Avaliação II - Individual - Geometria Analítica

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02/10/2023, 20:51 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:887407)
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Prova 70818566
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico 
de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente 
essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, 
placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser 
citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de 
transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, 
edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação 
apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, 
assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C F - F - V - F.
D V - V - F - V.
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores 
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, 
quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a 
seguir:
I- u x v = (4,6,-6).
II- u x v = (0,6,4).
III- u x v = (0,-6,6).
IV- u x v = (-4,6,-6).
Assinale a alternativa CORRETA:
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A+ Alterar modo de visualização
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A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção III está correta.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o 
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais 
tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A 
para B:
A u = (1,4,-2).
B u = (1,4,4).
C u = (0,4,4).
D u = (1,4,2).
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o 
conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço 
vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as 
opções a seguir:
I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)].
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço 
vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. 
Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre 
perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = 
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(1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (0,-4,3).
( ) u x v = (-8,-1,2).
( ) u x v = (8,1,-2).
( ) u x v = (0,4,3).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar 
na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se 
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a 
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido 
e a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u 
= (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (-3,0,6).
II- R = (-1,6,-6).
III- R = (-1,-6,6).
IV- R = (3,0,6).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção I está correta.
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar 
com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o 
nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo 
deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o 
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12.
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Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B V - F - F - F.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, 
C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com 
extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, 
assinale a alternativa CORRETA:
A AB.
B AC.
C AE.
D AD.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do 
problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
A [(0,1,1)].
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B [(1,0,1)].
C [(1,1,0)].
D [(0,0,1)].
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na 
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um 
plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que 
estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B As sentenças I e III estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D As sentenças I e IV estão corretas.
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