos, desde os sistemas simples até os modernos sistemas
elétricos.
Para a análise e o projeto desses circuitos, necessitamos das conceituações aplicadas da corrente elétrica, da Lei de Ohm, da resistência
elétrica, da potência elétrica e das regras de Kirchhoff — essas regras são aplicações práticas dos princípios de conservação da carga e da
energia.
Vamos avançar no estudo da Eletrodinâmica Clássica e definir os circuitos CC resistivos, de forma a compreender seus fundamentos e as
soluções para projetá-los.
Assista no vídeo a uma introdução para este tema.
MÓDULO 1
 Identificar a corrente elétrica, a Lei de Ohm, a resistência e a potência elétrica
CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica é uma grandeza completamente distinta da diferença de potencial elétrico, a conhecida tensão elétrica. Pode ser definida
como uma quantidade de cargas elétricas em movimento em determinado intervalo de tempo, geralmente em um condutor elétrico, como um
filamento elétrico.
 
Fonte: Chones/Shutterstock.com
CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica é conceituada como o número de cargas elétricas em circulação, em um intervalo de tempo, com unidade Ampere (A) no
sistema internacional de unidades (SI).
POTENCIAL ELÉTRICO
Por outro lado, para efeito de comparação, o potencial elétrico é conceituado como a energia, por unidade de carga, que cada carga elétrica
possui, nesse condutor ou rede elétrica.
DITO DE OUTRA FORMA: NUMA REDE ELÉTRICA, OU CIRCUITO ELÉTRICO, CADA PORTADOR
DE CARGAS (NOME GENÉRICO DOS ELEMENTOS QUE TRANSPORTAM CARGAS
ELÉTRICAS.) POSSUI UMA ENERGIA ESTABELECIDA PELA REDE ELÉTRICA, OU CIRCUITO
ELÉTRICO, E O NÚMERO DE PORTADORES CARREGADOS EM MOVIMENTO EM UM
INTERVALO DE TEMPO, CARACTERIZA A CORRENTE ELÉTRICA NESSA REDE, OU CIRCUITO.
 ATENÇÃO
Para que se tenha uma corrente elétrica, em uma rede ou circuito elétrico, é necessário que haja uma diferença de potencial elétrico, que fará
os portadores de cargas se moverem, estabelecendo a corrente elétrica.
É possível haver correntes elétricas em quaisquer meios materiais, mesmo no vácuo, não somente em circuitos condutivos. Para isso, basta
que a não condutividade desse meio, a sua resistência à condução elétrica, seja rompida.
A esse fenômeno chamamos de rompimento da rigidez dielétrica, que é a transformação de um meio isolante, portanto não condutivo, em
um meio condutor elétrico.
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Fonte: Tami Story Photography/Shutterstock.com
Isso é o que visualizamos em uma tempestade elétrica, quando a diferença de potencial nuvem-terra, ou nuvem-nuvem, atinge um valor tão
alto que a rigidez dielétrica do ar atmosférico é rompida, produzindo as descargas elétricas atmosféricas
 
Fonte: John D Sirlin/Shutterstock.com
O fenômeno das descargas atmosféricas é bem mais complexo do que os fenômenos de Maxwell, adentrando outros fenômenos físicos, como
a emissão de radiação de altas energias e fenômenos da Física dos Plasmas, tamanha a escala de energias. Entretanto, é útil como ilustração
de correntes elétricas naturais.
APROVEITANDO AS IMAGENS, VOCÊ SABE POR QUE AS DESCARGAS
ELÉTRICAS ATINGEM CERTOS LUGARES, COMO PARA-RAIOS,
ÁRVORES OU PESSOAS EM CAMPO ABERTO?
RESPOSTA
A corrente elétrica segue o caminho de menor custo energético.
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Vamos entender melhor. As cargas elétricas com suficiente energia se movimentam no sentido de encontrar o menor valor do potencial elétrico.
Na presença de um campo elétrico e uma diferença de potencial elétrico, as cargas se movem do maior potencial para o menor valor do
potencial elétrico, pois a força elétrica age sobre elas. Se, nesse intervalo de espaço, um eventual ponto de menor magnitude do potencial
elétrico, que esteja aterrado, estiver mais elevado do que o solo, esse ponto será o alvo das descargas elétricas, uma vez que, sendo a
distância menor entre os potenciais, o custo energético será menor. Logo, o trabalho para mover as cargas será menor.
 
Fonte: Aita/Shutterstock.com
Pode ser um para-raios, uma árvore ou um indivíduo. Infelizmente, áreas descampadas e até praias são perigosas em dias de tempestade
elétrica.
 
Fonte: Zuhairi Ahmad/Shutterstock.com
Pode ser um para-raios, uma árvore ou um indivíduo. Infelizmente, áreas descampadas e até praias são perigosas em dias de tempestade
elétrica.
COMO É POSSÍVEL A UM OPERÁRIO DE MANUTENÇÃO DE GRANDES LINHAS DE
TRANSMISSÃO ELÉTRICA REALIZAR SEU TRABALHO EM CIMA DESSAS LINHAS, COM
CENTENAS DE MILHARES DE VOLTS DE POTENCIAL ELÉTRICO?
A resposta à questão está na diferença de potencial elétrico e no princípio das superfícies equipotenciais. Cargas elétricas somente serão
movimentadas se houver uma diferença de potencial elétrico. No entanto, ao longo de uma superfície equipotencial, não há diferença de
potencial e, portanto, as cargas podem se mover, nessa superfície de mesmo potencial, sem custo energético algum, sem trabalho. Assim,
quando um operário de manutenção equilibra (ajusta) seu potencial elétrico ao da linha de alta tensão, não sofre as consequências de uma
corrente elétrica atravessar seu corpo, pois não haverá diferenças de potencial elétrico que possam produzir correntes elétricas.
De outra forma, se colocarmos nossa mão em uma fase elétrica — um polo da tomada elétrica doméstica — necessariamente com os pés
isolados da terra, não permitindo a condução elétrica para a terra, como não haverá diferença de potencial elétrico, também não haverá
corrente elétrica circulando em nosso corpo e nenhum risco à saúde.
Entretanto, se colocarmos a outra mão em contato com o outro polo da tomada elétrica doméstica, que chamamos de neutro (fase neutra),
teremos uma diferença de potencial estabelecida, e uma corrente elétrica atravessará nosso corpo com grande risco à saúde.
 
Fonte Mike Mareen/Shutterstock.com
VAMOS, AGORA, DEFINIR A CORRENTE ELÉTRICA MATEMATICAMENTE.
Essencialmente, corrente elétrica é a quantidade de cargas elétricas que atravessam um ponto num intervalo de tempo.
I =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pense em um fio condutor, se o alimentarmos com uma diferença de potencial elétrico, entre suas extremidades, então cargas elétricas serão
movimentadas nesse fio e teremos uma corrente elétrica. Desse modo, para que haja corrente elétrica, I , é necessário que tenhamos uma
diferença de potencial elétrico no meio (material) em que surge a corrente.
Na presença dessa diferença de potencial elétrico, cargas são aceleradas, como na mecânica clássica, pois ao adquirirem energia potencial, a
transformam em energia cinética.
Clique abaixo e aprenda nossas primeiras grandes lições:
LEIA 
ATENTAMENTE
Potencial elétrico e corrente elétrica são grandezas totalmente diferentes.
Potencial elétrico tem unidade Volt(V) e corrente elétrica tem unidade Ampere (A), no S.I., em que 1A = 1C/s.
Para que haja corrente elétrica, será preciso haver uma diferença de potencial elétrico.
É a diferença de potencial elétrico que pode produzir um deslocamento de cargas, uma corrente elétrica.
CORRENTE ELÉTRICA COMO FLUXO DE CARGAS
Vamos fazer uma analogia com as correntes aéreas. O que chamamos de vento é provocado pela circulação de porções de ar atmosférico que
se movimentam impulsionadas por diferenças de pressão atmosférica local.
 EXEMPLO
Em um dia de vento atmosférico, se permitirmos que correntes de ar circulem em nossas casas, certamente será porque deixamos abertos,
para essa circulação, ao menos dois pontos de passagem do ar. Como há uma diferença de pressão entre esses dois pontos, surgem correntes
dqdt
de ar. Se fecharmos uma dessas passagens de ar, as correntes de ar cessarão, pois teremos equilibrado as pressões. Então, o vento é fluxo
aéreo.
Assim, a corrente elétrica é fluxo de cargas. Para que tenhamos corrente elétrica, precisamos de uma diferença de potencial elétrico. Se
interrompermos a condução elétrica, não teremos corrente elétrica, pois teremos equilibrado os potenciais elétricos.
Não será possível haver corrente elétrica em uma superfície equipotencial, porque não há diferença de potencial que permita a formação de
corrente, nesse caso.
NÃO É POSSÍVEL ACUMULAR, DE FORMA ALGUMA, CORRENTES ELÉTRICAS, JÁ QUE
TRATA-SE DE FLUXO DE CARGAS. PODEMOS ACUMULAR CARGAS ELÉTRICAS OU
POTENCIAL ELÉTRICO (ENERGIA POR CARGA) EM CAPACITORES E BATERIAS, POR
EXEMPLO, MAS NÃO PODEMOS ACUMULAR CORRENTE ELÉTRICA, POIS É FLUXO.
 ATENÇÃO
Uma ou algumas cargas elétricas individualizadas em movimento não constituem formação de corrente elétrica. Para definirmos corrente
elétrica, precisamos de um fluxo de cargas.
Correntes elétricas em meios condutores são as clássicas correntes em circuitos elétricos. Correntes elétricas em meios fluídicos são formadas
por portadores de cargas. Correntes elétricas no vácuo são descargas elétricas na ausência de meio material para circulação, por exemplo,
descargas elétricas no espaço ou em feixes de partículas em laboratórios, por meio de aceleradores de partículas, onde fez-se vácuo.
PORTADORES DE CARGAS
Íons moleculares que circulam em fluidos formando correntes.
 ATENÇÃO
Podemos ter corrente elétrica independentemente do meio de circulação de cargas, que poderá ser um condutor elétrico (material sólido), um
meio fluídico (líquidos ou gases) ou o vácuo.
Aprendemos a definir fluxo com a Lei de Gauss. Então, vamos definir a corrente elétrica, I, que é uma grandeza escalar, como o fluxo da
densidade de corrente elétrica, →J , que é uma grandeza vetorial. Assim:
I =  ∫c →J . n̂ dA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que n̂ é o vetor unitário direcional normal ao plano de área A.
Cada carga elétrica, q, ou portador de carga, possui uma velocidade média de deslocamento no meio de condução, →v , que chamaremos de
velocidade de migração dos portadores de carga.
Se tivermos n portadores de cargas por unidade de volume, que é uma densidade volumétrica do número de portadores de cargas, então uma
porção de cargas, ∆Q, transportadas em um fio condutor de área de seção reta, A, em um trecho retilíneo de comprimento Δx = ∣∣→v ∣∣  Δ t  e em
um intervalo de tempo Δt será:
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Fonte: O autor
 Portadores de cargas em condutores
ΔQ = n q  Δ Volume    →     Δ Q = n q A  Δ x    →     Δ Q = n q A ∣∣→v ∣∣  Δ t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente elétrica, I, definida anteriormente, é o limite quando ∆t → 0, ou seja:
I =   =   limΔt→0 =  n q A ∣∣∣→v ∣∣∣
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, desse exemplo do fio retilíneo condutor, temos a definição do vetor densidade de corrente elétrica, também chamado de densidade
de fluxo elétrico.
→J =  n q →v ONDE ∣∣∣→J ∣∣∣= I/A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE OHM E A RESISTÊNCIA ELÉTRICA
A Lei de Ohm, na forma mais conhecida, foi proposta originalmente como uma lei fenomenológica e, depois, verificada como um subproduto
das equações que definem a teoria eletrodinâmica clássica, chamadas de equações de Maxwell, quando em interação com a matéria
condutora.
 
Fonte: O autor
 Relação Tensão x Corrente em um circuito resistivo
Relaciona o potencial elétrico, V, com a corrente elétrica, I, em materiais consumidores de energia elétrica que apresentam comportamento
funcional linear, chamados de materiais ôhmicos. A constante de proporcionalidade dessa equação é o que chamamos de resistência
dqdt ΔQΔt
elétrica, R, e sua unidade S.I. é o ohm, 1 Ω = 1V/A.
 
Fonte: O autor
O gráfico anterior apresenta esse comportamento linear, em que R é o coeficiente angular gráfico da função V = RI
Os materiais não ôhmicos, ao contrário, não satisfazem a expressão linear da Lei de Ohm e apresentam outros comportamentos mais
complexos.
O circuito ao lado é um esquema de montagem de um circuito elétrico composto de uma fonte (CC) de corrente e tensão contínua, que
fornece uma diferença de potencial elétrico, V, a um componente elétrico de resistência, R, em um circuito fechado de uma malha, isto é, uma
única circulação fechada de corrente constante, I.
 
Fonte: O autor
No mesmo circuito elétrico, usamos a convenção de Benjamin Franklin e consideramos que a corrente elétrica, I, é composta por cargas de
atributo positivas, que circulam do potencial elétrico mais alto, no polo positivo, para o potencial elétrico mais baixo, no polo negativo.
Na realidade, sabemos que as cargas elétricas disponíveis capazes de compor correntes elétricas são de atributo negativas, que também foi
convencionado. Assim, o padrão adotado para a orientação da corrente elétrica é, na verdade, contrário à realidade. Entretanto, isso não é
capaz de interferir na análise de circuitos, como veremos. A definição dos polos elétricos segue essa convenção de B. Franklin e deve ser
interpretada como operacional, quando o que importa é que existe uma diferença de potencial elétrico.
CARGAS ELÉTRICAS
1. Cargas elétricas ocorrem em dois atributos
Cargas elétricas são acúmulos ou deficit de cargas eletrônicas fundamentais. Assim, um material carregado positivamente possui um
deficit de cargas fundamentais eletrônicas. E um material carregado negativamente possui um superavit de cargas fundamentais
eletrônicas.
Para os fenômenos da teoria eletrodinâmica, esse mecanismo, de motivação histórica, de atribuição de sinais às cargas, não faz diferença
desde que possamos identificar os dois atributos fenomenologicamente diferentes do superavit ou deficit de cargas fundamentais
eletrônicas, que foram historicamente chamadas de cargas negativas e positivas, respectivamente, e mantidas por razões operatoriais e
de convenção.
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O fato é que cargas elétricas ocorrem em dois atributos, e essas nomenclaturas de cargas positivas e negativas são, atualmente, apenas
convencionais, usadas somente para identificar os dois atributos de cargas, não possuindo maior fundamentação física.
2. Cargas elétricas são conservadas
A totalidade de cargas elétricas no universo é constante. Se retirarmos cargas negativas ou positivas de um corpo, essas cargas irão para
outro corpo. Dizemos que as cargas se conservam global e localmente.
3. A carga elétrica é quantizada
Todo material carregado eletricamente o será em múltiplos inteiros da carga fundamental eletrônica. Esse fato de origem quântica não tem
explicação na teoria eletrodinâmica de Maxwell. Essa questão habita o universo das teorias quânticas.
4. Cargas elétricas são a fonte (causa) dos campos e das forças elétricas estáticas
Ao “gerarem” campos eletrostáticos, as cargas elétricas estáticas informam o universo vizinho de sua existência. Do ponto de vista
quântico, são partículasde luz (fótons) que constituem os campos, bem como percorrem o espaço disponível até excitarem outras cargas
e induzirem forças elétricas de Coulomb a distância.
RESISTORES ELÉTRICOS
Resistores elétricos, de resistência R, são componentes elétricos/eletrônicos que dificultam a condução elétrica ao reduzir o potencial elétrico
disponibilizado, V, convertendo parte da energia elétrica em energia térmica, por meio do efeito Joule, e dispersando essa energia térmica no
ambiente. Ou seja, os resistores se aquecem quando alimentados com corrente elétrica e dispersam essa energia térmica para o meio externo
ao circuito. 
Todos os materiais apresentam certa resistência à condução elétrica, sendo menor a resistência elétrica nos bons condutores e maior a
resistência nos maus condutores elétricos.
A resistência elétrica, R, é uma função da geometria e da condutividade do material.
 
Fonte: Sergiy Kuzmin/Shutterstock.com
 Resistores elétricos
RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE ELÉTRICA
Os condutores ôhmicos, são classificados por sua condutividade elétrica, σ, também definida como o inverso da resistividade elétrica, ρ,
que tem unidade Ω.m (ohm. metro), no S.I.
σ = 1/ρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma representação menos conhecida da Lei de Ohm relaciona o vetor densidade de corrente elétrica, →J , com o campo elétrico, →E , interno
aos materiais condutores.
→J = σ→E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VOCÊ DEVE ESTAR SE PERGUNTANDO COMO PODE A DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA
ESTAR RELACIONADA AO CAMPO ELÉTRICO EM CONDUTORES ELÉTRICOS, SE SEU CAMPO
ELÉTRICO INTERNO É ZERO?
Na verdade, o campo elétrico interno será zero em condutores ideais, perfeitos, em equilíbrio eletrostático. Para esses condutores ideais, a
condutividade elétrica, σ, seria infinita. Para os demais condutores, o campo elétrico necessário para deslocar cargas é quase desprezível e
sua condutividade elétrica, σ, muito grande.
Vamos, agora, obter a dependência da resistência elétrica, R, de materiais condutores retilíneos com sua geometria. Para isso, acompanhe o
fluxo abaixo:
Consideremos um fio condutor retilíneo e cilíndrico de comprimento L, com área de seção reta A.

Se alimentarmos esse material retilíneo com uma diferença de potencial elétrico, V, o módulo do campo elétrico interno, →E , será constante, pois
a mesma diferença de potencial será verificada em cada trecho. Logo, usando a definição do potencial elétrico, V = − ∫ba→E .  →dl , temos:
V =∣∣∣→E ∣∣∣L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal


Para a corrente elétrica invariante I (consequência dos circuitos CC), temos da definição de densidade de corrente para o fio com área de seção
A:
I =∣∣∣→J ∣∣∣ A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Substituindo na equação ao lado, →J = σ→E , em módulo, aplicando V = R I, e também σ = 1/ρ, temos:
R = ρ     ou    R =   
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a dependência da resistência elétrica de materiais condutores com a resistividade elétrica, ρ, ou a condutividade, σ, é proporcional
ao comprimento retilíneo do fio, L, e inversamente proporcional à área de seção reta, A.
A RESISTIVIDADE DOS MATERIAIS, USUALMENTE OS METAIS, É FUNÇÃO DE SUA
TEMPERATURA E DE UM COEFICIENTE DE TEMPERATURA, Ρ = Ρ20 [1 + Α(T - 20°C)], EM QUE
Α É O COEFICIENTE DE TEMPERATURA DO MATERIAL E A MEDIDA É PADRONIZADA EM 20° C
POTÊNCIA ELÉTRICA
No modelo clássico da condução elétrica, quando um condutor elétrico é percorrido por uma corrente elétrica, seus portadores de cargas
submetidos a uma diferença de potencial, na presença de um campo elétrico, adquirem energia elétrica, aumentando sua energia cinética, que
é continuamente convertida em energia térmica, devido aos choques entre esses portadores de cargas e os íons da rede cristalina do material
condutor.
Apesar de os portadores de cargas adquirirem continuamente energia cinética do campo elétrico, em um condutor elétrico, esta é
continuamente convertida em energia térmica, e tal conversão em energia térmica é dependente da classe dos materiais, quanto à sua
condutividade.
Maus condutores elétricos e resistores elétricos são mais eficientes na conversão em energia térmica.

Bons condutores elétricos convertem menor energia térmica, comparativamente aos maus condutores.
A ESSE FENÔMENO, DE CONVERSÃO DE ENERGIA EM ENERGIA TÉRMICA, DAMOS O NOME
DE EFEITO JOULE.
DEMONSTRAÇÃO
Vamos, agora, demonstrar a construção do conceito de perda de potência elétrica por efeito Joule, em um condutor elétrico, submetido a uma
diferença de potencial, V, quando uma corrente elétrica constante, I, o atravessa.
Considerando a relação entre energia elétrica e potencial elétrico, V = , a perda de energia elétrica (–W) em um intervalo de tempo será a taxa
de variação temporal dessa energia elétrica convertida em energia térmica.
W = q V
 
= = V 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois a diferença de potencial, V, considerada, será constante.
LA Lσ A
Wq
d(W)dt d(qV)dt dqdt
Então, da definição de corrente elétrica, I = , podemos definir a perda de potência elétrica, P, relembrando da definição de potência da
mecânica clássica, P = .
Dessa forma:
P =   = V 
 
P = VI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E suas outras representações, por meio da Lei de Ohm, V = R I,
P = RI2 E P =
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. EM UMA EXPERIÊNCIA ELETROQUÍMICA, 2,0 × 109 ELÉTRONS PERCORREM A SOLUÇÃO, ENTRE DOIS
ELETRODOS, EM UM INTERVALO DE TEMPO DE 100 MS. CALCULE A CORRENTE ELÉTRICA NESSA REAÇÃO
QUÍMICA, CONSIDERANDO QUE POSSA SER MANTIDA CONSTANTE. LEMBRE-SE DE QUE O VALOR
ABSOLUTO DA CARGA FUNDAMENTAL DO ELÉTRON É DE, APROXIMADAMENTE, QE = 1,6 × 10-19C.
A) I = 3,2 A
B) I = 0,032 A
C) I = 32 A
D) I = 0,32 A
E) I = 320 A
2. UM CABO DE TRANSMISSÃO ELÉTRICA TRANSPORTA O EQUIVALENTE A N = 2,5 × 1018 ELÉTRONS LIVRES
AO LONGO DE SUA EXTENSÃO, A CADA SEGUNDO. SE ESSE CABO TIVER 3,0 CM DE DIÂMETRO, OBTENHA
A MAGNITUDE DA DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA QUE É CAPAZ DE CONDUZIR, A CADA SEGUNDO,
CONSIDERANDO QUE SUA CORRENTE ELÉTRICA SEJA HOMOGÊNEA E CONSTANTE.
A) 565,88Am2
B) 0,40 A
C) 3,5 ×1021Am2
dqdt
dWdt
d(W)dt dqdt
V2R
D) 0,40 Am2
E) 1,777,76 Am2
3. EM UMA PRÁTICA LABORATORIAL, UM ESTUDANTE MONTOU UM CIRCUITO DE UMA FONTE DE TENSÃO
∆V E UM RESISTOR ÔHMICO R. VARIANDO A TENSÃO NESSA FONTE, ANOTOU DADOS DE VALORES DA
TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO DO RESISTOR E DA CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITO. DUAS DAS TOMADAS
DE DADOS DOS VALORES NOMINAIS DE TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICA ESTÃO REPRESENTADAS NA
TABELA: 
V (VOLT) I (AMPERE)
7,3 0,002
12,5 0,004
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
OBTENHA O VALOR DA RESISTÊNCIA ELÉTRICA R DESSE CIRCUITO, CONSIDERANDO OS DADOS
TABELADOS.
A) 3125 Ω
B) 3750 Ω
C) 3438 Ω
D) 2600 Ω
E) 0 Ω
4. CONSIDERE UM CABO CONDUTOR DE COBRE, COM RESISTIVIDADE Ρ = 1,7 × 10-8 Ω.M, CONDUZINDO UMA
CORRENTE ELÉTRICA CONSTANTE I = 5,0 AMPERES. O CABO TEM COMPRIMENTO LINEAR DE 30 M E
DIÂMETRO DE D = 0,13 CM. CALCULE A QUEDA DE POTENCIAL ELÉTRICO NESSE CABO.
A) ΔV = 1,92 V
B) ΔV = 0,384 Ω
C) ΔV = 0,384 V
D) ΔV = 0 V
E) ΔV = 0,48 V
5. EM ALGUMAS REGIÕES DO PAÍS, O CUSTO DA ENERGIA ELÉTRICA CORRESPONDE A R$ 0,95 POR KWH
(103 WATT. HORA). SE UM CHUVEIRO ELÉTRICO TIVER POTÊNCIA DE CONSUMO DE 5500 W, SUPONHA UMA
UTILIZAÇÃO DE 30 DIAS NO MÊS, COM 1 HORA DIÁRIA DE USO MÉDIO PARA UMA FAMÍLIA COM 4 PESSOAS.
QUAL SERÁ O CUSTO EM REAIS DA UTILIZAÇÃO DESSE CHUVEIRO ELÉTRICO?
A) R$ 174,17
B) R$ 7,18
C) R$ 192,98
D) R$ 183,33
E) R$ 156,75
6. CALCULE A POTÊNCIA DISSIPADA POR UM RESISTOR DE 10 Ω, SE A DIFERENÇA DE POTENCIAL A QUE
FOI SUBMETIDO FOR DE 220 V. CALCULETAMBÉM A CORRENTE ELÉTRICA QUE O PERCORRE.
A) P = 10 W I = 22 A
B) P = 22 W I = 4840 A
C) P = 4840 W I = 22 A
D) P = 22 W I = 10 A
E) P = 484 W I = 2 A
GABARITO
1. Em uma experiência eletroquímica, 2,0 × 109 elétrons percorrem a solução, entre dois eletrodos, em um intervalo de tempo de 100
ms. Calcule a corrente elétrica nessa reação química, considerando que possa ser mantida constante. Lembre-se de que o valor
absoluto da carga fundamental do elétron é de, aproximadamente, qe = 1,6 × 10-19C.
A alternativa "D " está correta.
Se a corrente elétrica, na reação química, pode ser mantida constante, então I = ∆Q/∆t.
Assim, ∆Q = N × qe, em que N é o número de elétrons conduzidos no intervalo de tempo considerado. Devemos converter o intervalo de tempo
para segundos.
Logo:
I=(2,0 ×1017 × 1,6×10-19C)100×10-3s= 0,32 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um cabo de transmissão elétrica transporta o equivalente a N = 2,5 × 1018 elétrons livres ao longo de sua extensão, a cada
segundo. Se esse cabo tiver 3,0 cm de diâmetro, obtenha a magnitude da densidade de corrente elétrica que é capaz de conduzir, a
cada segundo, considerando que sua corrente elétrica seja homogênea e constante.
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
3. Em uma prática laboratorial, um estudante montou um circuito de uma fonte de tensão ∆V e um resistor ôhmico R. Variando a
tensão nessa fonte, anotou dados de valores da tensão de alimentação do resistor e da corrente elétrica no circuito. Duas das
tomadas de dados dos valores nominais de tensão e corrente elétrica estão representadas na tabela: 
V (Volt) I (Ampere)
7,3 0,002
12,5 0,004
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Obtenha o valor da resistência elétrica R desse circuito, considerando os dados tabelados.
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
4. Considere um cabo condutor de cobre, com resistividade ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m, conduzindo uma corrente elétrica constante I = 5,0
Amperes. O cabo tem comprimento linear de 30 m e diâmetro de d = 0,13 cm. Calcule a queda de potencial elétrico nesse cabo.
A alternativa "A " está correta.
Vamos calcular a resistência elétrica e, em seguida, calcular a queda de potencial elétrico. A área de seção reta do fio é um disco de área A = π
(d/2)2. O diâmetro, de centímetros, deve ser convertido para o metro.
Então:
R=ρ LA ⟹ R=1,7 × 10-8 Ω.m × 30 mπ0,13×10-222m2=0,384 Ω
 
∆V=RI ⟹ ∆V=0,384 Ω × 5 Ampere
 
∆V=1,92 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, ΔV = 1,92 V, que serão consumidos em 30 metros de cabo.
5. Em algumas regiões do País, o custo da energia elétrica corresponde a R$ 0,95 por KWh (103 Watt. hora). Se um chuveiro elétrico
tiver potência de consumo de 5500 W, suponha uma utilização de 30 dias no mês, com 1 hora diária de uso médio para uma família
com 4 pessoas. Qual será o custo em reais da utilização desse chuveiro elétrico?
A alternativa "E " está correta.
P = 5500 W = 5.5 kW ⟹ t = 1 h × 30 dias = 30 h
E = 5.5 kW × 30 h = 165 kWh
Custo = 165 kWh × 0,95 R$/kWh
Custo = R$ 156,75
6. Calcule a potência dissipada por um resistor de 10 Ω, se a diferença de potencial a que foi submetido for de 220 V. Calcule também
a corrente elétrica que o percorre.
A alternativa "C " está correta.
P=V2R=(220)210=4840 WP=VI ⇒ 4840 W=220 II=22 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere um condutor elétrico real, retilíneo e de comprimento L, com área de seção reta A, atravessado por uma corrente elétrica constante,
I, quando submetido a uma diferença de potencial elétrico V. Demonstre a obtenção da forma mais conhecida da Lei de Ohm, V = R I, a partir
da segunda forma da lei, →J = σ→E , considerando que resistência elétrica é uma função da resistividade elétrica, R = ρ .
RESOLUÇÃO
Vamos lembrar que σ =   . Assim, →J = →E . Além disso, V(r) =   − ∫ra→E .  d→l e como, nesse condutor elétrico, o potencial elétrico é constante,
teremos V =∣∣∣→E ∣∣∣L, pois o campo elétrico será constante no condutor. Assim:
∣∣∣ →J  ∣∣  =  ∣∣→E ∣∣∣     ⟹      ∣∣∣ →J  ∣∣∣=   
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, ∣∣∣→J ∣∣∣= I/A. Logo, como R = ρ :
=            ⇒        V = I (ρ )        ⇒        V = R I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja a seguir a solução desta questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM CILINDRO, DE COMPRIMENTO Z, CONSTITUÍDO DE MATERIAL CONDUTOR COM
RESISTIVIDADE HOMOGÊNEA Ρ CONSTANTE, OCO E COM UMA ESPESSURA TAL QUE O RAIO INTERNO
CILÍNDRICO SEJA A E O RAIO EXTERNO CILÍNDRICO SEJA B. SE UMA DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO
FOR ESTABELECIDA ENTRE OS RAIOS INTERNO E EXTERNO DESSE CILINDRO RESISTOR, UMA CORRENTE
ELÉTRICA FLUIRÁ RADIALMENTE. CALCULE SUA RESISTÊNCIA ELÉTRICA, COMO FUNÇÃO DE SUA
GEOMETRIA.
A) R=ρ ZA 
B) R= ρ2π Z ln r
C) R= ρ2π r Z 
D) R= ρ2π r ln Z 
LA
1ρ 1ρ
1ρ 1ρVL
LA
IA 1ρVL LA
E) R= ρ2π Z lnba
2. UM CIRCUITO ELÉTRICO RESISTIVO COM UM RESISTOR R= 4 Ω É ALIMENTADO POR UMA FONTE DE
TENSÃO CONSTANTE ∆V=12 VOLTS. NO ENTANTO, SABEMOS QUE TODA FONTE DE TENSÃO POSSUI UMA
RESISTÊNCIA INTERNA, NOTADAMENTE PORQUE SE AQUECE. UM AMPERÍMETRO, USADO PARA MEDIR A
CORRENTE ELÉTRICA NESSE CIRCUITO, INDICA UMA CORRENTE I=2 A. CALCULE A POTÊNCIA ELÉTRICA
CONSUMIDA, PR, PELA RESISTÊNCIA INTERNA NA FONTE DE TENSÃO.
A) Pr = 24 W
B) Pr = 16 W
C) Pr = 8 W
D) Pr = 12 W
E) Pr = 4 W
GABARITO
1. Considere um cilindro, de comprimento Z, constituído de material condutor com resistividade homogênea ρ constante, oco e com
uma espessura tal que o raio interno cilíndrico seja a e o raio externo cilíndrico seja b. Se uma diferença de potencial elétrico for
estabelecida entre os raios interno e externo desse cilindro resistor, uma corrente elétrica fluirá radialmente. Calcule sua resistência
elétrica, como função de sua geometria.
A alternativa "E " está correta.
 
Considere um corte de seção reta do cilindro, com raio a ≤ r ≤ b, como indicado abaixo:
 Corte em seção reta do resistor cilíndrico oco
A resistência R como função da resistividade ρ: R=ρ LA terá de ser adaptada para esse problema cilíndrico. Se, antes, L era o comprimento de
um fio, agora, terá de ser a distância radial cilíndrica r, pois a corrente aqui flui radialmente no cilindro. Vamos calcular para um elemento de
resistência dR em uma casca cilíndrica e integrar de a até b.
R=∫abdR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a área da casca cilíndrica de comprimento Z e espessura r será:
A=2π r Z 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular dR, usaremos o elemento de distância radial dr:
dR= ρ drA ⟹ dR= ρ dr2π r Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, integrando de a até b, temos:
R = ∫abdR = ρ2π Z∫abdrr ⟹ R= ρ2π Z ln ba 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a resistência elétrica é função da geometria do componente.
2. Um circuito elétrico resistivo com um resistor R= 4 Ω é alimentado por uma fonte de tensão constante ∆V=12 Volts. No entanto,
sabemos que toda fonte de tensão possui uma resistência interna, notadamente porque se aquece. Um amperímetro, usado para
medir a corrente elétrica nesse circuito, indica uma corrente I=2 A. Calcule a potência elétrica consumida, Pr, pela resistência interna
na fonte de tensão.
A alternativa "C " está correta.
 
A potência elétrica fornecida pela fonte de tensão é consumida, no circuito, como consequência do princípio de conservação da energia. Então,
vamos calcular as contribuições de potências elétricas geradas e consumidas. Apotência elétrica que a fonte de tensão seria capaz de
fornecer, caso fosse ideal e não se aquecesse, é:
P∆V=V I=12 volts × 2 A=24 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência consumida pelo resistor R é:
PR=R I2= 4 Ω × (2A)2=16 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Claramente, há uma discrepância entre a potência que a fonte seria capaz de gerar com a potência consumida pelo resistor. Como deve haver
o equilíbrio, visto que de outra forma a corrente elétrica teria valor diferente, significa que a fonte elétrica possui uma resistência interna e se
aquecerá, consumindo energia, por efeito Joule. O valor de potência discrepante é exatamente a potência consumida pela resistência interna da
fonte. Então:
P∆V- PR=24 W-16 W=8 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Aplicar as regras de Kirchhoff aos circuitos CC resistivos
CIRCUITOS CC
Um circuito de corrente contínua (CC) é um arranjo elétrico ou eletrônico que envolve uma ou mais fontes de tensão elétrica contínua e
componentes consumidores elétricos, em uma circulação fechada de corrente elétrica.
Essa fonte de tensão foi chamada de f.e.m. – força eletromotriz. Entretanto, do ponto de vista dimensional da grandeza física, sabemos que
de força não tem nada. O nome remete à compreensão histórica, dos primórdios da investigação dos fenômenos elétricos, da fonte elétrica de
origem mecânica ou química capaz de produzir uma diferença de potencial elétrico e mover máquinas ou produzir esforços mecânicos.
 COMENTÁRIO
Tal nomenclatura continua largamente utilizada ainda hoje. Também se costuma chamar de f.e.m. as fontes de tensão alternadas, que
deixaremos para mais tarde.
Os circuitos CC podem ser montados ou projetados em malhas, que são sessões ou partes, do circuito todo, sempre com circulação fechada de
corrente elétrica. As figuras ilustram circuitos elétricos CC com mais de uma malha:
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura a temos um circuito CC com uma fonte de tensão contínua (f.e.m.) em três malhas, que correspondem às três sessões no mesmo
circuito, conectados nos pontos indicados.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura b, temos um circuito CC com três fontes elétricas em duas malhas.
Além disso, chamamos de nó cada ponto de um circuito que corresponde a uma divisão de corrente elétrica. Nas figuras anteriores,
ilustrativas de circuitos CC, todo ponto indicado que conecta três ou mais linhas condutoras é chamado nó.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura a temos, em princípio, quatro nós, nos pontos A, B, C e D.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura b, temos dois nós, nos pontos B e C.
TODOS OS DEMAIS PONTOS DAS LINHAS CONDUTORAS DOS DOIS CIRCUITOS, INDICADOS
OU NÃO, NÃO CONSTITUEM NÓS, POIS AS CORRENTES ELÉTRICAS NÃO SERÃO DIVIDIDAS
NESSES PONTOS, MAS APENAS CONDUZIDAS.
Ambos os circuitos das figuras envolvem fontes CC e resistores elétricos, que são consumidores de energia elétrica, ou seja, convertem energia
elétrica em energia térmica por efeito Joule. Vamos chamá-los de circuitos CC resistivos.
 ATENÇÃO
Uma fonte de tensão somente poderá disponibilizar energia elétrica por meio de uma diferença de potencial elétrico. Ainda que, às vezes,
sejam referidas como fontes de correntes, não o são. Essa falha conceitual, de creditar a uma f.e.m. como a fonte da corrente elétrica, levaria a
outros conceitos incorretos. Não podemos chamá-las de fontes de corrente elétrica.
Não é possível acumular nem ceder corrente elétrica, pois corrente é fluxo. As correntes elétricas surgem como consequência de diferenças de
potencial elétrico. Somente energia elétrica e cargas elétricas podem ser acumuladas e, então, cedidas. As fontes de potencial elétrico, quando
conectadas em circuitos elétricos, estabelecem desequilíbrios elétricos de energia e cargas elétricas. A natureza, ao buscar o equilíbrio dos
sistemas físicos, com distribuição de cargas e equipartição de energias, propicia o surgimento de correntes, por meio da movimentação de
cargas elétricas.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Neste módulo, vamos abordar os circuitos CC resistivos, que são circuitos com fontes de tensão e resistores elétricos. Antes, porém, vamos
analisar como trabalhar com associações ou arranjos de resistores em série e em paralelo.
Nesse sentido, resistores elétricos podem ser conectados em associações de resistores em série e em paralelo. Sempre que conectarmos
resistores, com arranjos em série e em paralelo, o resultado será o de uma resistência equivalente.
Se precisarmos de um resistor elétrico de determinado valor de resistência, podemos associar outros resistores de forma a obter a resistência
equivalente desejada.
NÃO CONFUNDA RESISTORES (COMPONENTES) COM RESISTÊNCIA (FENÔMENO).
ARRANJO 
EM SÉRIE
Vamos considerar o arranjo de N resistores em série, como ilustrado na figura a seguir:
 
Fonte: Omegatron/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
 Resistores em série
Perceba que uma diferença de potencial elétrico total ∆V será a soma das quedas de potenciais em cada resistor em série. Assim:
ΔV = ∑Ni=1Vi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse arranjo em série, cada resistor conduzirá a mesma corrente elétrica, I. Então, a resistência elétrica equivalente em série Reqsérie com
a aplicação da Lei de Ohm, será:
V = R I
 
ΔVtotal = V1 + V2 + ⋯ + VN
 
Req . I = I (R1 + R2 + ⋯ + RN)
 
Reqsérie = ∑Ni=1Ri
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO 
EM PARALELO
Vamos, agora, considerar o arranjo de N resistores em paralelo, como ilustrado na figura a seguir:
 
Fonte: Omegatron/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
 Resistores em paralelo
Perceba que a corrente elétrica total que percorre o sistema de resistores em paralelo será a soma das correntes elétricas que percorrem cada
resistor em paralelo Ri, em que i = 1, 2, 3, ..., N. Ou seja:
Itotal = ∑Ni=1 Ii
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, como cada resistor será alimentado pelo mesmo potencial elétrico, ΔV, pois estão associados em paralelo, a resistência elétrica
equivalente em paralelo, Reqparalelo com a aplicação da Lei de Ohm, será:
V = R I
 
Itotal = I1 + I2 + ⋯ + IN
 
= + + ⋯ +
 
= ∑Ni=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Como a expressão anterior lida com quantidades inversas, é preciso ter cuidado com o cálculo operacional da resistência equivalente em
paralelo.
Agora, vamos analisar como projetar e solucionar circuitos CC resistivos em uma ou mais malhas. Nem sempre poderemos usar as
associações de resistores, assim como de outros componentes, para solucionar simplificadamente os circuitos.
REGRAS DE KIRCHHOFF
Para a análise e solução dos circuitos elétricos, de uma ou mais malhas e com diversos componentes elétricos possíveis (como veremos
adiante), usamos duas regras que são consequência de dois princípios físicos gerais e fundamentais aplicados ao problema:
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA
O princípio de conservação da carga elétrica estabelece que a totalidade das cargas elétricas em um sistema físico deve ser conservada. No
contexto da eletrodinâmica clássica, cargas elétricas não podem ser criadas nem destruídas.
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
O princípio de conservação da energia estabelece que a totalidade da energia de um sistema físico isolado não pode ser alterada, mas somente
transformada.
Como consequência desses dois princípios físicos, para a análise e solução dos circuitos elétricos, temos as regras de Kirchhoff:
REGRA DOS NÓS
A soma de todas as correntes elétricas que chegam a um nó de um circuito elétrico deve ser igual à soma de todas as correntes elétricas que
saem desse mesmonó. Ou seja, a totalidade das correntes elétricas em um nó deve ser igual a zero.
∑i Ii = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REGRA DAS MALHAS
A soma de todos os acréscimos de potencial elétrico ao longo de uma malha de um circuito elétrico deve ser igual à soma dos decréscimos de
potencial na mesma malha. Ou seja, a totalidade dos aumentos e das diminuições de potencial elétrico em uma malha deve ser igual a zero.
∑i Vi = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com as duas regras de Kirchhoff, podemos construir sistemas algébricos de equações lineares acopladas típicas da álgebra linear, para a
análise e solução de circuitos elétricos
ΔVReqΔVR1ΔVR2 ΔVRN
1Reqparalelo1Ri
javascript:void(0)
javascript:void(0)
DEMONSTRAÇÃO
Consideremos o circuito CC, a seguir, com quatro resistores e três fontes de tensão ideais. Vamos calcular as soluções das correntes elétricas I,
I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão E1,E2 e E3 e dos resistores R1,R2,R3 e R4, de acordo com a tabela e a figura a seguir. Ao
final, vamos calcular as potências fornecidas pelas fontes de tensão e as potências consumidas pelos resistores. Considere as orientações das
correntes indicadas.
 
Fonte: O autor
 Circuito CC resistivo de duas malhas
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 8 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 2 Ω
E3 = 8 V R3 = 2 Ω
R4 = 6 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Este é um circuito CC ideal de duas malhas e um único nó independente de divisão de corrente elétrica, pois os nós identificados nos pontos A
e B são equivalentes — ambos lidam com as mesmas correntes nas mesmas orientações de fluxo.
Agora, vamos aplicar as regras de Kirchhoff, dos nós e das malhas ao circuito.

Primeiro, é preciso escolher as orientações das correntes, como a figura exemplifica com as setas em vermelho
Depois, devemos identificar os nós independentes, como o ponto A, e obter a equação correspondente da regra dos nós.


Nos pontos A e B desse circuito, a regra dos nós resultará na mesma equação.
Após, para cada uma das duas malhas, aplicando a regra das malhas, obteremos uma equação algébrica independente.


A solução do sistema de três equações lineares acopladas nos dará as soluções das correntes elétricas buscadas.
O uso de sinais para os aumentos ou diminuições dos potenciais respeitará a seguinte convenção: à esquerda da igualdade, são relacionados
os aumentos de potenciais e, à direita da igualdade, são relacionadas as quedas de potenciais. A fonte de tensão E3 está com orientação dos
polos de potenciais no sentido contrário ao fluxo da corrente I1, assim será considerada um consumidor de energia, como uma bateria sendo
carregada, por exemplo.


A aplicação da regra das malhas deve seguir uma circulação fechada de corrente, em uma orientação de escolha. As correntes em contrário a
essa orientação terão sinal negativo na equação.
Vamos aos cálculos:
⎧⎪⎨⎪⎩
I = I1 + I2
E1 + E2 = R1I + R2I + R3I1 + E3
E3 = −R3I1 + R4I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
⎧⎪⎨⎪⎩
I = I1 + I2
8 + 4 = 1I + 2I + 2I1 + 4
4 = −2I1 + 6I2       ⟹         ⎧⎪⎨⎪⎩
I = I1 + I2
8 = 3I + 2I1
2 = −I1 + 3I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
8 = 3(I1 + I2)+2I1
I1 = 3I2 − 2               ⟹          {
8 = 5I1 + 3I2
I1 = 3I2 − 2   
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8 = 5(3I2 − 2)+3I2
8 = 15I2 − 10 + 3I2
18 = 18I2
         ⟹        ⎧⎪⎨⎪⎩
I2 = 1A
I1 = 3I2 − 2 = 1A
I = I1 + I2 = 2A          
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENTÃO, AS CORRENTES ELÉTRICAS SÃO I1 = 1A ; I2 = 1A ; I=2A.
Ainda nos falta calcular as potências fornecidas pelas fontes de tensão e as potências consumidas pelos resistores. Vejamos:
Potências fornecidas pelas fontes de tensão Potências consumidas pelos resistores
P = VI          PR1 = R1. I2 = 1 ⋅ 22 = 4W
PE1 = E1 ⋅ I = 16W PR2 = R2 ⋅ I2 = 2 ⋅ 22 = 8W
PE2 = E2 ⋅ I = 8W PR3 = R3 ⋅ I21 = 2 ⋅ 12 = 2W
PE3 = E3 ⋅ I1 = 4W PR4 = R4 ⋅ I22 = 6 ⋅ 12 = 6W
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Considerando tais resultados das potências, chama-nos a atenção que a soma das potências fornecidas pelas fontes de tensão (P = 28 W) não
seja igual à soma das potências consumidas pelos resistores (PR = 20 W). Então, o que ocorreu? Na verdade, uma das fontes de tensão estava
consumindo energia, (PE3 = 4W). Assim, a potência fornecida pelas fontes que alimentam o circuito resistivo é de Pfontes = 24W, e a potência
consumida pelos resistores e pela fonte E3 é de Pconsumo = 24W, como esperávamos.
MÃO NA MASSA
1. NA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA, A SEGUIR, CALCULE A RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DO
SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 10 Ω
C) Req = 8,67 Ω
D) Req = 6,67 Ω
E) Req = 6 Ω
2. CONSIDERE A ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA, A SEGUIR, NA QUAL IMPLEMENTAMOS UMA
NOVA CONEXÃO, EM VERMELHO, NA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DO PROBLEMA ANTERIOR. REPARE
QUE ESSA MODIFICAÇÃO ALTERA FORTEMENTE O SISTEMA E SUA SOLUÇÃO. CALCULE A RESISTÊNCIA
EQUIVALENTE DESSE SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 2,99 Ω
C) Req = 1,94 Ω
D) Req = 1,05 Ω
E) Req = 9 Ω
3. CONSIDEREMOS O CIRCUITO CC, A SEGUIR, COM TRÊS RESISTORES E DUAS FONTES DE TENSÃO
IDEAIS. CALCULE AS SOLUÇÕES DAS CORRENTES ELÉTRICAS I,I1 E I2, CONHECENDO OS DADOS DAS
FONTES DE TENSÃO E1,E2 E DOS RESISTORES R1,R2,R3, DE ACORDO COM A TABELA E A FIGURA A
SEGUIR. CONSIDERE AS ORIENTAÇÕES DAS CORRENTES INDICADAS. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
E (FONTES DE TENSÃO) R (RESISTORES)
E1 = 12 V R1 = 2 Ω
E2 = 2 V R2 = 2 Ω
R3 = 2 Ω
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) I1=1 A ; I2=1 A; I=2 A 
B) I1=2 A ; I2=2 A; I=1 A 
C) I1=11 A ; I2=7 A; I=2 A 
D) I1=73 A ; I2=43 A; I=11 A 
E) I1=43 A ; I2=73 A; I=113 A 
4. NO CIRCUITO TRABALHADO NO PROBLEMA ANTERIOR E COM OS MESMOS DADOS, CALCULE A ENERGIA
CONSUMIDA, POR EFEITO JOULE, PELOS RESISTORES DO CIRCUITO E A CONSEQUENTE GERAÇÃO DE
CALOR, NO INTERVALO DE 60 SEGUNDOS.
A) 3729 J
B) 2.480 J
C) 1.240 J
D) 60 J
E) 2.640J
5. SEJA O CIRCUITO CC, ABAIXO, COM CINCO RESISTORES E TRÊS FONTES DE TENSÃO IDEAIS. VAMOS
CALCULAR AS SOLUÇÕES DAS CORRENTES ELÉTRICAS I,I1 E I2, CONHECENDO OS DADOS DAS FONTES DE
TENSÃO E1,E2 E E3 E DOS RESISTORES R1,R2,R3,R4,R5, DE ACORDO COM A TABELA E A FIGURA A SEGUIR.
CONSIDERE AS ORIENTAÇÕES DAS CORRENTES INDICADAS. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
 
E (FONTES DE TENSÃO) R (RESISTORES)
E1 = 2 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 1 Ω
E3 = 2 V R3 = 1 Ω
R4 = 1 Ω
R5 = 4 Ω
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) I1=1 A ; I2=1 A; I=2 A 
B) I1=2 A ; I2=1 A; I=-1 A 
C) I1=5 A ; I2=7 A; I=2 A 
D) I1=25 A ; I2=15 A; I=-15 A
E) I1=43 A ; I2=73 A; I=113 A 
6. NO MESMO CIRCUITO DO PROBLEMA ANTERIOR, VAMOS NOMEAR OS NÓS COMO PONTOS A E B.
AGORA, CALCULE A DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO ENTRE ESSES PONTOS A E B, OU SEJA VA - VB.
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
A) VA-VB=125 V 
B) VA-VB=4 V
C) VA-VB=8 V
D) VA-VB=0 V
E) VA-VB=285 V
GABARITO
1. Na associação de resistores da figura, a seguir, calcule a resistência equivalente do sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
2. Considere a associação de resistores da figura, a seguir, na qual implementamos uma nova conexão, em vermelho, na associação
de resistores do problema anterior. Repare que essa modificação altera fortemente o sistema e sua solução. Calcule a resistência
equivalente desse sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "B " está correta.
Neste problema, observe que a nova conexão, em vermelho, faz com que os três resistoresà esquerda da linha em vermelho estejam em
paralelo (4 Ω, 5 Ω e 2 Ω). Os resistores à direita da linha em vermelho estão, agora, todos em paralelo (10 Ω, 15 Ω, 10 Ω, 10 Ω, 20 Ω, 10 Ω). E
esses dois blocos de resistores, à esquerda e à direita da conexão em vermelho, estão em série. Então:
Req1=14+15+12-1≡1,0526 Ω
 
Req2=110+115+110+110+120+110-1
 
=410+115+120-1=1,935 Ω
 
Req=1,0526Ω+1,935Ω⟹2,99 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Consideremos o circuito CC, a seguir, com três resistores e duas fontes de tensão ideais. Calcule as soluções das correntes
elétricas I,I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão E1,E2 e dos resistores R1,R2,R3, de acordo com a tabela e a figura a
seguir. Considere as orientações das correntes indicadas. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 12 V R1 = 2 Ω
E2 = 2 V R2 = 2 Ω
R3 = 2 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
4. No circuito trabalhado no problema anterior e com os mesmos dados, calcule a energia consumida, por efeito Joule, pelos
resistores do circuito e a consequente geração de calor, no intervalo de 60 segundos.
A alternativa "B " está correta.
P1=R1I2=2Ω113A2=2429wattP2=R2I22=2Ω73A2=989wattP3=R3I12=2Ω43A2=329watt ⟹ W=Ptotal.ΔtW=P1+P2+P3⋅ΔtW=3729watt⋅60s=2.480J 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja o circuito CC, abaixo, com cinco resistores e três fontes de tensão ideais. Vamos calcular as soluções das correntes elétricas
I,I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão E1,E2 e E3 e dos resistores R1,R2,R3,R4,R5, de acordo com a tabela e a figura a
seguir. Considere as orientações das correntes indicadas. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
 
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 2 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 1 Ω
E3 = 2 V R3 = 1 Ω
R4 = 1 Ω
R5 = 4 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Vamos adotar uma escolha de orientação das correntes, como indicado nas setas em vermelho. Se, ao final, alguma corrente tiver valor
negativo, não será preciso alterar a solução, apenas deveremos interpretar que essa corrente terá sentido contrário ao indicado. Entretanto,
isso não altera os fenômenos elétricos dos circuitos.
Devemos aplicar as regras de Kirchhoff.
Vamos escolher, para a regra dos nós, um dos dois nós indicados, que são equivalentes. Para a regra das malhas, vamos adotar (1) a malha
mais externa e (2) a malha à esquerda na figura. Como o circuito possui duas malhas, podemos equacionar para quaisquer duas circulações
fechadas de corrente no circuito.
Assim:
A alternativa "D " está correta.
I+I1=I22=1I+1I2+2+1I2+1I 2=1I+4-4I1+1I ⟹ I+I1=I22=2I+2I2+22=2I+4-4I1
 
I+I1=I2I+I2=0I-2I1=-1 ⟹ I+I+I1=0I- 2I1=-1 ⟹ 2I+I1=0I=2I1-1 
 
22I1-1+I1=05I1-2=0 ⟹ I1=25AI=-15AI2=15A 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. No mesmo circuito do problema anterior, vamos nomear os nós como pontos A e B. Agora, calcule a diferença de potencial elétrico
entre esses pontos A e B, ou seja VA - VB.
 Circuito CC resistivo de duas malhas
A alternativa "A " está correta.
No trecho do circuito entre os pontos A e B, o resistor de 4 Ω consome energia fornecida pela f.e.m. de 4 V. Assim, como o ponto A está
conectado ao polo positivo da f.e.m., terá o mesmo potencial deste polo, pois será um trecho equipotencial. Assim, para a diferença de
potencial entre os nós A e B, devemos subtrair o potencial de queda do resistor de 4 Ω da diferença de potencial fornecida pela f.e.m. Então,
dos cálculos das correntes elétricas desse circuito no problema anterior, temos:
VA-VB= E2- 4I1 ⟹ I1=25AE2=4 V
 
VA-VB=4 - 4.25 V ⟹ VA-VB=125 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
No circuito CC representado na figura, vamos obter as potências fornecidas pelas baterias do circuito, individualmente. Para isso, precisamos
calcular as correntes elétricas que circulam no circuito.
 
Fonte: O autor
 Circuito CC resistivo de duas malhas
RESOLUÇÃO
Vamos aplicar as regras de Kirchhoff de acordo com a orientação das correntes da figura. Usaremos o nó identificado pelo ponto B. Logo
⎧⎪⎨⎪⎩
I2 = I1 + I3
12 = 4I1 + 6I2
12 = 3I3 + 6I2       ⟹         {
12 = 4I1 + 6(I1 + I3)
12 = 3I3 + 6(I1 + I3)
⎩ {
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Subtraindo as equações à direita, obtemos uma relação entre I1 como função de I3.
Aplicando essa relação na primeira equação das malhas, obtemos I2 como função de I3:
⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩
 4I1 − 3I3 = 0
 I1 = I3
 I2 = I3 + I3 = I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta substituir essas relações em qualquer das equações das malhas e obter as correntes do circuito:
⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩
12 = 4(I3)+6(I3)
12 = 3I3 + I3
= I3 + I3           ⟹              
I3 = = =   A
I1 = ⋅ = =   A
I2 = ⋅ =  A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, I3 = A;  I1 = A;  I2 = A. No entanto, o problema solicita o cálculo das potências fornecidas pelas baterias do circuito. Então:
P = VI
PE1 = E1 ⋅ I1 = 12V ⋅ A = 8 W
PE2 = E2 ⋅ I3 = 12V ⋅ A =  W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse resultado nos mostra que fontes de tensão iguais podem nos fornecer potências diferentes, a depender da sua demanda. Entretanto, são
projetadas para uma potência nominal útil máxima que não devemos superar, com risco de danos aos equipamentos.
Veja a seguir a solução desta questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CHAMAMOS DE CURTO-CIRCUITO CONTATOS OU CONEXÕES ELÉTRICAS QUE PERMITEM QUE A
CORRENTE ELÉTRICA SIGA UM PERCURSO ELÉTRICO COM O MENOR DISPÊNDIO DE ENERGIA, PARA OS
PORTADORES DE CARGAS. ENTÃO, CONSIDERE A ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA A SEGUIR.
34
34 74
34 74
424
484 124 424
4854 2427 89
34 89 2436 23
74 89  149
89 23  149
23
89 323
OBSERVE QUE FOI CONECTADA UMA LINHA DE CURTO, INDICADA EM VERMELHO. CALCULE A
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DESSE SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 2,99 Ω
C) Req = 1,94 Ω
D) Req = 1,05 Ω
E) Req = 9 Ω
2. NO CIRCUITO CC, A SEGUIR, CALCULE A POTÊNCIA TOTAL CONSUMIDA PELOS TRÊS RESISTORES DO
CIRCUITO. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
A) Peq = 2,37 W
B) Peq = 14,52 W
C) Peq = 1,78 W
D) Peq = 18,67 W
E) Peq = 24 W
GABARITO
1. Chamamos de curto-circuito contatos ou conexões elétricas que permitem que a corrente elétrica siga um percurso elétrico com o
menor dispêndio de energia, para os portadores de cargas. Então, considere a associação de resistores da figura a seguir. Observe
que foi conectada uma linha de curto, indicada em vermelho. Calcule a resistência equivalente desse sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "C " está correta.
 
A linha de curto na associação de resistores da figura encurta o caminho que a corrente elétrica deve seguir, desde o ponto onde o potencial
elétrico é mais alto até o ponto onde o potencial elétrico é mais baixo. Perceba que a linha de curto, em vermelho, permite a condução elétrica
de tal maneira que os três resistores à esquerda foram tornados irrelevantes. A corrente elétrica poderá seguir o caminho de menor dispêndio
energético sem a necessidade de ser conduzida por esses três resistores à esquerda. Assim, a associação de resistores resulta nos resistores
à direita da linha vermelha vertical, que estão todos em paralelo.
Desse modo:
 Req=110+115+110+110+120+110-1=410+115+120-1=1,935 Ω ⟹ Req≃1,94 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. No circuito CC, a seguir, calcule a potênciatotal consumida pelos três resistores do circuito. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
A alternativa "D " está correta.
 
Para o cálculo da potência elétrica de consumo dos resistores, precisamos previamente calcular as correntes elétricas que circulam no circuito.
Vamos aplicar as regras de Kirchhoff de acordo com a orientação das correntes da figura. Usaremos o nó identificado pelo ponto B. (O cálculo
das correntes elétricas desse circuito já foi efetuado no Teoria na Prática, de forma que iremos recapitular e seguir para a potência de consumo
dos resistores). Assim:
I2=I1+I312=4I1+6I212=3I3+6I2 ⟹ 12=4I1+6I1+I312=3I3+6I1+I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Subtraindo as equações à direita, obtemos uma relação entre I1 como função de I3. Aplicando essa relação na primeira equação das malhas,
obtemos I2 como função de I3:
 4I1-3I3=0 I1=34I3 I2=34I3+I3=74I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta substituir essas relações em qualquer das equações das malhas e obter as correntes do circuito:
12=434I3+674I312=3I3+424I3484=124I3+424I3 ⟹ I3=4854=2427= 89AI1=34⋅89=2436= 23AI2=74⋅89= 149A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, I3=89A; I1=23A; I2= 149A. Mas o problema solicita o cálculo da potência total de consumo dos resistores do circuito. Então,
PR1=R1I12=4Ω⋅23A2≅1,78 W
PR2=R2I22=6Ω⋅149A2≅14,52 W
PR3=R3I32=3Ω⋅89A2≅2,37 W
 
PR=PR1+PR2+PR3PR=18,67 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o tema da corrente elétrica e os circuitos elétricos C.C., iniciamos os estudos sobre os princípios dos fenômenos elétricos dinâmicos e
suas aplicações tecnológicas. É fundamental que você perceba que todos os itens de estudo da eletrodinâmica clássica, mesmo aqueles
aparentemente mais teóricos, têm aplicação tecnológica e fazem parte da nossa sociedade tecnológica moderna.
Neste tema, você estudou a corrente elétrica, a resistência, a resistividade e a condutividade elétrica, a lei de Ohm e a análise dos circuitos C.C.
resistivos, por meio das regras de Kirchhoff. Não deixe de experimentar as indicações complementares em Explore +.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III – Sears & Zemansky. Vol. 3. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: eletromagnetismo. Vol. 3. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
GRIFFITHS, David J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: eletromagnetismo. 1 ed. São Paulo: Blucher, 2018.
BARROS, Luciane M. Física teórica experimental III. 1 ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia sobre o modelo clássico da condução elétrica e a correção ao modelo no livro Física para cientistas e engenheiros, de Paul Tipler.
Leia sobre condutores, isolantes, semicondutores e transistores no livro Física para cientistas e engenheiros, de Paul Tipler.
Leia sobre voltímetros, amperímetros, ohmímetros e potenciômetros em Sears & Zemansky , Física III: eletromagnetismo, 2015.
Busque o simulador de resistores e resistência elétrica, do Projeto Phet, da Universidade do Colorado, Boulder.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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