GABARITO - Avaliação II - Individual

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:765037)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 56173679
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as 
soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais de vibração de um 
instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender 
corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
B É um número real que anula a transformação.
C É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
D É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o vetor que liga 
estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo 
das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido 
pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B para A:
A u = (-1,-4,2).
B u = (-1,-4,-2).
C u = (-1,-4,-4).
D u = (0,-4,-4).
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, 
imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. 
Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
A 2.
B 3.
C 1.
D 0.
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A+ Alterar modo de visualização
1
2
3
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, 
mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo 
problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente 
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = 
(-3,1,2), analise as opções a seguir: 
I- u x v = (1,8,-4). 
II- u x v = (0,8,4). 
III- u x v = (0,-8,4). 
IV- u x v = (0,8,-4). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção I está correta.
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos 
os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da 
base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: 
I- [(1,1),(1,0)]. 
II- [(1,1),(0,1)]. 
III- [(0,1),(1,0)]. 
IV- [(1,1)]. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção III está correta.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a 
área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial 
entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo 
é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = 
(2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta
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A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que 
estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação 
linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise 
de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais 
complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de 
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações 
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação 
apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a 
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - F - F.
C F - F - F - V.
D V - V - V - F.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. 
Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4):
A Raiz de 5.
B 4.
C 2.
D Raiz de 17.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em 
especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de 
soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4) quando aplicado na 
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transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A F - F - F - V.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D F - F - V - F.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu 
resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se 
no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao 
resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as opções verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) u x v = 1. 
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4. 
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B V - F - F - F.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
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