Unidade I - teorico

Prévia do material em texto

Pesquisa Operacional
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Luciano Rossi
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Adrielly Camila de Oliveira Rodrigues Vital
Introdução à Pesquisa Operacional
Introdução à Pesquisa Operacional
 
 
• Identificar a pesquisa operacional como um conjunto de técnicas e métodos que permite a 
solução de problemas do mundo real por meio de otimização; 
• Capacitar o aluno para a criação de modelos matemáticos solucionáveis por meio de repre-
sentações gráficas.;
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Apresentação;
• A Origem da Pesquisa Operacional;
• Modelos em Pesquisa Operacional;
• O Método Gráfico.
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Apresentação
Neste material, nós vamos explorar diferentes conceitos que são utilizados na área 
da Pesquisa Operacional. Nosso objetivo aqui é conhecer um pouco sobre a origem 
dessa área e estudar alguns métodos e técnicas que serão úteis tanto para a repre-
sentação de problemas como para obter suas respectivas resoluções.
Nesse contexto, os problemas que são tratados no âmbito da Pesquisa Opera-
cional estão relacionados com a tomada de decisão. Todos os dias nós temos que 
tomar diferentes decisões, sejam elas simples, sejam complexas, o que impacta dire-
tamente nos resultados esperados. Por exemplo, escolher ir à faculdade por meio do 
transporte público, em vez de utilizar seu carro, pode impactar no tempo que será 
necessário para esse deslocamento.
Por outro lado, se nós considerarmos o contexto de uma empresa, é possível ob-
servar que as decisões podem ser mais complexas e os resultados mais impactantes. 
Considere, por exemplo, uma empresa que produz três tipos diferentes de sapatos e 
que cada um deles utiliza quantidades, também diferentes, de borracha e de couro. 
Adicionalmente, existem quantidades limitadas de borracha e de couro no estoque 
da empresa. Nesse contexto, qual seria a quantidade a ser produzida de cada tipo de 
sapato de modo a obter a maior quantidade de pares possível?
Observe que, no exemplo descrito anteriormente, decidir quantos pares de cada 
tipo de sapato devem ser produzidos não é uma decisão simples e certamente im-
pactará no total de pares possíveis de serem produzidos, dado que o estoque de 
matéria-prima é limitado. Assim, a Pesquisa Operacional busca possibilitar que a 
tomada de decisão seja feita de maneira assertiva com o objetivo de tornar os resul-
tados ótimos, ou seja, identificar as melhores escolhas que nos levem, também, aos 
melhores resultados.
Nesta unidade, trataremos particularmente sobre a modelagem matemática de 
problemas de otimização e da busca por soluções ótimas para esses modelos, utili-
zando o método gráfico. Antes, porém, iniciaremos nossos estudos com uma breve 
contextualização história sobre a Pesquisa Operacional e uma apresentação dos te-
mas que compõem essa área.
A Origem da Pesquisa Operacional
As guerras são eventos que, invariavelmente, trazem dor e sofrimento para um 
grande número de pessoas. Por outro lado, muitos avanços científicos e tecnológicos 
ocorreram em períodos de conflitos, em que as dificuldades oriundas desse tipo de 
evento fazem com que as pessoas busquem alternativas para as demandas, por vezes 
inéditas, que se apresentam.
Nesse contexto, a Pesquisa Operacional tem sua origem na Segunda Grande Guerra 
Mundial. Nesse período, surge a necessidade de se alocar de forma eficiente diferentes 
8
9
recursos, como as tropas, as munições, os alimentos, dentre outros. O sucesso das 
operações militares dependia da disponibilização correta desses recursos em termos 
de quantidade, localização e tempo.
Assim, países como os Estados Unidos da América e a Inglaterra foram pioneiros 
na utilização da ciência para estabelecer formas de se alocar os escassos recursos 
disponíveis de maneira eficiente. Nesse sentido, surge a Pesquisa Operacional, a qual 
tinha por objetivo inicial pesquisar diferentes técnicas e tecnologias para realizar a 
alocação de recursos nas operações de guerra.
Com o fim da guerra, os conhecimentos adquiridos nesse período não foram es-
quecidos, somente mudaram de foco. A eficiência na alocação de recursos não era 
uma demanda exclusiva em operações de guerra, haviam diferentes oportunidades 
de aplicação desse conhecimento. Os processos produtivos apresentavam caracte-
rísticas similares às operações de guerra, ou seja, havia a necessidade de recursos 
que eram consumidos por esses processos, além disso, existia o interesse por parte 
das organizações em maximizar seus lucros e minimizar seus custos. Esse contexto 
apresentava-se como terreno fértil para a aplicação da Pesquisa Operacional.
Podemos definir, informalmente, a Pesquisa Operacional como um método cien-
tífico para a tomada de decisões gerenciais. Esse método é composto por diferentes 
técnicas, como:
• Programação linear;
• Teoria das filas;
• Programação dinâmica;
• Simulação de Monte Carlo.
Nesse material, trataremos mais especificamente da Programação Linear, a qual con-
siste de uma técnica que representa um problema de otimização por meio de um sistema 
de inequações lineares que representam as características do problema estudado. 
Exemplo de Problema de Pesquisa Operacional
Os problemas que permitem a resolução por meio de técnicas descritas pela Pes-
quisa Operacional, mais especificamente com a utilização de Programação Linear, 
apresentam algumas características em comum. Em primeiro lugar, esses problemas 
possuem diversas soluções possíveis e, nesse sentido, nosso objetivo é encontrar a 
melhor solução dentre todas aquelas possíveis. O método de resolução envolve a 
definição de um objetivo que, comumente, está associado com a maximização ou 
minimização de resultados. Denominaremos otimização em ambos os casos.
Otimização: o termo otimização está relacionado com tornar ótimo. Define a busca de 
alternativas que conduzam ao melhor resultado.
9
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Outras características pertinentes a essa classe de problemas são as variáveis de 
decisão, em que cada combinação de valores dessas variáveis representa uma pos-
sível solução, e as restrições para a atribuição de valores para as variáveis. A seguir 
descrevemos um exemplo típico desse tipo de problema.
Uma empresa presta serviços de limpeza para residências e prédios comerciais. 
A empresa apresenta uma alta demanda por seus serviços, porém, há uma limi-
tação na sua capacidade de atendimento para cada tipo de cliente. O objetivo da 
empresa é elevar seus ganhos ao máximo possível, ou seja, o objetivo é maximizar 
o ganho. Suponha que a empresa cobre R$ 100,00 para o atendimento a residên-
cias e R$ 300,00 para os prédios comerciais. Como o número de funcionário é 
limitado, a empresa é capaz de atender até 20 residências e até 10 prédios comer-
ciais por mês.
O exemplo descrito anteriormente apresenta as características que tornam o pro-
blema solucionável por meio de técnicas descritas pela Pesquisa Operacional. A pri-
meira característica do problema é o seu objetivo, ou seja, pretende-se maximizar 
o ganho da empresa, decidindo a quantidade de cada tipo de cliente que será aten-
dido em um determinado período. Nesse sentido, essas quantidades de cada tipo 
de cliente são as variáveis do nosso problema, que estão restritas à capacidade de 
atendimento da empresa.
Note que o problema da empresa de limpeza possui diferentes soluções. Poderí-
amos decidir atender cinco residências e 10 prédios comerciais, vamos chamar essa 
escolha de solução A, a qual geraria um ganho de R$ 3.500,00, pois:
A = (5 ⋅ 100) + (10 ⋅ 300) = 3500
Outra escolha possível, que chamaremos de solução B, seria atender 15 residên-
cias e cinco prédios comerciais, com um ganho de R$ 3.000,00, visto que:
B = (15 ⋅ 100) + (5 ⋅ 300) = 3000
Veja que ambas as soluções A e B fazem parte do espaço de soluções possíveis 
para o problema da empresa de limpeza e poderíamos listar outras tantas combina-
ções das variáveis que também fazem parte desse espaço de soluções.Suponha uma nova escolha, que identificaremos como solução C, na qual serão 
atendidas 25 residências e 15 prédios comerciais. Essa solução produziria um ganho 
de R$ 7.000,00, pois:
C = (25 ⋅ 100) + ( 15 ⋅ 300) = 7000
Note que a solução C produz um ganho maior do que aqueles produzidos pelas 
soluções A e B, no entanto, essa solução não atende a restrição do problema, dado 
que a empresa pode atender no máximo 20 residências e 10 prédios comercias. 
Portanto, a solução C não faz parte do espaço de soluções possíveis, pois os valores 
atribuídos às variáveis ultrapassam a restrição imposta pelo problema.
10
11
Conforme foi descrito anteriormente, devemos buscar uma solução ótima que não 
viole as restrições do problema. Para o caso do problema da empresa de limpeza, 
a solução ótima é evidente, visto que temos apenas uma restrição para cada uma 
das variáveis. Assim, a solução ótima é obtida atribuindo para cada variável o valor 
máximo definido pela respectiva restrição, ou seja:
(20 ⋅ 100) + (10 ⋅ 300) = 5000
portanto, o ganho máximo possível que respeita os limites impostos pelas restrições 
é de R$ 5.000,00.
Modelos em Pesquisa Operacional
Modelos são representações idealizadas. Criar um modelo, ou modelar, é repre-
sentar um sistema físico real, por meio de símbolos, de modo que se possa entender 
seu comportamento. Existem modelos que guardam uma relação de semelhança 
com o sistema que se pretende representar. Esses modelos, denominados modelos 
icônicos, são utilizados, por exemplo, na arquitetura, por meio da construção de 
maquetes, conforme ilustrado na Figura 1.
Figura 1 – Exemplo de modelo icônico
Fonte: Getty Images
A maquete é um tipo de modelo muito utilizado em arquitetura para a represen-
tação de detalhes em escala de um empreendimento.
Os diagramas, ou modelos diagramáticos, são muito utilizados devido à sua faci-
lidade de representação e ocultação de detalhes não pertinentes ao objetivo preten-
dido. Nas engenharias, é comum a utilização de diagramas para a representação de 
sistemas, por exemplo, um esquema elétrico de um motor representa o funciona-
mento desse sistema. Veja na Figura 2 um exemplo desse tipo de diagrama.
11
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Figura 2 – Exemplo de modelo diagramático
Fonte: Getty Images
O esquema elétrico é um tipo de modelo utilizado para representar o funciona-
mento de um sistema elétrico.
No contexto da Pesquisa Operacional, estamos interessados em um tipo especí-
fico de modelo, o modelo matemático. Esse tipo de representação utiliza técnica de 
construção lógica não completa para a representação de sistemas complexos. Nesse 
sentido, o modelo matemático é uma representação parcial que facilita o estudo do 
sistema real.
Considere o exemplo do problema da empresa de limpeza, descrito anteriormente. 
As características do problema as quais queremos que sejam consideradas no nosso 
modelo matemático são:
• As variáveis;
• O objetivo; e
• As restrições.
As variáveis do problema, ou melhor especificado, as variáveis de decisão, são 
aqueles elementos do problema para os quais devemos escolher seus valores, sendo 
que cada escolha implicará em alternância nos resultados. Para o problema da em-
presa de limpeza nossa escolha está ligada à quantidade de atendimentos que será 
feita para cada tipo de cliente. Assim, nossas variáveis de decisão serão:
• x1: número de residências atendidas;
• x2: número de prédios comerciais atendidos.
Importante!
A identificação das variáveis de decisão é uma tarefa importante, pois será a partir dela 
que todo o modelo matemático será definido.
12
13
A denominação variável indica, obviamente, aquilo que varia. Verifique sempre se as 
variáveis que você identificou apresentam realmente essa condição. 
O próximo passo para a construção do nosso modelo matemático é formulação 
do objetivo. O objetivo está ligado à otimização de uma situação problema, ou seja, 
busca-se tornar máximo ou mínimo o resultado. Comumente, esse tipo de problema 
tem relação com maximizar o lucro, o faturamento, a quantidade, ou minimizar a 
perda, o prejuízo, o custo. No modelo, o objetivo será representado por uma função.
Considerando, novamente, o problema da empresa de limpeza, observa-se na 
sua descrição que o objetivo é “...elevar seus ganhos ao máximo possível...”, ou seja, 
queremos maximizar o ganho. Nesse caso, o ganho é representado pela quantidade 
de dinheiro que a empresa irá receber pelos serviços prestados. Ao analisarmos o 
problema, vemos que para cada tipo de atendimento a empresa recebe um valor 
específico, conforme apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 – Especifi cação dos valores recebidos pela 
empresa por cada tipo de serviço prestado
Tipo de serviço Valor do serviço
Limpeza de residência R$ 100,00
Limpeza de prédio comercial R$ 300,00
A maximização do ganho da empresa é realizada por meio do aumento do núme-
ro de serviços prestados. Observe que o número de serviços prestados foi anterior-
mente definido pelas variáveis de decisão. Assim, nossa função objetivo será definida 
da seguinte forma:
MAX Z = 100x1 + 300x2
Note que, cada valor atribuído à variável x1 é multiplicado pela constante 100, 
que representa o valor fixado para o serviço de limpeza de residência, e o valor da 
variável x2 é, por sua vez, multiplicado pela constante 300, que é o valor fixado para 
o serviço de limpeza de prédio comercial. A notação MAX Z, indica que queremos 
maximizar o valor da função Z.
Finalmente, a última etapa do modelamento consiste em formular as restrições do 
problema. Uma restrição comumente está associada com limitações que os valores 
das variáveis de decisão podem assumir, individualmente ou em conjunto. 
O problema da empresa de limpeza apresenta uma única restrição para cada va-
riável de decisão. A empresa tem capacidade de atender até 20 residências e até 10 
prédios comerciais por mês. Note que as restrições são referentes aos valores que as 
variáveis podem assumir. Assim, a formulação das restrições fica da seguinte forma:
x1 ≤ 20
x2 ≤ 10
13
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
As inequações que descrevem as restrições limitam os valores que as variáveis 
podem assumir. Assim, a variável x1 pode ter, no máximo, o valor 20 e a variável 
x2 pode assumir, no máximo, o valor 10. Dado que ambas as variáveis representam 
quantidades de serviços prestados, é simples notar que os valores possíveis de serem 
atribuídos às variáveis não podem ser negativos. Assim, devemos complementar o 
conjunto das restrições, inserindo a restrição de não negatividade:
x1, x2 ≥ 0
O modelamento completo do nosso problema de empresa de limpeza fica da 
seguinte forma:
• Variáveis:
 » x1: número de residências atendidas;
 » x2: número de prédios comerciais atendidos.
• Função objetivo: 
MAX Z = 100x1 + 300x2
• Restrições:
1
2
1 2
20
10
, 0
x
x
x x
≤
 ≤
 ≥
Vamos aumentar o grau de complexidade do nosso problema original, adicionan-
do novas informações. Suponha que a empresa utilize 4 horas de trabalho para rea-
lizar a limpeza em uma residência e 8 horas para limpar um prédio comercial. Além 
disso, o total de horas disponíveis para a execução dos trabalhos é de 120 horas. 
Essas novas informações evidenciam uma nova restrição que, também, está associa-
da à quantidade de serviços que será prestada. Vejamos como fica a formulação da 
nova restrição:
4x1, + 8x2 ≤ 120
Note que as quantidades representadas pelas variáveis de decisão estão associadas 
a valores que representam o tempo em horas que é necessário para a realização de 
cada tipo de serviço. Assim, a soma dos produtos do tempo pela quantidade não 
pode ser superior ao total de horas disponíveis.
Exemplo da fábrica de móveis
Agora que conhecemos o processo de modelagem matemática, vamos conside-
rar um novo exemplo com o objetivo de verificar que, em um mesmo problema, 
podemos ter diferentes objetivos. A definição do objetivo deve ser considerada no 
contexto em que o problema está inserido ea partir da visão do tomador de decisão. 
Assim, examine o seguinte problema:
14
15
Uma fábrica de móveis produz três tipos de produtos: cadeiras, mesas e baús. A linha 
de produção dessa fábrica possui dois processos produtivos: montagem e acaba-
mento, nos quais os produtos são fabricados. 
A Tabela 2 apresenta o tempo que cada produto consome em cada processo de fabrica-
ção, a respectiva capacidade total de cada processo e o preço de venda de cada produto.
Tabela 2 – Tempos utilizados para a fabricação dos produtos nos respectivos processos
Cadeira Mesa Baú Capacidade
Montagem 3h 3h 2h 30h
Acabamento 6h 3h 0h 48h
Preço R$ 10,00 R$ 8,00 R$ 1,00 –
O primeiro passo para a criação de um modelo matemático é a identificação das 
variáveis de decisão, conforme discutimos anteriormente. Para o caso do problema 
da fábrica de móveis, devemos verificar o que é possível decidir sobre a definição do 
mix de produção.
Mix de produção é a definição da quantidade de cada produto que deverá ser produzida com 
o objetivo de otimizar a utilização dos recursos para atender um objetivo gerencial específico.
Vamos analisar alguns elementos do problema para que possamos definir as variáveis 
de decisão. Podemos verificar que as quantidades de horas gastas pelos produtos nos 
processos de fabricação são preestabelecidas e não são variáveis. Igual ocorre com ou-
tros elementos, como a capacidade dos processos e o preço de venda de cada produto.
Um olhar mais atento verificará que o elemento de decisão no problema da fábrica 
de móveis está ligado com as quantidades de cada produto que deverão ser produzi-
dos, o que definirá, portanto, as nossas variáveis de decisão da seguinte forma:
• x1: número de cadeiras a serem poduzidas;
• x2: número de mesas a serem poduzidas;
• x3: número de baús a serem poduzidas.
O próximo passo para a definição do nosso modelo é a identificação do objetivo 
e a formulação da respectiva função. Veja que a descrição do problema não especifi-
cou qual o objetivo que se espera alcançar no processo de fabricação dos produtos. 
Assim, vamos supor três cenários distintos, os quais contemplam objetivos, também 
distintos, para a formulação de funções objetivo.
Vamos supor, inicialmente, que o objetivo gerencial no processo produtivo seja a 
maximização da receita. Veja que a receita é a soma dos valores de venda de todos 
os produtos multiplicados pelas respectivas quantidades vendidas. Assim, a função 
objetivo é formulada como segue:
MAX Z1 = 10x1 + 8x2 + x3
15
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Para um cenário em que o objetivo gerencial seja a maximização do número de 
itens produzidos, a correspondente função objetivo considera a soma dos totais pro-
duzidos de cada um dos produtos da seguinte forma:
MAX Z2 = x1 + x2 + x3
Finalmente, suponha um cenário em que o objetivo gerencial é maximizar o 
número de mesas produzidas, isso nos levaria a formular nossa função objetivo da 
seguinte maneira:
MAX Z3 = x2
O passo final para a construção do modelo matemático é a formulação das restri-
ções do problema. No problema da fábrica de móveis observamos que as restrições 
impostas são relativas à capacidade de trabalho em cada processo, ou seja, os pro-
cessos de montagem e acabamento podem trabalhar 30 e 48 horas, respectivamen-
te, em um determinado período. Nesse sentido, se programarmos trabalhos para 
esses processos que excedam suas capacidades, estes não serão capazes de atender 
ao programado.
O processo de montagem pode atender, no máximo, 30 horas de trabalho por 
período. Isso significa que a somatória da multiplicação da quantidade produzida 
de cada produto pela quantidade de horas que esse produto demanda no processo 
não pode superar 30 horas de trabalho. Assim, a restrição referente ao processo de 
montagem fica da seguinte forma:
3x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 30
Similarmente, a restrição referente ao processo de acabamento fica definida 
como segue:
6x1 + 3x2 ≤ 48
Para finalizar nosso sistema de inequações que representam as restrições do 
problema, precisamos inserir as restrições de não negatividade. Note que, não 
podemos ter quantidades de produtos negativas. Não é possível fabricar menos 
duas mesas e isso deve ficar evidente no nosso modelo matemático, considerando 
a seguinte inequação:
x1, x2, x3 ≥ 0
O modelamento completo do nosso problema da fábrica de móveis fica da se-
guinte forma:
• Variáveis:
 » x1: número de cadeiras a serem produzidas;
 » x2: número de mesas a serem produzidas;
 » x3: número de baús a serem produzidos.
16
17
• Função objetivo para três cenários distintos: 
» MAX Z1 = 10x1 + 8x2 + x3
» MAX Z2 = x1 + x2 + x3
» MAX Z3 = x2
• Restrições:
1 2 3
1 2
1 2 3
3 3 2 30
6 3 48
, , 0
x x x
x x
x x x
� � ��
� � ��
� ��
Em Síntese
Vimos até aqui que o processo de tomada de decisão gerencial não é fundamentado 
na intuição daqueles que decidem, mas sim na estruturação do contexto considerado 
na forma de um modelo matemático solucionável. Nesse sentido, veremos a seguir um 
método para a solução desses modelos, por meio de gráficos bidimensionais.
O Método Gráfico
O modelamento matemático de um problema de otimização não nos responde 
qual é a melhor escolha que se deve fazer para encontrar o resultado ótimo para a 
função objetivo. Porém, o modelo constitui-se na base para encontrar esse resultado. 
Existem alguns métodos possíveis de serem empregados com esse objetivo. Nesta 
subunidade, vamos estudar o método gráfico que nos permitirá identificar a melhor 
escolha para os valores das variáveis do modelo.
O que significa resolver um problema de otimização baseado em um modelo matemático?
Considere o modelo construído para o problema da fabrica de móveis que foi 
formulado na subunidade anterior, supondo, ainda, que o objetivo é maximizar a 
receita, de acordo com a seguinte função objetivo:
MAX Z = 10x1 + 8x2 + x3
sujeito à:
3x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 30
6x1 + 3x2 ≤ 48
x1, x2, x3 ≥ 0
17
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Nesse contexto, resolver o problema significa encontrar a combinação de valores 
para x1, x2 e x3 que resulte no maior valor possível para a função objetivo Z, ou seja, 
resulte na maior receita possível para a fábrica de móveis. Nesse caso, os valores 
que maximizam a função objetivo são x1 = 6, x2 = 4 e x3 = 0, os quais resultam em 
Z = 92. Isso significa que a receita máxima possível no processo da fábrica de móveis 
é de R$ 92,00 considerando as respectivas restrições.
Resolver o problema é encontrar os valores para as variáveis de decisão que otimizem a 
função objetivo, mas como encontrar esses valores?
O método gráfico consiste de, em um diagrama no qual os eixos representem os va-
lores das variáveis do problema, traçar linhas que representem as restrições identificadas 
no modelo, de modo que possamos definir o espaço das soluções viáveis do problema.
Considere, a título de exemplo, o problema da empresa de limpeza sobre o qual 
discutimos anteriormente e cujo modelo matemático é apresentado a seguir.
• Variáveis:
 » x1: número de residências atendidas;
 » x2: número de prédios comerciais atendidos.
• Função objetivo: 
MAX Z = 100x1 + 300x2
• Restrições:
 » 4x1 + 8x2 ≤ 120
 » x1 ≤ 20
 » x2 ≤ 10
 » x1, x2 ≥ 0
O primeiro passo para implementar a solução gráfica é construir um diagrama 
em que os eixos representem os valores possíveis para as variáveis de decisão x1 e x2. 
Veja na Figura 3 o diagrama com os respectivos eixos traçados. 
Figura 3 – O gráfico representa as restrições propostas 
para o problema da empresa de limpeza
Fonte: Acervo do Conteudista
18
19
O próximo passo consiste em considerar o efeito das restrições do problema no 
diagrama. Vamos começar pelas restrições de não negatividade, ou seja, x1, x2 ≥ 0. 
Note que essa restrição indica que o espaço das soluções viáveis estará localizado no 
quadrante do diagrama no qual os valores dessas variáveis sejam positivos. Assim, 
o diagrama da Figura 3 representa somente esse quadrante, não sendonecessário 
representar os demais. 
A restrição x1 ≤ 20 indica que os valores viáveis para as variáveis deverão ser 
no máximo iguais a 20, ou seja, no limite: x1 = 20. A transformação da inequação 
x1 ≤ 20 na equação x1 = 20 nos permite traçar a fronteira no diagrama que divide os 
valores viáveis dos não viáveis. Veja na Figura 3 a linha tracejada vertical que repre-
senta essa fronteira, os valores à esquerda da linha são os valores viáveis (menores ou 
iguais a 20), enquanto os valores à direita da linha são aqueles não viáveis (maiores que 
20). Igual ocorre para a restrição x2 ≤ 10. No limite, ou seja, na fronteira, o valor da 
variável será igual a 10 (x2 = 10). Assim, os valores abaixo da linha tracejada horizontal 
no diagrama são os valores viáveis e aqueles acima da linha são os nãos viáveis.
As restrições consideradas até agora foram aquelas representadas por inequações 
de apenas uma única variável. Essa característica define, no diagrama, uma reta, 
vertical ou horizontal, localizada exatamente no valor atribuído à variável. Para o 
caso em que há diferentes variáveis na inequação, como na última restrição do pro-
blema: 4x1 + 8x2 ≤ 120, a reta que define uma nova fronteira no diagrama não será 
paralela aos eixos. Assim, para que possamos traçar a reta no diagrama, precisamos 
identificar dois pontos que pertençam à reta, de modo que seja possível traçá-la pela 
união desses pontos.
Um ponto no diagrama é um par ordenado que representa uma coordenada no 
diagrama, cujos valores referem-se às variáveis x1 e x2, sendo grafados da seguinte 
forma: (x1, x2). Para o primeiro ponto que pertence à reta definida pela equação 
4x1 + 8x2 = 120 consideraremos x1 = 0. Substituindo x1 por zero na equação, temos:
4 ⋅ 0 + 8x2 = 120
8x2 = 120
x2 = 120/8
x2 = 15
Assim, o primeiro ponto está localizado na coordenada (0,15), veja o ponto ver-
melho no canto superior esquerdo no diagrama da Figura 3. Para o segundo ponto, 
vamos considerar x2 = 0 e substituir essa variável na equação da seguinte forma:
4x1 + 8 ⋅ 0 = 120
4x1 = 120
x1 = 120/4
x1 = 30
19
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Nesse sentido, o segundo ponto está localizado na coordenada (30,0), veja o ponto 
vermelho no canto inferior direito no diagrama da Figura 3.
A união dos dois pontos, identificados anteriormente, resultam na reta que define a 
fronteira (limite). Os valores abaixo dessa reta são viáveis para a solução do problema, 
por outro lado, os valores não viáveis são aqueles acima da reta.
Como identificar qual dos lados divididos por uma determinada reta representa os valores 
viáveis para a solução do problema?
Finalizando a representação das restrições do problema no diagrama, temos de-
finida uma área que reúne todos os pontos que representam soluções viáveis desse 
problema. Na Figura 3, a área destacada representa o espaço de soluções viáveis 
para o problema da empresa de limpeza. Note que todas as soluções são viáveis, 
porém, nem todas otimizam a função objetivo do problema.
A identificação da solução que otimiza a nossa função objetivo é a etapa final 
do método gráfico. Dentre todas as soluções, existentes no espaço de soluções viá-
veis, queremos aquela que resulte no máximo valor possível para a função objetivo 
Z = 100x1 + 300x2. Nesse sentido, a coordenada que representa essa solução ótima 
está localizada em uma das extremidades da área de soluções.
As coordenadas dos pontos, candidatos à solução ótima, são formadas pela inter-
seção de duas retas. Quando as retas são paralelas aos eixos, o valor de sua coorde-
nada é obtido diretamente a partir dos valores das equações.
Figura 4 – As coordenadas que representam as extremidades do 
espaço de soluções viáveis, que são candidatas à solução ótima
Fonte: Acervo do Conteudista
Por exemplo, considere o diagrama da Figura 4, em que o ponto candidato Z1 é 
formado a partir da interseção das retas x1 = 0 e x2 = 10 e os valores de suas co-
ordenadas são (0,10), correspondendo a x1 e x2, respectivamente. A mesma lógica 
vale para os pontos Z4 e Z5 pois ambos são obtidos a partir da interseção de retas 
paralelas aos respectivos eixos.
A lógica descrita anteriormente não vale para pontos formados a partir de inter-
seção de retas não paralelas aos eixos. Vejamos o exemplo do ponto Z2, o qual é 
20
21
formado pela interseção das retas x2 = 10 e 4x1 + 8x2 = 120. Conforme ilustrado na 
Figura 4, a reta descrita pela equação 4x1 + 8x2 = 120 não é paralela a nenhum dos 
eixos do diagrama. Nesse caso, temos que resolver o sistema formado pelas equa-
ções, identificando o valor para cada uma das variáveis da seguinte forma:
2
1 2
10
4 8 120
x
x x
=
 + =
como a primeira equação possui apenas uma variável, então seu valor é dado auto-
maticamente. Assim, para identificar o valor de x1 basta substituir o valor dado de x2
na segunda equação:
4x1 + 8 ⋅ 10 = 120
4x1 + 80 = 120
4x1 = 120 – 80
x1 = 40/4
x1 = 10
Assim, os valores das coordenadas do ponto Z2 são (10,10), conforme ilustrado 
na Figura 4. 
Para a identificação das coordenadas do ponto Z3, procedemos da mesma maneira, 
ou seja, devemos resolver o seguinte sistema de equações:
1
1 2
20
4 8 120
x
x x
��
� � ��
substituindo a primeira equação na segunda, temos:
4 ⋅ 20 + 8x2 = 120
80 + 8x2 = 120
8x2 = 120 – 80
x2 = 40/8
x2 = 5
Assim, os valores das coordenadas do ponto Z3 são (20,5).
Após identificar todas as coordenadas dos pontos localizados nas extremidades 
da área de soluções viáveis, estamos prontos para identificar a solução ótima para 
o problema. Nesse sentido, vale lembrar que queremos maximizar a função obje-
tivo: Z = 100x1 + 300x2, para isso, podemos utilizar os valores das coordenadas 
dos pontos extremos, substituindo na função objetivo e calculando os diferentes 
valores de Z:
21
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Z1 = 100 ⋅ 0 + 300 ⋅ 10 = 3000
Z2 = 100 ⋅ 10 + 300 ⋅ 10 = 4000
Z3 = 100 ⋅ 20 + 300 ⋅ 5 = 3500
Z4 = 100 ⋅ 20 + 300 ⋅ 0 = 2000
Z5 = 100 ⋅ 0 + 300 ⋅ 0 = 0
Os resultados mostram que a função objetivo apresenta o seu máximo valor, 
Z2 = 4000, quando temos x1 = 10 e x2 = 10. Em outras palavras, considerando o 
contexto do problema, o ganho máximo possível para a empresa de limpeza é de 
R$ 4.000,00 por mês, atendendo 10 residências e 10 prédios comerciais nesse pe-
ríodo. Note que não há outra combinação possível que eleve o ganho da empresa, 
considerando as restrições apresentadas.
A aplicação do método gráfico foi feita considerando um problema que apresen-
tou duas variáveis; o número de atendimentos em residências e em prédios comer-
ciais. Considere que possamos ter um terceiro tipo de cliente, como atendimentos 
em apartamentos. Como ficaria a solução para três variáveis? Precisaríamos cons-
truir um gráfico com três dimensões? Ficaria complicado, não é mesmo?
Na próxima unidade trataremos de problemas que consideram mais do que duas 
variáveis, utilizando o método denominado Simplex.
Em Síntese
Nesta unidade, tivemos a oportunidade de conhecer um pouco sobre as origens da área 
da Pesquisa Operacional. Vimos como é possível descrever um problema prático na 
forma de um Modelo Matemático e como encontrar uma solução ótima para o problema 
utilizando o Método Gráfico de resolução.
22
23
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
https://bit.ly/2WM2UvO
 Vídeos
Construindo gráficos de equações lineares utilizando uma tabela de valores
https://bit.ly/2zpcHzZ
Programação Linear | Pesquisa Operacional | Método do Gráfico | Geogebra
https://youtu.be/x1ABVTrS7Vc
O que é pesquisa operacional?
https://bit.ly/2LkUm9H
23
UNIDADE Introdução à Pesquisa Operacional
Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a 
análise de decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Amgh, 2013.LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016.
24